一元二次方程的解法----十字相乘法教案

第5课 一元二次方程的解法（5）——十字相乘法班别： 姓名： 学号：一、问题引领1、掌握运用十字相乘法进行因式分解；2、提高运用所学知识解决数学问题的能力。

二、启发交流填空：=++)3)(4(x x =+-)2)(5(x x =--)6)(1(x x三、自主探索试一试：1272++x x =（ ）（ ） 1032--x x =（ ）（ ） 672+-x x =（ ）（ ）可见，形如ab x b a x +++)(2的多项式可使用公式进行因式分解，这种方法我们又称为十字相乘法。

想一想：怎样的多项式能用十字相乘法进行因式分解呢？形如ab x b a x +++)(2的多项式的特征： ① 项式② 二次项系数为 ③ 常数项为两数之④ 一次项系数为这两个数之四、探究升华例题：用十字相乘法解下列方程（1）0652=++x x ；（2）0652=+-x x ；（3）0652=-+x x ；（4）0652=--x x 解：（1）0652=++x x（2）0652=+-x x（3）0652=-+x x（4）0652=--x x方法点拨：形如ab x b a x +++)(2的多项式因式分解，关键在常数项的分解。

当常数项是正数时，它分解成两个 号因数，它们和一次项系数的符号 ；当常数项是负数时，它分解成两个 号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号 。

五、基础训练1、用十字形成法解下列方程（1）022=-+x x （2）01522=--x x（3）0342=++x x （4）01072=+-a a（5）03652=--p p （6）0822=-+t t（7）0892=++x x （8）024102=+-x x（9）01032=-+x x （10）02832=--x x2、（1）如果)5)(9(452+-=-+x x mx x ，则___.m =（2）若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为 ，n 的值为六、拓展训练1、用十字相乘法解下列方程 （1）028)1(11)1(2=++++x x（2）0652222=--x y x y x（3）07824=+-a a七、中考链接（2007年临沂市）如果34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 等于（ ）A 、 -6B 、 6C 、 -9D 、9。

用十字相乘法解一元二次方程教学目标：1、理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。

2、在分解因式的基础上进行解一元二次方程。

教学重点：用十字相乘法解一元二次方程。

教学难点：用十字相乘法解一元二次方程。

教学过程：一、导入：1、提问：分解因式的方法？2、计算:(x+2)(x+3)二、合作探究：我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。

把2x px q ++分解因式时：如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。

如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数。

由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解。

我们知道，()()()1122212122112212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++ 反过来，就得到()()()2121221121122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：1a 1c 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ， 2a 2c 如果它们正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bxc ++就可以分解成()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，2a ，2c 位于下一行。

第7课时§2.4.1 因式分解法——十字相乘法教学目标1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式；2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。

教学重点和难点重点：运用十字相乘法求解一元二次方程难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。

二、师生共同研究形成概念1、 复习分解因式分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。

3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。

二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？特点：1）二次项系数是1；2）常数项是两个数之积；3）一次项系数是常数项的两个因数之和。

2、 十字相乘法步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。

关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式3、 讲解例题例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ；5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。

分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。

例2 分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652--x x 。

分析：此例题中各式都有很大的相同之处。

只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把四个多项式分解因式。

十字相乘法解一元二次方程【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式；2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式.【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p.【教学过程】【复习导入】1、我们学过了哪些解一元二次方程的方法？2、分别用配方法和公式法解方程：2430++=x x你能用因式分解法解这个方程吗？【打开记忆之门】如何将多项式x2+4x+3分解因式吗？归纳：x2＋(p＋q)x＋pq= ，这种分解因式的方法称为十字相乘法练一练：用十字相乘法分解因式：（1）x2-2x-15 （2）y2 +4y-12（3）x2-6x+8 （4）3x2-4x-15【自主学习】用十字相乘法解下列方程：（1）x 2+x-2=0 （2）x 2-7x+12=0（3）x 2-4x-21=0 （4）2y 2+3y-2=0【反馈检测】1、在横线上填上适当的运算符号或数字（1）x 2-x-6=（x 2）（x 3） （2）x 2+7x+12=（x+ ）（x+ ）（3）x 2 3x-10=（x-2）（x+5） （4）x 2-12x 35=（x-5）（x 7）2、选择适当的方法解方程：（1）x 2－3x －10=0 （2）x 2-2x-35=0（3）3x 2+10x-8=0（4）(x+3)(x －1)=5 【小结】1、请你谈谈如何根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程？2、本节课你还有什么疑问？【拓展延伸】解方程：10(x ＋2)2 －29(x ＋2) ＋10=0【作业】1、用十字相乘法解下列方程：（1）2120x x --= （2）212320x x ++=2、用适当的方法解下列方程：（1）212270x x ++= （2）3x （x+2）=5（x+2）（3）28110x x -+= （4）22(3)9x x -+=。

新授课补1 用十字相乘法解一元二次方程通过对例题的研究，初步掌握用十字相乘法解一元二次方程； 教学重点： 用十字相乘法解一元二次方程 教学难点： 十字相乘法解原理的理解。

一 体 化设 计：导入新课 十字相乘法原理研究 例题 练习、巩固 教学过程：一、复习准备：在初中,我们学习过用公式法解一元二次方程，但这种方法对解系数比较简单的一元二次方程显得比较麻烦，用十字相乘法解解一些系数比较简单的一元二次方程比较快，这节课就学习用十字相乘法解一元二次方程。

（二）探索新知二、讲授新课：1. 我们知道，2()()(),mx a nx b mnx na mb x ab ++=+++反过来， 2()()()mnx na mb x ab mx a nx b +++=++如果二次三项式2rx px q ++的①二项式系数r 恰好能分解成两个因数,m n 的乘积，②常数项q 恰好可以分解成两个因数,a b 的乘积， 而且③一次项系数p 又恰好是na mb +，那么22()()()rx px q mnx na mb x ab mx a nx b ++=+++=++2. 例如：2223221(1(1)22(1)2=(21)(2)x x x x x x +-=⨯+⨯-+⨯+-⨯-+上式不易记住，我们可以借助画十字交叉线来表示，212x x -⨯ 按照十字相乘，它们的和是43x x x -=，所以 2232(21)(2)x x x x +-=-+3. 对二次三项式2rx px q ++因式分解时22()()()rx px q mnx na mb x ab mx a nx b ++=+++=++借助画十字交叉线来表示，mxanx b ⨯这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到na mb +，如果它正好等于2rx px q ++的一次项系数p ，那么2()()rx px q mx a nx b ++=++，这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．2. 例题：例1 用十字相乘法解一元二次方程：(1) 25240x x +-= (2) 212520x x --=必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例2 用十字相乘法解一元二次方程：（1）2(2)20x a x a +++=（2）2(21)20ax a x -++= 0a ≠三、练习与作业1. 2230x x +-=2. 219600x x ++=3. 2450x x --=4. 22150x x --=5. 220x x +-= 6 2524x x +-=07 25410x x --= 8 229350x x --=9. 2610x x --= 10 261130x x -+=11. 241130x x +-= 12 2141760x x --=13 26120x x --= 14. 2182150x x -+=15. 26750x x -++= 16 236240x x --=17. 23642100x x -+= 18 2623200x x ++=19. 2(1)0x a x a -++= 20. 223(2)0x x m m +-+-=。

2.1 认识一元二次方程——十字相乘法、解法综合说课稿一、教材分析1. 教材背景《2022-2023学年北师大版数学九年级上册》是九年级数学教材的一册，本节的内容是关于一元二次方程的认识与解法，重点介绍了十字相乘法和解法综合。

2. 教学目标•掌握十字相乘法的基本操作步骤和应用场景；•熟练掌握一元二次方程的一般解法；•帮助学生理解一元二次方程的图像和性质。

二、教学重难点1. 教学重点•十字相乘法的运用；•一元二次方程的解法。

2. 教学难点•帮助学生更深入理解一元二次方程的图像和性质。

三、教学过程1. 导入与引入首先，我将使用板书或投影仪展示一个一元二次方程的例子，引导学生观察方程中的各个部分，帮助他们理解方程的结构。

2. 正文内容（1）认识一元二次方程我将通过一个简单的实例来介绍一元二次方程，并与学生一起探讨方程中的系数、变量和常数项的含义。

同时，我将解释一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生对方程的兴趣。

（2）十字相乘法介绍十字相乘法的概念和基本操作步骤，通过几个具体的例子来演示十字相乘法的应用。

我将鼓励学生积极参与思考，并多次进行操练，提高他们的计算能力。

（3）解法综合在学生掌握了十字相乘法后，我将引入解法综合，与学生一起讨论何时使用十字相乘法，何时使用因式分解法和配方法来解一元二次方程。

我将通过比较不同解法的优劣，增强学生的问题解决能力和综合运用能力。

3. 教学辅助材料为了帮助学生更好地理解和记忆所学内容，我将准备一些教学辅助材料，如习题、课件、实物模型等。

这些材料不仅可以提升教学效果，还可以培养学生的动手能力和实际操作能力。

4. 教学评估在教学过程中，我将采用多种形式的评估方法来检查学生的学习情况，例如课堂练习、小组合作讨论、个人总结等。

这些评估方式可以帮助我及时了解学生的掌握程度，有针对性地进行巩固和提高。

四、课堂小结通过本节课的学习，学生应该能够熟练掌握十字相乘法的基本操作步骤和应用场景，掌握一元二次方程的一般解法，并且能够理解一元二次方程的图像和性质。

解一元二次方程十字相乘法教案(一)解一元二次方程十字相乘法教案1. 教学目标•理解一元二次方程十字相乘法的概念与原理•学会使用十字相乘法解一元二次方程的方法•掌握运用十字相乘法解决实际问题的能力2. 教学准备•黑板、粉笔•教材、练习题3. 教学内容与步骤第一步：引入概念1.引导学生回顾二次方程的定义。

2.引入十字相乘法的概念，并解释其背后的原理。

第二步：解一元二次方程的步骤1.给出一个简单的一元二次方程，例如：x^2 - 5x + 6 = 0。

2.按照以下步骤进行解题：–将方程转化为括号形式：(x - a)(x - b) = 0。

–根据方程的形式，利用十字相乘法得出 a 和 b 的值。

–根据 a 和 b 的值，写出方程的两个根。

3.通过多个例题，巩固学生对解一元二次方程的十字相乘法的理解。

4.强调注意事项，例如方程无解时或只有一个解时的特殊情况。

第三步：应用实例1.给出一些实际问题，例如：某数的平方减去这个数的两倍再加上1等于0，求这个数。

2.引导学生将问题转化为一元二次方程，并运用十字相乘法解决问题。

4. 拓展练习1.让学生在课后完成一些练习题，巩固解一元二次方程十字相乘法的能力。

2.鼓励学生运用所学知识解决更多的实际问题。

5. 小结与评价1.总结一元二次方程十字相乘法的解题步骤与技巧。

2.确保学生理解并掌握所学内容，及时解答他们的疑惑。

3.对学生的学习情况进行评价，并提供积极的反馈。

6. 参考资料•教材•练习题集7. 教学延伸1.给学生讲解使用十字相乘法解一元二次方程时的常见错误，并指导学生如何避免这些错误。

2.引导学生思考，如果方程不是标准的二次方程形式，如何将其转化为适合使用十字相乘法解题的形式。

8. 探究性学习1.提供一些较为复杂的一元二次方程，让学生自己尝试使用十字相乘法解决问题。

2.引导学生思考，在实际生活中可以应用十字相乘法解决哪些问题，如何解决。

9. 课外拓展1.推荐学生阅读相关的数学书籍或网站，进一步了解十字相乘法以及解一元二次方程的其他方法。