河北省石家庄市第二中学2020届高三下学期教学质量检测(开学考试)数学(理)试题(图片版,无答案)

石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。

河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高三下学期教学质量检测（开学考试）数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知全集U =R ，集合(){}40A x x x =-<，(){}2log 12B x x =-<，则UAB =（ ）A ．{}14x x <<B ．{}01x x <≤C ．{}04x x <<D ．∅2．对于任意复数12,z z ，任意向量,a b ，给出下列命题： ①1212z z z z +≤+；②a b a b +≤+；③若2212z z =，则12=±z z ；④若22a b =，则a b =±其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）AB C D ．34．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．[Failed to download image :blob:/b68ae02b-5fcb-450f-95a9-b25fe6e7daca]C ．D ．[Failed to download image :blob:/8a13a527-65fd-4051-91a7-c929f6e85b6d]5．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒.根据以上性质，z =）A ．2BC ．2D ．26．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ） A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n 为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．238．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．742+ B ．44+ C ．1742π++ D ．144π+ 9．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1910．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B ．C ．D ．11．函数()()1ln xf x x e x k =---在()0,∞+上有唯一零点0x ，下列四个结论：①1k =；②1k >；③001x x e=；④0112x e <<其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．过椭圆()2214x y λλ+=>上一点P 作圆()22:11C x y -+=的切线，且切线的斜率小于0，切点为M ，交椭圆另一点Q ，若M 是线段PQ 的中点，则直线CM 的斜率（ ）A ．为定值2B C ．为定值D ．随λ变化而变化第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知向量()1,1a =，向量b 与a 的夹角为34π，且1a b +=，则b =______. 14．在41(1)x x--的展开式中，常数项为________． 15．请你举出与函数()sin 2f x x =在原点()0,0处具有相同切线的一个函数是______.三、双空题16．棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为______.四、解答题17．n S 为数列{}n a 的前n 项和满足：()*422nn n S a n N -=∈.（1）设1n n n b a a +=+，证明{}n b 是等比数列； （2）求n S .18．如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △.若M 为线段1A C 的中点.（1）证明//MB 平面1A DE ，并求MB 的长；（2）在翻折过程中，当三棱锥1A DEM -的体积取最大时，求平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值.19．某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据()()()1122,,,,n n x y x y x y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆn i ii ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =- 20．已知点()1,0A -，()1,1B -和抛物线2:4C y x =，过点A 的动直线l 交抛物线于,M P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，O 为坐标原点.（1）求OM OP ⋅； （2）证明：PQ 恒过定点.21．已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（1）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围；（2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<. 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线21221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），2:x C y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线30:C θθ=（ρ∈R 且0ρ≠）. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若3C 与1C 相交于点A ，3C 与2C 相交于点B ，当0θ为何值时，AB 最大，并求最大值.23．已知函数()121f x x x =--+的最大值为M . （1）求M ；（2）若,,a b c 均为正数，证明：a b cM b c c a a b++≥+++.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据二次不等式与对数不等式的求法分别求出集合,A B ,再求UA B 即可.【详解】(){}{}40|04A x x x x x =-<=<<,(){}{}2log 12014B x x x x =-<=<-<{}15x x =<<.故{|1UB x x =≤或5}x .所以{}01UA B x x ⋂=<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查了二次不等式与对数不等式的求解,同时也考查了集合的基本运算.属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】对①②,根据复平面内复数的运算与平面向量运算,数形结合辨析即可. 对③,根据复数的运算推导.对④,举出反例判定即可. 【详解】对①②,复数在复平面内的运算与平面向量的运算相似,均满足平行四边形法则,根据向量的三角不等式有a b a b +≤+,故1212z z z z +≤+也成立.故①②正确.对③, 2212z z =则()()12120z z z z +-=,由复数的运算可知, 12=±z z .故③正确.对④, 若22a b =则a b =,不一定有a b =±.故①②③正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数与平面向量的基本运算辨析,属于基础题. 3．C【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于实轴长列出关于,,a b c 的关系式求解即可. 【详解】渐近线方程by x a =±,即0bx ay ±=.故右焦点(),0c 到渐近线的距离d b ==.故2b a =.即2222244b a c a a =⇒-=,解得ca=故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的运算,需要根据题意建立关于,,a b c 的关系式求解.属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 为偶函数，然后通过构造函数()()f x xg x =，()sin g x x x =+，可判断()g x 是单调递增函数，从而可得到0x >时，()(0)0g x g >=，即可判断0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x ''=+>，从而可确定()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到答案． 【详解】因为22()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=--=+=，所以()f x 为偶函数，选项B 错误，2()sin (sin )f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0≥g x x '=+恒成立，所以()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()(0)0g x g >=，故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x ''=+>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，排除CD ，故只有选项A 正确． 故选：A ．本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题． 5．D 【解析】 【分析】易得z 的几何意义为点(),M x y 到点()()()1,0,1,0,0,2A B C -的距离之和的最小值.此时点(),M x y 为费马点,再根据120AMB ∠=︒求解(),M x y 的坐标,进而求得最小值即可. 【详解】由题z 的几何意义为点(),M x y 到点()()()1,0,1,0,0,2A B C -的距离之和的最小值. 由题可知,此时120AMB ∠=︒,且(),M x y 在y 轴上.故OM ==2AM BM OM ===2CM =故z 222+=+故选：D 【点睛】本题主要考查了根据距离公式数形结合求解最小值的问题,需要根据题意画出坐标系,再结合所给费马点的定义求解.属于中档题. 6．A 【解析】 【分析】根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小.【详解】 因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z << 故选：A. 【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】 转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-， 10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】易得该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,再分别根据面积公式求解即可. 【详解】该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,且四分之一圆锥底面半径为1,高为1.三棱锥为墙角三棱锥,三条直角边长分别为1,1,2.故该几何体的表面积为211111111111212442222ππ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+144π=+. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三视图求解几何体表面积的问题,需要根据题意三视图确定几何体的形状,再分别计算各边长,再利用公式求解即可.属于中档题.9．A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B 【解析】 【分析】设BAC θ∠=,根据ABC 的余弦定理可得cos θ关于,b c 的关系式,再根据,ABM ACM 中的余弦定理可求得,b c 的关系式,进而化简得到sin θ关于,b c 的关系式,再表达出ABC 面积的公式,化简求解最大值即可. 【详解】设BAC θ∠=,在ABC 中有余弦定理2224cos 2b c bcθ+-=. 在,ABM ACM 中,因为AMB AMC π∠+∠=,故cos cos 0AMB AMC ∠+∠=.即()()()()2222222202222c b c c b b c b c b +--+--+=⋅-⋅-.化简可得2248b c bc +=-.故2224212cos 2b c bc bc bcθ+--==.故sin θ==故12ABCS==2=设0t bc =>,则22ABCS==当4t =时取得ABC 面积的最大值为故选：B 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用,同时也考查了二次复合函数的最值问题.需要根据题意确定边角的关系,进而表达出面积关于边长的关系式,再换元利用二次函数的性质求解.属于难题. 11．A 【解析】 【分析】求导可得()()1'1xf x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,再根据函数的单调性以及极值点和零点即可知0x 为函数()f x 的零点和极小值点,进而根据0x 满足的关系式逐个选项判定即可.【详解】由题,()()()()111'111xxx x x f x e xe e x x e x x x +⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪⎝⎭, 令()'0f x =,因为()0,x ∈+∞,故10xe x-=. 设10xe x-=的根为1x ,则可知在区间()10,x 上()'0f x <,()f x 单调递减； 在区间()1,x +∞上()'0f x >,()f x 单调递增.又当0x +→时, ()f x →+∞；当x →+∞时, ()f x →+∞. 故()f x 在1x x =时取最小值,且()10f x =,故10x x =.且01x e x =,即00ln x x =-.故③正确. 因为()()00001ln 0xf x x e x k =---=,即000000ln 11xk x e x x x x =--=-+=. 故①正确.②错误.令()xg x xe =,()0,x ∈+∞,则()()'10xg x x e =+>,故()xg x xe =为增函数.又()12011122g e g x ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭,故012x >.故④错误.综上,①③正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点问题,需要根据题意求导分析函数的单调性,进而得到零点满足的关系式,再逐个性质进行判定即可.属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】因为M 是线段PQ 的中点,故可设()00,M x y ,再用点差法根据直线CM 与PQ 垂直斜率相乘等于1-求出切点M 的坐标,再求出直线CM 的斜率即可. 【详解】设()00,M x y ,()()1122,,,P x y Q x y ,则22122122121222224044x y x x y y x y λλ⎧+=⎪-⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩,化简可得()121212124y y x x x x y y -+=--+ .因为M 是线段PQ 的中点,故1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.代入化简可得PQ 的斜率04PQ x k y =-. 又直线CM 与PQ 垂直,故0000141x yy x -⋅=--,解得043x =,代入圆()22:11C x y -+=可得03y =.故直线CM的斜率为3413=-为定值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之间的关系列式求解.属于中档题. 13．()0,1-或()1,0- 【解析】 【分析】数形结合可设()0,b y =或者(),0b x =,再分别根据向量坐标的模长公式代入1a b +=求解即可. 【详解】建立平面直角坐标系,不妨设a ,b 起点均在原点.因为向量b 与a 的夹角为34π,故可设()0,b y =或者(),0b x =,,0x y <.当()0,b y =时,因为1ab +=,1=,解得1y =-.当(),0b x =时,因为1a b +=,1=,解得1x =-.故()0,1b =-或()1,0b =-.故答案为：()0,1-或()1,0- 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,需要根据题意建系确定b 的方向,再设坐标进行计算.属于中档题. 14．－5 【解析】 【分析】 易知41(1)x x--的展开式的通项4214(1)(1)rr m m r m r r T C C x --+=-⋅-.故常数项为135T T T ++，带入计算即可. 【详解】 易知41(1)x x --的展开式的通项4141(1)()r r r r T C x x-+=--， 又1()rx x-的展开式的通项121()(1)m m r m m m r m m r r R C x x C x ---+=-=-， 所以4214(1)(1)r r m m r mr r T C C x --+=-⋅-.令20r m -=，得2r m =. 因为04r ≤≤，所以02m ≤≤， 所以当0,1,2m =时，0,2,4r =.故常数项为042211402213544244(1)(1)(1)(1)(1)5T T T C C C C C ++=-+-⋅-+-⋅-=-.故答案为：5- 【点睛】本题主要考查二项式定理求常数项，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.15．22x y e =-（满足题设条件的函数均可） 【解析】 【分析】先求出函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程,再构造常见的函数分析即可. 【详解】由题,()'2cos2f x x =,故()'02cos02f ==,故函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程为2y x =.故可考虑如函数(),0xg x ae b a =+≠,此时()'xg x ae =,故()0'02g ae a ===.又()00g a b =+=,故2b =-.此时()22x g x e =-.故答案为：22xy e =-（满足题设条件的函数均可） 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程与构造函数的问题.需要熟悉常见的函数的性质,从而能够构造出合适的函数.属于基础题. 16．【解析】 【分析】(1)将正四面体ABCD 放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径. (2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将13MC 转换,从而得出13MB MC +取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.【详解】(1) 将正四面体ABCD 放入如图正方体,则正四面体ABCD 的外接球与该正方体的外接球为同一球.=设正四面体ABCD 的内切球半径为r ,根据等体积法有3321114436323r -⨯⨯⨯=⨯,解得r =故外接球与内切球的半径之和为=(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心O 是线段CH 上以,C E 为定点,空间中满足()1PCPEλλ=≠的点P 的集合,连接CO 并延长交平面ABD 于H ,交内切球上方的点设为K ,过M 作ME CH ⊥,交CH 于E ,连接,BM CM ,设OE x =.由(1)空得CO OH ==KC HCKE HE=.=,解得x =3KC KE λ===,所以3MC ME =,所以13MC ME =. 所以13MB MC MB ME BE +=+≥,在BOE △中,BO CO ==OE =1cos cos 3BOE BOH ∠=-∠=-,所以BE ==所以13MB MC +的最小值为故答案为：(1)(2)【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼斯球中的比例关系求解线段最值的问题,需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的性质转换所求的线段之和求解.属于难题.17．(1)证明见解析；(2) 21,321,3n n n n S n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数【解析】 【分析】(1)利用数列{}n a 的前n 项和与通项的关系,再构造1n n n b a a +=+证明即可. (2)根据(1)可得112n n n a a -++=,故可分n 为奇数与n 为偶数两种情况求解n S 即可.【详解】(1)因为422n n n S a -=…①,故111422n n n S a +++-=…②,()*n N∈②-①可得11142222n n n n n a a a +++-+=-.整理可得112n n n a a -++=,即12n nb -=,()*n N ∈.因为11222nn n n b b +-==,()*n N ∈.故{}n b 是等比数列.(2)当1n =时, 111422S a -=,解得11a =,又112n n n a a -++=,故当n 为偶数时有()()()12341...n n n a a a a a S a -=++++++20222142122...2143nn n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+++==-. 当n 为奇数时有()()()123451...n n n a a a a a S a a -=+++++++11213221421122 (21143)n n n --⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++=+=-. 故21,321,3n n n n S n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数【点睛】本题主要考查了根据数列前n 项和与通项的关系,构造并证明新数列为等比数列的问题,同时也考查了分奇偶求解数列前n 项和的方法,属于中档题. 18．(1)证明见解析；(2)【解析】 【分析】(1)取1A D 的中点N ,连接,NM NE ,证明四边形NEBM 为平行四边形即可.(2)易得当三棱锥1A DEM -的体积取最大时,面1A DE ⊥面ABCD ,再以E 为坐标原点建立空间直角坐标系,再分别求出面1A DE 与面ABCD 的法向量,进而求得平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值即可.【详解】(1) 取1A D 的中点N ,连接,NM NE ,因为M 为线段1A C 的中点,故NM 为1A DC ∆的中位线,故12NMDC .又平行四边形ABCD 中,E 为边AB 的中点,故12EB DC ,故NM EB .故四边形NEBM 为平行四边形,故MBNE .又MB ⊄平面1A DE ,NE ⊂平面1A DE ,故MB 平面1A DE .(2)因为M 为线段1A C 的中点,故1112A DEM A DEC V V --=,故当三棱锥1A DEM -的体积取最大时三棱锥1A DEC -的体积取最大.故此时面1A DE ⊥面ABCD .因为60BAD ∠=︒,24AB AD ==.故ADE 边长是2的正三角形.120EBC ∠=︒,30CEB ∠=︒故2222cos120EC EB BC EB BC =+-⋅⋅︒,解得EC =故222DE EC DC +=,故DE EC ⊥.故以E 为原点建立如图空间直角坐标系.则平面1A DE 的一个法向量为()1,0,0m =.(1A,)1,0B-,()C .故(13,2,A B =-,()3,1,0BC =.设平面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =,则因为100n A B n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即20y y --=+=, 取1x =有y =3z =.故()1,3,3n =-.设平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角为θ,则cos 1311m n m nθ⋅===⋅⋅.故平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值为13【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题. 19．（1）337y 1313x =+ 当10x =时，此方案可行．（2）应提供2台增氧冲水机 【解析】 【分析】 （1）求出，()()515,4,26iii x y x x y x ===--=∑．代入公式得到回归方程．代入10x =，求出估计值再进行判断．（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可． 【详解】解：（1）依题意，5,4,x y ==()()5126iii x x y x =--=∑()()()515213ˆ,13iii i i x x y y bx x ==--∴==-∑∑337ˆ451313a y bx=-=-⨯= 所以3371313y x =+ 当10x =时，67ˆ513y=>，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =， 安装2台时，12040,3000,5X Y p <<==；440,10000,5X Y p ==． 14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯=安装3台时，12040,1000,5X Y p <<==； 4060,8000,X Y =3;5P =160,15000,5X Y P >==.13()1000800055E Y ∴=⨯+⨯11500080005+⨯=.86008000>，故应提供2台增氧冲水机．【点睛】本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理的判断能力．属于中档题．20．(1)5; (2)PQ 恒过定点()1,4-,证明见解析 【解析】 【分析】(1)设点221212,,,44y y M y P y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据,,P M A 三点共线利用斜率AM PM k k =可得124y y ,进而求得OM OP ⋅即可.(2) 同(1),设点233,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭,根据,,M B Q 三点共线利用斜率BQ QM k k =可得131340y y y y +++=.再根据124y y 化简可得()2323440y y y y +++=,再结合234PQ k y y =+可求得直线PQ 的方程,进而代入()2323440y y y y +++=化简求得定点即可.【详解】(1) 设点221212,,,44y y M y P y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为,,P M A 三点共线,故AM PM k k =,即1122221121444y y y y y y -=+-,即1211214y y y y =++,所以124y y .故221212544y y OM OP y y ⋅=⋅+=.(2) 设点233,4y Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为,,M B Q 三点共线,所以BQ QM k k =,所以31322233111444y y y y y y +-=--,即32313114y y y y +=-+,化简得131340y y y y +++=. 由(1) 124y y ,所以124y y =,即33224440y y y y ⋅+++=,即()2323440y y y y +++=...①因23223223444PQ y y k y y y y -==+-,所以直线PQ 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭, 即()()222324y y y y x y -+=-,即()23234y y y y y x +-=,由①有()232344y y y y -=++,代入可得()()()23441y y y x ++=-. 所以直线PQ 恒过定点()1,4-. 【点睛】本题主要考查了设抛物线上的点坐标,根据抛物线方程表示求解向量的数量积问题,同时也考查了弦长所在直线的方程进行化简求解证明定点的问题,其中三点共线需要用斜率相等表达,属于难题.21．（1）10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）详见解析【解析】 【分析】（1）若1b =，且当0x 时，()1f x 总成立，分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a 的取值范围；（2）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1min a f x f f a-<==，不成立， 102a∴<即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a > 有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+< 【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22．(1) 1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠,2:C ρθ=；(2) 当023πθ=时, AB 最大为4.【解析】 【分析】(1) 21221:21x t C ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩中可得y t x =,再代入化简得出1C 的直角坐标方程,进而求得其极坐标方程.又2:x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为圆,得出直角坐标方程后再求出极坐标方程即可.(2)根据极坐标的几何意义,代入0θ到1C 与2C 的极坐标方程,再表达出AB 关于0θ的解析式求最大值即可. 【详解】(1) 因为21221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,故y t x =,代入221x t =+有221x y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即2222x x x y =+,化简可得2220x y x +-=,故其极坐标方程为22cos 0ρρθ-=,即2cos ρθ= .又(]220,21x t=∈+,故1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠.又2:x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,故2C是以(为圆心,.故2C 的直角坐标方程为(223x y +-=,即220x y +-=,故其极坐标方程为ρθ=.故1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠,2:C ρθ=. (2)由题,02cos OA θ=,0OB θ=,故0002cos 4si 6n AB πθθθ⎛⎫==-⎝-⎪⎭. 故当023πθ=时, AB 最大为4. 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标以及直角坐标和极坐标的互化,同时也考查了根据极坐标的几何意义求解弦长最值的问题,属于中档题.23．(1) 32=M ；(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)将绝对值函数写成分段函数,再分析()f x 的最大值即可.(2)可换元令b c x +=,c a y +=, a b z +=,再反解出,,a b c 利用基本不等式证明即可. 【详解】(1)由题, ()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩,故当12x ≤-时, ()32f x ≤；当112x -<<时()332f x -<<；当1≥x 时, ()3f x ≤-.综上()32f x ≤.故32=M .(2)原不等式即证32a b c b c c a a b ++≥+++令b c x +=,c a y +=, a b z +=,联立可得2y z x a +-=,2x z y b +-=,2x y zc +-=, 则不等式左边11322y z x x z y x y z y z x z x yx y z x y z ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+++=++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132yx z x z y x y x z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13322⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭右边. 当且仅当x y z ==时取等号.即得证. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式最值的求解以及换元利用基本不等式证明不等式的问题,需要根据所证明的不等式的结构进行换元,反解证明利用基本不等式证明.属于中档题.。

绝密★启用前河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高三下学期教学质量检测（开学考试）数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U =R ，集合(){}40A x x x =-<，(){}2log 12B x x =-<，则UAB =（ ）A ．{}14x x <<B ．{}01x x <≤C ．{}04x x <<D ．∅2．对于任意复数12,z z ，任意向量,a b ，给出下列命题： ①1212z z z z +≤+；②a b a b +≤+；③若2212z z =，则12=±z z ；④若22a b =，则a b =±其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ） AB C D ．34．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为（ ）○…………外………订…………○…………线…………○……内※※答※※题※※○…………内………订…………○…………线…………○……A ． B ．[Failed to download image :blob:/b68ae02b-5fcb-450f-95a9-b25fe6e7daca]C ．D ．[Failed to download image :blob:/8a13a527-65fd-4051-91a7-c929f6e85b6d]5．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒.根据以上性质，z =）A ．2BC ．2D ．26．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ） A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n 为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．238．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．742+ B ．44+ C ．1742π++ D ．144π+ 9．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1910．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B ．C ．D ．11．函数()()1ln xf x x e x k =---在()0,∞+上有唯一零点0x ，下列四个结论：①1k =；②1k >；③001x x e=；④0112x e <<其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．过椭圆()2214x y λλ+=>上一点P 作圆()22:11C x y -+=的切线，且切线的斜率小于0，切点为M ，交椭圆另一点Q ，若M 是线段PQ 的中点，则直线CM 的斜率（ ） A ．为定值2B C ．为定值D ．随λ变化而变化第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量()1,1a =，向量b 与a 的夹角为34π，且1a b +=，则b =______. 14．在41(1)x x--的展开式中，常数项为________． 15．请你举出与函数()sin 2f x x =在原点()0,0处具有相同切线的一个函数是______.………外……………○…………※※装※※订※※线※※………内……………○…………三、双空题16．棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为______. 四、解答题17．n S 为数列{}n a 的前n 项和满足：()*422nn n S a n N -=∈.（1）设1n n n b a a +=+，证明{}n b 是等比数列； （2）求n S .18．如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △.若M 为线段1A C 的中点.（1）证明//MB 平面1A DE ，并求MB 的长；（2）在翻折过程中，当三棱锥1A DEM -的体积取最大时，求平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值.19．某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归………○…………装……学校:___________姓名：____………○…………装……方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据()()()1122,,,,n n x y x y x y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆn i ii ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =- 20．已知点()1,0A -，()1,1B -和抛物线2:4C y x =，过点A 的动直线l 交抛物线于,M P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，O 为坐标原点.（1）求OM OP ⋅； （2）证明：PQ 恒过定点.21．已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（1）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围；（2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<. 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线21221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），2:x C y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线30:C θθ=（ρ∈R 且0ρ≠）. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若3C 与1C 相交于点A ，3C 与2C 相交于点B ，当0θ为何值时，AB 最大，并求最大值.23．已知函数()121f x x x =--+的最大值为M . （1）求M ；（2）若,,a b c 均为正数，证明：a b cM b c c a a b++≥+++.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据二次不等式与对数不等式的求法分别求出集合,A B ,再求UA B 即可.【详解】(){}{}40|04A x x x x x =-<=<<,(){}{}2log 12014B x x x x =-<=<-<{}15x x =<<.故{|1UB x x =≤或5}x .所以{}01UA B x x ⋂=<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查了二次不等式与对数不等式的求解,同时也考查了集合的基本运算.属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】对①②,根据复平面内复数的运算与平面向量运算,数形结合辨析即可. 对③,根据复数的运算推导.对④,举出反例判定即可. 【详解】对①②,复数在复平面内的运算与平面向量的运算相似,均满足平行四边形法则,根据向量的三角不等式有a b a b +≤+,故1212z z z z +≤+也成立.故①②正确.对③, 2212z z =则()()12120z z z z +-=,由复数的运算可知, 12=±z z .故③正确.对④, 若22a b =则a b =,不一定有a b =±.故①②③正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数与平面向量的基本运算辨析,属于基础题. 3．C【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于实轴长列出关于,,a b c 的关系式求解即可. 【详解】渐近线方程by x a =±,即0bx ay ±=.故右焦点(),0c 到渐近线的距离d b ==.故2b a =.即2222244b a c a a =⇒-=,解得ca=故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的运算,需要根据题意建立关于,,a b c 的关系式求解.属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 为偶函数，然后通过构造函数()()f x xg x =，()sin g x x x =+，可判断()g x 是单调递增函数，从而可得到0x >时，()(0)0g x g >=，即可判断0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x ''=+>，从而可确定()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到答案． 【详解】因为22()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=--=+=，所以()f x 为偶函数，选项B 错误，2()sin (sin )f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0≥g x x '=+恒成立，所以()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()(0)0g x g >=，故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x ''=+>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，排除CD ，故只有选项A 正确． 故选：A ．本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题． 5．D 【解析】 【分析】易得z 的几何意义为点(),M x y 到点()()()1,0,1,0,0,2A B C -的距离之和的最小值.此时点(),M x y 为费马点,再根据120AMB ∠=︒求解(),M x y 的坐标,进而求得最小值即可. 【详解】由题z 的几何意义为点(),M x y 到点()()()1,0,1,0,0,2A B C -的距离之和的最小值. 由题可知,此时120AMB ∠=︒,且(),M x y 在y 轴上.故OM ==2AM BM OM ===2CM =故z 222+=+故选：D 【点睛】本题主要考查了根据距离公式数形结合求解最小值的问题,需要根据题意画出坐标系,再结合所给费马点的定义求解.属于中档题. 6．A 【解析】 【分析】根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小.【详解】 因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z << 故选：A. 【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】 转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-， 10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】易得该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,再分别根据面积公式求解即可. 【详解】该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,且四分之一圆锥底面半径为1,高为1.三棱锥为墙角三棱锥,三条直角边长分别为1,1,2.故该几何体的表面积为211111111111212442222ππ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+144π=+. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三视图求解几何体表面积的问题,需要根据题意三视图确定几何体的形状,再分别计算各边长,再利用公式求解即可.属于中档题.9．A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B 【解析】 【分析】设BAC θ∠=,根据ABC 的余弦定理可得cos θ关于,b c 的关系式,再根据,ABM ACM 中的余弦定理可求得,b c 的关系式,进而化简得到sin θ关于,b c 的关系式,再表达出ABC 面积的公式,化简求解最大值即可. 【详解】设BAC θ∠=,在ABC 中有余弦定理2224cos 2b c bcθ+-=. 在,ABM ACM 中,因为AMB AMC π∠+∠=,故cos cos 0AMB AMC ∠+∠=.即()()()()2222222202222c b c c b b c b c b +--+--+=⋅-⋅-.化简可得2248b c bc +=-.故2224212cos 2b c bc bc bcθ+--==.故sin θ==故12ABCS==2=设0t bc =>,则22ABCS==当4t =时取得ABC 面积的最大值为故选：B 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用,同时也考查了二次复合函数的最值问题.需要根据题意确定边角的关系,进而表达出面积关于边长的关系式,再换元利用二次函数的性质求解.属于难题. 11．A 【解析】 【分析】求导可得()()1'1xf x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,再根据函数的单调性以及极值点和零点即可知0x 为函数()f x 的零点和极小值点,进而根据0x 满足的关系式逐个选项判定即可.【详解】由题,()()()()111'111xxx x x f x e xe e x x e x x x +⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪⎝⎭, 令()'0f x =,因为()0,x ∈+∞,故10xe x-=. 设10xe x-=的根为1x ,则可知在区间()10,x 上()'0f x <,()f x 单调递减； 在区间()1,x +∞上()'0f x >,()f x 单调递增.又当0x +→时, ()f x →+∞；当x →+∞时, ()f x →+∞. 故()f x 在1x x =时取最小值,且()10f x =,故10x x =.且01x e x =,即00ln x x =-.故③正确. 因为()()00001ln 0xf x x e x k =---=,即000000ln 11xk x e x x x x =--=-+=. 故①正确.②错误.令()xg x xe =,()0,x ∈+∞,则()()'10xg x x e =+>,故()xg x xe =为增函数.又()12011122g e g x ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭,故012x >.故④错误.综上,①③正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点问题,需要根据题意求导分析函数的单调性,进而得到零点满足的关系式,再逐个性质进行判定即可.属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】因为M 是线段PQ 的中点,故可设()00,M x y ,再用点差法根据直线CM 与PQ 垂直斜率相乘等于1-求出切点M 的坐标,再求出直线CM 的斜率即可. 【详解】设()00,M x y ,()()1122,,,P x y Q x y ,则22122122121222224044x y x x y y x y λλ⎧+=⎪-⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩,化简可得()121212124y y x x x x y y -+=--+ .因为M 是线段PQ 的中点,故1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.代入化简可得PQ 的斜率04PQ x k y =-. 又直线CM 与PQ 垂直,故0000141x yy x -⋅=--,解得043x =,代入圆()22:11C x y -+=可得03y =.故直线CM的斜率为3413=-为定值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之间的关系列式求解.属于中档题. 13．()0,1-或()1,0- 【解析】 【分析】数形结合可设()0,b y =或者(),0b x =,再分别根据向量坐标的模长公式代入1a b +=求解即可. 【详解】建立平面直角坐标系,不妨设a ,b 起点均在原点.因为向量b 与a 的夹角为34π,故可设()0,b y =或者(),0b x =,,0x y <.当()0,b y =时,因为1ab +=,1=,解得1y =-.当(),0b x =时,因为1a b +=,1=,解得1x =-.故()0,1b =-或()1,0b =-.故答案为：()0,1-或()1,0- 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,需要根据题意建系确定b 的方向,再设坐标进行计算.属于中档题. 14．－5 【解析】 【分析】 易知41(1)x x--的展开式的通项4214(1)(1)rr m m r m r r T C C x --+=-⋅-.故常数项为135T T T ++，带入计算即可. 【详解】 易知41(1)x x --的展开式的通项4141(1)()r r r r T C x x-+=--， 又1()rx x-的展开式的通项121()(1)m m r m m m r m m r r R C x x C x ---+=-=-， 所以4214(1)(1)r r m m r mr r T C C x --+=-⋅-.令20r m -=，得2r m =. 因为04r ≤≤，所以02m ≤≤， 所以当0,1,2m =时，0,2,4r =.故常数项为042211402213544244(1)(1)(1)(1)(1)5T T T C C C C C ++=-+-⋅-+-⋅-=-.故答案为：5- 【点睛】本题主要考查二项式定理求常数项，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.15．22x y e =-（满足题设条件的函数均可） 【解析】 【分析】先求出函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程,再构造常见的函数分析即可. 【详解】由题,()'2cos2f x x =,故()'02cos02f ==,故函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程为2y x =.故可考虑如函数(),0xg x ae b a =+≠,此时()'xg x ae =,故()0'02g ae a ===.又()00g a b =+=,故2b =-.此时()22x g x e =-.故答案为：22xy e =-（满足题设条件的函数均可） 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程与构造函数的问题.需要熟悉常见的函数的性质,从而能够构造出合适的函数.属于基础题. 16．【解析】 【分析】(1)将正四面体ABCD 放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径. (2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将13MC 转换,从而得出13MB MC +取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.【详解】(1) 将正四面体ABCD 放入如图正方体,则正四面体ABCD 的外接球与该正方体的外接球为同一球.=设正四面体ABCD 的内切球半径为r ,根据等体积法有3321114436323r -⨯⨯⨯=⨯,解得r =故外接球与内切球的半径之和为=(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心O 是线段CH 上以,C E 为定点,空间中满足()1PCPEλλ=≠的点P 的集合,连接CO 并延长交平面ABD 于H ,交内切球上方的点设为K ,过M 作ME CH ⊥,交CH 于E ,连接,BM CM ,设OE x =.由(1)空得CO OH ==KC HCKE HE=.=,解得x =3KC KE λ===,所以3MC ME =,所以13MC ME =. 所以13MB MC MB ME BE +=+≥,在BOE △中,BO CO ==OE =1cos cos 3BOE BOH ∠=-∠=-,所以BE ==所以13MB MC +的最小值为故答案为：(1)(2)【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼斯球中的比例关系求解线段最值的问题,需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的性质转换所求的线段之和求解.属于难题.17．(1)证明见解析；(2) 21,321,3n n n n S n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数【解析】 【分析】(1)利用数列{}n a 的前n 项和与通项的关系,再构造1n n n b a a +=+证明即可. (2)根据(1)可得112n n n a a -++=,故可分n 为奇数与n 为偶数两种情况求解n S 即可.【详解】(1)因为422n n n S a -=…①,故111422n n n S a +++-=…②,()*n N∈②-①可得11142222n n n n n a a a +++-+=-.整理可得112n n n a a -++=,即12n nb -=,()*n N ∈.因为11222nn n n b b +-==,()*n N ∈.故{}n b 是等比数列.(2)当1n =时, 111422S a -=,解得11a =,又112n n n a a -++=,故当n 为偶数时有()()()12341...n n n a a a a a S a -=++++++20222142122...2143nn n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+++==-. 当n 为奇数时有()()()123451...n n n a a a a a S a a -=+++++++11213221421122 (21143)n n n --⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++=+=-. 故21,321,3n n n n S n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数【点睛】本题主要考查了根据数列前n 项和与通项的关系,构造并证明新数列为等比数列的问题,同时也考查了分奇偶求解数列前n 项和的方法,属于中档题. 18．(1)证明见解析；(2)【解析】 【分析】(1)取1A D 的中点N ,连接,NM NE ,证明四边形NEBM 为平行四边形即可.(2)易得当三棱锥1A DEM -的体积取最大时,面1A DE ⊥面ABCD ,再以E 为坐标原点建立空间直角坐标系,再分别求出面1A DE 与面ABCD 的法向量,进而求得平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值即可.【详解】(1) 取1A D 的中点N ,连接,NM NE ,因为M 为线段1A C 的中点,故NM 为1A DC ∆的中位线,故12NMDC .又平行四边形ABCD 中,E 为边AB 的中点,故12EB DC ,故NM EB .故四边形NEBM 为平行四边形,故MBNE .又MB ⊄平面1A DE ,NE ⊂平面1A DE ,故MB 平面1A DE .(2)因为M 为线段1A C 的中点,故1112A DEM A DEC V V --=,故当三棱锥1A DEM -的体积取最大时三棱锥1A DEC -的体积取最大.故此时面1A DE ⊥面ABCD .因为60BAD ∠=︒,24AB AD ==.故ADE 边长是2的正三角形.120EBC ∠=︒,30CEB ∠=︒故2222cos120EC EB BC EB BC =+-⋅⋅︒,解得EC =故222DE EC DC +=,故DE EC ⊥.故以E 为原点建立如图空间直角坐标系.则平面1A DE 的一个法向量为()1,0,0m =.(1A,)1,0B-,()C .故(13,2,A B =-,()3,1,0BC =.设平面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =,则因为100n A B n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即20y y --=+=, 取1x =有y =3z =.故()1,3,3n =-.设平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角为θ,则cos 1311m n m nθ⋅===⋅⋅.故平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值为13【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题. 19．（1）337y 1313x =+ 当10x =时，此方案可行．（2）应提供2台增氧冲水机 【解析】 【分析】 （1）求出，()()515,4,26iii x y x x y x ===--=∑．代入公式得到回归方程．代入10x =，求出估计值再进行判断．（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可． 【详解】解：（1）依题意，5,4,x y ==()()5126iii x x y x =--=∑()()()515213ˆ,13iii i i x x y y bx x ==--∴==-∑∑337ˆ451313a y bx=-=-⨯= 所以3371313y x =+ 当10x =时，67ˆ513y=>，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =， 安装2台时，12040,3000,5X Y p <<==；440,10000,5X Y p ==． 14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯=安装3台时，12040,1000,5X Y p <<==； 4060,8000,X Y =3;5P =160,15000,5X Y P >==.13()1000800055E Y ∴=⨯+⨯11500080005+⨯=.86008000>，故应提供2台增氧冲水机．【点睛】本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理的判断能力．属于中档题．20．(1)5; (2)PQ 恒过定点()1,4-,证明见解析 【解析】 【分析】(1)设点221212,,,44y y M y P y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据,,P M A 三点共线利用斜率AM PM k k =可得124y y ,进而求得OM OP ⋅即可.(2) 同(1),设点233,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭,根据,,M B Q 三点共线利用斜率BQ QM k k =可得131340y y y y +++=.再根据124y y 化简可得()2323440y y y y +++=,再结合234PQ k y y =+可求得直线PQ 的方程,进而代入()2323440y y y y +++=化简求得定点即可.【详解】(1) 设点221212,,,44y y M y P y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为,,P M A 三点共线,故AM PM k k =,即1122221121444y y y y y y -=+-,即1211214y y y y =++,所以124y y .故221212544y y OM OP y y ⋅=⋅+=.(2) 设点233,4y Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为,,M B Q 三点共线,所以BQ QM k k =,所以31322233111444y y y y y y +-=--,即32313114y y y y +=-+,化简得131340y y y y +++=. 由(1) 124y y ,所以124y y =,即33224440y y y y ⋅+++=,即()2323440y y y y +++=...①因23223223444PQ y y k y y y y -==+-,所以直线PQ 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭, 即()()222324y y y y x y -+=-,即()23234y y y y y x +-=,由①有()232344y y y y -=++,代入可得()()()23441y y y x ++=-. 所以直线PQ 恒过定点()1,4-. 【点睛】本题主要考查了设抛物线上的点坐标,根据抛物线方程表示求解向量的数量积问题,同时也考查了弦长所在直线的方程进行化简求解证明定点的问题,其中三点共线需要用斜率相等表达,属于难题.21．（1）10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）详见解析【解析】 【分析】（1）若1b =，且当0x 时，()1f x 总成立，分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a 的取值范围；（2）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1min a f x f f a-<==，不成立， 102a∴<即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a > 有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+< 【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22．(1) 1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠,2:C ρθ=；(2) 当023πθ=时, AB 最大为4.【解析】 【分析】(1) 21221:21x t C ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩中可得y t x =,再代入化简得出1C 的直角坐标方程,进而求得其极坐标方程.又2:x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为圆,得出直角坐标方程后再求出极坐标方程即可.(2)根据极坐标的几何意义,代入0θ到1C 与2C 的极坐标方程,再表达出AB 关于0θ的解析式求最大值即可. 【详解】(1) 因为21221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,故y t x =,代入221x t =+有221x y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即2222x x x y =+,化简可得2220x y x +-=,故其极坐标方程为22cos 0ρρθ-=,即2cos ρθ= .又(]220,21x t=∈+,故1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠.又2:x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,故2C是以(为圆心,.故2C 的直角坐标方程为(223x y +-=,即220x y +-=,故其极坐标方程为ρθ=.故1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠,2:C ρθ=. (2)由题,02cos OA θ=,0OB θ=,故0002cos 4si 6n AB πθθθ⎛⎫==-⎝-⎪⎭. 故当023πθ=时, AB 最大为4. 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标以及直角坐标和极坐标的互化,同时也考查了根据极坐标的几何意义求解弦长最值的问题,属于中档题.23．(1) 32=M ；(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)将绝对值函数写成分段函数,再分析()f x 的最大值即可.(2)可换元令b c x +=,c a y +=, a b z +=,再反解出,,a b c 利用基本不等式证明即可. 【详解】(1)由题, ()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩,故当12x ≤-时, ()32f x ≤；当112x -<<时()332f x -<<；当1≥x 时, ()3f x ≤-.综上()32f x ≤.故32=M .(2)原不等式即证32a b c b c c a a b ++≥+++令b c x +=,c a y +=, a b z +=,联立可得2y z x a +-=,2x z y b +-=,2x y zc +-=, 则不等式左边11322y z x x z y x y z y z x z x yx y z x y z ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+++=++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132yx z x z y x y x z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13322⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭右边. 当且仅当x y z ==时取等号.即得证. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式最值的求解以及换元利用基本不等式证明不等式的问题,需要根据所证明的不等式的结构进行换元,反解证明利用基本不等式证明.属于中档题.。

石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）高三数学(理科）(时间120分钟，满分150分）注意事项：1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，答卷前考生务必将自己地姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目地答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目 要求地.A. -4+2iB. 4-2iC. 2-4iD. 2+4i2. 已知命题R xp ∈∃0:，022020≤++x x 则p ⌝为 A. 022,0200>++∈∃x x R x B. 022,0200<++∈∃x x R xC. 022,0200≤++∈∀x x R xD. 022,0200>++∈∀x x R x 3.中心在坐标原点地椭圆，焦点在x 轴上，焦距为A. 1121622=+y xB. 181222=+y xC. 141222=+y x D. 14822=+y x4. 设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，是变量x:和y 地n 个样本点，直线Z 是由这些样本点通过 最小二乘法得到地线性回归方程(如图），以下结论中正确地是A. x;和y 正相关B. y 和y 地相关系数为直线I 地斜率C. x 和y 地相关系数在-1到O 之间D. 当n 为偶数时，分布在l 两侧地样本点地个数一定相同5.在ΔABC 中，角uC 所对地对边长分别为a 、b 、c ，sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，且c= 2a ，则cosB 地值为A. 41B. 43C. 42D. 326.已知等差数列{a n }满足a 2=3，S n -S n-3=51(n>3) ，Sn= 100，则n 地值为A. 8B. 9C. 10D. 117.在圆地一条直径上，任取一点作与该直径垂直地弦，则其弦长超过该圆地内接等边三角 形地边长地概率为A. 41B. 31C. 21D.238.阅读程序框图(如右图），如果输出地函数值在区间[1，3]上，则输入地 实数x 地取值范围是A. }3log 0|{2≤≤∈x R x B.}22|{≤≤-∈x R x C. }2,3log 0|{2=≤≤∈x x R x 或D. }2,3log 2|{2=≤≤-∈x x R x 或 9.下图是两个全等地正三角形.给定下列三个命题:①存在四 棱锥，其正视图、侧视图如右图;②存在三棱锥，其正视图、侧视图如右图;③存在圆锥，其正视图、侧视图如右图.其中 真命题地个数是A. 3B. 2C. 1D. OF1地直线l与双曲线地左、右两支分别交于A、B两点.若ΔABF2是等边三角形，则该双曲线地离心率为11.设方程10x=|lg(-x)|地两个根分别为x1，x2，则A. x1 x2<0B. x1 x2=1C. X i X2 >1 D0<x1 x2<112.已知直线l垂直平面a，垂足为O.在矩形ABCD 中AD=1，AB=2，若点A在l上移动，点 B在平面a 上移动，则O、D两点间地最大距离为第II 卷(非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.⎰+203)1(dx x地值为_________.14.有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一 项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同地参赛方案地种数为_____(用数字作答).15.在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为BC 地中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则：AF AE .地最大值为______:16.对于一切实数x 、令[x]为不大于x 地最大整数，则函数f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数.若_______三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）(I)求函数f(x)地最小正周期；值.18.(本小题满分12分）某市地教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生地成绩，得到如图所示地成绩频率分布直方图.(I )估计全市学生综合素质成绩地平均值；(II)若评定成绩不低于8o分为优秀.视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看作有放回地抽样），变量ξ表示 3名学生中成绩优秀地人数，求变量ξ地分布列及期望)(ξE19.(本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面BCC1B1丄底面ABC.(I)若M、N分别是AB，A1C地中点，求证:MN//平面BCC1B1(II)若三棱柱ABC-A1B1C1地各棱长均为2，侧棱BB1与底面 ABC所成地角为60°.问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP丄平面ACC1A1，若存在，求C1P与PA1地比值，若不存在，说明理由.20.(本小题满分12分）已知直线l1:4x:-3y+6=0和直线l2x=-p/2:.若拋物线C:y2=2px上地点到直线l1和直线l2地距离之和地最小值为2.(I )求抛物线C地方程；(II)若以拋物线上任意一点M为切点地直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径地圆上，若存在，求出点Q地坐标，若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分）已知函數f(x)=ln+mx2(m∈R)(I)求函数f(x)地单调区间；(II)若m=0，A(a，f(a))、B(b，f(b))是函数f(x)图象上不同地两点，且a>b>0，)(x f'为f(x)地导函数，请考生在22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做地第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图，AB是O地直径，BE为圆0地切线，点c 为o 上不同于A、B地一点，AD为BAC地平分线，且分别与BC 交于H，与O交于D，与BE交于E，连结BD、CD.(I )求证:BD平分CBE（II）求证：AH.BH=AE.HC23.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点x 轴地正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 1地极坐标方程为：)0(10cos 1332>-=ρθρρ(I)求曲线C 1地普通方程；线C 1与曲线C 2上地任意一点，求|PQ|地最小值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|(I)解关于x;地不等式f(x)+x2-1>0;(II )若f(x)=-|x+3|m，f(x)<g(x)地解集非空，求实数m地取值范围.石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)高三数学（理科答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．1-5 ADDCB 6-10 CCCAB 11-12DB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 6 14. 2415．92 16．23122n n三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(原则上只给出一种标准答案，其他解法请老师根据评分标准酌情处理) 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为()4cos cos()23f x x x π=--14cos (cos +)222x x x =- 222cos 2x x =+-2cos 21x x =+-……………2分2sin(2)16x π=+- ………………4分 所以)(x f 地最小正周期为π.……………6分（Ⅱ）因为,64x ππ-≤≤ 22.663x πππ-≤+≤所以……………8分于是，当6,262πππ==+x x 即时， )(x f 取得最大值1；…………10分当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—2 (12)分18. （本小题满分12分） (Ⅰ)依题意可知550.12650.18+750.40+850.22+950.08⨯+⨯⨯⨯⨯……………3分=74.6所以综合素质成绩地地平均值为74.6.……………5分(Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为100008+0022=03⨯（..）.， 由题意知3(3,)10B ξ:，3337()()()1010kkkp k C ξ-== 故其分布列为………………9分39()31010E ξ=⨯=.………………12分19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：连接，，11BC AC 则1NC AN =，因为AM=MB ，所以MN .//1BC ……………2分又111.B BCC BC平面⊂，所以MN//11.B BCC 平面.…………4分 （Ⅱ）作O BC O B 于⊥1，因为面11B BCC ⊥底面ABC所以ABC O B 面⊥1以O 为原点，建立如图所示空间直角坐 标系，则)0,30(，A ，B(-1，0，0)，C(1，0，0) )300(1，，B .由，111BB CCAA ==可求出)30,2(),331(11，，，C A…………6分 设P(x ，y ，z)，A CA 111λ=.解得)3,3311(λλ-+，P ，=CP )3,331(λλ-，，)30,1(1，-=CB.设平面CP B 1地法向量为1(,,)x y z =n1110,0,CP CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 由n n解得11,1)1-λλ+=n ………8分同理可求出平面11A ACC地法向量2,-1)=n (10)分由面⊥CP B 1平面11A ACC ，得12⋅=n n，即01--113=++λλ解得：.2:3,311111===PA P C P A CA ，从而所以λ………………12分20. （本小题满分12分）解: （Ⅰ）由定义知2l 为抛物线地准线，抛物线焦点坐标)0,2(pF由抛物线定义知抛物线上点到直线2l 地距离等于其到焦点F 地距离.所以抛物线上地点到直线1l 和直线2l 地距离之和地最小值为焦点F 到直线1l 地距离.…………2分所以5622+=p ，则p=2，所以，抛物线方程为xy 42=.………………4分（Ⅱ）设M ),(0y x ，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且0k ≠，所以直线l 方程为)x -(-00x k y y =，代入xy42=消x 得：.0-44-2002=+ky y y ky由2216-4(4-)0,.k y ky k y ∆===得………………6分所以直线l 方程为)x -(2-00x y yy =，令x=-1，又由0204x y=得)24-,1(020y y N -设)0,1x Q （则)24-,-1(-),,-(0201010y y x QN y x x QM ==由题意知0,QM QN ⋅=u u u u r u u u r ……………8分20011-4-)(-1-)02y x x x +=即（，把0204x y=代入左式，得：2-x x )x -112101=++x （，……………10分因为对任意地0x 等式恒成立，所以12111-0,x x -20.x =⎧⎨+=⎩所以11=x即在x 轴上存在定点Q （1，0）在以MN 为直径地圆上.……………12分 21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f(x)地定义域为），（∞+0， xmx mx x x f 22121)('+=+=0()(0,);0'()0m f x m f x x ≥+∞<==当时，在单调递增当时，由得)21-(0x m ，∈时，)('x f >0， )(x f 在)21-(0m ，上单调递增； ),21-(x +∞∈m时，)('x f <0， )(x f 在),21-(+∞m上单调递减.综上所述：0()(0,)m f x ≥+∞当时，在单调递增. 时，当0<m )(x f 在)21-(0m ，上单调递增，在),21-(+∞m上单调递减.…………3分（Ⅱ）要证()()1f a f b a b b -<-，只需证ln 1a a b b <-，令1,at b=>即证ln 10t t -+<，令1()ln 1,()10g t t t g t t'=-+=-<， 因此()(1)0g t g <=得证.…………………6分要证ln ln 2a b a b a b->-+，只要证2(1)ln 1aaba b b->+，令1a t b =>，只要证(1)ln 2(1)0t t t +-->，令1()(1)ln 22,()ln 1h t t t t h t t t'=+-+=+-， 211()0h t t t''=->因此()(1)0h t h ''>=，所以()(1)0h t h >=得证.………………9分 另一种地解法:令ab =>1t ，2(-1)()=ln -+1t h t t t ， 则2214+2-3()=-=>0+1(+1)t t h t t t t t ' >0t ，所以()h t 在(1,+)∞单调递增，()>h(1)=0,h t 即2(-1)ln >,+1a ab a b b得证.(Ⅲ)由（Ⅱ）知2ln ln 1a b a b a b b-<<+-，（a b >>），则21ln(1)ln 21n n n n<+-<+ln(1)(ln(1)ln ).......(ln3ln 2)(ln 2ln1)n n n +=+-+-+-所以2222111.........ln(1)1......3572123n n n+++<+<++++.………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做地第一题记分 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲证明：(Ⅰ)由弦切角定理知DABDBE ∠=∠ …………2分由DAC DBC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠所以DBC DBE ∠=∠， 即.CBE BD ∠平分…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知.BH BE =所以BE AH BH AH ⋅=⋅，……………7分OHEDCBA因为DAC DAB ∠=∠，ABE ACB ∠=∠， 所以AHC ∆∽AEB ∆，所以BEHCAE AH =，即HC AE BE AH ⋅=⋅…………10分 即：HC AE BH AH ⋅=⋅.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)原式可化为10-12)322x y x =+（，…………2分即.32)2-(22=+y x ……………4分(Ⅱ)依题意可设),sin 2,cos 4(θθQ 由(Ⅰ)知圆C 圆心坐标（2，0）。

河北省石家庄市第二中学（南校区）2020届高三数学下学期教学质量检测模拟试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数3213iz i-+=++则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成z a bi =+ 的形式,从而可求复数在复平面内对应的点. 【详解】复数()()()()3133222131313i i iz i i i i -+--+=+=+=+++-,则复数z 在复平面内对应的点()2,1在第一象限.故选:A【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义.2.设集合{}{}2|3,|4P x x Q x x =>=>,则下列结论正确的是（ ） A. Q P ⊆B. P Q ⊆C. P Q =D.P Q R =【答案】B 【解析】 【分析】分别解出23,4x x >>,即可判断两个集合的关系.【详解】解:集合{|}{33|P x x x x ＝＞＝＜﹣或3}x ＞,2{|}{42|Q x x x x ＝＞＝＜﹣或2}x ＞ P Q ∴⊆故选:B.【点睛】本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素. 3.若224,2()3,63a b log c log ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c ＜＜ B. a c b ＜＜C. c b a ＜＜D. b c a ＜＜【答案】B 【解析】 【分析】判断a 与1的大小关系,由46c log log ＝＝,,1b c 的大小关系,从而可选出正确答案.【详解】解:由已知可得419a =<,2log 31b =>,46c log log ＝＝222log 2log log 3<<, 1c b ∴<<.即b c a >>.故选:B.【点睛】本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真数都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小.4.若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 3【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.5.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（ ）立方分米.A. 40B.853C. 30D.733【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积. 【详解】由三视图还原,原几何体如图,要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为4,宽的最小值为4,高的最小值为52， 则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米. 故选:A.【点睛】本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体积的理解.难点则为由三视图还原出几何体.6.不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ） A.314B.37C.67D.1328【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件的总数28C ,再求出满足要求的基本事件的个数1162m C C =,则由古典概型可求概率.【详解】解:由题意知,本题中基本事件总数2828n C ==,取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数:116212m C C ==.则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m P n ===. 故选:B.【点睛】本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度.7.已知F 是抛物线2:8C y x ＝的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若2MF FN =，则MF 的值为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程,可求出焦点()2,0F .由2MF FN =可知13NF MN =,从而3326MA OF ⨯＝＝＝,继而可求出MF .【详解】解:由抛物线的方程可得焦点()2,0F ,准线方程为:2x =-.作MA 垂直于y 轴交于A 因为2MF FN =,所以可得F 为线段MN 的三等分点,即13NF MN =. 由NFO NMA ∆∆,所以13OF MA =,即3326MA OF ⨯＝＝＝,所以628MF =+=故选:A.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解.本题的关键是长度的转化.8.某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ）A. sin 2sin 2xxy e =B. cos2cos 2xxy e =C. cos2cos 2xx y e=D.cos cos xx y e =【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象判断奇偶性，排除选项A ，根据周期性，排除选项D ，利用x ∈R 时，()f x 的值恒大于等于0，排除B ，则答案可求.【详解】根据函数()f x 的部分图象，可得该函数的图象关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 而A 中的函数sin 2sin 2xxy e=为奇函数，故排除A ；再根据图像可知()f x 的最小正周期4T <，而cos cos xx y e=的最小正周期是2π，大于4，故排除D ；又当x ∈R 时， ()f x 的值恒大于等于0，故排除B.所以C 选项是正确的.【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的基本性质和赋值法排除选项是常用方法，属中档题.9.如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30并测得120BCD ∠=，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ）A. 300mB. 600mC.D.【答案】B 【解析】 【分析】设AB x =,则,BC AB x BD =＝＝,在BCD ∆中,结合余弦定理可列关于x 的方程,求出后即可得到AB 的长.【详解】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,BC AB x BD =＝＝.在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯＝﹣ 化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 故选:B .【点睛】本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形.10.已知函数()22f x cosx sinx sin x +＝,给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增； ③函数()f x 的最小正周期为π. 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 讨论x的取值范围,去掉绝对值号,从而得到()30,2,222, 2sin2,2,222x k kf x k Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,结合图象即可判断三种命题的正确与否.【详解】解:()32cos sin sin2,2,222222cos sin sin2,2,222x x x x k kf x cosx sinx sin xx x x x k kππππππππ⎧⎡⎤-+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦+=⎨⎡⎫⎪+∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩＝30,2,222,2sin2,2,222x k kk Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,其大致图象如图所示①()f x的图象不关于直线4xπ=对称,即①错误;②()f x在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,即②正确;③()f x的最小正周期为2π,即③错误. 故选:B.【点睛】本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号.11.已知ABC∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD∆与Rt BCD∆）组成的三角形，如图所示.其中，45CAD∠＝,60BCD∠＝，现将Rt ACD∆绕斜边AC旋转至1D AC∆处（1D不在平面ABC上）.若M为BC的中点，则在ACD∆旋转过程中，直线1AD与DM 所成角θ( )A. (0,45)θ∈B. (0,45]θ∈C. (0,60]θ∈D.(0,60)θ∈【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析出1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值为60,但取不到60.进而可求出θ的取值范围.【详解】解:作//AP DM ,1AD 可以看成以AC 为轴线，以45为平面角的圆锥的母线.由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值 则1PAD ∠的最大值为451560︒︒+=， 此时，1D ∈平面ABC .1D 不在平面ABC 上,()10,60PAD ∴∠∈.∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角()0,60θ∈.故选:D.【点睛】本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象能力有一定的要求.12.设符号{}min x y z ，，表示,,x y z 中的最小者，已知函数()22{||,}2,f x min xx x +＝﹣则下列结论正确的是（ ）A. [)()()0,,2x f x f x ∀∈+∞->B. [)()()1,,2x f x f x ∀∈+∞->C. ()()(),x R f f x f x ∀∈≤D. ()()(),x R ff x f x ∀∈>【答案】C 【解析】 【分析】分别画出22,,2y x y x y x =-==+的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.【详解】解:如图所示:由题意可得A 中，[]()2,0,1()2,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩. B 中，当12x ≤≤时，120x ≤≤﹣﹣，()()()222f x f x x f x --≤-＝＝. 当23x ≤＜时，021x -≤＜，()()22f x x f x -≤-=.当34x ≤＜时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=. 当4,22x x ≤-≥，恒有()()2f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[)()0,,x f x x ∈+∞≤.令()t f x =，则0t ≥所以()f t t ≤，即()()()f f x f x ≤，故C 正确，D 不正确.故选:C.【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画()y f x = 的函数图象时，一般地，先画出()y f x = 的图象，再将x 轴下方的图象向上翻折即可.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.函数ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为_____． 【答案】210x y --= 【解析】 【分析】根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程. 【详解】函数ln y x x =+则1'1y x=+由导数几何意义可知112k =+=根据点斜式可得直线方程为()121y x -=⨯- 化简可得210x y --= 故答案为：210x y --=【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 14.已知向量,a b 满足2,1a b ==，若()()a ab b a b ⋅++⋅-的最大值为1，则向量,a b 的夹角θ的最小值为__________，2a b +的取值范围为__________． 【答案】 (1). 23π(2). []0,2 【解析】分析：由题意()()1a a b b a b ⋅++⋅-≤，求得23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，再利用向量的模的计算公式，即可求解.详解：由题意2,1a b ==，则()()22234cos 1a a b b a b a a b b θ⋅++⋅-=+⋅-=+≤， 解得11cos 2θ-≤≤-，所以23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，所以[]222|2|4488cos 0,4a b a a b b θ+=+⋅+=+∈，所以[]20,2a b +∈.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15.飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____ 【答案】124125【解析】 【分析】先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率.【详解】解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是：030341124155125P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:124125. 【点睛】本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为1，可以减少本题的计算量.16.已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点()0,6N ，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为_____【答案】2 【解析】 【分析】求出左右焦点的坐标()()3,0,'3,0F F -，从而可求NF ==长最小转化为求'MN MF +的最小值.当P 在左支上运动到,,'M N F 共线时'MN MF +取得最小值'NF =.【详解】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线C 可得()()3,0,'3,0F F -，NF ==，FMN ∆周长为MN MF NF MN MF ++=++由双曲线的定义可得'22MF MF a -==，即有'2MN MF MN MF +=++. 当P左支上运动到,,'M N F 共线时，'MN MF +取得最小值'NF =则有FMN ∆周长的最小值为22+=. 故答案为: 2.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17.已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【答案】（1）n a n =;2nn b =;(2)证明见解析.【解析】 【分析】（1）用1a 和d 将已知22a =，36S a =表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+可得()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）用错位相减法求出{}n c 的前n 项和212 (222)n n nT =+++，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+① 所以当2,n n N *≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.②①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=（常数）. 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1222n n n b -=⨯=.证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==.所以212 (222)n n n T =+++①， 故231112 (2222)n n nT +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-==---.所以112222n n nn T -=--<.即12...2n c c c +++<. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1. 18.如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是PA 、PD 的中点(1)求证：CE //平面BMD(2)点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）5cos 3θ=. 【解析】 【分析】(1) 连接ME ，通过对边关系得到四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM ，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA 的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角. 【详解】（1）连接ME ，因为点,M E 分别是,PA PD 的中点，所以1,2ME AD ME AD =，所以,BC ME BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM .又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂平面BMD ,所以CE 平面BMD .（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1,1,12CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,0,1CE =-设平面CEQ 的法向量为(),,n x y z =，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n =，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是2sin 3θ==，进而求得cos θ=. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．19.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右顶点分别为A 、B ，且AB 4=，椭圆C 的（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AMF ∆面积是BME ∆面积的5倍，求m 的值.【答案】（1）2214x y +=;（2）12m =±.【解析】 【分析】（1）由AB 4=可求a ，c ，由222a b c =+可求b ，进而可求标准方程. （2）由()()1,0M m m ≠可求出直线AM 与BM 的方程，与椭圆方程联立，进而可求E 、F的纵坐标，由面积关系可得22412541494m mm m m =-++，从而可求m 的值.【详解】解：（1）由题意可得：22224a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴ 椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）()()()1,,2,0,2,0M m A B -，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴ 直线AM 的方程为：()23my x =+.联立直线和椭圆的方程 ()222314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+，同理可得2414F my m =+， 5AMF BME S S ∆∆=，即()()5ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-.54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-22412541494m m m m m ∴=-++ ，又0m ≠，42161630m m ∴+-=，解得214m =或34因为点M 在椭圆内，所以234m <.214m ∴=，12m ∴=±.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内这一条件，从而未对m 的值进行取舍.20.BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式： ()()()()221112222111ˆ1.()ˆnnnii ii i ii i i n nniiii i i yyxx y y x ynxyR yy xx n bxx ======----=-==---∑∑∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-.ˆˆˆi i ie y bx a =--. 参考数据：8178880i i i x y ==∑，821226112ii x ==∑，168x =，58.5y =，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）填表见解析;20.90R ≈;（2）ˆ0.67555.9yx =-. 【解析】 【分析】（1）由表中的数据可求出线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，进而可完善所给表格，求出所有残差值.由()22121ˆ1()nii i n ii yyR y y ==-=--∑∑即可求出贡献值2R .（2）计算修订后8'177496i ii x y==∑以及'57.5y =，代入到818221ˆi ii ii x ynxyxx bn ==-=-∑∑，ˆˆ'ay bx =-进而可求出线性回归方程.【详解】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，计算6570.816975.9ˆ 2.3e=-⨯+=-，7500.815875.9ˆ0.5e =-⨯+=-，8660.817375.ˆ9 3.5e=-⨯+=.完善下列残差表如下， e 计算()()22121ˆ1110.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.250.90226()ni i i nii y yR yy ==-=-=-⨯+++++++≈-∑∑ ，所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈.（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y = 由8178880i ii x y==∑，计算修订后8'178880173661735877496i i i x y =-⨯+⨯==∑又821226112ii x ==∑，168x =，修订后()1'858.5665857.58y =⨯⨯-+=. 所以818222177496816857.50.6ˆ752261128168i ii ii x ynxyxbnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ'57.50.67516855.9ay bx =-=-⨯=-. 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量. 21.已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln ≈：） 【答案】（1）4e;（2）1- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得02222b a ax aaln a ∴＝-=﹣，因此()222220a a a b ln a a =>﹣，()22222,0g a a a ln a a =﹣＞利用导数研究其单调性，即可求出()g x 的最大值，即求出ab 的最大值.（2）根据题意，关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=利用导数得到存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈-⎪⎝⎭.则要使得关于t 的方程22ln 0)t ta t t-=(＞有两个不同的解，则()0a h t <，当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝经验证()p t 有两个不同的零点，即可证明.【详解】解：（1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b +，2'()a f x ax b =+，02'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=>. 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ 令'()0g a >得，02a <<；令'()0g a <得，2a >.()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. ()g a ∴的最大值为4e g =⎝⎭.则ab 的最大值为4e. （2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点,等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根. 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解， 即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=, 则2222ln '()t t h t t --=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t +=. 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <.当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+ 可知()p t在10,4⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在14⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，又2(1)0,0,()20p p p e e e =>=-+<⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于()()()f x h x g x =- 型的函数，()f x 的零点个数就等同于(),()g x h x 图像的交点个数.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22..极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos 3a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()f OA OB OC OD α⋅+⋅＝，当63ππα≤≤时，求()fα值域.【答案】（1）2a =，1C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=;2C的直角坐标方程为40x +-=;（2）⎡⎣.【解析】 【分析】（1）由4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得22cos sin ρρθθ+＝进而可求1C 的直角坐标方程; 把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，由题意知，该直线过(，则可求出2a =.（2）4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝，则2)6(f OA OB OC OD ααπ⎛⎫⋅⋅=++ ⎪⎝⎭＝，结合63ππα≤≤则可求出62652πππα≤+≤，进而可求值域.【详解】解：（1）1C ：4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ+＝，化为直角坐标方程为()(2214x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=.因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20x a +-=经过圆心(解得2a =，故2C 的直角坐标方程为40x +-=. （2）由题意可得，当63ππα≤≤时，4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝则16sin cos 16cos )sin 33(f OA OB OC OD ππααααα⎛⎫⎛⎫⋅⋅=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ 28sin 28sin 212sin 2236ππααααα⎛⎫⎛⎫=--=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当63ππα≤≤时，62652πππα≤+≤，则26πα⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故()fα的值域为⎡⎣.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式sin ,cos y x ρθρθ== 即可；对于()sin()f x A x ωϕ=+ 在求值域时，往往先求出x ωϕ+的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域. 23.已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=时，求212121a b c +++【答案】（1）223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）23【解析】 【分析】（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 （2）利用基本不等式的合理利用求最大值 【详解】（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤<②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤< ③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤ 综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=则2221a b c ++=，设x y z ===222x y xy +≥ 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=4442121213332222a b c ⎛⎫++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =12a b c ∴++=2121214a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121≤≤当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。