2020年河北省石家庄二中高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 .2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 写在本试卷上无效 .3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 .4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .第 I 卷( 选择题 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合A. B.M={5， 6， 7 }C.， N={5， 7， 8 }D.，则2.若 F(5 ，0) 是双曲线(m 是常数）的一个焦点，则 m的值为3.已知函数 f(x) ，g(x) 分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44.的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605.的值为A. 1B.C.D.6.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要的条件7.—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8.从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059.程序框图如右图，若输出的 s 值为位，则 n 的值为A. 3B. 4C. 5D. 610.已知a是实数，则函数_的图象不可能是11.已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线 l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域的概率为 P. 则下列结论正确的是A. 不论边长 AB， CD如何变化， P 为定值；B.若- 的值越大， P 越大；C. 当且仅当 AB=CD时， P 最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.M12.设不等式组表示的平面区域为D n a n表示区域 D n中整点的个数 ( 其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第 II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题? 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题?第 24 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.复数（i为虚数单位 ) 是纯虚数，则实数 a 的值为 _________.14.在ABC 中，，，则 BC 的长度为 ________.15.己知 F1 F 2是椭圆（ a>b>0) 的两个焦点，若椭圆上存在一点P 使得，则椭圆的离心率 e 的取值范围为 ________.16.在平行四边形 ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中 ABCD-A 1 B1 C1 D1中有=________三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.( 本小题满分 12 分）已知 S n是等比数列 {a n} 的前 n 项和， S4、S10、S7成等差数列 .(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18.( 本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出 . 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过 a 的部分按照平价收费，超过 a的部分按照议价收费）. 为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 ( 单位 :t) ，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准 &则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III) 若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量 ( 看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II) 中最低标准的人数为x，求x 的分布列和均值 .19.( 本小题满分 12 分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1交于AB=1，， D 为AA1中点， BD与点0，C0丄侧面 ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20.( 本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1 ，定点 F(0 ，1) ，过平面内动点 P 作 PQ丄 l 于 Q点，且?(I )求动点P的轨迹E的方程；P 的纵坐标(II)过点P作圆的两条切线，分别交x 轴于点 B、 C，当点y0>4 时，试用 y0表示线段 BC的长，并求PBC面积的最小值 .21.( 本小题满分 12 分）已知函数( A, B R， e 为自然对数的底数），.(I )当 b=2 时，若存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(II)当a>0时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过C1于点，求证.线段PQ的中点作 x 轴的垂线交请考生在第 22? 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.( 本小题满分 10 分) 选修 4-1 几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交 CE 于 D 点，，BE2=DE-EC.( I ) 求证 :；( I I ) 求证： A、E、B、 C 四点共圆 .23.( 本小题满分 10 分) 选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为：（为参数）；射线C2的极坐标方程为：, 且射线 C2与曲线 C1的交点的横坐标为(I )求曲线C1的普通方程；(II)设 A、 B为曲线 C1与 y 轴的两个交点， M为曲线 C1上不同于 A、 B 的任意一点，若直线 AM与 MB分别与 x 轴交于 P,Q 两点，求证 |OP|.|OQ| 为定值 .24.( 本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲设函数(I) 画出函数(II)若不等式，的图象；恒成立，求实数 a 的取值范围.2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科答案 )一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.114. 1 或 215.1,116. 24( AB 2AD 2AA12 ) .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ） 当 q 1 ， 2S 10 S 4 S 7所以 q1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..2 分2a 1 1 q 10a (1 q 4 ) a 1 1 q 7由2S 10S 4 S 7 , 得11 q1 q 1 qQ a 10, q 1 2q 10q 4 q 7， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .4 分2a 1 q 8 a 1q 2 a 1q 5 ，2a 9a 3 a 6 ，所以 a 3, a 9, a 6 成等差数列 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( Ⅱ ) 依 意 数列a n 3的前 n 的 T n ,T n = a 13 a 23 a 33 K a n 313 q 3 ( q 2 )3 K ( q n 1 )3 = q 3 (q 3 )2 K (q 3 )n 1 (q 3 )1 2 3K (n 1) =( q 3)n(n 1)2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又由（Ⅰ）得 2q 10q 4 q 7 ，2q6q31 0 ，解得 q31(舍）,q31. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分21n n 12所以 T n2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .12 分18. 解: （Ⅰ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（Ⅱ）月均用水量的最低 准 定 2.5 吨 . 本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位，占 本 体的 20%，由 本估 体，要保 80%的居民每月的用水量不 超 出 准 ， 月 均 用 水 量 的 最 低 准 定 2.5 吨 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅲ）依 意可知, 居民月均用水量不超 （Ⅱ）中最低 准的概率是4，X ~ B(3, 4) ，55P( X 0) (1)31 P( X 1) C 314 (1) 2 12 5 1255 5125P( X 2) C 32 (4 )2( 1 ) 48 P( X 3) ( 4 )364⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5 51255125分布列X0 12 3 P1 12 48 64125 125125 125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分E( X ) 3412⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5519. 解：（Ⅰ）因 ABB 1A 1 是矩形，D AA 1 中点， AB1 ， AA 12 ，AD 2 ,2所 以 在 直 角 三 角 形 ABB 1中 , tan AB 1 BAB 2BB 1 ,2 在 直 角三 角 形 ABD 中 , tan ABDAD 2AB 1 2 ,所以 AB 1 B = ABD ,又 BAB 1AB 1 B 90o ，BAB 1ABD90o ，所以在直角三角形 ABO 中，故 BOA 90o ，即 BDAB 1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分又因 CO 侧面 ABB 1 A 1 ， AB 1 侧面 ABB 1 A 1 , 所以 CO AB 1 所以， AB 1面 BCD , BC 面 BCD ,故 BC AB 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ） 解法一：如 ，由（Ⅰ）可知，OA, OB, OC 两两垂直，分 以 OA, OB, OC x 、 y 、 z 建立空 直角坐 系 O xyz .在RtVABD中 ， 可求得OB6, OD6 , OC OA3 ，363在 RtVABB 1 中，可求得 OB 12 3 ，3故D 0,6,0 , B 0,6,0, C 0,0,3 ,633B 12 3,0,03uuur6,0 uuur6 , 3uuur 2 3 , 6,0所以 BD0,, BC0, , BB 123 333uuuur uuur uuur 2 3 , 2 6 , 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 可得， BC 1 BC BB 13 3 3uuur uuuur平面 BDC 1 的法向量 mx, y, z ， m BD0,m BC 1 0 ，23 x 2 6 y3z 0即333，取 x 1, y0, z 2 ，6y 02m 1,0,2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又 面 BCD n 1,0,0 ， 故 cos m, n15 ，55所以，二面角C 1BD C 的余弦5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 5解法二： 接 CB 1 交 C 1B 于 E , 接 OE ，因CO侧面 ABB1 A1，所以BD OC ，又BD AB1，所以BD面 COB1，故BD OE所以EOC 二面角C1BD C 的平面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分BD6， AB13， AD AO1， OB12AB12 3 , 2BB1OB1233OC OA 1AB13，33在 RtVCOB1中， B1C OC 2OB121415，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分333又EOC OCE cos EOC OC 5 ，CB15故二面角 C1 BD C 的余弦 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分520.解：（Ⅰ） P x, y ， Q x, 1 ，uuur uuur uuur uuur∵QPgQF FP gFQ ，∴ 0, y 1 g x,2x, y 1 g x, 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分即 2 y 1x2 2 y 1 ，即x2 4 y ，所以点 P 的迹 E 的方程x2 4 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）解法一： P (x0 , y0 ), B(b,0), C(c,0)，不妨 b c ．直 PB 的方程:y y0( x b) ，化得y0 x( x0b) y y0 b0 ．x0 b又心 (0, 2) 到 PB 的距离2，2( xb)y0b2，y02(x0b)2故 4[ y02( x0 b)2 ]4( x0b)24( x0b) y0 b y02b 2，易知 y0 4 ，上式化得( y0 4) b2 4 x0 b 4 y00 ，同理有 ( y04)c24x0c 4 y0 0 ．⋯⋯⋯⋯ 6 分所以b c4x0 ，bc 4 y0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分y04y0 4(b c)216(x2y2 4 y)．000( y04)2因 P (x0 , y0 ) 是抛物上的点，有 x02 4 y0，(b c)216y02，b c4y04．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分( y04)2y0所以 S PBC 1(b c)y0 2 y0y02[( y04)168] 2y04y044 16832 ．当 ( y04) 216 ，上式取等号，此x042, y0 8 ．因此 S PBC的最小32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分解法二： P(x0 , y0 ) ,y0x02， PB 、 PC 的斜率分k1、k2，4PB ：y x02k1 ( x x0 ) ，令 y0得x B x0x02，同理得 x C x0x02；44k14k2所以 | BC | | x B x C| |x02x02|x02|k1k2 | ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6分4k24k14k1 k2下面求 | k1k2 | ,k1 k22| k1 x0 2x02|由 (0, 2) 到PB ：y x0k1( x x0 ) 的距离2，得4 2 ，4k121因 y0 4 ，所以 x0216 ，化得 ( x024)k12x0(4x02)k1( x02)2x020 ，24同理得 ( x024)k22x0(4x02)k2( x02)2x020 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分24所以 k1、 k2是 ( x024) k 2x0(4x02) k( x02) 2x020 的两个根.24x 0 x 024)x 2)22 2 x 021)(2 ( 0 x 0x 0 (所以 k 1k 2,k 1k 2 416 ,x 024x 02 4x 024| k 1 k 2 |(k 1 k2 ) 24k 1k 2x 02， |k 1 k 2 |1，x 024k 1k 2x 02116| xx|x 02|k1k2 |x 02 1 y1 4 y 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分BC4k 1k 24 x 021y 0 1 y 0 4164所以 S PBC1| BC | y 02 y 0 y 0 2[( y 0 4)16 48]2y 0 4y 04 16832 ．当 ( y 0 4) 2 16 ，上式取等号，此 x 0 4 2, y 0 8 ．因此 S PBC 的最小 32． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21. 解 : （Ⅰ）当 b2 ，若 F (x)f ( x) g( x)ae 2 x 2e x x ，F (x) 2ae 2 x2e x 1 ，原命 等价于 F (x)2ae 2x2e x 1⋯0 在 R 上有解．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分法一：当 a ⋯0 ， 然成立；当 a0 ， F ( x)2ae 2x 2e x1 2a(e x1 )2 (1 1 )1 12a 2a∴ (10 ，即 a 0 ．)22a 合所述a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2法二：等价于 a1 ( 1)2 1 在 R 上有解，即2 e xe x∴ a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2，x 2x1（Ⅱ） P( x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) ，不妨 x 1x 2x 0 ，2ae2x2bex2x 2 ， ae2 x 1bex1x 1 ，两式相减得： a(e 2 x 2 e 2 x 1) b(e x 2e x 1 ) x 2 x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分整理得x 2 x 1x 2 x 1 a(e x 2e x 1)(e x 2e x 1)b(e x 2 e x 1 )⋯ a(e x 2e x 1 )g2e 2b(e x 2e x 1)x2x 2 x 1x 1⋯2ae 2b ，于是ex2ex1x 2x 1x 2 x 1xx 1x 2 x 1f ( x 0 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分e 2⋯2ae2 be 2xxe 2e 1x 2x 1x 2 x 1x 2x 1x 2 x 1而e2e2xe xx x1e21e 2 1tt令 txx 0 ， G (t)e 2 e 22 1ttttG (t ) 1 e 2 1 e 2 1 12e 2 e 22 2 2t ，1 0 ，∴y G (t) 在 (0,) 上 增，ttttG(t)e 2 e 2t G(0) 0 ，于是有 e 2e 2t ，t即 e t 1 te 2 ，且 e t1 0 ，t t∴e21，e t 1即 f ( x 0 ) 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分考生在第 22～ 24 三 中任 一 做答，如果多做， 按所做的第一 分22． 修 4-1几何 明明： ( Ⅰ) 依 意，DEBE ， 11 ，BEEC所以 DEB : BEC , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 得 3 4,因 4 5 ,所以 35 , 又 26 ，可得 EBD :( Ⅱ) 因ACD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分因 EBD : ACD ，所以EDBD , 即 ED AD , 又 ADECDB , ADE : CDB ,AD CD BD CD所以 48 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因 1231800 ，因 2 78 ，即 274 ，由 ( Ⅰ ) 知 35 ，所以1745 180 0 ,即 ACBAEB 1800 ,所以 A 、 E 、 B 、 C 四点共 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 23． 修 4-4 ：坐 系与参数方程2x2解： ( Ⅰ) 曲 C 1 的普通方程 2y 1 ，射 C 2 的直角坐 方程 yx( x 0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分可知它 的交点6 , 6 ，代入曲 C 1 的普通方程可求得 a 2 2 .3 32所以曲 C 1 的普通方程xy 2 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2( Ⅱ) | OP | | OQ | 定 .由 ( Ⅰ ) 可知曲 C 1 ，不妨AC 1 的上 点，M (2 cos ,sin ) , P(x P ,0) ， Q ( x Q ,0) ,因 直 MA 与 MB 分 与 x 交于 P 、 Q 两点，所以 K AMK AP , K BM K BQ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由斜率公式并 算得x P12 cos， x Q 2 cos, sin1sin所以 | OP | |OQ | x P x Q2. 可得| OP | | OQ |定 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分24.修 4-5 ：不等式解 : ( Ⅰ) 由于 f ( x)3x7,x 2,⋯⋯⋯⋯ 2 分3x5x 2.函数的象如所示 : （略）⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分( Ⅱ) 由函数y f ( x) 与函数y ax 的象可知 ,当且当1a 3, 函数 y ax 的象与函数y f ( x)象没有交2点, ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分所以不等式 f (x) ax 恒成立,a 的取范1 ,3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2。

河北省石家庄市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．4【答案】B 【解析】 【分析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！2．已知函数2,0()0xx f x x -⎧⎪=>„，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞【答案】B 【解析】 【分析】对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解. 【详解】函数2,0()0xx f x x -⎧⎪=>„，由()02f x <得00220xx -⎧<⎪⎨⎪⎩„或02x <>⎪⎩ 解得010-<x „. 故选:B. 【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+【答案】A 【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为23底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为21311434234238323V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为35【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC. 所以三棱锥P-ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===，()22||||||226,PA PB PC ∴===+=222PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，1222222PBAS ∆=⨯⨯=Q ，()22161252PBC PAC S S ∆∆==⨯-⨯=Q .∴三棱锥P-ABC 的侧面积为2522+.故正确的为C. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 5．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭,可解得12m =-,利用三角恒等变换化简解析式可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()=0f x ,即可求得0x .【详解】 依题意，213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即252cos sin 136m ππ⋅+=-,解得12m =-；因为()1112cos sin 2cos cos 6222f x x x x x x π⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211cos cos 2cos 2sin 2226x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以02262x k πππ+=+，当1k =时，076x π=. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.6．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln xt x x -'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 7．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i--===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.8．使得()3nx n N +⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为r -n 3x n rr C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用．9．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】通过列举法可求解，如两角分别为2,63ππ时【详解】当2,36A B ππ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出；所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题10．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2 B ．53C ．43D ．32【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值. 【详解】如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ， 过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，由题知222294cos 607212AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅则外接圆半径212sin 603BC r ==⋅︒， 因为⊥OD AB ，所以22212319OD AO AD =-=-=， 又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =⇒=，43MO AN ==， 由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以16AM x AB ==，49AN y AC ==， 所以5233x y +=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题. 11．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．2B ．2C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,221(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．12．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ， 所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【精品解析】河北省石家庄市2020届高三数学第二次教学质量检测文（教师版）【试题总体说明】试题总体看来,结构是由易到难,梯度把握比较好,有利于各类考生的发展,具有一定的区分度，完全遵守了新课标全国卷的试题模式。

试题难度适当，适合文科学生解答。

试题的主要特点如下：第一,立足教材,紧扣考纲,突出基础。

试题平稳而又不乏新意,平中见奇。

如选择题1,5等；第二,强化主干知识,知识涵盖广,题目亲切,如选择2,7等；第三,突出思想方法,注重能力考查，如选择12，填空题16等。

如解答题"考查基础知识的同时,注重考查能力"为命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,如解答题19题;第四,结构合理,注重创新,展露新意。

如选择题12题和填空题16题，立意新颖，充分考查了学生的解题能力。

试卷充分关注对考生创新意识和创造思维能力的考查，如解答题如20题。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡或答题纸上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡或答题纸一并交回．第I 卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．ο150sin =A ．21B ．-21C ．23D ．-23【答案】A【解析】1sin150=sin(18030)sin 30,2-==oooo故答案为A. 2．已知全集U =N ，集合P ={1，2，3，4，5}，Q ={1，2，3，6，8}，则U (C Q)P I =NP 4 56,8Q 1, 2, 3A ．{1，2，3}B ．{4，5}C ．{6，8}D ．{1，2，3，4，5} 【答案】B【解析】由韦恩图可知，U (C Q)={4,5}.P I 3．复数111iz i i=+-+，则z = A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i 【答案】D 【解析】11(1)221,1.11(1)(1)2i i i i i z i z i i i i i ++-+=+===+∴=--+-+Q 4．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为A ．2y x =±B ．52y x =±C ．12y x =± D ．6y x =± 【答案】D【解析】222225,,1()5,2,c a b b b e c a b a a a+===+∴=+=∴=Q6．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 在[-2，1]上的最小值为A ．-1B ．0C ．2D ．3 【答案】A【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+Q 因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 在[-2，1]上的最小值为()1 1.f -=-7．已知平面向量a 、b ，|a |=1，|b |=3，且|b a +2|=7，则向量a 与向量b a +的夹角为 A ．2π B ．3π C ．6πD ．π 【答案】B 【解析】222447,1,3,4437,a b a a b b a b a b +=+⋅+===∴+⋅+=r r r r r r r r r rQ0,a b ⋅=r r 如图所示，+a a b r r r 与的夹角为,COA ∠3tan ,.13CA COA COA OA π∠==∴∠=Q8．图示是计算1+31+51+…+291值的程序框图，则图中(1)处应填写的语句是 A ．15≤i ?B ．15>i ?C ．16>i ?D ．16≤i ?【答案】B【解析】10,1,01,123,112;1s n s n i ==∴=+==+==+=Q141,3,1,325,213;33s n s n i ==∴=+==+==+=Q441,5,,527,314;335s n s n i ==∴=+=+==+=Q111111,7,1,729,415;35357s n s n i =++=∴=+++=+==+=Q1111357⋅⋅⋅Q ，，，的数列的通项公式为121n -，11,15,2921n n =∴=-Q 此时15,i =故图中(1)处应填写的语句是15>i ?9．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，求第一次为白球第二次为黑球的概率为 A ．53 B ．103 C ．21 D ．256 【答案】B【解析】第一次为白球的概率为131535C C =，第二次为黑球的概率121412C C =，则第一次为白球第二次为黑球的概率35⨯13.210= 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．34B ．6+5C ．4+25D ．6+25 【答案】D【解析】根据三视图可知其几何体为四棱锥，且,SA ABCD ⊥面底面ABCD 为正方形，则有,,CD SD BC SB ⊥⊥11SA AB AD ===，，则 11121255,22422SAD SAB SBC SCD ABCD S S S S S ∆∆∆∆==⨯⨯===⨯==⨯=W ，，故四棱锥的表面积为6+2 5.11．已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为A ．6B ．C ．3D ．2【答案】A【解析】正三棱柱111,A B C ABC-设底面边长为,a其高为,SE h=，O为其外接球的球心，在Rt OAE∆中，,,,2hAO R OE AE===2222222222,()(),4()22343432h h h ahAO AE OE R a a∴=+∴=+∴=+=+≥⨯ah∴≤此时正三棱柱的侧面积最大为333a h ah⨯⨯==⨯=当且仅当2hh==时等号成立，故有3a a=∴=12．对向量12(,)a a a=，12(,)b b b=定义一种运算“⊗”．12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b⊗=⊗=，已知动点P、Q分别在曲线siny x=和()y f x=上运动，且OQ m OP n=⊗+u u u r u u u r(其中O为坐标原点)，若1(,3),(,0)26m nπ==，则()y f x=的最大值为A．12B．2 C．3 D【答案】C【解析】设11(,),(,),P x y Q x y==1(,3),(,0)26m nπ==∴，11111(,3)(,)(,3),22xm OP x y y⊗=⊗=u u u r(,)OQ m OP n x y=⊗+∴=u u u r u u u rQ，11(,3)2xy+(,0)6π，1111,3,2,,2633x yx y y x x yππ∴=+=∴=-=又11sin,sin(2),3sin(2),333yy x x y xππ=∴=-∴=-显然当sin(2)13xπ-=时，取得最大值为3.第II卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()f x=的定义域为．【答案】(][),01,-∞+∞UCSABOEA1B1C1【解析】20,0 1.x x x x -≥∴≤≥Q 或14．在ABC ∆中，2660,2,3A BC AC ∠===o，则B ∠= ． 【答案】45o【解析】利用正弦定理可知：262223,,sin ,26,,,45.sin sin sin 60sin 23BC AC B BC AC A B B A B B =∴=∴=>∴>∠>∠∴∠=o o Q 15．已知点Q (5，4)，动点P (x ，y )满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-0102022y y x y x ，则|PQ |的最小值为 ． 【答案】5【解析】如图所示的可行域，直线AB 为20,x y +-=过Q 点与直线AB 垂直的直线为()45,10,y x x y -=-∴--=与20x y +-=的交点为31(,)22，而B(1,1),A(0,2),因31,2>故点Q 在20x y +-=的射影不在AB 上，则最短距离为即为Q 点到B 距离22(51)(41) 5.-+-=16．抛物线24y x =的焦点为F ，则经过点F 、)4,4(M 且与抛物线的准线相切的圆的个数为 ． 【答案】2【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，其准线为 1.x =-过点F 且与抛物线的准线相切，根据抛物线的定义可知圆心必落在抛物线上。

2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(文科）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={5，6，7 }, N={5，7，8 }，则A. B.C. D.=(6,7,8 }2. 复数-(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知函数分别由右表给出，则的值为A. 1B.2C. 3D. 44. 若x、y满足约束条件，则z=3x-yA.最小值-8，最大值0B.最小值-4，最大值0C.有最小值-4，无最大值D.有最大值-4，无最小值5. 的值为A. 1B.C.D.6. 已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3,-1)夹角为钝角的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7. 一个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8. 程序框图如右图，若n=5，则输出的s值为A. 30B. 50C. 62D. 669. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.0510. 已知拋物线的焦点为F，点M在该拋物线上，且在x轴上方，直线的倾斜角为600，则 |FM|=A. 4B. 6C. 8D. 1011. 已知a是实数，则函数的图象不可能是12. 已知函数则满足不等式的％的取值范围为A. B. (-3,1) C. [-3,0) D. (-3,0)第II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 双曲线的离心率为________.14. 在中，,AC=1,AB=，则BC的长度为________.15. 在区间[1，3]上随机选取一个数x,e x(e为自然对数的底数）的值介于e到e2之间的概率为________.16. 已知长方体ABCE-A1B1C1D1的外接球的体积为36，则该长方体的表面积的最大值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已知等比数列{an }的前n项和为Sn，a1=2, S12S23S3成等差数列.(I )求数列{an}的通项公式;(II )数列是首项为-6，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和.18. (本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，AB=1，,D为的中点，BD与交于点0，CO丄侧面(I )证明=BC AB1(II)若OC=OA，求三棱锥的体积.19. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图.(I )由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准〜则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；(III）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表).20. (本小题满分12分）已知点P(l，）在椭圆上，且该椭圆的离心率为.(I )求椭圆E的方程；，3)作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，(II)过椭圆E上一点P(x求的面积.21. (本小题满分12分）己知函数（a<2，e为自然对数的底数).(1)若a=1，求曲线在点处的切线方程；(I I)若存在，使得.，求实数a的取值范围.请考生在第22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交CE于D点，(I )求证：；(II)求证:A、E、B、C四点共圆.23. (本小题满分H)分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系经xOy中，以0为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C1的参数方程为：（为参数）；射线C 2的极坐标方程为：，且射线C2与曲线C1的交点的横坐标为.(I )求曲线C1的普通方程；(II )设A、B为曲线C1与y轴的两个交点,M为曲线C1上不同于A、B的任意一点，若直线MA与MB分别与x轴交于P、Q两点，求证|OP| •|OQ|为定值.24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设函数..(I )画出函数y=f(x)的图象；(II)若不等式恒成立，求实数a的取值范围.2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(文科答案)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 CBACB 6-10 ABCBC 11-12 BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 5414. 1或2 15.1216. 72三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）由已知21343S S S =+,211114()3(1)a a q a a q q +=+++………………….2分230q q -=,0q ∴=（舍）或13q =……………………4分1123n n a -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭.………………………….6分（Ⅱ）由题意得：28n n b a n -=-,.........................8分11282283n n n b a n n -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,设数列{}n b 的前n 项和为n T .⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n n 121-3n(-6+2n -8)T =+121-3…………………….10分121733n n n -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. ……………………….12分18．解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，12AA =，22AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,112tan AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD中,12tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠,…………………2分 又1190BAB AB B ∠+∠=o ，190BAB ABD ∠+∠=o ，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=o ，即1BD AB ⊥， …………………………………………………………………………4分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥………………………6分（Ⅱ）在Rt ABD V 中，可求得6BD =,213236AD AB OC OA BD ⨯⨯==== 111222ABB S AB BB ∆=⋅= …………………………9分111--11236332318B ABC C ABB ABB V V S OC ∆==⋅=⋅⋅= …………………………12分19.解: （Ⅰ）……………………………………………………………………3分（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为 2.5吨.………………………………………………7分 （Ⅲ）这100位居民的月均用水量的平均数为1357911130.5(0.100.200.300.400.600.30.1)4444444⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1.875= …………………12分20.解：（Ⅰ）依题意得：222221245141c e a a b c a b ⎧⎪==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，…………………2分解之得4,2,a c b ===．∴椭圆E 的方程为2211612x y +=．………………5分 （Ⅱ）把0(,3)P x 代入2211612x y +=，求得02x =±，不妨取02x =， 易知过椭圆E 上一点0(,3)P x 作圆22(1)1x y +-=的两条切线的斜率存在， 设为k ，则切线的方程为：3(2)y k x -=-，………………7分1=，化简得23830k k -+=，则1k=2k =.∴切线的方程为：32)y x -=-,…………………9分 令0y =得2B x =-2C x =-∴132PBC S ∆==g …………………12分21.解：（Ⅰ）当1a =时，2()(1)x f x x x e =-+，切点为(1,)e ， 于是有2()()x f x x x e '=+，……………2分 (1)2k f e '==∴ 切线方程为2y ex e =-.………………5分 （Ⅱ）()(2)x f x x x a e '=-+,令()0f x '=，得20x a =-< 或 0x =, （1）当220a --<„，即02a <„时，x 2-(2,2)a -- 2a - (2,0)a - 0 (0,2) 2 ()f x ' ＋ 0 ＿ 0 ＋ ()f x Z极大值 ] 极小值 Z∴ 2(2)(4)a f a e a --=-，2(2)(4)f e a =-， 当02a <„时，有(2)(2)f f a -…若存在[2,2]x ∈-使得22()3f x a e …，只须222(4)3e a a e -…，解得413a -剟， ∴ 01a 剟.……………8分x 2- (2,0)- 0(0,2) 2 ()f x ' － 0 ＋ ()f x ] 极小值 Z ∴ 2(2)(43)f e a --=+，2(2)(4)f e a =-， ∵ 22(43)(4)e a e a -+<-， ∴ (2)(2)f f >-若存在[2,2]x ∈-使得22()3f x a e …，只须222(4)3e a a e -…，解得413a -剟， ∴ 403a -<„.……………11分综上所述 413a -剟.………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲证明：(Ⅰ)依题意，DE BEBE EC=，11∠=∠ ， 所以DEB BEC ∆∆:,………………2分 得34∠=∠, 因为45∠=∠,所以35∠=∠,又26∠=∠，可得EBD ACD ∆∆:.……………………5分 (Ⅱ)因为因为EBD ACD ∆∆:，所以ED BD AD CD =,即ED ADBD CD=,又ADE CDB ∠=∠,ADE CDB ∆∆:, 所以48∠=∠，………………7分因为0123180∠+∠+∠=，因为278∠=∠+∠，即274∠=∠+∠，由(Ⅰ)知35∠=∠， 所以01745180,∠+∠+∠+∠=即0180,ACB AEB ∠+∠=所以A 、E 、B 、C 四点共圆.………………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)曲线1C 的普通方程为2221x y a+=， 射线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥，…………………3分可知它们的交点为,33⎛ ⎝⎭，代入曲线1C 的普通方程可求得22a =. 所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=.………………5分 (Ⅱ) ||||OP OQ ⋅为定值.由(Ⅰ)可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，设,sin )M ϕϕ,(,0)P P x ，(,0)Q Q x ,因为直线MA 与MB 分别与x 轴交于P 、Q 两点， 所以AM AP K K =,BM BQ K K =,………………7分 由斜率公式并计算得1sin P x ϕϕ=-，1sin Q x ϕϕ=+, 所以||||2P Q OP OQ x x ⋅=⋅=.可得||||OP OQ ⋅为定值.……………10分24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解: (Ⅰ)由于37,2,()35 2.x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩…………2分则函数的图象如图所示:（图略）……………5分(Ⅱ) 由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知,当且仅当132a -≤≤时,函数y ax =的图象与函数()y f x =图象没有交点,……………7分 所以不等式()f x ax ≥恒成立,则a 的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………10分。

石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（ ）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,32．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．5125．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?，100n >?D ．n 是奇数?，100n >?8．下列判断正确的个数是（ ） ①“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．311．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,413．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________.14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠； （2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB 和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ； （2）若二面角P AB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.答案解析石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（ ）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,3【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集的定义与集合B 求交集. 由2340x x -++>得2340x x --<， 则14x -<<，又由x ∈Z 得0,1,2,3x =. 所以{}0,1,2,3A =，而[)2,B =+∞.从而{}2,3A B ⋂=. 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】A【解析】先令z a bi =+，代入化简可得250b +=，从而可得其轨迹方程 【详解】解：设z a bi =+，则由4z i z i +=+得，(4)(1)a b i a b i ++=++，所以2222(4)(1)a b a b ++=++， 化简得250b +=，52b =-，所以复数z 在复平面内对应的点为5(,)2a -，所以z 对应点的轨迹为直线52y =-，故选：A 【点睛】此题考查复数的模，复数的几何意义，考查转化思想，属于基础题. 3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<， 因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3xy =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解【详解】 因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<，故选：A. 【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题 4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．512【答案】D【解析】分别由矩形面积公式与微积分的几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为()223233111115444224113333x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⨯-⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于553412P ==， 故选：D 【点睛】本题考查微积分的几何意义求面积，还考查了几何概型求概率，属于简单题.5．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ． 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+【答案】D【解析】结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解 【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()xx f x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B 项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -==== 101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.8．下列判断正确的个数是（ ） ①“2x <-”是“()ln30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于①，由充分不必要条件的定义判断；对于②，利用基本不等式求解；对于③，由原命题的真假判断逆命题的真假；对于④，命题的否定是改量词，否结论. 【详解】解：对于①，当2x <-时，不能得到()ln 30x +<，所以“2x <-”不是“()ln 30x +<”的充分不必要条件，所以①错误；对于②，由基本不等式得，()221929f x x x =++≥+，而22199x x +=+不成立，所以取不到等号，所以②错误；对于③，命题“若a β=，则sin sin a β=”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以③正确； 对于④，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定为“0x ∃>，020*******x +≤”，所以④错误 所以正确的有1个， 故选：B 【点睛】此题考查了充分不必要条件、逆否命题、命题的否定、基本不等式，综合性强，但难度不大，属于基础题. 9．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C 【解析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】 因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象， 又因为()gx 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<， 所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确； 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．3【答案】D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果．【详解】根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF ，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a ，即2232MF MF a ，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OMb =，2MF a =，2OFc =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ，ab cMH，即M 点纵坐标为ab c ， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b c x b ，解得2b cx，2,b ab ccM， 将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c ，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3c ae，故选D ．【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．11．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面α平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,4【答案】A【解析】分析：因为题设有5个变量，故利用分段函数的图像可得()()12111x x --=，3410x x +=，所以()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭就可化成关于m 的函数，最后根据()f x m =有四个不同的实数根得到m 的取值范围即得()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围． 详解：由题设，有()f x m =在(]1,3上有两个不同的解12,x x ，在()3,+∞上有两个不同的解34,x x ．当(]1,3x ∈时， ()()2log 1f x x =-，故()()2122log 1log 1x x -=-，因12x x <，故()()2122log 1log 1x x --=-，所以()()12111x x --=即1212x x x x =+且01m <≤．当()3,x ∈+∞时， ()2123522f x x x =-+， 3410x x +=且01m <<． 所以()()3412100,10m m x x m x x ⎛⎫++=∈ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断m 的取值范围．二、填空题13．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________. 【答案】5-【解析】根据二项展开式通项公式确定含x 的项的项数，进而确定含x 的项的系数. 【详解】因为53521551()()()(1)rrrr r r r T C x C x x--+=-=-，所以令5312r -=得1,r =因此含x 的项的系数为115(1) 5.C -=-【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.【答案】34π【解析】将|2|2a b +=两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-,则2a =因为|2|2a b +=,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=代入2a =,||1b =可得1a b ⋅=-设,a b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得12221cos a b a bα⋅-==-⨯⋅=因为0απ≤≤所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 【答案】11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【解析】根据n S 与n a 的关系，当2n ≥时，可得1nn n a S S -=-，从而可得11n n n n S S S S ---⋅-=，从而可得1111n n S S --=，进而求出n S ，再根据n S 与n a 的关系即可求解. 【详解】 当2n ≥时，1nn n a S S -=-⋅，则11n n n n S S S S ---⋅-=，1111n n S S -∴-=， 112a =，∴112S =，即112S =，()12111nn n S ∴=+-⨯=+， 所以11n S n =+， 所以当2n ≥时，()111111n n n a S S n n n n--=-=-=++， 当1n =时，112a =，不满足上式， 故11212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩，故答案为：11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【点睛】本题主要考查了n S 与n a 的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．【答案】438,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，232cos SC θ=-,又224SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438[,]33.三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠； （2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠ 【答案】（1）23APB ∠=π；（2）357sin 38PAB ∠=． 【解析】（1）在APC △中，设AC x =， 4AC PC ⋅=，得到4PC x=，再由余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅，解得x ，利用平面几何知识求解.（2）由ABC 的面积为532，利用153sin 232ABC S AC BC π=⋅⋅=△，解得BC ，得到则BP ，作AD BC ⊥交BC 于D ，得到AD ，PD ，进而得到AB ，然后在ABP △中，利用正弦定理求解. 【详解】（1）在APC △中，设AC x =， 因为4AC PC ⋅=，4PCx=， 又因为3C π=，2AP =，由余弦定理得：2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅即：2224422cos 3x x x x π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 解得2x =，所以AC PC AP ==，此时APC △为等边三角形，所以23APB ∠=π； （2）由153sin 232ABCS AC BC π=⋅⋅=△， 解得5BC =，则3BP =，作AD BC ⊥交BC 于D ，如图所示：由（1）知，在等边APC △中，3AD =，1PD =，在Rt △ABD 中2231619AB AD BD =+=+=．在ABP △中，由正弦定理得sin sin AB PB APB PAB=∠∠，所以333572sin 3819PAB ⨯∠==． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及平面几何知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ； （2）若二面角PAB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）226【解析】（1）先由线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面PEF ，再由面面垂直的判定定理证得平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）由二面角的定义及题意可知，3cos 6PEF ∠=，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n ，PC ，利用sin cos ,n PC n PC n PCθ⋅=〈〉=⋅即可得解.【详解】 （1）PA PB =，E 为AB 中点，∴AB PE ⊥，又AB EF ⊥，PE ⊂平面PEF ，EF⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=，∴AB ⊥平面PEF ，又AB平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PEF .（2）PE AB ⊥，EF AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，∴PEF ∠就是二面角PAB C 的平面角，所以3cos 6PEF ∠=， 如图作PO EF ⊥，垂足为O ， 则363OE OE PE ==，所以12OE =，32OF =，则112OP =，如图，建立空间直角坐标系，则11(0,0,)2P ，3(1,,0)2C ，1(1,,0)2A --，1(1,,0)2B -，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z x ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，则0111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 则(0,11,1)n =-是平面PAB 的一个法向量，311(1,,)22PC=-，则21122sin cos ,6126n PC n PC n PCθ⋅=〈〉===⋅⋅.所以PC 与平面PAB 所成角的正弦值226.【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的推理与运算能力，建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键，属于中档题.19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅲ）方差变大了．【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅱ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， 由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2．因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件， 所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：X20 253035 40P0.04 0.20.370.3 0.09故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，43【解析】（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a 、b ，即可写出椭圆方程；（2）设出直线PQ 的方程与点,P Q 的坐标，求出直线BP 、BQ 的方程进而求出点M 、N 的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于1x 、2x 的表达式，直线PQ 的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出12x x 、12x x +，代入横坐标的乘积化简即可证明. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,Aa Bb -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=①，又由23=12c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简得2a b =②， ①②两式联立解得：=1b 或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+， 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+，1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=，由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k+=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k+==-+++22212412489363k k k =-++，是定值． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用、椭圆的简单几何性质、直线的方程、椭圆中的定值问题，属于较难题. 21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题； （2）利用韦达定理得到122x x a +=，121=x x ，将()()21f x f x -转化成关于12,x x 的表达式，再利用换元法令21(1)x t t x =>，从而构造函数11()ln 22h t t t t=-+，根据函数的值域可得自变量t 的范围，进而得到a 的取值范围. 【详解】解：（1）2121()2(0)x ax f x x a x x x-+'=+-=>.令2()21g x x ax =-+，则244a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. ②当00a >⎧⎨∆>⎩，即1a >时，由()0f x '>，得201x a a <<--或21x a a >+-；由()0f x '<，得2211a a x a a --<<+-，∴()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.综上所述，当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当1a >时，()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.（2）由（1）得，当1a >时，()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.由（1）得1x ，2x 为2()210g x x ax =-+=的两根，所以122x x a +=，121=x x .所以()()()()22221212111ln22x f x f x x x a x x x -=+--- 22222212212211112112ln ln ln 2222x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=-=-+.令21(1)x t t x =>，则()()2111()ln 22f x f x h t t t t-==-+， 因为2222211121(1)()02222t t t h t t t t t-+---'=--==<， 所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，而3(2)ln 24h =-，15(4)2ln 28h =-， 所以24t ≤≤，又()212212142([2,4])x x a t t x x t+==++∈，易知1()2x t t ϕ=++在[2,4]上单调递增， 所以2925424a ≤≤，所以实数a 的取值范围为325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、已知双元函数的值域求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元法的应用.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3 【解析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),Mx y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ， 即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.（2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '，则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 【详解】 证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a ba ab bc c =++++++++39b a b c a c a b c b c a=++++++， 当a b c ==时等号成立. （2）因为1111111111111122222a b c a b a c b c ab ac bc ⎛⎫⎛⎫++=+++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，111cb a a b c∴++++.当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。

2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(理科）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={5，6，7 }，N={5，7，8 }，则A. B. C. D.2. 若F(5，0)是双曲线(m是常数）的一个焦点，则m的值为A. 3B. 5C. 7D. 93. 已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44. 的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605. 的值为A. 1B.C.D.6. 已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7. —个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059. 程序框图如右图，若输出的s值为位，则n的值为A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知a是实数，则函数_的图象不可能是11. 已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为P.则下列结论正确的是A.不论边长AB，CD如何变化，P为定值；B.若-的值越大，P越大；C.当且仅当AB=CD时，P最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.12. 设不等式组表示的平面区域为Dn an表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数（i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_________.14. 在ΔABC 中，，，则 BC 的长度为________.15. 己知F1 F2是椭圆（a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆的离心率e的取值范围为________.16. 在平行四边形ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中ABCD-A1B1C1D1中有=________三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，，D为AA1中点，BD与AB1交于点0，C0丄侧面ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20. (本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ丄l 于Q点，且•(I )求动点P的轨迹E的方程；(II)过点P作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y 0>4时，试用y表示线段BC的长，并求ΔPBC面积的最小值.21. (本小题满分12分）已知函数(A ,B R，e为自然对数的底数），.(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；(II)当a>0 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.请考生在第22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交CE于D点，，BE2=DE-EC.(I)求证:；(I I)求证：A、E、B、C四点共圆.23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C 1的参数方程为：（为参数）；射线C 2的极坐标方程为：,且射线C 2与曲线C 1的交点的横坐标为(I )求曲线C 1的普通方程；(II)设A 、B 为曲线C 1与y 轴的两个交点，M 为曲线C 1上不同于A 、B 的任意一点，若直线AM 与MB 分别与x 轴交于P,Q 两点，求证|OP|.|OQ|为定值.24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 设函数 (I)画出函数的图象；(II)若不等式，恒成立，求实数a 的取值范围.2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(理科答案) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 14. 1或 2 15. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.22214()AB AD AA ++.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ）当1q =时，10472S S S ≠+所以1q ≠ ………………………………………………..2分10472S S S =+由,得()()1074111211(1)111a q a q a q q q q---=+--- 104710,12a q q q q ≠≠∴=+ ， ………………………….4分则8251112a q a q a q =+，9362a a a ∴=+，所以3,9,6a a a 成等差数列. ………………………6分(Ⅱ)依题意设数列{}3n a 的前n 项的积为n T ,n T =3333123n a a a a ⋅⋅3323131()()n q q q -=⋅⋅=33231()()n q q q -⋅3123(1)()n q ++-==(1)32()n n q -，…………………8分又由（Ⅰ）得10472q q q =+，63210q q ∴--=，解得3311(,2q q ==-舍）.…………………10分所以()1212n n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. …………………………………………….12分18. 解: （Ⅰ）………………………………3分（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为 2.5吨.……………………………………………6分（Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是45，则4~(3,)5X B ，311(0)()5125P X === 1234112(1)()55125P X C ===2234148(2)()()55125P X C ===3464(3)()5125P X ===………………8分 X0 1 2 3 P1125 12125 48125 64125分412()355E X =⨯=………………………………………………………………12分19. 解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，12AA =，2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,112tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD中,12tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠, 又1190BAB AB B ∠+∠=，190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， (3)分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………5分 （Ⅱ） 解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ABD中，可求得63OB =,66OD =,33OC OA ==，在1Rt ABB 中，可求得1233OB = ，故60,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,60,,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,30,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,123,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以 60,,02BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,630,,33BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,1236,,033BB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭可得，1123263,,333BC BC BB ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭…………………………………8分设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即23263060x y z y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪，取1,0,2x y z ===， 则()1,0,2=m ， …………………………………10分又BCD 面()1,0,0=n ，故5cos ,5==m n ， 所以，二面角1C BD C --的余弦值为5…………………………………12分 解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥，所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角…………………………………8分BD =，1AB =1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==113OC OA AB === ， 在1Rt COB中，13B C === ，……………………10分 又EOC OCE ∠=∠1cos 5OC EOC CB ∠==故二面角1C BD C --的余弦值为…………………………12分 20.解：（Ⅰ）设(),P x y ，则(),1Q x -， ∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． …………………2分 即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹E 的方程24x y =． …………………………4分 （Ⅱ）解法一：设00(,),(,0),(,0)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00()y y x b x b=--，化简得 000()0y x x b y y b ---=．又圆心(0,2)到PB 的距离为22= ，故222220000004[()]4()4()y x b x b x b y b y b +-=-+-+，易知04y >，上式化简得2000(4)440y b x b y -+-=， 同理有2000(4)440y c x c y -+-=． …………6分所以0044x b c y -+=-，0044y bc y -=-，…………………8分则2220002016(4)()(4)x y y b c y +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2004x y =，则 2202016()(4)y b c y -=-，0044y b c y -=-． ………………10分 所以0000002116()2[(4)8]244PBC y S b c y y y y y ∆=-⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分解法二：设),(00y x P , 则4200x y =，PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k ， 则PB ：2010()4x y k x x -=-，令0y =得20014B x x x k =-，同理得20024C x x x k =-； 所以||4|44|||||212120120220k k k k x k x k x x x BC C B -⋅=-=-=，……………6分 下面求||2121k k k k -, 由(0,2)到PB ：2010()4x y k x x -=-的距离为22010|2|2x k x +-=， 因为04y >，所以2016x >， 化简得2222220001010(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=， 同理得2222220002020(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=…………………8分 所以1k 、2k 是22222200000(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=的两个根.所以2001220(4)2,4x x k k x -+=-222220*********(1)()164,44x x x x k k x x --==--201220||4x k k x -==-，1220121||116k k x k k -=-， 22000120200120411||||44411416B C x x y k k x x y y x k k y --=⋅=⋅=⋅=---，……………10分 所以0000002116||2[(4)8]244PBC y S BC y y y y y ∆=⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分21.解:（Ⅰ）当2b =时，若2()()()2x x F x f x g x ae e x =-=+-，则2()221x x F x ae e '=+-，原命题等价于2()2210x x F x ae e '=+-在R 上有解．……………2分 法一：当0a 时，显然成立；当0a <时，2211()2212()(1)22x x x F x ae e a e a a '=+-=+-+ ∴ 1(1)02a -+>，即102a -<<． 综合所述 12a >-．…………………5分 法二：等价于2111()2x x a e e>⋅-在R 上有解，即∴ 12a >-．………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，不妨设12x x <，则2102x x x +=，2222x x ae be x +=，1121x x ae be x +=，两式相减得：21212221()()x x x x a e e b e e x x -+-=-，……………7分整理得 212121212121221()()()()2()x x x x x x x x x x x x x x a e e e e b e e a e e e b e e +-=-++--+- 则21212122x x x x x x ae b e e +-+-，于是21212121212202()x x x x x x x x x x e ae be f x e e +++-'⋅+=-，…………………9分而212121212121221x x x x x x x x x x x x e e e e e +----⋅=⋅-- 令210t x x =->，则设22()ttG t e e t -=--，则2222111()1210222t t t t G t e e e e --'=+->⋅⋅⋅-=， ∴ ()y G t =在(0,)+∞上单调递增，则22()(0)0t t G t e et G -=-->=，于是有22t t e e t -->， 即21t t e te ->，且10t e ->，∴ 211t t t e e <-， 即0()1f x '<．…………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22．选修4-1几何证明选讲证明：(Ⅰ)依题意，DE BE BE EC=，11∠=∠ ， 所以DEB BEC ∆∆,………………2分得34∠=∠,因为45∠=∠,所以35∠=∠,又26∠=∠，可得EBD ACD ∆∆.……………………5分 (Ⅱ)因为因为EBD ACD ∆∆， 所以ED BD AD CD =,即ED AD BD CD=,又ADE CDB ∠=∠,ADE CDB ∆∆,所以48∠=∠，………………7分因为0123180∠+∠+∠=， 因为278∠=∠+∠，即274∠=∠+∠，由(Ⅰ)知35∠=∠， 所以01745180,∠+∠+∠+∠=即0180,ACB AEB ∠+∠=所以A 、E 、B 、C 四点共圆.………………10分23．选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)曲线1C 的普通方程为2221x y a+=， 射线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥，…………………3分可知它们的交点为⎝⎭，代入曲线1C 的普通方程可求得22a =. 所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=.………………5分 (Ⅱ) ||||OP OQ ⋅为定值.由(Ⅰ)可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，设,sin )M ϕϕ,(,0)P P x ，(,0)Q Q x , 因为直线MA 与MB 分别与x 轴交于P 、Q 两点， 所以AM AP K K =,BM BQ K K =,………………7分 由斜率公式并计算得1sin P x ϕϕ=-，1sin Q x ϕϕ=+, 所以||||2P Q OP OQ x x ⋅=⋅=.可得||||OP OQ ⋅为定值.……………10分24.选修4-5：不等式选讲解: (Ⅰ)由于37,2,()35 2.x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩…………2分 则函数的图象如图所示:（图略）……………5分 (Ⅱ) 由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知,当且仅当132a -≤≤时,函数y ax =的图象与函数()y f x =图象没有交点,……………7分 所以不等式()f x ax ≥恒成立,则a 的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………10分。