河北省石家庄二中2020届高三年级上学期联考三 数 学(理科)

石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。

河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考试题数学（理）一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知复数1i iz （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】21i i (1)1z i i i i ，1z i =+，其虚部为1．故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题． 2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B =（ ） A. (,1)[2,)-∞-+∞B. (,1)[1,)-∞-+∞C. []1,2-D. (]1,2-【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算． 【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]AB =-．故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0．3.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A. 12 B. 24C. 36D. 72【答案】C 【解析】 【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得．【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法．5.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>3C 的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. 22y x =±【答案】D 【解析】 【分析】 由离心率得3ca=,a b 的关系即得． 【详解】由题意3c a =222223c a b a a +==，222b a =，2a b =， ∴渐近线方程为：22y x =±． 故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b 的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式．6.若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx x ⎛⎝的展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】 【分析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项． 【详解】03sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622mx x x x =⎛⎛+ ⎝⎝，其展开式通项公式36662166(2)2r rrr r rr T C x C x x---+==，令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==． 故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础．7.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A. e 1<e 2<e 3<e 4B. e 2<e 1<e 3<e 4C. e 1<e 2<e 4<e 3D. e 2<e 1<e 4<e 3【答案】C 【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e 1＜e 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e 4＜e 3 ∴可得到e 1＜e 2＜e 4＜e 34, 故选C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（ ） A.45B. 459-C. 19-D.19【答案】A 【解析】 【分析】以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,1)M ，(2,2,1)N ，所以(2,2,1)CM =-，1(2,2,1)D N =-，1111cos ,999CM D N CM D N CM D N⋅<>===-⨯．21145sin ,1()99CM D N <>=--=， ∴异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为45． 故选：A ．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解．9.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（ ）A. 向右平移3π个长度单位 B. 向左平移3π个长度单位 C. 向右平移23π个长度单位D. 向左平移23π个长度单位【答案】A 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论．【详解】由题意74()123T πππ=⨯-=，∴22πωπ==， 又7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，而2πϕ<，∴3πϕ=，∴()sin(2)3f x x π=+，sin(2)sin[2()]333y x x πππ=-=-+，因此只要向右平移3π个单位就满足题意．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式．解题关键是掌握“五点法”．掌握三角函数的图象变换的概念．10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31xf x =-，则使不等式()839x x f e e--<成立的x 的取值范围是（ ） A. (ln3,)+∞ B. (0,ln 3)C. (),ln3-∞D. ()1,3-【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31xf x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()31x f x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞． 故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >．11.己知函数1()2x f x e x -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）A. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,)+∞D. [2,3]【答案】D 【解析】 【分析】首先确定11x =，根据题意问题转化为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．再用分离参数法转化为求函数值域．【详解】易知1()2x f x e x -=+-是R 上的增函数，且(1)0f =，∴()f x 只有一个零点1，即11x =， ∴问题变为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．由2()30g x x mx m =--+=得231x m x +=+，令1t x =+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]t x =+∈，2(1)342t m t t t-+==+-，由双勾函数的单调性可知，当[1,2]t ∈时，42m t t =+-递减，当[2,3]t ∈时，42m t t=+-递增， ∴42m t t=+-的最小值是2，最大值是3．即[2,3]m ∈． 故选：D.【点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力．题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围．然后再转化为求函数值域．12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n n a n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<； ③使得210.999nii a i=≤∑成立一个充分不必要条件为99n ≤；④设函数2()ln 2xf x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解.其中所有正确结论编号为（ ）A. ②④B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项．【详解】∵*11,2n na n a +=∈-N ，∴121111111112n n n n n a a a a a +-===+-----，1121a =-， ∴数列1{}1na -是首项为2，公差为1的等差数列，∴1111n a =+-， 1n na n =+， 显然对任意*n N ∈，1n a <，①错；*n ∀∈N ，1212123111n a a a n nn n =⨯⨯⨯=++<，②正确； 21111111()10.999(1)111nn ni i i i a n i i i i i n n =====-=-=≤++++∑∑∑，999≤n ，③正确； 2()ln 2x f x =，则()2xf x '=，不等式21(1)()1n n n f n a a --'-<⋅为2211n n -<-，即22n n <， 由数学归纳法可证当5n ≥时，22n n >恒成立，证明如下： (i)5n =时，52232255=>=，命题成立， (ii)假设n k =(5k ≥)时，命题成立，即22k k >， 则1n k =+时，122222222(1)(1)1(1)k k k k k k +=⨯>=++-->+，命题也成立，综上，对任意的正整数n ，5n ≥时，22n n >恒成立． 所以22n n <有无穷多个解，是错误的．④错误． 只有②③正确． 故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式．解题关键是求出数列通项公式．本题中第4个命题有一些难度．题中证明是用数学归纳法给出的．当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不显得有难度．二.填空题（每题5分，共20分） 13.抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n ）在)33+∞，上是单调递增，在(033，上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15.若实数x，y满足约束条件2x yxy->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11xy-+的取值范围为______________.【答案】(]1,1-【解析】【分析】作出可行域，利用11yx+-的几何意义求解．【详解】作出可行域，如图OAB∆内部（不含虚线边界，含实线边界），令11xzy-=+，1x=时，0z=，1x≠时，111yz x+=-表示可行域内点(,)Q x y与点(1,1)P-连线的斜率，111POk-==-，1112PAk-==-，由图可知11z<-或11z≥，所以10z-<<或01z<≤，综上11z-<≤．故答案为：(]1,1-．【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题．解题关键是理解目标函数的意义．由几何意义求解是解题的基本方法．16.在平行四边形ABCD中，0AB BD⋅=，沿BD将四边形折起成直二面角A BD C--，且2|2BD+=，则三棱锥A BCD-的外接球的表面积为________________.【答案】4π【分析】由0AB BD ⋅=得AB BD ⊥，结合直二面角A BD C --，可证AB ⊥平面BCD ，从而有AB BC ⊥，因此AC 中点O 就是外接球球心．由此可求得表面积．【详解】由0AB BD ⋅=得AB BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，∴AB ⊥平面BDC ，∴AB BC ⊥，同理CD AD ⊥，取AC 中点O ，则O 到四顶点的距离相等，即为三棱锥A BCD -的外接球的球心．222222222AC CD AD CD BD AB AB BD =+=++=+，∵|2|2AB BD +=，∴222|2|222AB BD AB AB BD BD +=+⋅+2224AB BD =+=， ∴24AC =，2AC =， ∴224()42S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线． 三.解答题（共70分） （一）必考题（共60分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥. （1）求角B 的大小；（2）若13b =，4a c +=，求ABC 的面积. 【答案】(1) 23B π=(2) 334【分析】（1）由m n ⊥，得0m n ⋅=，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】（1）∵m n ⊥，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，即2cos cos cos 0a B c B b C ++= 由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+= ∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ ∵13b =4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac = 则ABC 的面积133sin 2S ac B ==【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题． 18.已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2nn nb c a =，12n n S c c c =+++，求证：101nS <<. 【答案】(1) 2,N*32n a n n =∈+，1*2,N n n b n -=∈ (2) 证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立．【详解】（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴*1223,nnn N a a +-=∈ ∴2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为125a =，公差为3∴253(1)32n n n a =+-=+，2,N*32n a n n =∈+ ∵{}n b 为正项等比数列，设公比为()0q q >，则121(1)3b b b q +=+=，2314b b q ==整理得23440q q --=，解得2q ，11b =，∴1*2,N n n b n -=∈（2）12(32)2n nn nb c n a -==+⋅ 21582112(32)2n n S n -=+⨯+⨯+++⋅①2125282(31)2(32)2n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅++⋅②①-②得215323232(32)2n n n S n --=+⨯+⨯++⨯-+⋅53(22)(32)2n n n =+--+⋅,∴(31)21nn S n =-⋅+∵*N n ∈，∴1n S >，∴101nS <<，得证. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法．19.如图，已知四棱锥 P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.（1）求证：AE PD ⊥；（2）若直线PB 与平面PAD 10E AF C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 155【解析】 【分析】（1）在底面菱形中可得AE BC ⊥，AE AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，得PA AE ⊥.从而有线面垂直，因此线线垂直；（2）由于图中有AE ，AD ，AP 两两垂直，因此以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，AP a =，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a ，再求解二面角．【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .所以AE PD ⊥.（2）由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图，设2AB =，AP a =，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)A B C -，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)D P a E ，31,,222a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以(3,1,)PB a =--，且()3,0,0AE =为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由10cos θ=，则有2||6sin |cos ,|4||||43PB AE PB AE PB AE a θ⋅=<>===⋅+⋅解得2a =所以(3,0,0)AE =，31,12⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，因此1111303102x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪取11z =-， 则(0,2,1)m =-因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量又(3,3,0)BD =- 所以c |os 1,5512|m BD m BDm BD <⋅==>=⨯⋅因为二面角E AF C --15【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角．本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △的面积为32. （1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN 的面积为定值.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）离心率提供一个等式32c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式212322b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入 12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意>0∆，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则3c a =过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以212322b c a ⨯⨯=② 把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a = 所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =， 所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k-+=++=+++=+所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=> ()()2222212121614||141k m MN k x x x x k +-=++-=+O 到直线MN 的距离21d k=+，所以()22222OMN2161411214||1||221k m k m SMN d k m k∆+-+-=⋅=+=+ 22222||||||1m m m m m m-==⋅=，即OMN 的面积为定值1 （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12y x =，代入椭圆方程，解得22,2M ⎫⎪⎪⎭，此时OMN 的面积为1222122⎛⨯= ⎝⎭. 综上可知，OMN 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代 入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形． 21.已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，讨论()f x 的零点个数； 【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【解析】 【分析】（1）先判断()f x 为偶函数，再利用导数研究[0,]x π∈上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对a 按照1a ≥，01a <<，进行分类讨论，当1a ≥，得到()f x 在[0,]x π∈单调递增，结合()01f =，判断出此时无零点，当01a <<，得到()f x 单调性，结合()0f ，()f π的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.【详解】解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数， 只需先研究[0,]x π∈()sin cos f x x x x =+()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤， 所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减 所以根据偶函数图像关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增 又(0)1f =，所以()f x [,]x ππ∈-上无零点②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点 （ii ）21102a π-≤，即220a π<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点 综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线3:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点42,4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.【答案】（1）曲线22:13x C y +=，直线:80l x y +-=；（2）最小值是32N 31(,)22． 【解析】 【分析】（1）由22cos sin 1αα+=消元后可得曲线Ｃ的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线的直角坐标方程；（2）(3,sin )N αα，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标．【详解】（1）由由22cos sin 1αα+=得2213x y +=，此为C 的普通方程，直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点42,4M π⎛⎫⎪⎝⎭，则42(cossin )844m ππ+==， ∴直线l 的直角坐标方程为8x y +=，即80x y +-=．（2）设3,sin )N αα，[0,2)απ∈，则3cos sin 82d αα+-=2sin()832πα+-=， 当sin()13πα+=，即6πα=时，min 32d =N 点坐标为31(,)22．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题基础． 23.已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）49． 【解析】 【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ． 【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解， 综上，原不等式的解集为[1,)+∞． （2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++，∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b ++=++++ 122(22)922a b a b a b a b++≥+⋅++49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（ ）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,32．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．5125．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?，100n >?D ．n 是奇数?，100n >?8．下列判断正确的个数是（ ） ①“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．311．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,413．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________.14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠； （2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB 和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ； （2）若二面角P AB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.答案解析石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（ ）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,3【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集的定义与集合B 求交集. 由2340x x -++>得2340x x --<， 则14x -<<，又由x ∈Z 得0,1,2,3x =. 所以{}0,1,2,3A =，而[)2,B =+∞.从而{}2,3A B ⋂=. 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】A【解析】先令z a bi =+，代入化简可得250b +=，从而可得其轨迹方程 【详解】解：设z a bi =+，则由4z i z i +=+得，(4)(1)a b i a b i ++=++，所以2222(4)(1)a b a b ++=++， 化简得250b +=，52b =-，所以复数z 在复平面内对应的点为5(,)2a -，所以z 对应点的轨迹为直线52y =-，故选：A 【点睛】此题考查复数的模，复数的几何意义，考查转化思想，属于基础题. 3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<， 因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3xy =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解【详解】 因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<，故选：A. 【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题 4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．512【答案】D【解析】分别由矩形面积公式与微积分的几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为()223233111115444224113333x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⨯-⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于553412P ==， 故选：D 【点睛】本题考查微积分的几何意义求面积，还考查了几何概型求概率，属于简单题.5．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ． 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+【答案】D【解析】结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解 【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()xx f x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B 项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -==== 101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.8．下列判断正确的个数是（ ） ①“2x <-”是“()ln30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于①，由充分不必要条件的定义判断；对于②，利用基本不等式求解；对于③，由原命题的真假判断逆命题的真假；对于④，命题的否定是改量词，否结论. 【详解】解：对于①，当2x <-时，不能得到()ln 30x +<，所以“2x <-”不是“()ln 30x +<”的充分不必要条件，所以①错误；对于②，由基本不等式得，()221929f x x x =++≥+，而22199x x +=+不成立，所以取不到等号，所以②错误；对于③，命题“若a β=，则sin sin a β=”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以③正确； 对于④，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定为“0x ∃>，020*******x +≤”，所以④错误 所以正确的有1个， 故选：B 【点睛】此题考查了充分不必要条件、逆否命题、命题的否定、基本不等式，综合性强，但难度不大，属于基础题. 9．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C 【解析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】 因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象， 又因为()gx 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<， 所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确； 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．3【答案】D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果．【详解】根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF ，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a ，即2232MF MF a ，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OMb =，2MF a =，2OFc =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ，ab cMH，即M 点纵坐标为ab c ， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b c x b ，解得2b cx，2,b ab ccM， 将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c ，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3c ae，故选D ．【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．11．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面α平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,4【答案】A【解析】分析：因为题设有5个变量，故利用分段函数的图像可得()()12111x x --=，3410x x +=，所以()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭就可化成关于m 的函数，最后根据()f x m =有四个不同的实数根得到m 的取值范围即得()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围． 详解：由题设，有()f x m =在(]1,3上有两个不同的解12,x x ，在()3,+∞上有两个不同的解34,x x ．当(]1,3x ∈时， ()()2log 1f x x =-，故()()2122log 1log 1x x -=-，因12x x <，故()()2122log 1log 1x x --=-，所以()()12111x x --=即1212x x x x =+且01m <≤．当()3,x ∈+∞时， ()2123522f x x x =-+， 3410x x +=且01m <<． 所以()()3412100,10m m x x m x x ⎛⎫++=∈ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断m 的取值范围．二、填空题13．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________. 【答案】5-【解析】根据二项展开式通项公式确定含x 的项的项数，进而确定含x 的项的系数. 【详解】因为53521551()()()(1)rrrr r r r T C x C x x--+=-=-，所以令5312r -=得1,r =因此含x 的项的系数为115(1) 5.C -=-【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.【答案】34π【解析】将|2|2a b +=两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-,则2a =因为|2|2a b +=,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=代入2a =,||1b =可得1a b ⋅=-设,a b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得12221cos a b a bα⋅-==-⨯⋅=因为0απ≤≤所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 【答案】11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【解析】根据n S 与n a 的关系，当2n ≥时，可得1nn n a S S -=-，从而可得11n n n n S S S S ---⋅-=，从而可得1111n n S S --=，进而求出n S ，再根据n S 与n a 的关系即可求解. 【详解】 当2n ≥时，1nn n a S S -=-⋅，则11n n n n S S S S ---⋅-=，1111n n S S -∴-=， 112a =，∴112S =，即112S =，()12111nn n S ∴=+-⨯=+， 所以11n S n =+， 所以当2n ≥时，()111111n n n a S S n n n n--=-=-=++， 当1n =时，112a =，不满足上式， 故11212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩，故答案为：11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【点睛】本题主要考查了n S 与n a 的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．【答案】438,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，232cos SC θ=-,又224SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438[,]33.三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠； （2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠ 【答案】（1）23APB ∠=π；（2）357sin 38PAB ∠=． 【解析】（1）在APC △中，设AC x =， 4AC PC ⋅=，得到4PC x=，再由余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅，解得x ，利用平面几何知识求解.（2）由ABC 的面积为532，利用153sin 232ABC S AC BC π=⋅⋅=△，解得BC ，得到则BP ，作AD BC ⊥交BC 于D ，得到AD ，PD ，进而得到AB ，然后在ABP △中，利用正弦定理求解. 【详解】（1）在APC △中，设AC x =， 因为4AC PC ⋅=，4PCx=， 又因为3C π=，2AP =，由余弦定理得：2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅即：2224422cos 3x x x x π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 解得2x =，所以AC PC AP ==，此时APC △为等边三角形，所以23APB ∠=π； （2）由153sin 232ABCS AC BC π=⋅⋅=△， 解得5BC =，则3BP =，作AD BC ⊥交BC 于D ，如图所示：由（1）知，在等边APC △中，3AD =，1PD =，在Rt △ABD 中2231619AB AD BD =+=+=．在ABP △中，由正弦定理得sin sin AB PB APB PAB=∠∠，所以333572sin 3819PAB ⨯∠==． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及平面几何知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ； （2）若二面角PAB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）226【解析】（1）先由线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面PEF ，再由面面垂直的判定定理证得平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）由二面角的定义及题意可知，3cos 6PEF ∠=，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n ，PC ，利用sin cos ,n PC n PC n PCθ⋅=〈〉=⋅即可得解.【详解】 （1）PA PB =，E 为AB 中点，∴AB PE ⊥，又AB EF ⊥，PE ⊂平面PEF ，EF⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=，∴AB ⊥平面PEF ，又AB平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PEF .（2）PE AB ⊥，EF AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，∴PEF ∠就是二面角PAB C 的平面角，所以3cos 6PEF ∠=， 如图作PO EF ⊥，垂足为O ， 则363OE OE PE ==，所以12OE =，32OF =，则112OP =，如图，建立空间直角坐标系，则11(0,0,)2P ，3(1,,0)2C ，1(1,,0)2A --，1(1,,0)2B -，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z x ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，则0111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 则(0,11,1)n =-是平面PAB 的一个法向量，311(1,,)22PC=-，则21122sin cos ,6126n PC n PC n PCθ⋅=〈〉===⋅⋅.所以PC 与平面PAB 所成角的正弦值226.【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的推理与运算能力，建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键，属于中档题.19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅲ）方差变大了．【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅱ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， 由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2．因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件， 所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：X20 253035 40P0.04 0.20.370.3 0.09故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，43【解析】（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a 、b ，即可写出椭圆方程；（2）设出直线PQ 的方程与点,P Q 的坐标，求出直线BP 、BQ 的方程进而求出点M 、N 的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于1x 、2x 的表达式，直线PQ 的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出12x x 、12x x +，代入横坐标的乘积化简即可证明. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,Aa Bb -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=①，又由23=12c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简得2a b =②， ①②两式联立解得：=1b 或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+， 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+，1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=，由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k+=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k+==-+++22212412489363k k k =-++，是定值． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用、椭圆的简单几何性质、直线的方程、椭圆中的定值问题，属于较难题. 21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题； （2）利用韦达定理得到122x x a +=，121=x x ，将()()21f x f x -转化成关于12,x x 的表达式，再利用换元法令21(1)x t t x =>，从而构造函数11()ln 22h t t t t=-+，根据函数的值域可得自变量t 的范围，进而得到a 的取值范围. 【详解】解：（1）2121()2(0)x ax f x x a x x x-+'=+-=>.令2()21g x x ax =-+，则244a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. ②当00a >⎧⎨∆>⎩，即1a >时，由()0f x '>，得201x a a <<--或21x a a >+-；由()0f x '<，得2211a a x a a --<<+-，∴()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.综上所述，当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当1a >时，()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.（2）由（1）得，当1a >时，()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.由（1）得1x ，2x 为2()210g x x ax =-+=的两根，所以122x x a +=，121=x x .所以()()()()22221212111ln22x f x f x x x a x x x -=+--- 22222212212211112112ln ln ln 2222x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=-=-+.令21(1)x t t x =>，则()()2111()ln 22f x f x h t t t t-==-+， 因为2222211121(1)()02222t t t h t t t t t-+---'=--==<， 所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，而3(2)ln 24h =-，15(4)2ln 28h =-， 所以24t ≤≤，又()212212142([2,4])x x a t t x x t+==++∈，易知1()2x t t ϕ=++在[2,4]上单调递增， 所以2925424a ≤≤，所以实数a 的取值范围为325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、已知双元函数的值域求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元法的应用.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3 【解析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),Mx y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ， 即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.（2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '，则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 【详解】 证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a ba ab bc c =++++++++39b a b c a c a b c b c a=++++++， 当a b c ==时等号成立. （2）因为1111111111111122222a b c a b a c b c ab ac bc ⎛⎫⎛⎫++=+++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，111cb a a b c∴++++.当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。

河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. (,1]-∞- B. (,1)-∞- C. [1,)+∞ D. (1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据A B ⊆，得到1a ≤-，即可求解实数a 的取值范围，得到答案。

【详解】由题意，集合{}11A x x =-<<，{}{}0B x x a x x a =->=， 因为A B ⊆，则1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-。

故选：A 。

【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.己知命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝为（ ）A. ,21000nn N ∀∈< B. ,21000nn N ∀∉< C. ,21000nn N ∀∈≤ D. ,21000nn N ∀∉≤【答案】C 【解析】 【分析】先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】p ⌝:,21000nn N ∀∈≤.故选C.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 解题方法:先改量词,再否定结论. 3.己知复数z 满足2019(1)i z i-=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A.12B.2C. 1D.【答案】B 【解析】 【分析】根据i 的幂运算性质可得2019i i =-，再由复数的除法运算可求得z ，从而求出||z . 【详解】2019(1)i i z i-=-=，则(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以，||2z ==. 所以本题答案为B.【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A. 24里 B. 48里C. 96里D. 192里【答案】D 【解析】 【分析】每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得. 【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =,因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,所以12345378111111()()()()22222a =+++++ 6378378192111()2(1)264112===--- , 所以第一天走了192里. 故选D【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式中的基本量的计算,属于基础题. 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）A. b a c <<B. c a b <<C. c b a <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据偶函数化简()()0.10.122f f ---=，然后比较2，3log7，0.12-的大小，比较,,a b c 的大小关系.【详解】若()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则函数在()0,∞+是单调递增函数，并且函数是偶函数满足()()f x f x -=， 即()()0.10.122f f ---=，0.1021-<<，31log 72<<()f x 在()0,∞+单调递增，()()()0.132log 72f f f -∴<<，即c b a <<. 故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.6.若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A.3B. C. 3-D.【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于y 轴对称列式,再求最小值.【详解】将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后,得到函数sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-,因为其图像关于y 轴对称,所以262k ππϕπ-=+,k Z ∈,即23k ππϕ=+,k Z ∈,因为0ϕ>,所以0k =时,ϕ取得最小值3π,此时tan tan 3πϕ==故选B .【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题. 7.已知函数21()cos 4f x x x =+的图象在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()kg t =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求得1()sin 2f x x x '=-，得到函数在点()t f t （，）处的切线的斜率为1()sin 2k f t t t ='=-，得出函数()1sin 2t g t t -=，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。

2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考理科综合本试卷共16页，满分300分，考试时间150分钟可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 N-14 Cl-35.5 Na-23 Ni-59 As-75一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于细胞结构与功能的叙述，正确的是A．性腺细胞膜上的载体和受体都能接受促性腺激素的刺激B．T细胞的内质网和高尔基体都参与抗体的加工和运输C．酵母菌和大肠杆菌都在线粒体内分解丙酮酸产生CO2D．神经细胞的突触小泡和突触前膜都与兴奋的传递有关2．在一定浓度的CO2和适宜的温度条件下，测定A植物和B植物在不同光照条件下的光合速率，结果如下表，以下说法错误的是A．与A植物相比，B植物是在强光照条件下生长的植物B．当光照强度超过9klx时，A植物光合速率不再增加，限制因素只有CO2的浓度C．当光照强度为3klx时，A植物与B植物固定的CO2的量的差值为4mg CO2／100cm2叶·小时D．当光照强度为9klx时，B植物光合速率是45mg CO2／100cm2叶·小时3．如图为人体内基因对性状的控制过程，据图分析正确的是A．人体成熟的红细胞中只进行①②过程，而不进行③④过程B．X1与X2的区别主要是脱氧核苷酸排列顺序的不同C．人体衰老引起白发的原因是③④过程不能完成D．图示反映了基因通过控制蛋白质的结构及酶的合成来控制生物的性状4．下列关于科学实验的叙述中，正确的是A．用于鉴定蛋白质的斐林试剂A液与B液要混合均匀后，再加入含样品的试管中，且必须现配现用B．艾弗里的肺炎双球菌实验和赫尔希、蔡斯的T2噬菌体侵染大肠杆菌实验的思路都是将DNA与蛋白质分开，分别单独、直接地观察各自的作用C．萨顿运用假说-演绎法提出了基因位于染色体上的假说D．温特利用胚芽鞘和琼脂块等进行实验发现了促进植物生长的是吲哚乙酸5．如图甲表示赤霉素的作用机理，图乙表示几种激素对茎段生长的影响。

河北省2020年高三3月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|y=3-x }，B={x|1<x≤9），则(C R A)∩B=A.(3,9)B.(1,3)C.[3,9] D ．φ 2．已知复数z=ii-25+ 5i ，则|z|= A.5 B ．32 C ．52 D ．23．已知向量a =(0，2)，b =(23 ，x)，且a 与b 的夹角为3π，则x=A ．-2B ．2C ．1D ．-l4．若双曲线C:221x y m-=的一条渐近线方程为3x+2y=0,则m=A.49B.94C.23D.325．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角 形全等，则A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为38 C. |PA|=|PB|=|PC|=6D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为356．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把 苹果近似看成球体）的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在（75，90]内的概率为 附：若X ～N （μ，σ2），则P(μ-σ<X ≤μ+σ)一0.6826，P(μ- 2σ<X ≤μ+2σ) =0. 9544. A.0. 6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544 7．将函数2)63sin(3)(-+-=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间],18[θπ-上的最大值为1，则θ的最小值为A ．3πB ．12πC ．18πD.6π8.函数2ln ||()||x f x x x =-的图象大致为9.设不等式组0,30x y x ⎧+≥⎪⎨⎪≤⎩表示的平面区域为Ω,若从圆C:x 2+y 2=4的内部随机选取一点P,则P 取自Ω的概率为A.524B.724C.1124D.172410.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且在[0,＋∞)上是增函数,不等式f(ax ＋2)≤f(-1)对于x ∈[1,2]恒成立,则a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B 1.1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[0,1]11.已知直线v=k(x-l)与抛物线C ：y 2=4x 交于A ，B 两点，直线y=2k(x-2)与抛物线D ：y 2=8x 交于M ，N 两点，设λ=|AB|-2|MN|,则A.λ<-16B.λ=-16C.-12<λ<0D.λ=-1212.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将l 到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为A. 56383B.57171C.59189D.61242第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．83)12(xx -的展开式中的常数项为 ． 14.函数1)4()(-+-=x x x x f 的值域为 ．15.在数列{a n }中,a 1=1,a n ≠0,曲线y=x 3在点(a n ,a n 3,)处的切线经过点(a 1n +,0),下列四个结论:①223a =;②313a =;③416527i i a ==∑;④数列{a n }是等比数列. 其中所有正确结论的编号是______.16.如图，在三棱锥A-BCD 中，点E 在BD 上，EA=EB=EC=ED ，BD=.2CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含 端点），且AM=CN ，则当四面体C- EMN 的体积取得最大值32时， 三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为 ．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.(12分)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2a-c=2bcosC. (1)求sin()2A CB ++的值; (2)若3b =,求c-a 的取值范围.18.（12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,BC= CD=l,PD=2 .(l)证明：AB ⊥PD.(2)求二面角A- PB-C 的余弦值．19.（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向，为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：(l)从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤=.300250,1480,250100,220,1000,0x x x y 假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.61,121,121,61,31,619月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替．(i)记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；( ii)试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2. 88万元？说明你的理由．20.(12分)已知椭圆C:2221(1)x y a a+=>的左顶点为A,右焦点为F,斜率为1的直线与椭圆C 交于A,B 两点,且OB⊥AB,其中O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M,N 两点,若点P 满足3OP PM =u u u r u u u u r,且NP 与椭圆C的另一个交点为Q,求||||NP PQ 的值. 21.（12分） 设函数f(x)=x-x1，g(x)=tlnx ，其中x ∈(0，1)，t 为正实数． (l)若f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数t 的取值范围； (2)设 H (x) = (lnx-x 2+1)e x +(x 2-l) (l-x1)，证明：对任意x ∈(0，1)，都有H(x)>0．(二)选考题:共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程24,4x t y t =⎧⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程; (2)已知射线(0)2πθαα=<<与C 1交于O,P 两点,与C 2交于O,Q 两点,且Q 为OP 的中点,求α.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x-2|+|2x-1|. (1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c 均为正实数,且12a b c m ++=,求a 2+b 2+c 2的最小值.。