石家庄二中2018-2019学年第一学期期末高三数学理科试卷

2014-2015学年河北省石家庄二中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）函数的定义域为（）A．（0，8]B．（﹣2，8]C．（2，8]D．[8，+∞）2．（5分）函数f（x）＝满足f（1）+f（a）＝2，则a的所有可能值为（）A．1或B．﹣C．1D．1或﹣3．（5分）有下列命题：①函数y＝cos（x﹣）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y＝的图象关于点（1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1＝0有且仅有一个零点，则实数a＝﹣1；④已知命题p：对任意的x＞1，都有sin x≤1，则¬p：存在x≤1，使得sin x＞1．其中所有真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④4．（5分）已知函数f（x）＝﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）A．B．C．D．5．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f（x+6）＝f（x）+2f（3），f（﹣1）＝2，则f（2011）＝（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知＝，0＜x＜π，则tan x为（）A．﹣B．﹣C．2D．﹣27．（5分）当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（2，3]B．[4，+∞）C．（1，2]D．[2，4）8．（5分）在△ABC中，若AB＝2，AC2+BC2＝8，则△ABC面积的最大值为（）A．B．2C．D．39．（5分）已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x+1）是偶函数，（x﹣1）f′（x）＜0．若x1＜x2，且x1+x2＞2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＝f（x2）C．f（x1）＞f（x2）D．不确定二、填空题（每题5分，共20分）11．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A＝30°，b＝，a ＝1，则∠B＝．12．（5分）已知函数f（x）＝lnx+2x，若f（x2+2）＜f（3x），则实数x的取值范围是．13．（5分）若函数f（x）＝|sin x|（x≥0）的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则＝．14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则不等式h（x）≥的解集为．三、解答题（共50分）15．（12分）已知函数g（x）＝﹣x2﹣3，f（x）是二次函数，当x∈[﹣1，2]时f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的解析式．16．（12分）已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），函数f（x）＝•，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．17．（14分）已知函数．（Ⅰ）若x＝1时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y＝﹣x+m都不是曲线y＝f（x）的切线，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣m﹣ln（2x）．（Ⅰ）设x＝1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞﹣ln2．2014-2015学年河北省石家庄二中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得{x|﹣2＜x≤8]，故选：B．2．【解答】解：∵f（x）＝满足f（1）+f（a）＝2，∴f（1）＝1，∴f（a）＝1，当a≥0时，e a﹣1＝1解得a＝1；当．故选：D．3．【解答】解：①y＝cos（x﹣）cos（x+）＝[cos2x+cos（﹣）]＝cos2x，所以函数的周期为π，相邻两个对称中心距离为，所以命题①不正确．②，所以函数的对称中心为（1，1），命题正确．③当a＝0时，不成立，当a≠0时，△＝0，可得a＝﹣1或a＝0（舍），所以命题正确．④当全称命题变为非命题时，全称量词改成特称量词，所以非p应该为，存在x＞1，使得sin x＞1，所以④不正确．故选：B．4．【解答】解：∵当x＝时，f（x）＝﹣2sin（2x+φ）有最小值为﹣2∴x＝是方程2x+φ＝+2kπ的一个解，得φ＝+2kπ，（k∈Z）∵|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝．因此函数表达式为：f（x）＝﹣2sin（2x+）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）取k＝0，得f（x）的一个单调递增区间是故选：D．5．【解答】解：f（x+6）＝f（x）+2f（3），且f（x）是定义在R上的偶函数令x＝﹣3可得f（3）＝f（﹣3）+2f（3）且f（﹣3）＝f（3）∴f（﹣3）＝f（3）＝0∴f（x+6）＝f（x），即函数是以6为周期的函数∵f（﹣1）＝2∴f（2011）＝f（1）＝f（﹣1）＝2故选：B．6．【解答】解：∵＝＝cos x+sin x＝①，∴（cos x+sin x）2＝，即sin2x+2sin x cos x+cos2x＝1+2sin x cos x＝，∴2sin x cos x＝﹣＜0，又0＜x＜π，∴sin x＞0，cos x＜0，∴（cos x﹣sin x）2＝sin2x﹣2sin x cos x+cos2x＝1﹣2sin x cos x＝，∴cos x﹣sin x＝﹣②，联立①②解得：cos x＝﹣，sin x＝，则tan x＝﹣．故选：A．7．【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2在区间（1，2）上单调递增，∴当x∈（1，2）时，y＝（x﹣1）2∈（0，1），若不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则a＞1且1≤log a2即a∈（1，2]，故选：C．8．【解答】解：∵8＝AC2+BC2≥2AC•BC，∴AC•BC≤4．又cos C＝≥＝．∴，，∴由不等式可知AC＝BC＝2时，面积有最大值，故选：C．9．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）＝+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．10．【解答】解：因为f（x+1）是偶函数，所以f（﹣x+1）＝f（x+1），则f（x）的图象关于x＝1对称，由（x﹣1）f′（x）＜0得，x＞1时f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＜1时f′（x）＞0，f（x）单调递增，若x1≤1，由x1+x2＞2，得x2＞2﹣x1≥1，所以f（x1）＝f（2﹣x1）＞f（x2）；若x1＞1，则1＜x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2），综上知f（x1）＞f（x2），故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）11．【解答】解：∵b＞a∴∠B＝60°或120°故答案为：60°或120°12．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）∵f′（x）＝+2x ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（x2+2）＜f（3x），∴x2+2＜3x，∴1＜x＜2，∴实数X的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．13．【解答】解：函数f（x）＝|sin x|（x≥0）与直线有且只有三个交点如图所示，令切点为A（α，﹣sinα），α∈（π，），在（π，）上，f'（x）＝﹣cos x∴﹣cos x＝﹣即α＝tanα，故＝＝＝2故答案为：214．【解答】解：分别画出f（x）和g（x）的图象，h（x）的定义域为（0，+∞），由图可知两函数的交点在之内，根据题意可知的解集为．故答案为：（0，]三、解答题（共50分）15．【解答】解：设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则f（x）+g（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵f（x）+g（x）为奇函数，∴a＝1，c＝3∴f（x）＝x2+bx+3，对称轴x＝﹣，①当﹣＞2，即b＜﹣4时，f（x）在[﹣1，2]上为减函数，∴f（x）的最小值为f（2）＝4+2b+3＝1，∴b＝﹣3，∴此时无解②当﹣1≤﹣≤2，即﹣4≤b≤2时，f（x）min＝f（﹣）＝3﹣＝1，∴b＝±2∴b＝﹣2，此时f（x）＝x2﹣2x+3，③当﹣＜﹣1s时，即b＞2时，f（x）在[﹣1，2]上为增函数，∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝4﹣b＝1，∴b＝3，∴f（x）＝x2+3x+3，综上所述，f（x）＝x2﹣2x+3，或f（x）＝x2+3x+3．16．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）＝•＝m sin2x+n cos2x，再由y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得m＝，n＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝sin2x+cos2x＝2（sin2x+cos2x）＝2sin（2x+）．将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）＝2sin[2（x+φ）+]＝2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y＝g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+＝2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ＝，故g（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y＝g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．17．【解答】解：（I）∵f'（x）＝x2﹣a，当x＝1时，f（x）取得极值，∴f'（1）＝1﹣a＝0，a＝1．又当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意（II）当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，1]成立，∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x＝0处取最小值f（0）＝1．当a＞0时，令f'（x）＝x2﹣a＝0，，当0＜a＜1时，，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在处取得最小值．当a≥1时，，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减所以f（x）在x＝1处取得最小值．综上所述：当a≤0时，f（x）在x＝0处取最小值f（0）＝1．当0＜a＜1时，f（x）在处取得最小值．当a≥1时，f（x）在x＝1处取得最小值．（III）因为∀m∈R，直线y＝﹣x+m都不是曲线y＝f（x）的切线，所以f'（x）＝x2﹣a≠﹣1对x∈R成立，只要f'（x）＝x2﹣a的最小值大于﹣1即可，而f'（x）＝x2﹣a的最小值为f（0）＝﹣a所以﹣a＞﹣1，即a＜1．18．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝e x﹣m﹣ln（2x），∴f′（x）＝e x﹣m﹣，由x＝1是函数f（x）的极值点得f′（1）＝0，即e1﹣m﹣1＝0，∴m＝1．…（2分）于是f（x）＝e x﹣1﹣ln（2x），f′（x）＝e x﹣1﹣，由f″（x）＝e x﹣1+＞0知f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且f′（1）＝0，∴x＝1是f′（x）＝0的唯一零点．…（4分）因此，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．…（6分）（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（0，+∞）时，e x﹣m≥e x﹣2，又e x≥x+1，∴e x﹣m≥e x﹣2≥x﹣1．…（8分）取函数h（x）＝x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）＝1﹣，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，得函数h（x）在x＝1时取唯一的极小值即最小值为h（1）＝﹣ln2．…（12分）∴f（x）＝e x﹣m﹣ln（2x）≥e x﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，而上式三个不等号不能同时成立，故f（x）＞﹣ln2．…（14分）。

河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.空间中两条不相交直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是()A. 平行或垂直B. 平行C. 异面D. 垂直【答案】C【解析】解：不妨设空间中不相交的两条直线为a，b，另外两条异面直线为c，d，由于a，b不相交，故a，b平行或异面，设a，c确定的平面为α，不妨设a//b，①当b⊂α，则a，b与直线d的交点都在α内，故d⊂α，而这与c，d为异面直线矛盾；②当b⊄α时，由b//a可知b//α，又c⊂α，故a，c没有公共点，与a，c相交矛盾，∴假设a//b错误，故a，b为异面直线．故选：C．由两直线无交点可知两直线平行或异面，假设两直线平行得出矛盾，从而得出结论．本题考查了空间线面位置关系的定义与判断，属于中档题．2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=√3，A=π6，则角B等于()A. π3B. π6C. π3或2π3D. π6或5π6【答案】C【解析】解：∵a=1，b=√3，A=π6，∴由正弦定理得，asinA =bsinB，则sinB=b⋅sinAa =√3×121=√32，又∵0<B<π，b>a，∴B=π3或2π3，故选：C．由题意和正弦定理求出sinB 的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角B ． 本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．3. 已知变量x ，y 满足{x −4y +3≤0x +y −4≤0x ≥1，则z =x −y 的取值范围是( )A. [−2,−1]B. [−2,0]C. [0,65]D. [−2,65]【答案】D【解析】解：作出不等式组{x −4y +3≤0x +y −4≤0x ≥1，对应的平面区域如图：由z =x −y 得y =x −z ，平移直线y =x −z 由图象可知当直线y =x −z 经过点A 时， 直线y =x −z 的截距最大，由{x +y =4x=1，解得A(1,3) 此时z 最小为z =1−3=−2，当直线y =x −z ，z 经过点B 时，z 取得最大值，由{x −4y +3=0x+y=4，可得A(135,75)，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大为：135−75=65， z 的范围为：[−2,65]. 故选：D ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，结合数形结合即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4. 等差数列{a n }中，如果a 4=2，那么a 2a 6的最大值为( )A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n }中，4=2a 4=a 2+a 6， 那么a 2a 6≤(a 2+a 62)2=4，当且仅当a 2=a 6=2时取等号．故选：B ．等差数列{a n }中，4=2a 4=a 2+a 6，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB =BC =1，则此几何体的体积是( )A. 12B. √2 C. √22D. 1【答案】A【解析】解：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图：根据三视图中正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，∴棱锥的高为1，底面直角梯形的底边长分别为1、2，高为1，∴底面面积为1+22×1=32，∴几何体的体积V=13×32×1=12．故选：A．由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，画出其直观图，判断几何体的高，计算底面面积，代入体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6.一束光线从点A(4,1)出发，经x轴反射到圆C：(x−2)2+(y−2)2=2上的最短路程是()A. √13B. 2√13C. √13+√2D. √13−√2【答案】D【解析】解：根据题意画出图形，结合题意知，圆C：(x−2)2+(y−2)2=2关于x轴对称的圆C′：(x−2)2+(y+2)2=2；∴光线从点A出发，经x轴反射到圆C上的最短路程是|AC|−r=√(4−2)2+(1+2)2−√2=√13−√2；所求的最短路程是√13−√2．故选：D．根据题意画出图形，结合题意知圆C关于x轴对称的圆C′，求出光线从点从A出发，经x轴反射到圆C上的最短路程．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是基础题．7.△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+√3=√3tanA⋅tanB，则△ABC的面积为()A. 32B. 3√3 C. 3√32D. 52【答案】C【解析】解：∵tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB，化简得，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由题意可知：tanA+tanB+√3=√3tanA⋅tanB，∴tanC=√3．由A，B，C为三角形的内角，∴C=60∘．由余弦定理可知：cosC=a2+b2−c22ab，由a=4，b+c=5，C=60∘，解得：b=32，∴S=12absinC=3√32，故选：C．由tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由题意可知：求得tanC=√3.则C=60∘.由余弦定理可知：cosC=a2+b2−c22ab，由a=4，b+c=5，C=60∘，即可求得b的值，由三角形的面积公式：S=12absinC=3√32．本题主要考查了解三角形的实际应用.可知两角和的正切公式，余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题．8.在四棱锥ABCD中，底面ABCD是边长为3√2的正方形，且各侧棱长均为2√3，则该四棱锥外接球的表面积为()A. 64πB. 36πC. 48πD. 28π【答案】C【解析】解：由已知可得，四棱锥P−ABCD为正四棱锥．正四棱锥P−ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，PO=AO=R，∵PA=2√3，AB=BC=3√2，则AC=6，故PO1=√12−9=√3，∴OO1=R−√3或OO1=√3−R(此时O在PO1的延长线上)，在Rt△AO1O中，R2=9+(R−√3)2，解得R=2√3，∴球的表面积S=4π×(2√3)2=48π．故选：C．先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的面积公式求解即可．本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．9.已知m=a+1a−2(a>2)，n=2 2−x2(x<0)，则m，n的大小关系是()A. m>nB. m<nC. m=nD. m≤n【答案】A【解析】解：因为a>2，所以a−2>0，所以m=a+1a−2=(a−2)+1a−2+2≥2√(a−2)⋅1a−2+2=4，当且仅当a−2=1a−2，即a=3时等号成立．因为2−x2<2，所以n=22−x2<22=4，所以m>n；故选：A．对m变形为基本不等式的形式，利用基本不等式求m的最小值；对n利用指数函数的单调性判断与m最小值的关系．本题考查了基本不等式的运用以及指数函数的性质运用；关键是正确等价变形．10.抛物线y=(n2+n)x2−(2n+1)x+1与x轴交点分别为A n，B n(n∈N∗)，以|A n B n|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2010B2010|的值是()A. 20092010B. 20102011C. 20112012D. 20122013【答案】B【解析】解：设x n，y n是关于的方程(n2+n)x2−(2n+1)x+1=0的两根是由韦达定理可知：x n+y n=2n+1n2+n x n y n=1n2+n∴x n=1n ，y n=1n+1∴|A n B n|=1n−1n+1∴|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2010B2010|=1−12+12−13…+12010−12011 =1−12011=20102011故选：B ．先求出二次方程的两根，再求解． 本题考查了数列和函数的综合应用．11. 已知直线x +y −k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|，那么k 的取值范围是( )A. (√3,+∞)B. [√2,+∞)C. [√2,2√2)D. [√3,2√2)【答案】C【解析】解：设AB 中点为D ，则OD ⊥AB ∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2√3|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ∵|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4∴|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥1 ∵直线x +y −k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 、B ，∴|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4 ∴4>|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥1 ∴4>(|−k|√2)2≥1∵k >0，∴√2≤k <2√2 故选：C ．利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论． 本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 各项均为实数的等比数列{a n }，前n 项和为S n ，若S 10=1，S 30=7，则S 40=______． 【答案】15【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ≠1，∵S 10=1，S 30=7， ∴a 1(q 10−1)q−1=1，a 1(q 30−1)q−1=7，化为：q 20+q 10−6=0，解得q 10=2，∴a 1q−1=1． 则S 40=a 1(q 40−1)q−1=24−1=15．故答案为：15．设等比数列{a n }的公比为q ≠1，由S 10=1，S 30=7，可得a 1(q 10−1)q−1=1，a 1(q 30−1)q−1=7，解得q 10=2，a 1q−1=1.再利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 在△ABC 中，∠ACB =90∘，AB =8，∠ABC =60∘，PC ⊥平面ABC ，PC =4，M 是AB 上一个动点，则PM的最小值为______． 【答案】2√7【解析】解：如图，作CH ⊥AB 于H ，连PH ， ∵PC ⊥面ABC ，∴PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值， 而CH =2√3，PC =4， ∴PH =2√7． 故答案为：2√7要使PM 的最小，只需CM 最小即可，作CH ⊥AB 于H ，连PH ，根据线面垂直的性质可知PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值，在直角三角形PCH 中求出PH 即可．本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于基础题．14. 已知实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≤2x −y ≥−1x +y ≥1，若目标函数z =x +ay 仅在点(0,1)处取得最小值，则a 的取值范围是______． 【答案】[0,1]【解析】解：作出不等式对应的平面区域，若a =0，则目标函数为z =x ，即此时函数在B(0,1)时取得最小值，满足条件． 当a ≠0，由z =x +ay 得y =−1a x +1a z ， 若a >0，目标函数斜率−1a <0，此时平移y =−1a x +1a z ，得y =−1a x +1a z 在点B(0,1)处的截距最小， 此时z 取得最小值，满足条件可得−1a ≥−1． 解得a ≤1.即：a ∈[0,1] 若a <0，目标函数斜率−1a >0，可使目标函数z =x +ay 仅在点B(0,1)处取得最小值， 不满足题意． 故答案为：[0,1]．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a 的取值范围． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根据条件目标函数z =x +ay ，仅在点(0,1)取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．15. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，过直线B 1D 1的平面α⊥平面A 1BD ，则平面α截该正方体所得截面的面积为______ ．【答案】√6【解析】解：如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，则EF//AC1，易知AC1⊥平面A1DB，∴EF⊥平面A1DB，EF⊥平面A1DB．∵EF⊂面B1D1F，∴△B1D1F为平面α截该正方体所得截面，∴在△B1D1F中，B1D1=2√2，EF=√3，B1D1⊥EF，∴平面α截该正方体所得截面的面积为12×2√2×√3=√6．故答案为：√6．如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，证明AC1//平面B1D1F，再进行求解即可．本题考查面面垂直的判定，考查三角形面积的计算，正确判定面面垂直是关键.属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）16.已知过点A(−1,0)的动直线l与圆C：x2+(y−3)2=4相交于P、Q两点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．(1)当l与m垂直时，求直线l的方程，并判断圆心C与直线l的位置关系；(2)当|PQ|=2√3时，求直线l的方程．【答案】解：(1)因为l与m垂直，直线m的一个法向量为(1,3)，所以直线l的一个方向向量为d⃗=(1,3)，所以l的方程为x+11=y3，即3x−y+3=0．所以直线l过圆心C(0,3)．(2)由|PQ|=2√3，得圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x−ny+1=0，则由d=√1+n2=1．解得n=0，或n=34，所以直线l的方程为x+1=0或4x−3y+4=0．【解析】(1)根据直线m的一个法向量为(1,3)，求得直线l的一个方向向量，由此求得l的点向式方程，可得直线l过圆心．(2)由|PQ|=2√3得圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x−ny+1=0，求得n的值，可得直线l的方程．本题主要考查两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，且四棱锥P−ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】证明：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，∠BAP=∠CDP=90∘，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB//CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：(2)设PA=PD=AB= DC=a，取AD中点O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD=√a2+a2=√2a，PO=√22a，∵四棱锥P−ABCD的体积为83，由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，∴V P−ABCD=13×S四边形ABCD×PO=13×AB×AD×PO=13×a×√2a×√22a=13a3=83，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2√2，PO=√2，∴PB=PC=√4+4=2√2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×√PB2−(BC2)2=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×2√2×√8−2=6+2√3．【解析】(1)推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．(2)设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=√2a，PO=√22a，由四棱锥P−ABCD的体积为83，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90∘，E是CD的中点．(Ⅰ)证明：CD⊥平面PAE；(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P−ABCD的体积．【答案】解法一：(Ⅰ)连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90∘，得AC=5，又AD=5，E是CD得中点，所以CD⊥AE，PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD．所以PA⊥CD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．(Ⅱ)过点B作BG//CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=PAPB ，sin∠BPF=BFPB，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90∘知，AD//BC，又BG//CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG=√AB2+AG2=2√5，BF=AB2BG =162√5=8√55．于是PA=BF=8√55．又梯形ABCD的面积为S=12×(5+3)×4=16．所以四棱锥P−ABCD的体积为V=13×S×PA=13×16×8√55=128√515．解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y 轴，Z轴建立空间直角坐标系，设PA=ℎ，则A(0,0，0)，B(4,0，0)，C(4,3，0)，D(0,5，0)，E(2,4，0)，P(0,0，ℎ)．(Ⅰ)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4，0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，ℎ)． 因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =−8+8+0=0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ．(Ⅱ)由题设和第一问知，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PA⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量， 而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以：|cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|cos <PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|，即|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ | ⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||. 由第一问知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2，0)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =((0,0，−ℎ)，又PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，−ℎ)．故2√5⋅√16+ℎ2=22 解得ℎ=8√55． 又梯形ABCD 的面积为S =12×(5+3)×4=16．所以四棱锥P −ABCD 的体积为V =13×S ×PA =13×16×8√55=128√515． 【解析】解法一：(Ⅰ)先根据条件得到CD ⊥AE ；再结合PA ⊥平面ABCD 即可得到结论的证明；(Ⅱ)先根据直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等得到PA =BF ，进而得到四边形BCDG 是平行四边形，在下底面内求出BF 的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．法二：(Ⅰ)先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到CD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0以及CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即可证明结论； (Ⅱ)先根据直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等得到PA 的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．。

2017-2018学年第一学期期中考试高三数学（理）一．选择题（每题5分，共计60分）2=（＜0}），则＜0}，B={x|x+ .设集合A={x|xx﹣6 1.|} C．{x|﹣3＜x＜0} DB．{x|0< x<2}．{x．{x|x>0}A则z所对应的点在（z 已知∈C，若） 2.，C．第三象限D．第四象限A．第一象限B．第二象限：q+∞）（）内单调递增，：在（2，设pq，则p是的3.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件满足条件，则z=x+y的最小值为（已知实数x，y） 4.．B．4 C．2 AD．3 5.S为等差数列{a}的前n项和，S=﹣36，S=﹣104，等比数列{b}中，b=a，b=a，则713n5n97n5b等于（）6±D．．无法确定A ．BC．﹣6.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）．D C ．A．B．：作圆CP上的动点，为直线过点P设的两条切7. ）的面积的最小值为（PACB，则四边形B，A线，切点分别为．D ．A．1 B．C上的解析式为．若在区间在区间已知周期为2 的函数8.[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）．D．（C1，2A．B）．9.如图，在四棱锥C﹣ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，D=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球A的表面积为（）．D ．． B ．AC]）在区间[0＜?＜ω∈R，A＞0，＞0，x+sin如图是函数10.y=A（ωx?）（－上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cosx（x∈R）的图象上的所有的点（）个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变．向右平移 A．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变B个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变C ．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2D倍，纵坐标不变．向右平移是，且函数）满足条件x（f=y上的函数R已知定义在11.奇函数，由下列四个命题中不正确的是（）A．函数f（x）是周期函数）的图象关于点对称x B．函数f（x）是偶函数C．函数f（）的图象关于直线对称x D．函数f（，若对，f（f（xx））≥0恒成立，已知函数12.a则实数的取值范围是（）．A ．B．a＜2 C．D二．填空题（每题5分，共计20分）13.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的_________：M14.的周长，若直线始终平分圆则的最小值为_________.已知△15. 的中点，连接是边长为1并的等边三角形，点分别是边的值为______________，使得延长到点，则16.分别是双曲线与双曲的左、右焦点，过，已知为锐角，则双曲线离心率线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若_____________ 的取值范围是706分）个题，共计三．解答题（共.分）设10（满分17.求的单调递增区间；(1)，，求的对边分别为，(2)，若锐角中，角的值.与的等差中项，且（满分12分）已知数列.的前是项和18.的通项公式；）求数列（1项和.，求数列（2的前）若分）如图均为等腰直角三角形，，和19.（满分12，，，平面平面，平面；（1）证明：的余弦值2.）求二面角（（）.1220.（满分，分）已知函数恒成立，求实数的取值范围；（1，）若上有两个零点，求实数的取值范围.，若在2（）设函数.，其离心率为过点1221.（满分分）已知椭圆的方程；）求椭圆1（．使为正三角两点，轴上是否存在点（2）在直线，与相交于形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.分）设函数．22.（满分12（1的单调性；）讨论函数，都有．）当时，求证：对任意（2期中考试答案（理科数学）一．选择题（每题5分，共计60分）1---5 CABCC; 6--10 ADACC; 11--12 DA二．填空题（每题5分，共计20分）16. 14. 16; 15.; 13.丁酉年分）三．（共计70解析：17.）由题意知（1，……………………………………………….3分可得由的单调递增区间是…………………5所以函数分为锐角，所以……………得6，又分（2）由分.8.…………………，，即由余弦定理得：，所以…………………，而.10 分即18. 解析：（1）∵a是2与S的等差中项，nn∴2a＝2＋S，①nn∴2a＝2＋S，(n≥2)②.………………….2分11nn－－－－S＝a＝S，①－②得，2a 2a n1nnnn1－－即＝2(n≥2)．.………………….4分在①式中，令n＝1得，a＝2．1∴数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列，………………………………5分n∴a＝nn. . ………………………………………………………………………………………………….26分b．＝（2）＝n…T ＋＋①＋＋，所以＋＝n…T.………………….7＋，＋则②＋＋＝分＋n①－②得，T …………………8…分＋＝＋＋－＋＋n…)2(－＋＝＋＋＋＋2×－＋＝.………………….10 分－＝．3T.………………….12－．＝所以分n）证明：设的中点为，连结，1解析：（19.为等腰直角三角形，因为，，所以，又分.2.…………………平面所以．平面，因为平面⊥平面，平面，平面⊥平面所以. ，所以平面又. .………………….4分所以可确定唯一确定的平面. .…………………平面又5分 ,为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，）以2（，，则，，，. .………………….6分，，的法向量设平面，得，.…………………8分则，即，令的法向量，设平面，得，.…………………则，即10，令分则，，.………………11平面角为设二面角分的余弦值为．.…………………所以二面角.12分，的定义域为）由题意，得1（20.. ….………………….2分随的变化情况如下表：、，∴单调递减极小值单调递增所以. ….…………………4分在上恒成立，∴.….………………….5分上有两个零点，等价于方程在在）函数（2上有两个解.化简，得. ….………………….6分设. 则，:、，随的变化情况如下表31单调递增单调递增单调递减….………………….….…………………..………………….….…………………….….…………………8分，，，且．. ….………………….10分在上有两个解所以，当时，.的取值范围是.….………………….12分故实数21`.，，由题意可得：，答案：解析（1解得）设椭圆的焦距为，…………….4 分故椭圆方程为：.…………….6分2 ）由椭圆的对称性，此定点必在轴上，（，设定点的方程：，直线，可得由……………8与椭圆有且只有一个公共点，故又分，即.直线…………….9，同理得得.分由则，12 …….分为直径的圆恒过定点，则以线段，即是椭圆的两个焦点或.，定义域为，）22.解析：（1．………………………………………………2分在上单调递减；，故函数①当时，，得②当时，令x↘极小值↗综上所述，当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．…………………………5分（2）当时，由第一问可知，函数在上单调递减，显然，，故，上单调递减，………………7所以函数分在因为对任意，都有，所以．所以，即，……………9分所以，即，所以，即，所以分12．…………………………………………。

石家庄市2019届髙中毕业班教学质址检测理科数学注念事项：1. 答卷前•考生务必将自己的姓名、准芍证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时•选出每小題答案后•用2B 铅笔把答题卡上对应题冃的答案标号涂 黑©如需改动■用橡皮擦「净后•再选涂其它答案标号。

问?HE 选择题时•将答案岭在答聽 卡上。

写在本试卷上无效“3. 考试结来后•将本试卷和答題卡一并仝何。

一俺择範本大題共12个小H ■每小题5分■共60分准毎小题给出的四个迭项中■只有 一项是符合题目要求的.1・设全集为 R •集合 W= lxlx :<4| jV=|0J.2| •则Mn/Ys A. |0J|B. |0J t 2|C. (0.2)2.已知复数二满足“ i = 3-4i(i 为虎数单位)•则匸 A. 3-4iB. 4*31C. -3Mi3•甲•乙两人8次测评成细的琴M 图如右 图•由荃叶图知甲的放绩的平均数和乙的 成绩的中位数分別是 A.23 22 B.23 22.5 C.21 22 D.21 22.54.冥几何体的三視图如图所示（图中小正方形刈格的边长为1）,则该几何体的体积足 A. 8B.6C.4I ）. 24 t • I •3IHS・ • ・ ■ ・■— ■ ■ t• • ■ ・ • •5执行如用所示的程序框图•输入的几值为4.则S 二理科数学第1页（共4页）甲乙 4 1 0 1 2 6 33 1 2 12 334 2 3 3 4D. (-2.2)理科数学第2页（共4页）AJd ）在（0•于）上单调递增 B/（x ）在卜字，訂上单调递减 CJS ）在（0冷）上单调递咸D./（x ）在（专冷）上小调递堆10.将两数y=e*（e 为自於对数的底数）的图録绕坐标廉点0顺时针旋转角0后第一次与* 他相切，则角0满足的条件是 A.B. »in^*eco^C. e»in0= ID. ecos6= 111-已知双曲线:厂】3°30）的左，右範点分别为人,竹,点A 为双曲线右支上一点. 线段4F,交左支于点R ,若“2丄，且I 站188 ； 1〃21，则该双曲线的离心率为12.巳知曲数/■（%）= it ）其中©为自然对数的底数，则对于函数/r （x ）=/2（x ）V （x ）+a 有下列四爪命题：' 命题1存在实数a 使得函数肌町没有零点 命题2 “在实数a 使得函数gd ）有2个零点 命題3存在实数a 使得丙数R （“冇4个卑点A.2 6・已D ・307. 9. B. Ial<l6lA. I ： 2B. I ： 3 C 1 D.l ：厲 袋子中有大小、形状完全相同的四个小球■分别写有•和"严肝、•校仁“园”四个字■冇 故冋地从中任意洪出-个小球山到・和=谐”两个字祁俱到就伶止棋球■用陆机倉拟 的方袪估什恰好住第三次停止摸球的慨率.利用电脑fifi 机产生1到4之间取彩数備的 随机数•分别用I.2.3.4代表“和”二谐“广校”广园”这四个字■以毎三个随机数为• 俎■灰示按球三次的结果■经随机怏揪产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计.恰好第三次就停止換球的槪率为B 丄 69i 殳诵数/(x ) = sin ( an +^p) -ros (tor ) ( o 0.弓）的最小正周期为gfl A. J1D.3命題4存在实数a使得險敷刃刃右6个苓点其中■正确的命题的个数是A. 1B. 2C.3 D 4二•壇空SL本大18共4小题•毎题5分•共20分.13.命• %o e （0户8 ）工G°+2•则r p 是_____________ （14.已知向Ma = （x f2）^ = （2J）,c = （3f2x）f若a丄孔则IQw2 —15.如图•在四棱锥P-ARCD中•底而ARCI）为菱形.PB丄底面ABCD.0为对角线AC与RD的交点，若Pff=l.Z4P^=Z«/lD=y,H^ 梭锥P-AOB的外按球的体积是______________________ j16.在△初C中9a、b«分别是角A .B、C的对边•若cc（^R+ferasC=2nca%4.AM =—AB^—AC.且AM二1«则6+2r 的册丿（（ft是__ •J J三■解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过務或演算步豪・第17-21 H为必考題■毎个试题考生都必须作答•算22.23题为选考题，考生根据要求作答•（一）必考»：#60分17.（本小题満分12分）已知巾」是首项为1的等比数列•各项均为正数•且产12・（1）求数列M.I的通项公式'（n）设&严----- ■求数列1—1的前鶯项和s「（n*2）log3<i t<l18.（本小題濟分12分）某公司为了擾高利润•从2012年至2018年毎年对生产环节的改进进行投资•投资金额与年利润均K的數捌如下农：年份2012201320142015201620172018投资金额伙万元） 4.5 5.0 5.5 6.0 6.57.07.5年利润憎长X万元） 6 07.07.48. 18.99.6II. 1（I ）请用故小二乘法求出y关于滾的同归左线方程沏黑2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金額为8万元•估计该公诃在该年的年利洞增K为多少？（结果保旳两位小数）（U ）现从2012年一2018年这7年中抽出三年逬行调介•记入■佯利润增长■投资金额. 设这三邙中入32（万元）的年份故为&求馳机变ftt f的分布列与期中•t（jr,-x）（y.-y）t^y-nxy聲考公式』二-------------- 二 --------- -a=H i1（^）2孚y|i|理科数学第3页（共4页）»IK； £x.y. =359.6. = 259.理科数学第4页（共4页）19.(本小題潢分12分)如图■巳知三梭柱刖•侧血-他I仏为菱形•儿C=BC・(I )求证丄平面ABfii(n )若L ARR. = 60°t Z CEA = L CHH. 9AC丄弘C■求二面角B-AOA.的余弦值.20.(本小题満分12分)已知橢圆C：斗和I3b>o)的离心率为芋，且经过点(I )求椭圆C的方程；(D)过点(存.0)作宜线/与橢圆C交于不冋的两点儿〃•试问在鼻轴上足否存在定点0•使得自线Q^与“线QB恰关于x轴对称？若存在•求出点Q的坐标;若不存在■说明理由. 21•(本小直満分12分)已知除数/I*)=*rUaln( 1-x) ,a为剧数.(I )讨论Pfitt/(x)的单调件；3+］n4 (U )若P<q«t/(x)有两个极值点釘M■且勺心“求证识壬)—厂.(二)选考题：共2分，请考生从第22,23 H中任选一fi!作答•并用2〃铅笔将答题卡上所迭題目对应的题号右侧方権涂K•按所涂《!号进行评分；务涂•多答•按所涂的苜题进行评分;不涂，按本选考题的苜题进行评分。

石家庄市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．2． 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．9[,6]5B ．9(,][6,)5-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6]3． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log zz -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 4． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π105． 正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正 切值为（ ）A ． BC. 12D．26．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ）A ．80＋20πB ．40＋20πC ．60＋10πD ．80＋10π7． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1}D ．{1，3}8． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39． 设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（ ） A ．(2)(3)f a f +> B ．(2)(3)f a f +< C. (2)(3)f a f += D ．不能确定 10．函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[]2,4C ．(,2]-∞D ．[]0,2 11．对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1 B-1 C0 D12．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数2(1)1f x x +=-，则(2)f = ． 14．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．15．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．16．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）的标准差是a = ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

河北省石家庄市第二中学2018届高三第一次联合测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|20,}A x x x x Z =--≤∈ ，则集合A 非空子集的个数为A ．14B ．15C ．16D ．172、已知复数(1)()z m m i m R =--∈，若z R ∈，则z i z i +-等于 A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -3、若()f x 是(),a b 定义在上的任意一个初等函数，则“存在一个常数M 使任意(),x a b ∈都有()f x M ≤成立”是“()f x 在(),a b 上存在最大值”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．必要不充分条件D ．充要条件4、若01,1a b c <<>>，则A ．()1a bc < B ．c a c b a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a < 5、原先要求,,A B C 三人共同完成某项工作中的9道工序（每道工序的工作量一样，每人完成其中的3到工序），A 完成了此项工作中的5到工序，B 完成了此项工作中的另外4道工序，C 因事未能参加此项工作，因此他需付出90元补贴90元补贴A 和B ，则A 应分得这90元中的A ．45元B ．50元C ．55元D ．60元6、已知点(1,2)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线上，则C 的离心率是A ．2D ．7、如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是A ．910a ≤<B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤8、一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为A ．34234()A A B ．43243()A A C ．121233A A D ．121244A A 9、在正项无穷等差数列{}n a 中，n S 为其前n项和，若3155,a a a =成等比数列，则n a =A ．21n -或35544n -B ．722n + C ．34n - D ．21n - 10、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的左视图可能为11、函数()142(1)x f x e x +=-+ 的图象大致为12、在数列{}n a中，已知1)n a n N ++=∀∈，则数列{}n a 满足：1()n n a a n N ++<∀∈ 的充要条件为A ．11a >-B ．13a >C ． 11a <-或13a >D ．113a -<< 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省石家庄市第二中学高三上学期理数真题试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，A B φ=，则集合B 不可能是（ ）A ．{|1}x x <-B ．{(,)|1}x y y x =-C ．2{|}y y x =-D ．{|1}x x ≥-【答案】D【分值】5分【解析】∵集合A=={x|x ≥1}，A ∩B=ϕ，∴B={x|x ＜1},∴集合B 不可能是{x|x ≥﹣1}．故选：D ．【考查方向】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【易错点】交集及其运算，注意集合代表元素的属性【解题思路】求出集合A={x|x ≥1}，由A ∩B=ϕ，得B={x|x ＜1}，由此能求出结果．2.已知直线10ax y a +--=与直线102x y -=平行，则a 的值是（ ） A ． 1 B ． -1 C ． 2 D ．-2【答案】D【分值】5分【解析】因为直线ax+y ﹣1﹣a=0与直线x ﹣y=0平行，所以必有﹣a=2，解得a=﹣2．故选D【考查方向】本题考查两条直线平行的判定，是基础题．【易错点】两直线平行条件的应用（整式条件）【解题思路】两条直线平行倾斜角相等，即可求a 的值．3.下列判断错误的是（ ）A ．“||||am bm <”是“||||a b <”的充分不必要条件B ．命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C ．若()p q ⌝∧为真命题，则,p q 均为假命题D ．命题“若p ，则q ⌝”为真命题，则“若q ，则p ⌝”也为真命题【答案】C【分值】5分【解析】对于A ，“|am|＜|bm|”中可知|m|＞0，由不等式的性质可判定，故正确； 对于B ，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定，故正确；对于C ，若￢（p ∧q ）为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 至少一个为假，故错； 对于D ，若“p ，则￢q ”与“若q ，则￢p ”互为逆否命题，同真假，故正确． 故选：C ．【考查方向】本题考查了命题真假的判定，涉及到了复合命题的处理，属于基础题．【易错点】对命题的否定，复合命题，充要条件的判定理解。

2018届高三1.5模数学（理）试题（A ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =（ ）A ．{}|14x x -<<B ．{}|03x x <<C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2.设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12i -C ．32-D ．32i -3.欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A ．2πB ．1πC ．2π1 D ．14π4.已知向量(3,1)a =-，(1,2)b =-，若||5a b λ-=，则实数λ=（ ） A ．1或3-B ．1-C ．3-D ．1-或35.已知双曲线C ：22194x y -=的两条渐近线是1l ，2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 的距离是3，则点M 到渐近线2l 的距离是（ ） A ．1213B ．1C ．3613D ．36.若4cos()cos sin()sin 5αβααβα-+-=-，3(,)2πβπ∈，则cos 2β=（ ） A ．1010B ．31010C ．1010-D ．31010-7.如图是为了求出满足122222018n+++>…的最小整数n ， 和 两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018?S >，输出1n -B ．2018?S >，输出nC ．2018?S ≤，输出1n -D ．2018?S ≤，输出n8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积等于（ ）A ．2(486)cm π+B ．2(642428)cm π++C ．2(6424214)cm π++ D ．2(722428)cm π++9.已知01b a <<<，1c >，则下列各式中成立的是（ ） A ．baa b <B ．b ac c >C ．log log a b c c >D ．log log c c b a a b >10.如图，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，6DA DC ==，现沿对角线AC 折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）A ．92π B ．823π C ．272π D ．12π11.若焦点为F ，准线为l 的抛物线C ：22x py =（0p >）上一点A （点A 在第一象限），过点A 作直线1AA l ⊥，垂足为1A ，三角形1AA F 是等边三角形，且三角形1AA F 的面积为43，过点A 作互相垂直的直线AM ，AN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，点P 在直线MN 上，且0AP PM ⋅=，点P 的轨迹为（ ） A ．抛物线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线12.已知函数221,0,()ln(),0,x ax a x f x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩2()12g x x a =+-，若函数(())y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．51(,1)(1,)2-+∞ B ．51(,)2-+∞ C ．51(,1)2- D ．(,1)-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++…，则128a a a +++…的值是 ．14.已知实数x ，y 满足10,210,0,y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 的值为 ．15.已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当(0,)x e ∈，()ln f x x =，若在区间[],3e e -，关于x 的方程()f x kx =恰好有4个不同的解，则正数k 的取值范围是 ．16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3AC =，2BC =，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.某届数学青年教师优质课展评活动有96位教师进行优质课展示（每位教师展示1节课），现将96节课分为三类：教师主讲只有极少数学生参与的为A 类，多数学生参与的为B 类，全体学生参与的为C 类，且A 、B 、C 三类课的节数比例为8:5:3．（1）为便于研究分析，中学数学专业委员会的教育专家们将A 类归为传统课堂模式，B 、C 类归为新课改课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，并得到22⨯列联表如表：（单位：节）高效 非高效 总计 新课改课堂模式 30 18 48 传统课堂模式16 32 48 总计465096请根据统计数据回答有没有99.5%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由；（2）中学数学专业委员会采用分层抽样的方法从现场展示的96节课中选出16节课作为样本，然后对担任这16节课的16位授课教师作进一步调查，现从样本中B 类和C 类的课堂中随机抽取3位授课教师，记抽到C 类课堂授课教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且224AD BC AB ===，AB AD ⊥，侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，且四边形11ABB A 是菱形，13B BA π∠=，M 为1A D 的中点.（1）证明：//CM 平面11AA B B ； （2）求二面角1A CD A --的余弦值．20.已知1F 、2F 为椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点，过椭圆长轴上一点(,0)M m （不含端点）作一条直线l ，交椭圆于A 、B 两点．（1）若直线2AF ，AB ，2BF 的斜率依次成等差数列（公差不为0），求实数m 的取值范围；（2）若过点1(0,)3P -的直线交椭圆C 于E 、F 两点，则以EF 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．21.已知函数32()(63)xf x x x x t e =-++，t R ∈．（1）若函数()y f x =依次在x a =，x b =，x c =（a b c <<）处取到极值． ①求t 的取值范围；②若22a c b +=，求t 的值．（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1C ：cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换'3,'2x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(2cos sin )8ρθθ-=． （1）求曲线2C 和直线l 的普通方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|23|1f x x =-+．（1）求不等式()|31|f x x ≥+的解集； （2）若不等式13()||222t f x x x ≤++-的解集非空，求实数t 的取值范围．2018届高三1.5模数学（理）试题（A ）答案一、选择题1-5:BCDAA 6-10:CABDA 11、12：BA二、填空题13.3- 14.5 15.11[,)3e e16.7 三、解答题17.解：（1）当1n =时，11321S a =+，可得11a =，当2n ≥时，由11321,321,n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩得113()22n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=-，从而1(2)n n a -=-．（2）由(1)n n b n a =+，得1(1)(2)n n b n -=+⨯-，则01212(2)3(2)4(2)(1)(2)n n T n -=⨯-+⨯-+⨯-+++⨯-…，①1212 2(2)3(2)(2)(1)(2)n n n T n n --=⨯-+⨯-++⨯-++⨯-…，②由①-②得012132(2)(2)(2)(2)(1)(2)n n n T n -=⨯-+-+-++--+⨯-…1(2)1(1)(2)1(2)nn n --=+-+⨯---44()(2)33n n =-+⨯-， 从而434(2)99n n n T +=-⨯-．18.解：（1）由列联表中的统计数据计算得，2296(30321816)8.1817.87948484650K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 由临界值表知2(7.879)0.005P K >=，所以有99.5%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关． （2）易知样本中担任B 类和C 类课堂的教师分别有5人和3人， 故随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则3053385(0)28C C P C ξ===，21533815(1)28C C P C ξ===，12533815(2)56C C P C ξ===，0353381(3)56C C P C ξ===，因此ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P528 1528 1556 156所以5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19.（1）证明：取1AA 的中点N ，连接MN ，BN ． 在1ADA ∆中，//MN AD 且12MN AD =， 又//BC AD 且12BC AD =，所以//MN BC 且MN BC =， 所以四边形MNBC 是平行四边形，从而//CM BN ，又BN ⊂平面11AA B B ，MC ⊄平面11AA B B ，所以//CM 平面11AA B B ． （2）解：取11A B 的中点P ，连接AP ，1AB ， 因为在菱形11AA B B 中，13B BA π∠=，所以1111AB AA AB A B ===， 所以11AP A B ⊥， 又11//AB A B ， 所以AP AB ⊥，又侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，侧面11ABB A 平面ABCD AB =，所以AP ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示），则(0,0,0)A ，(0,4,0)D ，(2,2,0)C ，(0,0,3)P ，1(1,0,3)A -，(2,2,0)CD =-，1(3,2,3)CA =--． 因为AP ⊥平面ABCD ，所以(0,0,3)AP =为平面ABCD 的一个法向量．设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =，由1,,n CD n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即220,3230,x y x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩取53(1,1,)3n =为平面1A CD 的一个法向量，所以2225335313cos ,31||||5331+1+()3AP n AP n AP n ⨯⋅<>===⋅⨯． 设二面角1A CDA --大小为θ，(0,)2πθ∈，531cos 31θ=．20.解：（1）由题意知1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()y k x m =-（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11()y k x m =-，22()y k x m =-， 因为1212211y y k x x +=--，即()2112()211k x m k x m k x x --+=--，整理得12()(1)2(1)x x m m +-=-，公差不为0，所以122x x +=，由22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=，由2122412k m x x k +=+，得2102(1)k m =>-，所以1m >． 又点(,0)M m 在椭圆长轴上（不含端点），所以12m <<，即实数m 的取值范围为(1,2)．（2）假设以EF 为直径的圆恒过定点．当EF x ⊥轴时，以EF 为直径的圆的方程为221x y +=； 当EF y ⊥轴时，以EF 为直径的圆的方程为22116()39x y ++=，则两圆的交点为(0,1)Q ． 下证当直线EF 的斜率存在且不为0时，点(0,1)Q 在以EF 为直径的圆上，设直线EF 的方程为013y k x =-（00k ≠），代入2212x y +=，整理得2200416(21)039k x k x +--=， 设33(,)E x y ，44(,)F x y ，则0342043(21)k x x k +=+，3420169(21)x x k -=+， 33(,1)QE x y =-，44(,1)QF x y =-，所以343434030444(1)(1)()()33QE QF x x y y x x k x k x ⋅=+--=+--2034034416(1)()39k x x k x x =+-++20002200416416(1)09(21)33(21)9k k k k k -=+⋅-⋅+=++， 所以点(0,1)在以EF 为直径的圆上． 综上，以EF 为直径的圆恒过定点(0,1)Q ．21.解：（1）①23232'()(3123)(63)(393)xxxf x x x e x x x t e x x x t e =-++-++=--++， ∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个根a ，b ，c ， 令32()393g x x x x t =--++，2'()3693(1)(3)g x x x x x =--=+-，()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，(1,3)-上递减，∵()g x 有3个零点，∴(1)0,(3)0,g g ->⎧⎨<⎩∴824t -<<．②∵a ，b ，c 是()f x 的三个极值点，∴32393()()()x x x t x a x b x c --++=---32()()x a b c x ab bc ca x abc =-+++++-，∴3,9,3,a b c ab ac bc t abc ++=⎧⎪++=-⎨⎪+=-⎩∴1b =或32b =-（舍去），∴123,1,123,a b c ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩∴8t =．（2）不等式()f x x ≤，即32(63)xx x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-，转换为存在实数[]0,2t ∈，使对任意[]1,x m ∈，不等式3263xt xex x x -≤-+-恒成立，即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立，即不等式2063x e x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立．设2()63xx ex x ϕ-=-+-，则'()26x x e x ϕ-=--+，设()'()26x r x x e x ϕ-==--+，则'()2x r x e -=-，因为1x m ≤≤，有'()0r x <，故()r x 在区间[]1,m 上是减函数，又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，3(3)0r e -=-<，故存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0r x x ϕ==．当01x x ≤<时，有'()0x ϕ>，当0x x >时，有'()0x ϕ<，从而()y x ϕ=在区间[]01,x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减，又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<，所以当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<，故使命题成立的正整数m 的最大值为5．22.解：（1）由已知有'3cos ,'2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去θ得22''134x y +=，将sin ,cos ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的方程得l ：28x y -=，∴曲线2C 的方程为22''134x y +=，直线l 的普通方程为l ：28x y -=．（2）由（1）可设点(3cos ,2sin )P θθ，[0,2)θπ∈，则点P 到直线l 的距离为：|4sin()8||23cos 2sin 8|355d πθθθ-+--==， 故当sin()13πθ-=，则56πθ=时d 取最大值1255，此时点P 的坐标为3(,1)2-．23.解：（1）由()|31|f x x ≥+，可得|31||23|1x x +--≤， 则当32x ≥时，31231x x +-+≤，即3x ≤-，不符合题意； 当1332x -<<时，31231x x ++-≤，即35x ≤，∴1335x -<≤；当13x ≤-时，31231x x --+-≤，即5x ≥-，∴153x -≤≤-． 综上不等式()|31|f x x ≥+的解集诶3|55x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）符合题意的t 的取值范围为13()||222t f x x x >++-恒成立的补集； 13()||222t f x x x >++-恒成立等价于|23|10x tx --+>恒成立， 3(2)2,,2()|23|13(2)4,,2t x x g x x tx t x x ⎧--≥⎪⎪=--+=⎨⎪-++<⎪⎩ 若满足题意需20,20,3()0,2t t g ⎧⎪-≥⎪+≥⎨⎪⎪>⎩解得322t -≤<，所以t 的取值范围是2(,2)[,)3-∞-+∞．若。

河北省石家庄二中2018 届高三数学三模试卷（A）理（含分析）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 已知会合, 则中所含元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】试题剖析：，应选 D.考点：会合的表示法．2. 若函数为纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】剖析：依据为纯虚数，获得的值；再由，及复数除法的计算法例计算的值。

详解：为纯虚数，解得又应选 D点睛：（ 1）复数分类：①时为实数；②时为虚数，③时为纯虚数。

（2）以 4 为周期，即（3）复数除法运算法例：3. 已知命题A.，，，那么命题B.，为（）C.，D.，【答案】 C【分析】特称命题的否认为全称命题，则为，，应选 C．4. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】依题意，双曲线的一个焦点为，∴，∵双曲线离心率为，∴，∴，∵，∴，∴渐近线方程为.应选 D.5. 已知实数，知足拘束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】作出不等式组表示的平面地区以下列图中暗影部分所示，易知表示可行域内的点到点的距离的平方，所以．应选 A．6.设，，且，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】剖析：（ 1）方法一、运用同角和两角差公式，即和化，再依据公式和角的范，确立正确答案。

（2）方法二、运用公式和二倍角公式，通的化，确立正确答案。

解：方法一：即整理得，∴整理得方法二：，∴整理得故 B点睛：本主要考三角函数的化和求，依据干和所提示，确立解方向，取适合三角函数公式化求。

7. 出个数：，，，，，，⋯，要算个数的和.如出了的程序框，那么框中判断框① 和行框② 能够分填入（）A.？和B.？和C.？和D.？和【答案】 D【分析】剖析：因为要算30 个数的和，故循要行30 次，因为循量的初1，步 1，故 30即①中填写i ≤30；又由第 1 个数是 1；第 2 个数比第 1 个数大 1 即 1+1=2；第 3个数比第 2 个数大 2 即 2+2=4；第 4 个数比第 3 个数大 3 即 4+3=7；⋯故②中填写p=p+i考点：程序框8. 已知函数，足的的取范是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】剖析：先确立函数的性，减，增；由可知当或，依据函数的性解不等式。

的准线方程为B.【详解】抛物线的准线为所以抛物线的准线方程为老年人：中年人：青年人：已知命题：，：，，是假命题，即命题，去为假，为真所以是真命题“”“若，则，若，全不为，则一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真“”是“”的充分必要条件，所以，“若，，，则点在某中学东、西两个校区附近的监测点统计的数据的一条渐近线平行于直线根据题意，双曲线的一条渐近线与直线【详解】双曲线的渐近线为直线的斜率为双曲线离心率为与直线【详解】直线而直线与圆【答案】B共有共故所求概率已知点，，【答案】【详解】因为点，所以有二次函数易知，当时，取得最小值为的最小值为的棱长为、分别是利用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量【详解】在正四面体中，点、分别是、的中点则=因为是正四面体，所以即所以=已知离心率为的双曲线的右焦点为，以径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点.若的右焦点为，为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点,所以，所以三角形面积双曲线离心率解得命题“”的否定是【答案】【详解】命题“，所以其否定命题：故答案为：【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题在区间则两数之和小于【答案】或【解析】”对应的区域为正方形的内部且在直线下方的部分，根据题中数据分别计算两部分的面积，由几何概型的计算公式可得答案．【详解】若两数之和小于，即，对应的区域为直线OABC内部，即如图的阴影部分．分别交于点∴因此，阴影部分面积为由此可得：两数之和小于的概率为．故答案为：【点睛】本题给出在区间（的概率．着重考如图，，点、分别是，的中点，若，则【答案】【解析】就是异面直线16.设，分别是椭圆的左、若在直线上存在点的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是【答案】【解析】设直线与。

由线段的中垂线过点，可得所以。

因为，由因为，所以。

变形可得可得，所以。

根据椭圆的离心率，可得。

详解：设直线与轴的交点为，连接，的中垂线过点，，可得，∵，且，，即，，结合椭圆的离心率，得故离心率的取值范围是求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式。

河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 2． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位： 小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.3． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.4． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．643 D ．3235． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ） A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．6． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 7． 已知集合{}2|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ） ①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++= 9． 设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 10．执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．204811．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.12．二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．36二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知圆C 的方程为22230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB最小则直线的方程是．14．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元. 16．三角形ABC 中，23,2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。

石家庄二中2018-2019学年度高一年级下学期期末考试数学试卷试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟第I 卷（选择题，共60分）一.选择题：1.已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点，则l 的斜率为（） A. 2 B.23C.43D.12【答案】A 【解析】 【分析】直接代入两点的斜率公式2121y y k x x -=-，计算即可得出答案。

【详解】31221k -==- 故选A【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题。

2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A.2B.3C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 【此处有视频，请去附件查看】3.在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（） A. 11 B. 9 C. 15 D. 13【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质91295=a a a a ⋅L ，即可解出答案。

【详解】2375542a a a a ==⇒=92122292129252log +log ++log =log ()log 9log 29a a a a a a a ⋅===L L故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题。

4.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得BCD ∠︒15＝，BDC ∠︒30＝，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于A. 65B. 13C. 25D. 6【答案】D 【解析】在BCD ∆ 中，1801530135CBD ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得30sin 30sin135BC =︒︒，解得BC =在Rt ABC ∆中，tan AB BC ACB =∠==5.过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A. ()()22314x y -++= B. ()()22314x y ++-= C. ()()22114x y -+-= D. ()()22114x y +++=【答案】C 【解析】 【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题。

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2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合{}21A x x =<，113xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂= ( )A ．∅B ．{}10x x -<<C ．{}01x x <<D ．{}11x x -<< 2. 已知命题()0:0,,ln 1p x xx ∃∈+∞=- ，则命题p 的真假及p ⌝依次为（ ）A ．真；()00,,ln 1x xx ∃∈+∞≠- B ．真；()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-C ．假；()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-D ．假；()000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-3。

设复数z 满足()12i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4。

在平面直角坐标系中，A ∠的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点)P a,若660A ∠=︒，则a = ( ）A ．3-B ．3C 。

1-D ．15. 已知点D 是ABC ∆所在平面内的一点，且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+，则λμ-=( ）A ．6B ．6-C 。

32- D ．23错误!未定义书签。

6.已知函数()1xx f x e x =++，则12x x+>是()()()()1212f x f x f x f x +>-+-的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件7。

已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ )A ．79B ．79- C 。

石家庄市第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题班级 __________ 座号 _____姓名 __________分数 __________一、选择题2 x y 2 01． 若变量 x ， y 知足拘束条件x 2 y 4 0 ，则目标函数 z 3x 2 y 的最小值为（）x 1 0A ．-5B ．-4C.-2D ．32． 已知函数 f (x) f '(1)x 2x 1 ，则 1f (x)dx0 （）7 7 C ．5D ．5A ．B ．6666【命题企图】此题考察了导数、积分的知识，要点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有必定技巧性，难度中等 .3． 若圆心坐标为2, 1 的圆在直线 xy 10 上截得的弦长为 2 2 ，则这个圆的方程是（）220 B ． x 222A ． x 2y 1y 14228D ． x 2 22C ． x 2 y 1y 1164f (x) e sin x，此中 xR ，e 2.71828 为自然对数的底数． 当x [0,] 时，函数 y f (x)． 已知函数x2的图象不在直线 y kx 的下方，则实数 k 的取值范围（）A ．( ,1)B ． ( ,1]C ． ( ,e 2 )D ． (,e 2 ]【命题企图】 此题考察函数图象与性质、利用导数研究函数的单一性、 零点存在性定理， 意在考察逻辑思想能力、等价转变能力、运算求解能力，以及结构思想、分类议论思想的应用．5． 若 a ＜ b ＜ 0 ，则以下不等式不建立是（ ）A ． ＞B ． ＞C ． |a|＞ |b|D ． a 2＞ b 26． 函数的零点所在区间为（）A ．（ 3，4）B ．（ 2，3）C ．（ 1，2）D ．（ 0， 1）7． 《九章算术》以后，人们进一步用等差数列乞降公式来解决更多的问题， 《张丘建算经》卷上第 22 题为：“今有女善织，日趋功疾（注：从第2天开始，每日比前一天多织同样量的布），第一天织5 尺布，此刻一月（按 30 天计），共织 390 尺布 ”，则从第 2 天起每日比前一天多织（ ）尺布．A ．B ．C ．D ．8中，向量＝ ( 1，2) ， ＝ (2 ，m)，若 O ，A ，B 三点能组成三角形， 则（ ）． 在平面直角坐标系A．B．C．D．9．已知全集U={0 ， 1， 2，3， 4} ，会合 M={2 ， 3，4} ， N={0 ， 1， 4} ，则会合 {0 ， 1} 能够表示为（）A ．M ∪N B．（ ?U M ）∩N C．M ∩（?U N）D．（ ?U M）∩（?U N）10．已知直线l∥平面α， P∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，在平面α内C．有两条，不必定都在平面α内D ．有无数条，不必定都在平面α内11．已知一三棱锥的三视图以下图，那么它的体积为（）1B ．2C．1 D．2A ．3312．设会合A x R | 2 x 2 ， B x | x 1 0，则A (e R B) （）A. x |1 x 2 B. x | 2 x 1 C. x | 2 x 1 D. x | 2 x 2 【命题企图】此题主要考察会合的观点与运算，属简单题.二、填空题13．已知直线5x+12y+m=02 2与圆 x ﹣ 2x+y =0 相切，则 m=．4 2sin cos14．已知 tan 2 ，则 3 3 .3 5cos sin6 615．曲线 y＝ x 2＋ 3x 在点（－ 1，－ 2）处的切线与曲线y＝ ax＋ ln x 相切，则 a＝ ________．16．设函数 f（ x） = 则函数 y=f （ x）与 y= 的交点个数是．17．方程 4 x2k x 2 3 有两个不等实根，则的取值范围是．三、解答题18．（本小题满分12 分）已知函数 f x 3sin x cos x 2 3 .cos x2（ 1）当 x6 ，时，求函数 y f x 的值域；3（ 2）已知0 ，函数 g xx，若函数 g x 在区间2，上是增函数，求的最大值．f32 12 619．以下图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， E 为 AC 与 BD 的交点， PA平面ABCD ，M 为PA中点， N为BC中点．（ 1）证明：直线MN / / 平面 ABCD ；（ 2）若点Q为PC中点，BAD 120 ，PA 3 ，AB1，求三棱锥 A QCD 的体积．20．（本小题满分10 分）已知函数f（ x）＝ |x－ a|＋ |x＋ b|，（ a≥ 0，b≥0）．（ 1）求 f（ x）的最小值，并求取最小值时x 的范围；（ 2）若 f（ x）的最小值为2，求证： f（ x）≥a＋ b.21．如图的三个图中，上边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下边画出（单位： cm）．（1）在正视图下边，依据画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）依据给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结 BC ′，证明： BC′∥面 EFG．22．（本小题满分10 分）选修4 1 ：几何证明选讲以下图，已知PA 与⊙O相切， A 为切点，过点P 的割线交圆于B, C 两点，弦CD // AP， AD , BC 相交于点 E ， F 为CE上一点，且DE 2EF EC ．（Ⅰ）求证：EDF P；（Ⅱ）若 CE : BE 3 : 2, DE 3,EF 2，求 PA 的长．23．（本小题满分10 分）x2 y2 x 2 t, 已知曲线 C : 1 ，直线 l :2 （为参数） .4 9 y 2t ,（ 1）写出曲线 C 的参数方程，直线的一般方程；（ 2）过曲线C 上随意一点 P 作与夹角为 30 的直线，交于点 A ，求 | PA |的最大值与最小值.石家庄市第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题（参照答案）一、选择题1．【答案】 B【分析】试题剖析：依据不等式组作出可行域以下图暗影部分，目标函数可转变直线系y 3 x 1z ，直线系在可2 2行域内的两个临界点分别为A(0,2) 和 C(1,0) ，当直线过 A 点时， z 3x 2 y2 2 4 ，当直线过 C 点时， z 3x 2y 3 1 3，即的取值范围为[ 4,3] ，所以 Z 的最小值为 4 .故此题正确答案为 B.考点：线性规划拘束条件中对于最值的计算.2．【答案】 B3．【答案】 B【分析】考点：圆的方程 .1111]4．【答案】 B【解析】由题意设 g( x) f (x) kx e x sin x kx ，且g (x) 0 在 x [0, ]时恒建立，而2x cosx) k ．令 h( x) x x x 0 ，所以 h(x) 在 [0, ] 上递g '(x) e (sin x e (sin x cosx) ，则 h (' x) 2e cos2 增，所以 1 h(x) e2．当 k 1 时，g '( x) 0 ，g( x) 在 [0, ] 上递加， g (x) g(0) 0 ，切合题意；当k e22时， g '(x) 0 ，g( x)在[0, ] 上递减， g ( x) g (0) 0 ，与题意不合；当 1 k e2时， g (x) 为一个递加2函数，而 g '(0) 1 k 0 ， g '( ) e2 k 0 ，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得 g '(x0 ) 0 ，2当 x [0, x0 ) 时，g '(x) 0 ，从而 g( x) 在x [0, x0 ) 上单一递减，从而g (x) g (0) 0 ，与题意不合，综上所述： k 的取值范围为( ,1] ，应选B．5．【答案】 A【分析】解：∵ a＜ b＜ 0，∴﹣a＞﹣ b＞ 0，∴|a|＞ |b|， a2＞ b2，即，可知： B ， C， D 都正确，所以 A 不正确．应选： A．【评论】此题考察了不等式的基天性质，属于基础题．6．【答案】 B【分析】解：函数的定义域为（0， +∞），易知函数在（0，+∞）上单一递加，∵f（ 2） =log 32﹣ 1＜0， f（ 3） =log 33﹣＞0，∴函数 f （ x）的零点必定在区间（2， 3），应选： B．【评论】此题考察函数的单一性，考察零点存在定理，属于基础题．7．【答案】 D【分析】解：设从第 2 天起每日比前一天多织 d 尺布 m则由题意知，解得 d=．应选： D ．【评论】此题考察等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意等差数列的通项公式的求解．8． 【答案】 B【分析】 【知识点】平面向量坐标运算【试题分析】若 O ， A ， B 三点能组成三角形，则 O ， A ，B 三点不共线。

石家庄二中2018——2019学年第二学期期末考试高二数学（理）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B ⋂=ð（ ）A. {|20}x x -≤<B. 1{|2}2x x -≤< C. 1{|0}2x x ≤< D. {|03}x x ≤<【答案】B 【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x UB y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<Q ð， 所以()U A B ⋂=ð 1{|2}2x x -≤<． 考点：集合的交集、补集运算． 2.复数4212ii+-+的虚部为（）A. 2B. 2-C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i+=--+，即可得到复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()42124210=21212125i i i ii i i i +--+-==--+-+--， 所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A. 00x ∃≤，使得20010x x ++≤B. 0x ∀≤，使得210x x ++>.C. 0x >，使得210x x ++>D. 00x ∃>，使得20010x x ++≤【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，使得20010x x ++≤”故选D ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D.13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ∧⌝【答案】B 【解析】试题分析：命题p 为假命题,比如12>-,但221(2)<-,命题q 为真命题,不等式2230x x +-≤的解为31x -≤≤,所以131x x ≤≠>-≤≤,而311x x -≤≤⇒≤,所以“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件,由命题,p q 的真假情况,得出()p q ⌝∧为真命题,选B.考点：命题真假的判断.【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题p ,为假命题,容易判断,对于命题q ,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则p 是q 的充分不必要条件,若,q p p p ⇒≠>,则p 是q 的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出()p q ⌝∧为真命题.7.设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（）A. ()f x 在区间[]3,2--单调递减B. ()f x 在区间[]2,1--单调递增 C. ()f x 在区间[]3,4单调递减 D. ()f x 在区间[]1,2单调递增【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数， 由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+， 所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8.若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】 【分析】 根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.函数22x y x =-的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B 、C ； 因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A10.已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（） A. 32t >B. 32t <C. 12t >D. 12t <【答案】A 【解析】 【分析】由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为12t t -<-，即可求解．【详解】由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数，又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数， 因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-， 所以12t t -<-，解得32t >，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为,,,αβγ那么,,,αβγ的大小关系是 （ ） A. αβγ>>B. βγα>>C. γαβ>>D.γβα>>【答案】D 【解析】【详解】由已知得到：()1()1g x g x α'==⇒=， 对于函数h （x ）=lnx ，由于h ′（x ）= 1x令1()ln r x x x=-，可知r （1）＜0，r （2）＞0，故1＜β＜2 ()sin cos cos sin 0x x x x x ϕ=-=⇒'+=，且3[,]24x x πππγβγβα∈⇒==>⇒>>，选D.12.设函数()()2ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（） A. 4ln 214+⎛⎤+⎥⎝⎦B. 4ln 214+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C. 6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦ D. 6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案．【详解】由题意，函数()()2ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，不等式()0f x >，即()2ln 20x ax a x --->，即()2ln 2x ax a x >+-，两边除以x ，可得ln (1)2xa x x>+-， 又由直线(1)2y a x =+-恒过定点(1,2)--， 若不等式()0f x >恰有两个整数解， 即函数ln xy x=图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x =+-的上方， 由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f >≤，即()()ln 24220ln 39220a a a a ⎧--->⎪⎨---≤⎪⎩，解得6ln 34ln 2126a ++≤<，即实数a 的取值范围是6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题：（每小题5分，共20分）13.121(1)2x x dx -⎰= . 【答案】14π+ 【解析】，则221x y +=（y≥0），∴1dx ⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以101)2x dx ⎰=10dx ⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+. 考点：定积分.14.若函数()1,03,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则不等式()13f x ≥的解集为______________.【答案】{}|13x x -≤≤ 【解析】 【分析】分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】由题意，当0x >时，令113x ≥，解得03x <≤，当0x ≤时，令133x ≥，解得10x -≤≤，所以不等式()13f x ≥的解集为{}|13x x -≤≤． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.【答案】75【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解．【详解】由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=， 则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=， 又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.已知函数()22f x x x a =++，()1g x x=-，若存在两切点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，()120,0x x <>，使得直线AB 与函数()y f x =和()y g x =的图象均相切，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数求得点B 处的切线方程212y x t t =-，联立方程组，根据判别式0∆=，令1m t=，得4211122424a m m m =--+，构造新函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，点B 在函数()1g x x =-的图象上，令2x t =，则点1(,)B t t-， 又由()21g x x '=，则()21g t t '=， 所以切线方程211()y x t t t +=-，即212y x t t=-，联立方程组()22122y x t t f x x x a⎧=-⎪⎨⎪=++⎩，整理得2212(1)20x x a t t +-++=， 则2212(1)4(2)0a t t∆=--+=，令1m t=，整理得4211122424a m m m =--+，且1(0,1)m t =∈， 构造函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，则()32h x x x '=--，()231h x x ''=-，可得当(0,3x ∈时，()0h x ''<，函数()h x '单调递减，当3x ∈时，()0h x ''>，函数()h x '单调递增，所以()3()20333h x h ''≥=--<， 即()0h x '<在(0,1)上恒成立，所以函数()h x 在(0,1)单调递减，又由()()11110,1224424h h ==--+=-， 所以1224a -<<，解得118a -<<．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．三、解答题：（70分）17.已知直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;（Ⅱ）若过()0,2M 且与直线l 垂直的直线l '与曲线C 相交于两点A ，B ，求MA MB ⋅.【答案】（Ⅰ）10x y +-=，22143x y +=（Ⅱ）87【解析】 【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求得直线l '的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解． 【详解】（Ⅰ）由直线l极坐标方程sin sin cos 4222πρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l 直角坐标方程：10x y +-=，由曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则22()12x +=， 整理得22143x y +=，即椭圆的普通方程为22143x y +=．（Ⅱ）直线l '的参数方程为cos ,42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即,222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）把直线l '的参数方程,222x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22143x y +=得：2780t -+=，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，则有121287t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又直线l '过点()0,2C -，故由上式及t 的几何意义得：1287CA CB t t ⋅==. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--， （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集； （Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t ≤≤. 【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤. 试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<- 当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<<当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥ 综上所述263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或. （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤. 考点：不等式选讲．【此处有视频，请去附件查看】19.已知函数()()4log 41xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.（1）求k 的值;（2）解不等式()1f x ≥.【答案】（1）12k =-（2）(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或 【解析】 【分析】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，根据对数的运算，即可求解； （2）由题()1f x ≥，根据对数的运算性质，得44210x x -⨯+≥，令20x t =>，转化为2410t t -+≥，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解．【详解】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-， 所以()()44log 41log 41xxkx kx -+==+-恒成立，化简得4log 42xkx =-，即2x kx =-，解得12k =-． （2）由题()1f x ≥，即()41log 4112xx +-≥，整理得44210x x -⨯+≥， 令20x t =>得2410t t -+≥，解得02t <≤2t ≥+从而22x ≤或22x ≥，解得(2log 2x ≤-或(2log 2x ≥+，原不等式解集为(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20.已知函数()()22xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程.（2）当2x ≤时，求函数()y f x =的零点个数;【答案】（1）2y x =-（2）函数()y f x =零点个数为两个 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．【详解】（1）由题意，函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，则()02f '=-，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-．（2）由（1）知()()22xf x x e '=-，令()0f x '=得x 或x =从而函数()y f x =单调增区间为(,-∞，)+∞单调减区间为(，当x <()()220xf x x x e =->恒成立，所以在(,-∞上没有零点；当x <<时，函数在区间(单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >)+∞递增，且()20f =，存在唯一零点．综上，当2x ≤时，函数()y f x =零点个数为两个.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4a =（2）132a e e≤+- 【解析】 【分析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解；（2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x≤++，构造函数()()32ln 0h x x x x x=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩，解得014x a =⎧⎨=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x +-'=+-=， 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，此时()h x 单调递减; 当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增.存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以132a e e≤+-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的极值;（2）当0x e <<时，证明：()()f e x f e x +>-;（3）设函数()f x 的图象与直线y m =的两个交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<. 【答案】（1）()f x 取得极大值1e，没有极小值（2）见解析（3）见解析 【解析】【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由()()f e x f e x +>-，整理得整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可求解．（3）不妨设12x x <，由（1）和由（2），得()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用单调性，即可作出证明． 【详解】（1）由题意，函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以当x e =时，()f x 取得极大值1e，没有极小值; （2）由()()f e x f e x +>-得()()ln ln x e e x x e e x+->+- 整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-， 则()()()()2222222222224ln 2ln 0e x x F x e x e x e x e x +⎡⎤'=--=--+>⎣⎦--， 所以()F x 在()0,e 上单调递增，所以()()00F x F >=，即()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 从而有()()f e x f e x +>-．（3）证明：不妨设12x x <，由（1）知120x e x <<<，则120e x e x <-<<， 由（2）知()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 由()f x 在(),e +∞上单调递减，所以()12e e x x +-<，即122x x e +>， 则1202x x x e +=>，所以()00f x '<.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8B．9C．10D．128．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，}C．{0，}D．{1，，0}10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=011．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解：=﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，}C．{0，}D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为﹣=1．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D 1B 与平面MBC 所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系， 则D 1（0，0，2），B （2，2，0），M （2，0，1），C （0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC 的法向量=（x ，y ，z ），则，取y =1，得=（0，1，2），设直线D 1B 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ===．故直线D 1B 与平面MBC 所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，现以F 2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的长轴长为+1．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为2．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上，====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知，=，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知，=，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为：+=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M 为AD 中点，∴MF ∥BD ，∵BD ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ，∴MF ∥平面BDE ． ∵N 为BC 中点，∴NF ∥AC ，又D 、E 分别为AP 、PC 的中点，∴DE ∥AC ，则NF ∥DE ． ∵DE ⊂平面BDE ，NF ⊄平面BDE ，∴NF ∥平面BDE ． 又MF ∩NF =F ．∴平面MFN ∥平面BDE ，则MN ∥平面BDE ； （2）解：∵PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90°．∴以A 为原点，分别以AB 、AC 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． ∵PA =AC =4，AB =2，∴A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），M （0，0，1），N （1，2，0），E （0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z =2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME 的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos ＜，＞==．∴二面角CEMN 的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y 2=﹣x 与直线l ：y =k （x +1）相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB 的面积等于，求直线l 的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系求出A ，B 两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解； （2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k ≠0，∴，联立y 2=﹣x 得：ky 2+y ﹣k =0显然：△＞0， ∴，∴=（﹣y 12）（﹣y 22）+y 1y 2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S △OAB =×1×|y 1﹣y 2|===，解得：k =±，∴直线l 的方程为：2x +3y +2=0或2x ﹣3y +2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C 的渐进线方程．（Ⅱ）当a =1时，已知直线x ﹣y +m =0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上，求m 的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c 2=3a 2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a =1时，双曲线C 的方程为x 2﹣．设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m 即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的．由此能求出四边形OACB的面积最小值．距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，．…（9分）所以四边形OACB的面积等于2S△AOB因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为：=1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

石家庄二中2018——2019学年第二学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B ⋂=ð（ ） A. {|20}x x -≤< B. 1{|2}2x x -≤< C. 1{|0}2x x ≤< D. {|03}x x ≤<【答案】B 【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x UB y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<Q ð， 所以()U A B ⋂=ð 1{|2}2x x -≤<． 考点：集合的交集、补集运算． 2.复数4212ii+-+的虚部为（）A. 2B. 2-C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i+=--+，即可得到复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()42124210=21212125i i i ii i i i +--+-==--+-+--， 所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A. 00x ∃≤，使得20010x x ++≤B. 0x ∀≤，使得210x x ++>.C. 0x >，使得210x x ++>D. 00x ∃>，使得20010x x ++≤【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，使得20010x x ++≤”故选D ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D.13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()()p q ⌝∧⌝ D. ()p q ∧⌝【答案】B 【解析】试题分析：命题p 为假命题,比如12>-,但221(2)<-,命题q 为真命题,不等式2230x x +-≤的解为31x -≤≤,所以131x x ≤≠>-≤≤,而311x x -≤≤⇒≤,所以“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件,由命题,p q 的真假情况,得出()p q ⌝∧为真命题,选B.考点：命题真假的判断.【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题p ,为假命题,容易判断,对于命题q ,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则p 是q 的充分不必要条件,若,q p p p ⇒≠>,则p 是q 的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出()p q ⌝∧为真命题.7.设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（）A. ()f x 在区间[]3,2--单调递减B. ()f x 在区间[]2,1--单调递增 C. ()f x 在区间[]3,4单调递减 D. ()f x 在区间[]1,2单调递增【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数， 由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确； 由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+， 所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】 【分析】 根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.函数22xy x =-的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B 、C ； 因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A10.已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（） A. 32t >B. 32t <C. 12t >D. 12t <【答案】A 【解析】 【分析】由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为12t t -<-，即可求解．【详解】由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数，又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数， 因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-， 所以12t t -<-，解得32t >，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为,,,αβγ那么,,,αβγ的大小关系是 （ ） A. αβγ>>B. βγα>>C. γαβ>>D.γβα>>【答案】D 【解析】【详解】由已知得到：()1()1g x g x α'==⇒=， 对于函数h （x ）=lnx ，由于h′（x ）= 1x令1()ln r x x x=-，可知r （1）＜0，r （2）＞0，故1＜β＜2 ()sin cos cos sin 0x x x x x ϕ=-=⇒'+=，且3[,]24x x πππγβγβα∈⇒==>⇒>>，选D.12.设函数()()2ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A. 4ln 214+⎛⎤+ ⎥⎝⎦B. 4ln 214+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C. 6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦ D. 6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案．【详解】由题意，函数()()2ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，不等式()0f x >，即()2ln 20x ax a x --->，即()2ln 2x ax a x >+-，两边除以x ，可得ln (1)2xa x x>+-， 又由直线(1)2y a x =+-恒过定点(1,2)--， 若不等式()0f x >恰有两个整数解， 即函数ln xy x=图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x =+-的上方， 由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f >≤，即()()ln 24220ln 39220a a a a ⎧--->⎪⎨---≤⎪⎩，解得6ln 34ln 2126a ++≤<，即实数a 的取值范围是6ln34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题：（每小题5分，共20分）13.121(1)2x x dx -⎰= . 【答案】14π+ 【解析】21x -221x y +=（y≥0），∴12(1)x dx -⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以1201(1)2x x dx -⎰=12(1)x dx -⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+.考点：定积分.14.若函数()1,03,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则不等式()13f x ≥的解集为______________.【答案】{}|13x x -≤≤ 【解析】 【分析】分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】由题意，当0x >时，令113x ≥，解得03x <≤，当0x ≤时，令133x ≥，解得10x -≤≤，所以不等式()13f x ≥的解集为{}|13x x -≤≤． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.【答案】75【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解． 【详解】由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=， 则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=， 又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.已知函数()22f x x x a =++，()1g x x=-，若存在两切点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，()120,0x x <>，使得直线AB 与函数()y f x =和()y g x =的图象均相切，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数求得点B 处的切线方程212y x t t =-，联立方程组，根据判别式0∆=，令1m t=，得4211122424a m m m =--+，构造新函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，点B 在函数()1g x x =-的图象上，令2x t =，则点1(,)B t t-， 又由()21g x x '=，则()21g t t'=， 所以切线方程211()y x t t t +=-，即212y x t t=-，联立方程组()22122y x t t f x x x a⎧=-⎪⎨⎪=++⎩ ，整理得2212(1)20x x a t t +-++=，则2212(1)4(2)0a t t∆=--+=， 令1m t =，整理得4211122424a m m m =--+，且1(0,1)m t=∈， 构造函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，则()32h x x x '=--，()231h x x ''=-，可得当(0,3x ∈时，()0h x ''<，函数()h x '单调递减，当3x ∈时，()0h x ''>，函数()h x '单调递增，所以()320h x h ''≥=<， 即()0h x '<在(0,1)上恒成立，所以函数()h x 在(0,1)单调递减，又由()()11110,1224424h h ==--+=-， 所以1224a -<<，解得118a -<<．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．三、解答题：（70分）17.已知直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;（Ⅱ）若过()0,2M 且与直线l 垂直的直线l '与曲线C 相交于两点A ，B ，求MA MB ⋅.【答案】（Ⅰ）10x y +-=，22143x y +=（Ⅱ）87【解析】 【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求得直线l '的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解． 【详解】（Ⅰ）由直线l极坐标方程sin sin cos 4222πρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l 直角坐标方程：10x y +-=，由曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则22()12x +=， 整理得22143x y +=，即椭圆普通方程为22143x y +=．（Ⅱ）直线l '的参数方程为cos ,42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即,222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）把直线l '的参数方程,222x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22143x y +=得：2780t -+=，故可设1t ，2t是上述方程的两个实根，则有1212,787t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又直线l '过点()0,2C -，故由上式及t 的几何意义得：1287CA CB t t ⋅==. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--， （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集； （Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t ≤≤. 【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤. 试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<-当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<<当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥ 综上所述263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或. （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤. 考点：不等式选讲．【此处有视频，请去附件查看】19.已知函数()()4log 41xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.（1）求k 的值;（2）解不等式()1f x ≥.【答案】（1）12k =-（2）(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或 【解析】 【分析】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，根据对数的运算，即可求解； （2）由题()1f x ≥，根据对数的运算性质，得44210x x -⨯+≥，令20x t =>，转化为2410t t -+≥，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解．【详解】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-， 所以()()44log 41log 41xxkx kx -+==+-恒成立，化简得4log 42xkx =-，即2x kx =-，解得12k =-． （2）由题()1f x ≥，即()41log 4112xx +-≥，整理得44210x x -⨯+≥，令20x t =>得2410t t -+≥，解得02t <≤2t ≥+从而22x ≤或22x ≥，解得(2log 2x ≤-或(2log 2x ≥+，原不等式解集为(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20.已知函数()()22xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程.（2）当2x ≤时，求函数()y f x =的零点个数;【答案】（1）2y x =-（2）函数()y f x =零点个数为两个 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线()y f x =在原点处的切线方程； （2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．【详解】（1）由题意，函数()()22x f x x x e =-，则()()22x f x x e '=-，则()02f '=-，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-．（2）由（1）知()()22xf x x e '=-，令()0f x '=得x或x =从而函数()y f x =单调增区间为(,-∞，)+∞单调减区间为(，当x <()()220xf x x x e =->恒成立，所以在(,-∞上没有零点；当x <<时，函数在区间(单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >)+∞递增，且()20f =，存在唯一零点．综上，当2x ≤时，函数()y f x =零点个数为两个.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4a =（2）132a e e≤+- 【解析】 【分析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解；（2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x≤++，构造函数()()32ln 0h x x x x x=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩，解得014x a =⎧⎨=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x +-'=+-=， 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，此时()h x 单调递减; 当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增.存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以132a e e≤+-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的极值;（2）当0x e <<时，证明：()()f e x f e x +>-;（3）设函数()f x 的图象与直线y m =的两个交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<. 【答案】（1）()f x 取得极大值1e，没有极小值（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由()()f e x f e x +>-，整理得整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可求解．（3）不妨设12x x <，由（1）和由（2），得()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用单调性，即可作出证明． 【详解】（1）由题意，函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，()f x 取得极大值1e，没有极小值; （2）由()()f e x f e x +>-得()()ln ln x e e x x e e x+->+- 整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-， 则()()()()2222222222224ln 2ln 0e x x F x e x e x e x e x +⎡⎤'=--=--+>⎣⎦--， 所以()F x 在()0,e 上单调递增，所以()()00F x F >=，即()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 从而有()()f e x f e x +>-．（3）证明：不妨设12x x <，由（1）知120x e x <<<，则120e x e x <-<<， 由（2）知()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 由()f x 在(),e +∞上单调递减，所以()12e e x x +-<，即122x x e +>， 则1202x x x e +=>，所以()00f x '<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

石家庄二中2018-2019学年第一学期期末试卷高三数学理科模拟试题一、选择题：本题共12小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足26z z i （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】设,z a bi a bR ，代入26z z i ，得26a bia bii ，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．【详解】解：设,z a bi a bR ，由26z z i ，得26a bi a bi i ，即36a bii ，361a b ，解得2a，1b．复数z 在复平面内所对应的点的坐标为2,1，位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知全集11{|0}1{|21}8xU xR xMx Nx x，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A. {|31}x xB. {|30}x xC. {|10}x xD. {|10}x x【答案】C 【解析】【分析】由题意可得{|10}M x x x 或，{|30}Nx x，由文氏图可得题中表示的集合为U C MN ，据此可得图中阴影部分表示的集合.【详解】求解分式不等式11x可得{|10}Mx xx 或，求解指数不等式1218x可得{|30}Nx x，由文氏图可得题中表示的集合为U C MN ，易知{|10}U C Mx x，故{|10}U C MNx x.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的基本运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若0,141a a a k ，则k=（）A. 10 B. 7C. 4D. 3【答案】A 【解析】【分析】由等差数列的性质可得70a ，然后再次利用等差数列的性质确定k 的值即可.【详解】由等差数列的性质可知：9579468750S S a a a a a a ,故7a ，则410720a a a ，结合题意可知：10k.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.4.某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（）A.103 B.35 C.45D.CFBC【答案】D 【解析】【分析】已知随机选派2人参加围棋比赛的方法有25C种，而选出的2人中没有女队员的方法有23C 种，据此可得满足题意的概率值.【详解】由题意结合排列组合公式可得随机选派2人参加围棋比赛的方法有25C 种，而选出的2人中没有女队员的方法有23C 种，结合古典概型计算公式可得：选出的2人中有女队员的概率为22532510371010CCPC.本题选择D 选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5.双曲线222x mym 的右焦点到一条渐近线的距离为（）A. 2B.2C. 1D. 与m 的值有关【答案】C 【解析】。