高中数学三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系

第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sinHs ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）同角三角函数关系的应用2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用学生用书P0751.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（2）商的关系：tan α＝sinHs （α≠π2＋k π，k ∈Z ）.（3）公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α；sin α＝±1－cos 2；sin 2α＝sin 2sin 2＋c 2＝ta 2tan 2r1，cos 2α＝cos 2si 2＋cos 2＝①1tan 2r1；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.注意利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.2.诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α（k ∈Z ）π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α②－sin α－sin α③sin αcos α④cos α余弦cos α⑤－cos αcos α⑥－cos αsin α⑦－sin α正切tan α⑧tan α－tan α⑨－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限.1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（A）A.－1213B.－513C.513D.213解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin2＝－1213.2.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝（D）A.－1B.－3C.－12D.12解析因为tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝1＋1tan＝1－12＝12.3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθB.cos（3π2＋θ）＝－sinθC.sin（3π2－θ）＝－cosθD.cos（θ－π2）＝－sinθ解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B 错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.4.sin1050°＝－12.解析sin1050°＝sin（－30°）＝－12.5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝34.解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝cos＋sinsinr2cos＝1+tan tanr2＝1+22+2＝34.学生用书P076命题点1同角三角函数关系的应用例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）A.73B.75C.54D.53解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinvos1＝si2＋cos2＋sinvossin2＋cos2＝tan 2＋tanr1 tan2r1＝22+2+122+1＝75.（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－55.解析由tan ＝sin cos＝12，sin 2＋cos 2=1，且θ∈（0，π2），解得sin cos 故sin θ－cos θ方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sinHs ，可以解决sin α，cos α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.（2）利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.（3）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinHs 可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cos θ＝713，则下列结论正确的是（BD ）A.θ∈（－π，－π2） B.cos θ＝1213C.tan θ＝512 D.sin θ－cos θ＝－1713解析由sin θ＋cos θ＝713可得，cos θ＝713－sin θ，则（713－sin θ）2＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cos θ＝1213，故B 正确；由sin θ＝－513＜0，cos θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈（－π2，0），故A 错误；tan θ＝sinHs ＝－512，故C 错误；sin θ－cos θ＝－513－1213＝－1713，故D 正确.故选BD.命题点2诱导公式的应用例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f （x ）＝15sin （x ＋π3）＋cos （x －π6）的最大值为（A ）A.65B.1C.35D.15解析因为cos （x －π6）＝cos[（x ＋π3）－π2]＝sin （x ＋π3），所以f （x ）＝65sin （x ＋π3），所以f （x ）的最大值为65，故选A.（2）[北京高考]若函数f （x ）＝sin （x ＋φ）＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2（答案不唯一）.解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.方法技巧应用诱导公式的一般思路（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；（2）统一角，统一名；（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π6＋θ）＋2sin（5π3－θ）的值为－1.解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（π6－θ）＝－3cos（π6－θ）＝－1.（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－－3π2）cos（3π2－）cos（π2－）sin（π2＋）·tan2（π－α）的值为－916.解析原式＝－sin（3π2＋）cos（3π2－）sinvos·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，sinvos·tan2α＝－cosLin得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.故原式＝－tan2α＝－916.命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－α）＝（A）B. D.解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）tan（α＋π3）＝sin（＋π3）Hs（＋π3）＝－tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）故选A.（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－43.解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（－π4）cos（－π4）＝－43.解法二因为θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos （θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝sin （－π4）Hs （－π4）＝－cos[π2＋（－π4)]sin[π2＋（－π4)]＝－cos （＋π4）sin （＋π4）＝－43.方法技巧利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.（2）化简过程是恒等变换.训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M （2，4）在角α终边上，则sin 3（π－）＋cos 3（－）sin 3－2cos 3＝（B ）A.23B.32C.－35D.－53解析由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin 3＋cos 3si 3－2cos 3＝tan 3r1tan 3－2＝8+18－2＝32.故选B.1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cos θtan 2θ＝（D ）C. D.解析由sin θ－cos θ1－2sin θcos θ＝13，∴sin θcos θ＝13，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θ·cos θ＝53.∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cos θ解法一易得sin θcos θ∴tan θ∴tan 2θ＝－52]5 D.解法二易得sin θcos θ＝13，∴sin 2θ＝23，∵sin θ－cos θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π2＜2θ＜π，∴cos 2θ∴tan 2θ D.2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋（－1）k β”是“sin α＝sin β”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cos3－sin，则sin（2α＋π2）＝（D）A.23B.13C.89D.79解析因为tanα＝cos3－sin，所以sin Hs＝cos3－sin，即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13，所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，故选D.学生用书·练习帮P2921.若θ∈（π2，πA）A.sinθ－cosθB.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ）D.sinθ＋cosθ解析）＝1－2sinBos＝（sin－cos）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（B）A.－45B.45C.－35D.35解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x 对称，所以＋2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.3.[2024江西联考]已知sin （α＋π3）＝－14，则cos （α＋5π6）＝（B ）A.－14B.14解析因为sin （α＋π3）＝－14，所以cos （α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin （α＋π3）＝14，故选B.4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cos α）＝（D ）A.25B.35C.45D.65解析sin α（sin α＋cos α）＝sin 2＋sinvos sin 2＋cos 2＝tan 2＋tan tan 2r1＝22+222+1＝65.故选D.5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan （π2－θ）＝43，则cos （θ＋π2）＝（C）A.－45B.－35C.35D.45解析tan （π2－θ）＝sin （π2－）Hs （π2－）＝Hs sin＝43，即3cos θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－35，cos θ＝－45，∴cos （θ＋π2）＝－sin θ＝35.故选C.6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos （α＋10°）＝13，则tan （170°－α）＝（A）A.－22B.22C.－2D.2解析因为α为第一象限角，且cos （α＋10°）＝1＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以sin （α＋10°）＝1－cos 2（+10°）＝tan （α＋10°）＝sin （r10°）cos （r10°）＝22，则tan （170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan （α＋10°）＝－22.故选A.7.[多选]在△ABC 中，下列结论正确的是（ABC ）A.sin （A ＋B ）＝sin CB.sin＋2＝cos2C.tan （A ＋B ）＝－tan C （C ≠π2）D.cos （A ＋B ）＝cos C 解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin （A ＋B ）＝sin （π－C ）＝sin C ，A 正确.sin＋2＝sin （π2－2）＝cos 2，B 正确.tan （A ＋B ）＝tan （π－C ）＝－tan C （C ≠π2），C正确.cos （A ＋B ）＝cos （π－C ）＝－cos C ，D 错误.故选ABC.8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC 中，3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），cos A ＝－3cos （π－B ），则△ABC 为直角三角形.解析在△ABC 中，由3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），得3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝3A ∈（0，π），∴A ＝π6，又cos A ＝－3cos （π－B ），＝3cos B ，即cos B ＝12，又B ∈（0，π），∴B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC 为直角三角形.9.已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝－43；2sinBosr2si 21－tG＝24175.解析因为sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以sin θcos θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0.由sin ＋Hs ＝15，si 2＋c 2=1，得25sin 2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cos θ＞0，（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cos θ＝75，由sin ＋cos ＝15，sin －cos ＝75，得sin ＝45，cos ＝－35，所以tan θ＝－43）解法一2sinvosr2sin 21－tan＝2sin （cos ＋sin ）1－sin cos＝2sinvos （cos ＋sin ）cos －sin＝－2425×15－75＝24175.解法二2sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sinvosr2sin 2sin 2＋cos 2＝2tanr2tan 2tan 2r1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinvosr2sin 21－tan＝8251－（－43）＝24175.10.设f （x ）＝a sin （πx ＋α）＋b cos （πx ＋β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2024）＝1，则f （2025）＝（D）A.1B.2C.0D.－1解析f （2024）＝a sin （2024π＋α）＋b cos （2024π＋β）＝a sin α＋b cos β＝1，f （2025）＝a sin （2025π＋α）＋b cos （2025π＋β）＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＝－a sin α－b cos β＝－（a sin α＋b cos β）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos （χ3＋2π3）＝（C）B. C.12 D.－12解析任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（χ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.12.已知－π＜α＜0，且满足.从①sinαcosα＋sinαtanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.（1）求cosα－sinα的值；（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求Hs＋sinHs－sin的值.解析方案一选择条件②.（1）由cosα＋sinαcosα＋sinα）2＝15，则2sinαcosα＝－45＜0.又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝1－2cosLin＝（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cos＋sin＝ 3.cos－sin＝－cos＋sin－cos－sin方案二选择条件③.（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以sinαcosα所以cosα－sinα（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以Hs＋sinHs－sin＝ 3.（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα①不符合题意.）。

专题 任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系一、题型全归纳题型一 象限角及终边相同的角【题型要点】(1)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；①按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间； ①起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角； ①转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ①Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【易错提醒】注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ①Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角． 【例1】(2020·辽宁鞍山一中一模)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】 因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ①Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ①Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．【例2】(2020·东北师大附中摸底)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ①Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】当k ＝2n (n ①Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ①Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.题型二 扇形的弧长、面积公式【题型要点】弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 【易错提醒】运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度． 【例1】已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，0<R <10，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【例2】．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为 ．【解析】：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r32πr ＝518题型三 三角函数的定义命题角度一 利用三角函数定义求值【题型要点】三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P 的坐标，求角α的三角函数值 方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y ＝kx ，k ≠0)，求角α的三角函数值方法：先设出终边上一点P (a ，ka )，a ≠0，求出点P 到原点的距离(注意a 的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．【例1】(2020·合肥一检)函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( ) A.75 B.65 C.55D ．355【解析】因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4，2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝355.故选D. 【例2】已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则tan α＝ ．【解析】因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，即x ＝52.所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以tan α＝125. 【例3】(2020·山西太原三中模拟)若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝ ． 【解析】：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.命题角度二 判断三角函数值的符号【题型要点】三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． 【例3】若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限、【解析】由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【例4】(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)题型四 同角三角函数的基本关系式命题角度一 公式的直接应用【题型要点】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝⎛⎭⎫其中x ≠k π＋π2，k ①Z . 2.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．【例1】(2020·北京西城区模拟)已知α①(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43D ．－43【解析】因为cos α＝－35且α①(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.【例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．【解析】由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，且sin α>0，cos α<0，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.命题角度二 sin α，cos α的齐次式问题【题型要点】关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略 已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的值．【例3】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解析】 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 命题角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系【题型要点】sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)． (2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二． 【例4】 已知α①(－π，0)，sin α＋cos α＝15.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值．【解析】(1)由sin α＋cos α＝15，平方得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.由α①(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－75.(2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.【例5】．(2020·长春模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D ．34【答案】B.【解析】：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32.故选B.题型五 诱导公式的应用【题型要点】1.三角函数的诱导公式①化负为正，化大为小，化到锐角为止；①角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．3.常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；①常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【例1】．若角A ，B ，C 是①ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C 2＝sin B 2 D ．sin B ＋C 2＝－cos A2【答案】C.【解析】：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2-2B π＝sin B 2，sin B ＋C 2＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛2-2A π＝cos A 2.【例2】已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝a ，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32的值是 ．【解析】：因为cos ⎪⎭⎫⎝⎛+θπ65＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝－a . sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛θπ-6＝a ，所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝0. 二、高效训练突破 一、选择题1.(2019·洛阳一中月考)计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( ) A ．－1B ．1C ．0D ．12－32【解析】：原式＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-2ππ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-3ππ＝－sin π6＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3ππ＝－12－cos π3＝－12－12＝－1. 2．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ①4π3是第三象限角； ①－400°是第四象限角； ①－315°是第一象限角． 其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】：.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，①正确．－400°＝－360°－40°，从而①正确．－315°＝－360°＋45°，从而①正确．3．(2020·镇江期中)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎪⎭⎫⎝⎛απ-2的值为( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22【解析】：因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，cos α＝±223，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2＝cos αsin α＝±2 2.故选D.4．(2019·武汉调研)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6D ．π3【解析】：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ， 所以tan θ＝3，因为|θ|＜π2，所以θ＝π3.5.(2020·江西南昌一模)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】：由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.6．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π4 B.π2 C.22D ．2【解析】：设圆的直径为2r ，则圆内接正方形的边长为2r ，因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，所以圆弧的长度为2r ，所以圆心弧度为2rr＝ 2. 7.(2020·海淀期末)已知f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ，则⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝( ) A.12 B.22 C.32D ．－12【解析】：.f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝cos π3＝12.8．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12D ．2【解析】：因为sin α＋cos α＝2，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝12.所以tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2.故选D.9.(2020·马鞍山质量检测)若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α 【解析】：如图所示作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4＜α＜－π2，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.10.(2019·大同模拟)1．已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75B.257C.725 D ．2425【解析】：因为－π2＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2， 所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 二、填空题1.(2020·楚雄龙江中学期中)与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是 ．【解析】：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.2.(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝ ． 【解析】：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 3.设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝ ． 【解析】：因为α为第三象限角，tan α＝512，所以cos α＝－1213，所以cos(π－α)＝－cos α＝1213. 4．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝ ． 【解析】：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α. 5.(2020·惠州调研)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ππ，则角α的最小正值为 ． 【解析】：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ①Z )，所以α的最小正值为11π6. 6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1①4，则这两个扇形的周长之比为 ．【解析】：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14， 所以r ①R ＝1①2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr 2R ＋αR＝1①2. 7．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝ ，cos α＝ ．【解析】：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225. 因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45. 8.(2020·福州调研)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝ ． 【解析】：因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1， 5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95. 三 解答题1.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解析】：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，此时sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，此时sin θ＋cos θ＝－ 2. 2.已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）. (1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值． 【答案】（1）－cos α；（2）265 【解析】：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α. (2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.。

专题17同角三角函数的基本关系和诱导公式5题型分类一、同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：22sin cos 1αα+=．（2）商数关系：sin tan ()cos 2k απααπα=≠+；【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．注：1、利用22sin cos 1αα+=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化．2、“sin cos sin cos sin cos αααααα+-，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=（一）同角求值（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．（二）诱导求值与变形（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化（三）同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式(π（四）三角恒等式的证明三角恒等式的证明中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键原式得证【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.5-4．（2024高三·全国·专题练习）（1）求证：tan 2αsin 2α=tan 2α-sin 2α；（2）已知tan 2α=2tan 2β+1，求证：2sin 2α=sin 2β+1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将22sin 1cos αα=-代入左式，化简即可得到右式.（2）将sin tan cos ααα=，sin tan cos βββ=代入条件，通分化简得到2212cos cos αβ=，即2cos 2α=cos 2β，然后由22sin cos 1αα+=，将余弦化成正弦即可证得结论.【详解】解析：（1）tan 2αsin 2α=tan 2α（1-cos 2α）=tan 2α-tan 2αcos 2α=tan 2α-sin 2α，则原等式得证.（2）因为tan 2α=2tan 2β+1，所以22sin cos αα+1=222sin 1cos ββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2212cos cos αβ=，从而2cos 2α=cos 2β，于是2-2sin 2α=1-sin 2β，也即2sin 2α=sin 2β+1，则原等式得证.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知2cos tan sin 5xx x =+，则cos2x =（）A ．13B ．79C ．23D ．59【答案】B【分析】利用三角函数的基本关系式得到关于sin x 的方程，再利用倍角公式即可得解.【详解】因为2cos tan sin 5x x x =+，又sin tan cos xx x=，所以sin 2cos cos sin 5x xx x =+，则222cos sin 5sin x x x =+，即2222sin sin 5sin x x x -=+，则23sin 5sin 20x x +-=，即()()3sin 1sin 20x x -+=，所以1sin 3x =或sin 2x =-（舍去），所以217cos212sin 1299x x =-=-⨯=.故选：B.2．（2024·四川巴中·模拟预测）勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为917，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为（）A ．217B C ．217D 【答案】D【分析】设正方形的边长1，较小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos sin θθ-，由题意可得29(cos sin )17θθ-=，显然可得π04θ<<，即可得到cos sin 0θθ>>，从而求出sin θ.【详解】设正方形的边长1，较小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos sin θθ-，由题意可得29(cos sin )17θθ-=，显然π04θ<<，所以cos sin 0θθ>>，所以cos sin 17θθ-=，又229cos sin 2cos sin 17θθθθ+-=，所以2cos si 8n 17θθ=，所以22225(cos sin )cos sin 2cos sin 17θθθθθθ+==++，所以cos sin 17θθ+=，所以sin 17θ=.故选：D3．（2024·全国·模拟预测）已知2π2cos 53θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则19π13π2sin cos 105θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．23-D ．23【答案】A【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.【详解】令25m πθ=-，则22,cos 53m m πθ=+=，从而19π13π19π2π2π13π2sin cos 2sin cos 10510555m m θθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦3π2sin cos(3π)3cos 22m m m ⎛⎫=-++=-=- ⎪⎝⎭.故选：A.4．（2024·山西·模拟预测）已知α为锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．2B．CD．2【答案】D【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭由诱导公式得ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππcos sin 363αα⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以πsin π33tan π32cos 3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D5．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知角α为钝角，且角(02π)θθ<<终边上有一点()sin ,cos P αα-，则角θ=（）A ．πα+B ．π2α+C ．2πα-D ．3π2α-【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式及三角函数的定义即可求解.【详解】点()sin ,cos P αα-，由诱导公式可化为ππcos ,sin 22P αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由三角函数的定义知，π2π2k θα=++，又因为α为钝角，02πθ<<，所以π2θα=+.故选:B.6．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，在()1,3P 在角α终边上，则()()()3333sin πcos ππsin cos 2αααα++-⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值为（）A ．1327B ．1427C ．1427-D ．1413【答案】B【分析】根据三角函数的定义求角α的三角函数值，再利用诱导公式化简求值.【详解】因为点()1,3P 在角α终边上，则1x =，3y =，所以tan 3yxα==,()()()333333333sin πcos πsin cos 1114π227sin sin 2tan sin cos 2ααααααααα++---==+⎛⎫----- ⎪⎝⎭.故选：B7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α的终边与23π角的终边相同，则sin()cos(2)3sin()2παπαπα+--=+()A1B1C．1D．1-【答案】C【分析】利用三角函数定义求得tan α=，再利用诱导公式化简即可.【详解】由题意得2tan tanπ3α==sin(π)cos(2π)sin cos sin cos sin cos tan 113ππcos cos sin()sin 22ααααααααααααα+------+====+=+-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，故选：C.8．（2024·全国·模拟预测）已知直线:2310l x y +-=的倾斜角为θ，则()πsin πsin 2θθ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭（）A ．613B ．613-C ．25D ．25-【答案】A【分析】根据直线一般方程可求得2tan 3θ=-，再利用诱导公式及同角三角函数之间的基本关系可得其结果.【详解】由直线l 的方程为2310x y +-=，得斜率2tan 3k θ==-，则()πsin cos sin πsin sin cos 21θθθθθθ-⋅⎛⎫-⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭22222sin cos tan 63sin cos tan 113213θθθθθθ-⋅-====++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；故选：A ．9．（2024·陕西宝鸡·一模）已知4ππsin 2sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．34-B ．34C ．45-D ．45【答案】C【分析】先利用诱导公式对已知条件化简得ππcos 2sin 66αα⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再利用同角三角函数基本关系求出2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭；最后利用二倍角公式即可求解.【详解】4π3πππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由4ππsin 2sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得：ππcos 2sin 66αα⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为22ππsin cos 166αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以2ππππ4sin 22sin cos 4sin 36665αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.10．（2024·全国·模拟预测）已知(ππtan cos 3cos 44ααα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）AB．2C ．12-D ．1-【答案】B 【分析】由诱导公式和同角三角函数关系得到(πtan 3tan 4αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用正切和角公式得到方程，求出tan 1α=，利用余弦二倍角，齐次化求出答案.【详解】因为ππππcos sin sin 4244ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(ππtan cos 3sin 44ααα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故(πtan 3tan 4αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为πtan tanπtan 14tan π41tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-，所以(tan 1tan 31tan ααα+=--，故)(2tan 21tan 30αα-+-=，解得tan 1α=，所以)()2222222211cos sin 1tan cos2cos sin 1tan 11ααααααα---=====+++-故选：B ．11．（2024·全国·模拟预测）已知圆22:(1)(1)1C x y -+-=，过点()3,2P ，作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，则tan ACB ∠=（）A ．43-B ．43C ．12-D ．34【答案】A【分析】设切线的方程为2(3)y k x -=-，求得圆心C到切线的距离1d ==，求得k 的值，得到4tan 3APB ∠=，结合180APB ACB ∠+∠=︒，即可求解.【详解】由题意知，圆22:(1)(1)1C x y -+-=的圆心为(1,1)C ，半径1r =，且切线PA ，PB 的斜率都存在，设切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，因为直线与圆相切，所以圆心C到切线的距离1d =，解得10k =或2k =43，所以4tan 3APB ∠=，在四边形APBC 中，因为90APC ABC ∠=∠= ，可得180APB ACB ∠+∠=︒，所以4tan tan(180)tan 3ACB APB APB ∠=-∠=-∠=-.故选：A ．12．（2024·河南郑州·模拟预测）已知tan 2θ=，则3πsin sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．12C ．12-D ．25-【答案】D【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解.【详解】3πsin sin sin cos 2θθθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭222sin cos tan 2sin cos tan 15θθθθθθ=-=-=-++.故选：D13．（2024·陕西西安·二模）已知π5cos 513α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．513-B ．513C ．-1213D ．1213【答案】A 【分析】因为7πππ1052αα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由诱导公式可得选项.【详解】7ππππ5sin sin cos 1052513ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】C 【分析】根据5πππ623αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，借助于诱导公式，即可求得结果．【详解】5πππcos cos 623αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin 3πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭45=-，5πcos 6α⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的值为45-，故选：C15．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若1sin 3A =，则()sin 6A π-的值为（）A ．13B ．13-C．3-D．3【答案】B【分析】本题考查诱导公式的基础运用，套用公式即可.【详解】利用诱导公式可得()()1sin 6sin sin 3A A A π-=-=-=-，故选：B.16．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若()1sin 2πα+=-，则cos α的值为（）A ．12±B ．12CD．【答案】D【分析】先化简已知得1sin =2α，再求cos α的值.【详解】由()1sin 2πα+=-得1sin =2α，所以α在第一、二象限，所以cos =2α=±.故选：D.17．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知πsin sin 2θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A．B ．1-C ．1D【答案】B【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，求出这两个量的值，即可求得tan θ的值.【详解】因为πsin sin sin cos 2θθθθ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，由题意可得22sin cos sin cos 1θθθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin tan 1cos θθθ==-.故选：B.18．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知1sin cos 5αα+=，且()0,πα∈，sin cos αα-=（）A ．75±B ．75-C ．75D ．4925【答案】C【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得2sin cos αα的值，结合α的范围确定sin α与cos α的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值.【详解】因为1sin cos 5αα+=，两边平方得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，故242sin cos 025αα=-<，所以sin α与cos α导号，又因为0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<，所以7sin cos 5αα-====.故选：C.19．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知θ是三角形的一个内角，且满足sin cos 5θθ-=，则tan θ=（）A ．2B ．1C ．3D ．12【答案】A【分析】利用平方关系可求得42sin cos 5θθ=，可解得29(sin cos )5θθ+=，再结合θ是三角形的一个内角即可得sin ,cos θθ==tan 2θ=.【详解】将sin cos θθ-=两边同时平方可得112sin cos 5θθ-=，即42sin cos 5θθ=；所以29(sin cos )12sin cos 5θθθθ+=+=若sin +cos θθ=，解得sin θθ==，这与θ是三角形的一个内角矛盾，所以sin +cos θθ=，解得sin θθ==，此时求得tan 2θ=.故选：A.20．（2024高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称，若4sin 5α=，则cos β=（）A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】B【分析】根据题意利用任意角的三角函数的定义，结合诱导公式可求得结果.【详解】因为平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称，所以ππ,Z 24k k αβ+=+∈，即π2π,Z 2k k αβ+=+∈，所以π2π,Z 2k k βα=-+∈，因为4sin 5α=，所以π4cos cos 2πsin (Z)25k k βαα⎛⎫=-+==∈ ⎪⎝⎭，故选：B21．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知(),0,a βπ∈，则“tan tan 1αβ=”是“2a πβ+=”的（）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【答案】D【分析】根据诱导公式的逆运用以及由三角函数的概念即可判断其充分性，由2a πβ+=代入tan α化简计算即可判断其必要性，从而得出结论.【详解】若tan tan 1αβ=，则1tan ta 2n tan παββ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()2k k παπβ=+-∈Z ，即()2k k παβπ+=+∈Z ．又()0,2αβπ+∈，故0k =或1k =，充分性不成立；若2παβ+=，即2παβ=-，所以1tan tan 2tan παββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以tan tan 1αβ=，所以必要性成立．故选：D ．22．（2024·陕西榆林·二模）已知π7π1cos cos 12125αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πc 23os +α⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．2325-B ．2325C ．2425-D ．2425【答案】C【分析】利用诱导公式和倍角公式化简求值.【详解】7ππππcos cos sin 1212212ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由π7π1cos cos 12125αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有ππ1cos sin 12125αα⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边平方得π11sin 2625α⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则π24sin 2625α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故2ππππ24cos 2+=cos 2+=sin 2=225366ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.23．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）已知α为第二象限的角，且3cos 5α=-，则()sin πα-的值为（）A ．45B ．45-C ．35-D ．35【答案】A【分析】先根据平方关系求出sin α，再利用诱导公式即可得解.【详解】因为α为第二象限的角，且3cos 5α=-，所以4sin 5α=，所以()4sin πsin 5αα-==.故选：A.24．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知π02α<<，且π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．4B ．14-C ．4D ．14【答案】C【分析】根据角的范围及正弦值求出余弦值，进而利用诱导求出答案.【详解】因为π02α<<，所以ππ36π3α-<-<，又π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πcos 3α⎛⎫-== ⎪⎝⎭45πππππs 62in c 3sin cos os 33αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C25．（2024·全国·模拟预测）已知π1tan 22θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()33sin 2cos sin πθθθ+=+（）A ．35B ．56C ．56-D ．35-【答案】D【分析】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.【详解】由题意得πsin cos 12πsin 2cos 2θθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=-，故()()33333322sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin πsin sin sin cos θθθθθθθθθθθ+++==-+-+333323sin 2cos tan 2823sin sin cos tan tan 825θθθθθθθθ++-+=-=-=-=-++--.故选：D.26．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）若π2αβ+=sin αβ+=tan α=（）A．2BC ．1D【答案】B【分析】由诱导公式可得出sin cos βα=，根据已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出这两个量的值，结合同角三角函数的商数关系可求得tan α的值.【详解】因为π2αβ+=，则π2βα=-，πsin sin cos 2αβαααα⎛⎫+=+-=+= ⎪⎝⎭联立22cos sin cos 1αααα+=+=⎪⎩sin cos αα⎧=⎨⎪=⎪⎩因此，sin tan cos 3ααα==故选：B.27．（2024高三上·四川成都·阶段练习）已知角α的终边过点()1,3，则πcos(π)cos()2αα-++的值是（）A．B．C．D【答案】A【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式计算得解.【详解】由角α的终边过点()1,3，得r =，31sin r r αα====，所以πcos(π)cos()cos sin 210105αααα-++=--=--=-.故选：A28．（2024高三上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()4,3P -，则()3πsin 2cos π22αα⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．1425-B ．1425C ．1725-D ．1725【答案】A【分析】根据任意角的三角函数的定义可得sin α，再利用诱导公式、二倍角公式运算求解.【详解】由题意得，5OP ==，则3sin 5α=-，则()3πsin 2cos π2cos 2cos 22cos 22ααααα⎛⎫++-=--=- ⎪⎝⎭()22314212sin 212525α⎡⎤⎛⎫=--=-⨯-⨯-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．故选：A ．29．（2024高三上·安徽·期中）已知()sin ,cos P θθ是角π3-的终边上一点，则tan θ=（）A ．B ．C D 【答案】B【分析】由三角函数的定义可得sin ,cos θθ，进而由商数关系可求tan θ.【详解】因为()sin ,cos P θθ是角π3-的终边上一点，所以π1πcos sin ,sin cos 3232θθ⎛⎫⎛⎫-==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin tan cos 3θθθ==，故选：B.30．（2024高三上·安徽·期中）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,4P -，则()cos 2cos 2πθπθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭（）A ．5-B ．5-C ．0D ．5【答案】C【分析】根据终边上的点可求得：sinθ=cos θ=，再结合三角函数诱导公式从而求解.【详解】因为：r OP ==（O 为坐标原点），所以:由三角函数的定义，得sin θ==cos θ==所以：()cos 2cos sin 2cos 02πθπθθθ⎛⎫--+=+= ⎪⎝⎭.故C 项正确.故选：C.31．（2024高一上·江苏常州·阶段练习）若π1cos()63α+=，则5π5πcos()sin()63αα--+=（）A ．0B ．23C．13+D．13-【答案】A【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【详解】依题，令π6t α+=，则15ππsin ,ππ366t t αα⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，5π3ππ3π3262t αα+=++=+，所以5π5πcos()sin()63αα--+3π=cos(π)sin()2t t --+cos cos 0t t =-+=.故选：A32．（2024高三上·重庆永川·期中）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos cos 22π4θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．35-C ．3D ．53【答案】B【分析】由条件π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭化简求得tan 3θ=，将所求式子利用三角恒等变换化简再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果.【详解】由π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=--，又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=，()()22πcos cos2sin cos sin2sin cos sinπsin cos4θθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎪-⎝⎭∴==-+⎛⎫+⎪⎝⎭2222222sin cos sin tan tan333sin cos tan1315θθθθθθθθ---====-+++.故选：B.33．（2024高一下·山东潍坊·阶段练习）下列化简正确的是（）A．()tanπ1tan1+=-B．()()sincostan360ααα-=-C．()()sinπtancosπααα-=+D．()()()cosπtanπ1sin2πααα---=-【答案】B【分析】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.【详解】对于A，由诱导公式得，()tanπ1tan1+=，故A错误；对于B，()()sin sin sincossintantan360cos aααααααα--===-- ，故B正确；对于C，()()sinπsintancosπcosααααα-==-+-，故C错误；对于D，()()()()()sincoscosπtanπcos tan cos1sin2πsin sinαααααααααα⋅----==-=---，故D错误.故选：B.二、多选题34．（2024·辽宁·模拟预测）设α为第一象限角,π1cos83α⎛⎫-=⎪⎝⎭,则（）A．5π1sin83α⎛⎫-=-⎪⎝⎭B．7π1cos83α⎛⎫+=-⎪⎝⎭C．13πsin83α⎛⎫-=-⎪⎝⎭D．πtan8α⎛⎫-=-⎪⎝⎭【答案】BD【分析】首先由题意得π8α-是第一象限角,所以πsin 83α⎛⎫-=⎪⎝⎭,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.【详解】由题意得π2π2π,Z 2k k k α<<+∈,则ππ3π2π2π,Z 888k k k α-<-<+∈,若π8α-在第四象限,则ππ1cos cos 8423α⎛⎫->=⎪⎝⎭,所以π8α-也是第一象限角,即πsin 8α⎛⎫-=⎪⎝⎭5πππππ1sin sin cos cos 828883αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A 项错误;7πππ1cos cos πcos 8883ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B 项正确;13π3ππππ1sin sin cos cos 828883αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,C 项错误;πsin ππ8tan tan 2π88cos 8αααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--=-=- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭项正确.故选:BD.35．（江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一上学期12月联合质量检测数学试卷）质点P 和Q 在以坐标原点O 1的圆O 上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P 的角速度大小为2rad /s ，起点为圆O 与x 轴正半轴的交点，Q 的角速度大小为5rad /s ，起点为角π3-的终边与圆O 的交点，则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（）A ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5π5πcos ,sin 99⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】由题意列出重合时刻t 的表达式，进而可得Q 点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】点Q 的初始位置1Q ，锐角1π3Q OP ∠=，设t 时刻两点重合，则π522π(N)3t t k k -∈=+，即π2π(N)93k t k +∈=，此时点ππcos 5,sin 533Q t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2π10π2π10πcos ,sin 9393k k Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(N)k ∈，当0k =时，2π2πcos ,sin 99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；当1k =时，32π32πcos ,sin 99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即5π5πcos ,sin 99Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当2k =时，9,62π62πcos sin 9Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即ππcos ,sin 99Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 正确；由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B 错误，故选：ACD.36．（2024高一下·河南焦作·阶段练习）已知角,A B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（）A ．()sin sinBC A +=B ．sin cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()cos cos A B C +<D ．sin cos A B<【答案】ABC【分析】根据三角形内角和及诱导公式，三角函数单调性一一判定选项即可.【详解】由题易知()()πsin sin πsin 2A B C A B C B C A A π⎛⎫++=<⇒+=-= ⎪⎝⎭、、，πsin sin cos 222A B C C +-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()cos cos πcos 0cos A B C C C +=-=-<<，即A 、B 、C 结论成立.对于D ，由锐角三角形知，2A B π+>，得ππ022B A <-<<，因此πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以错误.故选：ABC37．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC 中，下列关系式恒成立的有（）A ．()sin sin ABC +=B ．cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin 22sin20A B C ++=D ．()cos 22cos20A B C ++=【答案】ABC【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】对于A 中，由()()sin sin sin A B C C π+=-=，所以A 正确；对于B 中由cos cos sin 2222A B C C π+⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，由()()()sin 22sin2sin 2sin2sin 2sin2A B C A B C C Cπ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()sin 22sin2sin2sin20C C C C π=-+=-+=，所以C 正确；对于D 中，()cos(22)cos2cos 2cos2cos[2()]cos2A B C A B C C Cπ⎡⎤++=++=-+⎣⎦()cos 22cos2cos2cos22cos2C C C C C π=-+=+=，所以D 错误．故选：ABC.38．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论正确的有（）A ．sin cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()22sin 15cos 751αα-++=D ．()()22sin 15sin 751αα-++=【答案】ABD【解析】本题可通过诱导公式将sin 6απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 正确，然后通过诱导公式将5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭转化为2sin 3πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B 正确，最后根据()()sin 15cos 75 αα-=+以及同角三角函数关系判断出C 错误以及D 正确.【详解】A 项：sin sin cos cos 63332πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 正确；B 项：因为522cos sin sin sin 6333ππππθθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；C 项：因为()()()sin 15sin 75cos 752πααα⎡⎤-=-+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()()222sin 15cos 752cos 751ααα-++=+≠，C 错误；D 项：()()()()2222sin 15sin 75cos 75sin 751αααα-++=+++=，D 正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭、()cos cos αα=-、sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22cos sin 1αα+=等，考查化归与转化思想，是中档题.39．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（）A ．cos 1sin 1sin cos x xx x-=+B ．221sin 12tan sin cos tan x x x x x++=C ．()()sin 53cos 37x x -=+D ．()()sin 60cos 480x x -=+【答案】ABC【分析】对于A 、B ，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C 、D ，由诱导公式进行化简证明即可.【详解】对于A ，()()()()()22cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x----====++--，故A 正确；对于B ，()2222222sin cos sin 1sin cos 2sin 12tan sin cos sin cos sin cos tan x x x x x x x x x x x x x x+++++===，故B 正确；对于C ，()()()sin 53sin 9037=cos 37x x x ⎡⎤-=-++⎣⎦，故C 正确；对于D ，()()()()cos 480=cos 0=cos 18060=cos 0126x x x x -⎡⎤++---⎣⎦，故D 错误.故选：ABC.三、填空题40．（2024·全国）若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=．【答案】5-【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得sin θ=或sin θ=（舍去），所以sin cos sin 2sin sin -=-=-=-θθθθθ故答案为：5-.41．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知tan α=-2απ<<π，那么sin cos 1αα=+.【分析】由同角三角函数关系及已知条件求得1sin 33αα==-，代入目标式求值即可.【详解】由tan α=-2απ<<π，则1sin 33αα==-，所以sin cos 1αα=+.42．（2024高三·全国·对口高考）若sin cos 2sin cos x xx x-=+，求sin cos x x 的值为.【答案】310-/0.3-【分析】由已知求出tan 3x =-，再将sin cos x x 化为22sin cos sin cos x xx x+，利用齐次式法求值，即得答案.【详解】由sin cos 2sin cos x xx x-=+可得sin cos 2(sin cos ),sin 3cos x x x x x x -=+∴=-，因为cos 0x =不适合sin cos 2sin cos x xx x-=+，故cos 0x ≠，所以tan 3x =-，故222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110x x x x x x x x -====-+++，故答案为：310-43．（2024高三上·江西南昌·阶段练习）若4tan 3θ=，则sin cos sin cos θθθθ-=+.【答案】17【分析】分式上下同除以cos θ，化弦为切，代入4tan 3θ=求值即可.【详解】4tan 3θ= ，sin 411sin cos tan 11cos 3sin 4sin cos tan 1711cos 3θθθθθθθθθθ----∴====++++.故答案为：17.44．（2024·上海浦东新·模拟预测）已知sin cos αα､是关于x 的方程2320x x a -+=的两根，则=a .【答案】56-【分析】先通过根与系数的关系得到sin ,cos αα的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.【详解】由题意：Δ41202sin cos 3sin cos 3a a αααα⎧⎪=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以13a ≤，所以()224sin cos 12sin cos 139a αααα+=+=+=，即650a +=，解得56a =-.故答案为：56-.45．（2024高三·全国·专题练习）已知1sin cos 4αα-=，则33sin cos αα-=．【答案】47128【分析】由立方差公式，得()()3322sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=-++.将1sin cos 4αα-=两边平方，解得15sin cos 32αα=，代入即可得解.【详解】由题知()()3322sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=-++，因为1sin cos 4αα-=，两边平方有112sin cos 16αα-=，所以15sin cos 32αα=，所以()3311547sin cos 1432128αα-=⨯+=.故答案为：47128.46．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知23sin 2m m α-=+，1cos 2m m α+=-+，且α为第二象限角，则()()sin 2024πcos 2023π2021πcos 2ααα+++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】73-/123-【分析】由已知可求出m 的取值范围，由同角三角函数的平方关系求出m 的值，可求出tan α的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为23sin 2m m α-=+，1cos 2m m α+=-+，且α为第二象限角，则2302102m m m m -⎧>⎪⎪+⎨+⎪-<⎪+⎩，解得2m <-或32m >，因为22222223151010sin cos 12244m m m m m m m m αα-+-+⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，整理可得22730m m -+=，即()()2130m m --=，解得12m =（舍）或3m =，所以，233sin 25m m α-==+，14cos 25m m α+=-=-+，所以，sin 353tan cos 544ααα⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，因此，()()sin 2024πcos 2023πsin cos 147112021πsin tan 33cos 2ααααααα+++-==-+=--=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：73-.47．（2024·全国·模拟预测）若()223ππ1cos cos 714f x x x ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦，则()f x 的最大值为，()f x 的最小值为．【答案】91【分析】借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值.【详解】因为πππ3π3πcos sin sin sin 1421477x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=，此式可看作点(到点3π3πcos ,sin 77x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的距离．而点3π3πcos ,sin 77x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的轨迹是圆221+=m n ．又点(到圆心()0,0的距离为2，所以()f x 的最大值()()2max 219f x =+=，()f x 的最小值()()2min 211f x =-=．故答案为：9；1【点睛】将所给函数式展开必将陷入命题人的圈套，此时要整体把握目标，借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值，既简单又节省时间．本题不仅要求学生具备扎实的基本功，具有整体把握目标的能力，还对学生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力、运算求解能力等要求较高．48．（2024·四川绵阳·三模）已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin π3θ+=-，则tan θ=.【答案】【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.【详解】由()sin π3θ+=-得sin 3θ=，由π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos θ=-，故sin tan cos θθθ==故答案为：2-49．（2024·山西阳泉·三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-=⎪⎝⎭．【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.【详解】因为ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ5π,61212α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故πcos 06α⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦50．（2024·浙江温州·二模）已知tan x =，则23sin 2sin cos x x x -=.【分析】利用同角三角函数的关系化简23sin 2sin cos x x x -为齐次式，再代入tan x =.【详解】因为tan x =，所以2222223sin 2sin cos 3tan 2tan 3sin 2sin cos sin cos 1tan x x x x xx x x x x x---==++、()2231⨯-==+51．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知tan 2θ=，则1sin 2cos 2θθ+的值是．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将tan 2θ=代入即可.【详解】因为tan 2θ=，所以2211sin 2cos 22sin cos cos sin θθθθθθ=++-2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ+=+-221tan 2tan 1tan θθθ+=+-221252212+==⨯+-，故答案为：5.52．（2024高三·全国·专题练习）已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=．【答案】125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.【详解】解：已知7sin cos 13αα+=①，则()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=，60sin cos 0169αα=-<，0πα<< ，sin 0α∴>，则cos 0α<，sin cos 0αα->，17sin cos13αα∴-===②，联立①②，得12sin 13α=，5cos 13α=-12tan 5α∴=-，故答案为：125-.53．（2024高三上·湖南衡阳·期中）已知sin cos 3αα-=-，则sin 2α=．【答案】79【分析】sin cos 3αα-=-平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.【详解】sin cos αα-=两边平方得：()22sin cos 12sin cos 1sin 29ααααα-=-=-=，解得：7sin 29α=.故答案为：7954．（2024·全国·模拟预测）已知π1sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 6α5π⎛⎫-=⎪⎝⎭.【答案】15/0.2【分析】由三角函数的诱导公式化简可得.【详解】由题可得5π5ππππ1cos cos cos sin 663235αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：1555．（2024高三上·内蒙古包头·阶段练习）若πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πtan 4θ⎛⎫-=⎪⎝⎭.【答案】【分析】以π4θ+为整体，根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：πππ1tan tanπ442tan 4θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭故答案为：56．（2024高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知()1sin 535α︒-=，且27090α-︒<<-︒，则()sin 37α︒+=．【答案】【分析】设53βα︒=-,37γα︒=+,则90βγ︒+=,90γβ︒=-，从而将所求式子转化成求cos β的值，利用α的范围确定cos β的符号.【详解】设53βα︒=-,37γα︒=+,那么90βγ︒+=,从而90γβ︒=-.于是()sin sin 90cos γββ︒=-=.因为27090α︒︒-<<-,所以143323β︒︒<<.由1sin 05β=>,得143180β︒︒<<.所以cos β===所以()sin 37sin 5αγ︒+==-.故答案为：57．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【答案】12-/-0.5【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.【详解】因为角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，所以||1r OP ==13π12sin cos 212x r αα⎛⎫-=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故答案为：12-.58．（2024高一·全国·课后作业）若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-．【分析】化简得到3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎫⎪⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，考虑角α为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.【详解】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，当角α为第一象限角时，cos sin αα==，cos sin αα--==当角α为第三象限角时，cos sin αα==cos sin 22αα--=+=或.四、解答题59．（2024高三·全国·专题练习）已知角α的终边落在直线2y x =上．求(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+的值；(2)25sin 3sin cos 2ααα+-的值．【答案】(1)613(2)165【分析】由角α的终边落在直线2y x =上可得tan 2α=，再根据同角函数的关系求解即可.【详解】（1）由角α的终边落在直线2y x =上可得tan 2α=则原式=4tan 28265tan 310313αα--==++；（2）原式222225sin 3sin cos 5tan 3tan 20616222sin cos tan 155αααααααα+++=-=-=-=++.60．（2024高一下·安徽·期中）已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P (),x y ，若点P 位于x 轴上方且12x y +=.(1)求sin cos θθ-的值；(2)求44sin cos θθ+的值.【答案】(2)2332【分析】（1）根据cos sin θθ+，cos sin θθ-，cos sin θθ三个直接的关系，可得sin cos θθ-.（2）由4422sin cos 12sin cos θθθθ+=-可得.【详解】（1）由三角函数的定义，1cos sin 2θθ+=，sin 0θ>，两边平方，得221cos sin 2sin cos 4θθθθ++=则32sin cos 04θθ=-<，sin 0θ>，cos 0θ<，所以sin cos 0θθ->，sin cos2θθ-=.（2）由（1）知，3sin cos 8θθ=-，4422222923sin cos (sin cos )2sin cos 126432θθθθθθ+=+-=-⨯=.。

1.2.2 同角三角函数的基本关系【课标要求】1．理解同角三角函数的基本关系式．2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．【核心扫描】1．同角三角函数基本关系式．(重点)2．基本关系式的变形及其应用．(难点)新知导学同角三角函数的基本关系式温馨提示：同角的两层含义：一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立；二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等． 互动探究探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确定？题型探究类型一 利用同角基本关系式求值【例1】 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[规律方法] 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin 2α＋cos 2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解．【活学活用1】 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．类型二 三角函数式的化简【例2】 化简下列各式： (1)1－sin 2400°；(2) 1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°； (3)1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α<0.[规律方法] 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【活学活用2】 化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2.类型三 三角函数式的证明【例3】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简．(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．【活学活用3】 求证：sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.易错辨析 忽略角的取值范围，造成增根或丢根【示例】 已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π，求sin θ－cos θ的值． [错解] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125， 解得sin θcos θ＝－1225. ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925， 故sin θ－cos θ＝±75. [错因分析] 该解法忽略了角θ的取值范围．根据0<θ<π这一条件，可以确定sin θ－cos θ的符号．[正解] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925.∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝75. [防范措施] 在已知sin θcos θ的值求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时需开方，因此要 根据角的范围确定正负号的选择.课堂达标1．化简 1－sin 2π5的结果是( )． A ．sin π5B ．－sin π5C ．cos π5D ．－cos π5 2．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α的值为( )． A ．1 B ．－1 C.34 D ．－433．已知0<x <π2，cos x ＝45，则tan x ＝________. 4．化简1－2sin 40°cos 40°＝________.5．已知cos α＝－35，求sin α及tan α的值．课堂小结1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． 2．已知角α的某一种三角函数值，求解α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形、以便于应用同角三角函数关系来求解.参考答案互动探究探究点1 提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而sin αcos α＝tan α并不是对任意角α∈R 都成立，这时α≠k π＋π2，k ∈Z . 探究点2 提示 其正负号是由角α所在的象限决定．题型探究类型一 利用同角基本关系式求值【例1】【解】∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么 sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 【活学活用1】【解】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α① 又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 类型二 三角函数式的化简【例2】 【解】(1) 1－sin 2400°＝ cos 2400°＝|cos 400°|＝|cos(360°＋40°)|＝|cos 40°|＝cos 40°. (2)1－2 sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210° ＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (3)由于sin α·tan α<0，则sin α，tan α异号，∴α是第二、三象限角，∴cos α<0，∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝(1－sin α)21－sin 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α ＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α. 【活学活用2】【解】原式＝ ⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋ ⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22 ＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos α2－sin α2>0，sin α2＋cos α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2. 类型三 三角函数式的证明【例3】【证明】∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．【活学活用3】【证明】法一 sin 2α＋cos 2α＝1⇒1－cos 2α＝sin 2α⇒(1－cos α)(1＋cos α)＝sin α·sin α⇒sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 法二 sin α1－cos α－1＋cos αsin α＝sin 2α－(1＋cos α)(1－cos α) (1－cos α)sin α＝sin 2α－(1－cos 2α)(1－cos α)·sin α＝sin 2α－sin 2α(1－cos α)·sin α＝0， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 课堂达标1．C【解析】∵0<π5<π2，∴cos π5>0. ∴1－sin 2π5＝ cos 2π5＝cos π5. 2．A【解析】由条件，得sin α＝cos α，∴tan α＝1.3．34【解析】本题是同角三角函数关系的运算问题，需先求出sin x ，再求tan x ．sin x ＝1－cos 2x ＝35，tan x ＝sin x cos x ＝34. 4．cos 40°－sin 40°【解析】原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.5．【解】∵cos α＝－35<0，∴α是第二、三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0，∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，tan α＝sin αcos α＝－43；若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第29讲同角三角函数的基本关系与诱导公式考向预测核心素养考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变换的技能以及基本的运算能力.数学运算、逻辑推理一、知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎪⎫其中α≠kπ＋π2，k∈Z.2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cos α－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tan αtanα－tanα－tanα常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 185习题5.2T 6(2)改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B.－513C.513D.213解析：选A.因为α是第二象限角，所以cos α＜0，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213. 2．(人A 必修第一册P 195习题5.3T 8改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋α＝________． 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：12123．(人A 必修第一册P 194练习T 3(1)改编)化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos (2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.答案：sin α一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( ) (3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1．(多选)(应用平方关系致误)已知cos (π＋α)＝23，则tan α＝( )A.52B.255 C.－52D.－255解析：选AC.因为cos (π＋α)＝23，所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝∓52.2．(忽视诱导公式符号致误)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1，2，－2} B.{－1，1}C ．{2，－2}D.{1，－1，0，2，－2}解析：选C.当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； 当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．(忽视角的范围致误)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：因为sin θ＋cos θ＝43，所以sin θcos θ＝718.又因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23考点一 同角三角函数的基本关系(自主练透)复习指导：理解同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α(其中α≠k π＋π2，k ∈Z )．1．已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α＝( )A.1517B.－1517C.817D.－817 解析：选D.因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815， 所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289， 又α是第四象限角，所以sin α＝－817. 2．(多选)(2022·湛江二十一中9月月考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，下列计算结果正确的是( )A ．tan α＝12B.tan α＝2C ．cos 2α＋sin αcos α＝35 D.2sin 2α－cos 2α＝65解析：选BC.由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，故A 错误，B 正确；cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋24＋1＝35，故C 正确；2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－1tan 2α＋1＝75，故D 错误．3．已知π2＜α＜π，化简：cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α＝________． 解析：因为π2＜α＜π，所以cos α＜0，sin α＞0，所以原式＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.答案：04．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．解析：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，且sin α＞0，cos α＜0，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos α＝－31010，sin α＝1010， 故sin α＋cos α＝－105.答案：－105同角三角函数的基本关系的应用策略(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．考点二 诱导公式的应用(综合研析)复习指导：借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α、π±α的正弦、余弦、正切. (1)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2 021π2＝( )A ．－45B.－35C.35D.45(2)(2022·江西临川九校联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan (π＋α)＝( ) A ．－1517B.1517C.－817 D.817(3)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）＝________．【解析】 (1)由题意知sin α＝45，cos α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 021π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝－35. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－1517，所以sin α＝1－cos 2α＝817，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan (π＋α)＝817 . (3)由题可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)B (2)D (3)32(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止； ②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角 ①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等． |跟踪训练|1．已知cos α＝13，且－π2<α<0，则cos （－α－π）sin （2π＋α） tan （2π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________．解析：因为cos α＝13，且－π2<α<0，所以sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223，所以原式＝－cos αsin α（－tan α）－cos α（－sin α）＝tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案：－2 22．(2022·江西上饶模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12的值为________．解析：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝13，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13. 答案：13考点三 同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用(思维发散)复习指导：利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13(2)已知－π＜x ＜0，sin (π＋x )－cos x ＝－15.求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x 的值．【解】 (1)选C.由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1， 化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)． (2)由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425. 因为(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π＜x ＜0知，sin x ＜0， 又2sin x cos x ＝－2425＜0， 所以cos x ＞0，所以sin x －cos x ＜0， 故sin x －cos x ＝－75.sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin xcos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.本例(2)中若将条件“－π＜x ＜0”改为“0＜x ＜π”，求sin x －cos x 的值． 解：若0＜x ＜π，又2sin x cos x ＝－2425，所以sin x ＞0，cos x ＜0，所以sin x －cos x ＞0，故sin x －cos x ＝75.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路 ①分析结构特点，选择恰当的公式； ②利用公式化成单角三角函数； ③整理得最简形式. 化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.|跟踪训练|1．(2022·潍坊调研)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝( )A ．－53B.－35C.35D.53解析：选A.由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53.2．已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 023)的值为________．解析：由题意得f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，所以f (2 023)＝a sin (2 023π＋α)＋b cos (2 023π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos (π＋β) ＝－a sin α－b cos β＝－3. 答案：－3[A 基础达标]1．sin 1 050°＝( ) A.12B.－12C.32D.－32解析：选B.sin 1 050°＝sin (3×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.2．(2022·河北冀州中学期末)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos (π＋α)＝( ) A ．－25B.－15C.15D.25解析：选B.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15， 所以cos (π＋α)＝－cos α＝－15.3．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （2π＋θ）＝( )A ．2 B.－2 C.0D.23解析：选B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （2π＋θ）＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于( )A ．2 B.12 C.－2D.－12解析：选A.由已知得1＋2sin αcos α＝2， 所以sin αcos α＝12，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2. 5．(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，n (n >0)，将角α的终边按逆时针方向旋转π2后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q ，则下列结论正确的为( )A ．tan α＝34B.sin β＝45C ．tan β＝43D.Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45解析：选ABD.由题意知cos α＝45，角α的终边在第一象限，则n ＝sin α＝1－cos 2α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝34，A 正确．由题意知β＝α＋π2，所以cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－35，sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝45， tan β＝sin βcos β＝－43，即Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，所以可得B ，D 正确，C 错误． 6．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sinB ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C解析：选ABC.在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π， 则sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，A 正确． sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确． tan(A ＋B )＝tan (π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2，C 正确． cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ，D 错误．7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225. 因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α. 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35458．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________．解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40° ＝1. 答案：19．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265. 10．已知－π2＜α＜0，且函数f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解：(1)f (α)＝sin α－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425. 所以sin αcos α＝－1225. 又－π2＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＜0，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，所以sin α－cos α＝－75. [B 综合应用]11．已知sin (π＋θ)＝－3cos (2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝( ) A ．－π6B.－π3C.π6D.π3解析：选D.因为sin (π＋θ)＝－3cos (2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ， 所以tan θ＝3，因为|θ|＜π2，所以θ＝π3. 12．(2022·南阳第一中学高三月考)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin 2αsin 2β的值为( )A.13B.－13C.3D.－3解析：选A.因为tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，sin 2αsin 2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]sin[（α＋β）－（α－β）]＝sin （α＋β）cos （α－β）＋cos （α＋β）sin （α－β）sin （α＋β）cos （α－β）－cos （α＋β）sin （α－β） ＝tan （α＋β）＋tan （α－β）tan （α＋β）－tan （α－β）＝－1＋12－1－12＝13. 13．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝( )A.35B.53C.45D.54解析：选B.由题解得方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α（－cos α）tan 2αsin α（－sin α）（－sin α）＝－1sin α＝53.14．(2022·杭州新东方高三数学考试)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3的值为________．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－33－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝0. 答案：0[C 素养提升]15．若k ∈Z 时，sin （k π－α）·cos （k π＋α）sin[（k ＋1）π＋α]·cos[（k ＋1）π＋α]的值为________．解析：当k 为奇数时，原式＝sin α·（－cos α）sin α·cos α＝－1；当k 为偶数时，原式＝－sin α·cos α－sin α·（－cos α）＝－1.答案：－116．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin (3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. 所以cos 2α＝12，所以cos α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tan α＝sin αcos α的关系中，须保证tan α有意义，所以须使α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2 α＋cos 2 α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切tan αtan α－tan α－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) (A)－32 (B)32 (C)－12(D)12D 解析：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.故选D.2．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )(A)12 (B)－12 (C)32(D)－32A 解析：∵f (α)＝sin αcos α(－cos α)·(－tan α)＝sin αtan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tan α·cos α等于( ) (A)12 (B)－12 (C)－32(D)32C 解析：若α＝113π，tan α·cos α＝sin αcos α·cos α＝sin α＝sin 113π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝－sin π3＝－32.故选C.4．已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435．已知sin x cos x ＝38，且x ∈π4，π2，则cos x －sin x ＝________. 解析：因为x ∈π4，π2， 所以sin x >cos x ， 即cos x －sin x <0，所以(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，所以cos x －sin x ＝－12. 答案：－12考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )(A)25 (B)－25 (C)－2(D)2解析：(1)依题意得⎩⎨⎧tan α＝sin αcosα＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，由此解得cos 2 α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan α＋1＝25.答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)，k∈Z；(2)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α；(3)化简tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 cos(－α－π)sin(－π－α).解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α)sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos(π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以原式＝sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.(2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2 α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.(3)方法一：原式＝(－tan α)·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝(－tan α)·[－cos (π－α)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)·sin α＝－tan α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.方法二：原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.【反思归纳】 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【即时训练】 已知sin(3π＋θ)＝13， 求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用 (高频考点)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．求： (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0， ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin 3 θ＋cos 3 θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2 θ－sin θcos θ＋cos 2 θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.答案：(1)2－2 (2)2＋1【反思归纳】 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．【即时训练】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sin α＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sin α＋2π3＝________. 解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49， 所以sin αcos α＝－518<0，所以α为钝角．故选D. (2)因为π2<α<π，所以2π3<α＋π6<7π6， cos α＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sin α＋2π3＝sin π2＋α＋π6＝cos α＋π6＝－1213. 答案：(1)D (2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简： (1)cos α－π2sin 52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α).解：(1)原式＝cos π2－αsin π2＋α·sin α·cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α.(2)原式＝cos 2α－tan α－sin α＝cos 3α＋1cos α.【规律总结】 三角函数式化简目标方向 (1)用同角关系中切弦互化，统一函数名． (2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．【源题变式】已知f (x )＝sin (2π－x )·cos 32π＋xcos (3π－x )·sin 112π－x ，则f －21π4＝________.解析：因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin6π－π2＋x＝sin 2xcos x －sin π2＋x ＝sin 2x －cos 2x ＝－tan 2x . 所以f －214π＝－tan 2－214π＝－tan 2－5π－π4＝－tan 2－π4＝－1.答案：－1课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)210 (B)－210 (C)7210(D)－7210A 解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，即tan α＝43，得sin α＝－45，cos α＝－35∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) (A)－25(B)－15(C)15 (D)25答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )(A)45 (B)35 (C)－45(D)－35 D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－35，故选D.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )(A)916 (B)－916 (C)－34 (D)34答案：B5．已知α是第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α的值为( ) (A)－2 (B)2 (C)0(D)3C 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α|cos α|＋sin α|sin α|，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α|cos α|＋sin α|sin α|＝－1＋1＝0.故选C.6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) (A)π3 (B)π4 (C)π2(D)2π3C 解析：因为3sin π2－A ＝3sin(π－A )， 所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33， 又0<A <π，所以A ＝π6.又因为cos A ＝－3cos(π－B )， 即cos A ＝3cos B ， 所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π， 所以B ＝π3.所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 7．设f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝________. 解析：方法一：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .方法二：f (sin x )＝3－(1－2sin 2 x )＝2＋2sin 2 x ， ∴f (x )＝2＋2x 2，∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋2cos 2x －1＝3＋cos 2x . 答案：3＋cos 2x8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )的结果为________． 解析：n 为偶数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. n 为奇数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. 答案：09．已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________.解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23.答案：－2310．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan (α＋5π)tan (－α－π)·sin (α－3π)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·(－sin α)＝－cos α；(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．已知2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α＝75，求tan α的值．解：由题意得2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝75， 所以2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝75， 所以10tan 2α＋5tan α－15＝7tan 2α＋7，所以3tan 2α＋5tan α－22＝0，所以(3tan α＋11)(tan α－2)＝0，所以tan α＝－113或tan α＝2.能力提升练(时间：15分钟)12．设f (x )＝⎩⎨⎧ s in πx ， (x ＜0)，f (x －1)＋1， (x ≥0)和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosπx ，(x ＜12)，g (x －1)＋1，(x ≥12)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值为( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)5 B 解析：∵g (14)＝22，g (56)＝cos(－16π)＋1＝32＋1，f (13)＝sin(－23π)＋1＝－32＋1，f (34)＝sin(－π4)＋1＝－22＋1，∴原式＝3.故选B.13．已知sin θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则sin(π－θ)·sin(32π－θ)的值为( )(A)229(B)－229 (C)19(D)－19B 解析：∵θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223， ∴sin(π－θ)sin(3π2－θ)＝－sin θcos θ＝－13×223 ＝－229.故选B.14．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π315．在三角形ABC 中，求cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2的值． 解：在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2， 所以cos A ＋B 2＝cos π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. 16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12 ①sin θcos θ＝m 2 ②而sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34.由②得m 2＝34，∴m ＝32. (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝32sin θ＝12. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.。

压轴题03三角函数压轴题题型/考向一：三角函数的图像与性质题型/考向二：三角恒等变换题型/考向三：三角函数综合应用一、三角函数的图像与性质热点一三角函数图象的变换1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍.热点二三角函数的图象与解析式已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ，B ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.热点三三角函数的性质1.单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间.2.对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴.3.奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数.二、三角恒等变换热点一化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.热点二三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.○热○点○题○型一三角函数的图像与性质一、单选题1．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（）A ．周期是2πB ．非奇非偶函数C ．图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增【答案】D【详解】()πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则()7πππ2sin 2sin 1243g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πT =，故A 正确；因为()π2sin 3g x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，则()()()(),g x g x g x g x -≠-≠-，故函数()g x 是非奇非偶函数，故B 正确；2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A ．11sin sin 2sin 323=++y x x xB ．11sin 2sin 323y x x x=--C ．11sin cos 2cos323y x x x=++D ．11cos cos 2cos323y x x x=++3移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π3A．B．C ．D ．5．已知函数()()2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足()()5π605π12f x f f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭的正整数x 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 以2π为周期B ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数9()10y f x =+在[0,π]上有两个零点故选：BD.7．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos 32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫-⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=【答案】BCD【详解】令0x y ==，得()00f =，故B 正确；9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1km 的圆，观光车从起始站点P 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t 小时.A ，B 是沿途两个站点，C 是终点站，D 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且π,,6BOA OA OC OA OD ∠=⊥⊥.若要求起始站点P 无论位于站台B ，C 之间的任何位置（异于B ，C ），观光车在ππ,124t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的时间内，都要至少经过两次终点站C ，则下列说法正确的是（）A ．该观光车绕行一周的时间小于π6B ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内不一定会经过终点站C C ．该观光车的行驶速度一定大于52km /h3D ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内一定会经过一次观景点Ds t 于平衡位置的高度()cm h 可以田ππ2sin 24h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，则下列说法正确的是（）A ．小球运动的最高点与最低点的距离为2cmB ．小球经过4s 往复运动一次C ．()3,5t ∈时小球是自下往上运动D ．当 6.5t =时，小球到达最低点【答案】BD【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为()224cm --=，所以选项A 错误；因为2π4π2=，所以小球经过4s 往复运动一次，因此选项B 正确；当()3,5t ∈时，ππ7π11π,2444t ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C 错误；当 6.5t =时，ππ2sin 6.5224h ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选：BD○热○点○题○型二三角恒等变换一、单选题1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22sin 21αα+=，则sin α=（）A ．15B 5C ．45D 25【答案】D【详解】π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0,sin 0αα∴>>22cos 22sin 2cos sin 4sin cos 1αααααα+=-+= ①,又22sin cos 1αα+=②，由①②得25sin 5α=.故选：D.23，5，…，记BAC α∠=，DAC β∠=，则()cos αβ+=（）A 24-B 36C 36D 24+【答案】B⎝⎭A．-B．C．9D．9 94．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()()1122,,,A x y B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量,OA OB夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()sin ,cos P αα，()sin ,cos Q ββ，()sin ,cos R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan tan αβ⋅=（）A ．7B ．17C ．4D ．145．已知函数()()*sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =-在3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数())2sin 02f x x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω的值为（）A ．13B ．43C ．16D ．76二、多选题7．已知函数2()sin cos f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π()sin(2)3f x x =-B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到【答案】ABD中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=）.在顶角为BAC ∠的黄金ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（）A ．cos 342AD AC︒=B ．cos 27sin 27cos 27sin 27AD CD ︒+︒=︒-︒C ．AB在ACACD ．cos BAC ∠是方程324231x x x +-=的一个实根则AB在AC 上的投影向量为设cos x θ=，则()()222212121x x x x x -=--+-，整理得324231x x x +-=，D 正确.故选：ABD9．已知()cos 4cos 3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB 于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥则13(1,0),(3,0),(,),(22A C B D --设()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则由OQ xOC yOD =+ 可得cos θ=○热○点○题○型三三角函数综合应用1．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；2．已知2,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C 的对应边分别是,,,a b c 且a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．3．已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->.(1)若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =图象在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，2ϕ<）的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意π,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()π116f x f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.结合图像可知：5ππ7π4666t ≤-<，解得所以实数t 的取值范围为ππ,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.5．若实数，，且满足，则称､是“余弦相关”的.(1)若2x π=，求出所有与之“余弦相关”的实数y ；(2)若实数x ､y 是“余弦相关”的，求x 的取值范围；(3)若不相等的两个实数x ､y 是“余弦相关”的，求证：存在实数z ，使得x ､z 为“余弦相关”的，y ､z 也为“余弦相关”的.【答案】（2）由()cos cos cos x y x y +=+得cos cos sin sin cos cos x y x y x y -=+，()1sin sin cos cos cos x y x y x +-=-，()cos y x ϕ+=-，故cos x -≤，222cos cos x x ≤-，11cos x -≤≤，))121arccos ,arccos x π⎡⎤∈-⎣⎦（3）证明：先证明3x y ππ≤+≤，反证法，假设x y π+<，则由余弦函数的单调性可知()cos cos x y x +≤，()0cos cos cos y x y x ∴=+-≤，2y π∴≥，同理2x π≥，相加得x y π+≥，与假设矛盾，故x y π+≥.[]2202,,x y πππ--∈Q ，且()()()()()2222cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y ππππ⎡⎤-+-=+=+=-+-⎣⎦故22,x y ππ--也是余弦相关的，()()22x y πππ∴-+-≥，即3x y π+≤.记()3,z x y π=-+则[]02,z π∈.()()3cos cos cos x z y y π+=-=-,()()()3cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x z x x y x x y x x y y π+=+--=-+=-+=-()cos cos cos x z x z ∴+=+，故x ､z 为“余弦相关”的；同理y ､z 也为“余弦相关”的。

1.2.2 同角三角函数的基本关系一、A组1.化简sin2β+cos4β+sin2βcos2β的结果是()A. B. C.1 D.解析:原式=sin2β+cos2β(sin2β+cos2β)=sin2β+cos2β=1.答案:C2.(2016·某某某某实验中学检测)已知tan α=2,则sin2α-sin αcos α的值是()A. B.- C.-2 D.2解析:sin2α-sin αcos α==.答案:A3.(2016·某某某某十一中高一期中)(1+tan215°)cos215°的值等于()A. B.1 C.- D.解析:(1+tan215°)cos215°=cos215°=cos215°+sin215°=1.答案:B4.已知α是第四象限角,tan α=-,则sin α=()A. B.- C. D.-解析:∵α是第四象限角,∴sin α<0.由tan α=-,得=-,∴cos α=-sin α.由sin2α+cos2α=1,得sin2α+=1,∴sin2α=1,sin α=±.∵sin α<0,∴sin α=-.答案:D5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则的值为()A.2B.-2C.0D.2或-2解析:由题知,α为第二或第四象限角,原式=.当α为第二象限角时,原式=-=0.当α为第四象限角时,原式==0.综上,原式=0.答案:C6.在△ABC中,cos A=,则tan A=.解析:在△ABC中,可得0<A<π.∵cos A=,∴sin A=.∴tan A==2.答案:27.已知sin α=2m,cos α=m+1,则m=.解析:∵sin2α+cos2α=1,∴(2m)2+(m+1)2=4m2+m2+2m+1=1,∴m=0或m=-.答案:0或-8.(2016·某某某某溧水中学月考)若tan2x-sin2x=,则tan2x sin2x=.解析:tan2x sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x cos2x=tan2x-sin2x=.答案:9.若<α<2π,化简:.解:∵<α<2π,∴sin α<0.∴原式====-=-.10.求证:(1)sin4α-cos4α=2sin2α-1;(2)sin θ(1+tan θ)+cos θ.证明:(1)左边=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=右边,∴原式成立.(2)左边=sin θ+cos θ=sin θ++cos θ+===右边.∴原式成立.二、B组1.锐角α满足sin αcos α=,则tan α的值为()A.2-B.C.2±D.2+解析:将sin αcos α看作分母是1的分式,则sin αcos α=,分子、分母同时除以cos2α(cos α≠0),得,化成整式方程为tan2α-4tan α+1=0,解得tan α=2±,符合要求,故选C.答案:C2.化简的结果为()A.-cos 160°B.cos 160°C. D.解析:原式===|cos 160°|=-cos 160°,故选A.答案:A3.已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈,则tan θ的值为()A.-B.C.-或-D.与m的值有关解析:∵sin2θ+cos2θ=1,∴=1,解得m=0或m=8.∵θ∈,∴sin θ≥0,cos θ≤0.当m=0时,sin θ=-,cos θ=,不符合题意;当m=8时,sin θ=,cos θ=-,tan θ=-,故选A.答案:A4.已知cos,0<α<,则sin=.解析:∵sin2+cos2=1,∴sin2=1-.∵0<α<,∴<α+.∴sin.答案:5.导学号08720014若0<α<,则的化简结果是. 解析:由0<α<,得0<,所以0<sin<cos.故原式==cos-sin+sin+cos=2cos.答案:2cos6.(2016·某某某某溧水中学月考)若α∈(π,2π),且sin α+cos α=.(1)求cos2α-cos4α的值;(2)求sin α-cos α的值.解:(1)因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-.所以cos2α-cos4α=cos2α(1-cos2α)=cos2αsin2α=(sin αcos α)2=.(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2×,由(1)知sin αcos α=-<0,又α∈(π,2π),所以α∈.所以sin α<0,cos α>0,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cos α=-.7.导学号08720015已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ.求:(1)的值;(2)m的值.解:因为已知方程有两根,所以(1)==sin θ+cos θ=.(2)对①式两边平方,得1+2sin θcos θ=, 所以sin θcos θ=.由②,得,即m=.由③,得m≤,所以m=.。

三角函数【考纲要求】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数的定义.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x .3．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.4．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式． 5.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 6．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 【思维导图】【考点总结】 1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(l 表示弧长)角度与弧度的换算 ①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 【思维导图】【考点总结】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．2．三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan αtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限三、三角恒等变换【思维导图】【考点总结】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S 2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 四、三角函数的图象与性质 【思维导图】【考点总结】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上是递增函数，在 [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上是递减函数在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是递减函数在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上是递增函数周期性周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x ＝π2＋k π(k ∈Z )，对称中心是(k π，0)(k ∈Z )对称轴是x ＝k π(k ∈Z )，对称中心是(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称中心是(k π2，0)(k ∈Z ) 五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 【思维导图】【考点总结】1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ0π2π3π22πx －φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.【题型汇编】题型一：任意角的三角函数 题型二：同角三角函数的基本关系 题型三：三角函数的诱导公式 题型四：三角函数恒等变换 题型五：三角函数的图象和性质 【题型讲解】题型一：任意角的三角函数 一、单选题1．（2022·北京市八一中学一模）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()3,4-，则cos θ=（ ） A ．45B ．35C ．35 D ．45-【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可. 【详解】设点()3,4P -，因为()22345OP =-+=，所以33cos 55θ-==-. 故选：C.2．（2022·北京房山·二模）已知3cos ,5αα=是第一象限角，且角,αβ的终边关于y 轴对称，则tan β=( )A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D 【解析】 【分析】根据cos α求出tan α，根据角,αβ的终边关于y 轴对称可知tan β=tan α-． 【详解】∵3cos ,5αα=是第一象限角，∵24sin 1cos 5αα-=，sin 4tan cos 3ααα==， ∵角,αβ的终边关于y 轴对称，∵4tan tan 3βα=-=-．故选：D ．3．（2022·山东潍坊·二模）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，且121x x -=，则tan α=（ ） A ．2 B ．12C ．2-D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到直线AB 的斜率为12242k x x -==--，进而判断α所在象限，即可求解. 【详解】由已知得，因为点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，所以直线AB 的斜率为12242k x x -==--，所以，明显可见，α在第二象限，tan 2α.故选：C4．（2022·山西临汾·一模（文））已知α角的终边过点()sin30,sin30︒-︒，则sin α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D 2【答案】C 【解析】 【分析】先求出点的坐标，进而根据三角函数的定义求得答案. 【详解】由题意，点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则22122sin 21122α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.5．（2022·河南·一模（文））已知α是第二象限角，则（ ） A ．cos 0α> B ．sin 0α<C ．sin 20α<D ．tan 0α>【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可. 【详解】由α是第二象限角，可得cos 0α<，sin 0α>，tan 0α<sin 22sin cos 0ααα∴=<故选：C6．（2022·山东济南·二模）如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ） A ．12B ．12-C ．3D ．3【答案】C 【解析】先计算三角函数值得(1,3P ，再根据三角函数的定义22sin ,yr x y rα=+. 【详解】解：由题意得(1,3P -，它与原点的距离()2132r +，所以33sin y r α-===. 故选：C.7．（2022·河北石家庄·一模）若角α终边经过点()2,1-，则cos α= A ．5B ．25C 5D 25【答案】B 【解析】【详解】分析：利用三角函数的定义，即可求出. 详解：角α终边经过点()2,1-，则()221 5.r =-+=由余弦函数的定义可得25cos x r α== 故选B.点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题. 二、多选题1．（2022·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知角α的终边经过点()8,3cos P α．则（ ） A ．1sin 3α=B ．7cos 29α= C ．2tan α= D ．22cos α=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同终边角的正弦和余弦可知22sin 649cos 649cos αααα==++sin 0,cos 0αα>>，逐项代入即可.【详解】 解：由题意得： 如图所示：()22283cos 649cos OP αα=++22sin 649cos 649cos PQ OQ OP OP αααα∴==++ 2sin 649cos 3cos αα∴+=，即()222sin 649cos 9cos ααα+= ()222sin 649(1sin )91sin ααα⎡⎤∴+-=-⎣⎦，即429sin 82sin 90αα-+=解得：2sin 9α=（舍去）或21sin 9α=cos 0α>sin 0α∴>1sin 3α=，故A 正确； 22cos α∴D 正确； 22222217cos 2cos sin 39ααα⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 1sin 23tan cos 22ααα==C 错误； 故选：ABD题型二：同角三角函数的基本关系 一、单选题1．（2022·宁夏·固原一中一模（文））若3cos 5α=，且α在第四象限，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D 【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解． 【详解】 解：∵3cos 5α=，且α在第四象限， ∵24sin 1cos 5αα=--，∵sin tan s 43co ααα==-． 故选：D ．2．（2022·辽宁·沈阳二中二模）若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα=+（ ）A ．103 B ．53C ．23D ．2-【答案】A 【解析】先由3sin cos 0αα+=求出1tan 3α=-，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子化简，即可得出结果. 【详解】因为3sin cos 0αα+=，所以1tan 3α=-，因此22222111sin cos 11092cos sin 2cos 2sin cos 12tan an 3t 31ααααααααα+++====+++-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型. 3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知1sin 24α=，且ππ32α<<，则cos sin αα-=（ ）A ．12 B ．12-C ．3D 3【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合平方关系得()213cos sin 144αα-=-=，利用32ππα<<开方取负值即可 【详解】221sin 22sin cos ,sin cos 14ααααα==+=，()213cos sin 144αα∴-=-=，3,cos sin 32ππααα<<∴-= 故选：C.4．（2022·江西萍乡·三模（文））已知1tan 2θ=，则sin cos θθ=（ ） A ．25B ．25-C ．85D ．85-【答案】A 【解析】 【分析】 由22sin co si s sin cos cos n θθθθθθ=+，分子分母同除以2cos θ，即可求出结果. 【详解】 因为222sin cos tan sin cos co sin n s 1ta θθθθθθθθ==++，又1tan 2θ=，所以122sin cos 1514θθ==+，故选：A.5．（2022·广东广州·三模）已知2sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（ ） A ．12B 3C ．12-D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 将2sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合2sin cos x x +=求出x 的范围，再利用 22cos 2sin 21x x +=求解即可. 【详解】 解：将2sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0, 所以π(,π)2x ∈ ， 又因为2sin cos x x +=０， 所以π3π(,)24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x =21sin 2x -3 故选：D.6．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=( )A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=， ∵α的终边不在坐标轴上，∵3cos 5α=， ∵34sin 2255α=-⨯=，∵sin 4tan cos 3ααα==． 故选：A ．7．（2022·广西南宁·二模（文））若α是钝角且1sin 3α=，则tan α=（ ） A ．2B 2C ．2D 2【答案】A 【解析】 【分析】先求出cos α，再根据商数关系求出tan α即可. 【详解】因为α是钝角，所以22122cos 1sin 13αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭sin 2tan cos ααα== 故选：A.题型三：三角函数的诱导公式 一、单选题1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知2cos(πθ)sin(πθ)-=+，则sin 2θ=（ ）A ．45B ．45-C ．85D ．85-【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简2cos(πθ)sin(πθ)-=+可以得到tan θ2=，再将sin 2θ化为齐次式，采用“弦化切”，代入tan θ即可得到答案【详解】2cos(πθ)sin(πθ)-=+ ，2cos θ=sin θ∴tan θ2∴=222222sin 2θ2sin θcos θ2tan θ224sin 2θsin θcos θsin θcos θtan θ1215⨯=====++++故选：A2．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））若4cos 5α=，α为第四象限角，则()tan πα-等于（ ） A ．43-B ．43C ．34D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系及商数关系，结合诱导公式即可求值. 【详解】由题设3sin 5α=-，所以3tan 4α=-，则()3tan tan 4παα-=-=.故选：C3．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））20cos 3π=（ ） A ．12-B ．12C ．3D 3【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式化简求值即可. 【详解】20π18π+2π2π2π1coscos()cos(6π)cos 33332==+==-， 故选：A4．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知31sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A ．13B ．13-C 22D ．22【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即得所求 【详解】 ()331sin sin cos cos 223ππαααα⎛⎫⎛⎫-=--=--== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．（2022·福建漳州·二模）已知π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．22B ．13-C ．13D 22【答案】C 【解析】 【分析】整体法用诱导公式求解. 【详解】ππππ1cos sin sin 33263x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C6．（2022·广西柳州·二模（理））已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79B ．13C ．13-D ．79-【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值.由诱导公式得π1cos cos sin 63233πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若π4sin ,25α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()cos π2α-的值为（ ）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式进行化简，然后根据二倍角公式即可求解. 【详解】π44sin ,cos 255αα⎛⎫-=-∴=- ⎪⎝⎭ ，()2247cos π2cos 22cos 121525ααα⎛⎫∴-=-=-+=-⨯-+=- ⎪⎝⎭故选：B8．（2022·贵州贵阳·二模（理））若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．2425D ．725【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式可得cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用诱导公式可得结果.【详解】2187cos 22cos 11242525ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7sin 2cos 2225παα⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.9．（2022·江西九江·三模（理））已知1sin cos 3αα-=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．2C ．13D 2【答案】B 【解析】首先根据辅助角公式得到2sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】1sin cos 243πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即2sin 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2cos cos sin 4424ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B10．（2022·安徽马鞍山·三模（文））若4cos 5α=，sin cos 1αα+<，则()tan πα-等于（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】D 【解析】 【分析】由平方关系结合已知可得sin α，然后由诱导公式和商数关系可得所求. 【详解】 因为4cos 5α=，所以3sin 5α=± 因为sin cos 1αα+<，所以3sin 5α=-所以()3sin 35tan tan 4cos 45απααα--=-=-=-=. 故选：D题型四：三角函数恒等变换 一、单选题1．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知3cos28cos 5αα-=，则cos α=（ ） A ．23-B ．23C ．5D 5【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式即得. 【详解】由题可得26cos 8cos 80αα--=，解得cos 2α=（舍去），或2cos 3α=-.故选：A.2．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】 【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α. 【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A3．（2022·河南商丘·三模（文））已知tan 3α=-，则sin 21cos 2αα=-（ ）A ．3B ．13C ．13-D ．-3【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简即可 【详解】2sin 22cos sin cos 111cos 22sin sin tan 3αααααααα====--．故选：C4．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知1sin 24α=，且ππ32α<<，则cos sin αα-=（ ）A ．12 B ．12-C ．3D 3【答案】C【解析】 【分析】利用二倍角公式结合平方关系得()213cos sin 144αα-=-=，利用32ππα<<开方取负值即可 【详解】221sin 22sin cos ,sin cos 14ααααα==+=，()213cos sin 144αα∴-=-=，3,cos sin 32ππααα<<∴-= 故选：C.5．（2022·福建南平·三模）在ABC 中，若()tan 2A B +=-tan 2C =（ ） A ．22- B ．2C 2D ．22【答案】A 【解析】 【分析】由()tan tan 2C A B =-+=. 【详解】因为A B C π+=-，所以()tan tan 2C A B =-+ 所以()222tan 22tan 2221tan 12C C C ==---故选：A6．（2022·内蒙古包头·二模（理））若π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos tan 22sin =-ααα，则tan α=（ ）A 3B ．3C 3D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 23cos sin 23cos 2sin cos 3cos tan 22sin cos 22sin 12sin 2sin αααααααααααα=⇒=⇒=----，因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0a ≠，于是由222sin cos 3cos 2sin 312sin 2sin 12sin 2sin αααααααα=⇒=----， 解得24sin 4sin 30αα+-=， 解得1sin 2α=，或3sin 12α=-<-（舍去），因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5π6a =， 即5ππ3tan tan tan 66α==-= 故选：B7．（2022·湖北武汉·二模）设sin32k =，则1tan16tan16+=（ ） A ．2kB ．1kC ．2kD ．k【答案】A 【解析】 【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解. 【详解】 解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒ 2k=. 故选：A.8．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））若1tan 2α=，则cos 21sin 2αα=+（ ） A ．34B ．12C ．13D ．35【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 【详解】解：()22211cos 2cos sin cos sin 1tan 1211sin 2cos sin 1tan 3sin cos 12αααααααααααα----=====+++++． 故选：C ．9．（2022·江西萍乡·二模（文））已知1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （ ）A ．12B 3C ．12-D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 2cos 236ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，212sin 6πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2111222⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选：A10．（2022·山西·二模（理））若sin 21tan 3αα=，则cos2=α（ ） A ．23B ．23-C ．13D ．13-【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和切化弦，化简即可求得. 【详解】因为2sin 22sin cos 12cos 1cos 2sin tan 3cos αααααααα===+=，所以2cos 23α=-.故选：B ．11．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））若()0,απ∈，1cos sin 2αα-=，则cos2=α（ ）A 7B 7C ．34D ．－34【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得sin 2α的值，再求sin cos αα+，结合二倍角余弦公式求值即可 【详解】∵1cos sin 2αα-=，平方可得11sin 24α-=， ∵3sin 24α=， ∵ sin ,cos αα同号，又()0,απ∈， ∵2,0πα⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，∵()27sin cos 1sin 24ααα+=+=， ∵7sin cos αα+=则227cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=-+=， 所以cos2=α7故选：A.12．（2022·山西晋城·三模（理））若tan 2θ=，则cos2θ=（ ） A ．35 B ．13-C ．35D ．13【答案】A 【解析】【分析】由余弦的二倍角公式，然后再结合平方关系和商的关系，转化为tan θ的式子，得出答案. 【详解】22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin cos sin 1tan 145θθθθθθθθθ---=-====-+++ 故选：A 二、多选题1．（2022·海南海口·二模）已知(),2αππ∈，tan sin tan 22αβα==，则（ ） A ．tan 3α=B ．1cos 2α=C ．tan 43β=D ．1cos 7β=【答案】BD 【解析】 【分析】根据商的关系化简条件可求cos α，利用平方关系求sin α，再由商的关系求tan α，再利用tan 2β，结合二倍角公式及同角三角函数关系求tan β，cos β. 【详解】因为tan sin tan cos 2αααα==， 所以1cos 2α=，又 (),2αππ∈， 所以3sin α=tan 3α=A 错误，B 正确． 3tan2β= 所以22tan2tan 431tan 2βββ==--222222cos sin 1tan 1222cos 7sin cos 1tan 222βββββββ--===++， 故C 错误，D 正确． 故选：BD.2．（2022·全国·模拟预测）已知,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 8tan x x =，则（ ）A ．1sin 3x =B ．42tan 2x =C ．1cos 23x =D ．3429sin cos 44x x ππ-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD 【解析】 【分析】切化弦后，由平方关系化为关于sin x 的方程，解方程可得sin x ，求出cos x 后由商数关系得tan x ，再由正切的二倍角公式得tan 2x ，由余弦的二倍角公式得cos2x ，由两角和的正弦余弦公式化简后代入cos ,sin x x 值可得3sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【详解】对于选项A ，∵3cos 8tan x x =，∵23cos 8sin x x =，∵23sin 8sin 30x x +-=，解得1sin 3x =或sin 3x =-（舍），故选项A 正确；对于选项B ，∵,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵22cos x =1sin 3tan cos 22x x x ==-2=22222tan 42tan 21tan 21x x x ⎛⨯ -⎝⎭===-⎛- ⎝⎭B 正确； 对于选项C ，2cos 22cos 1x x =-=2227219⎛⨯-= ⎝⎭，故选项C 错误； 对于选项D ，322sin cos 44x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22142912sin cos 2x x x x ⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭D 正确． 故选：ABD ．题型五：三角函数的图象和性质1．（2022·河北邯郸·二模）函数()πsin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域为（ ）A ．(]0,1B ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．3⎛⎤⎥⎝⎦D ．[]1,1-【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解. 【详解】当ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当ππ232x +=时，即π12x = 时，()πsin(2)3f x x =+取最大值1，当ππ233x +=-，即π3x =- 时，()πsin(2)3f x x =+取最小值大于3，故值域为3⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：C2．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的单调性进行判断即可. 【详解】()ππππ2sin 2cos 2cos 4244f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然该集合是()0,π的子集此时函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，不符合题意；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π3π5π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然该集合不是()π,2π的子集此时函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不单调递增，不符合题意；当3ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5π7π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然该集合是()π,2π的子集此时函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，符合题意；当3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π7π9π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然该集合不是()π,2π的子集此时函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不单调递增，不符合题意，故选：C3．（2022·安徽淮南·二模（文））函数()22sin y x x x -=-的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及特殊值排除法,即可求解. 【详解】记()()22sin f x x x x -=-,则()()22sin f x x x x --=--,故()()f x f x =--,()f x 是奇函数,故图像关于原点对称.此时可排除A,C ,取22,()02222x f ππππ-⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,排除D.故选:B4．（2022·江西九江·一模（理））函数()()22cos 2sin 0f x x x ωωω=->的最小正周期为π2，则ω的值为（ ）．A ．2B ．4C ．1D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式可得()31cos 222f x x ω=-，结合求最小正周期的公式2πT ω=计算即可.【详解】 解：()()1cos 2311cos 2cos 2222x f x x x ωωω+=--=-， 由0ω>得函数的最小正周期为2ππ22T ω==， ∵2ω=， 故选：A ．5．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知函数()()2sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的图像如图所示，则ω的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C 【解析】 【分析】由图象分析函数的周期，求得ω的值. 【详解】由图象可知，函数的半周期是2π，所以2ωπ=π，得12ω=. 故选：C6．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴和ω的范围可得ω的值，从而可得周期，然后由题意可知12||x x -的最小值为2T可得.【详解】 由题知,1262k k πππωπ+=+∈Z ，则124,k k ω=+∈Z ，因为05ω<<，所以4ω= 所以22T ππω==易知12||x x -的最小值为24T π=. 故选：B7．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A 【解析】 【分析】因为πππ,44π44x ωω⎡⎤--⎢⎥⎣-⎦∈，讨论πππ442ω-≥或πππ442ω-<，结合函数图像理解分析．【详解】∵π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ,44π44x ωω⎡⎤--⎢⎥⎣-⎦∈若()f x 的最大值为5ω，分两种情况讨论： ∵当πππ442ω-≥，即3ω≥时，根据正弦函数的单调性可知，()max 15f x ω==，解得5ω=；∵当πππ442ω-<，即03ω<<时，根据正弦函数的单调性可知，sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()max ππsin 0445f x ωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，结合函数ππsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与5x y =在()0,3上的图像可知，存在唯一的()0,3ω∈，使得ππsin 445ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭.综上可知，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有2个. 故选：A ．8．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象如图所示.则()f ϕ=（ ）A ．0B ．AC ．2AD ．2A -【答案】A 【解析】 【分析】由相邻零点与对称轴间的距离为周期的四分之一，求得周期，进而求得ω，由最低点的坐标求得ϕ的值，进而计算得解. 【详解】由图象可得()f x 的最小正周期74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∵22T πω==， 由7322,122k k ππϕπ⋅+=+∈Z ，解得2,3k k πϕπ=+∈Z ，由2πϕ得3πϕ=，∵()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵()sin 03f f A πϕπ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选：A9．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数()()1sin f x x x π=--在区间3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的所有零点之和为（ ）A ．0B ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】 【分析】把方程()0f x =变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数1y x π=-图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得． 【详解】解：因为()()1sin f x x x π=--，令()0f x =，即()1sin x x π=-，当x π=时显然不成立， 当x π≠时1sin x x π=-，作出sin y x =和1y x π=-的图象，如图，它们关于点(,0)π对称，由图象可知它们在3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上有4个交点，且关于点(,0)π对称，每对称的两个点的横坐标和为2π，所以4个点的横坐标之和为4π． 故选：C ．10．（2022·河南郑州·三模（文））关于函数()cos ,6f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下述四个结论：∵()f x 的一个周期为2π-； ∵()f x 的图象关于直线43x π=对称； ∵()f x π+的一个零点为3x π=； ∵()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．∵∵B ．∵∵C ．∵∵D ．∵∵【答案】A 【解析】 【分析】由余弦函数的周期性、对称性、零点及单调性依次判断即可. 【详解】(2)cos 2cos ()66f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵正确；443()cos cos 03362f ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于4,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，∵错误；()cos cos 66f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 036ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∵正确；由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得2,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，∵错误.故选：A. 二、多选题1．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，与其相邻对称中心的距离为4π，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的最小正周期为2π C ．6π=ϕ D ．3πϕ=【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数图象性质可得函数解析式进而可得周期. 【详解】因为()f x 图象相邻的对称中心与对称轴的距离为4π，所以最小正周期T π=，故A 正确，B 不正确； 因为22Tπω==，且()2,622k k πππϕπϕ⨯+=+∈<Z ，所以6π=ϕ，故C 正确，D 不正确， 故选：AC.2．（2022·湖北·荆州中学三模）已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，其中错误的结论是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在区间(0,)π上单调递减D ．()f x 2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数周期性的定义可判断A 选项的正误；利用4f π⎛⎫- ⎪⎝⎭和4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断B 选项的正误；化简函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的解析式，可判断C 选项的正误；由()0f 的值可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()()()[][]()2sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()f x 的一个周期为2π，A 选项正确；对于B 选项，22sin cos sin 0cos 014f π⎡⎡⎛⎫=+=+=⎢⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦， ()22sin cos sin 0cos 1cos14f π⎡⎡⎛⎫-=+=+-=⎢⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦，44f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 不是偶函数，B 选项错误； 对于C 选项，当02x π<<时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，则[][]sin cos 0x x ==，则()sin0cos01f x =+=，所以，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是常函数，C 选项错误；对于D 选项，()[][]0sin cos0cos sin 0sin1cos01sin12f ∴=+=+=+>D 选项正确. 故选：BC. 三、解答题1．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））设函数()()()π3πsin cos sin 3πcos π22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-⋅++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦. (1)求函数()f x 单调递减区间；(2)求函数()()π6g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】(1)()ππ,πZ 4k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2)()g x 最小值为32-3【解析】 【分析】(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得：()cos2f x x =-，再根据余弦函数的单调性求解即可； (2)化简得π()3)3g x x =-,再根据ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求解即可.(1)()()()22cos sin sin cos sin cos cos2f x x x x x x x x =---=-=- ，当()22ππ,2πx k k ∈- Z k ∈ ，即x ∈()ππ,πZ 4k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭时是单调递减区间；(2)()π33πcos 2cos 22cos 23sin 2323g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()()min π30332g x g ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，()max 5ππ33122g x g ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 最小值为32-32．（2022·山东临沂·二模）已知函数()sin (0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，42f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭2 (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若122g α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】(1)2()2)34f x x π=+；(2)34-【解析】 【分析】（1）由01ω<<求得2T π>，再结合()f x 在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭242f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知3()28f π=，求出,A ω即可；（2）先求出()g x ，由122g α⎛⎫= ⎪⎝⎭求得sin()422πα+=sin 2α.(1)因为01ω<<，所以周期22T ππω=>，又()f x 在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭2，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当13()2428x πππ=+=时，()f x 2所以2A 且3()28f π=32284ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3501,4848ππππωω<<∴<+<，故3842πππω+=，解得23ω=，故2()2)34f x x π=+； (2)()(3)2)4g x f x x π=+，又12)242g απα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则sin()422πα+=23sin 2cos 22sin 1244ππααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3．（2022·浙江台州·二模）设函数()()sin 6f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R .(1)求函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期；(2)求函数()226y f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】(1)π(2)74【解析】 【分析】（1）由三角函数的性质求解（2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解 (1)22sin 6y f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1cos22x -=∵函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(2)()221cos 21cos23622x x y f x f x ππ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝⎭33131sin 21223x x x π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵02x π≤≤，∵42333x πππ≤+≤，即333243x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵函数()226y f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为74.4．（2022·浙江·三模）已知函数()2sin sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意,3x t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()332f x ≤，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ (2)0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）()f x 的解析式可化简为()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，即可解得()f x 的单调递增区间（2）对恒成立的不等式等价转化后，结合23x π-的范围可得2333t πππ-≤-<，从而解得t 的范围(1)()312sin sin 2sin cos 62f x x x x x x π⎫⎛⎫=⋅+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)2133sin cos 3sin sin 21cos 2sin 223x x x x x x π⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈解之得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∵()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)对任意,3x t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()333sin 223f x x π⎛⎫≤⇔- ⎪⎝⎭ ∵22,333x t πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∵2333t πππ-≤-<，∵03t π≤<，∵实数t 的范围为0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。

4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数―――――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数―――――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数―――――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sinαcos α，sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)x 函数sin x cos x tan x －α －sin α cos α －tan α π2±α cos α ∓sin α π±α ∓sin α －cos α ±tan α 3π2±α －cos α ±sin α 2π±α±sin αcos α±tan α(2)不变 锐角 象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79解：sin2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.故选A .(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425解：由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425.故选D . (2017·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12解：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.故选B .(2016·四川)sin750°＝________.解：因为sin θ＝sin(k ·360°＋θ)(k ∈Z )，所以sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.故填12.(2017·郑州质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________． 解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.所以sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87·cos 2α－17＝335.故填335.类型一 利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________； (2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α. 解：(1)由tan α＝2得sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 故填31010.(2)因为sin α＝13，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，所以tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)因为sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．所以当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m 2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m 2 .【点拨】给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(1)设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.故填43.(2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，得sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，所以2α∈(0，2π)，2α＝3π2，所以α＝3π4，tan α＝－1.故填－1.类型二 诱导公式的应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解：由题意知，θ＋π4是第一象限角，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， 根据同角三角函数关系式可得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34. 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.故填－43. (2)化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos ()π2＋αcos ()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ()9π2＋α. 解：原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）·sin α·sin α·cos α＝－tan α. 【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率．(1)化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1.解：原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. 解：因为α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，那么sin β＝sin α＝13，cos α＝－cos β，这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.故填－79.类型三 关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 【点拨】(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．(荆州2017届质量检测)已知tan(5π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解：tan(5π－x )＝2，即tan(π－x )＝2，得tan x ＝－2.又因为2cos 2x2－1＝cos x ，所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x＝1－tan x tan x ＋1＝－3.故填－3.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子． (2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)熟悉sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者之间的内在联系，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行和积转换，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A .2．(福建四地六校2017届月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，则sin2θ的值等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－1225 D.1225解：由cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，得sin θ＝－45，cos θ＝35，则sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.故选A . 3．(江西上饶2017届一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12 的值等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223解：由cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A . 4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解法一：cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 解法二：由tan α＝34，得sin α＝34cos α，sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin2α＝1625＋4×1225＝6425.故选A .5．(2016·长春质检)已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( )A. 5B.4＋255C.4＋55D.5－25解：由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C .6．(2016·淮南二模)已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3 D ．－3解：因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.故选A .7．(2016江苏冲刺卷)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解：由平方关系得⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，且cos θ＜0，解得cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125.故填－3125.8．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解：因为sin α＋2cos α＝0，所以sin α＝－2cos α，由同角三角函数关系式得cos 2α＋4cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，所以2sin αcos α－cos 2α＝－4cos 2α－cos 2α＝－5cos 2α＝－1.故填－1.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求值：cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ.解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. (黄冈2017届期末)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin2φ＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解：y ＝f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ－α)，其中sin α＝25，cos α＝15， 因为函数的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f (1)＝±5，即π＋φ－α＝π2＋k π，k ∈Z ，sin2φ＝sin2⎝⎛⎭⎫α－π2＋k π＝sin(2α－π＋2k π)＝sin(2α－π)＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－2×25×15＝－45 .故选D .。

数学：三角函数练习题--同角三角函数的基本关系式一、选择题：1．),0(,54cos παα∈=，则αcot 的值等于（ ）A ．34B ．43C ．34±D ． 43±2．若1cot 1sin tan 1cos 22-=+++θθθθ，则θ角在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （）A ．22sin =θ B ．22sin -=θC ．1cos sin =+θθD ．0cos sin =-θθ4．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（ ）A ．1B ． - 1C ．43D ．34-5．化简1cos 1tan 2tan 1cos 12-++αααα后可能取值的集合中元素的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题： 6．若2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+的值为________________．7．已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=________________． 8．若α是第四象限角，化简ααtan 2sec 2-=________________．9．______.__________89cot 2cot 1cot 89cot 2cot 1cot =+⋯⋯++⋯⋯⋅oooo o o10．已知θ为锐角，则=|sin log |sec )(sec θθθ________________．三、解答题：11．已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值． b) 求sin 3x – cos 3x 的值．12．已知sin α=m ，（|m|≤1），求tan α的值．参考答案同角三角函数的基本关系式一、选择题：1.B2.C3.D4.A5.D 二、填空题： 6． 37．0或88．1-tan α9．892 10．csc θ三、解答题：11．解：由51cos sin =+x x ，得x x cos 51sin -= 代入sin 2x+cos 2x=1得：（5cosx-4）（5cosx+3）=0∴54cos =x 或53cos -=x 当54cos =x 时，得53sin -=x又∵π<<x 0，∴sinx>0，故这组解舍去当53cos -=x 时，54sin =x ，34tan -=x （2）∵51cos sin =+x x∴（sinx+cosx ）2= sin 2x+cos 2x+2sinxcosx =251 ∴2512cos sin -=x x 又π<<x 0，sinx>0，∴cosx<0(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=254925241=+又∵sinx – cosx>0∴sinx – cosx =57sin 3x – cos 3x = (sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=12591)25121(57=-⨯ 12．解：当m=0时，0cos sin tan ==ααα;当m=±1时，α的终边在y 轴上，tan α无意义。

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosxcsinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法: ()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等.(3)和积转换法:利用()()22212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.（二）诱导公式 六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【常考题型剖析】题型一：同角三角函数的基本关系式例1.（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例2．（2021·湖南·高考真题）已知tan α=α为第四象限角，则cos α=____________例3.（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cos sin cos x xx x +-=2，则tan x =____，sin x cos x =____.例 4.（2021·江苏·高一课时练习）已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．题型二：sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用例5.（2022·浙江温州·高二期末）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（ ）A ．15B ．15-C ．75D ．75-例6. （2022·辽宁沈阳·高一期中）已知π02α-<<，且函数()3πcos sin 12f ααα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．(1)化简()f α；(2)若()15f α=，求sin cos αα和sin cos αα-的值．【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 题型三：诱导公式及其应用例7．（2008·天津·高考真题（文））设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<例8．（2014·安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）A ．B ．C ．0D ．例9．（2007·天津·高考真题（文））“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例10. （2020·永州市第四中学高一月考）已知α是第四象限角，3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）化简()f α. （2）若33cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值. 【总结提升】1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.2.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值. 题型四：同角公式、诱导公式的综合应用例11. （2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知11sin(2)cos()cos cos 2229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭，则sin 3cos sin cos αααα-+＝（ ）A ．-7B ．53-C ．1 3- D ．5例12.（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.例13.（2016·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）=___________.例14．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为(,)P a b (0)b >，将角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边，记β的终边与单位圆的交点为Q ．(1)若12a =-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角α的值；(2)若1sin cos 5ββ+=-，求tan α的值．【规律方法】1.明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．4证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosxcsinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法: ()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等.(3)和积转换法:利用()()22212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.（二）诱导公式 六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【常考题型剖析】题型一：同角三角函数的基本关系式例1.（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.例2．（2021·湖南·高考真题）已知tan α=α为第四象限角，则cos α=____________ 【答案】12 【分析】首先求α的值，再求cos α. 【详解】tan α=α为第四象限角，2,3k k Z παπ∴=-+∈， 1cos 2α∴=.故答案为：12例3.（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cos sin cos x xx x +-=2，则tan x =____，sin x cos x =____. 【答案】3 310【解析】 【分析】将sin cos sin cos x x x x +-=2左端分子分母同除以cos x ，得tan 12tan 1x x +=-，解得tan 3x =，2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110x x x x x x x x ====+++. 故答案为：3；310例 4.（2021·江苏·高一课时练习）已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 【答案】当α是第一象限角，则cos α， sin α； 当α是第三象限角，则cos α， sin α. 【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 解 由sin cos αα＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，故(2cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝15.又由tan α＝2>0，知α是第一或第三象限角． 当α是第一象限角，则cos α， sin α； 当α是第三象限角，则cos α， sin α. 【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．题型二：sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用例5.（2022·浙江温州·高二期末）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（ ）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>， ()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=. 故选：C例6. （2022·辽宁沈阳·高一期中）已知π02α-<<，且函数()3πcos sin 12f ααα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． (1)化简()f α；(2)若()15f α=，求sin cos αα和sin cos αα-的值．【答案】(1)()sin cos f ααα=+ (2)12sin cos 25αα=-，7sin cos 5αα-=- 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，（2）对1sin cos 5αα+=平方可求出12sin cos 25αα⋅=-，再由π02α-<<可得sin cos 0αα-<，然后求出()2sin cos αα-，从而可求得sin cos αα-的值(1)()sin sin 1f ααα=-1cos sin sin 1sin cos sin αααααα+=+⋅-=+． (2)由()1sin cos 5f ααα=+=，平方可得221sin 2sin cos cos 25αααα++=， 即242sin cos 25αα⋅=-． ∴12sin cos 25αα⋅=-． 又π02α-<<，∴sin 0α<，cos 0α>， ∴sin cos 0αα-<，∵()249sin cos 12sin cos 25αααα-=-⋅=， ∴7sin cos 5αα-=-．【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 题型三：诱导公式及其应用例7．（2008·天津·高考真题（文））设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【详解】 因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.例8．（2014·安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）A ．B ．C ．0D ．【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意，231717111117()()sin ()sin sin 666666f f f ππππππ=+=++ 5511171111()sin sin sin 066662222f ππππ=+++=+-+=，故选A. 例9．（2007·天津·高考真题（文））“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由已知22tan 2sin ,tan2sin 33ππθθ=-==-，充分性成立； 由πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不能得出2π3θ=，如0θ=也满足．故选：A.例10. （2020·永州市第四中学高一月考）已知α是第四象限角，3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）化简()f α.（2）若33cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值. 【答案】（1）cos α-；（2）45- 【解析】（1）3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=---． sin()sin (tan )2tan sin πααααα---=-cos sin tan tan sin ααααα=-cos α=-． （2）因为3cos()2πα- 3cos()2πα=-3sin 5α=-=， 所以3sin 5α=-． 因为α是第四象限角， 所以4cos 5α=， 所以4()cos 5f αα=-=-．【总结提升】1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.2.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值. 题型四：同角公式、诱导公式的综合应用例11. （2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知11sin(2)cos()cos cos 2229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭，则sin 3cos sin cos αααα-+＝（ ）A ．-7B ．53-C ．13- D ．5 【答案】D 【分析】先通过诱导公式对等式进行化简，进而弦化切求出正切值，然后对所求式子进行弦化切，最后得到答案. 【详解】 由题意，()()(sin )(cos )sin sin tan 2tan 2(cos )sin sin cos αααααααααα-⨯-⨯-⨯-=-=⇒=--⨯⨯⨯，则sin 3cos tan 355sin cos tan 11αααααα---===++-.故选：D.例12.（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.【答案】512-【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】55cos sin 21313πθθ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以12cos 13θ==，所以sin θ5tan θcos θ12，所以()5tan 9tan 12θπθ-==-.故答案为：512-. 例13.（2016·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）=___________.【答案】43-【解析】 【分析】 由题求得θ4π+的范围，结合已知求得cos （θ4π+），再由诱导公式求得sin （4πθ-）及cos （4πθ-），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan （θ4π-）的值．【详解】解：∵θ是第四象限角，∴222k k ππθπ-+＜＜，则22444k k k Z ππππθπ-+++∈＜＜，，又sin （θ4π+）35=， ∴cos （θ4π+）45==． ∴cos （4πθ-）＝sin （θ4π+）35=，sin （4πθ-）＝cos （θ4π+）45=．则tan （θ4π-）＝﹣tan （4πθ-）44453354sin cos πθπθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为43-．例14．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为(,)P a b (0)b >，将角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边，记β的终边与单位圆的交点为Q ．(1)若12a =-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角α的值；(2)若1sin cos 5ββ+=-，求tan α的值．【答案】(1)23απ=(2)4tan 3α= 【解析】 【分析】（1）当12a =-时，得到1(,)2Pb -，结合三角函数的定义求得1cos 2α=-，即可求解；（2）由1sin cos 5ββ+=-，结合题意得到1cos sin 5αα-=-，利用三角函数的基本关系式，得出7cos sin 5αα+=，联立方程组，即可求解. (1)解：当12a =-时，即角α的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为1(,)2P b -，根据三角函数的定义可得112cos 112a α-===-， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23απ=，(2)解：因为1sin cos 5ββ+=-，所以1sin cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1cos sin 5αα-=-①，平方得112sin cos 25αα-=，且242sin cos 025αα=>， 因为sin 0b α=>，所以cos 0α>，则7cos sin 5αα+==②，由①②得34cos,sin55αα==，则sin4tancos3ααα==.【规律方法】1.明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．4证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．。

高中数学同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数是指角度相等的两个三角函数之间的关系。

它们包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

这些函数之间的关系可以通过基本关系和诱导公式来表示。

同角三角函数的基本关系如下：1. 正弦函数（sine function）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，表示为sinθ。

sinθ = 对边/斜边2. 余弦函数（cosine function）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，表示为cosθ。

cosθ = 邻边/斜边3. 正切函数（tangent function）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值等于对边与邻边的比值，表示为tanθ。

tanθ = 对边/邻边4. 余切函数（cotangent function）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余切函数的值等于邻边与对边的比值，表示为cotθ。

cotθ = 邻边/对边5. 正割函数（secant function）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正割函数的值等于斜边与邻边的比值，表示为secθ。

secθ = 斜边/邻边6. 余割函数（cosecant function）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余割函数的值等于斜边与对边的比值，表示为cosecθ。

cosecθ = 斜边/对边同角三角函数的诱导公式是通过基本关系推导得出的，可以用于求解特定角度的三角函数值。

1.正弦函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2π - θ) = -sinθsin(2nπ + θ) = sinθ （其中n为整数）2.余弦函数的诱导公式：cos(-θ) = cosθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2π - θ) = cosθcos(2nπ + θ) = cosθ （其中n为整数）3.正切函数的诱导公式：tan(-θ) = -tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2π - θ) = -tanθtan(2nπ + θ) = tanθ （其中n为整数）4.余切函数的诱导公式：cot(-θ) = -cotθcot(π - θ) = -cotθcot(π + θ) = cotθcot(2π - θ) = -cotθcot(2nπ + θ) = cotθ （其中n为整数）5.正割函数的诱导公式：sec(-θ) = secθsec(π - θ) = -secθsec(π + θ) = -secθsec(2π - θ) = secθsec(2nπ + θ) = secθ （其中n为整数）6.余割函数的诱导公式：cosec(-θ) = -cosecθcosec(π - θ) = cosecθcosec(π + θ) = -cosecθcosec(2π - θ) = -cosecθcosec(2nπ + θ) = cosecθ （其中n为整数）这些基本关系和诱导公式可以帮助我们在解决三角函数相关问题时更方便地计算和推导。

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．[基本关系式变形]sin 2α＝1－cos 2α,cos 2α＝1－sin 2α,sin α＝tan αcos α, cos α＝sin αtan α,(sin α±cos α)2＝1±2 sin αcos α.2．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin α sin α cos__α cos α 余弦 cos α －cos α cos__α －cos α sin α －sin__α正切 tan αtan α－tan α－tan__α口诀函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k∈Z)的形式,奇变偶不变,符号看象限．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意的角α,β,都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ,则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n∈Z),则cos θ＝13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× [教材衍化]1．(必修4P19例6改编)若sin α＝55,π2<α<π,则tan α＝________． 解析：因为π2<α<π,所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55,所以tan α＝sin αcos α＝－12.答案：－122．(必修4P22B 组T3改编)已知tan α＝2,则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：33．(必修4P28练习T7改编)化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin (α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.答案：－sin 2α [易错纠偏](1)不会运用消元的思想；(2)π±α的形式没有把k 按奇数和偶数进行分类讨论导致出错． 1．已知tan x ＝2,则1＋sin 2x 的值为________． 解析：1＋sin 2x ＝cos 2x ＋2sin 2x ＝cos 2x ＋2sin 2x sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2tan 2x 1＋tan 2x ＝95. 答案：952．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k∈Z),则A 的值构成的集合是________．解析：k ＝2n(n∈Z)时,A ＝sin （2n π＋α）sin α＋cos （2n π＋α）cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.当k ＝2n ＋1(n∈Z)时,A ＝sin （π＋α）sin α＋cos （π＋α）cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－1＋(－1)＝－2. 答案：{2,－2}同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛,也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦． 角度一 知弦求弦(2020·丽水模拟)已知sin θ＋cos θ＝43,θ∈(0,π4),则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23 D ．－13【解析】 (sin θ＋cos θ)2＝169,所以1＋2sin θcos θ＝169,所以2sin θcos θ＝79,由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29,可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0,π4),sin θ<cosθ,所以sin θ－cos θ＝－23. 【答案】 C 角度二 知弦求切已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34 【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35,所以sin α＝－35,显然α在第三象限,所以cos α＝－45,故tan α＝34.【答案】 B 角度三 知切求弦若tan α＝34,则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1 D.1625【解析】 法一：由tan α＝sin αcos α＝34,cos 2α＋sin 2α＝1,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425,则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 【答案】 A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．(2)知弦求切：常通过平方关系sin 2α＋cos 2α＝1及商数关系tan α＝sin αcos α结合诱导公式进行求解．(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式,然后用平方关系求解．若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,如asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；asin 2α＋bcos 2α＋csin αcos α＝asin 2α＋bcos 2α＋csin αcos αsin 2α＋cos 2α＝atan 2α＋b ＋ctan αtan 2α＋1.1．已知sin α＋cos α＝15,那么角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第二或第四象限解析：选D.因为sin α＋cos α＝15,所以两边平方得1＋2sin αcos α＝125,即2sin αcos α＝－2425,所以sin αcos α<0,验证可知,角α是第二或第四象限角,故选D. 2．已知α是第二象限的角,tan α＝－12,则cos α＝________．解析：因为α是第二象限的角,所以sin α＞0,cos α＜0,由tan α＝－12,得cos α＝－2sin α,代入sin 2α＋cos 2α＝1中, 得5sin 2α＝1,所以sin α＝55,cos α＝－255. 答案：－255诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________． (2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根,且α是第三象限角,则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23,则sin (α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1,x 2＝－23,由题知cos α＝－23,所以sin α＝－53,tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2,所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时,用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦,统一名． ②用诱导公式,统一角．③用因式分解将式子变形,化为最简．1．若sin(π2＋α)＝－35,且α∈(π2,π),则sin(π－2α)＝( )A.2425B.1225C ．－1225D ．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cos α＝－35,且α∈(π2,π),得sin α＝45,所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425,选项D 正确．2．已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线3x －y ＝0上,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）＝________．解析：由题意可知tan θ＝3,原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.答案：323．(2020·宁波高三模拟)已知cos(π＋α)＝－12,求sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n∈Z)．解：因为cos(π＋α)＝－12,所以－cos α＝－12,cos α＝12.sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.[基础题组练]1．计算：sin 116π＋cos 103π＝( )A ．－1B ．1C ．0D.12－32解析：选A.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3 ＝－sin π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－12－cos π3 ＝－12－12＝－1.2．已知tan (α－π)＝34,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B.由tan (α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,所以cos α＝－45,所以α为第三象限的角,sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ),|θ|<π2,则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ), 所以－sin θ＝－3cos θ,所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2,所以θ＝π3.4．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α),则sin αcos α等于( )A ．－25B.25 C.25或－25D ．－15解析：选A.因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α),所以sin α＝－2cos α,所以tanα＝－2,当α在第二象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55,所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55,所以sin αcos α＝－25,综上,sin αcos α＝－25,故选A.5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5,则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5,所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 6．已知sin α＋3cos α＋1＝0,则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：选D.由sin α＝－3cos α－1,可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1,即5cos 2α＋3cos α＝0,解得cos α＝－35或cos α＝0,当cos α＝0时,tan α的值不存在,当cos α＝－35时,sin α＝－3cos α－1＝45,tan α＝sin αcos α＝－43,故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：0 8．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α,而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23, 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. 答案：－239．已知θ为第四象限角,sin θ＋3cos θ＝1,则tan θ＝________．解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ,得6sin θcos θ＝－8cos 2θ,又因为θ为第四象限角,所以cos θ≠0,所以6sin θ＝－8cos θ,所以tan θ＝－43.答案：－4310．(2020·杭州市富阳二中高三质检)若3sin α＋cos α＝10,则tan α的值为________；1cos 2α＋sin 2α的值为________．解析：由3sin α＋cos α＝10,得到cos α＝10－3sin α,代入sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＋(10－3sin α)2＝1,得10sin 2α－610sin α＋9＝0,即(10sin α－3)2＝0, 解得sin α＝31010,cos α＝1010,则tan α＝sin αcos α＝3；1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝9＋11＋6＝107. 答案：310711．已知π＜α＜2π,cos (α－7π)＝－35,求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值． 解：因为cos (α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35,所以cos α＝35.所以sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角,f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）. (1)化简f(α)；(2)若cos (α－3π2)＝15,求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α. (2)因为cos (α－3π2)＝15, 所以－sin α＝15, 从而sin α＝－15. 又α为第三象限角,所以cos α＝－1－sin 2α＝－265, 所以f(α)＝－cos α＝265. [综合题组练]1．(2020·台州市高三期末评估)已知cos α＝1,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝( ) A.12B.32 C ．－12 D ．－32 解析：选C.因为cos α＝1⇒α＝2k π,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin π6＝－12,故选C. 2．(2020·金华十校联考)已知sin αcos α＝18,且5π4<α<3π2,则cos α－sin α的值为( ) A ．－32 B.32C ．－34D.34解析：选B.因为5π4<α<3π2, 所以cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34, 所以cos α－sin α＝32. 3．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________． 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案：－3344．若sin α＝2sin β,tan α＝3tan β,则cos α＝________． 解析：因为sin α＝2sin β,①tan α＝3tan β,tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4.又sin 2α＋cos 2α＝1,所以cos 2α＝38, 所以cos α＝±64. 答案：±645．已知f(x)＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x](n∈Z)． (1)化简f(x)的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π的值．解：(1)当n 为偶数,即n ＝2k(k∈Z)时,f(x)＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k＋1）π－x]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x(n ＝2k,k ∈Z)；当n 为奇数,即n ＝2k ＋1(k∈Z)时,f(x)＝cos 2[（2k ＋1）π＋x]·sin 2[（2k ＋1）π－x]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x(n ＝2k ＋1,k ∈Z)．综上得f(x)＝sin 2x.(2)由(1)得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝sin 2π12＋sin 25π12 ＝sin2π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12 ＝sin2π12＋cos 2π12＝1.。

高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析三角函数知识点归纳及常考题型分析角的概念及表示角是指由两条射线（或直线段）共同围成的图形，其中一个射线为始边，另一个射线为终边。

正角、负角和零角是角的三种分类。

终边相同的角可以表示为{β|β=k·360+α，k∈Z}。

象限角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角，其终边落在第几象限就称这个角是第几象限的角。

轴线角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在坐标轴上的角。

区间角是指角的量数在某个确定的区间内，由若干个区间构成的集合称为区间角的集合。

角度制与弧度制角度制和弧度制是两种常见的角度量方式。

它们之间的互换关系是1rad=180°≈57.30°=57°18ˊ，1°≈0.（rad）。

弧长公式与扇形面积公式弧长公式是指l=|α|·r，其中α是角的量数，r是半径。

扇形面积公式是指s扇形=lr=|α|·r^2/2.三角函数的定义与符号设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）。

P与原点的距离为r，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y。

在各象限中，正弦函数和正切函数在第一象限和第二象限中为正，余弦函数在第一象限和第四象限中为正。

三角函数的图像及基本关系式正弦线是MP，余弦线是OM，正切线是AT。

同角三角函数的基本关系式是sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ。

正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式是奇变偶不变，符号看象限。

其中sin(±α)和cos(±α)的值与sinα和cosα的值有关，而sin(α+π)=-sinα，cos(α+π)=-cosα。

和角与差角公式和角与差角公式是sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)，sin(α+β)sin(α-β)=sin^2α-sin^2β，cos(α+β)cos(α-β)=cos^2α-sin^2β，asinα+bcosα=a^2+b^2sin(α+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定，tanφ=b/a。