幂函数的图像与性质表格

幂函数图像及性质什么是幂函数？幂函数是指在极坐标或复平面上将某一点按某一规则移动，使其形成一种函数。

这种函数是关于某一点的未知函数，这一点可以表示为一个复数，且该复数可以表示某一点的坐标。

幂函数也可以用复数表示，其中一个具体的形式为：z =r^n*cos(θ+2πm) + ir^n*sin(θ+2πm)，其中r 为极径，θ为极角，m为整数，n为实常数。

幂函数的图像是一条曲线，所以它也被称为曲线函数，它的图像可以根据x，y轴的定义方法来确定。

在极坐标系中，幂函数的形状一般是环状曲线，并且其形状受n值的影响很大，比如当n=1时，图像的形状为单个圆；当n=2时，图像的形状为集中的双圆；当n=3时，图像的形状为三角形；当n=4时，图像的形状为集中的四方形；当n=5时，图像的形状为五角星状等。

幂函数的性质可以用幂函数的微积分形式来说明，即dz/dr=n*r^(n-1)，其中n 为实常数，r 为极径，z为极坐标系的一点的坐标，推导出dz/dr的值，可以用于表示幂函数的形状及特性。

此外，还可以用基本物理运算来说明，所谓幂函数是指坐标变换时r和θ之间存在一定的关系，此关系可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是幂函数，这里的幂函数可以通过幂函数的大小因子或者指数来表示，而指数n就是幂函数的性质，只有当n>0或者n<0时，才能使幂函数表达出不同的性质。

幂函数在物理学中也被广泛使用，例如，在声学领域，幂函数可以用来描述声波的传播规律，这就是为什么音量大小是一个幂函数的原因。

此外，在光学领域，幂函数可以用来描述光的传播规律，例如，可以用来计算光的反射系数或者折射系数。

而在数学中，幂函数不仅表示曲线的性质，还可以用来研究复数的性质，以及形成更复杂的曲线。

以上就是我们关于幂函数图像及性质的简单介绍，幂函数是一种非常有趣的曲线函数，它在物理学，数学及光学领域有着重要的应用。

虽然它看起来很复杂，但它所提供的知识却是非常有价值的，只要我们多多使用幂函数，就能够获得丰富的经验和数学知识。

幕函数的图像与性质1幕函数的定义形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数 注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同， 幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

例题、(1).下列函数中不是幕函数的是()A . y 仮B . y x 3 c . y 2x D . y x 1答案：C例2.已知函数f xm 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x图像是上升曲线。

(1)是幕函数;(2)是幕函数，且是0,上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1)(2) (3) m4 (4) m5(5) m 1变式训练: 已知函数fx m 22mm为何值时,在第一象限内它的2小简解：m m 02m 2m 3 解得：m 0U 3,小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。

2.幕函数的图像幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同.a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;在第一象限的图象下降，反之也成立；aV 0,图象不过原点,1注：在上图第一象限中如何确定y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ；当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3, y=x 2, 当0<x o <l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1, yy=xy=x 2 y=x 31y x?y=x -1定义域 R R R [0, ) x| x R 且x 0 值域R[0, )R[0, )y | y R 且 y 0奇偶性 奇 偶奇非奇非偶 奇单调性增x € [0 , )时，增；x € (,0]时，减增增x € (0,+ )时，减； x € (- ,0)时，减定点(1 , 1)例.比较大小:1 1_"T ~ 3 3 1 1 2 3 0 5(1)1.52,1.72 (2)( 1.2) ,( 1.25) (3)5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 . ,log 3 0.5解: (1 )••• y X 在[0,)上是增函数，1.5 1.71.52 1.721y=x ， y x 2， y=x -1 ；1 2 23x 2，y=x ， y=x 2，y=x 3 。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。

幂函数图像及性质总结表格幂函数图像及性质总结表格________________________________________一般来说，幂函数是指形式为f(x)=x^n (n是任意实数)的函数，在数学中，它被用来描述多种实际现象，并具有很强的表示能力。

本文将介绍幂函数的图像特征以及性质总结表格。

#### 一、幂函数的图像特征1、f(x)=x^n的图像有六种不同的形式：（1）当n为正奇数时，其图像为单调递增的开口向上的抛物线；（2）当n为正偶数时，其图像为单调递增的闭合曲线；（3）当n为负奇数时，其图像为单调递减的开口向下的抛物线；（4）当n为负偶数时，其图像为单调递减的闭合曲线；（5）当n=1时，其图像为直线y=x；（6）当n=0时，其图像为直线y=1。

2、f(x)=x^n的图像的性质可以通过下表总结出来。

| 指数n | 单调性 | 凹凸性 | 函数图像 ||:------:|:---------:|:---------:|:---------:|| n>0 | 递增 | 凸 | 抛物线 || n<0 | 递减 | 凹 | 抛物线 || n=1 | 直线 | 直线 | y=x || n=0 | 常数 | 常数 | y=1 |#### 二、性质总结1、f(x)=x^n (n为正实数)在x=0处取得极小值，在x→∞时取得极大值。

2、f(x)=x^n (n为负实数)在x=0处取得极大值，在x→∞时取得极小值。

3、f(x)=x^n (n为正实数)的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

4、f(x)=x^n (n为正实数)的函数图像关于y轴对称。

5、f(x)=x^n (n为正实数)在区间[0,+∞)上是单调递增的；在区间(-∞,0]上是单调递减的。

6、f(x)=x^n (n为正实数)的函数图像是凹凸性的。

当n为奇数时其函数图像是凹凸向上的，当n 为偶数时其函数图像是凹凸向下的。

7、f(x)=x^n (n是实数)在任意定义域上都是连续函数。

标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

幂函数9种图像总结幂函数是数学中的常见函数，定义如下：f(x) = x^n (n为实数)由于幂函数的图像有很多种，它们的图像类型主要有以下9种：一、指数函数图像如果n是正数，则幂函数称为指数函数。

它的图像表示为以x轴正半轴为起点向右曲线，曲线上的点接近线段。

二、平行于x轴的函数图像如果n为0，则幂函数的图像是一条平行于x轴的直线。

x轴正方向为函数的上升方向，x轴负方向为函数的下降方向。

三、单调递减函数图像如果n为负数，则幂函数可以表示为单调递减函数，也就是说曲线上的点是从右到左依次递减的。

四、交叉递增函数图像如果n为偶数，则幂函数可以表示为交叉递增函数，也就是说曲线上的点是从左到右依次递增的。

五、不规则曲线函数图像当n是奇数时，幂函数的图像就是一条不规则的曲线，曲线的形状随着n的增加而变化。

六、抛物线函数图像如果n为正奇数，则幂函数的图像表示为以x轴正半轴为焦点的抛物线，即x轴正方向为函数上升方向，x轴负方向为函数下降方向。

七、抛物线函数图像如果n为负奇数，幂函数的图像表示为以x轴负半轴为焦点的抛物线，即x轴正方向为函数下降方向，x轴负方向为函数上升方向。

八、椭圆函数图像如果n取任意实数值，幂函数的图像表示为一个椭圆，椭圆的长轴与x轴的负半轴平行，而短轴则与x轴的正半轴平行。

九、双曲线函数图像如果n为负偶数，则幂函数的图像表示为一条双曲线，双曲线一端接近x轴正半轴，另一端接近x轴负半轴。

以上就是幂函数的9种图像总结，它们分别可以用于不同环境中诸多数学问题的求解。

例如，如果要求某个函数图像的最高点，则可以使用抛物线函数图像来判断最高点的位置；如果要求某个函数的单调性，则可以使用单调递减函数图像来判断函数的单调性。

由此可见，幂函数的9种图像都具有其独特的特征，在不同的环境下都有不同的应用，其重要性不言而喻。

因此，对于学习数学知识的人来说，要掌握幂函数的9种图像是非常重要的。

只有彻底掌握这些图像，才能更好地理解数学知识，为解决数学问题提供有效的帮助。