河北省石家庄二中2020届高三数学上学期12月月考试题理(含解析)

石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。

河北高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．2.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（）A．24B．30C．36D．404.如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．5.已知把函数的图像向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数，则函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．6.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种7.已知椭圆的左、右焦点与双曲线的焦点重合．且直线与双曲线右支相交于点，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）A．B．C．D．8.一个长方体的四个顶点构成一个四面体，在这个长方体中把四面体截出如图所示，则四面体的侧视图是（）A．B．C．D．9.已知函数的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，，，且平面，则球的表面积为（）A．B．C．D．11.已知函数下列是关于函数的零点个数的四种判断：①当时，有3个零点；②当时．有2个零点；③当时，有4个零点；④当时，有1个零点．则正确的判断是（）A．③④B．②③C．①④D．①②二、填空题1.已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则______．2.设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则的值为______．3.已知中，角、、的对边分别为、、，已知，则的最小值为______．4.若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称是上的“完美函数”．已知，若函数是区间上的“完美函数”，则整数的最小值为______．三、解答题1.设数列的前项和为，且首项．（1）求证：是等比数列；（2）若为递增数列，求的取值范围．2.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：假设汽车只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车和汽车应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．3.如图，平面平面，，为等边三角形，，过作平面交、分别于点、．（1）求证：；（2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为．4.如图，已知圆，点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半径相交于．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与（1）中轨迹相交下两点，直线的斜率分别为（其中）．的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取值范围．5.已知函数．（l）求函数的单调区间；（2）当时，求在上的最大值和最小值；（3）求证：．6.选修4-1：几何证明选讲已知直线与圆相切于点，交圆于、两点，交圆于，，，，．（1）求证：；（2）求的长．7.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；（2）若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围．8.选修4-5：不等式选讲（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；（2）已知正数满足，求的最小值．河北高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于,因此应选D．【考点】复数的运算．2.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,故当时,成立；当,即时也成立.所以应选C.【考点】二次不等式的解法和集合的运算．3.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（）A．24B．30C．36D．40【答案】C【解析】因,故,应选C.【考点】抽样方法及计算．4.如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从所给算法流程可以看出当时仍在运算,当时运算就结束了,所以应选C.【考点】算法流程图的识读和理解．5.已知把函数的图像向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数，则函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,向右平移个单位后变为,再将其横坐标扩大到原来的两倍后得到,应选D.【考点】三角函数的图象和性质．6.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【答案】A【解析】先将穿红衣服的两人排定有种排法；再将穿黄衣服的两人插空有种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有种排法,应选A.【考点】排列组合数公式及两个计数原理的运用.7.已知椭圆的左、右焦点与双曲线的焦点重合．且直线与双曲线右支相交于点，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,设交点,则,右准线方程为,点到这条直线的距离为,所以,即,也即,该方程有正根,所以,解之得或,所以当时,双曲线的离心率最小,此时,应选D.【考点】双曲线的几何性质．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出的值.8.一个长方体的四个顶点构成一个四面体，在这个长方体中把四面体截出如图所示，则四面体的侧视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】侧视图就是左视图,也就是从几何体的左侧向右看,几何体所投射到平面上所得到的图形,由于被遮挡故应画虚线,所以应选D.【考点】三视图的识读和理解．9.已知函数的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于因此函数有两个极值点,因,故,即,应选B.【考点】导数在研究函数的零点中的运用．10.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，，，且平面，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设球心为,外接圆的圆心为,外接圆的半径为,则平面,由于平面,因此,在中,由余弦定理得,所以,即.由此可得,所以球的面积是,应选A.【考点】球的几何性质与表面积的计算．【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形的外接圆的半径,再借助平面,球心与的外接圆的圆心的连线也垂直于所在的平面,从而确定球心与共面.求出了球的半径,找到解题的突破口.11.已知函数下列是关于函数的零点个数的四种判断：①当时，有3个零点；②当时．有2个零点；③当时，有4个零点；④当时，有1个零点．则正确的判断是（）A．③④B．②③C．①④D．①②【答案】A【解析】若.当,即时,,解得；当,即时,,当,解得适合；当,解得不适合.若,若,则,即,当合适,时不合适；若,则,即也即,当时适合；当不合适.因此当时有四个根；当只有一个根,应选A.【考点】函数的零点和分类整合思想．【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思想,通过对变量的分类讨论,建立了关于函数的方程,再通过对参数的分类讨论,求解出方程的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何转化方程,如何进行分类整合.二、填空题1.已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则______．【答案】【解析】设,由可得.因,故,,则.【考点】抛物线的几何性质．2.设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则的值为______．【答案】【解析】因,而,即切线的斜率,故切线方程为,令得,所以,而.【考点】导数的几何意义．3.已知中，角、、的对边分别为、、，已知，则的最小值为______．【答案】【解析】由得,即.因为,即,所以,即的最小值为.【考点】余弦定理和基本不等式的运用．【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件与的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式.然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出的最小值.4.若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称是上的“完美函数”．已知，若函数是区间上的“完美函数”，则整数的最小值为______．【答案】【解析】令,则,当时,,不合题设；当时, ，符合题设,所以所求最小的正整数.【考点】导函数的几何意义．【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数的值.求解时依据题设条件先对函数和求导,建立不等式组,求参数的值时运用的是试验验证法,即根据题设条件对适合条件的实数的值进行逐一检验,最终获得答案.三、解答题1.设数列的前项和为，且首项．（1）求证：是等比数列；（2）若为递增数列，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）依据题设条件等比数列的定义推证；（2）借助题设条件运用递增数列建立不等式求解.试题解析:（1）因为，所以．∴．且，所以是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，，所以．当时，．若为递增数列，则对恒成立．当时，，则对恒成立，则；又所以的取值范围为【考点】等比数列及递增数列等有关知识的运用．2.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：假设汽车只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车和汽车应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．【答案】（1）汽车选择公路，汽车选择公路；（2）汽车为生产商获得毛利润更大．【解析】（1）依据题设条件计算概率,通过比较分析求解；（2）借助题设条件运用数学期望的大小分析推证.试题解析:（1）频率分布表，如下：所用的时间（天数）10111213设分别表示汽车在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；、分别表示汽车在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；，，，，所以汽车选择公路1，汽车选择公路2．（Ⅱ）设表示汽车选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则．的分布列如下：．∴表示汽车选择公路1时的毛利润为（万元）．设表示汽车选择公路2时的毛利润，．则的分布列如下：．∵，∴汽车为生产商获得毛利润更大．【考点】概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用．3.如图，平面平面，，为等边三角形，，过作平面交、分别于点、．（1）求证：；（2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）依据题设条件建立空间直角坐标系推证；（2）借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解. 试题解析:（1）如图以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，，，则，，，，，由，得，是平面的一个法向量，且，故，又∵平面，即知平面，又∵四点共面，∴；（2），设平面的法向量，则，可取，又∵是平面的一个法向量，由，以及可得，即，解得（负值舍去），故．【考点】空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用．【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第一问中的求证是借助向量共线定理进行推证的；第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出.如何通过计算建立方程是解答好本题的难点和关键之所在.4.如图，已知圆，点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半径相交于．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与（1）中轨迹相交下两点，直线的斜率分别为（其中）．的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依据题设条件运用椭圆的定义建立方程求解；（2）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立函数求解.试题解析:（1）连结，根据题意，，则，故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为，可知，则，3分所以点的轨迹的方程为为．4分（2）设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且∵构成等比数列，∴，即：由韦达定理代入化简得：．∵，∴此时，即．又由、、三点不共线得从而．故10分又则为定值．∴当且仅当时等号成立．综上：．【考点】直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用．5.已知函数．（l）求函数的单调区间；（2）当时，求在上的最大值和最小值；（3）求证：．【答案】（1）若，函数的单调减区间为，若，的单调增区间为，单调减区间为；（2）最大值为，最小值为；（3）证明见解析.【解析】（1）依据题设条件依据导数和函数的单调性的关系分类求解；（2）借助题设条件运用导数求解；（3）运用导数的知识及最大最小值进行推证.试题解析:（1）函数的定义域为，∵，∴，若，因，所以，故，函数在上单调递减；若，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．综上，若，函数的单调减区间为；若，的单调增区间为，单调减区间为．（2）时，，由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上的最大值为；而；，，所以，故函数在上的最小值为．（3）由（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在上的最大值为，即．故有恒成立，所以，故，即．【考点】导数在研究函数的单调性和最值中的运用．【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合应用问题.解答本题的第一问时,是直接依据题设条件运用分类讨论的思想求出单调区间；第二问中的最值求解则是运用导数研究函数在各个区间上的单调性,再依据最值的定义求出最值；第三问中的不等式的证明和推证则是依据题设条件,将问题进行合理有效的转化为求最值问题.体现数学中的化归与转化的数学思想的巧妙运用.6.选修4-1：几何证明选讲已知直线与圆相切于点，交圆于、两点，交圆于，，，，．（1）求证：；（2）求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）依据题设条件构造等角,探寻相似三角形的条件推证；（2）借助题设条件运用相似三角形和圆幂定理求解.试题解析:（1）因为，所以，因为与圆相切于点，所以，所以．（2）因为，且，所以，因为，所以，即有，即，则，又，即，所以，因为与圆相切于点，所以，即，所以．【考点】圆的有关知识的及运用．7.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；（2）若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）或.【解析】（1）依据题设条件消参化直角坐标方程,再将极坐标化为直角坐标；（2）借助题设条件运用点到直线的距离公式建立不等式求解.试题解析:（1）由得所以直线的普通方程为：，由又所以，圆的标准方程为，（2）因为直线与圆恒有公共点，所以，两边平方得，∴所以的取值范围是或【考点】极坐标方程和参数方程等有关知识及运用．8.选修4-5：不等式选讲（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；（2）已知正数满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；（2）借助题设条件运用柯西不等式求解.试题解析:（1）由绝对值的性质得，所以的最小值为，从而，解得，因此的最大值为．（2）由于，所以．当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为．【考点】绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用．。

河北省石家庄二中2020届高三年级上学期联考三数 学（理科）本试卷共4页，23题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4. 考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）.(,1]A -∞- .(,1)B -∞- .[1,)C +∞ .(1,)D +∞ 2．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ）A.,21000n n N ∀∈<B.,21000n n N ∀∉<C.,21000n n N ∀∈≤D.,21000n n N ∀∉≤ 3．己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．12 B．2C ．1 D4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（ ）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<6. 若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A.3C.3-D.7．已知函数()214f x x cosx =+的图像在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图像是（ ） A. B. C. D.8．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是（ ） A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,69．如图所示，在直角梯形ABCD 中，8AB =，4CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=u u u r u u u r u u u r（ ）A.32B.48C.80D.6410．如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是（ ） A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π11．如图所示，已知函数()()(0),2f x sin x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点A 、B ，点1(,0)2C -，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，点O 是△ABD 的重心，则△ACD 的外接圆的半径为（ ）A ．2B ．57 C ．57D ．8 12．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称,其导函数为()f x ',当0x …时,不等式()()1xf x f x '>-. 若x R ∀∈,不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立,则正整数a 的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

石家庄二中2019-2020学年度高三年级12月月考数学理科试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知复数1iz i +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.1B.-1C.iD.i -2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B U =（ ） A.(,1)[2,)-∞-+∞UB.(,1)[1,)-∞-+∞UC.[]1,2-D.(]1,2-3.函数2()x xe ef x x --=的图象大致为（ ）A. B. C. D.4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A.12 B.24 C.36 D.725.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>3，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A.12y x =±B.2y x =C.2y x =±D.22y x =±6.若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx x ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为（ ） A.6B.12C.60D.1207.如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234,,,e e e e ，其大小关系为（ ） A.1234e e e e <<<B.1243 e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（ ） A.459B.459-C.19-D.199.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（ ）A.向右平移3π个长度单位 B.向左平移3π个长度单位 C.向右平移23π个长度单位D.向左平移23π个长度单位10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31xf x =-，则使不等式()839x xf e e --<成立的x 的取值范围是（ ） A.(ln 3,)+∞B.(0,ln 3)C.(),ln3-∞D.()1,3-11.己知函数1()2x f x ex -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（ ） A.7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[2,)+∞D.[2,3]12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n n a n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<L ； ③使得210.999nii a i =≤∑成立的一个充分不必要条件为99n ≤； ④设函数2()ln 2x f x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解.其中所有正确结论的编号为（ ） A.②④ B.②③ C.②③④ D.①③④二.填空题（每题5分，共20分）13.抛物线24y x =的准线方程为______________.14.己知数列{}n a 满足133a =，*12,n n a a n n N +-=∈，则na n的最小值为________. 15.若实数x ，y 满足约束条件020x y x y ->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11x y -+的取值范围为______________.16.在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=u u u r u u u r，沿BD 将四边形折起成直二面角A BD C --，且|2BD +=u u r u u u r，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________________.三.解答题（共70分） （一）必考题（共60分）17.（12分）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =r ，(2,)n a c b =+r，且m n ⊥u r r .（1）求角B 的大小；（2）若b =，4a c +=，求ABC V 的面积.18.（12分）已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2n n n b c a =，12n n S c c c =+++L ，求证：101nS <<.19.（12分）如图，已知四棱锥 P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点. （1）求证：AE PD ⊥；（2）若直线PB 与平面PAD 所成角的余弦值为104，求二面角E AF C --的余弦值.20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为32，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ V 3（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ON b k k a⋅=-，求证：OMN V 的面积为定值.21.（12分）已知函数21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >时，讨论()f x 的零点个数.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线3:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点2,4M π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.23.（10分）已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.。

河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学（理）试题第I 卷选择题(共60分)一.选择题(共12小题，每题5分,共60分)1.已知集合11{|24},{|lg ,}410x A x B y y x x =≤≤==>，则A∩B=() A. [-2,2] B. (1,+∞) C. (-1,2] D. (-∞,-1]∪(2,+∞)2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则1z i=+ () 13.22A i + 13.22B i -+ 31.22C i -+ 33.22D i -+ 3.设,a b r r 是向量，则“||||a b =r r ”是“||||a b a b +=-r r r r ”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为( )5.右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩(单位:分，每题5分,共16题).已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为()A.0, 0B.0,5C.5,0A.0,0B.0,5C.5,0D.5，56. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题: “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲比戊多得( ) 钱?1.3A2.3B 1.6C 5.6D 7.将函数f(x)=cos2x 图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0,a]上单调递减，则实数a 的最大值为( ).8A π .4B π.2C π3.4D π 8.已知双曲线C 2222:1(0,0),x y a b a b-=>>O 为坐标原点，12,F F 为其左、右焦点,点G 在C 的渐近线上，21,6||||,F G OG OG GF ⊥=u u u r u u u r 则该双曲线的渐近线方程为( ).2A y x =±2.B y x =±3.C y x =± D. y=±x 9.正四面体A-BCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若BP+PE 的最小值为14,则该正四面体的外接球的表面积为( )A.32πB.24πC.12πD.8π10. 已知点G 在△ABC 内，且满足2340,GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r 若在△ABC 内随机取一点，此点取自△GAB,△GAC,△GBC 的概率分别记为123,,,P P P 则()123.A P P P == 123.B P P P << 123.C P P P >> 213.D P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆。

河北省石家庄市2020届高三12月联考数学（理）试卷时间:120分钟 满分:150分第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2) 2．设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2 3．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5 4．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．15．设m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若 m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则 m ⊥αD ．若 m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α6．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.787．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．168．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 10．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6 11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若，则|QF |＝( )A.72B.52C ．3D ．2 12．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为________． 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．15．若数列{a n }的前n 项和 S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝ .16．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为______________ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(12分)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b = 与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．18. (12分)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D ­AE ­C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ­ACD 的体积．19. (12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

石家庄二中高三12月月考数学理科题一、选择题1. 已知全集是小于9的正整数}，，则等于（）A. {1，2}B. {3，4}C. {5，6}D. {3，4，5，6，7，8}【答案】D【解析】∵全集是小于9的正整数}，∴∵∴故选D2. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A。

3. 已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∃n∈N，2n＞1000”，则p为∀n∈N，2n≤1000．故选：D．4. 若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. -7B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】x，y满足约束条件对应的平面区域如图：当直线y=3x﹣z经过B时使得z最小，解B（1，1），所以z=3x﹣y的最小值为2；故答案为：2.故选D。

5. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为，下底长为，高为，棱锥的一条侧棱垂直底面高为，所以这个几何体的体积：，故选．7. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，设抛物线的焦点为，连，由抛物线的定义可得。

∵，当且仅当三点共线时等号成立，即，∵。

因此的最小值为3。

答案：C。

河北省石家庄二中2020届高三年级第四次月考数 学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟，一、选择题（每题S 分，共60分） 1．已知复数i iz +=1(i 为虚数单位),则Z 的虚部为( ) A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．己知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=011x x xA ,{},),3(log 2A x x y yB ∈+==则=B A Y ( )A ．),2[)1,(+∞--∞YB ．),1[)1,(+∞--∞YC ．]2,1[-D ．]2,1(-3．函数2)(x e e x f xx --=的图象大致为( )4．石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖 工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有( ) 种A ．12B ．24C ．36D ．725．若双曲线)0,0(1:2222>>=-b a bx a y C 的离心率为3,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．x y 21±=B ．x y 2±=C ．x y 2±=D ．22±=y 6．若,sin 30xdx m ⎰=π则二项式mx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的展开式中的常数项为( )A ．6B ．12C ．60D ．1207．如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为,,,,4321e e e e 其大小关系为( )A ．4321e e e e <<<B ．3421e e e e <<<C ．4312e e e e <<<D ．3412e e e e <<<8．在正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与N D 1所成角的正弦值为( )A ．954B ．954-C ．91-D ．91 9．函数()⎪⎭⎫⎝⎛<+=2sin )(πϕϕωx x f 的图象如图所示，为了得到函数()ϕω-=x y sin 的图象,只需 把函数)(x f y =的图象( )A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位C ．向右平移32π个长度单位D ．向左平移32π个长度单位10．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，13)(-=xx f ，则使不等式98)3(<--xx e e f 成立的x 的取值范围是( ) A ．),3(ln +∞B ．)3ln ,0(C ．)3ln ,(-∞D ．)3,1(-11．已知函数,3)(,2)(21+--=-+=-m mx x x g x ex f x 若存在实数,,21x x 使得0)()(21==x g x f ，且121≤-x x ，则实数m 的取值范围为( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,37B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,2C ．),2[+∞D ．[]3,212．已知数列}{n a 满足,211=a n n a a -=+211，*N ∈n ,关于该数列有下述四个结论： ①*0N n ∈∃使得10>n a ②*N n ∈∀都有;121na a a n <Λ ③使得999.021≤∑=i ani 成立的一个充分不必要条件为99≤n ； ④设函数2ln 2)(x x f =，)(x f '为)(x f 的导函数，则不等式12)1(1)(a a n n f n ⋅-<-'*),2(N n n ∈≥有无穷多个解．其中所有正确结论的编号为( ) A ．②④B ．②③C ．②③④D ．①③④二、填空题（每题5分，共20分） 13．抛物线24x y =的准线方程为14．己知数列}{n a 满足331=a ，*,21N n n a a n n ∈=-+，则n an的最小值为15．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤>-020y x y x ，则11+-y x 的取值范围为16．在平行四边形ABCD 中，0=⋅,沿BD 将四边形折起成直二面角C BD A --,且22=+BD AB ,则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为三、解答题（共70分） （一）必考题（共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知()C B cos ,cos =， ()b c a n ,2+=，且n m ⊥. (1)求角B 的大小；(2)若13=b ,4=+C a ,求ABC ∆的面积．18．（12分）已知数列}{n a 满足521=a ,且,022311=+-++n n n n a a a α*,N n ∈数列}{n b 为正项等比 数列，且321=+b b ,43=b . (1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；(2)令,2n n n a b c = n n c c c S +++=Λ21,求证：.110<<nS19．（12分）如图，已知四棱锥,ABCD P -底面ABCD 为菱形，⊥PA 平面,ABCD ο60=∠ABC ,F E ,分别是BC ,PC 的中点.(1)求证：;PD AE ⊥(2)若直线PB 与平面PAD 所成角的余弦值为,410求二面角C AF E --的余弦值20．（12分）己知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为23,过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的Q P ,两点,O 为坐标原点，OPQ ∆的面积为23.(1)求椭圆E 的方程；(2)点N M ,为椭圆E 上不同两点，若,22ab k k ON OM -=⋅求证：OMN ∆的面积为定值．21．（12分）己知函数[]ππ,,21cos sin )(2-∈++=x ax x x x x f (1)当0=a 时，求)(x f 的单调区间； (2)当0>a 时，讨论)(x f 的零点个数．（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用28铅笔将答题卡上所选 题目的题号右侧方框涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)在直角坐标系xOy 中，曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 3:y x C (α为参数，且πα20<≤).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线m l =+θρθρsin cos :经过点⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛4,24πM(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标．23．(10分)已知函数⋅--+=21)(x x x f (1)求不等式1)(≥x f 的解集；(2)记)(x f 的最大值为m ,且正实数b a ,满足m ba b a =+++2121,求b a +的最小值．数学（理科）参考答案一、选择题。

石家庄二中2019-2020学年度高三年级上学期12月月考数学理科试卷一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知复数1i iz +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】21i i(1)1z i ii i+=+==-，1z i =+，其虚部为1． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题．2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B U =（ ） A. (,1)[2,)-∞-+∞U B. (,1)[1,)-∞-+∞UC. []1,2-D. (]1,2-【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算．【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]A B =-U ． 故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0．3.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A. 12 B. 24C. 36D. 72【答案】C【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得．【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法．5.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>C 的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. y =C. 2y x =±D.2y x =±【答案】D 【解析】 【分析】由离心率得ca=,a b 的关系即得．【详解】由题意c a =222223c a b a a +==，222b a =，2a b =，∴渐近线方程为：y x =． 故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b 的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式．6.若3sin m xdx π=⎰，则二项式2mx ⎛⎝的展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项． 【详解】03sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622mx x x x =⎛⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式通项公式36662166(2)()2r rrr r rr T C x C x x---+==， 令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==． 故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础． 7.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A. e 1<e 2<e 3<e 4B. e 2<e 1<e 3<e 4C. e 1<e 2<e 4<e 3D. e 2<e 1<e 4<e 3【答案】C 【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e 1＜e 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e 4＜e 3 ∴可得到e 1＜e 2＜e 4＜e 34, 故选C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（ ）45B. 45C. 19- D.19【答案】A 【解析】 【分析】以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,1)M ，(2,2,1)N ，所以(2,2,1)CM =-u u u u r，1(2,2,1)D N =-u u u u r ，1111cos ,999CM D N CM D N CM D N⋅<>===-⨯u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ． 21145sin ,1()9CM D N <>=--=u u u u r u u u u r ， ∴异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为45． 故选：A ．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解．9.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（ ）A. 向右平移3π个长度单位 B. 向左平移3π个长度单位 C. 向右平移23π个长度单位D. 向左平移23π个长度单位【答案】A 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论．【详解】由题意74()123T πππ=⨯-=，∴22πωπ==， 又7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，而2πϕ<，∴3πϕ=， ∴()sin(2)3f x x π=+，sin(2)sin[2()]333y x x πππ=-=-+，因此只要向右平移3π个单位就满足题意．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式．解题关键是掌握“五点法”．掌握三角函数的图象变换的概念．10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31xf x =-，则使不等式()839x x f e e --<成立的x 的取值范围是（ ）A. (ln3,)+∞B. (0,ln 3)C. (),ln3-∞D. ()1,3-【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31xf x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 则()00f =满足()31x f x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞． 故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >．11.己知函数1()2x f x e x -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）A. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,)+∞D. [2,3]【答案】D 【解析】 【分析】首先确定11x =，根据题意问题转化为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．再用分离参数法转化为求函数值域．【详解】易知1()2x f x e x -=+-是R 上的增函数，且(1)0f =，∴()f x 只有一个零点1，即11x =，∴问题变为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．由2()30g x x mx m =--+=得231x m x +=+，令1t x =+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]t x =+∈，2(1)342t m t t t-+==+-，由双勾函数的单调性可知，当[1,2]t ∈时，42m t t =+-递减，当[2,3]t ∈时，42m t t=+-递增，∴42m t t=+-的最小值是2，最大值是3．即[2,3]m ∈． 故选：D.【点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力．题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围．然后再转化为求函数值域．12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n n a n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<L ； ③使得210.999nii a i=≤∑成立的一个充分不必要条件为99n ≤；④设函数2()ln 2xf x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解. 其中所有正确结论的编号为（ ） A. ②④ B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项．【详解】∵*11,2n n a n a +=∈-N ，∴121111111112n n n n na a a a a +-===+-----，1121a =-， ∴数列1{}1na -是首项为2，公差为1的等差数列，∴1111n a =+-， 1n na n =+， 显然对任意*n N ∈，1n a <，①错；*n ∀∈N ，1212123111n a a a n nn n =⨯⨯⨯=++<L L ，②正确； 21111111()10.999(1)111nn ni i i i a n i i i i i n n =====-=-=≤++++∑∑∑，999≤n ，③正确； 2()ln 2x f x =，则()2xf x '=，不等式21(1)()1n n n f n a a --'-<⋅为2211n n -<-，即22n n <， 由数学归纳法可证当5n ≥时，22n n >恒成立，证明如下： (i)5n =时，52232255=>=，命题成立， (ii)假设n k =(5k ≥)时，命题成立，即22k k >， 则1n k =+时，122222222(1)(1)1(1)k k k k k k +=⨯>=++-->+，命题也成立，综上，对任意的正整数n ，5n ≥时，22n n >恒成立． 所以22n n <有无穷多个解，是错误的．④错误． 只有②③正确． 故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式．解题关键是求出数列通项公式．本题中第4个命题有一些难度．题中证明是用数学归纳法给出的．当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不显得有难度． 二.填空题（每题5分，共20分） 13.抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n an的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15.若实数x ，y 满足约束条件020x y x y ->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11x y -+的取值范围为______________.【答案】(]1,1- 【解析】 【分析】 作出可行域，利用11y x +-的几何意义求解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（不含虚线边界，含实线边界），令11x z y -=+，1x =时，0z =，1x ≠时，111y z x +=-表示可行域内点(,)Q x y 与点(1,1)P -连线的斜率， 111PO k -==-，1112PA k -==-， 由图可知11z <-或11z≥，所以10z -<<或01z <≤， 综上 11z -<≤． 故答案为：(]1,1-．【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题．解题关键是理解目标函数的意义．由几何意义求解是解题的基本方法．16.在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=u u u r u u u r，沿BD 将四边形折起成直二面角A BD C --，且2|2BD +=u u r u u u r，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________________.【答案】4π 【解析】 【分析】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，结合直二面角A BD C --，可证AB ⊥平面BCD ，从而有AB BC ⊥，因此AC 中点O 就是外接球球心．由此可求得表面积．【详解】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，∴AB ⊥平面BDC ，∴AB BC ⊥，同理CD AD ⊥，取AC 中点O ，则O 到四顶点的距离相等，即为三棱锥A BCD -的外接球的球心．222222222AC CD AD CD BD AB AB BD =+=++=+，∵2|2BD +=u u r u u u r，∴222|2|222AB BD AB AB BD BD +=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2224AB BD =+=，∴24AC =，2AC =， ∴224()42S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线． 三.解答题（共70分） （一）必考题（共60分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =u r，(2,)n a c b =+r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B 的大小；（2）若13b =，4a c +=，求ABC V 的面积. 【答案】(1) 23B π=33 【解析】 【分析】（1）由m n ⊥u r r ，得0m n ⋅=u r r，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角． （2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】（1）∵m n ⊥u r r，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=u r r ，即2cos cos cos 0a B c B b C ++=由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+= ∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+∵b =4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac = 则ABC V的面积1sin 24S ac B ==【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题．18.已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2n n n b c a =，12n n S c c c =+++L ，求证：101nS <<. 【答案】(1) 2,N*32n a n n =∈+，1*2,N n n b n -=∈ (2) 证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立． 【详解】（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴*1223,n nn N a a +-=∈ ∴2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为125a =，公差为3∴253(1)32nn na=+-=+，2,N*32na nn=∈+∵{}n b为正项等比数列，设公比为()0q q>，则121(1)3b b b q+=+=，2314b b q==整理得23440q q--=，解得2q=，11b=，∴1*2,Nnnb n-=∈（2）12(32)2nnnnbc na-==+⋅21582112(32)2nnS n-=+⨯+⨯+++⋅L①2125282(31)2(32)2n nnS n n-=⨯+⨯++-⋅++⋅L②①-②得215323232(32)2n nnS n--=+⨯+⨯++⨯-+⋅L53(22)(32)2n nn=+--+⋅, ∴(31)21nnS n=-⋅+∵*Nn∈，∴1nS>，∴101nS<<，得证.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法．19.如图，已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC∠=︒，E，F分别是BC，PC的中点.（1）求证：AE PD⊥；（2）若直线PB与平面PAD10E AF C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）在底面菱形中可得AE BC ⊥，AE AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，得PA AE ⊥.从而有线面垂直，因此线线垂直；（2）由于图中有AE ，AD ，AP 两两垂直，因此以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，AP a =，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a ，再求解二面角．【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC V 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .所以AE PD ⊥.（2）由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图，设2AB =，AP a =，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)A B C -，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)D P a E ，31,,22a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以3,1,)PB a =--u u u r，且)3,0,0AE =uu u r 为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由cos θ=，则有||sin |cos ,|4||||PB AE PB AE PB AE θ⋅=<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r解得2a =所以AE =u u u r，1,12⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r AF设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =u r ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，因此111101022x y z =++=⎩取11z =-， 则(0,2,1)m =-u r因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=I ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD u u u r为平面AFC 的一法向量又(BD =u u u r所以c |os ,|m BD m BDm BD <⋅==>=⋅u r u u u u ru r u u u u u r r u r 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角．本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN V的面积为定值.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）离心率提供一个等式2c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式21222b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入 12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意>0∆，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则c a =过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以2122b c a ⨯⨯=② 把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a = 所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ ()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+ 所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=>||MN ==O 到直线MN 的距离d =，所以OMN21||||214S MN d m k ∆=⋅==+ 22||||||12m m m m m==⋅=，即OMN V 的面积为定值1 （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12y x =，代入椭圆方程，解得2M ⎭，此时OMN V的面积为1212⎛= ⎝⎭. 综上可知，OMN V 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代 入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形． 21.已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点. 【解析】 【分析】（1）先判断()f x 为偶函数，再利用导数研究[0,]x π∈上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对a 按照1a ≥，01a <<，进行分类讨论，当1a ≥，得到()f x 在[0,]x π∈单调递增，结合()01f =，判断出此时无零点，当01a <<，得到()f x 单调性，结合()0f ，()f π的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.【详解】解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数， 只需先研究[0,]x π∈()sin cos f x x x x =+()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤，所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减 所以根据偶函数图像关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增 又(0)1f =，所以()f x [,]x ππ∈-上无零点②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点 （ii ）21102a π-≤，即220a π<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点 综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.【答案】（1）曲线22:13x C y +=，直线:80l x y +-=；（2）最小值是N 31(,)22． 【解析】【分析】（1）由22cos sin 1αα+=消元后可得曲线Ｃ的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线的直角坐标方程；（2）,sin )N αα，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标．【详解】（1）由由22cos sin 1αα+=得2213x y +=，此为C 的普通方程，直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin )844m ππ+==， ∴直线l 的直角坐标方程为8x y +=，即80x y +-=．（2）设,sin )N αα，[0,2)απ∈，则d==， 当sin()13πα+=，即6πα=时，min d =N 点坐标为31(,)22． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题基础． 23.已知函数()|1||2|f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b +=++，求a b +的最小值. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）49． 【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。

河北省高三上学期数学月考（12月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）已知集合,,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·河南模拟) 已知i是虚数单位，若复数（a，b∈R），则ab＝（）A . －1B . 0C . 1D . 23. （2分） (2016高一下·天津期中) 对于任意实数a、b、c、d，下列命题中，真命题为（）①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2 ，则a＞b；④若a＞b，则＜．A . ①B . ②C . ③D . ④4. （2分） (2019高三上·深圳期末) 设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（）．A .B .C .D .5. （2分）(2013·湖南理) （2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·宁德月考) 已知双曲线的焦距为，则其焦点到渐近线的距离为（）A . 8B . 6C .D . 47. （2分）(2016·陕西模拟) 等比数列{an}的前n项和为Sn ，已知S3=a2+10a1 ， a5=9，则a1=（）A .B . -C .D . -8. （2分） (2020高二下·重庆期末) 函数f（x）＝|2x﹣1|+ ﹣1的零点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分） (2016高一下·甘谷期中) 函数f（x）=2sin|x﹣ |的部分图象是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)10. （1分） (2020高二上·重庆月考) 抛物线的准线方程为________.11. （1分） (2020高二下·大庆期末) 已知函数和在的图像如下图所示，给出下列四个命题：①方程有且仅有6个根，②方程有且仅有3个根，③方程有且仅有5个根，④方程有且仅有4个根，其中正确的命题有________12. （1分） (2019高一下·安吉期中) 已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的个数是________.13. （1分） (2020高三上·邢台月考) 已知，则 ________；________.14. （2分）(2019·天津模拟) 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设点是曲线上的一个动点，则到直线距离的取值范围是________.15. （1分）设，，是同一平面内的单位向量，且⊥，则（﹣）•（﹣2）的最大值为________三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2020高一下·普宁月考) 若的最小值为 .（1）求的表达式；（2）求能使的a值，并求当a 取此值时，的最大值.17. （10分） (2018高一下·黄冈期末) 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，且.（1）求角A的大小；（2）若，角B的平分线，求a的值.18. （10分） (2017高二下·金华期末) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y+x﹣t=0，P为直线l上一动点，O为坐标原点．（1）若直线l交圆C于A、B两点，且∠AOB= ，求实数t的值；（2）若t=4，过点P做圆的切线，切点为T，求• 的最小值．19. （10分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（1）若函数f（x）在点区间[e，+∞]处上为增函数，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且k∈Z时，不等式 k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；（3） n＞m≥4时，证明：（mnn）m＞（nmm）n ．20. （10分） (2019高二上·南京期中) 在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且 .记动点的轨迹为曲线 .（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于不同的两点， .①若为线段的中点，求直线的方程；②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.21. （15分） (2017高二上·中山月考) 设数列的前项和为，，数列的通项公式为．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，①求；②若，求数列的最小项的值．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共7分)答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。