新人教版 8年级上 数学--十字相乘法分解因式导学案--教案

14．3因式分解14.3.3 十字相乘法教学内容14.3.3 十字相乘法课时1核心素养目标1.会用数学的眼光观察现实世界：十字相乘法要求学生在已有的方法上，培养学生的观察能力和理解运用的能力.2.会用数学的思维思考现实世界：在对十字相乘法因式分解的探究中，深入学习整式的乘法与因式分解的关系，培养逆向思维能力.3.会用数学的语言表示现实世界：通过对运用十字相乘法进行因式分解的探究学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，培养类比归纳的能力逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.知识目标1.理解并掌握十字相乘法的特征和使用十字相乘法因式分解的条件.2.能正确使用十字相乘法进行因式分解.教学重点理解并掌握十字相乘法的特征和使用十字相乘法因式分解的条件.教学难点正确使用十字相乘法进行因式分解.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、回顾导入二、探究新知一、旧知回顾，导入新知1.因式分解和整式乘法的关系是？师生活动：教师引导学生分析因式分解和整式乘法的关系：得出：两者是方向相反的变形.2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？师生活动：教师引导学生回忆与总结：二、小组合作，探究概念和性质知识点：十字相乘法因式分解合作探究探究：1.计算：(1) ( x + 2 )( x + 3 ) = ___________；(2) ( x- 4 )( x + 1 ) =____________；(3) ( x + 4 )( x- 2 ) =____________；设计意图：通过问题串的形式，引导学生独立思考，实现从整数到整式的过渡，培养类比数的性质学习整式的学习方法.设计意图：用计算结果的直观展示，让学生感悟出多项式的乘法中有着特殊计算结果的算式，培养学生的观察总结的能力.2. 根据题1 和等式的性质填空：(1) x2 + 5x + 6 = ______________ ；(2) x2- 3x- 4 =_______________；(3) x2 + 2x- 8 =_______________；师生活动：学生独立完成填空，在教师的引导下发现并总结运算规律.观察因式分解算结果，你能发现什么规律？师生活动：学生独立完成填空，在教师的引导下发现运算规律并提出猜想. 教师完成总结：十字相乘法求因式分解：运算法则：x2 + (p + q)x + p q = (x + p)(x + q)条件：1. 多项式为二次三项式；2. 多项式常数项可分解成两个因式，且两个因式的和等于一次项系数.典例精析例1 分解因式：x2−5x + 6 .师生活动：学生根据十字相乘法的条件特点，尝试进行运算，选一名学生板书，教师在旁整理分析，总结计算方法.练一练1. 把下列多项式因式分解：(1) x2- 6x + 8；(2) x2 + 4x- 5 .师生活动：学生独立完成运算，选一名学生板书，教师与其余学生共同评价与完善板书.设计意图：用计算结果的直观展示，让学生观察总结能够用十字相乘法进行因式分解的多项式的特征.设计意图：锻炼运用提公因式法进行因式分解的能力，规范正确的解题步骤.设计意图：锻炼运用提公因式法进行因式分解的能力，培养学生建立几何与数式之间的联系.三、当堂练习，巩固所学三、当堂练习，巩固所学1.下列因式分解正确的是( )A．x3－4x = x(x2－4)B．x2－x－2 = (x + 1)(x－2)C．x2 + 2x－1 = (x－1)2D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 12.把多项式x2 + m x－5因式分解成(x + 5)(x－n)，则m的值为( ).A．m = 4 B．m = 3 C．m = 6 D．m = 53.因式分解：(1) 2x2 + 6xy + 4y2；(2) -3a2 + 18a- 24.4. 已知整式A = x(x＋3)＋5，整式B = ax－1.(1) 若A＋B＝(x－2)2，求a的值；(2) 若A－B可以分解为(x－2)(x－3)，求a的值.设计意图：考查学生因式分解的概念的掌握.设计意图：考查学生运用十字相乘法进行因式分解的理解和运用.设计意图：检验学生运用十字相乘法进行因式分解的理解和运用的掌握情况.板书设计14.3.3 十字相乘法运算法则：x2 + (p + q)x + p q = (x + p)(x + q)条件：1. 多项式为二次三项式；2. 多项式常数项可分解成两个因式，且两个因式的和等于一次项系数.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。

2ax bx c ++十字相乘法分解因式教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解；教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。

教学难点：1.在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。

2.能用十字相乘法分解二次项系数a 不是1的 二次三项式 的因式分解。

教学过程：任务一:复习旧知什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？ 任务二：我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。

例1 分解因式：（1）232x x ++ （2） 276x x -+ （3）2421x x -- （4）2215x x +-小结：把2x px q ++分解因式时：如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。

如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p 。

另外，我们也可以用十字相乘法把二次三项式2x px q ++分解因式。

十字相乘法一、十字相乘法分解因式的意义：利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。

（1）∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 如图（1）（2）又∵(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2∴a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2) 如图（2）二、十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。

这种方法的关健是把二次项的系数a可以分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2), 在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

三、例题分析：例1 把下列各式分解因式：(1)x2+2x-15 (2)x2-6x+8(1)分析：常数项(-15)＜0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。

在分解时，可用下面的式子进行验算。

说明：在竖式验算后写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1 时，会出现错误的。

(2)分析：常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)。

其中只有-2与-4的和为-6。

解：x2-6x+8=(x-2)(x-4)例2 把下列式子分解因式：a2-5ab-24b2分析：把原式变形为式a2-(5b)a-24b2，即把-5b看作a的系数，把-24b2看作常数项，这样可将原式看成a的二次三项式，用十字相乘法试算。

124)3(2--x x 221811)4(y xy x ++
第（4）小题学生可能会出现问题，就是182y 分解时，不是分解成2和9，而是分解成2y 和9y 。

注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
【拓展练习】
209)5(24+-x x
6)(5))(6(2-+-+y x y x
6552)7(22-+-+-y x y xy x
（五）自主小结，达成共识
1、这堂课中你学到什么？你有什么感受？
2、你还有什么问题需要解决。

（六）教学反思：
本课时属数学教材八年级上学期第十四章《整式乘法与分解因式》的补充内容，由于这一内容在九年级解一元二次方程中有很大的应用价值，此内容并不会增加学生负担，学习此内容可开阔学生视野，锻炼学生的思维，所以，我安排了此课时。

学生的掌握难度并不大，增补在介绍十字相乘法时，先从乘法公式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字相乘。

最后出现的问题在交叉相乘以后对分解式的书写，正确的应是横向书写，所以要多强调、多指导、多个别指出学生的错误。

对于不足，本节课的最大问题是教学环节之间的衔接没有处理好，环与环之间的扣没扣好，表现在课堂上就是显得很不紧凑。

另外，对学生的探究指导不够充分。

14.3 因式分解：十字相乘法和分组分解法教案一、教学目标1.了解因式分解的基本概念和作用；2.掌握因式分解中的十字相乘法和分组分解法；3.运用十字相乘法和分组分解法进行因式分解；4.培养学生逻辑思维和综合运算能力。

二、教学重点1.十字相乘法的运用；2.分组分解法的运用。

三、教学难点1.结合具体题目，选择合适的因式分解方法；2.解决实际问题中的因式分解问题。

四、教学过程1. 导入新知识（5分钟）教师简单介绍因式分解的基本概念和作用，向学生解释因式分解在数学中的重要性和应用场景，以引发学生的兴趣。

2. 十字相乘法（15分钟）1.解释十字相乘法的基本原理：对于一个二次三项式ax^2 + bx + c，通过找到两个数m和n，使得m n等于a c，并且m + n等于b，就可以通过十字相乘法将二次三项式进行因式分解。

2.通过示例进行讲解和演示，呈现具体的步骤和应用技巧。

3. 分组分解法（15分钟）1.解释分组分解法的基本概念：对于一个二次四项式ax^2 + bx + cy + d，通过将这个四项式分成两组，然后利用两个组之间的关系进行因式分解。

2.通过示例进行讲解和演示，呈现具体的步骤和应用技巧。

4. 综合应用（15分钟）1.教师讲解一些综合应用题，涵盖十字相乘法和分组分解法的题型；2.学生进行课堂练习，要求学生根据题目选择合适的因式分解方法进行解答；3.教师进行讲解和点评，引导学生总结方法和思路。

5. 拓展延伸（10分钟）1.教师提出一些拓展问题，要求学生运用所学的因式分解方法解决问题；2.学生进行思考和讨论，寻找解决问题的思路和方法；3.教师进行讲解和指导，引导学生扩展思维和应用能力。

6. 小结复习（5分钟）教师对本节课的内容进行小结，强调重点和难点，帮助学生梳理知识框架。

五、教学反思本节课通过简单介绍因式分解的基本概念和作用，引发学生的兴趣。

然后分别讲解了十字相乘法和分组分解法的基本原理和应用技巧，并通过示例进行演示和讲解。

八年级数学上册 14.3.3 十字相乘法导学案（新版）新人教版1、会用字相乘法把形x2+px+q的二次三项式分解因式；2、培养自己的观察、分析、抽象、概括的能力、学习重点：能熟练地用字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式。

学习难点：把x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b,使ab=q、a+b=p、学习过程：一、自主学习：(一)课前检测，回顾旧知：1、分解因式：（1）x2-4x+4；（2）x2+6x+9、2、填空：（ x+a）（x+b）= 反之，x2+（a+b）x+ab=(二)基础知识导学，感受新知：由上面的回顾旧知可知形如x2+px+q的二次三项式，如果常数项 q 能分解成两个因数a、b的积，并且a+b 恰好等于一次项系数p,那么它就能分解因式，即x2+px+q= x2+（a+b）x+ab=（ x+a）（x+b）例如：（1）x2+7x+6=（x+1）（x+6）（2） x2+6x-7=(x+7)(x-1) X2分解为6分解为 x2分解为1像这样借助字交叉线分解因式的方法，通常叫字相乘法。

顺口溜:竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

步骤：（1）竖分二次项与常数项；（2）交叉相乘和相加；（3）检验正确，横写因式、二、合作交流探究与展示1、在例（1）中6为什么不分解成23呢？或者分解成（-1）（-6）呢？每一根对角线上的两项的积的和是多少？正好等于谁？2、（1）如果常数项是正数，那么它分解成的两个因数有什么特点？（2）如果常数项是负数，那么它分解成的两个因数又是什么特点？（3）你有什么发现？三、当堂检测：必做1、用字相乘法分解下例因式（1）y2+9y+8; (2)x2-5x+6; (3)x2+2x-3; (4)a2-3a-10; (5)x2+x-30、 B组2、用字相乘法分解下例因式（1）x2-5xy+6y2; (2)x4+2x2-3;(3)y4+3y2-28; (4)3 x2-2x-8、。

因式分解——十字相乘法导学案【学习目标】（1）了解“二次三项式”的特征；（2）理解“十字相乘”法的理论根据；（3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。

【学习过程】一 、自主学习请直接填写下列结果（x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ； （x-2）（x-1）= 。

（x+p ）（x+q ）= x 2+(p+q)x+pq问题：把上述式子左右对调，你有什么发现？二、探索新知（1）先学后练：把x 2+3x+2分解因式分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项(+1) ＋ (+2) ＝+3 --------- 一次项系数 ---------- 十字交叉线2x + x = 3x 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2) 练：652++x x = 。

（2）先学后练：把x 2+6x-7分解因式x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x x x 12⨯x ⇓⇓7⨯x 1-练：因式分解①x 2-8x+15 ②x 2+4x+3 ③ x 2-2x-3④1522--x x ； ⑤2265y xy x +-．归纳：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（3）先学后练：把-x 2-6x+16 分解因式提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。

练： ①-x 2-5x-6 ②-x 2+3x+4 ③ -x 2-2x+8 ④ -x 2+8x-15（4）用十字相乘法分解因式：①2x 2-2x-12 ②12x 2-29x+15③3522--x x ； ④3832-+x x ．归纳：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。

三、巩固训练1．分解因式：（1）1522--x x (2) 1032-+x x （3）3522--x x 2．分解因式：（1）22157x x ++； (2) 2384a a -+；(3) 2576x x +- (4) 261110y y --3．分解因式：(1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2(3)x 4-8x 2+16 （4）2ax 2+6ax+4a四．巩固训练先阅读学习，再求解问题：材料：解方程：=-+1032x x 0。