湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析

湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案B.g(x)x 1x1C.h(x)x2 1D.k(x)x 210.已知函数f(x)x33x22x，g(x)ax2bx c，若f(x)g(x)2，则aA.1B.1C.2D. 211.已知函数f(x)x22x1，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x2B.x22x3C.x23x2D.x23x 312.已知函数f(x)x2x2，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x3B.x22x3C.x22x3D.x22x 3武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷1.函数 $f(x)=\frac{3x^2}{1-x}-\frac{2}{3x+1}$ 的定义域是A。

$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$B。

$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$C。

$[-1,1]$D。

$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},\infty)$2.集合 $A=\{xy=2(2-x)\}$，$B=\{yy=2x,x>1\}$，则$A\cap B$=A。

$[0,2]$B。

$(1,2]$C。

$[1,2]$D。

$(1,+\infty)$3.已知命题 $p:\forall x>0,\ (x+1)e^x>1$，则命题 $p$ 的否定为A。

$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$B。

$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$C。

$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$D。

$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$4.设 $a=0.6^{0.6}$，$b=0.6^{1.2}$，$c=1.2^{0.6}$，则$a$，$b$，$c$ 的大小关系是A。

$a<b<c$B。

湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知角，满足，，则（ ）A.B. C.D.5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）A. B. C. D.8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭{}220Bx Nx x =∈+-≤∣AB = (]1,1-{}0,1,2{}0,1{}1,0,1-i ()()1122z i i ++=-+z =1i-+1i --1i +1i-a b ()3,4a = ()2,1b =- b a68,2525⎛⎫⎪⎝⎭(6,8)68,55⎛⎫⎪⎝⎭(4,2)αβtan 2α=()sin 2cos sin βαβα=-tan β=2323-4343-()26ln 1f x x x ax =++-(1,2)a 8,⎡--⎣(8,--7,⎡--⎣(8,7)--(2π+(1π+(3π+()f x ()g x R ()1f x +()()114f x g x -++=，则下列结论正确的是（ ）A.为奇函数B.为奇函数C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）A.双曲线的离心率为2B.直线的斜率的取值范围为C.的取值范围为D.11.在正三棱锥中，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）A.三棱锥的体积为3B.二面角C.球的表面积为D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_____.()()24f x g x +-=()f x ()g x ()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑x y 2x y +=2291x y x y+++22:13y C x -=1F 2F 2F l C A B 12AF F △1I 12BF F △2I AB (),-∞+∞12I I ⎡⎢⎣2112tan3tan22AF F AF F ∠∠=P ABC -AB =PA =P ABC -O P ABC Q PQ M P ABC -M AB P --O 43π1O O 1O (),4A a 24y x =F AF B FB13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列为等比数列，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求.16.（15分）如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，y ax=()x ef xx=a1323{}na{}n b()()*21nnnb n N=+-∈()1,0n n na b b Rλλλ+=-∈>{}na{}nc2n nc n a={}n c n n T9TABC△A B C a b csin sin sin sinA B B Cc a b++=-A3,0BC BD AB AD=⋅=2AD=ABC△AD B AD C'--AB'B CD'X X()2222:10x yC a ba b+=>>()2,1P O l C A B OP Q2AB QB=直线与轴，轴分别交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积取最大值时，求的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.l x y M N C APB △MON △R ()f x [],a b (,)a b ()()f a f b =(),c a b ∈()0f c '=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)a b c d R ∈()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈(0,1)m湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12. 13. 14.解答题：15.（13分）解：（1）因为为等比数列，所以，即，化简得.因为，得.因此，易知为等比数列；（2）由（1）知，.，16.（15分）解：（1），，化简得.由余弦定理得，，故；（2）设，，在中，由得，解得.①在中，.②由①、②得.，，从而.二面角为直二面角，，平面平面，平面，10324e 2881{}n a 2213a a a =()()()2755177λλλ-=--()()210λλ-+=0λ>2λ=()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦{}n a ()231nn c n=--22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ sin sin sin sin A B B C c a b ++=-a b b c c a b++∴=-222b c a bc +-=-2221cos 22b c a A bc +-==-23A π=BD x =2CD x =ACD △sin sin CD AD DAC C ∠=22sin30sin x C=1sin 2C x=ABD △2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭sin B x ==BD ∴=CD =AB = B AD C '--AB AD '⊥AB D ' ACD AD =AB '⊂AB D '平面建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，，，.设平面的法向量，则有，即令，解得.故直线与平面.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，若两人交换的是玩偶，则概率也为，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）（2）可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后，，AB ∴'⊥ACD()0,0,0A ()D ()C (B '(AB ∴='(B C =' (B D '=B CD '(),,n x y z = 00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1y =()4n =cos ,n AB n AB n AB ⋅∴=''='AB 'B CD '111224⨯=111224⨯=111442+=X 111224⨯=111224⨯=()1111044464P X ==⨯⨯=()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故随机变量的分布列为：01234.18.（17分）解：（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.由，解得.因为椭圆的离心率为，得.所以椭圆的标准方程为：；（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，两式相减，得，整理得.（*）设坐标为，由得为线段的中点，，.由在线段所在直线上，且坐标为，则有，即.由（*）得，故.设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得，整理得.()1111444464P X ==⨯⨯=X X P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=C D D (,0)a -PD ==2a =C c e a ==c =1b =C 2214x y +=A (),A A x y B (),B B x y A B C 22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩()222204A B A B x x y y -+-=222214A B A B y y x x -=--Q (),Q Q x y 2AB QB =Q AB 2A B Q x x x +∴=2A BQ y y y +=Q OP P (2,1)12OQ OP k k ==12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-12A B AB A B y y k x x -==--l 1,02y x m m =-+≠l C 221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()222210x mx m -+-=由，得且.因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.点到直线的距离为且.记，.由，及得即当时，取最大值.此时直线方程为，与坐标轴交点为，19.（17分）证明：（1）设，，则，在上连续，在上可导.又，由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，.故方程在内至少有一个实根.（2），在区间内有零点，不妨设该零点为，则，.0>△m <<0m ≠l C A B 2A B x x m +=()221A B x x m =-B AB x ∴=-==P l d 122APB S AB d ∴==-=△m <<0m ≠()()()2222f m mm =--()()()2421f m m m m =---'()0f m '=m <<0m ≠m =m =APB S △l 12y x =-()1M -N ⎛ ⎝12MON S OM ON ∴== △()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++[]0,1x ∈()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++()F x ∴[]0,1(0,1)()()010F F ==()00,1x ∈()00F x '=()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)()()2222222xf x emx e m x =----- m R ∈(0,1)1x ()10f x =()10,1x ∈由于，易知在和上连续，且在和上可导.又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.方程在上至少有两个不等实根和.设，，则.，.当，即时，，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当，即时，，故在上单调递减.方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当时，由得，时，有单调递减；时，有单调递增.在上的最小值.注意到，则有.方程在上至少有两个不等实根，，解得.结合，且，，()()224222xf x e mx e m '=----()f x '[]10,x []1,1x ()10,x ()1,1x ()()()1010f f x f ===()210,x x ∈()20f x '=()31,1x x ∈()30f x '=∴()()2242220x f x e mx e m '=----=(0,1)2x 3x ()()()224222xg x f x emx e m ==--'--()0,1x ∈()282x g x e m =-'()0,1x ∈ ()2288,8x e e ∴∈1 28m ≤4m ≤()()0820g x g m >=-'≥'()g x (0,1)()0g x =(0,1)2 228m e ≥24m e ≥()()21820g x g e m <=-'≤'()g x (0,1)()0g x =(0,1)3 244m e <<()0g x '=()1ln 0,124mx =∈10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '>()g x ∴(0,1)()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x =(0,1)()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩222622e m e -<<+244m e <<22262 2.564e ->⨯->222222224e e e e +<+=故的取值范围为.m ()2226,22e e -+。

2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣12．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．25．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．506．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+29．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．711．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣1【分析】根据直线的截距相等，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：显然直线不过（0，0），截距不是0，故直线可化为：+＝1，若直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则＝，解得：a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查对应思想，是一道常规题．2．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据向量的相等以向量的平行和向量的共线即可判断．【解答】解：对于①，＝λ（λ∈R），那么与方向相同或相反，故①错误，对于②，非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线或AB与CD平行，故②错误，对于③，△ABC中，若B＞90°，则•＜0，故③正确，对于④，四边形ABCD是平行四边形，则必有＝，故④正确．故选：C．【点评】本题考查向量的相等，向量的平行，关键是掌握共线的条件，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】解：由已知利用正弦定理可得c＝a，结合已知b2﹣a2＝ac，可求得b＝2a，进而根据余弦定理可求cos C的值．【解答】解：∵＝，∴由正弦定理可得：＝，即c＝a，又∵b2﹣a2＝ac，∴b2﹣a2＝3a2，可得b＝2a，∴cos C＝＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．2【分析】由两圆的公共弦垂直于两圆圆心的连线，再由两直线斜率的关系列式可得m+n 的值．【解答】解：∵两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），且两圆的圆心都在直线x+y ＝0上，∴MN垂直直线x+y＝0，则MN的斜率k＝，得m+n＝0．故选：C．【点评】本题主要考查圆与圆相交的性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．5．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．50【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．【解答】解：设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．解得x＝≈0.414≈42%．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C．【点评】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离【分析】由直线系方程可得直线过圆上的定点，由此可得直线l与圆C不可能相离．【解答】解：由直线l：mx﹣y﹣m+＝0，得m（x﹣1）﹣y+＝0，由，得，可得直线l过定点A（1，）．圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2．∵|CA|＝，∴A在圆C上，∴直线l与圆C不可能相离，故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系，训练了直线系方程的应用，是基础题．7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）【分析】对|﹣|＝2两边平方后，结合•＝||•||cos进行化简可得+||•||+＝4；由基本不等式的性质知，+≥2||•||，于是推出0＜||•||，再结合平面向量数量积即可得解．【解答】解：∵|﹣|＝2，∴﹣2•+＝4，∴﹣2||•||cos+＝4，即+||•||+＝4，由基本不等式的性质可知，+≥2||•||，∴0＜||•||，∴•＝||•||cos＝||•||∈[，0）．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，还涉及利用基本不等式的性质求最值，对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，又y＞0，且+＝1，∴x+2y＝（x﹣1）+2y+1＝[（x﹣1）+2y]（+）+1＝6++≥6+2＝10，当且仅当＝，即x＝4，y＝3时等号成立，故x+2y的最小值为10．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④【分析】对于①②，可根据条件取特殊值判断；对于③④，可直接利用不等式的基本性质判断．【解答】解：①由|a|＞b，取a＝0，b＝﹣2，则a2＞b2不成立，故①错误；②由a＞b，c＞d，取a＝c＝0，b＝d＝﹣1，则a﹣c＞b﹣d不成立，故②错误；③∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故③正确；④由a＞b＞0，得，∵c＜0，∴，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出首项和公比，得出{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a1a3a5＝27＝，a2a4a6＝＝，∴a3＝3，a4＝，∴q＝＝，a1＝12，a5＝a4•q＝＜1．故{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是4，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．11．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1：2，可推出圆心到直线的距离为1，即，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab的最小值，再求出+的最大值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0化成标准形式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，其中圆心为（1，1），半径为2．设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，因为直线把圆的周长分为1：2，所以∠ACB＝×360°＝120°，所以圆心C（1，1）到直线ax+by﹣2＝0的距离为1，即，因为a，b＞1，所以ab﹣2（a+b）+2＝0，由基本不等式的性质可知，ab+2＝2（a+b）≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，此时有ab≥，所以+＝＝＝+≤+＝2﹣．所以+的最大值为2﹣．故选：B．【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）【分析】由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式、同角的商数关系，化简可得tan A＝3tan B，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan A＞0，tan C ＞0，解不等式可得所求范围．【解答】解：由a2＝b2+c2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，则b2+c2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得c＝4b cos A，由正弦定理可得：sin C＝4sin B cos A，可得sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝4sin B cos A，化为3sin B cos A＝sin A cos B，在锐角△ABC中，cos A≠0，cos B≠0，则tan A＝3tan B，又tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣，由tan A＞0，tan C＞0，可得1﹣tan2A＜0，解得tan A＞，故选：B．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．【分析】求出sin，把直线方程变形，再由直线的一般方程求斜率公式得答案．【解答】解：由直线l：x﹣y sin+1＝0，得x﹣，即2x﹣．则该直线的斜率k＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查由直线方程求直线的斜率，是基础题．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝﹣1．【分析】根据条件求出，然后由，得到，再求出λ的值．【解答】解：，，且，∴，∴λ＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为14．【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得a n，na n，计算可得所求和．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，由a4+a6＝4，a82﹣a22＝48，可得2a1+8d＝4，6d•（2a1+8d）＝48，解得a1＝﹣6，d＝2，可得a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8，na n＝2（n2﹣4n），则S6＝2[（12+22+32+42+52+62）﹣4（1+2+3+4+5+6）]＝2×（1+4+9+16+25+36﹣4×21）＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是（1，4）．【分析】①由正弦定理＝，可推出sin A cos＝sin B sin A，再结合二倍角公式和B的取值范围即可得解；②由正弦定理＝，知a＝，再根据三角形的内角和与正弦的两角和公式可将其化简为；然后由A、C∈（0，），可求得C∈（，），即tan C ＞，将其代入化简后的式子即可得解．【解答】解：①由正弦定理知，＝，∵a cos＝b sin A，∴sin A cos＝sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos＝sin B＝2sin cos，∵锐角△ABC，∴B∈（0，），∈（0，），∴cos≠0，sin＝，∴B＝．②由正弦定理知，＝，∴a＝＝＝＝，∵锐角△ABC，∴A、C∈（0，），∵A+C＝π﹣B＝，∴A＝﹣C∈（0，），即C∈（，），∴C∈（，），tan C＞，∴a＝∈（1，4）．故答案为：；（1，4）．【点评】本题考查解三角形和三角函数的综合运用，涉及正弦定理、二倍角公式、正弦的两角和公式以及正切函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率k的值，可得结论．（2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得△AOB面积最小值．【解答】解：（1）直线l过点P（﹣1，2），若直线l在两坐标轴上截距和为零，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+1），即kx﹣y+2+k＝0．则它在两坐标轴上截距分别为﹣1﹣和k+2，由题意，﹣1﹣+k+2＝0，∴k＝﹣2 或k＝1，直线l的方程为2x+y＝0 或x﹣y+3＝0．（2）设直线l的斜率k＞0，则直线l：kx﹣y+2﹣k＝0与两坐标轴交点分别为A（﹣1，0）、B（0，k+2），求△AOB面积为S＝|﹣1|•|k+2|＝＝+2+≥2+2＝4，当且仅当k＝2时，等号成立，故△AOB面积最小值为4．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于中档题．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．【分析】（1）由＝t，可推出＝+t，而＝﹣，代入化简整理即可得解；（2）由＝3，知＝﹣，再结合平面向量的数量积可推出•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（4t﹣5），而t∈[0，1]，从而求得•的取值范围．【解答】解：（1）∵＝t，∴＝+＝+t＝+t（﹣）＝（1﹣t）+t．（2）∵＝3，∴＝＝﹣，∴•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（t﹣1）+（）•+t＝4（t﹣1）+（）×2×2cos60°+t×4＝（4t﹣5）．∵P是BC边上一点，∴t∈[0，1]，∴•＝（4t﹣5）∈[，]．【点评】本题考查平面向量的线性和数量积运算，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得a n；（2）求得n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），分别运用数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）由等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1，可得a n+b n＝（a1+b1）•3n﹣1＝2•3n﹣1，a n﹣b n＝（a1﹣b1）+2（n﹣1）＝2n﹣2，则a n＝n﹣1+3n﹣1，n∈N*；（2）n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），S n＝（1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1）﹣（1+2+…+n），设T n＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，3T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，上面两式相减可得﹣2T n＝1+31+3•32+…+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n，化为T n＝+•3n，则S n＝+•3n﹣n（n+1）．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．【分析】（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；（2）根据题意，设P（4﹣m，m），可得AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，求出以PO为直径的圆的方程，与圆O的方程联立，消去二次项可得直线AB的方程，再由直线系方程可得定点Q的坐标．【解答】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣2＝0．由，解得k＝﹣或k＝0．∴所求切线方程分别为y＝﹣2和3x+4y﹣10＝0；证明：（2）根据题意，点P为直线x+y﹣4＝0上一动点，设P（4﹣m，m），∵P A，PB是圆O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，可得以PO为直径的圆的方程为[x﹣（2﹣）]2+（y﹣）2＝（2﹣）2+（）2，即x2﹣（4﹣m）x+y2﹣my＝0，①又圆O的方程为：x2+y2＝4，②，①﹣②，得（4﹣m）x+my﹣4＝0，即m（y﹣x）+4x﹣4＝0，则该直线必过点Q（1，1）．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．【分析】（1）把a＞0且a+b＝4，代入不等式，利用配方法可求得不等式的解；（2）化简变形，再利用基本不等式，即可求得最小值．【解答】解：（1）由a＞0且a+b＝4，代入不等式f（x）≥0，得ax2+4x+4﹣a≥0，化简，得（x+1）（ax﹣a+4）≥0，∴x≤﹣1或x≥1﹣，当a＞2时，1﹣＞﹣1；∴不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1﹣}；当0＜a＜2时，1﹣＜﹣1，∴不等式的解集为{x|x≤1﹣或x≥﹣1}；当a＝2时，1﹣＝﹣1，∴不等式的解集为R．（2）由f（x）的值域为[0，+∞），可得a＞0，△＝0，∴16﹣4ab＝0，可得ab＝4．＝＝（a﹣b）+≥2＝4．当且仅当a﹣b＝时，的最小值为4．【点评】本题考查二次函数不等式的解法，利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．【分析】（1）四边形OECF的面积S＝S OBCF﹣S△BOE；（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，过点F作FM⊥AB于点M，利用三角函数的知识可推出种植甲、乙两种蔬菜的面积S甲和S乙；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，可用含α的式子表示出y；令f（α）＝tanα﹣，结合正切的两角差公式和基本不等式的性质可求出f（α）取得最小值时，tanα的值，再将其代入S甲的表达式中即可得解．【解答】解：（1）由∠EOF＝60°，∠BOE＝30°，可知OF⊥OB，O为AB中点，∵AB＝2BC，∴OB＝BC，∴四边形FOBC为正方形．在Rt△BOE中，∠BOE＝30°，OB＝20米，∴BE＝，∴四边形OECF的面积为S OBCF﹣S△BOE＝平方米．（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，则∠AOF＝120°﹣α，过点F作FM⊥AB于点M，在Rt△OBE中，BE＝OB•tanα＝20tanα；在Rt△OMF中，OM＝＝，∴DF＝OA﹣OM＝20﹣．∴种植乙种蔬菜的面积S乙＝S△BOE+S ADFO＝OB•BE+（OA+DF）•AD＝×20×20tanα+×[20+20﹣]×20＝200[tanα+2﹣]，种植甲种蔬菜的面积S甲＝S矩形ABCD﹣S乙＝800﹣200[tanα+2﹣]＝200[2﹣tanα+]，设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，则y＝3m•S甲+m•S乙＝3m×200×[2﹣tanα+]+m×200×[tanα+2﹣]，＝400m×[4﹣（tanα﹣）]．令f（α）＝tanα﹣＝tanα﹣＝，＝＝（tanα+）+﹣≥2﹣＝4﹣，当且仅当tanα+＝2，即tanα＝2﹣时，等号成立．若该空地产生的经济价值y最大，则f（α）应取得最小值，为4﹣，此时tanα＝2﹣，∴S甲＝200[2﹣tanα+]＝200×[2﹣（2﹣）﹣]＝400（﹣1）平方米．故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为400（﹣1）平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与基本不等式的性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题一、单选题1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．|sin |y x =cos y x =tan y x=cos2xy =【答案】A【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；|sin |y x =π,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭|sin |sin y x x ==最小正周期为，在区间上单调递减；cos y x =2π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭最小正周期为，在区间上单调递增；tan y x =π,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭最小正周期为，在区间上单调递减；cos2xy =4π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则判断．【详解】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y ′轴，故选：C.3．根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）A ．不相交的直线是平行直线B ．经过两条平行直线有且只有一个平面C ．不共线的三点确定一个平面D ．棱台的各侧棱延长后必交于一点【答案】A【分析】利用空间直线的位置关系判断A ；利用平面基本事实判断BC ；利用棱台的定义判断D 作答.【详解】对于A ，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A 错误；对于B ，两条平行直线确定一个平面，B 正确；对于C ，不共线的三点确定一个平面，C 正确；对于D ，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D 正确.故选：A4．在中，若非零向量与满足，，则为（ ）ABC ABAC 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭0AB AC ⋅= ABC A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．底边和腰不相等的等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量减法及数量积的运算律，结合导出，再判0AB AC ⋅=||||AB AC = 断三角形形状作答.【详解】由，得，0AB AC ⋅= AB AC ⊥于是，则，)||||||||0(()||(||AB AC AB ACBC AC AB AC AB AB AC AB AC +==+⋅⋅--=||||AB AC = 所以是等腰直角三角形，B 正确，ACD 错误.ABC 故选：B5．设，，）22cos 12sin 12a =︒-︒22tan121tan 12b ︒=-︒c =A ．B ．C ．D ．c b a <<<<b caa c b<<b a c<<【答案】A【分析】根据三角恒等变换结合三角函数分析运算即可.【详解】因为，由题意可得：，02430︒<︒<︒22cos 12sin 12cos 24cos30a =︒-︒=︒>︒=，22tan12tan 24tan 301tan 12b ︒==︒<︒=-︒，1sin 24sin 302c ===︒<︒=则可得，,b a c a <<又因为，则，即，0cos 241<︒<sin 24sin 24sin 24tan 241cos 24︒︒︒=<=︒︒c b <所以.c b a <<故选：A.6．“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm ，较短边为5cm ，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A ，B ，C 都在圆周上，角A ，B ，C 分别对应a ，b ，c ，满足.若，且，则（ ）cm c =28cm ABC S =△a c >A ．B．△ABC 周长为3sin 5C=12cm +C ．△ABC 周长为D ．圆形木板的半径为15cm+cm【答案】B【分析】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可.【详解】对于D ：由题意可得：圆形木板的直径，2R ==即半径，故D错误；R =对于A ：由正弦定理，可得，故A 错误；2sin c RC =4sin 25c C R ==对于B 、C ：由题意可得：，解得，114sin 8225ABC S ab C ab ==⨯⨯=△20ab =因为，则，可知为锐角，可得，a c >A C >C 3cos 5C =余弦定理，即，()222222cos 22a b ab c a b c C ab ab +--+-==()240803540a b +--=解得，所以△ABC 周长为，故B 正确，C 错误；12a b +=12cm +故选：B.7．已知，且，则( )11131tan 1tan 22αα-=--+02πα-≤≤22sin sin 2cos()4ααπα+=-A B CD【答案】D【分析】把题设条件中的三角函数式通分后可得的值，再利用三角变换化简所求三角函数式tan α为，由同角三角函数的基本关系式可求其值．α【详解】因为，故即．11131tan1tan22αα-=--+22tan1231tan 2αα=--1tan 3α=-又，22sin sin 2cos 4αααπα+==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为，，所以，故选D ．1tan 3α=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin α=22sin sin 2cos 4ααπα+=⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.8．已知，若的任意一条对称轴与轴的交点横坐标都不属1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈()f x x 于区间，则的取值范围是(2,3)ππωA ．B ．3111119[,][,812812⋃1553(,[,41284 C ．D ．37711[,][,]812812 13917(,[,]44812⋃【答案】C【详解】因为，所以由，其对称())4f x x πω-())4f x x πω=-=42x k ππωπ-=+轴方程，由题设且，即13()()4x k k Z ππω=+∈13(2()4k k Z πππω+≤∈13()3()4k k Z πππω+≥∈且，也即且，解之得13()2()4k k Z ω+≤∈13()3()4k k Z ω+≥∈3()28k k Z ω≥+∈1()34k k Z ω≤+∈，应选答案C ．37711[,[,812812ω∈ 点睛：解答本题的关键是想将函数解析式进行化简，进而求出其对称轴的方程，然后依据题设条件建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解．值得注意的是：在两个不等式且3()28k k Z ω≥+∈中，的取值不要一致，即第一不等式中的取0，后一个不等式中的应取1．1()34k k Z ω≤+∈k k k 二、多选题9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）21i z =-i A B ．21iz z -=+C ．的共轭复数为D ．的虚部为1z 1i -+z 【答案】AD【分析】由除法运算把复数化为代数形式，然后根据复数的定义与运算法则计算并判断．【详解】解：由已知，()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z ++====+--+，共轭复数为，的虚部为1．()221i 1i 1i 2i 1iz z -=+-+=+-=-1i -z 其中真命题为AD ．BC 为假命题．故选：AD ．10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（）A ．函数的解析式为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．函数在上单调递减()f x 2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．该图象向右平移个单位可得的图象π62sin 2y x =D ．函数关于点对称()y f x =π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据图象求函数的解析式，再结合三角函数现在以及图象变换逐项分析判断.()f x 【详解】由图可得：，可得，πππ2,43124T A ==-=2ππT ω==且，解得，0ω>2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为的图象过点，即，()f x π,212⎛⎫⎪⎝⎭ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，则，可得，πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ2π,62k k ϕ+=+∈Z π2π,3k k ϕ=+∈Z且，则，π2ϕ<π0,3k ϕ==所以，故A 正确；()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，则，且在上不单调，2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦[]π2π,03x +∈-sin y x =[]π,0-所以函数在上不单调，故B 错误；()f x 2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦该图象向右平移个单位可得，π6πππ2sin 22sin 2663y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以该图象向右平移个单位可得的图象，故C 正确；π62sin 2y x =因为，所以函数关于点对称，故D 正确；πππ2sin 20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()y f x =π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ACD.11．一个腰长为1的等腰直角三角形ABC 三边上分别取一个点P ，Q ，R ，使得三角形PQR 也是等腰直角三角形，则的值可能为（ ）PRQABC S S △△A ．B ．C ．D ．152731042023【答案】ABC【分析】根据给定条件，按等腰的直角顶点在的斜边和直角边上两类，利用正弦Rt △PQR Rt ABC △定理、辅助角公式及三角函数的性质求出的取值范围作答.PRQABC S S △△【详解】在中，，不妨令点在斜边上，点分别在上，Rt ABC △1AC BC ==R AB ,P Q ,AC BC 依题意，等腰的直角顶点为或者直角顶点在上，设，Rt △PQR R ,AC BC ,QR x CQP θ=∠=当等腰的直角顶点为时，如图，Rt △PQR R 由，得，πππ44PQC RQB RQB QRB ∠++∠=∠++∠=QRB θ∠=在中，由正弦定理得，，而，QRB πsin sin4QR QBθ=sin QB θ=cos cos CQ PQ θθ==由，当点与或重合时，1CQ QB CB +==cos sin 1θθ+=Q BC x =取或，等式成立，即，0θ=π2θ=π02θ≤≤因此，而，1π2sin()4x θ==+ππ3π444θ≤+≤πsin()14θ≤+≤则；12x ≤≤2221112[,14212PRQABC xS x S ==∈⨯ 当等腰的直角顶点在上时，由对称性知，不妨令为直角顶点，如图，Rt △PQR ,AC BC Q 在中，，由正弦定理得，QRB ππ,24BQR QRB θθ∠=-∠=+ππsin sin()44QR QBθ=+则，而，πsin()(sin cos )4QB x θθθ=+=+cos cos CQ PQ x θθ==由，得，当点与重合时，，取，即，1CQ QB CB +==(2cos sin )1x θθ+=Q C 1x =π2θ=π02θ<≤因此由12cos sin x θθ==+ϕsinϕϕ=当，即时，，π2θϕ+=sin cos sin θϕθϕ===sin()1θϕ+=min x =，，1x ≤≤222112[,1]1512PRQABCxS x S ==∈⨯ 综上得，显然选项A ，B ，C 满足，而，D 不满足.1[,1]5PRQABC S S ∈4120235<故选：ABC12．对于任意，，，两直线AD ，BE 相交于点O ，延长CO 交AB 于点ABC 2AE EC = 34BD DC=F ，则下列结论正确的是（ ）A ．381717CO CA CB=+B ．，0xOA yOB zOC ++= ::3:8:7x y z =C ．当，，时，则3BAC π∠=1AB =2AC=cos DOE ∠=D ．48231DEF ABC S S =【答案】ACD【分析】根据给定条件，取平面的一个基底，利用向量的线性运算结合平面向量基本定理{,}CA CB计算判断BC ；利用向量数量积及运算律计算判断C ；利用三角形面积公式计算判断D 作答.【详解】中，令，，，ABC ,,,,,R CA a CB b AO AD BO BE λμλμ====∈ 2AE EC = 34BD DC=，()CO CA AO a AD a CD CA λλ=+=+=+- 44(1)77a b a a bλλλ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，()CO CB BO b BE b CE CB μμ=+=+=+- 1(1)33b a b a b μμμ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ 因为与不共线，则，解得，a b13417μλλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1417917λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，A 正确；381717CO a b=+ 对于B ，，3814817171717OA OC CA a b a a b=+=--+=- ，383917171717OB OC CB a b b a b=+=--+=-+ 则，143389801717x y z x y z xOA yOB zOC a b ---+-++=+= 因此，解得，，B 错误；143308980x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩1243x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩::3:8:6x y z =对于C ，依题意，，，,DOE AOB OA OB ∠=∠=〈〉 b AB AC =-，||b == ，221()21232a b CA CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+=，()2266(74)(3)71225289289OA OB a b a b a b a b ⋅=-⋅-+=--+⋅()266672123253289289=-⨯-⨯+⨯=，||OA ===||OB====，C正确；cos cos,OA OBDOE OA OBOA OB⋅∠=〈〉===对于D，，，38,,R1717t tCF tCO a b t u==+∈(1)(1)CF CA AF CA u AB u CA uCB u a ub=+=+=-+=-+于是，解得，则，381,1717t tu u=-=178,1111t u==||8||3AFBF=，1||||sin||||281621||||31133||||sin2AEFABCAE AF BACS AE AFS AC ABAB AC BAC∠==⋅=⨯=∠同理，||||339||||11777BFDABCS BF BDS AB BC=⋅=⨯=||||414||||7321CDEABCS CD CES BC AC=⋅=⨯=，D正确.1694481337721231ABC AEF BFD CDEDEFABC ABCS S S SSS S==-----=-故选：ACD【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．三、填空题13．已知是单位向量，，若A，B，D三点共线，则12,e e1212122,3,AB BC CDe e e e e eλ=+=-+=-实数__________．λ=【答案】5【分析】先由已知求出，再由A，B，D三点共线，可得，从而列方程组可求出的BDBD mAB=λ值【详解】解：由，得，12123,e e e eBC CDλ=-+=-12(1)2BD BC CD e eλ=+=-+因为A，B，D三点共线，所以令，即，BD mAB=1212(1)2(2)e e m e eλ-+=+所以，解得，122mmλ-=⎧⎨=⎩5λ=故答案为：514．函数的定义域为___________.()(2sin f x lg x =【答案】2{|22,}33ππx k πx k πk Z +<<+Î【分析】函数有意义可得，然后解三角不等式即可求解.2sin 0x >【详解】函数有意义，()(2sin f x lg x =则，即，2sin 0x >sin x >所以，222,33k x k k Z ππππ+<<+∈所以函数的定义域为.2{|22,}33ππx k πx k πk Z +<<+Î故答案为：2{|22,}33ππx k πx k πk Z +<<+Î15．设点是外接圆的圆心，，且.则的值是___________.O ABC 3AB =4AO BC =-⋅sin sin B C 【答案】13【分析】取中点，，而，这样就可以用表示，BC D AO AD DO =+ 0DO BC ⋅= 4AO BC =-⋅,AC AB 求得，然后由正弦定理得结论．AC 【详解】设点是边的中点，则D BC ()()()()221122AO BC AD DO A BC AD BC AC AB A AC ABB C =⋅=⋅=+⋅-=+-⋅即，，，故.()21942AC -=- 21AC = 1AC =sin 1sin 3B AC C AB ==故答案为：．13【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，考查正弦定理．解题关键是取中点，BC D 利用数量积的运算法则得，从而可求得边长．C AD BC AO B =⋅⋅ AC 16．浑仪，是中国古代的一种天文观测仪器，是以浑天说为理论基础制造的、由相应天球坐标系各基本圈的环规及瞄准器构成的古代天文测量天体的仪器，它的基本结构由重重的同心圆环构成，整体看起来像一个圆球.武汉外校某社团的同学根据浑仪运行原理制作了一个浑仪的模型：同心的小球半径为3，大球半径为R .现为提高浑仪的稳固性，该社团同学在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面体框架，为不影响浑仪的正常使用，小球能在框架内自由转动，则大球半径R 的最小值为______________.【答案】【分析】根据题设描述知小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球R 最小，结合正四面体的结构特征，确定球心位置及大小球半径，根据三角形相似列方程求R 最小值.【详解】由题意，小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证R最小，如上图，设正四面体的棱长为，为△中心，故面，a E BCD ⊥AE BCD 又面，则，且，CE ⊂BCD AE CE⊥23CE ==又小球半径，则OF ⊥AC ，大球半径，，3OF r ==OA R =AC a =易知：，故，即.AOF ACE △OA OFACCE=Ra=R =故答案为：四、解答题17．已知，.()4,3a =()3,0b = (1)当为何值时，与垂直；k ka b + 2a b +(2)当为何值时，与的夹角为锐角.k ka b + 2a b +【答案】(1)3049k =-(2)3011,,4922k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）求出向量与的坐标，分析可知，结合平面向量数量ka b + 2a b + ()()20ka b a b +⋅+= 积的坐标运算可求得实数的值；k （2）根据与的夹角为锐角可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.ka b + 2a b +k k 【详解】（1）解：因为，，则，()4,3a =()3,0b =()()()4,33,043,3ka b k k k +=+=+，()()()24,36,010,3a b +=+=因为与垂直，则，解得.ka b + 2a b + ()()()21043949300ka b a b k k k +⋅+=++=+= 3049k =-（2）解：因为与的夹角为锐角，则，ka b + 2a b +()()()24930030343ka b a b k k k ⎧+⋅+=+>⎪⎨≠+⎪⎩ 解得且，3049k >-12k ≠因此，当时，与的夹角为锐角.3011,,4922k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ka b + 2a b +18．已知函数()()222sin cos f x x x x =++-(1)求的对称轴方程；()f x (2)若，求函数的值域.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)ππ,212k x k =+∈Z (2)2⎡⎤-⎣⎦【分析】（1）根据利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数对称性分析运()π4sin 223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭算；（2）以为整体，结合正弦函数的性质即得.π23x +【详解】（1）由题意可得：()()()221cos 22sin cos 212sin cos 2xf x x x x x x +=++-=++-，π2sin 2224sin 223x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令，解得，ππ2π,32x k k +=+∈Zππ,212k x k =+∈Z 所以的对称轴方程为.()f x ππ,212k x k =+∈Z（2）因为，则，可得，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,πsin 23x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以，()2f x ⎡⎤∈-⎣⎦故函数的值域为.()f x 2⎡⎤-⎣⎦19．（1）如图1，在直角梯形中，，，，，梯形ABCD //AB CD BC CD ⊥26CD AB ==45ADC ︒∠=绕着直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积；（2）有一个封闭的正三棱柱容器，高为AB 12，内装水若干（如图2，底面处于水平状态），将容器放倒（如图3，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点F ，E ，，分别为所在棱的中点，求图2中水面的高度.1E 1F【答案】（1）；（2）9．(45π+【分析】（1）旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由圆柱与圆锥侧面，圆柱的一个底面构成旋转体的表面，由此可得表面积；（2）两个图形中水体积相等，一个是正三棱柱，一个直四棱柱，由柱体体积公式计算可得．【详解】（1）依题意，旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的.由，可知，26CD AB ===45ADC ∠︒3BC ==AD 其表面积圆柱侧面积+固锥侧面积+圆柱下底面积 S =223633πππ=⨯⨯+⨯⨯369(45πππ++=+（2）F ，E ，，分别为所在棱的中点，1E 1F AEF ABC∽.113,,244BCFE AEF BAC ABC S EF S BC S S === 梯形所以棱柱的体积梯形BCFE，1111BCFE B C F E -12V S=31294ABC ABCS S =⨯=△△设图2中棱柱水面的高度为h ，则，即水面高度为9.9,9ABC ABC S h S h ⨯== 【点睛】本题考查旋转体的概念，考查圆柱圆锥的侧面积公式，柱体的体积公式，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，属于中档题．20．如图，在平面四边形中，，，.ABCD π2BCD ∠=1AB =3π4ABC∠=(1)当的面积；BC =CD =ACD (2)当，时，求.π6ADC ∠=2AD =cos ACD ∠【答案】；(2).cos ACD ∠=【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.AC cos ACB ∠（2）在和中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.ABCACD 【详解】（1）当中，由余弦定理得，BC =ABC 2222cos AC AB BC AB BCABC =+-⋅∠即，解得23354AC π=-=AC =222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅因为，则π2BCD ∠=sin cos ACD ACB∠=∠=CD =所以的面积是.ACD 1sin 2ACD S AC CD ACD =⋅∠==（2）在中，由正弦定理得，即ABC sin sin AB AC ACB ABC =∠∠3sin4sin AB AC ACB π==∠在中，由正弦定理得，即，ACD sin sin AD AC ACD ADC =∠∠sin16sin sin AD AC ACD ACD π==∠∠，整理得，而，1sin ACD =∠sinACD ACD ∠=∠22sin cos 1ACD ACD ∠+∠=为锐角，ACD ∠所以.cos ACD ∠=21．（1）证明两角和的余弦公式：，并由推导两角和C αβ+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-C αβ+的正弦公式：：；S αβ+()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+（2）已知，，，求的值.π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,πβ∈()sin πα-=3sin 25βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2αβ-【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）利用单位圆结合平面向量数量积分析证明；（2）以为整体，结合三角恒等变换运算求解.,22αβα-【详解】（1）在标准单位圆上取点，不妨设，()()cos ,sin ,cos ,sin A B ααββαβ>则，()()(),cos ,sin ,cos ,sin ,cos cos ,sin sin AOB OA OB AB αβααβββαβα∠=-===--可得，221,cos cos sin sin OA OB OA OB αβαβ==⋅=+因为，cos OA OB OA OB AOB⋅=⋅∠可得，()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+则，()()()cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβ+=-+-=-即，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-则，πππcos cos cos sin sin 222αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得，即.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+（2）因为，则，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin πsin αα-==1cos 4α==且，则π0,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 22αα====又因为，则，()0,πβ∈ππ,222βα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭注意到，则，，3sin 025βα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭π0,22βα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭4cos 52βα⎛⎫- ⎪==⎝⎭所以cos cos cos cos sin sin2222222αββαβαβαααα-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355==22．一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修ABC ∆()建笔直小路MN ，AP ，其中M ，N 分别为AC ，BC 的中点，点P 在CN 上，规划在小路MN 与AP .的交点O (O 与M 、N 不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，)A ，N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，().费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米5万元，小路ON 段的建造费用为.每百米4万元．（Ⅰ）若拟修的小路AO 百米，求小路ON 段的建造费用；（Ⅱ）设, 求的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．AOM θ∠=cos θ【答案】（Ⅰ）4万元；（Ⅱ），小路AO 段与ON 段的建造总费用最小为.4cos 5θ=12+【分析】（Ⅰ）在中用余弦定理计算的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用.AOM ∆OM ON ON （Ⅱ）在中用正弦定理计算的长度后得到，令AOM ∆,AO OM ()54cos 12sin f θθθ-=，将其变形为，利用辅助角公式可得0054cos (3060)sin t θθθ-=<<sin +4cos =5t θθ，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.()5θϕ+=3t ≤【详解】（Ⅰ）在中，，AOM ∆2222cos120AO AM MO AM MO=+-⋅⋅ 即，221222(2OM OM =+-⋅⋅-2+2-3=0OM OM 故或（舎去），故，1=OM 3OM =-=1ON MN OM -=所以段的建筑费用为万元.ON 41=4⨯（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，AOM ∆0sin sin120sin(60)AMAO OM θθ==-02sin(60)sin OM θθ-= ，=2ON MN OM∴-==设小路和段的建造总费用为，AO ON ()f θ则，54cos ()=54412sin f AO ON θθθ-+==+令，且，，0054cos (3060)sin t θθθ-=<<0t >sin +4cos =5t θθ即.()5θϕ+=sin +θϕ（）由，故，即或（舍去）.sin +1（）θϕ≤1≤29t ≥3t ≥-3t ≤当时，，故，其中，min =3t 3sin +4cos =5θθsin+=1θϕ（）43sin =cos =55ϕϕ，故由，符合题意.41+cos cos()sin2252ππθϕθϕϕ⎛=⇒=-==∈ ⎝答：，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小为.4cos 5θ=12+【点睛】把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.求形如的函数最值，可将该函数转化为形如cos sin cos sin a x b xy c x d x +=+得到的取值范围，验证等号能成立后可得函数的cos sin A x B x C +=C ≥y 最值.。

湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中语文试题（含答案）湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期中语文试题一、非连续性文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：园林命名之最高标准，张岱已明言“无有一字入俗”，这也是园林命名同现代的“主题园”的区别。

后者仅仅指出命名是表达景致的某一主题思想，而园林命名的关键却不只在于“主题”，更在于雅俗。

有人认为使用古人典故就是“不俗”了，《红楼梦》第十七回中以两处题名指出了这一观念的问题，在“由径通幽”，宝玉言之“编新不如述旧，刻古终胜雕今”，这自然是常说的“古雅”了；而在“沁芳桥”，宝玉又不喜欢别人那些“述古”的名字了。

通观全篇，其所涉用典之俗的问题大抵有三：一日陈旧，二曰犯忌，三曰“不中”。

所谓陈旧，就是用典太过俗滥，了无新意。

如众人到了潇湘馆时，论此处匾该题四字。

有人说：“淇水遗风。

”贾政道：“俗。

”又一个道：“睢国遗迹。

”贾政道：“也俗。

”二者一处用《诗经·卫风·淇奥》“瞻彼淇奥，绿竹猗猗。

有匪君子，如切如磋，如琢如磨”之典；另一处用睢园，即汉梁孝王“绿竹荫诸”的菟园之典，都同潇湘馆最点景的物“竹”有关，也算应题，为何被政老称“俗”呢？主要在于，这两个典故是文人看到“竹”最容易想到的典故，几乎已经是陈词滥调了，而由自我妙思所感知的此处景致之独特也自然不可见了。

犯忌者，多是同政事人情相悖之意。

这看似同雅俗无关，但所“雅”者，乃是寓于此间而得其遗世独立之精神；若不能意会禁忌之“度”，便是同时俗产生了冲突，难得独我之幽趣了。

一犯在违制。

如“蓼汀花淑”一景，有人拟出“秦人旧舍”，宝玉立即指出“背谬了”，桃花源之典故，本是讲“为避秦乱”而隐居的一村人，他们皆“不知有汉，无论魏晋”，这无疑暗藏着对政治的不满。

二犯在重名。

“稻香村”最初有人题名“杏花村”获得众人赞赏，贾政却向众人道：“‘杏花村’固佳，只是犯了正名，村名直待请名方可。

武汉市部分重点中学2023-2024学年度下学期期末联考高一语文试卷本试卷共8页，23题。

满分150分。

考试用时150分钟。

考试时间：2024年6月26日上午8：00—10：30☆祝考试顺利☆注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

千峰陡峭，万壑争流，这片位于湖北省西北部的林区有着来自亘古时代的美感，再看它与远古传说关联的“神农”之名，更增添了几分神秘色彩。

相传上古时代，人们饱受瘟疫横行之苦，此地是草药茂密之地，但大多数珍稀药草都生长在悬崖绝壁处，不易取得，神农氏在此架木为梯，采尝百草，救民疾夭，此地遂得名“神农架”。

历史上，洪灾对农耕民族同样是梦魇般存在，治水问题曾让历代统治者焦头烂额。

对洪水的畏惧，就很容易令人们对远古时代治水的先贤大禹产生崇拜和怀念。

很少有人知道，杭州地名的由来，也与大禹有一定渊源。

杭州古称临安、钱塘、武林等，而它在历史上的第一个名字叫余杭。

“余杭”的由来主要有两种说法，其一，见于清嘉庆《余杭县志》，记载说“余杭”本为禹杭，因大禹在此治水而得名，后转讹为余杭；其二，则认为“余杭”系百越语地名，与大禹治水无关。

河南省开封市下辖的禹王台区，相传是春秋时期晋国乐师师旷曾在此吹奏乐曲，故名曰“吹台”，最初与大禹并无关系；但自元朝以来，开封地区黄河水患愈发严重，明嘉靖二年，苦难的开封人民于古台之上建禹王庙，为其供奉香火，祈祷他能守护这一方水土，从此才有了“禹王台”这个名称。

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线320x y --=在y 轴上的截距为（）A ．2-B ．2C ．23D ．23-2．已知直线1:1l y x =-绕点(0,1)-逆时针旋转512π，得到直线2l ，则2l 不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为13，且()3()P A P B =，则()P B =（）A ．16B ．13C ．23D ．565．现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆22121:10504C x x y y -+-+=，点(,0)T t 为x 轴上一动点．现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为（）A ．1527,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，若23m a c =+ ，则,,}a b m 〈也是空间的一个基底B ．平面α经过三点(2,1,0)A ，(1,3,1)B -，(2,2,1)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则2u t +=C ．若0a b ⋅> ，则,a b <>是锐角D ．若对空间中任意一点O ，有111362OM OA OB =++，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且1()2P A =，1()3P B =，若1()6P AB =，则A ，B 是相互独立事件B ．若()0P A >，()0P B >，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =D ．若事件A ，B 相互独立，()0.4P A =，()0.2P B =，则()0.44P AB AB = 11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值(1)λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点(2,0)A ，(6,0)B ，动点P 满足||1||3PA PB =，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是2230x y x +-=B ．过点(1,1)N 的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线220x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 是直线:270l x -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为C ，D ，则四边形ECMD 面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线1y =+与直线y x b =+有两个相异的交点，那么实数b 的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，(0,0,0)O ，(0,,3)A a ，(3,0,)B a ，(,3,0)C a ，33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 为ABC △所确定的平面内一点，设||PO PD -的最大值是以a 为自变量的函数，记作()f a ．若03a <<，则()f a 的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C 的概率分别是12，14，18．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知ABC △的顶点(4,2)A ，边AB 上的中线CD 所在直线方程为7250x y +-=，边AC 上的高线BE 所在直线方程为40x y +-=．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求BCD △的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b = ，1AA c =，在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N 且AM k AC = ，BN k BC =，其中01k ≤≤．（1）求证：MN ，a ，c共面；（2）若||||||2a b c ===，13AB =且160BAC BB C ∠=∠=︒，设P 为侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(7,0)B -，平面内动点P 满足||2||PB PA =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 轨迹记为曲线C ，若曲线C 与x 轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线:17l x =上的动点，直线MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ，定义“F 变换”：()1F k k a a += ，其中，1k k k x x y +=-，1k k k y y z +=-，1k k k z z x +=-．记k k k k a x y z = ，k k k k a x y z =++．（1）若0(2,3,1)a =，求2a 及2a ；（2）证明：对于任意0a ，必存在*k ∈N ，使得0a 经过k 次F 变换后，有0k a = ；（3）已知1(,2,)()a p q q p =≥ ，12024a = ，将1a再经过m 次F 变换后，m a 最小，求m 的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．53613．1)+14．215．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以1111()12488P D =---=．所以111()()()884P C D P C P D =+=+= ．因此其得分低于4分的概率为14；（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．则“两次射击得分之和为8分”为事件()()()121221B B AC A C ，且事件12B B ，12AC，21A C 互斥，()121114416P B B =⨯=，()()12211112816P AC P A C ==⨯=，所以两次射击得分之和为8分的概率()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦ ．16．解：（1）因为AC BE ⊥，所以设直线AC 的方程为：0x y m -+=，将(4,2)A 代入得2m =-，所以直线AC 的方程为：20x y --=，联立AC ，CD 所在直线方程：207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)C -，设()00,B x y ，因为D 为AB 的中点，所以0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()00,B x y 在直线BE 上，D 在CD 上，所以0040x y +-=，0042725022x y ++⨯+⨯-=，解得06x =-，010y =，所以(6,10)B -，10(1)11617BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为：111(1)7y x +=--，即11740x y +-=．（2）由（1）知点(1,6)D -到直线BC 的距离为：d ==，又||BC ==，所以12722BCD S ==△．17．（1）证明：因为1AM k AC kb kc ==+，()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+，所以(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- ．由共面向量定理可知，MN ，a ，c共面．（2）取BC 的中点为O ，在1AOB △中，1AO B O ==13AB =，由余弦定理可得22211cos2AOB ∠=-，所以12π3AOB ∠=，依题意ABC △，1B BC △均为正三角形，所以BC AO ⊥，1BC B O ⊥，又1B O AO O = ，1B O ⊂平面1B AO ，AO ⊂平面1B AO ，所以BC ⊥平面1AOB ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AOB ⊥平面ABC ，所以在平面1AOB 内作Oz OA ⊥，则Oz ⊥平面ABC ，以OA ，OC ，Oz 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则1332B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1,0)B -，3,0,0)A ，(0,1,0)C ，1332C ⎛⎫⎪⎝⎭，1332A ⎫⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，(3,1,0)AC =，13332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即303332022y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =得(3,3,1)n =-- ，依题意可知123BP BB =，则11112332333713,,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⨯-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．设直线1PC 与平面11ACC A 所成角为θ，则11169sin cos ,13213||133n C PC P n n C Pθ⋅====⋅⨯．故直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值为913．18．解：（1）设动点坐标(,)P x y ，因为动点P 满足||2||PB PA =，且(1,0)A -，(7,0)B -，2222(7)2(1)x y x y ++=++化简可得，222150x y x +--=，即22(1)16x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(1)16x y -+=．（2）曲线22:(1)16C x y -+=中，令0y =，可得2(1)16x -=，解得3x =-或5x =，可知(3,0)M -，(5,0)N ，当直线EF 为斜率为0时，||||EK FK +即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为x ny t =+，()11,E x y ，()22,F x y ，联立22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩消去x 可得：22(1)16ny t y +-+=，化简可得；()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=由韦达定理可得1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，因为()11,E x y ，()22,F x y ，(3,0)M -，(5,0)N ，所以EM ，FN 的斜率为113EM y k x =+，225FN y k x =-，又点()11,E x y 在曲线C 上，所以()2211116x y -+=，可得()()()22111116135y x x x =--=+-，所以111153EM y x k x y -==+，所以EM ，FN 的方程为115(3)x y x y -=+，22(5)5y y x x =--，令17x =可得()1212205125Q x y y y x -==-，化简可得；()()121235550y y x x +--=，又()11,E x y ，()22,F x y 在直线x ny t =+上，可得11x ny t =+，22x ny t =+，所以()()121235550y y ny t ny t ++-+-=，化简可得；()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=，又1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，代入可得()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++，化简可得()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=，()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=，(5)(816)0t t --=，所以2t =或5t =，当5t =时EF 为5x ny =+，必过(5,0)，不合题意，当2t =时EF 为2x ny =+，必过(2,0)，又||EF 为圆的弦长，所以当EF ⊥直径MN 时弦长||EF 最小，此时半径4r =，圆心到直线EF 的距离为211-=||8EF =，综上，||EF的最小值．19．解：（1）因为0(2,3,1)a = ，1(1,2,1)a = ，2(1,1,0)a = ，所以21100a =⨯⨯= ，21102a =++=，（2）设{}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == 假设对N k ∀∈，10k a +≠，则1k x +，1k y +，1k z +均不为0；所以12k k M M ++>，即123M M M >>> ，因为*(1,2)k M k ∈=N ，112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意0a ，经过若干次F 变换后，必存在K N*∈，使得0K a =．（3）设()0000,,a x y z = ，因为1(,2,)()a p q q p =≥，所以有000x y z ≤≤或000x y z ≥≥，当000x y z ≥≥时，可得0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，三式相加得2q p -=又因为12024a =，可得1010p =，1012q =；当000x y z ≤≤时，也可得1010p =，1012q =，所以1(1010,2,1012)a =；设k a的三个分量为()*2,,2m m m +∈N 这三个数，当2m >时，1k a +的三个分量为2m -，2，m 这三个数，所以14k k a a +=- ；当2m =时，k a 的三个分量为2，2，4，则1k a + 的三个分量为0，2，2，2k a +的三个分量为2，0，2，所以124k k a a ++=== ；所以，由12024a = ，可得5058a = ，5064a =；因为1(1010,2,1012)a = ，所以任意k a的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以505a 的三个分量只能是2，2，4三个数，506a的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当505m <时，18m a +≥ ；当505m ≥时，14m a +=，所以m 的最小值为505．。

华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量(1,1)a =-，(,3)b x =且a b ⊥，则||a b +的值为（ ） 2 7C. 22D. 25【答案】D 【解析】 【分析】由a b ⊥可求出x 的值，从而可得到a b +的坐标，然后可求出模. 【详解】解：因为向量(1,1)a =-，(,3)b x =且a b ⊥， 所以1(1)30x ⋅+-⨯=，解得3x =， 所以(3,3)b =，所以(4,2)a b +=， 所以22||425a b +=+=故选：D【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题. 2.已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（ ） A. M N > B. M N ≥C. M N <D. M N ≤【答案】A 【解析】 【分析】通过作差得到M N -，根据判别式∆和开口方向可知0M N ->，从而得到结果. 【详解】()()()2221323M N a a a a a a -=--+-=-+4120∆=-< 2230a a ∴-+>，即M N >本题正确选项：A【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号.3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是( )A.12B.22C. 2D. 22【答案】C 【解析】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边O ′B ′在x ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x 轴上，且长度不变， O ′A ′在y ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y 轴上，且长度增大到2倍， 因O′B′=1，所以O ′A ′2，则2．则S △ABO =12OB ⨯OA=1222 考点：斜二测画法．4.已知等比数列{}n a 中，51183a a a =，数列{}n b 是等差数列，且68b a =，则48b b +=（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质可将51183a a a =转化为8283a a =，从而得83a =，所以63b =，再由等差数列的性质可求出48626b b b +==.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，51183a a a =，所以8283a a =，解得83a =，因68b a =，所以63b =，因为数列{}n b 是等差数列， 所以48626b b b +==， 故选：B【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题. 5.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos cos ca Bb A +=，1a =，3b =c =（ ）6 B. 123【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将3cos cos c a B b A +=中的边转化为角，可得3sin sin()CA B +=，可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为3cos cos ca Bb A +=，所以正弦定理得，3sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以3sin sin()CA B +3sin 2cos C C C=，因为sin 0C ≠，所以3cos C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，3b =所以由余弦定理得，22232cos 132131c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，12800元 B. 10%，12800元 C. 20%，10240元 D. 10%，10240元【答案】A 【解析】 【分析】由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，而由题意可知1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩，进而计算可得3,m a 的值. 【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，则有1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩ 则有2426240a a +=，13(1)()26240m a a -+=， 解得 10.8m -=，则0.220%m ==，因为1332800a a += 所以332328000.8a a +=，解得312800a = 故选：A【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶5 D. 3∶2【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．8.在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =，若34BE AB AD λ=+，则λ=（ ） A. 54-B. 43-C. 45-D. 34-【答案】A 【解析】 【分析】可设AE xAC =，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出3(1)22x x BE AB AD =-++，从而根据平面向量基本定理即可得出(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出λ即可．【详解】解：如图，设AE xAC =，且2BD DC =，则：BE AE AB =-xAC AB =-()x AD DC AB =+-1()2x AD BD AB=+-()2x xAD AD AB AB =+--3(1)22x xAB AD =-++，34BE AB AD λ=+， ∴(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 9.若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A. 1 B. 94C. 9D. 16【答案】B 【解析】 分析】 由2a b +=可得()()114a b +++=，所以可得()()()411411411111411411411a b a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦，由基本不等式可得结果.【详解】∵2a b +=，∴()()114a b +++=， 又∵0a >，0b >，∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++， 即13a =，53b =时取等号, 1411a b +++ 的最小值是94,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10.对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n nS a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（ ）A. 135B. 141C. 149D. 155【答案】D 【解析】 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以n S n因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.11.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC上一点，满足BI BA =+AC AP AC AP λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭(0)λ>，4PA PB -=，10PA PB -=，则BI BA BA⋅的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I 为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定BI BA BA⋅的值.【详解】由BI BA =+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+⎪⎝⎭(0)λ>可得||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以I 在∠BAP 角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心， 过I 作IH⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E ，F ，||||4,||10PA PB PA PB -=-=，则10AB =，11||||(||||||)[||(||||)223 ]BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=，在直角三角形BIH 中,||cos ||BH IBH BI ∠=， 所以||cos 3||BI BABI IBH BH BA ⋅=∠==.故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ）A. 49B. 50C. 51D. 52【答案】A 【解析】 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸上的相应位置.） 13.设, , a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①11a b <；②22ac bc <；③b a a b >；④b a a b <；⑤2211a b< 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】利用不等式的性质分别进行验证即可得答案. 【详解】因为, , a b c 为实数，且0a b <<，对于①因为0a b <<，所以0ab > 所以a b ab ab <，即11b a<，所以①不正确； 对于②当0c 时，结论不成立，所以②不正确；对于③④因为0a b <<，所以22a b >因为0ab >，所以22a b ab ab>，即a b b a >，所以③不正确，④正确； 对于⑤因为220a b >>，所以2211a b<，所以⑤正确 故答案为：④⑤【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题. 14.已知向量,a b 是平面内的一组基底，若m xa yb =+，则称有序实数对(,)x y 为向量m 在基底,a b 下的坐标.给定一个平面向量p ，已知p 在基底,a b 下的坐标为(1,2)，那么p 在基底a b -，a b +下的坐标为______.【答案】13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题可知2p a b =+，若将a b -，a b +作为基底，则设()()p m a b n a b =-++，然后展开化简得，()()p m n a n m b =++-，从而得12m n n m +=⎧⎨-=⎩，解出,m n 的值就得到所求的坐标【详解】解：由p 在基底,a b 下的坐标为(1,2)，得2p a b =+， 设p 在基底a b -，a b +下的坐标为(,)m n ，则()()p m a b n a b =-++ 所以()()p m n a n m b =++-所以12m n n m +=⎧⎨-=⎩解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以p 在基底a b -，a b +下的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭， 故答案为：13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题15.已知函数()1ee xf x x =+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041nf n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______.【答案】40392【解析】 【分析】由题意可得， 1()11()111()ee e xf x x x==++，且11(1)112f ==+，进而可得1()()1f x f x+=，结合数列的通项公式可得4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++，从而可得答案. 【详解】根据题意，因为()1e e x f x x=+，所以1()11()111()ee e xf x x x==++，11(1)112f ==+， 所以1()()1f x f x+=，因为(),2020,1,2020,4041nf n naf nn≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪⎪-⎝⎭⎩所以4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f fS f=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f=+++++⋅⋅⋅++14039201922=+=故答案为：40392【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x fx+=，属于中档题.16.如图，在平面四边形ABCD中，135A∠=︒，75B C∠=∠=︒，2BC=，则CD的取值范围是_____.【答案】(62,62)【解析】【分析】如图，延长,BA CD交于点E，设1262,,,224AD x DE x AE x AB m====，求出62+6+24x m CD的取值范围.【详解】解：如图，延长,BA CD交于点E，则在ADE∆中，105,45,30ADE DAE E∠=︒∠=︒∠=︒,所以设1262,,,224AD x DE x AE x AB m====，因为2BC=，所以6+2()sin151x m +︒=， 所以62+=6+24x m +， 所以04x <<， 因为622262422CD x m x x +=+-=+-， 所以CD 的取值范围为(62,62)-+， 故答案为：(62,62)-+【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题.Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）17.已知向量3x ka b =-和y a b =+，其中(1,3)a =-，(4,2)b =，k ∈R （1）当k 为何值时，有x 、y 平行；（2）若向量x 与y 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）3k =-，（2）112k <且3k ≠- 【解析】 【分析】（1）根据题意，设x t y =，则有3()ka b t a b -=+，再结合(1,3)a =-，(4,2)b =，可求出k 的值；（2）根据题意，若向量x 与y 的夹角为钝角，则有0x y ⋅<，由数量积的计算公式可得3(12)5(36)0x y k k ⋅=--+-<，再结合向量不共线分析可得答案.【详解】解：（1）因为x 、y 平行，所以设x t y =， 所以3()ka b t a b -=+，即()(3)k t a t b -=+ 因为(1,3)a =-，(4,2)b =，得a 与b 不共线， 所以30k t t -=+=，得3k =-， （2）因为向量x 与y 的夹角为钝角， 所以0x y ⋅<，因为向量3x ka b =-和y a b =+，其中(1,3)a =-，(4,2)b = 所以(12,36)x k k =---，(3,5)y =， 所以 3(12)5(36)0k k --+-<，解得112k <， 又因为向量x 与y 不共线，所以由（1）可知3k ≠- 所以112k <且3k ≠- 【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.18.在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈.等差数列{}n c 的前两项依次为23,a b .（1）求{}n c 的通项公式； （2）求数列(){}nn n ab c +的前n 项和n S .【答案】（1）73n c n =-，（2）(1413)3132n n n S -+=【解析】 【分析】（1）由已知递推式可得23,a b ，即为12,c c ，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通项公式；（2）由1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，.两式相加，结合等比数列的定义可得n n a b +，从而可得数列(){}nn n ab c +的通项公式，再由数列的错位相减法求和即可【详解】解：（1）因为111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈，可得21142114a b a =-+⨯-=，21142112b a b =--⨯+=， 所以322422111b a b =--⨯+=，所以124,11c c ==，等差数列{}n c 的公差为7 所以47(1)73n c n n =+-=-（2）因为1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+， 所以两式相加得，113()n n n n a b a b +++=+，所以数列{}n n a b +是以3为公比，2为首项的等比数列，所以123n n n a b -=⨯+，所以11)23(73)(1)3(46n n n n n c n n a b --=⨯⨯-=-⨯+，所以0122183223363(1420)3(146)3n n n n n S --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，123183223363(1420)3(14633)n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得，123181431431431432(146)3n n nn S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯-1231814(3333)(146)3n n n -=++++⋅⋅⋅+--⨯ 13(1413)3n n =--- 所以(1413)3132n n n S -+=【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题19.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M 的正南方向的P 点处测得山顶A 的仰角为30，该测量车在水平面上向北偏西60︒方向行驶1003m 后到达点Q ，在点Q 处测得乙山山顶B 的仰角为θ，且BQA θ∠=，经计算，tan 2θ=，若甲、乙山高分别为100m 、200m ，求两山山顶,A B 之间的距离.【答案】1005【解析】 【分析】先在Rt AMP ∆中，利用已知条件求得PM ，进而连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，求得PQ ，可推断出PQM ∆为等边三角形，进而求出QM ，从而在Rt AMQ ∆中利用勾股定理求得AQ ，Rt BNQ ∆中，利用tan 2θ=，200BN =，求得BQ ，最后在BQA ∆中，利用余弦定理求得BA【详解】解：在Rt AMP ∆中，30,100APM AM ∠=︒=， 所以3PM =连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，1003PQ =， 所以PQM ∆为等边三角形， 所以3QM =在Rt AMQ ∆中，由222AQ AM QM =+，得200AQ =，在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，得1005BQ =在BQA ∆中，22222cos (1005)BA BQ AQ BQ AQ θ=+=⋅= 所以1005BA =【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题 20.已知ABC 的内角、、A B C 所对应的边分别为a b c 、、，(sin sin )1R A B +=（其中R为ABC 的外接圆的半径）且ABC 的面积22()S c a b =--. （1）求tan C 的值；（2）求ABC 的面积S 的最大值. 【答案】（1）815，（2）417【解析】 【分析】（1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得，（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出 【详解】解：（1）因为22()S c a b =--，所以2221sin 222cos 2ab C c a b ab ab ab C =--+=-， 所以1sin 2(1cos )2C C =- 2sincos 4sin 222C C C =， 因为sin02C ≠，所以cos 4sin 22C C=， 所以1tan24C =， 所以22tan82tan 151tan 2CC C ==- （2）因为(sin sin )1R A B +=，所以由正弦定理得，2a b +=， 由8tan 15C =，得8sin 17C =， 所以21444sin 21717217a b S ab C ab +⎛⎫==≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，取等号，所以ABC的面积S的最大值为4 17【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求|AB|；（2）已知点D是AB上一点，满足AD=λAB，点E是边CB上一点，满足BE=λBC．①当λ=12时，求AE•CD；②是否存在非零实数λ，使得AE⊥CD？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【答案】（13；（2）①14②23【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得|AB|；（2）①12λ=时，D E、分别是BC AB，的中点，表示出AE，CD，利用向量的数量积计算即可；②假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，利用C B CA、分别表示出CD和AE，求出0AE CD⋅=时的λ值即可．【详解】（1）AB CB CA=-且22=4=1=21cos60=1CB CA CB CA⋅⨯⨯，，()2222=3 AB CB CA CB CA CB CB CA CA∴=-=-=-⋅+（2）①λ=时， =， =，∴D 、E 分别是BC ，AB 的中点， ∴=+=+，=（+）， ∴•=（+）•（+） =•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=； ②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣）， ∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ， ∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣； ∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ） =﹣3λ2+2λ=0，解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ=23，使得⊥．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =. （1）若23a =，3a x =，46a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++，1133n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且122020k a a a ++⋯+=，求正整数k 的最大值.【答案】（1）92x ≤≤，（2）123q ≤≤，（3）4039 【解析】【分析】 （1）由题意得232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤，将已知代入可求出x 的范围；（2）先求出通项1n n a q-=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出n S ，分别代入不等式1133n n n S S S +≤≤，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围； （3）由题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a 的公差 【详解】解：（1）由题意得，232133a a a ≤≤，所以19x ≤≤， 又因为343133a a a ≤≤，所以1633x x ≤≤，得218x ≤≤， 综上所述，92x ≤≤（2）由已知得，1n n a q-=，121133a a a ≤≤ 所以133q ≤≤， 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即1133n n n ≤+≤，成立， 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---⋅≤≤⋅---， 111331n n q q +-≤≤-，得11320320n n n n q q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩， 因为1q >，故132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->， 对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q ≤≤，30q -<，所以132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立所以12q <≤，当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤， 即1111133111n n nq q q q q q+---⋅≤≤⋅---， 所以11320320n n n n q q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 因为310,30q q ->-<，所以132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->，所以当113q ≤<时，不等式恒成立， 综上所述，q 的取值范围为123q ≤≤ （3）设12,,,k a a a 的公差为d ，由1133n n n a a a +≤≤，且11a =， 得1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=⋅⋅⋅-， 即(21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=⋅⋅⋅-⎨-≥-⎩， 当1n =时，223d -≤≤， 当2,,1n k =⋅⋅⋅-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+， 所以22213d k -≥≥--， 所以1(1)(1)220202221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-， 即2404020200k k -+≤，得4039k ≤，所以k 的最大值为4039【点睛】此题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法，考查不等式组的解法，属于难题。

2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足z(1−i)=|1+i |2，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i2.下列说法正确的是( )A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面3.已知a ,b ,c 均为单位向量，且2a =3b +4c ，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A. 13B. −13C. 14D. −144.毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为2 3米，轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为33平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡( )平方米．A. (63+15)π B. (53+6)π C. (123+15)π D. (103+6)π5.设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1,OZ 2,O 为坐标原点，且z 1=− 2+2i ，若把OZ 1绕原点顺时针旋转3π4，把OZ 2绕原点逆时针旋转4π3，所得两向量的终点重合，则z 2=( )A. 1−3iB. −1+3iC.3−iD. −3+i6.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,B =π6,c =6，若△ABC 有两解，则b 的取值范围是( )A. (3,6)B. (3 3,63)C. (33,6)D. (3,63)7.如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，∠BAD =∠BCD =π3，AB =8，AD =16，点E 在边AD 上，且BE ⊥AD ，点F 为边BC(含端点)上一动点，则DF ⋅EF 的最小值为( )A. 36B. 39C. 45D. 488.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c b +2b c =3cosA ，1tanA +1tanC =2tanB ，则sinB =( )A.64B.105C.156D.217二、多选题：本题共3小题，共18分。

武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知OB 是平行四边形OABC的一条对角线，O 为坐标原点，(2,4)OA =，(1,3)OB =，若点E 满足3OC EC =，则点E 的坐标为（ ） A. 11(,)33-- B. 11(,)33C. 22(,33--） D. 22(,)33【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量减法法则求出C 的坐标，设(),E x y ，则()333,33EC x y =----，根据3OC EC =得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意可得()()()1,32,41,1OC OB OA =-=-=--，所以()1,1C --， 设(),E x y 则()()331,133,33EC x y x y =----=----，由3OC EC =所以331331x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得2323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点E 的坐标为22,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.2.已知数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，若22443,5a b a b +=+=，则77a b +=（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】B 【解析】试题分析：因为数列{}n a 和{}n b 都是等差数列,为等差数列,由22443,5a b a b +=+=,得．77a b +=．故选B ．考点：等差数列．3.设4a b ⋅=，若a 在b 方向上的投影为23，且b 在a 方向上的投影为3，则a 和b 的夹角等于（ ） A.3πB.6π C. 23π D.3π或23π 【答案】A 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，运用向量的数量积的定义和投影的概念，解方程可得1cos 2θ=，进而得到夹角．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ， 由4a b ⋅=，可得||||cos 4a b θ=， 若a 在b 方向上的投影为23，则2||cos 3a θ=，所以||6b =，又b 在a 方向上的投影为3，则||cos 3b θ=， 综上可得1cos 2θ=， 由于0θπ，则3πθ=．故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和投影的概念，考查特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．4.设0a b <<，0c >，则下列不等式中不成立的是（ ） A.c c a b> ab --> C. ac bc >-D.c c a b a>- 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可逐个判断．【详解】解：0a b <<，0c >，所以10c>，∴110b aa b ab --=>，即11a b >，所以c c a b>，故A 正确， 0a b ->->>>B 正确， ||||a b b >=-，所以a c bc >-，故C 正确；110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a <-，所以c c a b a<-，故D 不正确． 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查学生运用不等式性质解决问题的能力，属于基础题．5.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且5231n n S n T n +=+，则99a b 的值为（ ）A.1752B.3752C.6752 D.8752【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质11711791791717()217()2a a a S b b b T +==+，即可得出． 【详解】解：由等差数列的性质11711791791717()217()2a a a S b b b T +==+， 又因为5231n n S n T n +=+，所以911977517287317152a Sb T ⨯+===⨯+故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.ABC中，1a c =-，tan 2tan B a c C c-=，则角A 为（ ） A.2πB.3π C.4π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式，整理可得1cos 2B =，结合B 的范围可求B 的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos cos()22A C C π-=-，利用余弦函数的性质即可得解3C A π-=，进而可求C ，A 的值． 【详解】解：tan 2tan B a c C c-=，得：21sinBcosC sinA sinCcosB sinC =-，可得2sinA sinAsinCcosB sinC =，(),0,A B π∈ sin 0A ∴≠整理解得：12cosB =，所以3B π=即23A C π+=1sinA sinC+=222A C A CsincossinC+-=22A C cos sinC cos C π-⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ∴22A C C π-=-或22A C C π-=-． A C π∴+=，或3C A π-=，∴当A C π+=时，由于23A C π+=，矛盾， ∴可得：3C A π-=，结合23A C π+=，可得：512C π=，4A π=故选：C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 7.当4a <时，关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是（ ）A.2549,916⎛⎤⎥⎝⎦B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 57,34⎛⎫⎪⎝⎭D. ()3,4【答案】A 【解析】【分析】由题意可得04a <<，求出不等式的解集，由1142<<，且解集中一定含有整数1，2，3，可得34<，由此求得a 的范围．【详解】解：因为不等式等价于2(4)410a x x-+-+<，其中△40a =>，且有40a ->．故04a <<x <<，由1142<<，可得解集中一定含有整数1，2，3，可得34<， ∴5374>，解得2549916a <≤，所以a 的取值范围为2549,916⎛⎤⎥⎝⎦， 故选：A ．【点睛】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用，考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力，属于中档题． 8.已知,0a b >，1a b +=，则12211a b +++的最小值是（ ） A.95B.116C. 75D. 15+【答案】A 【解析】 【分析】由权方和不等式可得，212212121112a b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+≥+++++，将1a b +=代入，即可求出结果. 【详解】由权方和不等式,0a b >，1a b +=，2192212292=+11521115122221a b b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+≥==+++++++，当且仅当2=212a +时，取等号；故选：A.【点睛】本题主要考查了权方和不等式，权方和不等式：若0,0i i a b >>，则222212121212()()n n n n a a a a a a b b b b b b ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅成立；当i i a b λ=时，等号成立. 9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为3S c =，则ab 的最小值为（ ） A.12B.13C.16D. 3【答案】B 【解析】试题分析：由正弦定理，有，又2c·cosB＝2a ＋b ，得2sinC·cosB＝2sin A ＋sinB ，由A ＋B ＋C ＝π，得sin A ＝sin(B ＋C)，则2sinC·cosB＝2sin(B ＋C)＋sinB ，即2sinB·cosC＋sinB ＝0， 又0＜B ＜π，sinB ＞0，得cosC ＝－，因为0＜C ＜π，得C ＝，则△ABC 的面积为S △＝ab sinC ＝ab ，即c ＝3ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ，化简，得a 2＋b 2＋ab ＝9a 2b 2， ∵a 2＋b 2≥2ab，当仅当a=b 时取等号， ∴2ab＋ab≤9a 2b 2，即ab≥，故ab 的最小值是．考点：1.正弦定理和余弦定理；2.基本不等式.10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10100a >，100910100a a +<，则满足10n n S S +<的正整数n 为（ ） A. 2017 B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质，即可得出． 【详解】解：10100a >，100910100a a +<，∴公差0d <，120182018100910102018()1009()02a a S a a +==+<，12019201910102019()201902a a S a +==>，因此满足10n n S S +<的正整数n 为2018． 故选：B ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.P 、Q 为三角形ABC 中不同两点,若PA PB PC AB ++=, Q A 3QB 5QC 0++=,则PABQAB S:S为A.13B.35C.57D.79【答案】B 【解析】令D 为AC 的中点PA PB PC AB ++=,化为PA PC AB PB +=-,即2PD AP =,可得3AC AP =,且点P 在AC 边上,则12PAB ABC S S ∆∆=,设点,M N 分别是,AC AB 的中点,则由350QA QB QC ++=可得260QM QN QC ++=,设点T 是CN 的中点,则2520QM QN QT ++=,设点S 是MT 的中点, 则450QS QN +=,因此可得59QAB ABC S S ∆∆=,所以3:5PAB QAB S S ∆∆=，故选B. 点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．本题的解答中利用共线向量，得到450QS QN +=，从而确定三角形的面积比.12.已知G 点为ABC ∆的重心，设ABC ∆的内角,,A B C 的对边为,,a b c 且满足向量BG CG ⊥，若tan sin a A b C λ=⋅，则实数λ=（ ）A. 2B. 3C.23D.12【答案】D 【解析】如图,连接AG 延长交AG 交BC 于D ,由于G 为重心，故D 中点，∵CG BG ⊥，∴12DG BC =，由重心的性质得，3AD DG =，即32AD BC =，由余弦定理得， 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，∵,ADC BDC CD BD π∠+∠==， ∴222222AC AB AD CD +=+，∴2222219522AC AB BC BC BC +=+= ，∴2225b c a +=，由tan sin a A b C λ=⋅，将正切化为正弦与余弦的商，利用正弦定理可得2cos a bc A λ=，∴222222222152a abc a a a λ===+--故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为__________海里．【答案】206 【解析】分析：根据已知条件，分别在ADC 和BDC 中计算,AD BD ，在ADB 用余弦定理计算AB .详解：连接AB ，由题可知40CD =，105ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，30ACD ∠=︒，60ADB ∠=︒，则45DAC ∠=︒在ADC 中，由正弦定理sin sin AD CDACD DAC=∠∠ 得202AD =BDC 为等腰直角三角形，则402BD =在ADB 中，由余弦定理得222cos 206AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=故答案为206.点睛：解三角形的应用问题，先将实际问题抽象成三角形问题，再合理选择三角形以及正、余弦定理进行计算.14.若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________． 【答案】15 【解析】试题分析：因为1020T T =，所以所以{}n a 是正项递增等比数列,所以，所以最小.考点：等比数列的性质.15.已知ABC 中，点D 满足20BD CD +=，过D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点,E F ，AE AB λ=，AF AC μ=．若0,0λμ>>，则λμ+的最小值为________．【答案】213+ 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得λμ+的最小值． 【详解】解：因为20BD CD +=， 所以2BD DC =， 所以23AD AC CD AC CB =+=+()212333AC AB AC AC AB =+-=+因为AE AB λ=，AF AC μ=，0λ>，0μ> 所以1AB AE λ=，1AC AF μ=所以31232331AD AC AB AF AE μλ=+=+ 因为D 、E 、F 三点共线，所以12133μλ+= 所以()12213333λμλμλμμλμλ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭因为0λ>，0μ>，所以03λμ>，203μλ>， 所以2222112133333λμλμλμμλμλ+=++≥+⋅=+ 当且仅当233λμμλ=，即223λ+=，213μ+=时等号成立 综上所述，λμ+的最小值为2213+， 故答案：221+【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，属于中档题．16.已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，8b =，且223cos 5ac B a b bc =-+，O 为ABC 内一点，且满足0OA OB OC ++=，30BAO ∠=︒，则OA =__________． 【答案】6415【分析】利用余弦定理求得cos A 的值，再根据平方关系求得sin A 的值，由题意知O 为ABC ∆的重心，且13ABO ABC S S ∆∆=，利用三角形的面积公式求出||OA 的值．【详解】解：ABC ∆中，223cos 5ac B a b bc =-+，由余弦定理可得22222325a cb aca b bc ac +-=-+， 22265b c a bc ∴+-=，222635cos 225bcb c a A bc bc +-∴===，4sin 5A ∴=； 6b =，30BAO ∠=︒，且0OA OB OC ++=，O ∴为ABC ∆的重心，且13ABO ABC S S ∆∆=，如图所示；则111||sin30sin 232c OA cb BAC ︒=⨯∠， 求得1464||823515OA =⨯⨯⨯=．故答案为：6415．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知平面内三个向量：()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-= （1）若()()//2a kc b a +-，求实数k 的值；（2）设(),d x y =，且满足()()a b d c +⊥-，5d c -=，求d . 【答案】（1）1613k =-（2）(6,0)(2,2)d =或【分析】（1）根据向量平行坐标表示得方程，解得实数k 的值；（2）根据向量垂直坐标表示以及模的定义列方程组解得d . 【详解】()()()()13,2,1,2,4,1,a b c ==-=()()34,2,25,2a kc k k b a ∴+=++-=- ()()//2,a kc b a 又+-()()234520,k k ∴+++=1613k ∴=-()()()22,4,4,1a b d c x y +=-=--()(),5a b d c d c +⊥--=又()()()()222441062,,02x 415x y x x y y y ⎧-+-===⎧⎧⎪∴⎨⎨⎨==-+-=⎩⎩⎪⎩解得或 ()()6,02,2d ∴=或【点睛】向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，向量垂直：121200a b x x y y ⋅=⇒+=，向量加减： 1212(,).a b xx y y ±=±± 18.在△ABC 中，sin223ABC AB ∠==,点D 在线段AC 上，且2,3AD DC BD ==, （1）求cos ABC ∠； （2）求BC 和AC 的长【答案】(1) 13；(2) BC =3，AC =3【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，求得cos ABC ∠的值.（2）设出,BC DC 的长，在三角形ABC 、BDC 、BDA 中，分别用余弦定理列方程，解方程求得,BC DC ，进而求得AC 的长.【详解】(1)2231 cos12sin1223ABCABC⎛⎫∠∠=-=-⨯=⎪⎪⎝⎭.(2)设,BC a DC b==则2,3AD b AC b==在ABC∆中，2222cosAC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠,即2219422,3b a a=+-⨯⨯⨯224943b a a=+-…①在ABC∆中，216443cos4322bBDAb+-∠=⨯⨯，22163432c osbBDabC+-⨯∠⨯=，由cos cos0BDC BDA∠+∠=得2236b a=-…②由①、②解得3,1a b==，所以3,3BC AC==.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查二倍角公式，考查方程的思想，属于基础题.19.已知函数2()2f x ax bx a=+-+．（1）若关于x的不等式()0f x>的解集是(1,3)-，求实数,a b的值；（2）若2,b=0,a≥解关于x的不等式()0.f x>【答案】（1）12ab=-⎧⎨=⎩；（2）答案见解析．【解析】 【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程220ax bx a +-+=的两根分别为1-和3，由此建立关于a 、b 的方程组并解之，即可得到实数a 、b 的值； （2）不等式可化成(1)(2)0x ax a +-+>，当0a =时，()0f x >，即220x +>，解得即可； 当0a >时，由此讨论1-与2a a-的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【详解】解：（1）∵不等式()0f x >的解集是(1,3)-， ∴1-，3是方程220ax bx a +-+=的两根， ∴可得209320a b a a b a --+=⎧⎨+-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．（2）当2b =时，()()()22212f x ax x a x ax a =+-+=+-+，①当0a =时，()0f x >，即220x +>，∴1x >-，即解集为{}|1x x >-； ②0a >，∴2(1)(2)0(1)0a x ax a x x a -⎛⎫+-+>⇔+-> ⎪⎝⎭， （ⅰ）当21a a --=，即1a =时，解集为{|x x ∈R 且1}x； （ⅱ）当21a a-->，即01a <<时，解集为{2|a x x a -<或1}x >-；（ⅲ）当21a a --<，即1a >时，解集为{| 1 x x <-或2}a x a->． 【点睛】本题给出二次函数，讨论不等式()0f x >的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题． 20.已知{}n b 为单调递增的等差数列，385626,168b b b b +==，设数列{}n a 满足2312322222n b n n a a a a +++⋅⋅⋅+=．（I ）求数列{}n b 的通项； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（I ）22=+n b n ；（II ）1324,n n S n N +*=⨯-∈．【解析】 【分析】（I ）设{}n b 的公差为d ，运用等差数列的性质，解方程可得561214b b =⎧⎨=⎩，可得2d =，再由等差数列的通项公式，即可得到结果；（II ）由221224nb n n ++==，递推得8,132,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩，即可利用等比数列的求和，求解数列的和． 【详解】（I ）解法1：设{}n b 的公差为d ， ∵{}n b 为单调递增的等差数列，∴0d >且65b b > 由385626168b b b b +=⎧⎨=⎩得565626168b b b b +=⎧⎨=⎩解得561214b b =⎧⎨=⎩∴652d b b =-=，()()55122522n b b n d n n =+-=+-=+，∴22=+n b n . 解法2：设{}n b 的公差为d ，∵{}n b 为单调递增的等差数列，∴0d >由385626168b b b b +=⎧⎨=⎩得()()111292645168b d b d b d +=⎧⎨++=⎩，解得142b d =⎧⎨=⎩，∴()()1142122n b b n d n n =+-=+-=+，∴22=+n b n . （II ）221224n b n n ++==由2311231222222n bn nn n a a a a a --+++⋅⋅⋅++=……① 得1231123122222n b n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=……②-①②得，∴32,2nn a n =⨯≥，又∵1182b a ==不符合上式，∴8,132,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩. 当2n ≥时，()()21231212832228332412n n n nS -+-=+⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=⨯--∵18S =符合上式，∴1324,n n S n N +*=⨯-∈.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． ．21.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C的对边，且()24sin cos sin3A A B C A +=（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3A π=；（2）2⎛ ⎝. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()sin3sin 2sin2cos cos2sin A A A A A A A =+=+，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而可得结果；（Ⅱ）在ABC ∆中，由正弦定理得22sin 2sin 31sin sin B C c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，又,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(1tan B ∈，∴()1,4c ∈，又∵1sin 2ABC S bc A ∆==，从而可得结果. 试题解析：（Ⅰ）∵A B C π++=，∴()cos cos B C A +=-①，又∵32A A A =+，∴()sin3sin 2sin2cos cos2sin A A A A A A A =+=+②， 又sin22sin cos A A A =③，将①，②，③代入已知得：2sin2cos sin2cos cos2sin A A A A A A A +=++整理得sin A A +=sin 3A π⎛⎫+=⎪⎝⎭，又∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴233A ππ+=，即3A π=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得23B C π+=，∴23C B π=-， ∵ABC ∆为锐角三角形， ∴20,32B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 解得,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由正弦定理得：2sin sin c B C =，∴22sin 2sin 31sin sin B C c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+， 又,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(1tan B ∈，∴()1,4c ∈，又∵1sin 2ABCS bc A ∆==，∴ABC S ∆∈⎝． 22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若11nn n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）21n a n =-.2nn b =.（2）()2,3-【解析】 【分析】（1）由1n n n a S S -=-代入计算可得21n a n =-；将21n a n =-代入11n n n b a b n++=，可得12n nb b +=，可得2n n b =；（2）由11n n n b c a +=-，可得{}n c 的通项公式，由错位相减法可得n T 的值，由()112nn n n T λ--<+，可得()21142nn λ--<-，分n 为偶数与奇数进行讨论，可得实数λ的取值范围.【详解】（1）由已知可得111a S ==.当2n ≥时，2n S n =，21(1)n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-. 显然11a =也满足上式， 所以21n a n =-.因为11n n n b a b n ++=，所以12112n n b n b n+-+==. 又1122b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以2nn b =.（2）由（1）可得112212n n n n n b c a n n-+===-，所以112n n nc -=. 所以21231222n n n T -=++++， 所以23111231222222n n nn nT --=+++++， 两式作差，得231111111222222n n n n T -=+++++-1122212212n n n n n -+=-=-- 所以1242n n n T -+=-. 不等式()112nn n n T λ--<+，化为()21142nn λ--<-.当n 为偶数时，则2142n λ-<-.因为数列2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增，所以222min1144322n --⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 所以3λ<.当n 为奇数时，即2142n λ--<-，即2142n λ->-.因为2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减，所以212max 1144222n --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 所以2λ>-.综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-.【点睛】本题主要考查等差数列等比数列通项公式的求法、错位相减法求数列的和及数列与不等式的综合，考查学生的运算求解能力，需注意解题方法的积累，属于中档题.。