2020年河北省石家庄二中高考数学0.5模数学试卷(理科)

石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。

2020年河北省石家庄市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|y =log 2(x −2)}，则集合A ∩B =( )A. {x|−1≤x <2}B. {x|2<x ≤3}C. {x|1<x ≤3}D. {x|x >2}2. 命题P ：“∀x ∈(−∞,0)，2x ≥3x ”的否定形式￢p 为( )A. ∃x 0∈(−∞,0),2x 0<3x 0B. ∃x 0∈(−∞,0),2x 0≤3x 0C. ∀x ∈(−∞,0)，2x <3xD. ∀x ∈(−∞,0)，2x ≤3x3. 已知i 是虚数单位，且z =1−i i，则z 的共轭复数z −在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知a =0.30.2，b =50.3，c =log 0.25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a5. 要得到y =sin(2x −π3)的图象，只要将y =sin2x 的图象( )A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位6. 已知实数x ，y 满足不等式{x −y +2≥02x +y −5≤0y ≥1，则z =yx+3的最大值为( )A. 35B. 45C. 34D. 327. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a +b)(sinA −sinB)=c(sinC +sinB)，b +c =4，则△ABC 的面积的最大值为( )A. 12B. √32C. 1D. √38. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2−4x +2=0所截得的弦长为2.则双曲线C 的离心率为( )A. √3B. 2√33C. √5D. 2√559. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( )A. −1B. 5C. −3+√5D. 3+√510. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 309111. 已知函数f(x)对于任意x ∈R ，均满足f(x)=f(2−x)，当x ≤1时，f(x)={lnx,0<x ≤1e x ,x ≤0，(其中e 为自然对数的底数)，若函数g(x)=m|x|−2−f(x)，下列有关函数g(x)的零点个数问题中正确的为( )A. 若g(x)恰有两个零点，则m <0B. 若g(x)恰有三个零点，则32<m <e C. 若g(x)恰有四个零点，则0<m <1 D. 不存在m ，使得g(x)恰有四个零点12. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，P 3(x 3,y 3)为抛物线C 上的三个动点，其中x 1<x 2<x 3且y 2<0，若F 为△P 1P 2P 3的重心，记△P 1P 2P 3三边P 1P 2，P 1P 3，P 2P 3的中点到抛物线C 的准线的距离分别为d 1，d 2，d 3，且满足d 1+d 3=2d 2，则P 1P 3所在直线的斜率为( )A. 1B. 32C. 2D. 313. 在平面直角坐标系中，角α的终边经过点P(−1,2)，则sinα=______． 14. 二项式展开式(√x +1x )6中的常数项是______．15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB =2AP =4，∠PAB =∠PAD =60°，则∠PAC = (1) ；四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为 (2) ．16. 2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”.武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率均为p(0<p<1)且相互独立，若当p=p0时，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大值，则p0=______．17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6=9，S6=21．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设a nb n =(12)n，求数列{b n}的前n项和．18.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC=4，D，E分别是AC，AB边上的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C=A1D，如图2．(Ⅰ)求证：平面A1CD⊥平面A1BC；(Ⅱ)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值．19. 已知点A(2,0)，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，F 和B 分别是椭圆C 的左焦点和上顶点，且△ABF 的面积为32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，当OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13时，求直线1的方程．20. 某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为a(mm)，b(mm)，标准长分别为a −(mm),b −(mm)，则“口径误差”为|a −a −|+|b −b −|，只要“口径误差”不超过0.2min 就认为合格，已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取40件作为样本，经检测其中昼批次的40个样本中有4个不合格品，夜批次的40个样本中有10个不合格品．(I)以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，求其中恰有1件不合格产品的概率；(II)若每批次各生产1000件，已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为2.5元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失25元．以上述样本的频率作为概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？21. 已知函数f(x)=e x +e −x +(2−b)x ，g(x)=ax 2+b(a,b ∈R)，若y =g(x)在x =1处的切线为y =2x +1+f′(0)． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)若不等式f(x)≥kg(x)−2k +2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围； (Ⅲ)设θ1,θ2,…,θn ∈(0,π2)，其中n ≥2，n ∈N ∗，证明：f(sinθ1)⋅f(cosθn )+f(sinθ2)⋅f(cosθn−1)+⋯+f(sinθn−1)⋅f(cosθ2)+f(sinθn )⋅f(cosθ1)>6n ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t (t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =1cosϕ,y =√2tanφ(φ为参数)，曲线C 1，C 2交于A 、B 两点．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的普通方程； (Ⅱ)已知P 点的直角坐标为(√33,−23)，求|PA|⋅|PB|的值．23. 函数f(x)=|2x −1|+|x +2|．(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)若f(x)的最小值为M ，a +2b =2M(a >0,b >0)，求证：1a+1+12b+1≥47．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|y=log2(x−2)}={x|x>2}，∴集合A∩B={x|2<x≤3}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：：“∀x∈(−∞,0)，2x≥3x”的否定形式￢p为：∃x0∈(−∞,0)，2x0<3x0．故选：A．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是对基本知识的考查．3.【答案】B=−(1−i)⋅i=−1−i，∴z−=−1+i，【解析】解：z=1−ii∴z的共轭复数z−在复平面内对应的点为(−1,1)，位于第二象限．故选：B．先化简z，然后求出其共轭复数，再确定其共轭复数对应的点所在象限．本题考查了复数的运算和几何意义，属基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0<0.30.2<0.30=1，∴0<a<1，∵50.3>50=1，∴b>1，∵log0.25<log0.21=0，∴c<0，∴c<a<b，故选：C．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】【分析】由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．【解答】解：将y=sin2x向右平移π6个单位得：y=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)，故选：D．6.【答案】C【解析】解：如图，阴影部分为可行域，目标函数z=yx+3，表示可行域中点(x,y)与(−3,0)连线的斜率，由图可知点P(1,3)与(−3,0)连线的斜率最大，故z的最大值为34，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论．本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域以及转化为斜率是解决本题的关键．【解析】解：∵(a+b)(sinA−sinB)=c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)=c(c+b)，整理可得：b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3，∵b+c=4，∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√34⋅(b+c2)2=√3，当且仅当b=c时等号成立，即△ABC的面积的最大值为√3．故选：D．由正弦定理化简已知等式b2+c2−a2=−bc，利用余弦定理可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A=2π3，利用基本不等式，三角形的面积公式即可求解△ABC的面积的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x2+y2−4x+2=0即为(x−2)2+y2=2的圆心(2,0)，半径为√2，双曲线的一条渐近线被圆x2+y2−4x+2=0所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√a2+b2，4b2c2=4c2−a2c2=1，解得：e=ca =2√33，故选：B．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．【解析】解：因为在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，故|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，设C 到BD 的距离为d ，则有d =√5=2√55， 故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 其中AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 当且仅当CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时，等号成立， 故选：A ．先根据条件求得C 到BD 的距离为d ，再把所求转化为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.【答案】D【解析】解：已知数列{a n }满足：a 1=1， 由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a2n−1−1a2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091，故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．11.【答案】B【解析】解：根据f(x)=f(2−x)知f(x)关于x=1对称，作出函数ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)的图象如图：设ℎ(x)与y=lnx(x≤1)相切时的切点为P(x0,lnx0)，则1x0=lnx0+2x0，解得x0=1e，此时m=1x=e，当ℎ(x)过点(2,1)时，m=32，故B选项正确；若g(x)恰有2个零点，则m<0或m=e，故A错误；若g(x)恰有4个零点，则0<m≤32，故C、D选项错误；故选：B．由知f(x)关于x=1对称，再将函数g(x)的零点个数问题转化为ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)的图象的焦点个数问题，利用函数ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)相切时的m的值可解决．本题考查了由函数零点个数求参数，考查了函数的零点的个数转化为函数图象的交点个数，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线与抛物线的综合，还有三角形的重心坐标公式，属于基础题．先利用题设条件找到P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)的坐标之间的关系式，再利用重心坐标公式，求出x2与y2，从而得到P1P3所在直线的斜率．【解析】解：由题设知F(2,0)，∵P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)为抛物线C上的三个动点，∴{ x 1=y 128x 2=y 228x 3=y 328，又F 为△P 1P 2P 3的重心，∴x 1+x 2+x 3=6，y 1+y 2+y 3=0．∵△P 1P 2P 3三边P 1P 2，P 1P 3，P 2P 3的中点到抛物线C 的准线的距离分别为d 1=x 1+x 22+1，d 2=x 1+x 32+1，d 3=x 2+x 32+1，且满足d 1+d 3=2d 2，∴x 1+x 3=2x 2.∴x 2=2， 又y 2<0，∴y 2=−4，∴P 1P 3所在直线的斜率k =y 3−y 1x 3−x 1=8y3+y 1=8−y 2=2．故选：C ．13.【答案】2√55【解析】解：角α的终边经过点P(−1,2)，即x =−2，y =2，则r =√(−1)2+22=√5， ∴sinα=y r=√5=2√55， 故答案为：2√55． 由题意可得x =−1，y =2，求出r ，利用任意角的三角函数的定义，直接求出sinα． 本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键．14.【答案】15【解析】解：展开式的通项为：T r+1=C 6r(√x)6−r⋅(1x )r=C 6r x6−3r2令6−3r =0得r =2所以展开式的常数项为C 62=15．故答案为：15．求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项，求出展开式的常数项．求展开式的特定项问题常利用二项展开式的通项公式来解决．15.【答案】45°40π【解析】解：①过点P 作PE ⊥AC ，作EF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，连接PF ，则PF ⊥AB ． 在Rt △AFP 中，AP =2，∠PAB =60°，∴AF =1=EF ，∴AE =√2，∴cos∠PAC =AEAP =√22，可得∠APC =45°．②分别以OA ，OB 为x ，y 轴，过点O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系． 设四棱锥P −ABCD 的外接球的球心为G ，半径为R ． 可设G(0,0,t).A(2√2,0,0)，P(√2,0,√2).∵|GA|=|GP|，∴√(2√2)2+t 2=√(√2)2+(√2−t)2， 解得：t =−√2．∴R 2=(2√2)2+(−√2)2=10．∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积=4πR 2=40π． 故答案为：45°，40π．①过点P 作PE ⊥AC ，作EF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，连接PF ，可得PF ⊥AB.在Rt △AFP 中，AP =2，∠PAB =60°，可得AF =1=EF ，AE =√2，在Rt △PAE 中求出即可得出．②分别以OA ，OB 为x ，y 轴，过点O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系．设四棱锥P −ABCD 的外接球的球心为G ，半径为R.可设G(0,0,t).根据|GA|=|GP ，即可解出t ，即可得出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积．本题考查了四棱锥、正方体与直角三角形的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】5−√155【解析】解：根据相互独立事件同时发生的概率公式得： f(p)=(1−p)3p +(1−p)4p ，∴f′(p)=−3(1−p)2p +(1−p)3−4(1−p)3p +(1−p)4=(1−p)2(5p 2−10p +2) =(1−p)(p −5−√155)(p −5+√155)，∵0≤p ≤1，当p =p 0时，f(p)最大， ∴p 0=5−√155．故答案为：5−√155．根据相互独立事件同时发生的概率公式得f(p)=(1−p)3p +(1−p)4p ，f′(p)=(1−p)(p −5−√155)(p −5+√155)，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(I)设公差为d ，由a 3+a 6=9，S 6=21，得{2a 1+7d =96a 1+15d =21，得a 1=1，d =1， 故数列{a n }的通项公式为a n =n ；(II)根据(I)，由a nb n=(12)n ，得b n =n ⋅2n ，数列{b n }的前n 项和S n =1⋅21+2⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n ， 两边乘以2得，2S n =1⋅22+2⋅23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2(n +1)， 作差化简得，S n =(n −1)⋅2(n +1)+2，故数列{b n }的前n 项和为S n =(n −1)⋅2(n +1)+2．【解析】(I)设公差为d ，由a 3+a 6=9，S 6=21，联立解方程组，求出首项和公差，再求出数列{a n }的通项公式；(II)结合(I)，由a nb n=(12)n ，得b n =n ⋅2n ，再利用错位相消法求出数列{b n }的前n 项和．本题考查了等差数列性质，求通项公式，利用错位相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =AC =4，D ，E 分别是AC ，AB 边上的中点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，DE//BC ，∵A 1D ∩DC =D ，∴BC ⊥平面A 1DC ， ∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1CD ⊥平面A 1BC ．(Ⅱ)解：∵A 1C =A 1D ，∴△A 1CD 是边长为2的等边三角形， 取CD 中点O ，连结A 1O ，以O 为原点，OC 为x 轴，在平面BCDE 内过O 人生CD 的垂线为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1(0,0,√3)，C(1,0,0)，B(1,4,0)，E(−1,2,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,−√3)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√3)， 设平面A 1BE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +4y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y −√3z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)， 设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ， 则直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为：sinθ=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√55．【解析】(Ⅰ)推导出DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，DE//BC ，从而BC ⊥平面A 1DC ，由此能证明平面A 1CD ⊥平面A 1BC ．(Ⅱ)取CD 中点O ，连结A 1O ，以O 为原点，OC 为x 轴，在平面BCDE 内过O 人生CD 的垂线为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得e =c a =√22，F(−c,0)，B(0,b)，A(2,0)，可得 12(2+c)b =32，即b(2+c)=3，又a 2−b 2=c 2，解得a =√2，b =c =1， 则椭圆的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)设过点A 的直线l 的方程设为x =my +2，联立椭圆方程x 2+2y 2=2，可得(2+m 2)y 2+4my +2=0，△=16m 2−4×2(2+m 2)=8m 2−16>0，即m 2>2，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=−4m2+m 2，y 1y 2=22+m 2，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，即x 1x 2+y 1y 2=(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=13，即有(m 2+1)⋅22+m 2+2m(−4m2+m 2)+4=13，化为m 2=4>2， 则m =±2，可得直线l 的方程为x −2y −2=0或x +2y −2=0．【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 的方程设为x =my +2，联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得m ，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，同时考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(I)以样本的频率作为概率，则昼批次产品的不合格率为440=110，夜批次产品的不合格率为1040=14，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，恰有1件不合格产品，分2种情况：不合格产品在昼批次中，概率为P 1=C 21⋅110⋅910×C 22⋅(34)2=81800， 不合格产品在夜批次中，概率为P 2=C 22⋅(910)2×C 21⋅14⋅34=243800， 故所求的概率为P =P 1+P 2=81200．(II)这批产品中合格品的利润为(1000×910+1000×34)×5=16500，若不检验，则总利润为W 1=16500−(1000×110+1000×14)×25−10000=−2250， 若检验，则总利润为W 2=16500−2000×(5+2.5)=1500， ∴W 2>W 1，故需要对每个批次的所有产品作检测．【解析】(I)先求出昼夜两批次产品各自的不合格率，再分2种情况，并结合相互独立事件的概率求解即可；(II)先求出昼夜两批次各1000件产品中合格品的利润，再分不检验和检验2种情形，分别求出相应的总利润，比较大小后，即可得解．本题考查相互独立事件的概率、数学期望的实际应用，考查学生将理论知识与实际生活相联系的能力和运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)由f′(x)=e x −e −x +2−b ，得f′(0)=2−b ，由g′(x)=2ax ，得g′(1)=2a ，根据题意可得{2a =2g(1)=a +b =2+1+2−b ，解得{a =1b =2；(Ⅱ)由不等式f(x)≥kg(x)−2k +2对任意x ∈R 恒成立知，e x +e −x −kx 2−2≥0恒成立，令F(x)=e x +e −x −kx 2−2，显然F(x)为偶函数，故当x ≥0时，F(x)≥0恒成立， F′(x)=e x −e −x −2kx ，令ℎ(x)=e x −e −x −2kx(x ≥0)，则ℎ′(x)=e x +e −x −2k ， 令H(x)=e x +e −x −2k(x ≥0)，则H′(x)=e x −e −x ，显然H′(x)为(0,+∞)上的增函数， 故H ′(x)≥H′(0)=0，即H(x)在(0,+∞)上为增函数，H(0)=2−2k ，①当H(0)=2−2k ≥0，即k ≤1时，H(x)≥0，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增， 故ℎ(x)≥ℎ(0)=0，则F(x)在(0,+∞)上为增函数，故F (x)≥F(0)=0，符合题意； ②当H(0)=2−2k <0，即k >1时，由于H(ln(2k))=12k >0，故存在x 1∈(0,ln(2k))，使得H(x 1)=0，故ℎ(x)在(0,x 1)单调递减，在(x 1,+∞)单调递增，当x ∈(0,x 1)时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，故F (x)在在(0,x 1)单调递减，故F (x)<F(0)=0，不合题意． 综上，k ≤1；(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，f(x 1)f(x 2)≥(x 12+2)(x 22+2)=x 12x 22+2x 12+2x 22+4≥2x 12+2x 22+4，当且仅当x 1=x 2=0时等号同时成立，故f(sinθ1)f(cosθn )>2sin 2θ1+2cos 2θn +4， f(sinθ2)f(cosθn−1)>2sin 2θ2+2cos 2θn−1+4，……， f(sinθn )f(cosθ1)>2sin 2θn +2cos 2θ1+4，以上n 个式子相加得，f(sinθ1)⋅f(cosθn )+f(sinθ2)⋅f(cosθn−1)+⋯+f(sinθn−1)⋅f(cosθ2)+f(sinθn )⋅f(cosθ1)>6n ．【解析】(Ⅰ)f′(0)=2−b ，g′(1)=2a ，再结合题意，建立关于a ，b 的方程组，解方程即可得解；(Ⅱ)依题意，e x +e −x −kx 2−2≥0恒成立，令F(x)=e x +e −x −kx 2−2，由于F(x)为偶函数，故只需当x ≥0时，F(x)≥0恒成立，对函数F(x)求导后，利用导数分类讨论即可得出结论；(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x 1)f(x 2)≥2x 12+2x 22+4，由此可得f(sinθ1)f(cosθn )>2sin 2θ1+2cos 2θn +4，f(sinθ2)f(cosθn−1)>2sin 2θ2+2cos 2θn−1+4，……，f(sinθn )f(cosθ1)>2sin 2θn +2cos 2θ1+4，再累加即可得证．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式的恒成立问题，考查推理论证能力，运算求解能力，考查分类与整合思想，化归与转化思想等，属于较难题目．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t(t 为参数)，转换为直角坐标方程为√3x −y −53=0，转换为极坐标方程为ρ=56cos(θ+π6)．曲线C 2的参数方程为{x =1cosϕ,y =√2tanφ(φ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2−y 22=1．(Ⅱ)把曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t(t 为参数)，代入x 2−y 22=1，得到：t 22+83t −169=0，所以|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=|−16912|=89．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)={−3x −1,x <−2−x +3,−2≤x ≤123x +1,x >12，易知，当x =12时，函数f(x)取得最小值，且最小值为f(12)=52； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，M =52，则a +2b =5， ∴(a +1)+(2b +1)=7，∴1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)](1a+1+12b+1)=17(2+a+12b+1+2b+1a+1)≥17(2+2√a+12b+1⋅2b+1a+1)=47，当且仅当{a+12b+1=2b+1a+1a+2b=5，即a=52,b=54时取等号．【解析】(Ⅰ)将函数化为分段函数的形式，利用函数的性质即可求得最小值；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知(a+1)+(2b+1)=7，再利用基本不等式即可得证．本题考查含绝对值的函数最值求法，考查基本不等式的运用，考查推理能力及运算能力，属于基础题．。

2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 .2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 写在本试卷上无效 .3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 .4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .第 I 卷( 选择题 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合A. B.M={5， 6， 7 }C.， N={5， 7， 8 }D.，则2.若 F(5 ，0) 是双曲线(m 是常数）的一个焦点，则 m的值为3.已知函数 f(x) ，g(x) 分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44.的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605.的值为A. 1B.C.D.6.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要的条件7.—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8.从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059.程序框图如右图，若输出的 s 值为位，则 n 的值为A. 3B. 4C. 5D. 610.已知a是实数，则函数_的图象不可能是11.已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线 l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域的概率为 P. 则下列结论正确的是A. 不论边长 AB， CD如何变化， P 为定值；B.若- 的值越大， P 越大；C. 当且仅当 AB=CD时， P 最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.M12.设不等式组表示的平面区域为D n a n表示区域 D n中整点的个数 ( 其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第 II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题? 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题?第 24 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.复数（i为虚数单位 ) 是纯虚数，则实数 a 的值为 _________.14.在ABC 中，，，则 BC 的长度为 ________.15.己知 F1 F 2是椭圆（ a>b>0) 的两个焦点，若椭圆上存在一点P 使得，则椭圆的离心率 e 的取值范围为 ________.16.在平行四边形 ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中 ABCD-A 1 B1 C1 D1中有=________三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.( 本小题满分 12 分）已知 S n是等比数列 {a n} 的前 n 项和， S4、S10、S7成等差数列 .(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18.( 本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出 . 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过 a 的部分按照平价收费，超过 a的部分按照议价收费）. 为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 ( 单位 :t) ，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准 &则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III) 若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量 ( 看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II) 中最低标准的人数为x，求x 的分布列和均值 .19.( 本小题满分 12 分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1交于AB=1，， D 为AA1中点， BD与点0，C0丄侧面 ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20.( 本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1 ，定点 F(0 ，1) ，过平面内动点 P 作 PQ丄 l 于 Q点，且?(I )求动点P的轨迹E的方程；P 的纵坐标(II)过点P作圆的两条切线，分别交x 轴于点 B、 C，当点y0>4 时，试用 y0表示线段 BC的长，并求PBC面积的最小值 .21.( 本小题满分 12 分）已知函数( A, B R， e 为自然对数的底数），.(I )当 b=2 时，若存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(II)当a>0时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过C1于点，求证.线段PQ的中点作 x 轴的垂线交请考生在第 22? 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.( 本小题满分 10 分) 选修 4-1 几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交 CE 于 D 点，，BE2=DE-EC.( I ) 求证 :；( I I ) 求证： A、E、B、 C 四点共圆 .23.( 本小题满分 10 分) 选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为：（为参数）；射线C2的极坐标方程为：, 且射线 C2与曲线 C1的交点的横坐标为(I )求曲线C1的普通方程；(II)设 A、 B为曲线 C1与 y 轴的两个交点， M为曲线 C1上不同于 A、 B 的任意一点，若直线 AM与 MB分别与 x 轴交于 P,Q 两点，求证 |OP|.|OQ| 为定值 .24.( 本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲设函数(I) 画出函数(II)若不等式，的图象；恒成立，求实数 a 的取值范围.2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科答案 )一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.114. 1 或 215.1,116. 24( AB 2AD 2AA12 ) .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ） 当 q 1 ， 2S 10 S 4 S 7所以 q1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..2 分2a 1 1 q 10a (1 q 4 ) a 1 1 q 7由2S 10S 4 S 7 , 得11 q1 q 1 qQ a 10, q 1 2q 10q 4 q 7， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .4 分2a 1 q 8 a 1q 2 a 1q 5 ，2a 9a 3 a 6 ，所以 a 3, a 9, a 6 成等差数列 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( Ⅱ ) 依 意 数列a n 3的前 n 的 T n ,T n = a 13 a 23 a 33 K a n 313 q 3 ( q 2 )3 K ( q n 1 )3 = q 3 (q 3 )2 K (q 3 )n 1 (q 3 )1 2 3K (n 1) =( q 3)n(n 1)2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又由（Ⅰ）得 2q 10q 4 q 7 ，2q6q31 0 ，解得 q31(舍）,q31. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分21n n 12所以 T n2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .12 分18. 解: （Ⅰ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（Ⅱ）月均用水量的最低 准 定 2.5 吨 . 本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位，占 本 体的 20%，由 本估 体，要保 80%的居民每月的用水量不 超 出 准 ， 月 均 用 水 量 的 最 低 准 定 2.5 吨 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅲ）依 意可知, 居民月均用水量不超 （Ⅱ）中最低 准的概率是4，X ~ B(3, 4) ，55P( X 0) (1)31 P( X 1) C 314 (1) 2 12 5 1255 5125P( X 2) C 32 (4 )2( 1 ) 48 P( X 3) ( 4 )364⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5 51255125分布列X0 12 3 P1 12 48 64125 125125 125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分E( X ) 3412⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5519. 解：（Ⅰ）因 ABB 1A 1 是矩形，D AA 1 中点， AB1 ， AA 12 ，AD 2 ,2所 以 在 直 角 三 角 形 ABB 1中 , tan AB 1 BAB 2BB 1 ,2 在 直 角三 角 形 ABD 中 , tan ABDAD 2AB 1 2 ,所以 AB 1 B = ABD ,又 BAB 1AB 1 B 90o ，BAB 1ABD90o ，所以在直角三角形 ABO 中，故 BOA 90o ，即 BDAB 1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分又因 CO 侧面 ABB 1 A 1 ， AB 1 侧面 ABB 1 A 1 , 所以 CO AB 1 所以， AB 1面 BCD , BC 面 BCD ,故 BC AB 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ） 解法一：如 ，由（Ⅰ）可知，OA, OB, OC 两两垂直，分 以 OA, OB, OC x 、 y 、 z 建立空 直角坐 系 O xyz .在RtVABD中 ， 可求得OB6, OD6 , OC OA3 ，363在 RtVABB 1 中，可求得 OB 12 3 ，3故D 0,6,0 , B 0,6,0, C 0,0,3 ,633B 12 3,0,03uuur6,0 uuur6 , 3uuur 2 3 , 6,0所以 BD0,, BC0, , BB 123 333uuuur uuur uuur 2 3 , 2 6 , 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 可得， BC 1 BC BB 13 3 3uuur uuuur平面 BDC 1 的法向量 mx, y, z ， m BD0,m BC 1 0 ，23 x 2 6 y3z 0即333，取 x 1, y0, z 2 ，6y 02m 1,0,2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又 面 BCD n 1,0,0 ， 故 cos m, n15 ，55所以，二面角C 1BD C 的余弦5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 5解法二： 接 CB 1 交 C 1B 于 E , 接 OE ，因CO侧面 ABB1 A1，所以BD OC ，又BD AB1，所以BD面 COB1，故BD OE所以EOC 二面角C1BD C 的平面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分BD6， AB13， AD AO1， OB12AB12 3 , 2BB1OB1233OC OA 1AB13，33在 RtVCOB1中， B1C OC 2OB121415，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分333又EOC OCE cos EOC OC 5 ，CB15故二面角 C1 BD C 的余弦 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分520.解：（Ⅰ） P x, y ， Q x, 1 ，uuur uuur uuur uuur∵QPgQF FP gFQ ，∴ 0, y 1 g x,2x, y 1 g x, 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分即 2 y 1x2 2 y 1 ，即x2 4 y ，所以点 P 的迹 E 的方程x2 4 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）解法一： P (x0 , y0 ), B(b,0), C(c,0)，不妨 b c ．直 PB 的方程:y y0( x b) ，化得y0 x( x0b) y y0 b0 ．x0 b又心 (0, 2) 到 PB 的距离2，2( xb)y0b2，y02(x0b)2故 4[ y02( x0 b)2 ]4( x0b)24( x0b) y0 b y02b 2，易知 y0 4 ，上式化得( y0 4) b2 4 x0 b 4 y00 ，同理有 ( y04)c24x0c 4 y0 0 ．⋯⋯⋯⋯ 6 分所以b c4x0 ，bc 4 y0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分y04y0 4(b c)216(x2y2 4 y)．000( y04)2因 P (x0 , y0 ) 是抛物上的点，有 x02 4 y0，(b c)216y02，b c4y04．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分( y04)2y0所以 S PBC 1(b c)y0 2 y0y02[( y04)168] 2y04y044 16832 ．当 ( y04) 216 ，上式取等号，此x042, y0 8 ．因此 S PBC的最小32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分解法二： P(x0 , y0 ) ,y0x02， PB 、 PC 的斜率分k1、k2，4PB ：y x02k1 ( x x0 ) ，令 y0得x B x0x02，同理得 x C x0x02；44k14k2所以 | BC | | x B x C| |x02x02|x02|k1k2 | ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6分4k24k14k1 k2下面求 | k1k2 | ,k1 k22| k1 x0 2x02|由 (0, 2) 到PB ：y x0k1( x x0 ) 的距离2，得4 2 ，4k121因 y0 4 ，所以 x0216 ，化得 ( x024)k12x0(4x02)k1( x02)2x020 ，24同理得 ( x024)k22x0(4x02)k2( x02)2x020 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分24所以 k1、 k2是 ( x024) k 2x0(4x02) k( x02) 2x020 的两个根.24x 0 x 024)x 2)22 2 x 021)(2 ( 0 x 0x 0 (所以 k 1k 2,k 1k 2 416 ,x 024x 02 4x 024| k 1 k 2 |(k 1 k2 ) 24k 1k 2x 02， |k 1 k 2 |1，x 024k 1k 2x 02116| xx|x 02|k1k2 |x 02 1 y1 4 y 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分BC4k 1k 24 x 021y 0 1 y 0 4164所以 S PBC1| BC | y 02 y 0 y 0 2[( y 0 4)16 48]2y 0 4y 04 16832 ．当 ( y 0 4) 2 16 ，上式取等号，此 x 0 4 2, y 0 8 ．因此 S PBC 的最小 32． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21. 解 : （Ⅰ）当 b2 ，若 F (x)f ( x) g( x)ae 2 x 2e x x ，F (x) 2ae 2 x2e x 1 ，原命 等价于 F (x)2ae 2x2e x 1⋯0 在 R 上有解．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分法一：当 a ⋯0 ， 然成立；当 a0 ， F ( x)2ae 2x 2e x1 2a(e x1 )2 (1 1 )1 12a 2a∴ (10 ，即 a 0 ．)22a 合所述a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2法二：等价于 a1 ( 1)2 1 在 R 上有解，即2 e xe x∴ a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2，x 2x1（Ⅱ） P( x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) ，不妨 x 1x 2x 0 ，2ae2x2bex2x 2 ， ae2 x 1bex1x 1 ，两式相减得： a(e 2 x 2 e 2 x 1) b(e x 2e x 1 ) x 2 x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分整理得x 2 x 1x 2 x 1 a(e x 2e x 1)(e x 2e x 1)b(e x 2 e x 1 )⋯ a(e x 2e x 1 )g2e 2b(e x 2e x 1)x2x 2 x 1x 1⋯2ae 2b ，于是ex2ex1x 2x 1x 2 x 1xx 1x 2 x 1f ( x 0 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分e 2⋯2ae2 be 2xxe 2e 1x 2x 1x 2 x 1x 2x 1x 2 x 1而e2e2xe xx x1e21e 2 1tt令 txx 0 ， G (t)e 2 e 22 1ttttG (t ) 1 e 2 1 e 2 1 12e 2 e 22 2 2t ，1 0 ，∴y G (t) 在 (0,) 上 增，ttttG(t)e 2 e 2t G(0) 0 ，于是有 e 2e 2t ，t即 e t 1 te 2 ，且 e t1 0 ，t t∴e21，e t 1即 f ( x 0 ) 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分考生在第 22～ 24 三 中任 一 做答，如果多做， 按所做的第一 分22． 修 4-1几何 明明： ( Ⅰ) 依 意，DEBE ， 11 ，BEEC所以 DEB : BEC , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 得 3 4,因 4 5 ,所以 35 , 又 26 ，可得 EBD :( Ⅱ) 因ACD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分因 EBD : ACD ，所以EDBD , 即 ED AD , 又 ADECDB , ADE : CDB ,AD CD BD CD所以 48 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因 1231800 ，因 2 78 ，即 274 ，由 ( Ⅰ ) 知 35 ，所以1745 180 0 ,即 ACBAEB 1800 ,所以 A 、 E 、 B 、 C 四点共 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 23． 修 4-4 ：坐 系与参数方程2x2解： ( Ⅰ) 曲 C 1 的普通方程 2y 1 ，射 C 2 的直角坐 方程 yx( x 0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分可知它 的交点6 , 6 ，代入曲 C 1 的普通方程可求得 a 2 2 .3 32所以曲 C 1 的普通方程xy 2 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2( Ⅱ) | OP | | OQ | 定 .由 ( Ⅰ ) 可知曲 C 1 ，不妨AC 1 的上 点，M (2 cos ,sin ) , P(x P ,0) ， Q ( x Q ,0) ,因 直 MA 与 MB 分 与 x 交于 P 、 Q 两点，所以 K AMK AP , K BM K BQ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由斜率公式并 算得x P12 cos， x Q 2 cos, sin1sin所以 | OP | |OQ | x P x Q2. 可得| OP | | OQ |定 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分24.修 4-5 ：不等式解 : ( Ⅰ) 由于 f ( x)3x7,x 2,⋯⋯⋯⋯ 2 分3x5x 2.函数的象如所示 : （略）⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分( Ⅱ) 由函数y f ( x) 与函数y ax 的象可知 ,当且当1a 3, 函数 y ax 的象与函数y f ( x)象没有交2点, ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分所以不等式 f (x) ax 恒成立,a 的取范1 ,3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2。

2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(理科）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={5，6，7 }，N={5，7，8 }，则A. B. C. D.2. 若F(5，0)是双曲线(m是常数）的一个焦点，则m的值为A. 3B. 5C. 7D. 93. 已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44. 的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605. 的值为A. 1B.C.D.6. 已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7. —个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059. 程序框图如右图，若输出的s值为位，则n的值为A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知a是实数，则函数_的图象不可能是11. 已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为P.则下列结论正确的是A.不论边长AB，CD如何变化，P为定值；B.若-的值越大，P越大；C.当且仅当AB=CD时，P最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.12. 设不等式组表示的平面区域为Dn an表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数（i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_________.14. 在ΔABC 中，，，则 BC 的长度为________.15. 己知F1 F2是椭圆（a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆的离心率e的取值范围为________.16. 在平行四边形ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中ABCD-A1B1C1D1中有=________三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，，D为AA1中点，BD与AB1交于点0，C0丄侧面ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20. (本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ丄l 于Q点，且•(I )求动点P的轨迹E的方程；(II)过点P作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y 0>4时，试用y表示线段BC的长，并求ΔPBC面积的最小值.21. (本小题满分12分）已知函数(A ,B R，e为自然对数的底数），.(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；(II)当a>0 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.请考生在第22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交CE于D点，，BE2=DE-EC.(I)求证:；(I I)求证：A、E、B、C四点共圆.23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C 1的参数方程为：（为参数）；射线C 2的极坐标方程为：,且射线C 2与曲线C 1的交点的横坐标为(I )求曲线C 1的普通方程；(II)设A 、B 为曲线C 1与y 轴的两个交点，M 为曲线C 1上不同于A 、B 的任意一点，若直线AM 与MB 分别与x 轴交于P,Q 两点，求证|OP|.|OQ|为定值.24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 设函数 (I)画出函数的图象；(II)若不等式，恒成立，求实数a 的取值范围.2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(理科答案) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 14. 1或 2 15. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.22214()AB AD AA ++.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ）当1q =时，10472S S S ≠+所以1q ≠ ………………………………………………..2分10472S S S =+由,得()()1074111211(1)111a q a q a q q q q---=+--- 104710,12a q q q q ≠≠∴=+ ， ………………………….4分则8251112a q a q a q =+，9362a a a ∴=+，所以3,9,6a a a 成等差数列. ………………………6分(Ⅱ)依题意设数列{}3n a 的前n 项的积为n T ,n T =3333123n a a a a ⋅⋅3323131()()n q q q -=⋅⋅=33231()()n q q q -⋅3123(1)()n q ++-==(1)32()n n q -，…………………8分又由（Ⅰ）得10472q q q =+，63210q q ∴--=，解得3311(,2q q ==-舍）.…………………10分所以()1212n n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. …………………………………………….12分18. 解: （Ⅰ）………………………………3分（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为 2.5吨.……………………………………………6分（Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是45，则4~(3,)5X B ，311(0)()5125P X === 1234112(1)()55125P X C ===2234148(2)()()55125P X C ===3464(3)()5125P X ===………………8分 X0 1 2 3 P1125 12125 48125 64125分412()355E X =⨯=………………………………………………………………12分19. 解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，12AA =，2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,112tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD中,12tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠, 又1190BAB AB B ∠+∠=，190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， (3)分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………5分 （Ⅱ） 解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ABD中，可求得63OB =,66OD =,33OC OA ==，在1Rt ABB 中，可求得1233OB = ，故60,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,60,,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,30,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,123,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以 60,,02BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,630,,33BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,1236,,033BB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭可得，1123263,,333BC BC BB ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭…………………………………8分设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即23263060x y z y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪，取1,0,2x y z ===， 则()1,0,2=m ， …………………………………10分又BCD 面()1,0,0=n ，故5cos ,5==m n ， 所以，二面角1C BD C --的余弦值为5…………………………………12分 解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥，所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角…………………………………8分BD =，1AB =1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==113OC OA AB === ， 在1Rt COB中，13B C === ，……………………10分 又EOC OCE ∠=∠1cos 5OC EOC CB ∠==故二面角1C BD C --的余弦值为…………………………12分 20.解：（Ⅰ）设(),P x y ，则(),1Q x -， ∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． …………………2分 即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹E 的方程24x y =． …………………………4分 （Ⅱ）解法一：设00(,),(,0),(,0)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00()y y x b x b=--，化简得 000()0y x x b y y b ---=．又圆心(0,2)到PB 的距离为22= ，故222220000004[()]4()4()y x b x b x b y b y b +-=-+-+，易知04y >，上式化简得2000(4)440y b x b y -+-=， 同理有2000(4)440y c x c y -+-=． …………6分所以0044x b c y -+=-，0044y bc y -=-，…………………8分则2220002016(4)()(4)x y y b c y +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2004x y =，则 2202016()(4)y b c y -=-，0044y b c y -=-． ………………10分 所以0000002116()2[(4)8]244PBC y S b c y y y y y ∆=-⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分解法二：设),(00y x P , 则4200x y =，PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k ， 则PB ：2010()4x y k x x -=-，令0y =得20014B x x x k =-，同理得20024C x x x k =-； 所以||4|44|||||212120120220k k k k x k x k x x x BC C B -⋅=-=-=，……………6分 下面求||2121k k k k -, 由(0,2)到PB ：2010()4x y k x x -=-的距离为22010|2|2x k x +-=， 因为04y >，所以2016x >， 化简得2222220001010(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=， 同理得2222220002020(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=…………………8分 所以1k 、2k 是22222200000(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=的两个根.所以2001220(4)2,4x x k k x -+=-222220*********(1)()164,44x x x x k k x x --==--201220||4x k k x -==-，1220121||116k k x k k -=-， 22000120200120411||||44411416B C x x y k k x x y y x k k y --=⋅=⋅=⋅=---，……………10分 所以0000002116||2[(4)8]244PBC y S BC y y y y y ∆=⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分21.解:（Ⅰ）当2b =时，若2()()()2x x F x f x g x ae e x =-=+-，则2()221x x F x ae e '=+-，原命题等价于2()2210x x F x ae e '=+-在R 上有解．……………2分 法一：当0a 时，显然成立；当0a <时，2211()2212()(1)22x x x F x ae e a e a a '=+-=+-+ ∴ 1(1)02a -+>，即102a -<<． 综合所述 12a >-．…………………5分 法二：等价于2111()2x x a e e>⋅-在R 上有解，即∴ 12a >-．………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，不妨设12x x <，则2102x x x +=，2222x x ae be x +=，1121x x ae be x +=，两式相减得：21212221()()x x x x a e e b e e x x -+-=-，……………7分整理得 212121212121221()()()()2()x x x x x x x x x x x x x x a e e e e b e e a e e e b e e +-=-++--+- 则21212122x x x x x x ae b e e +-+-，于是21212121212202()x x x x x x x x x x e ae be f x e e +++-'⋅+=-，…………………9分而212121212121221x x x x x x x x x x x x e e e e e +----⋅=⋅-- 令210t x x =->，则设22()ttG t e e t -=--，则2222111()1210222t t t t G t e e e e --'=+->⋅⋅⋅-=， ∴ ()y G t =在(0,)+∞上单调递增，则22()(0)0t t G t e et G -=-->=，于是有22t t e e t -->， 即21t t e te ->，且10t e ->，∴ 211t t t e e <-， 即0()1f x '<．…………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22．选修4-1几何证明选讲证明：(Ⅰ)依题意，DE BE BE EC=，11∠=∠ ， 所以DEB BEC ∆∆,………………2分得34∠=∠,因为45∠=∠,所以35∠=∠,又26∠=∠，可得EBD ACD ∆∆.……………………5分 (Ⅱ)因为因为EBD ACD ∆∆， 所以ED BD AD CD =,即ED AD BD CD=,又ADE CDB ∠=∠,ADE CDB ∆∆,所以48∠=∠，………………7分因为0123180∠+∠+∠=， 因为278∠=∠+∠，即274∠=∠+∠，由(Ⅰ)知35∠=∠， 所以01745180,∠+∠+∠+∠=即0180,ACB AEB ∠+∠=所以A 、E 、B 、C 四点共圆.………………10分23．选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)曲线1C 的普通方程为2221x y a+=， 射线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥，…………………3分可知它们的交点为⎝⎭，代入曲线1C 的普通方程可求得22a =. 所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=.………………5分 (Ⅱ) ||||OP OQ ⋅为定值.由(Ⅰ)可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，设,sin )M ϕϕ,(,0)P P x ，(,0)Q Q x , 因为直线MA 与MB 分别与x 轴交于P 、Q 两点， 所以AM AP K K =,BM BQ K K =,………………7分 由斜率公式并计算得1sin P x ϕϕ=-，1sin Q x ϕϕ=+, 所以||||2P Q OP OQ x x ⋅=⋅=.可得||||OP OQ ⋅为定值.……………10分24.选修4-5：不等式选讲解: (Ⅰ)由于37,2,()35 2.x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩…………2分 则函数的图象如图所示:（图略）……………5分 (Ⅱ) 由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知,当且仅当132a -≤≤时,函数y ax =的图象与函数()y f x =图象没有交点,……………7分 所以不等式()f x ax ≥恒成立,则a 的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………10分。

2020年河北省石家庄市高考数学模拟试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−2}，B ={x|x ≤1}，则A ∩B =( )A. {x|x >−2}B. {x|−2<x ≤1}C. {x|x ≤−2}D. {x|x ≤1}2. 命题“∃x 0∈R ，1<f(x 0)≤2”的否定形式是( )A. ∀x ∈R ，1<f(x)≤2B. ∃x 0∈R ，1<f(x 0)≤2C. ∃x 0∈R ，f(x 0)≤1或f(x)>2D. ∀x ∈R ，f(x)≤1或f(x)>23. 复数z =a+i2−i (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−2)B. (−12,2)C. (−2,12)D. (12,+∞)4. 设，b =315，c =(15)0.4，则有( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a5. 为了得到函数y =3sin(2x +π5)的图象，只需把y =3sin2x 上的所有的点( )A. 向左平行移动π10长度单位 B. 向右平行移动π10长度单位 C. 向右平行移动π5长度单位D. 向左平行移动π5长度单位6. 若实数x,y 满足{x −y −1≤0x +2y +2≤0x ≥−2，则z =y−3x−2的取值范围是( ) A.B.C. [34,2]D. [32,2]7. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若asinB +bsinA =2c ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形8. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率e =2，圆A 的圆心是抛物线y =18x 2的焦点，且双曲线C 的渐近线截圆A 所得的弦长为2，则圆A 的方程为( )A. x 2+(y −132)2=6564 B. x 2+(y +132)2=6564 C. x 2+(y −2)2=2D. x 2+(y −2)2=49. 已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −13B. 23C. 19D. 4910. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( )A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−nD. 12⋅32n+2−n +3211. 函数f(x)=x ⋅2|x|−x −2的零点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 012. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线l ：x =−32，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF =−√3，则△AFM 的面积为( )A. 3√3B. 6√3C. 9√3D. 12√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知角α的终边经过点P(−3,−√3)，则sinα= ______ ． 14. 二项式(2x 2√x )5的展开式中的第______项为常数项．15. 已知四棱锥A −BCDE 的底面是边长为4的正方形，面ABC ⊥底面BCDE ，且AB =AC =4，则四棱锥A −BCDE 外接球的表面积为__________16. 两位同学参加一项比赛，通过综合分析，两人获得一等奖的概率分别为13，p(0<p <1)，且他们是否获得一等奖相互独立．若这两位同学中恰有一位获得一等奖的概率为712，则p 的值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 等差数列{a n }中，a 7=8，a 19=2a 9．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =1na n求数列{b n }的前n 项和S n ．18.如图1，在△MBC中，BM=2BC=4，BM⊥BC，A，D分别为BM，MC的中点．将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使∠PAB=90°，如图2，连结PB，PC．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=√2，直线l2：y=k(x−m)(m∈R,m>34)与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点R(54,0)，若RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k无关的常数，求实数m的值．20.劲牌有限公司创建于1953年，历经六十余年的稳步发展，现已成为一家专业化的健康食品企业。

河北省石家庄市第二中学（南校区）2020届高三数学下学期教学质量检测模拟试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数3213iz i-+=++则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成z a bi =+ 的形式,从而可求复数在复平面内对应的点. 【详解】复数()()()()3133222131313i i iz i i i i -+--+=+=+=+++-,则复数z 在复平面内对应的点()2,1在第一象限.故选:A【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义.2.设集合{}{}2|3,|4P x x Q x x =>=>,则下列结论正确的是（ ） A. Q P ⊆B. P Q ⊆C. P Q =D.P Q R =【答案】B 【解析】 【分析】分别解出23,4x x >>,即可判断两个集合的关系.【详解】解:集合{|}{33|P x x x x ＝＞＝＜﹣或3}x ＞,2{|}{42|Q x x x x ＝＞＝＜﹣或2}x ＞ P Q ∴⊆故选:B.【点睛】本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素. 3.若224,2()3,63a b log c log ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c ＜＜ B. a c b ＜＜C. c b a ＜＜D. b c a ＜＜【答案】B 【解析】 【分析】判断a 与1的大小关系,由46c log log ＝＝,,1b c 的大小关系,从而可选出正确答案.【详解】解:由已知可得419a =<,2log 31b =>,46c log log ＝＝222log 2log log 3<<, 1c b ∴<<.即b c a >>.故选:B.【点睛】本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真数都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小.4.若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 3【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.5.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（ ）立方分米.A. 40B.853C. 30D.733【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积. 【详解】由三视图还原,原几何体如图,要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为4,宽的最小值为4,高的最小值为52， 则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米. 故选:A.【点睛】本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体积的理解.难点则为由三视图还原出几何体.6.不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ） A.314B.37C.67D.1328【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件的总数28C ,再求出满足要求的基本事件的个数1162m C C =,则由古典概型可求概率.【详解】解:由题意知,本题中基本事件总数2828n C ==,取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数:116212m C C ==.则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m P n ===. 故选:B.【点睛】本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度.7.已知F 是抛物线2:8C y x ＝的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若2MF FN =，则MF 的值为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程,可求出焦点()2,0F .由2MF FN =可知13NF MN =,从而3326MA OF ⨯＝＝＝,继而可求出MF .【详解】解:由抛物线的方程可得焦点()2,0F ,准线方程为:2x =-.作MA 垂直于y 轴交于A 因为2MF FN =,所以可得F 为线段MN 的三等分点,即13NF MN =. 由NFO NMA ∆∆,所以13OF MA =,即3326MA OF ⨯＝＝＝,所以628MF =+=故选:A.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解.本题的关键是长度的转化.8.某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ）A. sin 2sin 2xxy e =B. cos2cos 2xxy e =C. cos2cos 2xx y e=D.cos cos xx y e =【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象判断奇偶性，排除选项A ，根据周期性，排除选项D ，利用x ∈R 时，()f x 的值恒大于等于0，排除B ，则答案可求.【详解】根据函数()f x 的部分图象，可得该函数的图象关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 而A 中的函数sin 2sin 2xxy e=为奇函数，故排除A ；再根据图像可知()f x 的最小正周期4T <，而cos cos xx y e=的最小正周期是2π，大于4，故排除D ；又当x ∈R 时， ()f x 的值恒大于等于0，故排除B.所以C 选项是正确的.【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的基本性质和赋值法排除选项是常用方法，属中档题.9.如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30并测得120BCD ∠=，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ）A. 300mB. 600mC.D.【答案】B 【解析】 【分析】设AB x =,则,BC AB x BD =＝＝,在BCD ∆中,结合余弦定理可列关于x 的方程,求出后即可得到AB 的长.【详解】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,BC AB x BD =＝＝.在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯＝﹣ 化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 故选:B .【点睛】本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形.10.已知函数()22f x cosx sinx sin x +＝,给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增； ③函数()f x 的最小正周期为π. 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 讨论x的取值范围,去掉绝对值号,从而得到()30,2,222, 2sin2,2,222x k kf x k Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,结合图象即可判断三种命题的正确与否.【详解】解:()32cos sin sin2,2,222222cos sin sin2,2,222x x x x k kf x cosx sinx sin xx x x x k kππππππππ⎧⎡⎤-+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦+=⎨⎡⎫⎪+∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩＝30,2,222,2sin2,2,222x k kk Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,其大致图象如图所示①()f x的图象不关于直线4xπ=对称,即①错误;②()f x在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,即②正确;③()f x的最小正周期为2π,即③错误. 故选:B.【点睛】本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号.11.已知ABC∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD∆与Rt BCD∆）组成的三角形，如图所示.其中，45CAD∠＝,60BCD∠＝，现将Rt ACD∆绕斜边AC旋转至1D AC∆处（1D不在平面ABC上）.若M为BC的中点，则在ACD∆旋转过程中，直线1AD与DM 所成角θ( )A. (0,45)θ∈B. (0,45]θ∈C. (0,60]θ∈D.(0,60)θ∈【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析出1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值为60,但取不到60.进而可求出θ的取值范围.【详解】解:作//AP DM ,1AD 可以看成以AC 为轴线，以45为平面角的圆锥的母线.由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值 则1PAD ∠的最大值为451560︒︒+=， 此时，1D ∈平面ABC .1D 不在平面ABC 上,()10,60PAD ∴∠∈.∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角()0,60θ∈.故选:D.【点睛】本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象能力有一定的要求.12.设符号{}min x y z ，，表示,,x y z 中的最小者，已知函数()22{||,}2,f x min xx x +＝﹣则下列结论正确的是（ ）A. [)()()0,,2x f x f x ∀∈+∞->B. [)()()1,,2x f x f x ∀∈+∞->C. ()()(),x R f f x f x ∀∈≤D. ()()(),x R ff x f x ∀∈>【答案】C 【解析】 【分析】分别画出22,,2y x y x y x =-==+的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.【详解】解:如图所示:由题意可得A 中，[]()2,0,1()2,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩. B 中，当12x ≤≤时，120x ≤≤﹣﹣，()()()222f x f x x f x --≤-＝＝. 当23x ≤＜时，021x -≤＜，()()22f x x f x -≤-=.当34x ≤＜时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=. 当4,22x x ≤-≥，恒有()()2f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[)()0,,x f x x ∈+∞≤.令()t f x =，则0t ≥所以()f t t ≤，即()()()f f x f x ≤，故C 正确，D 不正确.故选:C.【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画()y f x = 的函数图象时，一般地，先画出()y f x = 的图象，再将x 轴下方的图象向上翻折即可.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.函数ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为_____． 【答案】210x y --= 【解析】 【分析】根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程. 【详解】函数ln y x x =+则1'1y x=+由导数几何意义可知112k =+=根据点斜式可得直线方程为()121y x -=⨯- 化简可得210x y --= 故答案为：210x y --=【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 14.已知向量,a b 满足2,1a b ==，若()()a ab b a b ⋅++⋅-的最大值为1，则向量,a b 的夹角θ的最小值为__________，2a b +的取值范围为__________． 【答案】 (1). 23π(2). []0,2 【解析】分析：由题意()()1a a b b a b ⋅++⋅-≤，求得23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，再利用向量的模的计算公式，即可求解.详解：由题意2,1a b ==，则()()22234cos 1a a b b a b a a b b θ⋅++⋅-=+⋅-=+≤， 解得11cos 2θ-≤≤-，所以23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，所以[]222|2|4488cos 0,4a b a a b b θ+=+⋅+=+∈，所以[]20,2a b +∈.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15.飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____ 【答案】124125【解析】 【分析】先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率.【详解】解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是：030341124155125P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:124125. 【点睛】本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为1，可以减少本题的计算量.16.已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点()0,6N ，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为_____【答案】2 【解析】 【分析】求出左右焦点的坐标()()3,0,'3,0F F -，从而可求NF ==长最小转化为求'MN MF +的最小值.当P 在左支上运动到,,'M N F 共线时'MN MF +取得最小值'NF =.【详解】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线C 可得()()3,0,'3,0F F -，NF ==，FMN ∆周长为MN MF NF MN MF ++=++由双曲线的定义可得'22MF MF a -==，即有'2MN MF MN MF +=++. 当P左支上运动到,,'M N F 共线时，'MN MF +取得最小值'NF =则有FMN ∆周长的最小值为22+=. 故答案为: 2.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17.已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【答案】（1）n a n =;2nn b =;(2)证明见解析.【解析】 【分析】（1）用1a 和d 将已知22a =，36S a =表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+可得()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）用错位相减法求出{}n c 的前n 项和212 (222)n n nT =+++，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+① 所以当2,n n N *≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.②①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=（常数）. 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1222n n n b -=⨯=.证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==.所以212 (222)n n n T =+++①， 故231112 (2222)n n nT +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-==---.所以112222n n nn T -=--<.即12...2n c c c +++<. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1. 18.如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是PA 、PD 的中点(1)求证：CE //平面BMD(2)点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）5cos 3θ=. 【解析】 【分析】(1) 连接ME ，通过对边关系得到四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM ，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA 的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角. 【详解】（1）连接ME ，因为点,M E 分别是,PA PD 的中点，所以1,2ME AD ME AD =，所以,BC ME BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM .又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂平面BMD ,所以CE 平面BMD .（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1,1,12CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,0,1CE =-设平面CEQ 的法向量为(),,n x y z =，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n =，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是2sin 3θ==，进而求得cos θ=. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．19.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右顶点分别为A 、B ，且AB 4=，椭圆C 的（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AMF ∆面积是BME ∆面积的5倍，求m 的值.【答案】（1）2214x y +=;（2）12m =±.【解析】 【分析】（1）由AB 4=可求a ，c ，由222a b c =+可求b ，进而可求标准方程. （2）由()()1,0M m m ≠可求出直线AM 与BM 的方程，与椭圆方程联立，进而可求E 、F的纵坐标，由面积关系可得22412541494m mm m m =-++，从而可求m 的值.【详解】解：（1）由题意可得：22224a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴ 椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）()()()1,,2,0,2,0M m A B -，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴ 直线AM 的方程为：()23my x =+.联立直线和椭圆的方程 ()222314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+，同理可得2414F my m =+， 5AMF BME S S ∆∆=，即()()5ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-.54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-22412541494m m m m m ∴=-++ ，又0m ≠，42161630m m ∴+-=，解得214m =或34因为点M 在椭圆内，所以234m <.214m ∴=，12m ∴=±.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内这一条件，从而未对m 的值进行取舍.20.BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式： ()()()()221112222111ˆ1.()ˆnnnii ii i ii i i n nniiii i i yyxx y y x ynxyR yy xx n bxx ======----=-==---∑∑∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-.ˆˆˆi i ie y bx a =--. 参考数据：8178880i i i x y ==∑，821226112ii x ==∑，168x =，58.5y =，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）填表见解析;20.90R ≈;（2）ˆ0.67555.9yx =-. 【解析】 【分析】（1）由表中的数据可求出线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，进而可完善所给表格，求出所有残差值.由()22121ˆ1()nii i n ii yyR y y ==-=--∑∑即可求出贡献值2R .（2）计算修订后8'177496i ii x y==∑以及'57.5y =，代入到818221ˆi ii ii x ynxyxx bn ==-=-∑∑，ˆˆ'ay bx =-进而可求出线性回归方程.【详解】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，计算6570.816975.9ˆ 2.3e=-⨯+=-，7500.815875.9ˆ0.5e =-⨯+=-，8660.817375.ˆ9 3.5e=-⨯+=.完善下列残差表如下， e 计算()()22121ˆ1110.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.250.90226()ni i i nii y yR yy ==-=-=-⨯+++++++≈-∑∑ ，所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈.（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y = 由8178880i ii x y==∑，计算修订后8'178880173661735877496i i i x y =-⨯+⨯==∑又821226112ii x ==∑，168x =，修订后()1'858.5665857.58y =⨯⨯-+=. 所以818222177496816857.50.6ˆ752261128168i ii ii x ynxyxbnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ'57.50.67516855.9ay bx =-=-⨯=-. 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量. 21.已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln ≈：） 【答案】（1）4e;（2）1- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得02222b a ax aaln a ∴＝-=﹣，因此()222220a a a b ln a a =>﹣，()22222,0g a a a ln a a =﹣＞利用导数研究其单调性，即可求出()g x 的最大值，即求出ab 的最大值.（2）根据题意，关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=利用导数得到存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈-⎪⎝⎭.则要使得关于t 的方程22ln 0)t ta t t-=(＞有两个不同的解，则()0a h t <，当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝经验证()p t 有两个不同的零点，即可证明.【详解】解：（1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b +，2'()a f x ax b =+，02'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=>. 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ 令'()0g a >得，02a <<；令'()0g a <得，2a >.()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. ()g a ∴的最大值为4e g =⎝⎭.则ab 的最大值为4e. （2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点,等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根. 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解， 即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=, 则2222ln '()t t h t t --=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t +=. 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <.当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+ 可知()p t在10,4⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在14⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，又2(1)0,0,()20p p p e e e =>=-+<⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于()()()f x h x g x =- 型的函数，()f x 的零点个数就等同于(),()g x h x 图像的交点个数.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22..极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos 3a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()f OA OB OC OD α⋅+⋅＝，当63ππα≤≤时，求()fα值域.【答案】（1）2a =，1C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=;2C的直角坐标方程为40x +-=;（2）⎡⎣.【解析】 【分析】（1）由4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得22cos sin ρρθθ+＝进而可求1C 的直角坐标方程; 把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，由题意知，该直线过(，则可求出2a =.（2）4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝，则2)6(f OA OB OC OD ααπ⎛⎫⋅⋅=++ ⎪⎝⎭＝，结合63ππα≤≤则可求出62652πππα≤+≤，进而可求值域.【详解】解：（1）1C ：4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ+＝，化为直角坐标方程为()(2214x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=.因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20x a +-=经过圆心(解得2a =，故2C 的直角坐标方程为40x +-=. （2）由题意可得，当63ππα≤≤时，4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝则16sin cos 16cos )sin 33(f OA OB OC OD ππααααα⎛⎫⎛⎫⋅⋅=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ 28sin 28sin 212sin 2236ππααααα⎛⎫⎛⎫=--=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当63ππα≤≤时，62652πππα≤+≤，则26πα⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故()fα的值域为⎡⎣.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式sin ,cos y x ρθρθ== 即可；对于()sin()f x A x ωϕ=+ 在求值域时，往往先求出x ωϕ+的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域. 23.已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=时，求212121a b c +++【答案】（1）223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）23【解析】 【分析】（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 （2）利用基本不等式的合理利用求最大值 【详解】（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤<②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤< ③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤ 综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=则2221a b c ++=，设x y z ===222x y xy +≥ 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=4442121213332222a b c ⎛⎫++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =12a b c ∴++=2121214a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121≤≤当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。

石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。