2020届河北省石家庄二中高三(3月份)高考热身数学(文)试题(解析版)

2020年河北省石家庄市高考数学综合训练试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}2.已知复数z满足(1+i)z=(1−i)2，则z=()A. −1+iB. 1+iC. 1−iD. −1−i3.林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是()A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐4.已知A={a|关于x的不等式ax2+2ax−2<0的解集为R}，B={a|−2<a<0}，则x∈A是x∈B的()A. 既不充分也不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 充分而不必要条件5.已知抛物线x2=2py的焦点是F，其上一点M(m,1)，其中|MF|=3，则p=()A. 8B. 4C. 14D. 186.在△ABC中，4sinA+3cosB=5，4cosA+3sinB=2√3，则角C等于()A. 150∘或30∘B. 120∘或60∘C. 30∘D. 60∘7.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且(a+c)2=12+b2，则△ABC的面积为()A. 6−3√3B. 6√3−9C. 2√3D. √38.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A. β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B. β内不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直C. β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D. β内必存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直9. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)10. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 311. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为( ) A. 14 B. √24 C. √26 D. √212 12. 如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−18,3]B. [−1,3]C. [−1,1]D. [−18,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=−3，a 17= ______ ．14. 小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．15. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．16. 设函数f(x)=e x −e −x ，若对所有x ≥0都有f(x)≥ax ，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=an 2a n +1(n ∈N ∗). (1)求证：数列{1a n }为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式a n；(3)设2b n =1a n+1，数列{b n b n+2}的前n项和T n，求证：T n<34．18.如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC和△PAC都是正三角形，AC=2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面PAC⊥平面ABC．(Ⅰ)证明：EF⊥ED；(Ⅱ)求点F到平面PAB的距离．19.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两名学生在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图所示(单位：mm)：平均数方差完全符合要求的个数A200.0262B20s B25根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为_________学生的成绩好些；(2)计算出s B2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0b>0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x−y+√6=0相切．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若过点F2的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F l MN面积最大时直线l的方程．21.设函数f(x)=xe a−x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e−1)x+4．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为x2+y2−2x=0，以原点O为极点，x轴正半轴为．极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=31+2sinθ(Ⅰ)求C1的参数方程与C2的直角坐标方程；(ρ≥0)与C1交于异于极点的点A，与C2的交点为B，求|AB|．(Ⅱ)射线θ=π323.已知函数f(x)=|2x−1|−a(a∈R)．(1)若f(x)在[−1,2]上的最大值是最小值的2倍，解不等式f(x)≥5；f(x+1)成立，求实数a的取值范围．(2)若存在实数x使得f(x)<12-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|−1≤x≤2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查交集的运算，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，则z−可求．解：由(1+i)z=(1−i)2=−2i，得z=−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i，∴z−=−1+i．故选：A．3.答案：D解析：解：由茎叶图中的数据得，甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知得：甲的中位数是12×(25+29)=27，乙的中位数是12×(27+30)=28.5；且甲的数据分布比较集中，乙的数据分布较为分散，∴乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．由茎叶图中的数据求出甲、乙的中位数，根据数据的分布情况得出甲、乙树苗长得整齐情况． 本题考查了茎叶图与中位数、方差的应用问题，是基础题．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式恒成立的条件求出A 的集合是解决本题的关键．难度不大．根据不等式恒成立，求出集合A 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：当a =0时，不等式ax 2+2ax −2<0等价为−2<0，此时不等式恒成立，满足条件；当a ≠0时，要使不等式ax 2+2ax −2<0的解集为R ，则{a <0△=4a 2+8a <0，得−2<a <0， 综上A ={a|关于x 的不等式ax 2+2ax −2<0的解集为R}={a|−2<a ≤0}，∵B ={a|−2<a <0}，∴B ⫋A ，即x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，故选：B ．5.答案：B解析：解：抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，抛物线C 上一点M(m,1)满足|MF|=3，可得：{m 2=2p m 2+(1−p 2)2=9， 解得：m 2=8，p =4，故选：B ．利用点的抛物线上，推出m ，p 的方程，利用|MF|=3，列出方程，求出m 2，p 即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查方程思想的应用，是中档题．6.答案：C解析：本题考查三角函数的化简求值，属于中档题，注意角的范围的判断，是本题的易错点． 利用同角函数的关系式求出A ，B 的关系，可得C 的大小．解：由4sinA+3cosB=5，可得：16sin2A+9cos2B+24sinAcosB=25…①，由4cosA+3sinB=2√3，可得：16cos2A+9sin2B+24sinBcosA=12…②，用①+②可得：25+24(sinAcosB+sinBcosA)=37，∵sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，∴24sinC=12，sinC=12，∴C=150∘或C=30∘．∵当C=5π6，即A+B=π6时，A<π6，∴cosA>cosπ6=√32，∴4cosA>4√32，∵sinB>0，∴3sinB>0，∴3sinB+4cosA>2√3，与题中的3sinB+4cosA=2√3矛盾．故选C.7.答案：D解析：由角A、B、C依次成等差数列，可求角B，由余弦定理及(a+c)2=12+b2，可求ac，再利用三角形面积公式可求答案．该题考查余弦定理、三角形面积公式，属于基础题．解：∵角A、B、C依次成等差数列，∴2B=A+C，又∵A+B+C=180°，∴B=60°，则由余弦定理得：b2=a2+c2−2accos60°，即b2=a2+c2−ac①，又∵(a+c)2=12+b2，②由①②可得ac=4，∴S△ABC=12acsin60°=√3，故选D．。

2020届河北省石家庄二中高三年级上学期第三次联考数学（文）科试题一、单选题1．设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】A【解析】根据A B ⊆，得到1a ≤-，即可求解实数a 的取值范围，得到答案。

【详解】由题意，集合{}11A x x =-<<，{}{}0B x x a x x a =->=， 因为A B ⊆，则1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-。

故选：A 。

【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ） A ．,21000n n N ∀∈< B ．,21000n n N ∀∉< C ．,21000n n N ∀∈≤ D ．,21000n n N ∀∉≤【答案】C【解析】先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】p ⌝:,21000n n N ∀∈≤.故选C. 【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 解题方法:先改量词,再否定结论.3．己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．12B ．2C ．1D【答案】B【解析】根据i 的幂运算性质可得2019i i =-，再由复数的除法运算可求得z ，从而求出||z .【详解】2019(1)i i z i-=-=，则(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以，||2z ==. 所以本题答案为B. 【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A ．24里 B ．48里 C ．96里 D ．192里【答案】D【解析】每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得. 【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =, 因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,所以12345378111111()()()()22222a =+++++ 6378378192111()2(1)264112===--- , 所以第一天走了192里. 故选:D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式中的基本量的计算,属于基础题.5．已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】C【解析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据偶函数化简()()0.10.122f f ---=，然后比较2，3log 7，0.12-的大小，比较,,a b c 的大小关系.【详解】若()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则函数在()0,∞+是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足()()f x f x -=， 即()()0.10.122f f ---=，0.1021-<<，31log 72<<()f x 在()0,∞+单调递增，()()()0.132log 72f f f -∴<<，即c b a <<. 故选:C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.6．若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ） A．BC．D．【答案】B【解析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于y 轴对称列式,再求最小值. 【详解】将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后,得到函数sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-,因为其图像关于y 轴对称,所以262k ππϕπ-=+,k Z ∈,即23k ππϕ=+,k Z ∈,因为0ϕ>,所以0k =时,ϕ取得最小值3π,此时tan tan 3πϕ==故选B . 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题. 7．已知函数21()cos 4f x x x =+的图象在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得1()sin 2f x x x '=-，得到函数在点()t f t （，）处的切线的斜率为1()sin 2k f t t t ='=-，得出函数()1sin 2t g t t -=，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。

河北省石家庄二中2020届高三下学期教学质量检测数 学（文科）（时间：120分钟分值：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一．选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．己知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xA ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==101,lg x x y y B ，则=B A I( )A ．]2,2[-B ．),1(+∞C ．]2,1(-D ．),2(]1,(+∞--∞Y2．己知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+iz1( )A ．i 2323+-B ．i 2123+-C ．i 2321+-D ．i 2321+3．“2<a ”是“2||<a ” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．己知4log 3=a ，3132⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，5131log=c ，则c b a ,,的大小关系为( )A ．b a c >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 5．右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学 测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．己知两组 数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为 ( ) A ． 0, 0 B ． 0, 5 C ． 5, 0 D ． 5, 56． 函数x e e x f xx cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为 ( )7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“己知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．152πB ．203πC ．1521π-D ．2031π-8．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，如果)(x g 在区间],0[a 上单调递减，那么实数a 的最大值为( )A ．8π B ．4π C ．2πD ．π439．设O 是坐标原点，F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点，点M 在C 外，且OF MO 3=，P 是过点M 的直线l 与C 的一个交点，PMF ∆是有一个内角为120°的等腰三角形，则C 的离心率等于( )A ．43 B ．33C ．413+ D ．2310．己知三棱锥ABC P -中，⊥PB 平面ABC ，BC AC ⊥，,2=AC 1=BC 且PB PA 2=，则其外接球的体积为 ( )A ．34πB ．π4C ．332π D ．π3411．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm ，横53cm ．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm ），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为( ) cm ．A ．77B ． 80C ． 100D ．27712．设函数x x x f ln )(=x x f x g )(')(=，给出下列四个命题： ①不等式0)(>x g 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛∞+e 1；②函数)(x g 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减；③若021>>x x 时，总有)()()(2212221x f x f x x m ->-恒成立，则1≥m ；④若函数2)()(ax x f x F -=有两个极值点，则实数)1,0(∈a ．则所有正确的命题的序号为( )A ．①③B ．①②C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题（共4题，每题4分，共20分）13．己知向量)1,2(=a ，)4,(x b =，若b a ⊥=+b a ______________．14．在平面直角坐标系中，己知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点)0,3(F 到它的一条渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为_______．15．己知递增数列}{n a 的前n 项和为S n ，11=a ，若141-=+n n n S a a ，则a n ＝_________． 16．己知ABC ∆的三个内角为C B A ,,，且C B A sin ,sin ,sin 成等差数列，则B B cos 22sin + 的最大值为__________，最小值为____________．三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2020年河北省石家庄二中高考数学0.5模数学试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−1<x<5}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|0<x<5}C. {0,1，2}D. {1,2}2.复数z满足z=2+ii+i，则|z|=()A. √2B. 2C. √5D. √103.设a=log52，b=e−12，c=log3π，则()A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c4.若a1，a2，a3，…a20这20个数据的平均数为x.，方差为0.21，则a1，a2，a3，…a20，x.这21个数据的方差为()A. 0.19B. 0.20C. 0.21D. 0.225.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像关于直线x=π3对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图像的一个对称中心是()A. (π12,0) B. (π3,1) C. (5π12,0) D. (−π12,0)6.若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n.n=1，2，3….则a1+a2+⋯+a n=______ ．A. 353453453B. 3453453C. 3543453D. 4534537.已知变量x，y满足{x−y≥−2x+y≥−2x≥0，则z=−2x+y的取值范围为()A. [−2,2]B. (−∞,−2)C. (−∞,2]D. [2,+∞)8.已知平面向量a⃗=(1,−3),b⃗ =(−2,0)，则|a⃗+2b⃗ |=()A. 3√2B. 3C. 2√2D. 59.己知A、F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，点D在C上，△AFD是等腰直角三角形，且∠AFD=90°，则C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √2+110.已知函数f(x)=e x−e−x2，x∈R，若对任意θ∈(0,π2]，都有f(msinθ)+f(1−m)>0成立，则实数m的取值范围()A. (0,1)B. (0,2)C. (−∞,1)D. (−∞,1]11.已知A，B，C是球O球面上的三点，且AB=AC=3,BC=3√3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D−ABC体积的最大值为()A. 9√34B. 3√34C. 94D. 27412.已知曲线f(x)=ke−2x在点x=0处的切线与直线x−y−1=0垂直，若x1，x2是函数g(x)=f(x)−|lnx|的两个零点，则()A. 1<x1x2<√e√e<x1x2<1C. 2<x1x2<2√e√e<x1x2<2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，各型号产品数量之比依次为k:5:3，现按年级用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为_________．14.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=______．15.已知单位向量a⃗，b⃗ ，满足a⃗⋅b⃗ =0，向量c⃗满足|c⃗−a⃗|+|c⃗−2b⃗ |=√5，则|c⃗+a⃗|的取值范围是______．16.已知抛物线方程为x2=12y，过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△A BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=35且ac=35．(1)求△ABC的面积；(2)若a=7，求角C．18.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：34，21，13，30，29，33，28，27，10乙运动员得分：49，24，12，31，31，44，36，15，37，25，36(Ⅰ)根据两组数据完成甲、乙两名运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；(不要求计算出具体值，给出结论即可)(Ⅱ)若从甲运动员的9次比赛的得分中选2个得分，求两个得分都超过25分的概率．19.如图：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，AC=2√3，PA=2，E是PC上点，且PC⊥平面BDE．(1)求证：BD⊥PC；(2)求三棱锥P−BED的体积．20.已知椭圆C：x24+y23=1与直线l1交于A，B两点，l1不与x轴垂直，圆M：x2+y2−6y+8=0．(Ⅰ)若点P在椭圆C上，点Q在圆M上，求|PQ|的最大值；(Ⅱ)若过线段AB的中点E且垂直于AB的直线l2过点(18,0)，求直线l1的斜率的取值范围．21.已知函数f(x)=x+1−ln x．(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)若e x−1+x≥axf(x)，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：{x=1+√7cosθy=√7sinθ(θ是参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线l1：2ρsin(θ+π3)−√3=0，射线l2：θ=π3(ρ>0)与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若a，b，c为正实数，且a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．先求出A，再求交集即可．解：集合A={x∈Z|−1<x<5}={0,1，2，3，4}，B={x|0<x≤2}，则A∩B={1,2}．故选D．2.答案：A解析：解：∵z=2+ii+i，∴|z|=|1−i|=√2，故选：A．先化简z，再求模即可．本题考查复数求模，正确化简复数是关键．3.答案：C解析：解：∵0<log52<log5√5=12，即a∈(0,12)；1=e0>e −12=√e >√4=12，即b∈(12,1)，log3π>c=log33=1，即c>1，∴a<b<c．故选：C．利用对数函数的单调性与性质以及指数函数的单调性与性质，推出a，b，c的范围，即可比较大小，得到答案．本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查了平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．根据平均数与方差的概念，计算即可得出答案．解：a 1，a 2，a 3，…a 20这20个数据的平均数为x .，方差为0.21，∴s 2=120×[(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2]=0.21 ∴(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2=4.2 ∴则a 1，a 2，a 3，…a 20，x .这21个数据的x .，方差为s′2=121×[(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2+(x .−x .)2] =121×4.2=0.20．故选B ．5.答案：A解析：本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题．利用对称轴与对称中心的横坐标相差个周期即可求解．解：，设对称中心的横坐标为x 0，因为函数有一条对称轴为x =π3， 所以， 所以， 所以，令，得， 所以(π12,0)为一个对称中心，故选A ．6.答案：C解析：解：数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=2a n .n =1，2，3….所以数列是等比数列，公比为：2； a 1+a 2+⋯+a n =1(1−2n )1−2=2n −1；故答案为：2n −1由题意推出数列是等比数列，求出公比，直接求出它的前n 项和即可．本题考查数列的求和公式的应用，数列的递推关系式，判断数列是等比数列，还是等差数列，主要依据数列的定义，注意公比是数值，是解题的关键． 7.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点(0,2)时，z 最大，从而得出目标函数z =−2x +y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解：画出变量x ，y 满足{x −y ≥−2x +y ≥−2x ≥0表示的平面区域：将目标函数变形为y=2x+z，作出目标函数对应的直线，直线过点(0,2)时，直线的纵截距最大，z最大，最大值为2；则目标函数z=−2x+y的取值范围是(−∞,2]．故选：C．8.答案：A解析：本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，关键是掌握向量的坐标计算公式．属于基础题．根据题意，由向量a⃗、b⃗ 的坐标可得a⃗+2b⃗ =(−3,−3)，由向量模的计算公式计算可得答案．解：根据题意，向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(−2,0)，则a⃗+2b⃗ =(−3,−3)，则|a⃗+2b⃗ |=3√2，故选：A．9.答案：C解析：解：由题意，|AF|=|DF|∴c+a=b2a，∴e2−e−2=0，∵e>1，∴e=2，故选：C．由题意，|AF|=|DF|，可得c+a=b2a，即可求出C的离心率．本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．10.答案：D解析：解：∵f(x)=e x−e−x2，∴f(−x)=e−x−e x2=−e x−e−x2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，且函数f(x)在(−∞,+∞)是为增函数，由f(msinθ)+f(1−m)>0得f(msinθ)>−f(1−m)=f(m−1)，则msinθ>m−1，即(1−sinθ)m<1，当θ=π2时，sinθ=1，此时不等式等价为0<1成立，当θ∈(0,π2)，0<sinθ<1，∴m<11−sinθ，∵0<sinθ<1，∴−1<−sinθ<0，0<1−sinθ<1，则11−sinθ>1，则m≤1，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．11.答案：D解析：解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3√3，∴由余弦定理可得cosA=32+32−(3√3)32×3×3=−12，则A=120°，∴sinA=√32．设△ABC外接圆的半径为r，则√3√32=2r，得r=3．设球的半径为R，则R2=(R2)2+32，解得R=2√3．∵S△ABC=12×3×3×√32=9√34，∴三棱锥D−ABC体积的最大值为13×9√34×3√3=274，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D−ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．12.答案：B解析：求出f(x)的导数，求得在x =0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得k 的值，令g(x)=0，则|lnx|=12e −2x ，作出y =|lnx|和y =12e −2x 的图象，可知恰有两个交点，设零点为x 1，x 2且|lnx 1|>|lnx 2|，再结合零点存在定理，可得结论．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确作出函数图象是关键．解：f(x)=ke −2x 在的导数为f′(x)=−2ke −2x ，在点x =0处的切线斜率为k =−2k ，由切线与直线x −y −1=0垂直，可得−2k =−1，解得k =12，则f(x)=12e −2x ，令g(x)=0，则|lnx|=12e −2x ，作出y =|lnx|和y =12e −2x 的图象，可知恰有两个交点，设零点为x 1，x 2且|lnx 1|>|lnx 2|，0<x 1<1，x 2>1，故有1x 1>x 2，即x 1x 2<1． 又g(1√e )=12e −2√e −12<0， g(1)>0，∴√e <x 1<1，∴x 1x 2>√e ， 即有1√e <x 1x 2<1．故选B ．13.答案：36解析：本题考查抽取的产品件数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．由分层抽样性质列出方程k k+3+5=24120 ，求出k =2，由此能求出C 种型号产品抽取的件数．解：∵各型号产品数量之比依次为k:5:3，∴由k k+3+5=24120，解得k =2，∴C 种型号产品抽取的件数为120×310=36．14.答案：14解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．由a 3=0，a 6+a 7=14，可得{a n }的首项和公差，结合等差数列的求和公式求解即可． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，a 3=0，a 6+a 7=14，∴{a 1+2d =0a 1+5d +a 1+6d =14，解得a 1=−4，d =2， ∴S 7=7a 1+7×62d =−28+42=14．故答案为14．15.答案：[4√55,√5]解析：解：由题意，单位向量a ⃗ ，b ⃗ ，满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，不妨设a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(0,1)，c⃗ =(x,y)， ∴c ⃗ −a ⃗ =(x −1,y)，c ⃗ −2b⃗ =(x,y −2)， ∵|c ⃗ −a ⃗ |+|c ⃗ −2b ⃗ |=√5，∴√(x−1)2+y2+√x2+(y−2)2=√5，即(x,y)到点(1,0)和(0,2)的距离和为√5，则直线AB的方程为2x+y−2=0，∵|c⃗+a⃗|=√(x+1)2+y2表示点(−1,0)点到直线直线AB上点的距离，∴d min=√5=4√55，最大值为(−1,0)到(0,2)的距离即为√1+4=√5，故|c⃗+a⃗|的取值范围是[4√55,√5]，故答案为：[4√55,√5]由题意，不妨设a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，c⃗=(x,y)，根据|c⃗−a⃗|+|c⃗−2b⃗ |=√5可得(x,y)到点(1,0)和(0,2)的距离和为√5，可得直线AB的方程，则|c⃗+a⃗|=√(x+1)2+y2表示点(−1,0)点到直线直线AB上点的距离，即可求出范围．本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的几何意义，属于中档题．16.答案：48解析：本题考查抛物线的性质和几何意义，属于基础题．由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案．解：由 x2=12y，所以2p=12，p=6，则F(0,3)，所以过A，B的直线方程为y−3= √3(x−0)，即x=√33(y−3)，联立{x2=12yx= √33(y−3)，得 y2−42y+9=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=42，y1y2=9，∴|AB|=y1+y2+p=42+6=48.故答案为48．17.答案：解：(1)∵cosB=35，且B∈(0,π)，∴sinB=√1−cos2B=45，又ac=35，∴S△ABC=12acsinB=12×35×45=14．(2)由ac=35，a=7，得c=5，∴b2=a2+c2−2accosB=49+25−2×7×5×35=32，∴b=4√2，∴cosC=a2+b2−c22ab =2×7×4√2=√22．又C∈(0,π)，∴C=π4．解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．(1)由已知可先求sin B的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．(2)由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cos C的值，即可求出C的值．18.答案：解：(Ⅰ)茎叶图由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定．(Ⅱ)从9次比赛的得分中选2个得分，共有{34,21}，{34,13}，{34,30}，{34,29}，{34,33}，{34,28}，{34,27}，{34,10}，{21,13}，{21,30}，{21,29}，{21,33}，{21,28}，{21,27}，{21,10}，{13,30}，{13,29}，{13,33}，{13,28}，{13,27}，{13,10}，{30,29}，{30,33}，{30,28}，{30,27}，{30,10}，{29,33}，{29,28}，{29,27}，{29,10}，{33,28}，{33,27}，{33,10}，{28,27}，{28,10}，{27,10}，共36种，得分都超过25分的有15种，∴两个得分都超过25分的概率p=1536=512．解析：本题考查茎叶图的作法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．(Ⅰ)由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录能用出茎叶图，由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定．(Ⅱ)从9次比赛的得分中选2个得分，利用列举法能求出两个得分都超过25分的概率．19.答案：(1)证明：∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；(2)解：记AC与BD的交点为O，连接OE，由PC⊥平面BDE，得PC⊥OE，在Rt△PAC中，PA=2，AC=2√3，PA⊥AC，可得PC=4，∠ACP=30°．在Rt△PAC中，有OC=√3，EC=OC⋅cos30°=32，则ECPC=83，即V E−BCD=83V P−BED，则V P−BED=58V P−BCD=58⋅13⋅S△BCD⋅PA=58⋅13⋅√3⋅2=5√312．解析：(1)由ABCD为菱形，可得AC⊥BD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到BD⊥PC；(2)记AC与BD的交点为O，连接OE，由已知可得PC⊥OE，求解三角形得V E−BCD=83V P−BED，则三棱锥P−BED的体积可求．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)依题意，圆M：x2+y2−6y+8=0，即圆M：x2+(y−3)2=1，圆心为M(0,3)，所以|PQ|≤|PM|+1，设P(x,y)，则|PM|2=x2+(y−3)2=x2+y2−6y+9，(∗)而x 24+y 23=1，所以x 2=4−4y 23.代入(∗)中，可得|PM|2=4−4y 23+y 2−6y +9=−y 23−6y +13，y ∈[−√3,√3]，所以|PM|max 2=12+6√3，即|PM|max =3+√3，所以|PQ|max =4+√3；(Ⅱ)依题意，设直线l 1：y =kx +m.由{y =kx +m,x 24+y 23=1消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8mkx +4m 2−12=0，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以Δ=64m 2k 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0，整理得m 2<4k 2+3.①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2， 设点E 的坐标为(x 0,y 0)，则x 0=−4mk 3+4k 2，所以y 0=kx 0+m =−4mk 23+4k 2+m =3m 3+4k 2， 所以点E 的坐标为(−4mk 3+4k 2,3m 3+4k 2)，所以直线l 2的斜率为k ′=3m3+4k 2−4mk 3+4k 2−18=24m−32mk−3−4k 2， 又直线l 1和直线l 2垂直，则24m −32mk−3−4k 2⋅k =−1，所以m =−3+4k 28k ，将m =−3+4k 28k 代入①式， 可得(3+4k 28k)2<4k 2+3， 解得k >√510或k <−√510， 所以直线l 1的斜率的取值范围为(−∞,−√510)∪(√510,+∞)．解析：本题考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(Ⅰ)将PM 表示成P 点的纵坐标y 的函数，结合y 的范围求最值；(Ⅱ)直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理用m表示直线l2的斜率，再求l1的斜率，求范围即可．21.答案：解：(1)定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x，f′(x)=0可得x=1;当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增;∴f min=f(1)=2，所以f(x)的最小值为2(2)由(1)得，x+1−lnx>0，∴x(x+1−lnx)>0，∴a≤e x−1+xx(x+1−lnx)=e x−1+xx2+x−xlnx令g(x)=e x−1+xx2+x−xlnx ，则g′(x)=(x−1)[(x−lnx)ex−1−x](x2+x−xlnx)2，由(1)可知x−1−lnx≥0，∴x−lnx≥1，x−1≥lnx，∴e x−1≥x，∴(x−lnx)e x−1−x≥e x−1−x≥0，当且仅当x=1时等号成立∴当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增;所以g(x)最小值为g(1)=1，∴a≤1，所以实数a的取值范围(−∞,1]．解析：本题重点考查利用导数研究函数的最值，属于一般题．(1)求出定义域和导函数，得单调性，进而求得最小值；(2)分离a，构造g(x)=e x−1+xx2+x−xlnx，利用导数求出g(x)的最小值，即可得a的范围．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C的参数方程为：{x=1+√7cosθy=√7sinθ，普通方程为(x−1)2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−6=0．(Ⅱ)设P(ρ1,θ1)，则有{ρ2−2ρcosθ−6=0θ=π3(ρ>0)，解得ρ1=3，θ1=π3，即P(3,π3)．设Q(ρ2,θ2)，则有{2ρsin(θ+π3)−√3=0θ=π3(ρ>0)，解得ρ2=1，θ2=π3，即Q(1,π3)，所以|PQ|=|ρ1−ρ2|=2．解析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．(Ⅰ)把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．23.答案：(1)解：f(x)=|x+1|+|x−2|≥|x+1−x+2|=3，当−1≤x≤2时，取得等号，所以f(x)min=3，即m=3；(2)证明：由(1)知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=9，所以a2+b2+c2≥3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．(1)|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|=3，即可求m的值；(2)由(1)知a+b+c=3，再由柯西不等式即可得证．。

3 - x 22 32 石家庄二中高三年级数学热身考试（理科）时间 120 分钟 满分：150 分第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，有且只有一项符合要求）1. 已知集合 M = {y | y = x 2 -1, x ∈ R } ，集合 N ={x | y = }，则 M I N = （）A {(- ,1), ( ,1)}B {- , ,1}C [-1, ]D ∅2. 已知 z 是纯虚数，z + 2 是实数，那么 z = （）1- iA ． 2iB ． iC ． -iD ． -2i3. 使不等式| x |≤ 2 成立的一个必要不充分条件是（）A | x + 1 |≤ 3B | x +1|≤ 2C log 2 (x + 1) ≤ 1D1 ≥ 1| x | 24. 在可行域内任取一点 (x , y )，如果执行如下图的程序框图，那么输出数对 (x , y ) 的概率是 （ ）AπB 8πCπDπ4625. 具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为（）A 13B 7 + 3 4 C7π D 不能确定2π6. 若 cos α= -，α是第三象限的角，则 s in （α+) = （ ）545 题图2 2 233 A - 7 2 10B7 2 10 C- 2 D210 107 某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该 门功课考试分数的极差与 中位数之和为（ ）A 117B 118C 118．5D 119．5π ⎡ π π⎤ π π 8. 函数 f (x ) = 2 c os(ωx + ϕ)(ω> 0,|ϕ|< ) 在区间 ⎢- , ⎥上单调，且 f (- ) ≤ f (x ) ≤ f ( ) 恒成立，2 则此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为()⎣ 3 6 ⎦3 6A 1BCD6 + 29. 如图，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， P 为底面 ABCD 上的动 点， PE ⊥ A 1C 于 E ，且 PA = PE ，则点 P 的轨迹是 （）A 线段B 圆C 椭圆的一部分D 抛物线的一部分2 2 uuu ruuu r uuu r 10. 双曲线 x - y =1右焦点为 F ， P 是双曲线上一点，点 M 满足| MF |= 1， MF ⋅ MP = 0 9 16 uuu r则| MP | 最小值为（）A 3B 2C D11. 已知 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数，当 x ∈[0,1]时，f ( x ) = 程 f ( x ) = kx + k ( k ∈ R ) 有 4 个根，则 k 的取值范围是（），那么在区间 (-1, 3) 内，关于x 的方A 0 < k ≤ 1 或 k = 34 6B 0 < k ≤ 14 C 0 < k < 1 或 k = 34 6D 0 < k < 141 *12. 已知正项数列{a n }的前 n 项和为 S n 满足： 2S n = a n +（ n ∈ N），若 222x1- x2A 1P Af (n ) = 1 + 1 S 1 S 2 + 1 + L + 1S 3S n ，记[m ]表示不超过 m 的最大整数，则[ f (100)] =（ ）A 17B 18C 19D 20第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上）12⎡π 1 ⎤ 13. 已知 a =⎰-1(3x + )dx ，则 ⎢⎣(a - 2 )x - x ⎥⎦展开式中的常数项为 。

2020届河北省石家庄二中高三（3月份）高考热身数学（文）试题一、单选题 1．已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ）A B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】求出复数的模，利用复数的性质即可求解. 【详解】由题意知21i z i ===+ 利用性质2z z z ⋅=，得2z z ⋅=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.2．已知集合{|A x Z y =∈=，{B a =，1}，若A B B =，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1或2或3 D ．2或3【答案】D【解析】求出集合A 中的元素，再根据集合的运算结果可得B A ⊆，进而可求出实数a 的值. 【详解】解：{}2{|430}{|13}1,2,3A x Z x x x Z x =∈--≥=∈≤≤=，且{},1B a =，由A B B =，知B A ⊆，则实数a 的值为2或3.故选：D ． 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数值，考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，属于基础题.3．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 4．已知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A ．sin sin a b > B ．a b c c > C ．c c a b <D ．11c c b a--<【答案】B【解析】根据指数函数(1)xy c c =>为增函数可得. 【详解】解：因为1c >，xy c =为增函数，且a b >，所以a b c c >， 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属于基础题. 5．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．6．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体的外接球的体积等于（ ）A ．43πB ．323π C ．4π D ．823π 【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为2的三角形. 【详解】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥A BCD -， 其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为R ，因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即223R =，所以外接球的体积()334434333V R πππ===．故选：A ．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则.7．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差[1d ∈，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为（ ）A．72B．5319C．2319-D．12-【答案】D【解析】利用等差数列通项公式推导出131819ddλ-=+，由[1d∈，2]，能求出实数λ取最大值.【详解】数列{}n a是等差数列，11a=，公差[1d∈，2]，且4101615a a aλ++=，13(19)11515d d dλ∴+++++=，解得131819ddλ-=+，[1d∈，2]，13181521919dd dλ-==-+++是减函数，1d∴=时，实数λ取最大值为13181192λ-==-+.故选：D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8．已知x，y满足条件{20xy xx y k≥≤++≤(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()A．－16 B．－6 C．-83D．6【答案】B【解析】【详解】由z＝x＋3y得y＝－13x＋3z，先作出{xy x≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.9．正三角形ABC P 在其外接圆上运动，则AP PB ⋅的取值范围是（ ） A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】设正三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，则1R =，且120AOB ∠=︒，由题意可得()12AP PB OP OA OB ⋅==⋅+-，设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =，设OM 与OP 的夹角为θ，利用向量的数量积即可求解. 【详解】设正三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，则1R =，且120AOB ∠=︒． 由题意知()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅111cos120OP OB =⋅--⨯⨯︒OA OP +⋅()12OP OA OB =⋅+-．设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =， 设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-=- 11121cos cos 222θθ=⨯⨯⨯-=-．又因为[]0,θπ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B 【点睛】本题考考查了向量的数量积的运算，考查了数量积在几何中的应用，属于中档题. 10．已知点F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，若点()01,M y 在抛物线C 上，且054y MF =，斜率为k 的直线l 经过点()1,3Q -，且与抛物线C 交于A ，B （异于M ）两点，则直线AM 与直线BM 的斜率之积为（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12-【答案】B【解析】根据抛物线的焦半径公式||12pMF =+，即可求出p 的值，求出()1,1M ，设直线l 方程与抛物线方程联立，求出,A B 两点的坐标关系，再将直线AM 与直线BM 的斜率之积用,A B 坐标表示，化简即可证明结论. 【详解】由抛物线的定义知02pMF y =+，则00524p y y +=，解得02y p =， 又点()01,M y 在抛物线C 上，代入2:2C x py =，得021py =，得01y =，12p =， 所以()1,1M ，抛物线2:C x y =，因为斜率为k 的直线l 过点()1,3Q -，所以l 的方程为()31y k x -=+，联立方程得()231y k x x y⎧-=+⎨=⎩，即230x kx k ---=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12123x x kx x k +=⎧⎨=--⎩，则直线AM 的斜率2111111AMx k x x -==+-，直线BM 的斜率2222111BM x k x x -==+-，()()121212111312AM BM k k x x x x x x k k =++=+++=--+=-.故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题. 11．若1201x x ，则（ ）A ．2121ln ln xxe e x x ->- B ．2121ln ln x x ee x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e < 【答案】C【解析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x -'=<，故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1xh x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.二、填空题12．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：2：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n =________. 【答案】60【解析】先求出总体中中A 种型号产品所占的比例，是样本中A 种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量． 【详解】解：由题意知，总体中A 种型号产品所占的比例是3323510=++，因样本中A 种型号产品有18件，则31810n ⨯=，解得60n =． 故答案为：60 【点睛】本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来，属于基础题．13．某公司105位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，105x ，其均值和方差分别为3800和500，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值和方差分别为________． 【答案】3900；500【解析】根据样本同时加上一个数对均值和方差的影响，求得下个月工资的均值和方差. 【详解】依题意，本月工资均值3800x =，方差2500S =.从下个月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值为10038001003900x +=+=，方差为2500S =.故答案为：3900；500 【点睛】本小题主要考查样本均值和方差的性质，属于基础题.14．设偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为________． 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】由题可知数()f x 在[)0,+∞上为增函数，不等式可化为()()22f a f ->，利用单调性可得22a ->，解出即可.【详解】∵偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，∴函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，且()20f =，∴不等式()20f a ->等价为()()22fa f ->，∴22a ->，即22a ->或22a -<-，解得4a >或0a <．故答案为：()(),04,-∞+∞.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，1(1)262nn n n S a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是__. 【答案】723,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】由1(1)262nn n n S a n =-++-，可得11142a a =-+-，解得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，化为：111[1(1)](1)22n n n n n a a +-+-=--+，对n 分类讨论，利用数列的单调性、不等式的性质即可得出. 【详解】1(1)262n n n nS a n =-++-， 11142a a ∴=-+-，解得174a =-， 当2n ≥时，111111(1)26[(1)2(1)6]22n n n n n n n n n a S S a n a n ----=-=-++---++--， 化为：111[1(1)](1)22n nn n n a a +-+-=--+，当2n k =（*k N ∈）时，1122n na -=-+，即212122k k a -=-+，2122122k k a ++=-+. 当21n k =-（*k N ∈）时，化为11222n n na a -=--+， 2221211222k k k a a ---∴=-+-，2212121122622k k k ka a ++=-+-=-， 1()()0n n a p a p +--<恒成立，∴当2n k =（*k N ∈）时，212()()0k k p a p a +--<，222112622k kp +∴-+<<-， 11261616p ∴-+<<-；当21n k =-（*k N ∈）时，221()()0k k p a p a ---<，22112622k kp ∴-+<<-.72344p ∴-<<， 则实数p 的取值范围是：723(,)44-. 故答案为：723,44⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了递推关系、分类讨论方法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题16．已知锐角ABC 面积为S ，A ∠，B ，C ∠所对边分别是a ，b ，c ，A ∠，C ∠平分线相交于点O，b =222)4S a c b =+-．求： （1）B 的大小；（2）AOC △周长的最大值． 【答案】（1）3B π=；（2）4+【解析】（1）由222)S a c b =+-结合三角形的面积公式和余弦定理可得1csin 2cos 2a B a B =，从而可求出B 的大小； （2）设AOC △周长为l ，OAC α∠=，则,124ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，由正弦定理可得sin sin sin 33OA OC παα==⎛⎫- ⎪⎝⎭4sin 4sin 3l παα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，再用三角恒等变换公式化简，结合三角函数的性质可得答案 【详解】 （1）∵)222S a c b =+-，∴)2221sin 2ac B a c b =+-，故：1csin 2cos tan 243a B a B B B π=⇒==． （2）设AOC △周长为l ，OAC α∠=，则,124ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，∵OA 、OC 分别是A ∠、C ∠的平分线，3B π=，∴23AOC π∠=． 由正弦定理得23sin sin sin 33OA OC ππαα==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以4sin ,4sin 3OC OA παα⎛⎫==-⎪⎝⎭所以4sin 4sin 233l παα⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 233πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴57,31212πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 当6πα=时，AOC △周长的最大值为423+．【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题17．对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.（1）求0y ，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取20个元件，元件寿命落在100~300之间的应抽取几个？（2）从（1）中抽出的寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在100~200之间，一个元件寿命落在 200~300之间”的概率.【答案】（1）5；（2）35. 【解析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得0y ，分层抽样是按比例抽取，所以根据比值可求得件寿命落在100~300之间的抽取个数；（2）分别求出落在100~200之间和落在200~300之间的元件个数。

河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考数 学（文科）本试卷共4页，23题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4. 考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）.(,1]A -∞- .(,1)B -∞- .[1,)C +∞ .(1,)D +∞ 2．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ） A.,21000n n N ∀∈< B.,21000n n N ∀∉< C.,21000n n N ∀∈≤D.,21000n n N ∀∉≤3．己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．12B．2C ．1D4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（ ） A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<6. 若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ）C.-D.A. B. C. D.8．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=，则r 的取值范围是（ ）A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,69．如图所示，在直角梯形ABCD 中，8AB =，4CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中 点，则()AB AC AE ⋅+=（ ） A.32 B.48 C.80D.6410．已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于,A B 两点，且线段AB 中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.23D.311．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为（ ）A ．254B ．4C ．272D ．252+12．定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，当0x …时，不等式()()1xf x f x '>-. 若x R ∀∈，不等式()()0xxxe f e e ax axf ax -+->恒成立,则正整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河北省高三3月考试（网测）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}3|log 1A x x =<，{|1}B x x =…，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{1,2,3}C ．[1,3)D ．(3,)+∞【答案】C【解析】计算{|03}A x x =<<，再计算交集得到答案. 【详解】{}3|log 1{|03}A x x x x =<=<<,{|1}B x x =≥，[1,3)A B =I .故选：C . 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 2．已知i 为虚数单位，41z i=-，则复数z 的虚部为( ) A ．2i - B ．2iC ．2D ．2-【答案】D【解析】由复数的除法运算求出z ，进而得出z ，即可得出结果. 【详解】 因为()()()41422111i z i i i i +===+--+，所以22z i =-，所以虚部为2-. 故选D 【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型. 3．函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A ．关于原点对称B ．关于点,12π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线8x π=-对称D ．关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D 【解析】令2,42k x k Z ππ+=∈，解得,48k x k Z ππ=-∈，得到答案.【详解】 函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭中，令2,42k x k Z ππ+=∈，解得,48k x k Z ππ=-∈； 令1k =得8x π=，所以tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于原点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 正确. 代入验证知ABC 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查了正切函数的对称中心，意在考查学生的计算能力.4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对A 、B 、C 三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至A 县区的概率为（ ） A ．12B ．13C ．16D ．23【答案】B【解析】列出所有情况共有6种，满足条件的有两种情况，得到概率. 【详解】某市农业经济部门派三位专家对A 、B 、C 三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的情况的基本事件总数为ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，六种情况，甲专家恰好派遣至A 县区的情况为ABC ，ACB ，两种情况， 则甲专家恰好派遣至A 县区的概率为：2163=. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．已知向量m u r ，n r 满足||1m =u r ，||2n =r ，m n +=u r r 则n r 在m u r上的投影为（ ）A ．1 BC ．2D【答案】A【解析】计算1m n ⋅=u r r ，再根据投影公式||m nm ⋅r rr 计算得到答案.【详解】向量m u r ，n r 满足||1,||2,n m m n ==+=u r r u r r ∴221227m n ++⋅=u r r ，可得1m n ⋅=u r r ，则n r 在m u r 上的投影为1||m nm ⋅=r rr .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和对于投影概念的理解..6．已知椭圆22221(0)2x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=的焦点相同，则椭圆的离心率为（ ） A ．32B ．22C ．12D ．33【答案】A【解析】根据题意得到22222a b a b -=+，得到222a b =，得到离心率. 【详解】椭圆22221(0)2x y a b a b+=>>的半焦距2212c a b =-，双曲线22221x y a b-=的半焦距222c a b =+，由题意可得22222a b a b -=+，即222a b =，∴椭圆的离心率为221232222a a e a a-===.故选：A . 【点睛】本题考查了椭圆离心率，双曲线焦点，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．83C ．43D ．223【答案】B【解析】该几何体是如图所示的三棱锥1C ABD -，计算体积得到答案. 【详解】根据三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥1C ABD -， 结合图中数据，计算该三棱锥的体积为：11184223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8．已知x ，y 满足约束条件1033010x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„，则目标函数22z x y =+的最大值为（ ）A ．2B 13C ．22D ．13【答案】D【解析】画出可行域，目标函数22z x y =+的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，计算得到答案. 【详解】由已知得到可行域如图：目标函数22z x y =+的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图得知，A 是距离原点最远的点，由33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩得到(3,2)A ，所以目标函数22z x y =+的最大值为223213+=. 故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，将目标函数转化为点到原点的距离的平方是解题的关键. 9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1 坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（ ） A ．11 B ．18C ．22D ．26【答案】C【解析】根据题意井卦表示二进制数的010110，计算得到答案. 【详解】 六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，转化为十进制数的计算为01234502121202120222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了二进制，意在考查学生的计算能力和理解能力.10．执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b c 依次为0.80.9，0.90.8，0.90.9，则输出的x 为（ ）A ．0.80.9B ．0.90.8C ．0.90.9D ．0.80.8【答案】A【解析】根据程序框图知：a 、b 、c 中最大的数用x 表示后输出，比较大小得到答案. 【详解】由题意可知a 、b 、c 中最大的数用x 表示后输出， 若输入的a ，b ，c 依次为0.80.90.90.9,0.8,0.9，利用指数函数的性质可得0.80.90.90.9>，0.90.90.80.9<，故最大的数x 为0.80.9， 故选：A . 【点睛】本题考查了程序框图，理解程序框图表示的意义是解题的关键.11．已知函数ln(21),0()1,0x x x f x e x +>⎧=⎨-⎩…，若函数()()g x f x ax =-恰有2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(0,2)【答案】C【解析】函数2ln(1)y x =+在原点处的切线斜率为12k =，函数1xy e =-在原点处的切线斜率为21k =，根据图像得到答案. 【详解】函数()()g x f x ax =-恰有2个零点，即函数()y f x =与()g x ax =的图象有2个交点， 可知直线()g x ax =过原点，函数2ln(21)y x =+的导数是221y x '=+， 可知函数2ln(1)y x =+在原点处的切线斜率为12k =，函数1x y e =-的导数是e x y '=，可知函数1xy e =-在原点处的切线斜率为21k =，由图象可知，直线()g x ax =的斜率[1,2)a ∈时有2个零点. 故选：C .【点睛】本题考查了零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出函数图像是解题的关键.12．已知动点M 到点(1,0)F 的距离与到y 轴距离之和为3，动点N 在直线240x y -+=上，则两点距离||MN 的最小值是（ ）A ．45210-B 5C 25D 45【答案】B【解析】根据定义知动点(,)M x y 的轨迹方程为抛物线，计算200245y y d -+=二次函数性质得到最值.【详解】 设动点(,)M x y ，当0x ≥时，M 到y 轴距离与到直线3x =的距离之和为3， 由抛物线定义得：动点(,)M x y 满足：24(2),(0)y x x =--≥， 同理，当0x <时，M 到y 轴与到直线3x =-的距离之和为3， 由抛物线定理得：动点(,)M x y 满足：28(1),(0)y x x =+<， 当M 到直线240x y -+=距离最小时，0x <，()00,M x y 到240x y -+=的距离：d ==， 当02y =时，d. 故选：B . 【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．cos 75°－cos 15°的值等于_________．【答案】 【解析】【详解】原式＝cos(45°+30°)－cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°) ＝-2sin 45°sin 30°＝－2． 14．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg4xg x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 【答案】8【解析】确定()y g x =的图象关于点(2,0)对称，函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，得到答案. 【详解】()lg4xg x x=-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称， 又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称， 所以四个交点的横纵坐标之和为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查了函数的交点问题，确定函数关于点(2,0)对称是解题的关键. 15．已知球的直径2SC =，A ，B 是该球球面上的两点，2AB =，45ASC BSC ︒∠=∠=，则棱锥S ABC -的体积为________.【答案】13【解析】设圆心为O ，连结AO ，BO ，由SC 是球的直径，得到90SBC ︒∠=，证明SC ⊥平面ABO ，计算体积S ABC S ABO C ABO V V V ---=+得到答案.【详解】设圆心为O ，连结AO ，BO ，由SC 是球的直径，得到90SBC ︒∠=，∵45ASC BSC ︒∠=∠=，∴,,BS BC AO SC BO SC =⊥⊥，∴SC ⊥平面ABO ， ∴棱锥S ABC -的体积为：1133S ABC S ABO C ABO ABO ABO V V V S SO S SO ---∆∆=+=⋅+⋅ 1111121233223ABO S SC ∆=⋅=⨯⨯⨯-⨯=. 故答案为：13.【点睛】本题考查了三棱锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知4c =，(2)cos cos 0a b C c B ++=，则ABC ∆面积的最大值是_________.【答案】433【解析】根据正弦定理得到23C π=，再根据余弦定理和均值不等式得到163ab ≤，得到面积最值. 【详解】因为(2)cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++=， 即2sin cos sin()0A C B C ++=，所以2sin cos sin 0A C A +=， 因为sin 0A ≠，所以12cos ,23C C π=-=， 由余弦定理可得，2222cos c a b ab C =+-，所以22163a b ab ab =++…，当且仅当a b =时取等号，所以163ab „，所以1sin 2S ab c ==≤.. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题17．在公差大于1的等差数列{}n a 中，413a =，且3a ，61a +，13a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令232n n n b a a =--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）31n a n =+；（2）364n nS n =+【解析】（1）直接根据等差数列公式和等比中项计算得到答案. （2）113132n b n n =--+，根据裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d >，∵413a =，且3a ，61a +，13a 成等比数列，∴2(1321)(13)(139)d d d ++=-+， 解得：3d =，则14a =，∴43(1)31n a n n =+-=+；（2）233112(31)(32)3132n n n b a a n n n n ===----+-+， ∴1111111132558313223264n nS n n n n =-+-++-=-=-+++L . 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AD ==，3AB =，点E 为线段PD 的中点.（1）求证：AE PC ⊥； （2）求三棱锥P ACE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）1【解析】（1）证明PA CD ⊥，CD AD ⊥，得到CD ⊥平面PAD ，得到证明. （2）根据12P ACE E PAC P ACD V V V ---==计算得到答案. 【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又在矩形ABCD 中，CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面PAD ，∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥，又∵PA AD =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，∴AE ⊥平面PCD ，∴AE PC ⊥； （2）∵点E 为线段PD 的中点. ∴111122312232P ACE E PAC P ACD V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线线垂直，三棱锥体积，意在考查学生计算能力，推断能力，空间想象能力. 19．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高80已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为25. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由； （3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析；（2）有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关，理由见解析；（3）910【解析】（1）计算学习积极性不高的有2200805⨯=人，完善列联表得到答案. （2）233.3310.828K ≈>，对比临界值表得到答案.（3）有2人学习积极性高，设为A 、B ，有3人学习积极性不高，设为C 、D 、E ，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【详解】（1）根据题意，全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为25， 则学习积极性不高的有2200805⨯=人， 据此可得：列联表如下：（2）根据题意，由列联表可得：22200(80602040)33.3310.82812080100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯；故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，有2人学习积极性高，设为A 、B ，有3人学习积极性不高，设为C 、D 、E ，从中选取2人， 有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共10种情况， 其中至少有1人学习积极性不高的有AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共9种情况，至少有1人学习积极性不高的概率910P =. 【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)A 、()00,P x y 、()()000,0Q x y y --≠在椭圆上，直线AP 与直线AQ 的斜率之积34AP AQ k k =-⋅. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线0022:1x x y yl a b+=点(1,0)B -关于直线l 的对称点是D ，求证：过点P ，D 的直线恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析 【解析】（1）计算2a =，根据34AP AQ k k =-⋅得到23b =，得到椭圆方程. （2）直线l 为00143x x y y+=，计算得到D 的坐标，00001PD n y y k m x x -==--，得到PE PD k k =，得到答案.（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)A ，2a =，()00,P x y 、()()000,0Q x y y --≠在椭圆上，直线AP 与直线AQ 的斜率之积34AP AQ k k =-⋅，得00003224y y x x -⋅=----，由2200214x y b+=，联立得23b =， 所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）证明：由（1）直线l 为00143x x y y+=，设D 的坐标为(,)m n ， 则0000200413(1)186143y nm x x m y n x y ⎧=⎪+⎪⎪-+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2002000020724161683216x x m x x y y n x ⎧+-=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 故()()()22000000000032200000000816816781618161PDx x y n y x y x y y y k m x x x x x x x x ++-++====-++--++-， 取点(1,0)F ，显然PE PD k k =，所以D ，P ，F 三点共线， 即直线PD 恒过定点(1,0). 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21．已知函数()1x f x e ax =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，2()f x x x -…恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(,1]e -∞-【解析】（1）求导得到()xf x e a '=-，讨论0a „和0a >两种情况，分别计算得到答案.（2）0x >时， 11x e a x x x ≤--+，令1()1(0)x e h x x x x x=--+>，求函数的最小值为min ()(1)1h x h e ==-，得到答案.（1）函数的定义域为R ，()x f x e a '=-， 若0a „，则()0f x '>，所以()f x 在R 上单调递增； 若0a >，令()0xf x e a '=-=，则ln x a =， 当(,ln )x a ∈-∞）时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述，0a „，函数在(,)-∞+∞上单调递增，0a >时，函数在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）当0x >时，2()f x x x -…，即11x e a x x x--+„，令1()1(0)x e h x x x x x =--+>，则()222(1)1(1)1()x x x e x e x x h x x x'-----+==， 令()1(0)x g x e x x =-->，则()10xg x e '=->， 当0x >时，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=，所以当01x <<时，()0,()h x h x '<单调递减，当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故min ()(1)1h x h e ==-，所以a 的取值范围是(,1]e -∞-. 【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的方程为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求1C ，2C 的普通方程；（2）设点A 在曲线1C上，且对应的t =B 是曲线2C 上的点，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）20x +=，2220x y y +-=；（2）32【解析】（1）直接根据参数方程，极坐标公式转化得到答案. （2）2,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，设(,)B ρθ，则2sin ρθ=，112sin 226ABC S πθ∆⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）曲线1C的方程为2212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.转换为直角坐标方程为20x -+=.曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.转换为直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）点A 在曲线1C 上，且对应的t =故A ，则转换为极坐标为2,3A π⎛⎫⎪⎝⎭， 设(,)B ρθ，则2sin ρθ=， 则111||||sin 2sin 12sin 222326ABC S OA OB AOE ππρθθ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯∠=⨯-=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当23πθ=时，()max 32ABC S ∆=.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，三角形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.23．已知函数()|21|||f x x x a =-+-. （1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()2f x x <在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）43x x ⎧>⎨⎩或}0x <；（2）12a << 【解析】（1）讨论1x ≥，112x <<，12x ≤三种情况，分别计算得到答案. （2）题目转化为||1x a -<恒成立，解得答案. 【详解】（1）当1a =时，()|21||1|f x x x =-+-，由()2f x >，可得12112x x x ⎧⎨-+->⎩…或1122112x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+->⎩或121212x x x ⎧⎪⎨⎪-+->⎩„， 即为43x >或x ∈∅或0x <， 则原不等式的解集为43x x ⎧>⎨⎩或}0x <. （2）函数()f x 的解析式可得当[1,2]x ∈时，()2f x x <，即21||2x x a x -+-<， 即||1x a -<，可得11x a -<-<，即11a x a -<<+在[1,2]x ∈恒成立， 由[1,2]x ∈，可得11a -<且12a +>，可得12a <<. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.。

石家庄二中2019-2020学年度第一学期期末试卷高三数学理科模拟试题一、选择题：本题共12小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足26z z i +=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，代入26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求． 【详解】解：设(),z a bi a b R =+∈，由26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+， 即36a bi i -=+，{361a b =∴-=，解得2a =，1b =-．∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1-，位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知全集11{|0}1{|21}8x U x R x M x N x x ⎧⎫=∈<=-=<<⎨⎬⎩⎭，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {|31}x x -<<-B. {|30}x x -<<C. {|10}x x -≤<D. {|10}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得{|10}M x x x =-或，{|30}N x x =-<<，由文氏图可得题中表示的集合为()U C M N ⋂，据此可得图中阴影部分表示的集合.【详解】求解分式不等式11x>-可得{|10}M x x x =-或， 求解指数不等式1218x <<可得{|30}N x x =-<<， 由文氏图可得题中表示的集合为()U C M N ⋂，易知{|10}U C M x x =-≤≤，故(){|10}U C M N x x ⋂=-≤<. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的基本运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若0,141=+=a a a k ，则k=（ ） A. 10 B. 7C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得70a =，然后再次利用等差数列的性质确定k 的值即可.【详解】由等差数列的性质可知：9579468750S S a a a a a a -=++++==,故70a =，则410720a a a +==，结合题意可知：10=k .本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.4.某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（ ）A.103 B. 35 C. 45D.CF BC ⊥【答案】D 【解析】 【分析】已知随机选派2人参加围棋比赛的方法有25C 种，而选出的2人中没有女队员的方法有23C 种，据此可得满足题意的概率值.【详解】由题意结合排列组合公式可得随机选派2人参加围棋比赛的方法有25C 种，而选出的2人中没有女队员的方法有23C 种，结合古典概型计算公式可得：选出的2人中有女队员的概率为22532510371010C C P C --===. 本题选择D 选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 5.双曲线222x my m -=的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. 2C. 1D. 与m 的值有关 【答案】C 【解析】【分析】由题意可知0m >，据此可得右焦点坐标为⎫⎪⎪⎭0my ±=,利用点到直线距离公式求解其距离即可.【详解】由题意可知0m >，双曲线方程即：2212x y m -=，故22222,1,122m ma b c a b ===+=+，则右焦点坐标为⎫⎪⎪⎭0±=,故右焦点到一条渐近线的距离为1d ==.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6.要得到函数2y x =的图象，只需将函数22y sin x cos x =+的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动4π个单位长度 B. 向左平行移动8π个单位长度C. 向右平行移动4π个单位长度D. 向右平行移动8π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】结合辅助角公式可得28y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，据此确定函数需要平移的方向和长度即可.【详解】由于sin 2cos22248y x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故要得到函数2y x =的图象，只需将函数22y sin x cos x =+的图象上所有的点向右平行移动8π个单位长度. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查函数的平移变换公式，三角函数图像平移的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.在A B C ，，中，3445a b A ===︒，，，则V ABC 的形状可能是（ ） A. 钝角或锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角或直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可得1c =，结合大边对大角可知∠B 为△ABC 中的最大角，求解B cos 的值即可确定△ABC 的形状.【详解】由余弦定理有：A bc c b a cos 2222-+=，即2916242c c =+-⨯⨯⨯，整理可得：270c -=，解得：1c =，由于11242⎫=<⎪⎭，结合大边对大角可知∠B 为△ABC 中的最大角，当1c =时，222cos 02a c b B ac +-=>，△ABC 为锐角三角形；当1c =时，222cos 02a c b B ac +-=<，△ABC 为钝角三角形；综上可得：ABC 的形状可能是钝角或锐角三角形. 本题选择A 选项.【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．8.若实数x y ，满足不等式组1010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数24x y z x -+=-的最大值是（ ）A. -7B. 13-C. 14-D.41 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出不等式组表示的可行域，目标函数即：26144x y y z x x -+-==---，结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值时点的坐标即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：26144x y y z x x -+-==---，其中64y x --表示可行域内的点与()4,6连线的斜率值，据此结合目标函数的几何意义可知64y x --在点()0,1A 处取得最小值，此时目标函数24x y z x -+=-的最大值为：max 0121044z -+==--.本题选择C 选项.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 9.下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）A. 662π+B. 664π+C. 662π-D.664π-【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，结合题中所给的数据求解组合体的表面积即可.【详解】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为为3,3,4，圆柱的底面半径为1=r ，圆柱的高为5， 据此可得，组合体的表面积2(333434)212664S ππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+. 本题选择A 选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10.若函数2(1)()f x x x ax b =-++（）的图象关于点（-2，0）对称，12,x x 分别是f x （）的极大值与极小值点，则21x x -=（ ）A. B. C. - D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得：0)2(=-f ，由函数的解析式结合对称性可得()50f -=，据此可得函数的解析式为32()6310f x x x x =---+，结合导函数研究函数的极值，由韦达定理可定21x x -的值.【详解】由题意可得：(2)3(42)0f a b -=-+=， 函数图象关于点（-2，0）对称，且()10f =，故()50f -=，即：(5)6(255)0f a b -=-+=, 据此可得：2405250b a b a -+=⎧⎨-+=⎩，解得：107b a =⎧⎨=⎩,故函数的解析式为：()232()(1)7106310f x x x x x x x =-++=---+，()22'()3123341f x x x x x =---=-++，结合题意可知：12,x x 是方程0142=++x x 的两个实数根，且12x x >，故1212x x x x -=--===-.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11.函数2612xf x x xsin x R π=-+∈（）（）的零点个数为（ ） A. 10 B. 8C. 6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】很明显0x =不是()f x 的零点，当0x ≠时，原问题等价于考查函数6sin2xy π=与函数1y x x=+交点的个数，绘制函数图像，结合函数的性质确定零点的个数即可. 【详解】很明显0x =不是()f x 的零点，当0x ≠时，令26102xx xsinπ-+=可得16sin2xx x π=+，则原问题等价于求解函数6sin2xy π=与函数1y x x=+交点的个数，注意到两个函数都是奇函数，故考查当0x >时两函数交点的个数，绘制函数图像如图所示，当6x =时，16x x +>，故当0x >时两函数交点的个数为4个， 结合函数的对称性可知函数6sin2xy π=与函数1y x x=+交点的个数为8个.综上可得：函数2612xf x x xsin x R （）（）π=-+∈的零点个数为8. 本题选择B 选项.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12.已知实数1212,,,x x y y 满足，2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则112211x y x y +-++-的最大值为（ ）B. 2C. 22D. 4【答案】D 【解析】 【分析】设点()()1122,,,A x y C x y 在圆221x y +=上，且90AOC ∠=，原问题等价于求解点A 和点C 到直线10x y +-=距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定112211x y x y +-++-的最大值即可.【详解】设点()()1122,,,A x y C x y 在圆221x y +=上，且90AOC ∠=， 原问题等价于求解点A 和点C 到直线10x y +-=倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A ,C 均位于直线10x y +-=下方， 作AD ⊥直线10x y +-=于点D ，CF ⊥直线10x y +-=于点F ， 取AC 的中点B ，作BE ⊥直线10x y +-=于点E ， 由梯形中位线的性质可知2AD CF BE +=，当AC直线10x y +-=时，直线AC 方程为10x y ++=，两平行线之间的距离：d==由圆的性质BE ≤综上可得：112211x y x y +-++-(4=.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题：本题共4小题。

2020年河北省石家庄市第二中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为（a,b），导函数在（a,b）内的图像如图所示，则函数在（a,b）内有极小值点的个数为（）A . 4 B. 3C. 2D. 1参考答案：D2. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3. 已知单位向量e1，e2的夹角为θ，且，若向量m＝2e1-3e2，则|m|＝A．9 B．10 C．3 D．参考答案：C4. 用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：Ａ5. 在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a、b∈R，a*0=a；（3）对任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：①在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据条件在③中令c=0得到a*b=ab+a+b从而得到f（x）的表达式，结合函数的奇偶性，单调性和最值的性质分别进行判断即可．【解答】解：①由新运算“*”的定义③令c=0，则（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，即a*b=ab+a+b∴f（x）=x*=1+x+，当x＞0时，f（x）=x*=1+x+≥1+2=1+2=3，当且仅当x=，即x=1时取等号，∴在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；故①正确，②函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（1）=1+1+1=3，f（﹣1）=1﹣1﹣1=﹣1，∴f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），则函数f（x）为非奇非偶函数，故②错误，③函数的f′（x）=1﹣，令f′（x）=0则x=±1，∵当x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）．故③正确；故正确的是①③，故选：C6. 抛物线的焦点为，点，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，为周长的最小值为（）A．B．12 C. 11 D．参考答案：C7. 函数的图象大致是A BC D参考答案：B8. 如图所示，某几何体的三视图中，正视图和俯视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1，即可求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1，所以它的体积，故选A．9. 设对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围是（）A B C D参考答案：C略10. 已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A．15 B．10 C．9 D．8参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若是两个不共线的向量，已知，若，，三点共线，则=参考答案：-8略12. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为．参考答案：13. 已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.参考答案：14. 若，其中是虚数单位，则实数的值是____________.参考答案：由得，所以。