经典幂函数及其性质.ppt

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3.3幂函数(共43张PPT)

解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn，因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)，所以 3＝3n，解得 n＝12，即 f(x)＝ x，所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减，所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0，所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.

高一数学幂函数的性质3PPT课件

以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x1/2
• （1）都是函数； • （2）均是以自变量为底的
幂；• （3）指数为常数；源自(4) y=x3 (5) y=x-1
• （4）自变量前的系数为1; • （5）幂前的系数也为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y= x 的函数。
补充练习
1
求函数 y(x2 4x8)2 的值域
提问与解答环节
Questions and answers
16
结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评估表，如果对我们
课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边
17
感谢您的观看与聆听
本课件下载后可根据实际情况进行调整
整体概况
+ 概况1
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况2
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况3
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。 2
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 __P_=_W__元____ p是w的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_S_=__a_²
一般地，函数y= x叫做幂函数，其中x是自
变量，α是常数.
注意:幂函数中α的可以为任意实数.
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(2) y 1 x2
(5) y=2x2 (6) y=x3+2
(3) y= -x2
1
(4) y x 2

第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)

1.幂函数的概念一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)，单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二幂函数的图象及其应用关键取决于α>0，α<0

高中数学课件-幂函数

奇偶性奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
x∈[0，＋∞)
单调性增
时，增 x∈(-∞，0]
增
增
时，减
x∈[0，＋∞) 时，增 x∈(-∞，0] 时，减
主页
[难点正本疑点清源] 1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．
≤
n
或
b 2a
n
f (m) 0 b2 4ac 0 f (n) 0
f(x)min>0(x∈[m, n])
④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)
在
[m,
n]
上恒成立
f f
(m) 0 (n) 0
f(x)max<0(x∈[m, n])
幂函数的图像与性质
知识点梳理
1．幂函数的概念一般地，我们把形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
变式训练 4
已知幂函数 f(x)＝ x(m2 m)1 (m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围．
解 (1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，而 m 与 m＋1 中必有一个为偶数， ∴m(m＋1)为偶数．
∴m>－1＋ 5.
[8 分]
由②得 Δ2＝(－m)2－4<0，即－2<m<2.
[12 分]
综上可得 5－1<m<2.
[14 分]

幂函数ppt

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2.用描点法画出①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；
1
④ y x 2 ；⑤y＝x－1的图象并指出其特点.
【解析】 (1)图象如下图所示：
(2)观察上面的函数图象会发现以下特征：
①图象都过点(1,1)．
1
②在第一象限内函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y x2
的图象自左向
右看都是上升的，也就是在[0，＋∞)上都是增函数，且这几种函数的
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幂函数PPT课件

2 1 0 0 1 2

图象性质应用（奇偶性和单调性）
1.画出幂函数 y x 的图象，并指出它的单调性 2.比较下列各组数的大小. (1) 1.5 ,1.7 ,1 (2) ( 2) ,( 3) ,( 5)
3 7 3 7 3 7
1 3
1 3
1 3
小结：

1.学习了幂函数的概念； 2.利用“还原根式”求幂函数定义域的方法； 3.利用幂函数在第一象限内的图象特征，并会根据奇偶性完成整个函数的图象。 4.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.
一幂函数的定义：
我们把形是实常数。
x 是自变量，
对定义的了解
1 例1：下列函数 : 1 y 3 ；2 y 3 x 2; x (3) y x 4 x 2 ;(4) y 个数为（）
3
x 2 ; 其中幂函数的
A．1 C．3
答案：B
B．2 D．4
对定义的了解
例2．若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是( ) A．3 B．－2 C．3或－2 D．k≠3且k≠－2
解：由题意可知： k2－k－5=1 所以k=3或k=-2
小组讨论，归纳幂函数.gsp
——通过对图象位置变化的观察，我们可以发现哪些规律性的结论？
课后作业
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 m2-2m-3（m∈N) （2）已知幂函数y=x 的图像与x轴、y轴都没有公共点，且关于y轴对称，求m的值。
问题探究：
整数m, n的奇偶性与幂函数 y x (m, n Z , 且m, n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？

幂函数-课件ppt

5．已知点 33，3 3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的定义域
为___(_－__∞_，__0_)_∪__(_0_，__＋__∞_)___,奇偶性为_____奇__函__数________，单调减区间为__(_－__∞_，__0_)_和__(_0_，__＋__∞_)_____．
二次函数的解析式已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－2，且它有最小值－1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式． [课堂笔记]
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有参数 α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数 y＝xα(α∈R)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则 α＜0.
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
(2014·山东青岛模拟)已知 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，
求 f(x)的最小值． [解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为 x＝1a.
在(－∞，－2ba)上是 ___增_____函数；在(－
2ba，＋∞)上是增函数 2ba，＋∞)上是减函数
最值
a＞0
当 x＝－2ba时，
ymin＝
4ac－b2 4a
a＜0
当 x＝－2ba时， ymax＝4ac4－a b2
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取

高一数学幂函数ppt课件.ppt

（4）只有1项；（5）这些例子中涉及的函数都是形能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“ 精准扶贫”项目
幂函数的定义
一般地 ,函数 y x 叫做幂函数 ,其中 x 是自变量 ,
下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用：
（基础练习）例4：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶
性和单调性．
(1)y x4
1
(2) y x 4
(3)y x3
解：（1）函数 y x4的定义域为R，它是偶函数，在 [0,)上是增函数，
在(,0)上是减函数．
1
（2）函数 y x 4 的定义域为[0,)，它是非奇非偶函数，在[0,)上是增函数．
（3）yx2 x（×）（4）yx2 （1 ×）
（5）y x2
（×）（6）y
1 x3
（√）
［总结］要判断一个函数是幂函数，判断的标准是它的定
义．根据定义，可以把幂函数的形式特征概括为：两个系
数为１，只有一项．
4
认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“ 精准扶贫”项目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“ 精准扶贫”项目
（巩固提升）例3：已知函数f(x)(m 22m )xm 2m 1,m为何值
时，是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次
函数；（4）幂函数．
解：
（感受理解）例5：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由．
1

高一数学《幂函数》PPT课件

函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且不等于1的常数，而幂函数的底数可以是任意实数。此外，指数函数的值域为正实数集，而幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,

《幂函数》函数的概念与性质PPT教学课件

提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
栏目导航
【例3】比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
x∈(－∞，0)
时，减函数
时，减函数
栏目导航
6
C [只有y＝3x不符合幂函数y 1．下列函数中不是幂函数的是＝xα的形式，故选C.] () A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
栏目导航
7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( )
第三章函数的概念与性质
3.3 幂函数
2
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、 1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
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.精品课件.
2
一、幂函数的概念的引入
阅读课本第85页的具体实例（1）－（5），思考下列问题：
1.它们的解析式分别是什么？若用 x 表示自
变量, y 表示 x 的函数,上述五个函数解析式
分别是什么?
.精品课件.
3
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数。y x
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2) y x2; (3) y 2x2; (4) y x2 1;
(5) y 1
思考：指数函数y=ax与幂
x
函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
.精品课件.
6
2.已知幂函数y = f (x)的图象经过点
（3 ，3 ），求这个函数的解析式。
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S = a²，这里S是a的函数。
y x2
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
是V = a³，这里V是a的函数。
y
3
x
问题4:如果1 正方形场地的面积为S，那么正方形的边
长问题a=5：，S如2果某这人里tas是内S骑的车函行数。进了1km，那么他y 骑x车12
的平均速度v = t1 km/s
，这里v是t的函数。
y
1
x
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用
y来表示,则它们.的精品课函件. 数关系式将是:y
a
x4
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂；
(3) y=x1/2
（3）指数为常数；
-22
-24
-26
.精品课件.
-28 -30
34 14
函数 y x3 的图像
定义域： R
值域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是.精增品课件函. 数
15
x
1
1
y x2 用描点法作出函数y x2 的图象.
0
0
1
1
2
1.414
3
1.732
5
4
2
4
5
2.236
6
2.449
3
7
2.646
a1 2
1
y x2
.精品课件.
8
1
3.如果函数f (x) = (m2+2m－2) x m2 1 2n 3
是幂函数，求实数m,n的值。
解：由题意得
m2 2m 2 1 m2 1 0 2n 3 0
解得m 3, n 3 .
.精品课件.
2
9
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
分析：例题要求函数的解析式，首先由题知，此函数是幂函数，也就符合幂函数的一般形式 y x ，而且我们知道图像(过2点, 2 )
只要把点带入解析式中即可求出a，也就可以求出函数的解析式。
待定系数法
.精品课件.
7
解：设所求幂函数的解析式为y x
(3, 3)因为点在函数图像上，所以代
入解析式得： 3 3a
(4)
1
y x2
(5)
y x1
.精品课件.
19
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
.精品课件.
20
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
幂函数及其性质
.精品课件.
1
学习目标
一、知识目标：
1.通过实例了解并记住幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能
自行发现幂函数的性质. 3.记住幂函数的性质并会应用. 能力目标：
通过观察图象特征来归纳函数性质, 从而培养学生数形结合的能力. 情感目标：
通过观察图象体会数学的简洁美.
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数底数
幂值幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：
看未知数x是指数还是底数
指数函数 .精品课件.
幂函1数0
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
.精品课件.
(4) y=x3
（4）自变量前的系数为1;
(5) y=x-1
（5）幂前的系数也为1。
一般地，函数y= x叫做幂函数，其中x是自
变量，α是常数.
注意:幂函数中α的可以为任意实数.
.精品课件.
5
一、幂函数的定义：一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量，为常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
y x1
定义域 R 值域 R
R
R [0，+∞），0 （0，+）
[0，+∞） R [0，+∞），0 （0，+）
奇偶性奇函数偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性公共点
在（－∞,0] 在R上上是减函是增函数，在(0, 数 +∞）上是
单调性：在[0,)上.精品是课件.增函数
17
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0}
值域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上.精是品课件减. 函数
18
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
8
2.828
9
3
1
10
3.162
0
11 12
3.317 3.464
--11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
13
3.606
14
3.742
15
3.873
16
4
.精品课件.
16
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值域： [0,)
奇偶性：非奇非偶函数
11
函数 y x的图像
定义域： R
值域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是.精增品课件函. 数
12
函数 y x2 的图像
定义域： R
值域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上.精是品课件减. 函数
13
用描点法作出函数y=x3的图象.
x
y=x3
-3