河南省南阳市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试

2017-2018学年河南省南阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．一个频率分布表（样本容量为30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（）A．15 B．16 C．17 D．193．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B． +100，s2+1002C．，s2D． +100，s25．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10）， (35)40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．6．某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是（）A．B．C．D．7．下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）A．1 B．C．D．9．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为（）A．B．C．D．10．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（）A．6 B．9 C．12 D．1811．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品3月以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格，则前七个月该产品的市场收购价格的方差为（）A．B．C．11 D．12．袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．14．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）①根据频率分布直方图算出样本数据的中位数为②为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按月收入从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取人．15．已知一组数据为10，10，x，8，其中位数与平均数相等，则这组数据的中位数为．16．5位顾客将各自的帽子放在衣架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则没有一个人拿到自己帽子的概率为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共70分）17．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．18．甲、乙两名运动员为了争取得到2016年巴西奥运会的最后一个参赛名额，共进行了7轮比赛，得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图分析甲、乙两名运动员中哪位的比赛成绩更为稳定？（2）若从甲运动员的7轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选3个，求这3个得分与其7轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率．19．根据下面的要求，求S=12+22+…+1002值．（1）请完成执行该问题的程序框图；（2）以下是解决该问题的程序，请完成执行该问题的程序．20．某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子（投掷各面数字为1到6的均匀正方体，看面朝上的点数）赢代金券”的活动，游戏规则如下：顾客每次消费后，可同时投掷两枚骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券，用于在以后来店消费中抵用现金．设事件A：“两连号”；事件B：“两个同点”；事件C：“同奇偶但不同点”．①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．请替该店定出各个等级奖依次对应的事件并求相应概率．21．某校为了解高一新生对文理科的选择，对1000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：文科人数一正一（1）从统计表分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频率分布直方图．（2）从考分不低于70分的选择理科和文科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取理科学生的数学成绩一定至少高于选取文科学生的数学成绩一个分数段的概率．22．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．2015-2016学年河南省南阳一中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】茎叶图．【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．2．一个频率分布表（样本容量为30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（）A．15 B．16 C．17 D．19【考点】频率分布表．【分析】根据样本数据在[20，60）上的频率求出对应的频数，再计算样本在[40，50），[50，60）内的数据个数和即可．【解答】解：∵样本数据在[20，60）上的频率为0.8，∴样本数据在[20，60）上的频数是30×0.8=24，∴估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为24﹣4﹣5=15．故选：A．【点评】本题考查了频率=的应用问题，是基础题目．3．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】频率分布直方图．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ．，s 2+1002B ． +100，s 2+1002C ．，s 2D ． +100，s 2【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i =x i +100，则=（x 1+x 2+…+x 10+100×10）=（x 1+x 2+…+x 10）=+100，方差s 2=[（x 1+100﹣（+100）2+（x 2+100﹣（+100）2+…+（x 10+100﹣（+100）2]=[（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x 10﹣）2]=s 2．故选：D ．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．5．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）A．B．C．D．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，即可得出结论．【解答】解：由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，故选：B．【点评】本题考查频率分布直方图、茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据方差抽样的定义即可求应从各年级分别抽取的班数，根据古典概型的概率公式即可求出对应的概率．【解答】解：∵高一，高二，高三的班级数比为21：14：7=3：2：1，则现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班，则高一，高二，高三的班数分别为3，2，1．分别若从抽取的6个班高三班级记为a，高二的两个班级记为b，c，高一的三个班级记为A，B，C，则抽取2人的结果是（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（a，C），（b，c），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），（A，B），（A，C），（B，C），共15种结果．抽取的2人均为高一班级（A，B），（A，C），（B，C），共3种结果．则抽取的2个班均为高一的概率是P==，故选：A．【点评】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概率的计算，利用列举法是解决本题概型的基本方法．7．下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由互斥事件和对立事件的概念可判断结论．【解答】解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，故选：D．【点评】本题考查事件的概念，考查互斥事件和对立事件，考查不可能事件，不可能事件是指一个事件能不能发生，不是说明两个事件之间的关系，这是一个基础题．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）A．1 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行过程，对运行过程中变量S的值的变化情况进行分析，找出各项之间的规律，不难给出答案．【解答】解：依题意得，运行程序后输出的是数列{a n}的第2013项，其中数列{a n}满足：=a1=1，a n+1注意到a2=，a3=，，a5=1，，…该数列中的项以4为周期重复性地出现，且2013=4×503+1，因此a2013=a1=1，运行程序后输出的S的值为1．故答案为：A【点评】本题考查框图的应用，数列的通项公式等，属于中档题．9．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】根据古典概率的求解方法得出每次拨对号码的概率为，再运用公式求解．【解答】解；∵数值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个数字，∴每次拨对号码的概率为，∴拨号不超过2次而接通电话的概率为+=，故选：C．【点评】本题考查了古典概率的求解，属于容易题．10．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=6102，b=2016，执行循环体，r=54，a=2016，b=54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．11．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品3月以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格，则前七个月该产品的市场收购价格的方差为（）A．B．C．11 D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】设7月份该产品的市场收购价格应为x元，建立与前三个月即4、5、6月的市场收购价格之差的平方和f（x）的函数关系，再求最小值点，即可求出方差．【解答】解：设7月份市场收购价格为x元，因为前3个月的市场收购价分别为71元、72元、70元，则函数y=（x﹣71）2+（x﹣72）2+（x﹣70）2=3x2﹣426x+15125；所以当x==71时，函数y有最小值，即7月份的收购价格为71元．则前七个月该产品的市场收购价格的平均数为（68+78+67+71+72+70+71）=71，则前七个月该产品的市场收购价格的方差为 [（68﹣71）2+（78﹣71）2+（67﹣71）2+（71﹣71）2+（72﹣71）2+（70﹣71）2+（71﹣71）2]=（9+49+16+1+1）=，故选：B．【点评】本题主要考查方差的计算，根据条件求出7月份的收购价格，以及计算出平均数是解决本题的关键，考查学生的计算能力．12．袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件与对立事件．【分析】所有的取法共有种，其中，没有红球的取法有种，只有1个红球的取法有种，由此求得所取3个球中至多有1个红球的概率．【解答】解：所有的取法共有=56种，其中，没有红球的取法有=10种，只有1个红球的取法有=30种，故所取3个球中至多有1个红球的取法有10+30=40种，故所取3个球中至多有1个红球的概率为=，故选D．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．【考点】两个变量的线性相关．【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学．【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题．14．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）①根据频率分布直方图算出样本数据的中位数为2400②为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按月收入从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取25人．【考点】频率分布直方图．【分析】①根据中位数是所有数据中的中间值，在频率分布直方图中左右两边频数应相等，频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等，由此求出结果；②求出月收入在[2500，3000）的频率，用分层抽样的抽取比例乘以样本容量，可得答案．【解答】解：①根据中位数是所有数据中的中间值，在频率分布直方图中是左右两边频数应相等，即频率也相等；且0.0002×500+0.0004×500=0.3，前2个小矩形面积的和为0.3，第3个小矩形面积为0.0005×500=0.25，0.3+0.25＞0.5，∴中位数位于第3个小矩形内．设其底边为x，高为0.0005，∴令0.0005x=0.2，解得x=400，故中位数为2000+400=2400；②月收入为[2500，3000）内的频率为0.0005×500=0.25，样本容量为100，所以应抽取的人数为100×0.25=25．故答案为：①2400，②25．【点评】本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法的应用问题，是基础题目．15．已知一组数据为10，10，x，8，其中位数与平均数相等，则这组数据的中位数为9或10．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】分当x≤8时、当8＜x≤10时和当x≥10时三种情况利用中位数的定义进行求解．【解答】解：这一组数据的平均数为=，因该组数据只有4个，故中位数应为将该组数据按从小到大顺序排列，处于最中间两个数的平均数，由于不知道x的具体数值，所以要分情况讨论：（1）当x≤8时，该组数据从小到大顺序排列应为：x、8、10、10，这时中位数为9，则=9，解得x=8，所以此时中位数为9；（2）当8＜x≤10时，该组数据从小到大顺序排列应为：8、x、10、10，这时中位数为，则=，解得x=8，不在8＜x≤10内，此时x不存在；（3）当x≥10时，该组数据从小到大顺序排列应为：8、10、10、x，这时中位数为10，则=10，解得x=12，所以此时中位数为10；综上所述，这组数据的中位数为9或10．故答案为：9或10．【点评】本题结合平均数、中位数确定一组数据的能力．涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．16．5位顾客将各自的帽子放在衣架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则没有一个人拿到自己帽子的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】每位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，共有A55方法，求出没有一个人拿到自己帽子的拿法的情况，利用概率公式，即可得到结论．【解答】解：5位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，共有A55=120种方法，对5位顾客编号为1，2，3，4，5，则第1个人有4种方法，不妨取到2号，则2号顾客可以取到1，3，4，5；2号取到1号时，方法有2种，2号取到3，4，5时，各有3种，共11种，总共4×11=44种情况，故5人拿的都不是自己帽子的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共70分）17．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由表中数据计算得，=5，=4，）=8.5，=10，求出b=0.85，a=﹣0.25，可得回归方程；（Ⅱ）将t=8代入（Ⅰ）的回归方程中得细菌繁殖个数．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据计算得，=5，=4，）=8.5，=10，所以b=0.85，a=﹣0.25．所以，回归方程为y=0.85t﹣0.25．…（Ⅱ）将t=8代入（Ⅰ）的回归方程中得y=0.85×8﹣0.25=6.55．故预测t=8时，细菌繁殖个数为6.55千个．…【点评】本题的考点是线性回归方程，主要考查回归直线方程的求解，解题的关键是求出回归直线方程的系数．18．甲、乙两名运动员为了争取得到2016年巴西奥运会的最后一个参赛名额，共进行了7轮比赛，得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图分析甲、乙两名运动员中哪位的比赛成绩更为稳定？（2）若从甲运动员的7轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选3个，求这3个得分与其7轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）计算两组数据的方差，方差小的运动员成绩更稳定；（2）列举出所有的基本事件，根据古典概型的概率公式计算．【解答】解：（1）由茎叶图可知，甲、乙两名运动员7轮比赛的得分情况为：甲：78，81，84，85，84，85，91；乙：79，84，84，86，87，84，91．所以甲运动员的平均得分，方差，乙运动员的平均得分，方差，由于，故乙运动员的比赛成绩更为稳定．（2）由（1）知，甲运动员的7轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，分别是81，84，85，84，85．从中任选的3个得分记为（x，y，z），则不同的结果有：（81，84，85），（81，84，84），（81，84，85），（81，85，84），（81，85，85），（81，84，85），（84，85，84），（84，85，85），（84，84，85），（85，84，85），共10种，这3个得分与其7轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的情况有：（84，85，84），（84，85，85），（84，84，85），（85，84，85），共4种．所以所求的概率为，【点评】本题考查古典概型的概率计算，方差计算，属于基础题．19．根据下面的要求，求S=12+22+…+1002值．（1）请完成执行该问题的程序框图；（2）以下是解决该问题的程序，请完成执行该问题的程序．。

2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为7455i - B ．z 的虚部为85C ．||3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限 2.设a ，b ，c 都是正数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都大于2 B ．至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2 D ．至少有一个不大于23.当x 在(,)-∞+∞上变化时，导函数'()f x 的符号变化如下表：则函数()f x 的图像大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．4.直线1y kx =+与曲线32y x bx c =++相切于点(1,2)M ，则b 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C.1 D ．25.已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ab的值为（ ） A ．12-B ．23- C.-2或23- D ．-2 6.利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，*n N ∈）的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项 C.12k -项 D ．2k项7.若曲线()cos f x a x =与曲线()1g x x bx 2=++在交点(0,)m 处由公切线，则a b +=（ ）A ．-1B ．0 C.2 D ．18.若函数2()1ax f z x =-（1x >）有最大值-4，则a 的值是（ ）A ．1B ．-1 C.4 D ．-49.函数3()3f x x x =-在(,2)a 上有最小值，则实数a 的范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,1)- C.[2,1)- D ．[1,1)-10.将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（ ）A ．第一列B ．第二列 C.第三列 D ．第四列11.设定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数'()f x 满足'()1xf x >，则（ ） A ．(2)(1)ln 2f f -> B ．(2)(1)ln 2f f -< C.(2)(1)1f f -> D ．(2)(1)1f f -<12. 一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =,则下列结论中错误的是（ ）A ．(3)3P =B ．(5)1P =C.(2017)(2016)P P > D ．(2018)(2021)P P <第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.1)x dx -=⎰．14.我们知道，在边长为a，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ． 15.已知函数23()2ln xf x x x a=-+（0a >），若函数()f x 在[1,2]上未单调函数，则a 的取值范围是 ．16.定义：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上存在1x ，2x （12a x x b <<<），满足1()()'()f b f a f x b a -=-，2()()'()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上市一个双中值函数，已知函数32()f x x x =-是区间[0,1]上的双中值函数，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知i 是虚数单位，复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-. （1）求1||z ；（2）若复数2z 的虚部为2，且21z z 是实数，求2z . 18. 设点P 在曲线2y x =上，从原点向(2,4)A 移动，如果直线OP ，曲线2y x =及直线2x =所围成的两个阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，如图所示.（1）当12S S =时，求点P 的坐标； （2）当12S S +有最小值时，求点P 的坐标.19. 已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间； （2）若对[,1]x c ∈，不等式()2cf x <恒成立，求c 的取值范围. 20. 已知数列228113⨯⨯，228235⨯⨯，…，228(21)(21)nn n -+ ，n S 为该数列的前n 项和. （1）计算1S ，2S ，3S ，4S ；（2）根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明. 21.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--. （1）证明'()2f x ≥；（2）如果()f x ax ≥对[0,1)x ∈恒成立，求a 的范围. 22.已知函数1()xx f x e +=（e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）设函数1()()'()xx xf x tf x eϕ=++，存在实数1x ，2x [01]∈，，使得122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DCCAB 6-10:DDBCC 11、12：AD二、填空题13.142π- 14. a 36 15. 20,5⎛⎤⎥⎝⎦∪[1，＋∞) 16. 112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 三、解答题17. 解：（1）11221i z i i -=+=-+（2）设()22z a i a R =+∈, 则212224255z a i a a i i z ++-+==++, 21z z是实数∴40,4a a -+=⇒=． ∴242z i =+．18. 解：（1）设点P 的横坐标为t （0＜t ＜2），则P 点的坐标为（t ，t 2），直线OP 的方程为y=txS 1=∫0t（tx ﹣x 2）dx=63t ，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx=62383t t +-，因为S 1=S 2，，所以34=t ，点P 的坐标为41639⎛⎫⎪⎝⎭， （2）S=S 1+S 2=382362386333+-=+-+t t t t tS ′=t 2﹣2，令S'=0得t 2﹣2=0，t=2因为0＜t ＜2时，S'＜0；2＜t ＜2时，S'＞0所以，当t=2时，S 1＋S 2有最小值，P点的坐标为)2．19. 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++ 由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=- '2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，随着x 变化时，()()f x f x ’，的变化情况如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是(,1)3-； （2）321()22f x x x x c =--+， 当32-≤c 时，由（1）知)(x f 在[]1,c 上的最大值为222()327f c -=+ 所以只需要222()3272c f c -=+<，得4427c <- 当132<<-c 时，由（1）知)(x f 在[]1,c 上的最大值为323211()222f c c c c c c c c =--+=--所以只需要321()22c f c c c c =--<，解得3102c c <-<<或所以01c <<综上所述，c 的取值范围为()1,02744, ⎪⎭⎫⎝⎛-∞- 20. （1）12348244880,,,9254981S S S S ====． （2）猜想()()()2*221121n n S n n +-=∈+N ，用数学归纳法证明如下：①当1n =时，()()222118921n S +-==+，猜想成立；② 假设当n k =时，猜想成立，即()()2221121k k S k +-=+，当1n k =+时，()()()122812123k k k S S k k ++=++⋅+()()2221121k k +-=+()()()22812123k k k +++⋅+ ()()()()()222221123812123k k k k k ⎡⎤+-+++⎣⎦=+⋅+ ()()()()()222222123212123k k k k k ++-+=+⋅+()()()()2222211123123211k k k k ++-⎡⎤+-⎣⎦==+++⎡⎤⎣⎦故当1n k =+时，猜想成立．由①②可知，对于任意的*n ∈N ，()()2221121n n S n +-=+都成立． 21. 解：（1）证明：()2112'111f x x x x =+=+-- 11<<-x 故1102≤-<x()2'≥∴x f（2）由题意知()001f x ax x -≥≤<对恒成立， 设()(),01g x f x ax x =-≤<，则()22'()'1g x f x a a x =-=-- ()恒成立时，当0'2≥≤x g a ，[)()0,1g x 在上单调递增 ()()0g x g ≥=0,符合题意()得时，当0'2=>x g a a x =-212， 即212x a-=a x a x 21,212-=-=∴即(),0'210<-<<∴x g ax 时，)(x g 单调递减()()0g x g <=0,不合题意综上，a 的取值范围为(],2-∞22. 解:(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝xex t x 1)1(2+-+， ∴()()()xx e x t x e tx t x x 1)1('2---=-++-=ϕ. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1；②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0； ③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}， 即2·t ＋1e t<max{1，3－te}．() 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在[0,1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，∴不等式()无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立．。

2016-2017学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列赋值语句正确的是（）A．M=a+1 B．a+1=M C．M﹣1=a D．M﹣a=12．（5分）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人C．950人D．970人3．（5分）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如下．则甲、乙命中个数的中位数分别为（）A．22，20 B．24，18 C．23，19 D．23，204．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球5．（5分）某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．07266．（5分）已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是=0.95x+2.6，则t=（）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.57．（5分）如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n，落在正方形内的豆子数为m，则圆周率π的估算值是（）A．B．C．D．8．（5分）在样本容量为160的频率分布直方图中，一共有n个小矩形，若其中某一个小矩形的面积等于其余n﹣1个小矩形面积和的，则该组的频数是（）A．32 B．20 C．40 D．259．（5分）如图所示是一个算法程序框图，在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值作为x 输入，则输出的y的值落在区间[﹣5，3]内的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.410．（5分）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率（）A．B．C．D．11．（5分）执行如图的程序框图，输出S的值是（）A．2 B．1 C．D．﹣112．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．14．（5分）已知如下算法语句若输入t=8，则下列程序执行后输出的结果是．15．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．16．（5分）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是．①平均数；②标准差S≤2；③平均数且标准差S≤2；④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）根据下面的要求，求1+3+5+…+99的值．（1）请完成执行该问题的程序框图；（2）请用for语句写出该算法．18．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．（12分）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a﹣b|．（1）求ξ=1的概率；（2）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．20．（12分）关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：如由资料可知y对x呈线形相关关系．试求：（1）线形回归方程；（=﹣，=）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？21．（12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．22．（12分）已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如表：若抽取学生n人，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等次，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64（人），数学成绩为B等级且地理成绩为C 等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07．（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值；（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．2016-2017学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017春•南阳期中）下列赋值语句正确的是（）A．M=a+1 B．a+1=M C．M﹣1=a D．M﹣a=1【解答】解：a+1=M中，赋值号的左边是表达式，故B错误；M﹣1=a中，赋值号的左边是表达式，故C错误；M﹣a=1中，赋值号的左边是表达式，故D错误；只有A：M=a+1是正确的赋值语句．故选A．2．（5分）（2016•临沂一模）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人C．950人D．970人【解答】解：∵样本容量为200，女生比男生少6人，∴样本中女生数为97人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为970人．故选：D．3．（5分）（2017春•南阳期中）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如下．则甲、乙命中个数的中位数分别为（）A．22，20 B．24，18 C．23，19 D．23，20【解答】解：根据茎叶图可知甲命中个数为：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37位于中间为22，24，平均数为23，即中位数为23；根据茎叶图可知乙命中个数为：9，11，13，14，18，20，20，21，21，23位于中间为18，20，平均数为19，即中位数为19；故选C．4．（5分）（2015秋•山西校级期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选：C．5．（5分）（2016•贺州模拟）某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．0726【解答】解：样本间隔为1000÷200=5，因为122÷5=24余2，故抽取的余数应该是2的号码，116÷5=23余1，927÷5=185余2，834÷5=166余4，726÷5=145余1，故选：B．6．（5分）（2016•湖南校级模拟）已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是=0.95x+2.6，则t=（）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5【解答】解：根据表中数据，得；=×（0+1+2+3+4）=2，=×（2.2+4.3+t+4.8+6.7）=，又样本中心点在回归直线=0.95x+2.6上，所以=0.95×2+2.6，解得t=4.5．故选：C．7．（5分）（2017春•南阳期中）如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n，落在正方形内的豆子数为m，则圆周率π的估算值是（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形的边长为2．则圆的半径为，根据几何概型的概率公式可以得到，即π=，故选：B．8．（5分）（2017春•南阳期中）在样本容量为160的频率分布直方图中，一共有n个小矩形，若其中某一个小矩形的面积等于其余n﹣1个小矩形面积和的，则该组的频数是（）A．32 B．20 C．40 D．25【解答】解：设某一个小矩形的面积S，则其他n﹣1个小长方形面积的和为4S，频率分布直方图的总面积为5S，∴某一个小矩形所在组的频率为=0.2，∴某一个小矩形所在组的频数为160×0.2=32，故选：A．9．（5分）（2017•龙凤区校级模拟）如图所示是一个算法程序框图，在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值作为x输入，则输出的y的值落在区间[﹣5，3]内的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【解答】解：集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机地取一个数值共有21种可能，再由程序框图可知y=，要使y值落在区间[﹣5，3]内，需x=0或或，解得x=0，或x=﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，x=1，2，3，4，5，6，7，8，共17个，∴所求概率P=≈0.8．故选：A．10．（5分）（2011春•泰安期末）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况：①正面出现3次，反面出现2次，其概率为C53（）3（）2=C53（）5=10（）5，②正面出现4次，反面出现1次，其概率为C54（）4（）=C54（）5=5（）5，③正面出现5次，其概率为C55（）5=（）5，共有三种情况，这三种情况是互斥的，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是10（）5+5（）5+1（）5=；故选C．11．（5分）（2017春•南阳期中）执行如图的程序框图，输出S的值是（）A．2 B．1 C．D．﹣1【解答】解：执行程序框图，有：S=2，k=1，满足条件k＜2017，有S=﹣1，k=2；满足条件k＜2017，有S=，k=3；满足条件k＜2017，有S=2，k=4；故由2017=3×672+1得s=2时，k=2017≥2017，输出s=2，故选：A．12．（5分）（2016•内江四模）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩==90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩==88.4+当X=8或9时，≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣=故选C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2017春•南阳期中）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为01．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01；其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；则第5个个体的编号为01．故答案为：01．14．（5分）（2015•滕州市校级模拟）已知如下算法语句若输入t=8，则下列程序执行后输出的结果是9．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是求函数y=的值，∵t=8∴y=+1=9故答案为：9．15．（5分）（2014•昆山市校级模拟）如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为：16．（5分）（2013秋•孝感校级期末）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是④⑤．①平均数；②标准差S≤2；③平均数且标准差S≤2；④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．【解答】解：①错．举反倒：0，0，0，0，2，6，6；其平均数=2≤3，不符合条件；②错．举反倒：6，6，6，6，6，6，6；其标准差S=0≤2，不符合条件；③错．举反倒：0，3，3，3，3，3，6；其平均数≤3且标准差S=≤2，不符合条件；④对．若极差小于2，显然符合条件；若极差小于或等于2，有可能（1）0，1，2；（2）1，2，3；（3）2，3，4；（4）3，4，5；（5）4，5，6．在平均数≤3的条件下，只有（1）（2）（3）成立，符合条件；⑤对．在众数等于1且极差小于或等于4时，其最大数不超过5，符合条件．故答案为：④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2017春•南阳期中）根据下面的要求，求1+3+5+…+99的值．（1）请完成执行该问题的程序框图；（2）请用for语句写出该算法．【解答】解：（1）由题意，这是一个累加型的问题，用循环结构来实现，由于累加的初始值为0，累加值每一次增加2，退出循环的条件是i＞100，故：①s=s+i；②i=i+2；③i≥100或i＞99或（写一个即可）（2）用for语句写出该算法如下：s=0For i=1 To 99 Step 2s=s+iNextINPUT sEND18．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025）×20=1， 解方程可得x=0.0075，∴直方图中x 的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a ，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a ﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．19．（12分）（2017春•南阳期中）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a ﹣b |．（1）求ξ=1的概率；（2）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．【解答】解：（1）由甲任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，基本事件总数n=6×6=36，ξ=1包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共10个，∴ξ=1的概率P （ξ=1）==．（2）ξ≤1包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16个，∴“甲乙心有灵犀”的概率p==．20．（12分）（2017春•南阳期中）关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：如由资料可知y对x呈线形相关关系．试求：（1）线形回归方程；（=﹣，=）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【解答】解：（1）==1.23…（6分）；于是=5﹣1.23×4=0.08．所以线性回归方程为：=1.23x+0.08．…（8分）；（2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38（万元）即估计使用10年是维修费用是12.38万元．…（12分）．21．（12分）（2016•锦州二模）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，∴高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，∴．由题可知，第二组的频率为0.3，∴第二组的人数为1000×0.3=300，∴．第四组的频率为0.03×5=0.15，∴第四组的人数为1000×0.15=150，∴a=150×0.4=60．（Ⅱ）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1， 所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．设[40，45）岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45，50）岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有 （a ，b ）、（a ，c ）、（a ，d ）、（a ，m ）、（a ，n ）、（b ，c ）、（b ，d ）、（b ，m ）、（b ，n ）、（c ，d ）、（c ，m ）、（c ，n ）、（d ，m ）、（d ，n ）、（m ，n ），共15种；其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a ，m ）、（a ，n ）、（b ，m ）、（b ，n ）、（c ，m ）、（c ，n ）、（d ，m ）、（d ，n ），共8种．∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为．22．（12分）（2017•黄冈模拟）已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如表：若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀），B （良好），C （及格）三个等次，设x ，y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A 等级的共有14+40+10=64（人），数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的有8人．已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07．（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；（2）已知a ≥8，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率．【解答】解：（1）由频率=，得到，解得n=200，∴，解得a=18， ∵14+a +28+40+36+8+10+b +34=200，∴b=12．（2）∵a +b=30，且a ≥8，b ≥6，∴由14+a +28＞10+b +34，得a ＞b +2，（a ，b ）的所有结果为（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），（12，18），（13，17），（14，16），（15，15），（16，14），（17，12），（18，12），（19，20），（20，10），（21，9），（22，8），（23，7），（24，6），共17组，其中a＞b+2的有8组，∴数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率P=．:minqi5；742048；静静；whgcn；陈高数；zlzhan；w3239003；danbo7801；刘老师；豫汝王世崇；涨停；lincy；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年7月15日。

河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．（5分）用数学归纳法证明（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a34．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e5．（5分）设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）A．B．C．D．3π6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1B．﹣C．﹣1 D．28．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A ． 15B ． 16C ． 17D ．189．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数f （x ）=x （x ﹣m ）3在x=2处取得极小值，则常数m 的值为（） A ． 2 B ． 8 C ． 2或8 D ． 以上答案都不对 11．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=2，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞2，则f （x ）＞2x+4的解集为（） A ． （﹣1，1） B ． （﹣1，+∞） C ． （﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，+∞） 12．（5分）定义在R 上的可导函数f （x ），且f （x ）图象连续不断，f ′（x ）是f （x ）的导数，当x ≠0时，f ′（x ）+＞0，则哈数g （x ）=f （x ）+的零点的个数（）A ． 0B ． 1C ． 2D ．0或2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列为等比数列，公比为．14．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．15．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是．16．（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2﹣，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．18．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．19．（12分）已知点P在曲线y=x2﹣1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．20．（12分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．21．（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞e2恒成立，求k的最大值．河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数+（1+i）2=+1﹣3+2=﹣2+2=﹣+i．复数对应点为：（﹣，）在第二象限．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否与的否定的概念，逻辑词语的否定．3．（5分）用数学归纳法证明（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据等式的特点，即可得到结论．解答：证明：∵（a≠1，n∈N*），∴当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，故答案为：1+a+a2+a3．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．解答：解：由关系式f（x）=2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）=2f'（x）+，令x=e得f'（e）=2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）=﹣e﹣1；故选：C．点评：本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．（5分）设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）A．B．C．D．3π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：设圆柱底面半径为R，高为H，则S=2πRH+2πR2，求出H，可得V，利用导数求最值，即可得出结论．解答：解：设圆柱底面半径为R，高为H，则S=2πRH+2πR2，∴H=﹣R（0＜R≤），∴V=πR2H=﹣πR3，∴V'（R）=当V'（R）=0时，有R=，在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴R=时，体积最大，因此H=，故选：C．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b考点：定积分．专题：计算题．分析：根据x2的原函数为x3，x3的原函数为x4，sinx的原函数为﹣cosx，分别在0到2上求出定积分的值，根据定积分的值即可得到a，b和c的大小关系．解答：解：a=∫02x2dx=|02=，b=∫02x3dx==4，c=∫02sinxdx=﹣cosx|02=1﹣cos2，因为1＜1﹣cos2＜2，所以c＜a＜b．故选D．点评：此题考查学生掌握积分与微分的关系，会进行定积分的运算，是一道基础题．7．（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1B．﹣C．﹣1 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出两个函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=lnx，g（x）=x2+a，∴f′（x）=，g′（x）=x，∵l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，∴k=f′（1）=1，又f（1）=0，则切线l的方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，当x=1时，y=1﹣1=0，即切点坐标为（1，0），∵切点（1，0）也在函数g（x）上，即g（1）=+a=0，解得a=﹣，故选：B点评：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出对应的切线斜率和切点坐标是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A．15 B．16 C．17 D．18考点：归纳推理．专题：规律型．分析：第一行有1个奇数，第二行有2个奇数，…第n行有n个奇数，每行的最后的奇数是第1+2+3+…+n=（1+n）×n÷2个奇数，这个奇数是2×（1+n）×n÷2﹣1=（1+n）×n﹣1，这就是行数n和这行的最后一个奇数的关系，依照这个关系，采用试商法，看2015所在行的最后一个奇数是多少，上一行的最后一个奇数是多少，推算出它所在的行和是第几个数，即可得解．解答：解：依据规律，第n排最后一个数为n×（n+1）﹣1，经试商，44×45=1980，45×46=2070，则知道，第44行末数字为1979；第45行最后数字是2069；÷2=18，故2015所在的列数为18，故选：D点评：本题考查的知识点是归纳推理，先找到规律，再根据规律求解．9．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．解答：解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选A点评：从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．10．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（）A．2B．8C．2或8 D．以上答案都不对考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得m的值，再验证可得结论．解答：解：求导函数，可得f′（x）=（4x﹣m）（x﹣m）2，∵在x=2处取得的极小值，∴f′（2）=（8﹣m）（2﹣m）2=0，∴m=2或8，m=2时，f′（x）≥0，在x=2处不取极值，舍去，m=8时，函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B点评：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．12．（5分）定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f′（x）是f（x）的导数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则哈数g（x）=f（x）+的零点的个数（）A．0B．1C．2D．0或2考点：函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：由题意可得得＞0，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g（x）=f（x）+=，的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+1＞1，无零点解答：解：由f'（x）+x﹣1f（x）＞0，得＞0，当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即'＞0，函数xf（x）单调递增；当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即'＜0，函数xf（x）单调递减．又g（x）=f（x）+=，函数g（x）=的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，所以函数g（x）=f（x）+x﹣1的零点个数为0个，故选：A．点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及函数的单调性，属中档题，关键是构造函数g（x）=xf（x）+1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q，前n项的积为T n，则数列为等比数列，公比为．考点：类比推理．专题：计算题．分析：仔细分析数列为等差数列，且通项为的特点，类比可写出对应数列为等比数列的公比．解答：解：因为在等差数列{a n}中前n项的和为S n的通项，且写成了．所以在等比数列{b n}中应研究前n项的积为T n的开n方的形式．类比可得．其公比为故答案为．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识．在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．14．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，这旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．此几何体的体积可以看作是π﹣，求出定积分的值，即求得题中的体积．解答：解：由曲线y=，直线y=x﹣4可得交点坐标为（8，4），直线y=x﹣4与x轴的交点坐标为（4，0），则旋转体的体积为π﹣=π•x2﹣=．故答案为：．点评：本题考查用定积分求简单几何体的体积，属于基础题．利用定积分求旋转体的体积，求解的关键是找出被积函数和相应的积分区间，准确利用公式进行计算．15．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是b≤﹣1．考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据函数在（﹣1，+∞）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f′（x）＜0进而根据导函数的解析式求得b的范围．解答：解：由题意可知f′（x）=﹣x+＜0，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，∵f（x）=x（x+2）=x2+2x且x∈（﹣1，+∞）∴f（x）＞﹣1∴要使b＜x（x+2），需b≤﹣1故答案为b≤﹣1点评：本题主要考查了函数单调性的应用．利用导函数来判断函数的单调性，是常用的方法．16．（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2﹣，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是（﹣，1）．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：“对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2）”⇔g（x）最小值＞f（x）最小值，只要g（x）最小值＞1即可．解答：解：∵x∈，∴x2∈，∴f（x）=x2﹣=x2+﹣3≥2﹣3=1，当且仅当x2=，即x2=2时取等号．∴f（x）最小值=1，“对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2）”⇔g（x）最小值＞f（x）最小值只要g（x）最小值＞1即可．当m＞0时，g（x）=mx+2是增函数，对任意的x1∈，g（x）min=g（﹣1）=2﹣m．由题设知2﹣m＞1，解得m＜1，∴0＜m＜1．当m＜0时，g（x）=mx+2是减函数，对任意的x1∈，g（x）min=g（2）=2m+2．由题设知2m+2＞1，解得m＞﹣，∴﹣＜m＜0．当m=0时，g（x）=2＞1，成立．综上所述，m∈（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．点评：本题考查函数恒成立问题的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．三、解答题17．（10分）已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=﹣2+2i，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．②当时，解得，即m=﹣时，复数z为纯虚数．（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，∴．点评：本题考查了复数为实数、纯虚数的充要条件、复数的运算法则，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，求得单调区间，即可得到极小值，也为最小值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2+2x﹣1，通过导数求出g（x）的单调性，即可得到证明．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=e x﹣2=0得，x=ln2，当x＞ln2时，f′（x）＞0；当x＜ln2时，f′（x）＜0，故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）；（2）证明：设．（x＞0），则g′（x）=e x﹣2x+2，由（1）知g′（x）=e x﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），于是对于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，即x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的证明，注意构造函数，运用单调性证明，属于中档题．19．（12分）已知点P在曲线y=x2﹣1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）确定P的坐标，设切点Q的坐标，利用导数的几何意义，可得切线的方程；（2）利用定积分表示面积，即可得出结论．解答：（1）解：点P的坐标为（a，a2﹣1），设切点Q的坐标为（x，x2），由k PQ=及y′=2x知=2x，解得x=a+1或x=a﹣1．所以所求的切线方程为2（a+1）x﹣y﹣（a+1）2=0或2（a﹣1）x﹣y﹣（a﹣1）2=0…（6分）（2）证明：S=dx+dx=．故所围成的图形面积S=，此为与a无关的一个常数…（12分）点评：本题考查定积分在求面积中的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），依题意可求得k=1，b=0，故猜想：g（x）=x；然后用数学归纳法加以证明即可．解答：解：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，则当n=2时有，a1=g（2）（a2﹣1），又∵，∴g（2）=2即2k+b=2…①．当n=3时有，a1+a2=g（3）（a3﹣1），又∵，∴g（3）=3，即3k+b=3…②，由①②可得k=1，b=0，所以猜想：g（x）=x，…（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明；…（6分）（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，结论成立，即存在g（k）=k，使得a1+a2+a3+…+a k﹣1=g （k）（a k﹣1）对k≥2的一切自然数都成立，则当n=k+1时，a1+a2+a3+…+a k=（a1+a2+a3+…+a k﹣1）+a k=k（a k﹣1）+a k=（k+1）a k﹣k，…（8分）又∵，∴a k=a k+1﹣，∴，∴当n=k+1时，成立．…（11分）由（1）（2）知，对一切n，（n≥2，n∈N*）有g（n）=n，使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n ﹣1）都成立．…（12分）点评：本题考查数列递推关系式及数学归纳法，着重考查推理与论证能力，属于中档题．21．（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题．分析：（1）利用反证法：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，假设x=﹣1时f（x）取得极值，则把x=﹣1代入导函数，导函数值为0得到a的值，把a的值代入导函数中得到导函数在R上为增函数，没有极值与在x=﹣1时f（x）取得极值矛盾，所以得到f（x）在x=﹣1时无极值；（2）把a=﹣1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c 等于一个函数，设F（x）等于这个函数，G（x）等于c，求出F（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可．解答：解：（1）由题意f′（x）=x2﹣2a x﹣a，假设在x=﹣1时f（x）取得极值，则有f′（﹣1）=1+2a﹣a=0，∴a=﹣1，而此时，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．这与f（x）在x=﹣1有极值矛盾，所以f（x）在x=﹣1处无极值；（2）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．列表如下：由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．当x=﹣1时，F（x）取得极大值；当x=3时，F（x）取得极小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，所以或c=﹣9．点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞e2恒成立，求k的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．（Ⅱ）由f（x）=x+xlnx，得对对任意x＞e2恒成立，由此利用构造法结合导数性质能求出整数k的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1…（2分）因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，所以，a=1．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，所以，对任意x＞e2恒成立，即对任意x＞e2恒成立．…（5分）令，则…（6分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞e2），则，所以函数h（x）在（e2，+∞）上单调递增…（8分）所以h（x）＞h（e2）=e2﹣4＞0，可得g'（x）＞0故函数在（e2，+∞）上单调递增．所以…（11分）∴k≤g（e2）．故整数k的最大值是3．…（12分）点评：本题考查实数值的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．。

2018年春期高中二年级期中质量评估数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用复数的除法公式进行求解.详解：.点睛：本题考查复数的发出法则等知识，意在考查学生的基本运算能力.2. 年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间的回归方程为，这意味着年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均（）A. 增加80元B. 减少80元C. 增加70元D. 减少70元【答案】C【解析】分析：利用回归直线的系数的实际意义进行判定.详解：由回归方程，得：年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均增加70元.点睛：本题考查变量的回归直线等知识，意在考查学生的数学应用能力.3. 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】试题分析：导数为0的点不一定是极值点，而极值点的导数一定为0．所以本题是大前提错误。

考点：1．演绎推理；2．利用导数求函数的极值。

4. 如图是根据变量，的观测数据（1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是（）① ② ③ ④A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④【答案】D【解析】分析：由散点图的形状进行判定.详解：由散点图可以发现，图③中的变量负相关，图④的变量正相关.点睛：本题考查散点图、变量的相关性等知识，意在考查学生的识图、用图能力.5. 若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先由复数的几何意义得到复数，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解.详解：由复数的几何意义，得，则，则该复数对应的点为，即点.点睛：本题考查复数的几何意义、复数的除法法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.6. 已知结论：“在三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：先利用类比推理得到结论，再利用几何体的体积公式进行证明.详解：在棱长都相等的四面体中，且的中心为，则面，;因为四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，所以点为内切球的球心，是内切球的半径，则,则，则.点睛：本题考查类比推理、几何体的体积公式等知识，意在考查学生的类比思想和空间想象能力.7. 下列有关线性回归分析的四个命题（）①线性回归直线必过样本数据的中心点；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数越接近于1.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】分析：根据线性回归方程的几何特征及残差,相关指数的概论,逐一分析四个答案的正误,可得答案. 详解：①线性回归直线必过样本数据的中心点（）,故①正确;②回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点,故②错误;③当相关性系数时,则两个变量正相关,故③正确;④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r就越接近于1或-1,故④错误.故真命题的个数为2个,所以B选项是正确的点睛：本题以命题的真假判断为载体,考查了相关关系,回归分析,相关指数等知识点,难度不大,属于基础题.8. 下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学著名《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为8、10、0，则输出和的值分别为（）A. 2,5B. 2,4C. 0,5D. 0,4【答案】A【解析】分析：利用程序框图，模拟运行循环结构进行求解.详解：由程序框图，得：；；，；，结束循环，即输出的值分别为2,5.点睛：本题考查程序框图中的循环结构等知识，意在考查学生的逻辑思维能力.9. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程（）有有理根，那么，，中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是（）A. 假设，，都是偶数B. 假设，，都不是偶数C. 假设，，至多有一个是偶数D. 假设，，至多有两个是偶数【答案】B【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，“至少有一个”的否定为“都不是”，所以先假设，，都不是偶数．本题选择B选项.10. 已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下：且回归方程是，则（）A. 2.5B. 3.5C. 4.5D. 5.5【答案】C【解析】由题意得，根据表中的数据，可知，且，所以，解得，故选C.11. 在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“.”其中，正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：先理解“类”的含义，即“除以5的余数相等的数”，再逐一进行验证判定.详解：因为，所以，即①正确；因为，所以，即②错误；这些“类”把整数集分成5个子集，分别是除以5后的余数，只有0到4，即③正确；若整数属于同一类，设，，则，即④正确；综上所述，①③④正确.故选C.点睛：本题以新定义“类”为载体考查元素与集合的关系、集合的运算等知识，本题易错点是不能准确理解新定义“类”的含义，即整数被5除所得的余数相同的集合，尤其是对③的判定，学生对整数集的分类不清晰.12. 将自然数按如下规律排数对：，，，，，，，，，，，，，，…，则第60个数对是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先由所给数对总结规律，再确定第60个数对.详解：通过观察可以发现：两数和为1的数对有2个，两数和为2的数对有3个，两数和为3的数对有4个，，以此类推，两数和为的数对有个，因为，则第55个到65个数对的两数之和为10，第55个到60个数对依次为：，即第60个数对为.点睛：本题考查归纳推理、等差数列等知识，意在考查学生的数学归纳猜想能力和基本运算能力，归纳推理的一般步骤是：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数的共轭复数是__________．【答案】【解析】，故该复数的共轭复数为 .14. 已知函数，则__________．【答案】【解析】分析：先计算得到，再分组进行求和.详解：由，得，且，即，则.点睛：解决本题的关键是通过联想到，再由此想到先计算的值，再两两结合进行求解，也可以类似倒序相加法进行求解，即：设，，则.15. 执行如下图的程序框图，输出的值是__________．【答案】【解析】分析：先由程序框图得到前几个数，发现得到周期性，进而得到答案.详解：由程序框图，得；；；；；即的值具有周期性，周期为3，则当程序框图结束时的结果为，即输出的值为.点睛：本题考查程序框图的循环结构、周期性等知识，意在考查学生的逻辑推理能力.16. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③，有且只有一个正确，则__________．【答案】201【解析】试题分析：由题：，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确；可假设：•正确，则可推出矛盾，同理可得当ƒ正确时，成立即；考点：逻辑推理．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数.（1）求复数的模；（2）若复数是方程的一个根，求实数，的值.【答案】（1）；（2）4，10【解析】分析：（1）先利用复数的除法法则和减法法则化简，再利用模公式进行求解；（2）将代入方程，再利用复数相等进行求解.详解：（1），∴（2）∵复数是方程的一个根∴由复数相等的定义，得：解得：∴实数m,n的值分别是4,10.点睛：本题考查复数的四则运算、复数的模及复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本运算能力. 18. 设、、均为正数，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（Ⅰ）由，，得：，由题设得，即，所以，即.（Ⅱ）因为，，，所以，即，所以.本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.视频19. 微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.附：.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，进而得到使用微信的人数和青年人的人数等，从而列出的列联表，；（2）根据列联表的数据，求解的值，得出结论；（3）从“经常使用微信”的人中抽取人，其中，青年人有人，中年人有，进而利用古典概率，即可求解概率。

2017-2018学年河南省南阳一中高一（下）第二次月考数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）完成下列两项调查：① 一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10000人认为这是成为优秀演员的必经之路.有9000人认为太残酷.有1000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查．② 从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是（）A. ① 简单随机抽样. ② 系统抽样B. ① 分层抽样. ② 简单随机抽样C. ① 系统抽样. ② 分层抽样D. ① ② 都用分层抽样2.（单选题.5分）10名工人某天生产同一零件.生产的件数是15.17.14.10.15.17.17.16.14.12.设其平均数为a.中位数为b.众数为c.则有（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a3.（单选题.5分）当A=1时.下列程序：input“A=“；AA=A*2A=A*3A=A*4A=A*5printAend输出的结果A是（）A.5B.6C.15D.1204.（单选题.5分）抛掷一枚骰子.记事件A为“落地时向上的点数是奇数”.事件B为“落地时向上的点数是偶数”.事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”.事件D为“落地时向上的点数是6或4”.则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A.A与BB.B与CC.A与DD.C与D5.（单选题.5分）甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中.甲队平均每场进球数为3.2.全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8.全年比赛进球个数的标准差为0.3．下列说法正确的个数为（）① 甲队技术比乙队好；② 乙队发挥比甲队稳定；③ 乙队几乎每场都进球；④ 甲队表现时好时坏．A.1B.2C.3D.46.（单选题.5分）设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数.则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实数根的概率为（）A. 23B. 13C. 12D. 5127.（单选题.5分）从1.2.3.4.5中任取两个不同的数字.构成一个两位数.则这个数字大于40的概率是（）A. 25B. 45C. 15D. 358.（单选题.5分）在样本的频率分布直方图中.共有11个小长方形.若中间一个长方形的面积等.且样本容量是160.则中间一组的频数为（）于其他十个小长方形面积的和的14A.32B.0.2C.40D.0.259.（单选题.5分）如果执行如图的程序框图.那么输出的S=（）A.22B.46C.94D.19010.（单选题.5分）如图所示.在矩形ABCD中.AB=5.AD=7.现在向该矩形内随机投一点P.则∠APB＞90°的概率为（）A. 536πB. 556πC. 18D. 1811.（单选题.5分）某程序框图如图所示.若输出结果是126.则判断框中可以是（）A.i＞6B.i＞7C.i≥6D.i≥512.（单选题.5分）若a.b∈{-1.0.1.2}.则函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率为（）A. 1316B. 78C. 34D. 5813.（填空题.5分）已知程序：若输出y的值为6.则输入x的值为___14.（填空题.5分）为了研究某药品的疗效.选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12.13）.[13.14）.[14.15）.[15.16）.[16.17].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组.第二组.….第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人.第三组没有疗效的有6人.则第三组中有疗效的人数为___ ．15.（填空题.5分）某班级有50名学生.现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生.将这50名学生随机编号1-50号.并分组.第一组1-5号.第二组6-10号.….第十组45-50号.若在第三组中抽得号码为12的学生.则在第八组中抽得号码为___ 的学生．16.（填空题.5分）小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面.约定谁先到后必须等10分钟.这时若另一人还没有来就可以离开．如果小强是1：20-2：00到达的.假设小华在1点到2点内到达.且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的.则他们会面的概率是___ ．17.（问答题.10分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1.2.3.4.5的五个球.现从甲、乙两个盒子中各取出1个球.每个小球被取出的可能性相等．（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；（2）求取出的两个球上标号之和和标号之积都不小于5的概率．18.（问答题.12分）给出30个数：1.2.4.7.….其规律是：第1个数是1.第2个数比第1个数大1.第3个数比第2个数大2.第4个数比第3个数大3.以此类推.要计算这30个数的和.现已给出了解决该问题的算法框图（如图所示）．（1）请在图中处理框内① 处和判断框中的② 处填上合适的语句.使之能完成该题算法功能；（2）根据算法框图写出算法语句．19.（问答题.12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.在培训期间他们参加的5次预赛成绩记录如下：甲：82.82.79.95.87乙：95.75.80.90.85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）求甲、乙两人的成绩的平均数与方差；（3）若现要从中选派一人参加数学竞赛.你认为选派哪位学生参加合适说明理由？20.（问答题.12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响.对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： x 1 23 4 5 y 7.0 6.55.5 3.8 2.2 ̂（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元.假设该农产品可全部卖出.预测当年产量为多少时.年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式： b ̂ = i −x )n i=1i −y )∑(x −x )2n = ∑(x i y i )n i=1−nxy ∑x i 2n i=1−nx2 . a ̂ = y - b ̂ x ．21.（问答题.12分）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况.拟采用分层抽样的方法从A.B.C 三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A.B.C区中分别有18.27.18个工厂.（Ⅰ）求从A.B.C区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比.用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．22.（问答题.12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中.选取60名同学将其成绩（百分制.均为整数）分成[40.50）.[50.60）.[60.70）.[70.80）.[80.90）.[90.100]六组后.得到部分频率分布直方图（如图）.观察图形中的信息.回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70.80）内的频率.并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中.估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中.随机抽取2人.求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．2017-2018学年河南省南阳一中高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）完成下列两项调查：① 一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10000人认为这是成为优秀演员的必经之路.有9000人认为太残酷.有1000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查．② 从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是（）A. ① 简单随机抽样. ② 系统抽样B. ① 分层抽样. ② 简单随机抽样C. ① 系统抽样. ② 分层抽样D. ① ② 都用分层抽样【正确答案】：B【解析】：① 的总体数目较多.而且差异很大.符合分层抽样的适用范围；② 的总体个数不多.而且差异不大.符合简单随机抽样的适用范围．【解答】：解：① 一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路.有9 000人认为太残酷.有1 000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查.此项抽查的总体数目较多.而且差异很大.符合分层抽样的适用范围；② 从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.此项抽查的总体个数不多.而且差异不大.符合简单随机抽样的适用范围．∴宜采用的抽样方法依次是：① 分层抽样. ② 简单随机抽样．故选：B．【点评】：本题考查的知识点是分层抽样法、简单随机抽样法.熟练掌握各种抽样方法各自的适用范围是解答的关键.属于基础题．2.（单选题.5分）10名工人某天生产同一零件.生产的件数是15.17.14.10.15.17.17.16.14.12.设其平均数为a.中位数为b.众数为c.则有（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a【正确答案】：D【解析】：先由已知条件分别求出平均数a.中位数b.众数c.由此能求出结果．（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；【解答】：解：由已知得：a= 110(15+15) =15；b= 12c=17.∴c＞b＞a．故选：D．【点评】：本题考查平均数为.中位数.众数的求法.是基础题.解题时要认真审题．3.（单选题.5分）当A=1时.下列程序：input“A=“；AA=A*2A=A*3A=A*4A=A*5printAend输出的结果A是（）A.5B.6C.15D.120【正确答案】：D【解析】：分别运行语句A=A*2.A=A*3.A=A*4.A=A*5.从而求出所求最终的A．【解答】：解：运行A=A*2得A=1×2=2运行A=A*3得A=2×3=6运行A=A*4得A=6×4=24运行A=A*5得A=24×5=120∴A=1×2×3×4×5=120故选：D．【点评】：本题主要考查了赋值语句.解题的关键是对语句进行逐一处理.属于基础题．4.（单选题.5分）抛掷一枚骰子.记事件A为“落地时向上的点数是奇数”.事件B为“落地时向上的点数是偶数”.事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”.事件D为“落地时向上的点数是6或4”.则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A.A与BB.B与CC.A与DD.C与D【正确答案】：C【解析】：利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】：解：抛掷一枚骰子.记事件A为“落地时向上的点数是奇数”.事件B为“落地时向上的点数是偶数”.事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”.事件D为“落地时向上的点数是6或4”.在A中.A与B是对立事件.故A错误；在B中.B与C能同时发生.不是互斥事件.故B错误；在C中.A与D两个事件不能同时发生.但能同时不发生.是互斥事件但不是对立事件.故C正确；在D中.C与D能同时发生.不是互斥事件.故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断.是基础题.解题时要认真审题.注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用．5.（单选题.5分）甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中.甲队平均每场进球数为3.2.全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8.全年比赛进球个数的标准差为0.3．下列说法正确的个数为（）① 甲队技术比乙队好；② 乙队发挥比甲队稳定；③ 乙队几乎每场都进球；④ 甲队表现时好时坏．A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：根据甲对比乙队平均每场进球的个数多.得到甲队的技术比乙队好.根据两个队的标准差比较.甲队不如乙队稳定.乙队几乎每场都进球.甲队表现时好时坏.选出正确的说法．【解答】：解：∵甲队平均每场进球数为3.2.乙队平均每场进球数为1.8.∴甲队技术比乙队好.故① 正确.∵甲全年比赛进球个数的标准差为3；乙全年比赛进球个数的标准差为0.3．∴乙队发挥比甲队稳定.故② 正确.乙队标准差为0.3.说明每次进球数接近平均值.乙队几乎每场都进球.甲队标准差为3.说明甲队表现时好时坏.故③ ④ 正确.总上可知有4种说法正确.故选：D．【点评】：本题考查方差与标准差.考查平均数.这是对于两组数据最常考查的内容.平均数可以反映数据的平均水平.方差反映数据的稳定程度.一般从这两个方面来把握数据．6.（单选题.5分）设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数.则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实数根的概率为（）A. 23B. 13C. 12D. 512【正确答案】：A【解析】：本题可以按照等可能事件的概率来考虑.可以先列举出试验发生包含的事件数.再求出满足条件的事件数.从而根据概率计算公式写出概率．【解答】：解：∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数.∴试验发生包含的事件数6.∵方程x 2+ax+2=0 有两个不等实根.∴a 2-8＞0.∵a 是正整数.∴a=3.4.5.6.即满足条件的事件有4种结果∴所求的概率是 46 = 23故选：A ．【点评】：本题考查等可能事件的概率.在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数.是解题的关键7.（单选题.5分）从1.2.3.4.5中任取两个不同的数字.构成一个两位数.则这个数字大于40的概率是（ ）A. 25B. 45C. 15D. 35【正确答案】：A【解析】：根据题意从1.2.3.4.5中任取两个不同的数字.构成一个两位数有 A 52 =5×4=20.这个数字大于40的有 A 21 A 41 =8.根据概率求解．【解答】：解：从1.2.3.4.5中任取两个不同的数字.构成一个两位数有 A 52 =5×4=20.这个数字大于40的有 A 21 A 41 =8.∴这个数字大于40的概率是 820 = 25 .故选：A ．【点评】：本题考查了古典概率公式求解.属于容易题．8.（单选题.5分）在样本的频率分布直方图中.共有11个小长方形.若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的 14 .且样本容量是160.则中间一组的频数为（ ）A.32B.0.2C.40D.0.25【正确答案】：A【解析】：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．【解答】：解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S.所以频率分布直方图的总面积为5S=0.2所以中间一组的频率为S5S所以中间一组的频数为160×0.2=32故选：A．【点评】：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布．直方图的纵坐标是频率组据9.（单选题.5分）如果执行如图的程序框图.那么输出的S=（）A.22B.46C.94D.190【正确答案】：C【解析】：分析程序中各变量、各语句的作用.再根据流程图所示的顺序.可知：该程序的作用是累加并输出S值．【解答】：解：程序运行过程中.各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 10 是第三圈 4 22 是第四圈 5 46 是第五圈 6 94 否故输入的S值为94故选：C．【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果.是算法这一模块最重要的题型.其处理方法是：① 分析流程图（或伪代码）.从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型.又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多.也可使用表格对数据进行分析管理）⇒② 建立数学模型.根据第一步分析的结果.选择恰当的数学模型③ 解模10.（单选题.5分）如图所示.在矩形ABCD中.AB=5.AD=7.现在向该矩形内随机投一点P.则∠APB＞90°的概率为（）A. 536πB. 556C. 1π8D. 18【正确答案】：B【解析】：由圆的面积公式得：点P 在如图所示的以AB 为直径的半圆内.S 矩=5×7=35.S 半圆= 12π×(52)2 = 25π8 .由几何概型中的面积型得：P （A ）= S 半圆S 矩 = 25π835 = 5π56.得解．【解答】：解：设“向该矩形内随机投一点P.则∠APB ＞90°”为事件A.则点P 在如图所示的以AB 为直径的半圆内.S 矩=5×7=35.S 半圆= 12π×(52)2 = 25π8 .由几何概型中的面积型得：P （A ）= S 半圆S 矩= 25π835 = 5π56 .故选：B ．【点评】：本题考查了几何概型中的面积型及圆的面积公式.属中档题．11.（单选题.5分）某程序框图如图所示.若输出结果是126.则判断框中可以是（）A.i ＞6B.i ＞7C.i≥6D.i≥5【正确答案】：A【解析】：先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数.然后根据运行的后输出的结果.从而得出所求．【解答】：解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=0+21=2.i=1+1=2第2次：s=2+22=6.i=3第3次：s=6+23=14.i=4第4次：s=14+24=30.i=5第5次：s=30+25=62.i=6第6次：s=62+26=126.i=7因为输出结果是126.结束循环.判断框应该是i＞6．故选：A．【点评】：本题主要考查了循环结构.循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.以及周期性的运用.属于基础题．新课改地区高考常考题型．也可以利用循环的规律求解．12.（单选题.5分）若a.b∈{-1.0.1.2}.则函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率为（）A. 1316B. 78C. 34D. 58【正确答案】：A【解析】：列举可得总的方法种数为16.其中满足f（x）=ax2+2x+b有零点的有13个.由概率公式可得．【解答】：解：∵a.b∈{-1.0.1.2}.∴列举可得总的方法种数为：（-1.-1）.（-1.0）.（-1.1）.（-1.2）.（0.-1）.（0.0）.（0.1）.（0.2）.（1.-1）.（1.0）.（1.1）.（1.2）.（2.-1）.（2.0）.（2.1）.（2.2）共16个.其中满足f（x）=ax2+2x+b有零点的为：（-1.-1）.（-1.0）.（-1.1）.（-1.2）.（0.-1）.（0.0）.（0.1）.（0.2）.（1.-1）.（1.0）.（1.1）.（2.-1）.（2.0）共13个∴所求概率P= 1316故选：A．【点评】：本题考查列举法计算基本事件数以及概率公式.属基础题．13.（填空题.5分）已知程序：若输出y的值为6.则输入x的值为___【正确答案】：[1]2或−23【解析】：根据程序语言知该程序执行的是分段函数.利用分类讨论法求出对应x的值．【解答】：解：根据程序语言知.该程序执行的是分段函数y= { 32x +3，x ＞00，x =0−32x +5，x ＜0 . x ＞0时.令y= 32 x+3=6.解得x=2；x ＜0时.令y=- 32 x+5=6.解得x=- 23 ；x=0时.不满足题意；综上.x 的值为2或 −23 ．故答案为：2或- 23 ．【点评】：本题考查了利用程序语言求分段函数的自变量应用问题.是基础题．14.（填空题.5分）为了研究某药品的疗效.选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12.13）.[13.14）.[14.15）.[15.16）.[16.17].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组.第二组.….第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人.第三组没有疗效的有6人.则第三组中有疗效的人数为___ ．【正确答案】：[1]12 【解析】：由频率分布直方图得第一组与第二组的频率和为0.4.再由第一组与第二组共有20人.求出样本单元数n=50人.由第三组的频率为0.36.求出第三组共有18人.由此能求出第三组中有疗效的人数．【解答】：解：由频率分布直方图得第一组与第二组的频率和为：1-（0.36+0.16+0.08）=0.4.∵第一组与第二组共有20人.∴样本单元数n= 200.4 =50人.∵第三组的频率为0.36.∴第三组共有：50×0.36=18人.∵第三组没有疗效的有6人.∴第三组中有疗效的人数为：18-6=12人．故答案为：12．【点评】：本题考查频率、频数、频率分布直方图的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．15.（填空题.5分）某班级有50名学生.现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生.将这50名学生随机编号1-50号.并分组.第一组1-5号.第二组6-10号.….第十组45-50号.若在第三组中抽得号码为12的学生.则在第八组中抽得号码为___ 的学生．【正确答案】：[1]37【解析】：由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（8-3）×5.由此能求出结果【解答】：解：这50名学生随机编号1～50号.并分组.第一组1～5号.第二组6～10号.….第十组46～50号.在第三组中抽得号码为12的学生.则在第八组中抽得号码为12+（8-3）×5=37．故答案为：37．【点评】：抽样选用哪一种抽样形式.要根据题目所给的总体情况来决定.若总体个数较少.可采用抽签法.若总体个数较多且个体各部分差异不大.可采用系统抽样.若总体的个体差异较大.可采用分层抽样16.（填空题.5分）小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面.约定谁先到后必须等10分钟.这时若另一人还没有来就可以离开．如果小强是1：20-2：00到达的.假设小华在1点到2点内到达.且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的.则他们会面的概率是___ ．【正确答案】：[1] 516【解析】：由题意知本题是一个几何概型.以面积为测度.根据面积之比得到概率．【解答】：解：由题意知本题是一个几何概型.∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|80＜x＜120.60＜y＜120}.集合对应的面积是2400.而满足条件的事件={x|80＜x＜120.60＜y＜120.|x-y|≤10}.对应的面积为2400- 12×30×30 -(10+50)×402 =750. ∴两人能够会面的概率是7502400 = 516. 故答案为 516 ．【点评】：本题主要考查几何概型的概率的计算.利用面积为测度是解决本题的关键．17.（问答题.10分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1.2.3.4.5的五个球.现从甲、乙两个盒子中各取出1个球.每个小球被取出的可能性相等．（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；（2）求取出的两个球上标号之和和标号之积都不小于5的概率．【正确答案】：【解析】：（1）本题是一个古典概型.从甲、乙两个盒子中各取出1个球.编号分别为x.y.用（x.y ）表示抽取结果.列举出结果有25种.取出的两个球上标号为相邻整数的结果有8种.得到概率．（2）本题是一个古典概型.从甲、乙两个盒子中各取出1个球.编号分别为x.y.用（x.y ）表示抽取结果.列举出结果有25种.满足条件的事件是标号之和和之积都不小于5的基本事件.得到概率．【解答】：解：（1）由题意知本题是一个古典概型.设从甲、乙两个盒子中各取出1个球.编号分别为x.y.用（x.y ）表示抽取结果.结果有以下25种：（1.1）.（1.2）.（1.3）.（1.4）.（1.5）；（2.1）.（2.2）.（2.3）.（2.4）.（2.5）；（3.1）.（3.2）.（3.3）.（3.4）.（3.5）；（4.1）.（4.2）.（4.3）.（4.4）.（4.5）；（5.1）.（5.2）.（5.3）.（5.4）.（5.5）．取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下8种（1.2）.（2.1）.（2.3）.（3.2）.（3.4）.（4.3）.（4.5）.（5.4）.∴所求概率 p =825 ．即取出的两个球上标号为相邻整数的概率是 825 ．（2）由题意知本题是一个古典概型.试验发生包含的事件数由上一问知是25.满足条件的事件是标号之和和之积都不小于5的基本事件有（1.5）.（2.3）.（2.4）.（2.5）.（3.2）.（3.3）.（3.4）.（3.5）.（4.2）.（4.3）.（4.4）.（4.5）.（5.1）.（5.2）.（5.3）.（5.4）.（5.5）共有17个.∴所求概率p=17．25．即取出的两个球上标号之和能被3整除的概率是1725【点评】：本题考查等可能事件的概率.考查用列举法表示出事件数.本题是一个基础题.适合文科和理科学生做.注意列举出按照一定是顺序.做到不重不漏．18.（问答题.12分）给出30个数：1.2.4.7.….其规律是：第1个数是1.第2个数比第1个数大1.第3个数比第2个数大2.第4个数比第3个数大3.以此类推.要计算这30个数的和.现已给出了解决该问题的算法框图（如图所示）．（1）请在图中处理框内① 处和判断框中的② 处填上合适的语句.使之能完成该题算法功能；（2）根据算法框图写出算法语句．【正确答案】：【解析】：（1）分析程序的功能结合已知的流程图.易得本题循环体中的两条语句功能分别为累加和退出循环的条件.（2）分析及初值i=1.及循环的终值（由进行循环的条件i＜30确定）30.我们知道循环共进行了30次.其步长为1.又由S每次累加的量是 p.故应该先改变循环变量的值.再进行累加．利用WHILE循环语句书写．【解答】：解：（1）因为是求30个数的和.故循环体应执行30次.其中i是计数变量.因此判断框内的条件就是限制计数变量i的.故应为i＞30.算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数.由于它也是变化的.且满足第i个数比其前一个数大i-1.第i+1个数比其前一个数大i.故应有p=p+i.故① 处应填p=p+i；② 处应填i＞30．（2）根据框图.写出算法语句如下：i=1p=1S=0DoS=S+pp=p+ii=i+1Loop While i＜=30输出S【点评】：本题考查的知识点是利用循环结构进行累加（乘）运算.其中根据循环变得初值、终值、循环体执行的次数.确定步长及累加量的表达式.及改变循环变量的值的语句与累加语句的次序是解答本题的关键．19.（问答题.12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.在培训期间他们参加的5次预赛成绩记录如下：甲：82.82.79.95.87乙：95.75.80.90.85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）求甲、乙两人的成绩的平均数与方差；（3）若现要从中选派一人参加数学竞赛.你认为选派哪位学生参加合适说明理由？【正确答案】：【解析】：（1）以十位数为茎.以个位数为叶.能作出茎叶图．（2）由题意能求出甲、乙的成绩的平均数与方差．（3）甲乙的平均分一样.证明平均成绩一样.但是甲的方差小于乙的方差.则证明甲的成绩更稳定.由此得到选派甲学生参加合适．【解答】：解：（1）以十位数为茎.以个位数为叶.作出茎叶图如右图所示．（2）甲的成绩的平均数x甲 = 15（82+82+79+95+87）=85.乙的成绩的平均数x乙 = 15（75+95+80+90+85）=85.甲的方差S甲2 = 15[（82-85）2+（82-85）2+（79-85）2+（95-85）2+（87-85）2]=31.6.乙的方差S乙2 = 15[（75-85）2+（95-85）2+（80-85）2+（90-85）2+（85-85）2]=50．（3）派甲参赛比较合理．理由是甲乙的平均分一样.证明平均成绩一样.但是甲的方差小于乙的方差.则证明甲的成绩更稳定．【点评】：本题考查茎叶图、平均数、方差等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力.考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想.考查创新意识、应用意识.是基础题．20.（问答题.12分）为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响.对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2̂（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元.假设该农产品可全部卖出.预测当年产量为多少时.年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式： b ̂ = i −x )ni=1i −y )∑(x −x )2n = ∑(x i y i )ni=1−nxy∑x i 2n i=1−nx2 . a ̂ = y - b ̂ x ．【正确答案】：【解析】：（I ）根据回归系数公式计算回归系数；（II ）求出利润z 的解析式.根据二次函数的性质而出最大值．【解答】：解：（Ⅰ） x =3 . y =5 .∑x i 5i=1=15 . ∑y i 5i=1=25 . ∑x i y i 5i=1=62.7 . ∑x i 25i=1=55 .∴ b ̂=−1.23 . a ̂=8.69 ．∴y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=8.69−1.23x ． （Ⅱ）z=x （8.69-1.23x ）-2x=-1.23x 2+6.69x ． 所以x=2.72时.年利润z 最大．【点评】：本题考查了线性回归方程的求法.线性回归方程的应用.二次函数的最值.属于基础题． 21.（问答题.12分）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况.拟采用分层抽样的方法从A.B.C 三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A.B.C 区中分别有18.27.18个工厂. （Ⅰ）求从A.B.C 区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比.用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．【正确答案】：【解析】：（1）先计算A.B.C 区中工厂数的比例.再根据比例计算各区应抽取的工厂数． （2）本题为古典概型.先将各区所抽取的工厂用字母表达.分别计算从抽取的7个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A 区的个数.再求比值即可．【解答】：（1）解：工厂总数为18+27+18=63.样本容量与总体中的个体数比为763=19.所以从A.B.C三个区中应分别抽取的工厂个数为2.3.2、（2）设A1.A2为在A区中抽得的2个工厂.B1.B2.B3为在B区中抽得的3个工厂.C1.C2为在C区中抽得的2个工厂.这7个工厂中随机的抽取2个.全部的可能结果有：C72种.随机抽取2个工厂至少有一个来自A区的结果有（A1.A2）.（A1.B2）（A1.B1）（A1.B3）（A1.C2）（A1.C1）. 同理A2还能组合5种.一共有11种．所以所求的概率为11C72=1121【点评】：本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识.考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．22.（问答题.12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中.选取60名同学将其成绩（百分制.均为整数）分成[40.50）.[50.60）.[60.70）.[70.80）.[80.90）.[90.100]六组后.得到部分频率分布直方图（如图）.观察图形中的信息.回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70.80）内的频率.并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中.估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中.随机抽取2人.求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．。

2018春期期中考试高一数学参考答案一、选择题：DBACB AACDC CB二、填空题: 13. nm 4 14. 2020 15. 712 16 . 5或﹣3 三、解答题 :17. 解：（1）记没有人排队为事件A ，1人排队为事件B ．2人排队为事件C ，A 、B 、C 彼此互斥．所以P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）=0.1+0.16+0.3=0.56；..............5分（2）记至少2人排队为事件D ，少于2人排队为事件A+B ，那么事件D 与A+B 是对立事件， 则P （D ）=P （）=1﹣（P （A ）+P （B ））=1﹣（0.1+0.16）=0.74．........10分18.解： 画出的其相应的算法程序框图 如下：.................8分该算法的目的：求使1+2+3+…+n ＞2010成立的最小自然数n ．（或1+2+3+…+n ≤2010的最大正整数n 的值再加1） .................12分19. 解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 ，所以 31155)(==A P .............4分 (2)由数据求得11=x , 24=y 由公式求得718=b , .再由 730-=-=x b y a所以关于的线性回归方程为 .............8分(3)当10=x 时,7150ˆ=y ,2227150<- ;同理, 当6=x 时, 778ˆ=y ,212778<-, 所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ..............12分20. 解：（1）由直方图知：在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08，∴在[50，60）之间的频数为2；由程序框图知：在[70，80）之间的频数为10所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4； ..................6分（2）分数在[50，60）之间的频率为2/25=0.08；分数在[60，70）之间的频率为7/25=0.28；分数在[70，80）之间的频率为10/25=0.40；分数在[80，90）之间的频率为4/25=0.16；分数在[90，100]之间的频率为2/25=0.08；估计该班的测试成绩的众数75…设中位数为x ，则0.08+0.28+0.04（x ﹣70）=0.5，解得x=73.5 ..................12分21. 解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9， ..................4分（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1 人． ...................8分（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A ，抽取的6人中，第2组的设为a 1，a 2，第3组的设为b 1，b 2，b 3，第4组的设为c ，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 1，c ），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 2，c ），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 1，c ），（b 2，b 3），（b 2，c ），（b 3，c ）．其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 1，c ），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 2，c ）．∴P （A ）=53159=． 所以抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为． ................12.分22. 解: （1）茎叶图如下：..................2分统计结论：①甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值；②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中；③甲运动员得分的中位数为27，乙运动员得分的中位数为28.5；④甲运动员得分基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近．乙运动员得分分布较为分散．（给分说明：上述结论中，任写两个均可，每个正确得1分） ...................4分（2）． ...................6分表示10场比赛得分的方差，是描述比赛得分离散程度的量，值越小，表示比赛得分比较集中，值越大，表示比赛得分越分散． ...................8分（3）记甲、乙两位运动员的得分为，表示甲运动员的得分，表示乙运动员的得分，则甲、乙两位运动员的10场得分中各随机抽取一场不小于30分的得分的基本事件为：，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；共有20种情况，…10分其中甲的得分大于乙的得分有：，，，，共4种情况． (11)分从而甲的得分大于乙的得分的概率为． (12)分。

2018年春期高中二年级期中质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（）A. 的共轭复数为B. 的虚部为C. D. 在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D.2. 设，，都是正数，则三个数，，（）A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】分析：利用均值不等式，求解，即可得到结论．详解：由题意都是正数，则，当且仅当时，等号是成立的，所以中至少有一个不小于，故选C．点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．3. 当在上变化时，导函数的符号变化如下表：14-0+0-则函数的图像大致形状为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据上表中导函数的取值，得到函数的单调性，即可选出图象．详解：由上表可知，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，所以函数如选项C所示，故选C．点睛：本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系，正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4. 直线与曲线相切于点，则的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】由直线与曲线相切于点，则点满足直线的方程，即，即由，则，则，解得，故选A．5. 已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. -2或 D. -2【答案】B【解析】分析：由函数，求得，根据函数在处取得极大值，得方程组，即可求解的值，进而得到的值．详解：由函数，可得，因为函数在处取得极大值，则，即，解得或，经验证，当时，时取得极小值，不符合题意（舍去）所以，故选B．点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中利用题设条件，列出方程组是解答的关键，其中对的值进行验证是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．6. 利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】D【解析】试题分析：时左面为，时左面为，所以增加的项数为考点：数学归纳法7. 若曲线与曲线在交点处由公切线，则（）A. -1B. 0C. 2D. 1【答案】D【解析】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．详解：由曲线，得，则，由曲线，得，则，因为曲线与曲线在交点出有公切线，所以，解得，又由，即交点为，将代入曲线，得，所以，故选D．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．8. 若函数（）有最大值-4，则的值是（）A. 1B. -1C. 4D. -4【答案】B【解析】分析：由函数，得，要使得函数有最大值，则，进而得函数的单调性，得当时，函数取得最大值，即可求解．详解：由函数，则，要使得函数有最大值，则，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，即，解得，故选B．点睛：本题主要考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9. 函数在上有最小值，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由函数，得，得到函数的单调性，再由，令，解得或，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；详解：由函数，得，当时，，所以在区间单调递增，当时，，所以在区间单调递减，又由，令，即，解得或，要使得函数在上有最小值，结合函数的图象可得，实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．10. 将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（）A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列【答案】C【解析】分析：由题意，得数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，得第个奇数位于第行的第2个数，即可判定，得到结论．详解：由题意，令，解得，即数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，则，则第个奇数位于第行的第2个数，所以位于第三列，故选C．点睛：本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用，其中认真审题，读懂题意是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．11. 设定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意的，设，则，所以函数在上为单调递增函数，由，即可得到结果．详解：由定义在上的函数的导函数满足，则，即，设，则，所以函数在上为单调递增函数，则，即，所以，故选A．点睛：本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，利用单调性比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12. 一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，按“前进步，然后再后退步”的步骤，发现机器人每秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果．详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式，且每秒前进个单位，所以是正确的；由，，所以是正确的；由，，所以是不正确，故选D．点睛：本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期，且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，所以，所以．点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14. 我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________．【答案】【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，如图，不妨设O为正四面体ABCD外接球球心，F为CD中点，E为A在平面BCD上的射影，由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把数据代入得到OE＝a，所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a＝a15. 已知函数（），若函数在上为单调函数，则的取值范围是__________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】分析：求出原函数的导数，由函数在上为单调函数，得到时，或恒成立，分类参数引入新函数，即可求解．详解：由函数，得，因为函数在上为单调函数，所以时，或恒成立，即或在上恒成立，且，设，因为函数在上单调递增，所以或，解得或，即实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．16. 定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上市一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据题意得到，即方程在区间上有两个解，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．详解：因为，所以，因为函数是区间上的双中值函数，所以区间上存在满足，所以方程在区间上有两个不相等的解，令，则，解得，所以实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了函数的解得个数问题的应用，考查了导数在函数中的综合应用，把函数是区间上的双中值函数，方程在区间上有两个不相等的解是解答关键，着重考查了转化与化归思想，及函数与方程思想与推理与论证能力，试题有一定难度，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知是虚数单位，复数满足.（1）求；（2）若复数的虚部为2，且是实数，求.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）根据题意，利用复数的除法运算，求解复数，进而求得复数的模；（2）设,由是实数，求解的值，即可求解复数．详解：（1）．（2）设,则,是实数∴．∴．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18. 设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.（1）当时，求点的坐标；（2）当有最小值时，求点的坐标.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）设点的横坐标为，得点的坐标，利用定积分求解，利用，求得的值，即可求得点的坐标．（2）由（1）可求当，化简后，为的函数，再利用导数求得的最小值．详解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），直线OP的方程为y=txS1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因为S1=S2，，所以，点P的坐标为（2）S=S1+S2=S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19. 已知函数在与时都取得极值.（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由，求得，由，求得的值，得到函数的解析式，利用导数即可求解函数的单调区间．（2）由题意，设，分和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．详解：（1）由，得，随着变化时，的变化情况如下表：↑极大值↓极小值↑所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，得当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，解得所以综上所述，的取值范围为点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的奇迹诶，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．20. 已知数列，，…，，为该数列的前项和.（1）计算，，，；（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题中所给的条件计算可得：；(2)由题意归纳推理猜想，然后利用数学归纳法证得该结论成立即可.试题解析：（1）．（2）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，当时，故当时，猜想成立．由①②可知，对于任意的，都成立．21. 已知函数.（1）证明；（2）如果对恒成立，求的范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得，又由，即可证得；由题意知恒成立，设，求得，可分和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围．详解：（1）证明：故由题意知恒成立，设，则，符合题意，即，单调递减，不合题意，综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数求函数的单调性与最值(极值)，是解决函数的恒成立与有解问题常考点，同时注意数形结合思想的应用．22. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；(2).【解析】分析：（1）确定函数的定义域，求到数，利用导数的正负，即可求解函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．详解：(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴.①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；③当0<t<1时，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减，若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·<max{1，}．(*)由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上单调递减，故≤2·≤2，而≤≤，∴不等式(*)无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命题成立．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的最值及其应用，本题解答中把使得成立，转化为是解答的难点，着重考查了分类讨论的数学思想，及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。

2017-2018学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．2．（5分）化简＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1B．2C．4D．1或44．（5分）设函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β）+4（其中a，b，α，β为非零实数），若f（2001）＝5，则f（2018）的值是（）A．5B．3C．8D．不能确定5．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．6．（5分）＝（）A．B．C．1D．37．（5分）如图，给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＜11B．i＞11C．i＜22D．i＞228．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线x ＝对称，则φ的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）两个非零向量，的夹角为θ，则当+t（t∈R）的模取最小值时，t的值是（）A．||•||•cosθB．﹣||•||•cosθC．﹣cosθD．﹣cosθ10．（5分）若α是锐角，且满足，则cosα的值为（）A．B．C．D．11．（5分）若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得＝，实数x为（）A．﹣2B．0C．D．12．（5分）若sinα（1+tan10°）＝1，则钝角α＝（）A．110°B．160°C．140°D．130°二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知＝（2，0），＝（﹣1，2），则在方向上的投影为．14．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，使得sin x≥的概率为．15．（5分）函数的单调递增区间是．16．（5分）如图，已知O为△ABC的重心，且∠BOC＝90°，若9|BC|2＝4|AB|•|AC|，则sin A＝三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（2，1）．（1）若||＝2，且∥，求的坐标；（2）若||＝，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？19．（12分）如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝，＝．（1）用，表示向量，；（2）若＝λ，求实数λ的值．20．（12分）若向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），f（x）＝+t的最大值为．（1）求t的值及图象的对称中心；（2）若不等式m2在x∈[]上恒成立，求m的取值范围．21．（12分）某游艇制造厂研发了一种新游艇，今年前5个月的产量如表：（1）设y 关于x 的回归直线方程为．现根据表中数据已经正确计算出了的值为1.6，试求的值，并估计该厂6月份的产量；（计算结果精确到1）（Ⅱ）质检部门发现该厂1月份生产的游艇都存在质量问题，要求厂家召回；现有一旅游公司曾向该厂购买了今年前两个月生产的游艇2艘，求该旅游公司有游艇被召回的概率． 22．（12分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式； （2）方程在上的两解分别为x 1，x 2，求sin （x 1+x 2），cos （x 1﹣x 2）的值．2017-2018学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin600°＝sin（360°+240°）＝sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°＝故选：C．2．（5分）化简＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵．故选：B．3．（5分）已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1B．2C．4D．1或4【解答】解：因为扇形的弧长为4，面积为2，所以扇形的半径为：×4×r＝2，解得：r＝1，则扇形的圆心角的弧度数为＝4．故选：C．4．（5分）设函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β）+4（其中a，b，α，β为非零实数），若f（2001）＝5，则f（2018）的值是（）A．5B．3C．8D．不能确定【解答】解：∵函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β）+4，∴f（2001）＝a sin（2001π+α）+b cos（2001π+β）+4＝﹣a sinα﹣b cosβ+4＝5，∴a sinα+b cosβ＝﹣1，∴f（2018）＝）＝a sin（2008π+α）+b cos（2008π+β）+4＝a sinα+b cosβ+4＝﹣1+4＝3，故选：B．5．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选：A．6．（5分）＝（）A．B．C．1D．3【解答】解：由tan30°＝tan（12°+18°）＝＝，得到tan12°+tan18°＝1﹣tan12°•tan18°则＝tan12°+tan18°+tan12°•tan18°＝1．故选：C．7．（5分）如图，给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＜11B．i＞11C．i＜22D．i＞22【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：S＝0，n＝2，i＝1不满足条件，第一圈：S＝0+，n＝4，i＝2，不满足条件，第二圈：S＝+，n＝6，i＝3，不满足条件，第三圈：S＝++，n＝8，i＝4，…依此类推，不满足条件，第9圈：S＝++++…+，n＝20，i＝10，不满足条件，第10圈：S＝++++…+，n＝22，i＝11，不满足条件，第11圈：S＝++++…+，n＝24，i＝12，此时，应该满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故选：B．8．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线x ＝对称，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵把函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是y＝sin（2x+2φ），∵所得图象关于直线x＝对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：2×+2φ＝kπ+（k∈Z），解得：φ＝kπ+（k∈Z），∵φ＞0∴当k＝0时，φ的最小值是．故选：A．9．（5分）两个非零向量，的夹角为θ，则当+t（t∈R）的模取最小值时，t的值是（）A．||•||•cosθB．﹣||•||•cosθC．﹣cosθD．﹣cosθ【解答】解：两个非零向量，的夹角为θ，|+t|＝＝，被开方数是关于t的二次函数，且该二次函数开口向上，对称轴为t＝﹣cosθ，故当t＝﹣cosθ时，|+t|取得最小值，故选：C．10．（5分）若α是锐角，且满足，则cosα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由α是锐角，且可得，＝．故选：B．11．（5分）若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得＝，实数x为（）A．﹣2B．0C．D．【解答】解：∵x2+2x+＝，∴x2+2x+﹣＝，∴＝﹣x2﹣（2x﹣1）；又A、B、C三点共线，∴﹣x2﹣（2x﹣1）＝1，解得x＝0或x＝﹣2；当x＝0时，＝不满足题意，∴实数x为﹣2．故选：A．12．（5分）若sinα（1+tan10°）＝1，则钝角α＝（）A．110°B．160°C．140°D．130°【解答】解：sinα（1+tan10°）＝1，∴sinα＝＝＝＝＝＝＝cos40°＝sin50°＝sin130°，∴钝角α═130°，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知＝（2，0），＝（﹣1，2），则在方向上的投影为﹣1．【解答】解：＝（2，0），＝（﹣1，2），如图：则在方向上的投影为：＝＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，使得sin x≥的概率为．【解答】解：当0≤x≤π时，由sin x≥得≤x≤，则对应的概率P＝＝，故答案为：．15．（5分）函数的单调递增区间是（kπ+，kπ+）．【解答】解：根据题意，函数，则有cos（2x﹣）＞0，解可得kπ﹣＜x＜kπ+，设t＝cos（2x﹣），则y＝t，又由y＝t在（0，+∞）上减函数，则要求函数的单调递增区间，需要求t＝cos（2x﹣）的递减区间，解可得kπ+＜x＜kπ+，即函数的单调递增区间（kπ+，kπ+）；故答案为：（kπ+，kπ+）．16．（5分）如图，已知O为△ABC的重心，且∠BOC＝90°，若9|BC|2＝4|AB|•|AC|，则sin A＝【解答】解：如图所示：连接AO并延长与BC相交于点D，设AD＝m，∠ADB＝α，利用余弦定理：①，同理：②，①+②得：，则：＝，所以：AB2+AC2＝5BC2，由于9|BC|2＝4|AB|•|AC|，则：，由于A为锐角，所以：sin A＝．故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（2，1）．（1）若||＝2，且∥，求的坐标；（2）若||＝，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【解答】解：（Ⅰ）由＝（2，1），由||＝2，且∥，可设＝（2λ，λ），∴4λ2+λ2＝20，求得λ＝±2，∴＝（4，2），或＝（﹣4，﹣2）．（Ⅱ）∵+2与2﹣垂直，∴（+2）•（2﹣）＝2+3•﹣2＝0，即2×5+3××cos＜＞﹣2×＝0，求得cos＜＞＝﹣1，∴cos＜＞＝π，即与的夹角θ＝π．18．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500＝0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500＝0.1；第二组的频率为0.0004×500＝0.2；第三组的频率为0.0005×500＝0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005＝0.5﹣0.1﹣0.2＝0.2⇒x＝400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05＝2400，样本数据的平均数为2400（元）；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000＝2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为＝，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×＝25（人）．19．（12分）如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝，＝．（1）用，表示向量，；（2）若＝λ，求实数λ的值．【解答】解：（1）由题意知A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则得+＝2，则＝2﹣＝2﹣，则＝﹣＝2﹣﹣＝2﹣；（2）由图知∥，∵＝﹣＝2﹣﹣λ＝（2﹣λ）﹣，＝2﹣，∴＝，解得λ＝．20．（12分）若向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），f（x）＝+t的最大值为．（1）求t的值及图象的对称中心；（2）若不等式m2在x∈[]上恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝+t＝sin x cos x﹣cos2x+t＝sin2x﹣cos2x﹣+t＝sin（2x ﹣）+t﹣，∵f（x）的最大值为，∴+t﹣＝，∴t＝；由2x ﹣＝kπ（k∈Z）得：x ＝+，k∈Z，∴f（x ）的对称中心为（+，0），k∈Z，（2）∵x∈[]，∴2x ﹣∈[，]，∴sin（2x ﹣）∈[，1]，∴sin（2x ﹣）∈[，]，即f（x）∈[，]，∵不等式m 2在x∈[]上恒成立，∴m2﹣m≤f（x）min ＝，即2m2﹣m﹣1≤0，解得﹣≤m≤1，m 的取值范围为﹣≤m≤1．21．（12分）某游艇制造厂研发了一种新游艇，今年前5个月的产量如表：（1）设y关于x的回归直线方程为．现根据表中数据已经正确计算出了的值为1.6，试求的值，并估计该厂6月份的产量；（计算结果精确到1）（Ⅱ）质检部门发现该厂1月份生产的游艇都存在质量问题，要求厂家召回；现有一旅游公司曾向该厂购买了今年前两个月生产的游艇2艘，求该旅游公司有游艇被召回的概率．【解答】解：（1）＝（1+2+3+4+5）＝3，＝（2+3+5+7+8）＝5，因为回归直线过点，所以，所以，当x＝6时，y＝1.6×6+0.2＝9.8≈10，所以估计该厂6月份的产量为10艘．（Ⅱ）解法一：设一月份生产的2艘游艇为a1，a2，二月份生产的3艘游艇为b1，b2，b3，旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有：{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}共三种，其中2艘游艇全为二月份生产的结果有{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，共3种，所以两艘游艇全部为二月份生产的概率为，所以两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为，即该旅游公司有游艇被召回的概率为．解法二：设一月份生产的2艘游艇为a1，a2，二月份生产的3艘游艇为b1，b2，b3，旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有：{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，共10种，其中，两艘游艇中至少一艘为一月份生产的结果有{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}{a2，b1}{a2，b2}{a2，b3}，共7种，所以两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为，即该旅游公司有游艇被召回的概率为．22．（12分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）方程在上的两解分别为x1，x2，求sin（x1+x2），cos（x1﹣x2）的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由图象可知A＝2，，又∵，∴ω＝2，又∵f（x）的图象过点，即，（k∈Z），即（k∈Z），又∵，∴，∴f（x）＝；（2）∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，可得：，sin（x1+x2）＝sin＝，方程在上的两解分别为x1，x2，x1﹣x2∈（﹣，）可得：sin（2x1+）＝，sin（2x2+）＝，由图象可知2x1+∈（，），2x2+∈（，），cos（2x1+）＝，cos（2x2+）＝﹣，cos2（x1﹣x2）＝cos[（2x1+）﹣（2x2+）]＝﹣+＝，∴2cos2（x1﹣x2）﹣1＝．∴cos（x1﹣x2）＝．。

2017-2018学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动的传送带上，每隔5分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某校分别从行政，教师，后勤人员中抽取2人，14人，4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验2．（5分）一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．恰有一次不中靶D．至少有一次中靶3．（5分）计算机执行如图的程序后，输出的结果是（）A．4，1B．1，3C．0，0D．6，04．（5分）从随机编号为0001，0002，…，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（）A．1466B．1467C．1468D．14695．（5分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别都是s、t，那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2一定有公共点（s，t）B．直线l1和l2相交，但交点不一定是（s，t）C．必有l1∥l2D．l1与l2必定重合7．（5分）是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是（）A．=B．=C．=a+b D．=8．（5分）如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743738636694714174698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.852B．0.8192C．0.75D．0.810．（5分）已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m=1，n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（）A．|m﹣n|＜1B．|m﹣n|＜0.5C．|m﹣n|＜0.2D．|m﹣n|＜0.1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为．14．（5分）运行如图算法语句输出x的结果是．15．（5分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by=0与圆（x﹣2）2+y2=2有公共点的概率为．16．（5分）已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a﹣20），则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：（1）至多有2人排队的概率是多少？（2）至少有2人排队的概率是多少？18．（12分）根据如图算法的程序，画出其相应的算法程序框图，并指明该算法的目的．19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？20．（12分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，且将全班25人的成绩记为A i（i=1，2，..，25），由右边的程序运行后，输出n=10．据此解答如下问题：（1）求茎叶图中破损处分数在[50，60），[70，80），[80，90）各区间段的频数；（2）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数，平均数分别是多少？21．（12分）某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68]，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．（Ⅰ）分别求出a，x的值；（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（III）在（II）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．22．（12分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下（单位：分）：甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46（Ⅰ）根据得分情况记录，作出两名篮球运动员得分的茎叶图，并根据茎叶图，对甲、乙两运动员得分作比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）设甲篮球运动员10场比赛得分平均值，将10场比赛得分x i依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的10场得分中，各随机抽取一场不小于30分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．2017-2018学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动的传送带上，每隔5分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某校分别从行政，教师，后勤人员中抽取2人，14人，4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验【解答】解：总体和样本容量都不大，采用随机抽样．故选：D．2．（5分）一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．恰有一次不中靶D．至少有一次中靶【解答】解：在A中，至多有一次中靶和事件“恰有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，两次都中靶和事件“恰有一次中靶”不能同时发生，是互斥事件，故B正确；在C中，恰有一次不中靶和事件“恰有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，至少有一次中靶和事件“恰有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：B．3．（5分）计算机执行如图的程序后，输出的结果是（）A．4，1B．1，3C．0，0D．6，0【解答】解：模拟程序的运行过程，如下；A=1，B=3，A=1+3=4，B=4﹣3=1，∴输出的A=4，B=1．故选：A．4．（5分）从随机编号为0001，0002，…，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（）A．1466B．1467C．1468D．1469【解答】解：样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本间隔为68﹣18=50，则共抽取1500÷50=30，则最大的编号为18+50×29=1468，故选：C．5．（5分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由茎叶图可得，甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩为×（88+89+90+91+92）=90，设污损数字为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，84，87，99，90+X则乙的平均成绩：×（83+84+87+99+90+X）=88.6+，当X=7时，甲的平均数=乙的平均数，所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的X的可能取值是0，1，2，3，4，5，6；所以，所求的概率为P=．故选：B．6．（5分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别都是s、t，那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2一定有公共点（s，t）B．直线l1和l2相交，但交点不一定是（s，t）C．必有l1∥l2D．l1与l2必定重合【解答】解：线性回归直线方程为，而∵变量x和y的数据的平均值都相等且分别都是s、t，∴（s，t）一定在回归直线上．∴直线l1和l2一定有公共点（s，t）．故选：A．7．（5分）是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是（）A．=B．=C．=a+b D．=【解答】解：设P i是x1，x2，…，x100中x i被抽到的概率，q i是x1，x2，…，x40中x i被抽到的概率，r i是x41，x42，…，x100中x i被抽到的概率，则P i=q i，P i=r i．故x1，x2，…，x100的平均数=（x1q1+x2q2+…+x40q40）+（x41r41+…+x100r100）=a+b=．故选：A．8．（5分）如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，大圆的面积为S=π•22=4π；阴影部分的面积为S′=π•22﹣π•12=π，则所求的概率为P===．故选：C．9．（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743738636694714174698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.852B．0.8192C．0.75D．0.8【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为0.75．故选：C．10．（5分）已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB，设AC长为1，则AB=2，AP=∴满足∠ACP≤30°的概率为=，故选：C．11．（5分）现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m=1，n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（）A．|m﹣n|＜1B．|m﹣n|＜0.5C．|m﹣n|＜0.2D．|m﹣n|＜0.1【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，输入m=1，n=3，x==2，不满足22﹣3＜0，n=2，不满足条件|m﹣n|=1＜？x==1.5，满足1.52﹣3＜0，m=1.5，不满足条件|m﹣n|=0.5＜？，x==1.75，不满足1.752﹣3＜0，n=1.75，满足条件|m﹣n|=0.25＜？，输出x=1.75，则空白判断框内应填的条件为|m﹣n|＜0.5．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为．【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），对应的区域的面积为12，∴，∴π=．故答案为：．14．（5分）运行如图算法语句输出x的结果是2020．【解答】解：由题意知，该程序运行后是计算并输出x=2+1+1+…+1=2+1×2018=2020．故答案为：2020．15．（5分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by=0与圆（x﹣2）2+y2=2有公共点的概率为．【解答】解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by=0与圆（x﹣2）2+y2=2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a=1时，b=1、2、…、6，共6种情况；②a=2时，b=2、3、…、6，共5种情况；③a=3时，b=3、4、…、6，共4种情况；④a=4时，b=4、5、6，共3种情况；⑤a=5时，b=5、6，共2种情况；⑥a=6时b=6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1=21种．因此，所求的概率P==．故答案为：16．（5分）已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a﹣20），则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为5或﹣3．【解答】解：样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为s2=（a﹣20）=（a﹣5×），∴=4，解得=±2；当=2时，2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为2+1=2×2+1=5，当=﹣2时，2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为2+1=2×（﹣2）+1=﹣3．故答案为：5或﹣3．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：（1）至多有2人排队的概率是多少？（2）至少有2人排队的概率是多少？【解答】解：（1）记没有人排队为事件A，1人排队为事件B．2人排队为事件C，A、B、C彼此互斥．所以至多有2人排队的概率为：P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56．（2）记至少2人排队为事件D，少于2人排队为事件A+B，那么事件D与A+B是对立事件，则P（D）=P（）=1﹣（P（A）+P（B））=1﹣（0.1+0.16）=0.74．18．（12分）根据如图算法的程序，画出其相应的算法程序框图，并指明该算法的目的．【解答】解：画出的其相应的算法程序框图如下：该算法的目的：求使1+2+3+…+n＞2010成立的最小自然数n．（或1+2+3+…+n≤2010的最大正整数n的值再加1）．19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A）==；（Ⅱ）由数据求得=11，=24，由公式求得===，再由=﹣b，求得=﹣，∴y关于x的线性回归方程为=x﹣，（Ⅲ）当x=10时，=，|﹣22|=＜2，当x=6时，=，|﹣12|=＜2，∴该小组所得线性回归方程是理想的．20．（12分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，且将全班25人的成绩记为A i（i=1，2，..，25），由右边的程序运行后，输出n=10．据此解答如下问题：（1）求茎叶图中破损处分数在[50，60），[70，80），[80，90）各区间段的频数；（2）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数，平均数分别是多少？【解答】解：（1）由直方图知：在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08，∴在[50，60）之间的频数为2；由程序框图知：在[70，80）之间的频数为10，所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4；（2）分数在[50，60）之间的频率为=0.08；分数在[60，70）之间的频率为=0.28；分数在[70，80）之间的频率为=0.40；分数在[80，90）之间的频率为=0.16；分数在[90，100]之间的频率为=0.08；估计该班的测试成绩的众数75；…（10分）设中位数为x，则0.08+0.28+0.04（x﹣70）=0.5，解得x=73.5；平均数为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8．21．（12分）某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68]，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．（Ⅰ）分别求出a，x的值；（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（III）在（II）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5=10，所以10÷0.1=100，第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以18÷20=0.9，…（2分）第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9．…（4分）（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人数的比为18：27：9=2：3：1，…（5分）所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（7分）（Ⅲ）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2 组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（9分）其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…（10分）所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率p（A）==．…（12分）22．（12分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下（单位：分）：甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46（Ⅰ）根据得分情况记录，作出两名篮球运动员得分的茎叶图，并根据茎叶图，对甲、乙两运动员得分作比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）设甲篮球运动员10场比赛得分平均值，将10场比赛得分x i依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的10场得分中，各随机抽取一场不小于30分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如右统计结论：①甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值；②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中；③甲运动员得分的中位数为27，乙运动员得分的中位数为28.5；④甲运动员得分基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近．乙运动员得分分布较为分散．（5分）（Ⅱ）．（6分）S表示10场比赛得分的方差，是描述比赛得分离散程度的量，S值越小，表示比赛得分比较集中，S值越大，表示比赛得分越参差不齐．（8分）（Ⅲ）记甲、乙两位运动员的得分为（a，b），a表示甲运动员的得分，b表示乙运动员的得分，则甲、乙两位运动员的10场得分中各随机抽取一场不小于3（0分）的得分的基本事件为：（31，30），（31，44），（31，46），（31，46），（31，47）；（32，30），（32，44），（32，46），（32，46），（32，47）；（33，30），（33，44），（33，46），（33，46），（33，47）；（37，30），（37，44），（37，46），（37，46），（37，47）；共有20种情况，（10分）其中甲的得分大于乙的得分有：（31，30），（32，30），（33，30），（37，30），共4种情况．（11分）从而甲的得分大于乙的得分的概率为．（12分）。

2017-2018学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.已知i为虚数单位，复数，则以下为真命题的是A. z的共轭复数为B. z的虚部为C. D. z在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】解：复数，则共轭复数为，复数z的虚部为，，点的坐标为，为第一象限的点，故选：D．利用复数代数形式的乘除运算，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.若a，b，c均为正实数，则三个数A. 都不大于2B. 都不小于2C. 至少有一个不大于2D. 至少有一个不小于2【答案】D【解析】解：由题意，，b均为正实数，当且仅当时，取“”号若，则结论不成立，，至少有一个不小于2至少有一个不小于2故选：D．根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想，难度不3.则函数的图象的大致形状为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由图表可得函数在上小于0，在上大于0，即函数在上是减函数，在上是增函数，故是函数的极小值．同理，由图表可得函数在上大于0，在上小于0，即函数在上是增函数，在上是增函数，可得是函数的极大值，故选：C．在上小于0，在上大于0，故是函数的极小值，同理可得是函数的极大值，由此得出结论．本题考查函数零点的定义和判定定理，属于基础题．4.直线与曲线相切于点，则b的值为A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】解：的导数为，可得切线的斜率为，由条件可得，，，解得，，故选：A．求得的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线方程和曲线方程，解方程可得b的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用切点既在切线上，也在曲线上，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.已知函数在处取得极大值10，则的值为A. B. C. 或 D. 不存在【答案】A【解析】解：，，又在处取得极大值10，，，，，或，．当，时，，当时，，当时，，在处取得极小值，与题意不符；当，时，当时，，当时，，在处取得极大值，符合题意；．故选：A．由于，依题意知，，，于是有，代入即可求得a，b，从而可得答案．本题考查函数在某点取得极值的条件，求得，利用，求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．6.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了A. 1项B. k项C. 项D. 项【答案】D【解析】解：用数学归纳法证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，由递推到时不等式左边增加了：，共项，故选：D．依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边比较即可得到答案．本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．7.若曲线与曲线在交点处有公切线，则A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】解：，，曲线与曲线在交点处有公切线，且即，故选：C．若曲线与曲线在交点处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率切点处的导函数值均相等，由此构造关于a，b的方程，解方程可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知分析出且是解答的关键．8.已知函数有最大值，则a的值为A. 1B.C. 4D.【答案】B【解析】解：令，则，，，知函数有最大值，故选：B．利用换元法，结合基本不等式，根据函数有最大值，即可求得a的值．本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．9.函数在上有最小值，则实数a的范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，由，得，时，；时，；时，，的增区间是，，减区间是，时，．时，，，，，，，，，，，．由导数性质得的增区间是，，减区间是，时，由此利用函数性质能求出．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．10.将正奇数1，3，5，7，排成五列如表，按此表的排列规律，2019所在的位置是A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列【答案】C【解析】解：数列的规律是每8个奇数为一个周期，前4个奇数放在，2，3，4，5列，后4个奇数，从后往前放在4，3，2，1列，则，得，，则2019的位置和第二个奇数3的位置相同，位于第三列，故选：C．根据数列的规律每8个奇数为一个周期，前4个奇数放在，2，3，4，5列，后4个奇数，从后往前放在4，3，2，1列，即可判断2019的位置．本题主要考查归纳推理的应用，寻找规律是解决本题的关键．11.设定义在上的函数的导函数满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数的定义域为，即，则，故，即，故选：A．根据题意，由函数的定义域分析可得，结合导数的几何意义可得，变形可得，即可得答案．本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意结合函数的定义域分析得到．12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动步的距离为1个单位长度令表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记，则下列结论中错误的是A. B.C. D.【解析】解：根据题中的规律可得：，，，，，，，，，，，，，，，，以此类推得：，，，，，为正整数，故，，故A和B都正确，，且，，故C正确；，，，故D错误．故选：D．按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，即可得解．本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.______．【答案】解：如图，．故答案为．【解析】函数的图象是以为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分．本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，解答此题的关键是正确画出图形，是中低档题型．14.我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值______．【答案】【解析】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到，，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，把数据代入得到，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，故答案为：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．15.已知函数若函数在上为单调函数，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由，得，函数在区间上为单调函数，时，恒成立，或恒成立，即对恒成立，或对恒成立．设，函数在上单调递增，，或解得，，解得，．的取值范围是．故答案为：．求出原函数的导函数，由函数在上为单调函数，得到时，恒成立，或恒成立，分离参数a后引入新的辅助函数，由单调性求得其在上的最值得答案．本题考查导数的几何意义和导数的综合应用：求单调区间，考查了数学转化思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.定义：如果函数在区间上存在，，满足，，则称函数在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，，函数是区间上的双中值函数，区间上存在，，满足，方程在区间有两个不相等的解，令，，则，解得，实数a的取值范围是故答案为：根据题目给出的定义得到，即方程在区间有两个解，利用二次函数的性质能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共6.0分）17.已知i是虚数单位，复数满足．求；若复数的虚部为2，且是实数，求．【答案】解：由，得．；设，则，是实数，，即．．【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算，利用复数模的个数求解；设，代入，整理后利用虚部为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．18.设点P在曲线上，从原点向移动，如果直线OP，曲线及直线所围成的面积分别记为、．Ⅰ当时，求点P的坐标；Ⅱ当有最小值时，求点P的坐标和最小值．【答案】解：Ⅰ设点P的横坐标为，则P点的坐标为，直线OP的方程为，，因为，所以，点P的坐标为，令得，因为时，；时，0'/>所以，当时，，P点的坐标为．【解析】Ⅰ可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为，则为直线OP与曲线当时所围面积，所以，，S2为直线OP与曲线当时所围面积，所以，，再根据就可求出t值．Ⅱ由Ⅰ可求当，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，有最小值．本题考查了用定积分求两曲线所围图形面积，以及导数求最值，做题时应认真分析．19.已知函数在与时都取得极值．求a，b的值与函数的单调区间；若对，不等式恒成立，求c的取值范围．【答案】解：，，，1时两个根，，，解得，；，函数的单调区间如下表：函数的递增区间是和，递减区间是．由可得，当时，由知在上的最大值为，所以只需要，得；当时，由知在上的最大值为，只需要，解得或，综上所述，c的取值范围为【解析】求出，因为函数在与时都取得极值，所以得到，1时两个根，即可解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得及，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；根据函数的单调性，由于，分类讨论，求出求出函数的最大值，然后列出不等式，求出c的范围即可．考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．20.已知数列，，，，为该数列的前n项和．计算，，，；根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】解：，，，，猜想，，用数学归纳法证明如下：当时，，猜想成立；假设当时，猜想成立，即，当时，，故当时，猜想成立．由可知，对于任意的，都成立．【解析】按照数列和的定义计算即可按照数学归纳法的证明步骤进行证明．本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：检验成立假设时成立，由成立推导成立，要注意由归纳假设到检验的递推．21.已知函数．证明；如果对恒成立，求a的范围．【答案】解：证明：函数的导数为，由，可得，则；由题意知对恒成立，设，，则，当时，恒成立，在递增，符合题意；当时，可得，即，即有，可得，，，单调递增；，，单调递减，即有不合题意．综上，a的取值范围为．【解析】求得的导数，注意定义域，可得导数的范围，即可得证；设，，求得导数，讨论当时，时，可得在的单调性，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.已知函数为自然对数的底数．求函数的单调区间；设函数，存在函数，，使得成立成立，求实数t的取值范围．【答案】解：函数的定义域为R，分当时，，当时，．在上单调递增，在上单调递减分假设存在，，使得成立成立，则．，分当时，，在上单调递减，，即分当时，，在上单调递增，，即分当时，在，，在上单调递减在，，在上单调递增，即由知，在上单调递减故，而，不等式无解综上所述，存在，使得命题成立分【解析】确定函数的定义域，求导数利用导数的正负，可得函数的单调区间；假设存在，，使得成立成立，则分类讨论求最值，即可求实数t的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高一下学期期中考前模拟数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图是为了求出满足的最小整数，和两个空白框中，可以分别填入（）A. ，输出B. ，输出C. ，输出D. ，输出【答案】A【解析】为了求出满足的最小整数，就是使的第一个整数，所以判断框内应该填写；根据程序框图可知，当时，已经被替换，所以应输出，才能得到满足的最小整数，故选A.2. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，记所取的这2个数的乘积为，则下列说法错误的是A. 事件“”的概率为B. 事件“”的概率为C. 事件“”与事件“”为互斥事件D. 事件“”与事件“”互为对立事件【答案】B【解析】从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有共6个，A. 事件“”的即所取2个数的乘积为6的基本事件有共2个，故所求概率故A正确；B. 事件“”的包含的基本事件由共5个，故其概率为故B错误；C. 事件“”与事件“”不可能同时发生，故为互斥事件，正确；D..事件“”与事件“”互为对立事件，正确.故选B.3. 某工厂生产了60个零件，现将所有零件随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为5的样本.已知4号、16号、40号、52号零件在样本中，则样本中还有一个零件的编号是（）A. 26B. 28C. 30D. 32【答案】B【解析】∵样本容量为5，∴样本分段间隔为，∵4号、16号、40号、52号同学在样本中，∴样本中还有一个同学的座号是28，故选B．4. 下列赋值语句正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【点睛】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可．属于基础题．5. 我国数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡由8758人，西乡由7236人，南乡由8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是（）A. 102B. 112C. 130D. 136【答案】B【解析】由题意得，三乡总人数为人.∵共征集378人∴需从西乡征集的人数是故选B.6. 学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为86，,则这组数据的平均数不可能为（）A. B. C. 85 D.【答案】A【解析】由题意，当时，平均数为，当时，平均数为，即平均数在区间内，项排除．故选．7. 若一组数据的方差为1，则的方差为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】若的方差为，则，，的方差为，故可得当的方差为1时，的方差为，故选C.8. —位母亲记录了自己儿子岁的身高数据（略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A. 身高一定是B. 身高在以上C. 身高在左右D. 身高在以下【答案】C【解析】由回归模型可得y=7.1910x＋73.93=145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83cm左右。