微分方程与差分方程详细讲解与例题

第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究的函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到的大量实际问题往往不能直接写出量与量之间的关系,却能比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分)的关系式称为微分方程.§4.1.1 微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程的一些基本概念. 一、微分方程的阶数首先我们具体的来看一个微分方程的例子.例4-1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它的温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体的温度u 和时间t 的关系,并计算20分钟后物体的温度.这里我们假定空气的温度保持为C u 024=α. 解:根据物理学中的牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在介质温度的差值成正比.设物体在时刻t 的温度为)(t u u =,则温度的变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化的微分方程)(αu u k dtdu--= (4.1.1) 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1)中含有未知函数u 及它的一阶导数dtdu,这样的方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++ (4.1.2)中未知函数最高阶导数的阶数是三阶,则方程(4.1.2)称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程;自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z Ty T x T (4.1.3)就是偏微分方程的例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1)(4.1.2)都是常微分方程的例子. 三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4)的左端为关于未知函数y 及其各阶导数的线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般的n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dxy d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5)其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 的已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5)为n 阶齐次线性微分方程;当()0f x ≠时,称(4.1.5)为n 阶非齐次线性微分方程.例如,方程(4.1.2)是三阶线性微分方程.而方程20dy dy t y dx dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ (4.1.6)是一阶齐次非线性方程. 四、微分方程初边值问题我们把含有n 个独立的任意常数12,,n c c c 的解12(,,,)n y x c c c ϕ=称为n 阶微分方程(4.1.4)的通解.为了确定微分方程一个特定的解,我们通常给出这个解所必须满足的条件,这就是定解条件.常见的定解条件是初始条件.n 阶微分方程(4.1.4)的初始条件是指如下的n 个条件:1(1)(1)0000001()()(),,n n n dy x d y x y x y y y dx dx---=== 求解微分方程满足初始条件的解,称为初值问题.求解初值问题的过程,就是通过初始条件确定通解中的常数,从而求得满足初始条件的特解的过程.若方程所给出的定解条件,既有自变量初始时刻的值,也有自变量取终值时的值,则称该问题为边值问题.§4.1.2微分方程的求解及Matlab 实现线性微分方程和低阶特殊微分方程往往可以通过解析解的方法求解,但一般的非线性微分方程是没有解析解的,即使可以求得解析解,参数也很难确定,需要用数值解的方式求解.具体的求解方法很多,本节我们主要介绍如何利用matlab 来求解微分方程的解析解和数值解.§4.1.2.1微分方程的解析解一、基本理论有些简单的常微分方程可用一些技巧,如分离变量法、积分因子法、常数变异法、降阶法等,化为可直接积分的方程从而求得显示解.例如,一阶常系数线性常微分方程(0)dyay b a dt=+≠ 可化为dydt ay b=+ 两边积分可得()y t 的通解为 at by Ce a=-.一般的常系数线性微分方程1111()n n n n n n d y d y dya a a y f x dx dx dx---++++= (4.1.7)的解满足叠加原理,即方程(4.1.7)的通解是对应齐次方程11110n n n n n n d y d y dya a a y dx dx dx---++++= (4.1.8)的通解与非齐次方程(4.1.7)的一个特解的和.一阶常系数线性常微分方程总可用这一思路求得显示解.高阶线性常系数微分方程可用特征根法求对应齐次微分方程(4.1.8)的通解.(4.1.8)对应的代数特征方程121210n n n n n s a s a s a s a ---+++++=若方程的特征根i s 均可以求出,且两两相异,则方程(4.1.7)的解可以表示为1212()()n s x s x s x n y x C e C e C e x γ=++++其中,i C 为待定系数,()x γ是满足方程(4.1.8)的一个特解,这个特解可以通过常数变异法,比较系数法得到.i s 有重根的情况也可以写出相应的解析解形式,这里我们不做过多介绍,因为我们下面要介绍一种更简单的计算机求解法. 二、用matlab 求解线性常系数微分方程解析解 dsolve 其中,i f 既可以描述微分方程,也可以描述初边值条件.在描述微分方程时,用字母D 代表微分,后面加数字表示微分的阶数,例如D4y 表示(4)()y t ,也可以用D2y(0)=3 这类记号来表示初值条件 ''(0)3y =.一般而言任何D 后面所跟的字母为因变量,自变量默认为t ,也可以在函数调用时指明.例4-2 求方程2223t d x dxx e dt dt---=的通解.解:输入命令>>syms t,x; %定义符号变量x=dsolve(‘D2x -2*Dx-3*x=exp(-t)’) %求解方程latex(x) %用 LATEX 语句显示结果 运行结果x=exp(-t)*C2+exp(3*t)*C1-1/4*t*exp(-t) ans={e^{3t}}{\it C2}+{e^{-t}}{\it C1}-1/4\,t{e^{-t}} 原方程的通解为31214t t t x C e C e te --=+-其中,i C 为任意常数.若给出初始或边界条件,则可以通过这些条件建立方程,求出i C 的值.仍考虑上面的微分方程,假设已知 (0)3,(0)2dxx dt==,则可以通过下面的命令求满足该方程的特解.>> x=dsolve(‘D2x -2*Dx-3*x=exp(-t)’,’x(0)=3’,’Dx(0)=2’) 运行结果x=27/16*exp(-t)+21/16*exp(3*t)-1/4*t*exp(-t)所以，满足这一初值问题的特解是32127116164t t t x e e te --=+- 对于线性方程组我们可以通过定义多维的因变量同样求解. 例4-3 试求解下面的线性微分方程233453442dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩解:输入命令>>[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z')； x=collect(simple(x)) %化简x 的表达式 y=collect(simple(y)) z=collect(simple(z)) 结果为部分特殊的非线性微分方程也可以用dsolve()函数来求解析解.这样的方程描述方式和前面介绍的线性微分方程是一致的.下面我们通过例子来演示非线性方程的解析解求解问题,同时还将演示不能求解的例子. 例4-4 试求出一阶非线性微分方程2()(1())dxx t x t dt=-的解析解. 解: 输入命令>>x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)') 运行结果x =1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2) -1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2)即该方程的解析解为()x t =但是如果稍微改变原方程,例如将等号右侧加上1,则可以用下面语句试解方程.我们会发现该方程是没有解析解的.223222312231t tt t t t tx C e C e y C e C e C e z C e C e ----=+=++=+>>x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)+1') 运行结果Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned. > In dsolve at 312 x =t+Int(-1/(_a-_a^3+1),_a = .. x)+C1 = 0从上例我们可以看出,可以求得解析解的方程是很有限的,对于一般的非线性方程只能用数值解法去求解.下面我们介绍微分方程数值解的求解方法.§4.1.2.2微分方程的数值解一、基本理论 (一) 数值解的定义考虑一阶常微分方程组初值问题000'(,)()f y f t y t t t y t y =⎧<<⎨=⎩ (4.1.9)其中 12(,,,)m T y y y y = ,12(,,,)m T f f f f = ,120000(,,,)m Ty y y y = ,这里T 表示转置.微分方程的数值解,是指不求出解()y t 的解析表达式,而是寻求()y t 在一系列离散结点01n f t t t t <<<≤ 上的近似值(0,1,,)k y k n = .称1k k k h t t +=-为步长.通常,取为常数0()/n h t t n =-,此时结点变为等距结点,有10k k t t h t kh -=+=+.(二) 求解数值解的方法 1.欧拉法基本思想:在结点处用差商近似替代导数()()'()(,())(,)k k k k k k k y t h y t y t f t y t f t y h+-≈=≈这样导出欧拉格式的计算公式100(,)0,1,1() k k k k y y hf t y k n y y t +=+⎧=-⎨=⎩ (4.1.10)欧拉法可以求解各种形式的微分方程,但是它只有一阶精度,所以实际应用效率比较差.2.改进的欧拉法基本思想: 使用数值积分离散化.对方程'(,)y f t y =,两边由k t 到1k t +积分,得到11()()(,())k kt k k t y t y t f t y t dt ++-=⎰对右端的定积分用数值积分方法做离散化,可得计算公式,如用矩形公式可得欧拉公式,若用梯形公式可得改进的欧拉公式,下面我们用梯度公式来做数值积分11111()()(,())[(,())(,())]2k kt k k k k k k k k t t ty t y t f t y t dt f t y t f t y t +++++--=≈+⎰故有如下迭代计算公式:11100[(,)(,)]2()k kk k k k h y y f t y f t y y y t +++⎧⎪⎨⎪⎩=++= (4.1.11) 实际应用时,与欧拉公式结合使用:(0)1(1)()111(,)[(,)(,)] 0,1,2,2k k k k l l k k k k k k y y hf t y h y y f t y f t y l +++++⎧=+⎪⎨=++=⎪⎩ (4.1.12) 对于已给的精度ε,当满足(1)()11 l l k k y y ε+++-<时,取(1)11l k k y y +++=,然后继续下一步2i y +的计算. 3.Runge-Kutta 方法基本思想:利用Taylor 展式进行离散化.假设(4.1.9)中的(,)f t y 充分光滑,将1()k y t +在k t 点作Taylor 展开:2()1()()'()''()()2!!p p k k k k k h h y t y t hy t y t y t p +=+++++其中()()'()(,())''()[(,())]'()[(,())]t t y p p t y t f t y t y t f t y t f f f y t f t y t ===+⋅=对照标准形式1(,;)k k k k y y h t y h +=+Φ.若取1()(,;)'()''()()2!!p p h h t y h y t y t y t p -Φ=+++并用k y 代替()k y t ,则得到一个p 阶近似公式100(,;)0,1,1()k k k k y y h t y h k n y y t +=+Φ⎧=-⎨=⎩ (4.1.13)显然p=1时,式(4.1.13)就是(4.1.10),即为欧拉方法.但当2p ≥时,如果直接利用公式(4.1.13)求解数值解问题,就需要计算(,)f t y 的高阶微商.这个计算量是很大的.因此,直接利用式(4.1.13)构造高阶公式是不实用的.通常,在求解高阶精度的数值解时,我们并不是直接使用Taylor 级数,而是利用它的思想,即计算(,)f t y 在不同结点的函数值,然后作这些函数值的线性组合,构造近似公式,式中有一些可供选择的参数.将近似公式与Taylor 展开式相比较,使前面的若干项密合,从而使近似公式达到一定的精度.若线性组合选取的函数值个数为n ,计算达到的精度阶数为p ,这样的Runge-Kutta 方法就是我们通常所说的p 阶n 级Runge-Kutta 方法.后来,德国学者Felhberg 对传统的Runge-Kutta 方法进行了改进,使原来的定步长算法变为自动变换步长的Runge-Kutta-Felhberg 方法,保证了更高的精度和数值稳定性,它已经成为求解数值解问题中最常见的方法.具体的算法我们在这里不做介绍,下面我们主要来讨论如何通过matlab 软件来运用这一方法求解微分方程的数值解问题.二、用matlab 求解微分方程数值解 (一) 一阶微分方程组初值问题Matlab 下求解一阶微分方程组初值问题(4.1.9)的数值解的最常见的方法ode45()函数,该函数实现了前面介绍的变步长四阶五级Runge-Kutta-Felhberg 算法,可以采用变步长的算法求解微分方程. [t, y ] 中t 表示自变量,是标量.y 表示函数,可以是标量也可以是向量.0y 表示初值.当 y 为 n 维向量时,表明求解的问题是有n 个未知函数的方程组,则0y 也应为n 维向量.0[,]f t t 表示微分方程的求解区间,即自变量的取值范围.如果只给出一个值 f t 则表示初始时刻为00t =.另外,该函数还允许0f t t >,即可以认为0t 为终值时刻,f t 为初始时刻,则0y 表示状态变量的终值,而该函数可以直接求解这样一个终值问题.odefun 表示待解的微分方程(4.1.9)中(,)f t y 所写成的m-文件的名称,m-文件的编写格式为也可以不把函数单独用m-文件保存,而是直接用inline()函数输入,从而获得函数名,编写格式为其中,t 是自变量,即使所求方程是自治系统,也需要写出t ,否则matlab 在变量传递过程中将出现问题.y 为未知函数,ydot 表示未知函数的导数.如果求解的问题是微分方程组问题,即我们之前讨论过的y 为向量的情况,则在书写上述m-文件或inline()函数时,待解方程(,)f t y 应以ydot 的分量形式写成,或者仍用单个方程的编写格式,多个方程用[ ]括起来,并以;隔开,在后面的例题中我们将具体的看到.options 表示控制选项.在微分方程求解中有时需要对求解算法及控制条件进行进一步设置,这可以通过求解过程中的options 变量来进行修改.初始options 变量可以通过odeset()函数来获取,该变量是一个结构体变量,其中有众多成员变量,表4-1列出了常用的一些成员变量.表4-1 微分方程求解函数的控制参数表修改option 变量有两种方式: ①用odeset()函数设置,其格式为达到的目的是,将相对误差上限设置为较小的710-②直接修改options 的成员变量,也可以达到这样的目的,其格式为 12,,,m p p p 表示附加参数.即在函数表达式中,除了,t y 还有其他的可变的参数,引入这样的附加参数,使得微分方程的某些参数可以选择不同的值,对不同值求解时,考虑附加参数可以避免每次修改模型文件.但是值得注意的是,这种情况下的函数定义格式有特殊要求,格式为或注意,这里的flag 变量不能省略,用于占位. 例4-5 解微分方程组33'' 030(0)1,(0)0.5x x y y x yt x y ⎧=--⎪=-<<⎨⎪==⎩解: 该方程是非线性微分方程,不能用我们之前讨论的求解解析解的方法来处理,只能用数值解法求解.首先,我们将待解方程写成m -文件,用文件名eg1fun.m 保存.我们将2个未知变量x ,y ,以分量的形式写成一个向量变量x . %函数eg1fun.m function f=eg1fun(t,x) f(1)=-x(1)^3-x(2); f(2)=x(1)-x(2)^3;f=f(:); %保证f 为列向量这个m-文件还有另一种等价的书写方式.%函数eg1fun.m的另一种书写方式function f=eg1fun(t,x)f=[-x(1)^3-x(2);x(1)-x(2)^3];这样我们就完成了对待解方程的描述,然后输入命令>>[t,x]=ode45('eg1fun',[0 30],[1;0.5]); %求解方程subplot(1,2,1); %分2部分绘图,编辑第一部分plot(t,x(:,1),t,x(:,2),':'); %在第一个图中绘制x,y的函数图象title('函数曲线图'); %图象名称xlabel('t'); %横轴说明legend('x(t)','y(t)'); %说明图例axis square %显示正方形的坐标系subplot(1,2,2); %编辑第二部分图象plot(x(:,1),x(:,2)); %在第二个图中绘制相平面图title('相平面图'); %图象名称xlabel('x'); %横轴说明ylabel('y'); %纵轴说明axis square %显示正方形的坐标系运行结果:图4-1例4-5函数曲线和相平面图运行程序,得到函数图象和相平面图.根据相平面上的相轨线,可以看出解从初值开始的变化趋势,这对于研究微分方程平衡点的稳定性是很有意义的,在后面的章节中我们将具体讨论. 例4-6 解微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=-==1)0(,1)0(,0)0(51.0'''321213312321y y y y y y y y y y y y 解:此问题仍为非线性微分方程组,我们求它的数值解,不妨将求解区间取为[0,20]t =.下面我们用inline()函数来描述方程组,这样就不用单独编写m -文件来描述方程.输入命令:>>eg2fun=inline('[y(2)*y(3);-y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2)]','t','y'); tf=20;y0=[0;1;1];[t,y]=ode45(eg2fun,[0,tf],y0);plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'*',t,y(:,3),'+'); %绘出解的图象 legend('y1','y2','y3'); %说明图例 运行得到函数曲线图图4-2 例4-6函数曲线图例4-7 编写带有附加参数的matlab 函数,来描述食饵-捕食者模型111122222112'()()'()()(0)(0)1x t x a b x x t x a b x x x =-⎧⎪=--⎨⎪==⎩并对11223,2, 2.5,1a b a b ====和11222,1,1,0.5a b a b ====分别求解,画出解的曲线图和相轨线图.解:选定附加参数为1122,,,a b a b ,编写如下m -文件来描述题述方程%函数eg3fun.mfunction xdot=eg3fun(t,x,flag,a1,b1,a2,b2) xdot=[x(1)*(a1-b1*x(2));-x(2)*(a2-b2*x(1))];注意,这里的flag 变量不能省略.这样我们就完成了对方程的描述.我们不妨取自变量区间为[0,10],对方程求数值解.输入命令 >>tf=10;x0=[1;1];a1=3;b1=2;a2=2.5;b2=1;[t,x]=ode45(‘eg3fun’,[0,tf],x0,[],a1,b1,a2,b2);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),t,x(:,2),':');title('函数曲线图'); xlabel('t');legend('x1','x2');axis square;subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));title('相平面图'); xlabel('x1');ylabel('x2');axis square;运行结果图4-3 11223,2, 2.5,1a b a b ====当11222,1,1,0.5a b a b ====时,只需要修改上述命令中的给a1,b1,a2,b2的赋值语句,就可以得到需要的结果.图4-411222,1,1,0.5a b a b ====(二) 一阶微分方程组边值问题对于一阶常微分方程组的边值问题'(,)((),())0y f t y a t b g y a y b =⎧<<⎨=⎩ (4.1.14)这里y ,f ,g 都可以是向量.用其中odefun 是微分方程组函数,bcfun 为边值条件函数,sinit 是由bvpinit 得到的粗略解网络.求得的边值问题的解sol 是一个结构体变量,sol.x 为求解结点,sol.y 为数计算由bvp4c 得到的解在ti 的值. 例4-8 求解边值问题122111'' ()0,()20y y y y a t b y a y b =⎧⎪=-<<⎨⎪=+=⎩ 解:输入命令>>sinit=bvpinit(0:4,[1;0]);odefun=inline('[y(2);-abs(y(1))]','t','y'); bcfun=inline('[ya(1);yb(1)+2]','ya','yb'); sol=bvp4c(odefun,bcfun,sinit); t=linspace(0,4,101); y=deval(sol,t);plot(t,y(1,:),sol.x,sol.y(1,:),'o',sinit.x,sinit.y(1,:),'x'); legend('解曲线','求解点','粗略解');运行结果图4-5 例4-8函数曲线图(三) 高阶微分方程由于matlab 只能处理一阶微分方程组问题,对于高阶微分方程的初边值问题,我们必须通过变量代换,使它转换为一阶方程组,才能用matlab 求解数值解.我们考虑高阶常微分方程的初值问题()(1)(,,',,)n n y f t y y y -= (4.1.15) 且初始值(1)(0),'(0),(0)n y y y - 为已知.令(1)12,',,n n x y x y x y -=== ,通过这样的变量代换,高阶微分方程(4.1.15)就转化为一阶方程组的形式122312'' '(,,,,)n n x x x x x f t x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ (4.1.16) 且初值条件为(1)12(0)(0),(0)'(0),,(0)(0)n n x y x y x y -=== .这样,我们就可以通过之前讨论过的一阶微分方程组的数值解法来研究这一问题.对于高阶微分方程组,只要依次将每个未知变量的各阶导数均单独定义变量,就可以同样的转化为一阶微分方程组. 例4-9 用数值解法求解微分方程2''(1)'0(0)0.2,'(0)0.7y y y y y y ⎧+-+=⎨=-=-⎩ 解:首先我们需要将这个2阶微分方程转化为一阶微分方程组,我们令1x y =,2'x y =,则原方程转换为122212112''(1)(0)0.2,(0)0.7x x x x x x x x =⎧⎪=---⎨⎪=-=-⎩ 对[0,20]区间求数值解,输入命令>>tf=20;x0=[-0.2;-0.7];eg5fun=inline('[x(2);-((x(1))^2-1)*x(2)-x(1)]','t','x'); [t,y]=ode45(eg5fun,[0,tf],x0); plot(t,y);legend('y','y'''); 运行得到函数图象图4-6 例4-9函数曲线图例4-10 求解微分方程组(竖直加热板的自然对流问题)2323222223202.10(0)0,(0)0,(0)0.68,(0)1,(0)0.5d f d fdf f T d d d d T dT f d d df d f dTf T d d d ηηηηηηηη⎧⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=====-⎪⎪⎩解:这是一个高阶方程组问题,我们需要通过变量代换转化为一阶微分方程组,从而寻求数值解.我们令2123452,,,,df d f dTy f y y y T y d d d ηηη===== 原方程转化为如下一阶方程组12232313245451512345,32, 2.1(0)0,(0)0,(0)0.68,(0)1,(0)0.5dy dy y y d d dy y y y y d dydy y y y d d y y y y y ηηηηη⎧==⎪⎪⎪=-+-⎪⎨⎪==-⎪⎪⎪=====-⎩ 输入命令>>y0=[0;0;0.68;1;-0.5];tf=5;eg6fun=inline('[y(2);y(3);-3*y(1)*y(3)+2*y(2)^2-y(4);y(5);-2.1*y(1)*y(5)]','t','y'); [t,y]=ode45(eg6fun,[0,tf],y0); plot(t,y(:,1),t,y(:,4),':'); legend('f','T'); 运行得到函数图象图4-7 例4-10函数曲线图§4.1.3导弹追踪问题一、导弹追击问题一艘敌舰在某海域内沿正北方向航行时,我方战舰恰位于敌舰的正西方向1km 处.我舰向敌舰发射导弹,导弹头始终对准敌舰,敌舰速度为0v =1km/min,导弹速度为敌舰速度的5倍.问需要多长时间,在何处导弹击中敌舰?以我舰位置为坐标原点,正北方向为y 轴方向建立坐标系,设t 时刻导弹所处的位置为((),())P x t y t ,敌舰所处的位置为0(1,)Q v t .图4-8 导弹追击问题由于导弹头始终对准敌舰,因此直线PQ 是导弹运行轨迹OP 在P 点的切线,即01v t y dy dx x-=- 从而0(1)dyv t x y dx=-+ (4.1.17) 又因为导弹速度为敌舰速度的5倍,所以OP 弧的长度为AQ 长度的5倍. 即005v t =⎰(4.1.18) 联立(4.1.17)和(4.1.18)得到5(1)5dy x y dx =-+⎰两边对x 求导,得到微分方程225(1)d yx d x=-(4.1.19) 该问题的初始条件为(0)0,'(0)0y y ==首先,我们将二阶方程化为一阶方程组,令12,dyy y y dx==,(4.1.19)转化为 ()121/22221215(1)(0)0,(0)0dy y dx y dydxx y y ⎧=⎪⎪⎪+⎪=⎨-⎪⎪==⎪⎪⎩ (4.1.20) 对于这一问题,我们可以求得方程的解析解,从而确定导弹击中敌舰位置和时间,也可以通过求数值解的方法得到同样的结论. 1) 解析解.关于2y 的方程()1/2222215(1)(0)0y dy dx x y ⎧+⎪=⎨-⎪=⎩ 分离变量,有()21/2225(1)1dy dxx y =-+两边积分,并代入初始条件,得21ln(ln(1)5y x +=--即152(1)y x -=- (4.1.21) 又因为152(1)y x ==-- (4.1.22)(4.1.21)和(4.1.22)两式相加,得到115521((1)(1))2y x x -=---下面,我们求解关于1y 的方程11155211((1)(1))2(0)0dy y x x dxy -⎧==---⎪⎨⎪=⎩ 直接积分,并代入初始条件得到46551555(1)(1)81224y y x x ==--+-+当1x =时,524y =,即当敌舰航行到点(1,524)处时,被导弹击中.被击中的时间为012.5yt s v ==. 2) 数值解.首先,编写出描述方程(4.1.20)的m-文件 function dy=equ20(x,y)dy=[y(2);1/5*sqrt(1+y(2)^2)/(1-x)];由于方程在1x =处没有定义,我们取求解区间为[0,1-1e-8],输入命令 xf=1-1e-8;[x,y]=ode45('equ20',[0,xf],[0;0]) plot(x,y(:,1));hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,'*');运行结果 y =0 00.0000 0.0001 …… …… 0.2083 16.1097 0.208320.0688图4-9 导弹击中曲线说明当1x =时,0.2083y =,导弹击中敌舰的位置大致在(1,0.2083)处,击中的时间0yt v ==0.2083min=12.498s.这与求解析解得到的结果是一致的. 比较上面2种求解方法,我们发现,解析解可以得到解的真实值,但是方法比较复杂,技巧性强,只能处理比较简单的方程问题;而数值解虽然得到的解与真实值之间会有一些允许范围内的误差,但是方法比较容易掌握,更具一般性. 二、导弹系统的改进现根据情报,这种敌舰能在我舰发射导弹后T 分钟做出反应并摧毁导弹.因此,我们要求改进电子导弹系统,使其根据敌舰与我舰的距离,行使方向和速度,能自动判断出敌舰是否在有效打击范围之内.对于更一般的情况,我们做出如下假设,设敌舰在我舰正东方向d km 处,行驶速度为0v km/min,行驶方向与正东方向的夹角为θ,导弹的飞行速度为v km/min.问题的关键是计算出导弹击中敌舰所需要的时间*t ,并将*t 与T 比较,若*t <T ,则敌舰在打击范围内.我们仍以我舰位置为坐标原点,以正北方向为y 轴建立坐标系,设t 时刻导弹所处的位置为((),())P x t y t ,敌舰所处位置为00(cos ,sin )Q d v t v t θθ+.图4-10 导弹击中问题由于导弹头始终对准敌舰,因此直线PQ 是导弹运行轨迹OP 在P 点的切线,即00sin cos v t y dydx d v t xθθ-=+- (4.1.23) 又因为导弹速度为敌舰速度的0v v 倍,所以OP 弧的长度为AQ 长度的0vv 倍.即v x v t v =⎰(4.1.24) 联立方程(4.1.23)和(4.1.24),消去0v t ,再对方程两边对x 求导,得到微分方程21/22022(1())(s i n c o s )()(s i n c o s )c o s (())v d y d y d y v dx dx dy dy dx d x d x y dx dxθθθθθ+-=--+-+ (4.1.25) 同样,我们令12,dyy y y dx==,(4.1.25)转化为一阶微分方程组1221/22022222112(1())(sin cos )()(sin cos )cos (())(0)0,(0)0dy y dx v y y dy v dx d x y y d x y y y θθθθθ⎧=⎪⎪⎪+-⎪=⎨--+-+⎪⎪==⎪⎪⎩(4.1.26) 从图象上来判断,我们知道,当P 和Q 两点的运动曲线相遇时,导弹击中敌舰.因此我们可以认为,若**,x y 满足方程(4.1.25)且**()tan y x d θ=- (4.1.27) 则点(**,x y )为导弹击中敌舰的击中点.再根据Q 点的表达式00(cos ,sin )Q d v t v t θθ+,可以计算出击中时间**0sin y t v θ=.若*t <T ,则敌舰在打击范围内,可以发射.从上述分析,我们知道,当0v 、v 、d 、θ、T 已知时,根据(4.1.25)和(4.1.27)可以计算出导弹击中敌舰所需要的时间*t ,且当*t <T 时,敌舰在打击范围内.这种对于每组0v 、v 、d 、θ、T 分别计算从而作出判断的方法,称为在线算法.如果在敌舰和我舰的情况已知,即0v 、v 、T 已知,计算出所有在打击范围内的d 和θ,之后要判断敌舰是否在打击范围,只需要在计算结果中查询,这种算法称为离线算法.从原理上来看,我们发现,在线算法灵活,容易调整参数和模型,但是速度比较慢;离线算法事先计算好,实时使用查询方式,不需要计算,速度快. (1)在线算法现已知0v =90km/h,v=450km/h,d=50km,4πθ=,T=0.1h.首先,我们编写带参数的m-文件描述方程(4.1.26).为了使方程始终有意义,我们通常在分母上加上一个无穷小量1e-8.%方程(4.1.26)function dy=equ26(x,y,v0,v,d,theta) dy(1)=y(2);dy(2)=((v0/v)*(1+(y(2))^2)^(1/2)*(sin(theta)-y(2)*cos(theta))^2)/((d-x)*(sin(theta)-y(2)*cos(theta))+cos(theta)*(y(2)*(d-x)+y(1))+1e-8); dy=dy(:);输入命令clear;close;v0=90;v=450;d=50;theta=pi/4;T=0.1;%初始化参数[x,y]=ode45(@equ26,[0,60],[0;0],[],v0,v,d,theta);%计算导弹运行轨迹方程的数值解z=(x-d)*tan(theta);%计算敌舰运行的轨迹n=length(x);for i=1:nif abs(z(i)-y(i,1))<1e-6xk=x(i);yk=y(i,1);break;endendxkyk%求出击中点xk,yk坐标for i=1:nif z(i)>0z1(i)=z(i);elsez1(i)=0;endendplot(x,y(:,1),x,z1(:),xk,yk,'*');legend('导弹运行轨迹','敌舰运行轨迹','击中点');tk=yk/(v0*sin(theta)+1e-8)%计算击中时间if tk<Tdisp(['敌舰在打击范围内，击中地点在',num2str(xk),num2str(yk),'击中时间为', num2str(tk)]);elsedisp(['敌舰不在打击范围内']);end得到结果击中点xk=58.4056,yk=8.4056,击中时间tk =0.1321,所以敌舰不在打击范围内,应等接近一些再发射.图4-11 在线算法(2)离线算法在介绍离线算法之前,我们先来看方程(4.1.26)的另一种表达.因为导弹的线速度v = (4.1.28) 方程(4.1.28)与(4.1.23)联立,可以建立以t 为参数的关于x ,y 的参数方程dxdt dy dt⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎪==⎪⎪⎪⎩ (4.1.29)当()x t 满足0()cos x t d v t θ≥+,则导弹击中了敌舰.由于我们所要求的打击范围是在t T <中讨论的,所以考虑以t 为参数的方程(4.1.29)能使求解过程大大简化.现已知0v =90km/h,v=450km/h,T=0.1h,要计算出所有在打击范围内的d 和θ.依题意,0θπ≤≤.据此,我们可以确定d 的取值范围.当0θ=时,敌舰正好背向行驶,导弹直线运行,击中时间0/()t d v v T =-<求得min 0()36km d T v v =-=.当θπ=时,敌舰迎面驶来,导弹直线运行,击中时间0/()t d v v T =+<则max 0()54km d T v v =+=.所以3654d ≤≤.这样,我们对于所有可能的d 和θ的取值,计算击中所需时间,从而对不同的θ,得到d 的临界值.具体应用时直接查询判断.编写如下m -文件描述方程(4.1.29) %方程(4.1.29)function dy=equ29(t,y,v0,v,d,theta)dydx=(v0*t*sin(theta)-y(2))/(d+v0*t*cos(theta)-y(1)+1e-8); dy(1)=v/(1+dydx^2)^(1/2); dy(2)=v/(1+dydx^(-2))^(1/2); dy=dy(:);输入命令 clear;close;v0=90;v=450;d=50;theta=pi/4;T=0.1; i=1;for d=54:-1:36for theta=0:0.1:pi[t,y]=ode45(@equ29,[0,T],[0;0],[],v0,v,d,theta); if max(y(:,1)-d-v0*t*cos(theta))>0 range(i,:)=[d,theta]; i=i+1; break; end end end figure;plot(range(:,1),range(:,2)); xlabel('d');ylabel('theta');运行得到临界曲线,即在该曲线上方的d 和θ值,所对应的敌舰位置在打击范围内,曲线下方不在打击范围内.图4-12 离线算法因此d=50km,4πθ=,不在打击范围内.§4.1.4微分方程稳定性理论简介在处理实际问题时,对于有些微分方程模型我们不仅要得到问题的解,有时还需要研究解的稳定性,即解对初始值的连续依赖性,如果解在一定范围内是稳定的,那么初始条件发生一些小的扰动(如实验测量误差等),对问题的解不会造成影响.另外,还有一些问题我们并不需要求解,而通过解的变化趋势的研究,并分析一些特殊解的稳定性就可以解决问题.本节仅介绍几类特殊,但常用的常微分方程稳定性分析的基本方法. 一、单个常微分方程的平衡点及稳定性若微分方程)(x f dtdx= (4.1.30) 方程右端不显含自变量t ,称为自治方程.代数方程的实根0x x =称为方程(4.1.30)的平衡点(或奇点).注意到,平衡点也是方程的解(奇解).如果从一定范围内的初始条件出发,方程(4.1.30)的解)(t x 都满足,)(lim 0x t x t =+∞→则称平衡点0x 是稳定的.对于一些不易求解的问题,我们可以不求方程(4.1.30)的解,不用定义来判断平衡点0x 的稳定性,下面我们来介绍这种方法.将)(x f 在0x 点作泰勒(Taylor )展开,只取一次项,得到方程(4.1.30)的近似线性方程),)(('00x x x f dtdx-= (4.1.31) 0x 也是方程(4.1.31)的平衡点,方程(4.1.31)的通解为0|)('|0)(x ce t x t x f +=.关于0x 点稳定性有如下结论:① 若0)('0<x f ,则0x 对于方程(4.1.31)和(4.1.30)都是稳定的; ② 若0)('0>x f ,则0x 对于方程(4.1.31)和(4.1.30)都是不稳定的. 二、二阶常微分方程组的平衡点及稳定性现在讨论二阶微分方程组(;,),(;,).dxf t x y dtdy g t x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (4.1.32)它的解(),()x x t y y t ==在以,,t x y 为坐标的欧氏空间中决定了一条曲线,如果把时间t 看作参数,仅考虑,x y 为坐标的欧氏空间,此空间称为方程(4.1.32)的相平面(若方程组是高阶,则称为相空间).对于右端函数不显含时间t 的自治系统 ⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(y x g dtdyy x f dt dx(4.1.33)代数方程组⎩⎨⎧==.0),(,0),(y x g y x f 的实根00,y y x x ==称为方程(4.1.33)的平衡点,记作),(000y x P .它也是方程(4.1.33)的解.如果从一定的范围内的初始条件出发,方程(4.1.33)的解)(),(t y t x 都满足,)(lim ,)(lim 00y t y x t x t t ==+∞→+∞→则称平衡点0P 是稳定的,否则称0P 是不稳定的.与单个方程的讨论类似,对于不易求解的微分方程组,我们可以通过研究与其对应的近似线性方程组,从而得到平衡点和稳定性.在这里,我们省略证明过程,只给出判别平衡点0P 是否稳定的判别准则.令,)()()()( ,)()(000000yP g xP g yP f x P f q y P g x P f p ∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-= 关于0P 点稳定性有如下结论:① 当0>p 且0>q 时,平衡点0P 是稳定的; ② 当0<p 或0<q 时,平衡点0P 是不稳定的.。

微积分教案第十章 微分方程§10.1 微分方程的基本概念教学目的与要求：了解微分方程的阶、通解与特解等概念。

掌握一阶可分离变量方程的解法。

教学重点（难点）：区分解与通解。

可分离变量方程的解法。

例：一条曲线通过点(1,2)，且在曲线上任一点处的切线斜率为2x +1，求曲线方程。

定义：含未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程叫做微分方程。

微分方程中未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶。

例：指出下列各微分方程的阶1. y''+y' 3+xy 4=sin x2. y'+xy''+(y'')3+2y 5=13. y'+y y'=1+x 54. y'''=y注意：在一个微分方程中，自变量x 、未知函数y 可以不出现，但未知函数的导数或微分不能不出现。

如果一个函数代入微分方程能使之成为恒等式，称该函数为微分方程的解。

如果微分方程的解中含有独立的任意常数个数与微分方程的阶相同，则称这解为微分方程的通解。

用一些条件确定通解中的任意常数而得到的解称为微分方程的特解。

用来确定通解中任意常数的条件叫做初始条件。

一阶微分方程初始条件的提法为：00y y x x ==二阶微分方程初始条件的提法为：00y yx x ==，*00y y x x ='=§10.2 一阶微分方程（一）一、可分离变量的微分方程一阶微分方程：y'=f (x ,y )若能化为y'=h (x )⋅g (y )，则称该方程为可分离变量的微分方程。

例如：y'=2x +1这是可分离变量的微分方程，解这个微分方程只要方程两边积分：y=x 2+x +C.又如y'=2xy 2这也是可分离变量的微分方程，但这个微分方程就不能两边直接积分，这是因为⎰dx xy 22含有未知函数y 。

但若把上面的微分方程变形为：xdx dy y212=两边积分得：C x y+=-21一般地，若y'=h (x )⋅g (y )把方程变形为：dx x h dy y g )()(1=，若y=ϕ(x )是方程的解，则有：dx x h dx x x g )()()]([1='ϕϕ两边对x 积分，左边利用凑微分法：⎰⎰=dx x h dy y g )()(1。

微分方程与差分方程简介本章简单地介绍微分方程、差分方程的一些基本概念和稳定性概念。

§2.1 微分方程的基本概念微分方程的定义及其阶在许多实际和理论问题中，需要寻找变量之间的函数关系。

一般来说，变量之间的函数关系很难直接求出，然而，根据以知条件，往往可以得到一个自变量、未知函数与它的导数之间的关系式。

因此，希望利用以知的函数与它的导数之间的关系式，去求出这个函数本身。

为此，给出下列描述性的定义：定义 含有未知函数和未知函数各阶导数的等式称为微分方程。

在该等式中，若未知函数及其导数是一元函数，就称该微分方程是常微分方程。

若未知函数是多元函数，且该等式中所含的导数是偏导数，则称该微分方程是偏微分方程。

本章仅介绍常微分方程。

在下面，“微分方程”一词，均是指常微分方程。

微分方程的一般形式是0) , , , , ()(='n y y y x F其中，x 是自变量，y 是x 的函数，)( , , n y y '是y 对x 的各阶导数。

微分方程的解、通解、特解和初始条件若函数（可以是显函数，也可以是隐函数）)(x y y =满足该微分方程，即将)(x y y =，)(x y y '='， , )()()(x y y n n =代入到微分方程0) , , , , ()(='n y y y x F ，能使等式成为恒等式，则称这个函数)(x y y =是这个微分方程的解。

例 假设曲线在点x 处的切线斜率是x 2。

求满足这一条件的所有曲线。

解：根据导数的几何意义，有x y 2='这是一个一阶微分方程。

两边同时积分，有c xxdx dx y +=='⎰⎰22所以，该微分方程的解是 c x y +=2由于一个函数对应平面上的一条曲线，故也常常称微分方程0) , , , , ()(='n y y y x F 的解)(x y y =是该微分方程的积分曲线。

微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)题10.1(A)1.指出下列微分方程的阶数：1) x(y')-2yy'+x=；2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x；3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S；4) 2d^2S/dt^2+S=0.解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。

2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）；2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe；3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）；4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。

解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。

3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。

解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x-C2xe^-x。

将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以C1=2C2.所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。

将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为y=(4+2x)e^-x。

4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。

解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。

第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

第七章 简单的微分方程与差分方程在社会实践、科学技术、经济管理等领域中,许多现象最终往往归结为某些变量与这些变量的导数(或差分)间的关系,即由未知函数的导数或者微分的方程,只要求解这些方程解出函数,那么人们所研究的问题就能得到解决.这种含有未知函数的导数或者微分的方程就称为微分方程.主要内容:本章主要介绍微分方程的基本概念,并介绍求简单的微分方程的基本方法.§1微分方程的概念一 微分方程的概念我们先给出一个例子说明微分方程的概念.例 1 已知某曲线在点x 处的切线斜率为1x -,又已知曲线过点(0,1),求满足条件的曲线的方程.解: 根据导数的几何意义,我们可以知道所求的曲线满足条件:1dy x dx=-,且(0)1f =, (*) 由不定积分知 21(1)2y x dx x x C =-=++⎰, 又(0)1f =,所以有1c =. 所以,所求解的曲线方程为 21(1)12y x dx x x =-=++⎰. 下面我们给出微分方程的概念. 定义1 含有未知数的导数或者微分的方程,称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程.微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数,称为微分方程的阶.例如:259y x x '=-+,23xdy y dx -=都是一阶常微分方程,而210y y '''--=则是二阶常微分方程.本章主要介绍一些比较简单的的常微分方程的解法.二 微分方程的解求微分方程的解的过程叫求解微分方程.如果一个函数代入方程后使得方程的两端恒等,就称这个函数是微分方程的一个解.通过验证可知 3215932y x x x =-+是259y x x '=-+的一个解,像这种给出具体的函数的解我们称为方程的特解.而3215932y x x x C =-++(其中c 为任意常数)显然也是方程的解,象这种解我们称为方程的通解.可以验证,对于微分方程210y y '''--=而言,函数1212x y e =+是它的一个特解,而函数1212x y C C e =+(其中12,C C 是任意常数). §2 一阶线性微分方程本节主要讨论形如(,,)0f x y y '=的一阶微分方程的解法和形如(,,,)0F x y y y '''=的可以降阶的二阶微分方程的解法.一 可分离变量的一阶微分方程形如()()dy f x g y dx=⋅ 的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程,其中()f x 和()g y 分别是关于x 和y 的连续函数.此类微分方程的解法是将变量分离(假设()0g y ≠,若()0g y =,则y C =是通解),即1()()f x dx dyg y =, 上式两端同时积分,得1()()f x dx dy g y =⎰⎰, 若()F x 和()G y 分别是()f x 和1()g y 的一个原函数,则所求的微分方程的通解为 ()()F x G x C =+,其中,c 为任意常数.例1 求解微分方程sin sec 0x y x y'⋅-=.解:原方程可以转化为 sin sec dy x x dx y⋅=,即 sin cos y dy x xdx ⋅=⋅对上式积分有11sin cos sin 222ydy x xdx xdx =⋅=⎰⎰⎰, 即 21(cos 2)24y x C =-+故 y =二 齐次微分方程1 齐次微分方程形如y y f ()x'= 的一阶微分方程,称为齐次微分方程.作变量替换,引入新的未知函数y u x =,即令y xu =,代入()dy y f dx x=,得 ()du u xf u dx +=, 即()du f u u dx x -=, 分离变量可得 ()du dx f u u x =-, 两边积分可得 ()l n F u x C=+, 因此其次微分方程得通解是()ln y F x C x=+. 例2 求解微分方程22dy x xy y dx=-. 解: 将方程化为2dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令y xu =,代入上式得2du u x u u dx+=- 即 2du x u dx=- 易知,是这个方程的一个解,从而0y =为原方程的一个解. 当0u ≠时,分离变量得2du dx u x-=, 两端积分得 1ln x C u=+, 即 1ln u x C =+, 将y u x=代入并解出y ,得原方程得通解为 ln x y x C=+. 2 可化为齐次方程的微分方程形如111222++=++a x b y c dy dx a x b y c 三 一阶线性微分方程形如()()y p x y q x '+=的微分方程,称为一阶线性微分方程. 当()0q x =的时候,上式即()0y p x y '+≡,称之为一阶线性齐次微分方程. 当()0q x ≠的时候,上式即()0y p x y '+≡,称之为一阶线性非齐次微分方程.1 一阶线性齐次微分方程的通解方程即()0y p x y '+=,该方程是可分离变量的,因此,可以求出它的通解是()p x dx y Ce -⎰= (其中C 为任意常数). 2 一阶非线性微分方程的通解当()0q x ≠的时候,我们一般用“常数变异法”求方程的解,具体如下设()()p x dx y C x e -⎰=是方程的解, 则()()()()()p x dx p x dx y C x e C x p x e --⎰⎰''=-, 将其代入一阶线性微分方程,有从而 ()()()p x dx C x q x e ⎰'=,故 ()()()p x dx C x q x e dx C ⎰=+⎰.这样一阶线性微分方程的通解为()()()p x dx p x dx y e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰. 例1 解微分方程73y y x '-=-.解: 此方程为一阶线性微分方程:()()y p x y q x '+=,而()77p x dx dx x =-=-⎰⎰,所以 ()()7721()3(3)2p x dx x x q x e dx x e dx e d x x --⎰=-⋅=-⎰⎰⎰ 7711(3)77x x x e e dx C --=--++⎰ ()7711377x x x e e C --⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦ 712077x x e C -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.。

习题* 10.4(A)1. 计算下列函数的二阶差分.(1) 232x x y -=； (2) x e y 3=； (3) xx y 2)1(2++=.解 (1)32322[2(1)(1)](2)641x y x x x x x x ∆=+-+--=++， 22()(641)1210x x y y x x x ∆=∆∆=∆++=+.(2) 3(1)3x x x y ee +∆=-， 23(1)33(11)3(1)3(1)3332()()[]()(1)x x x x x x x x x y y e e e e e e e e +++++∆=∆∆=∆-=---=-.(3) x x x x x x x x y 2232]2)1[[(]2)11[(12)1(2+++=++-+++=∆++， 21()(2322)22x x x x x y y x +∆=∆∆=∆+++=+.2. 证明：xx x x x x x x x x y z z y y z z y z y ∆+∆=∆+∆=⋅∆++11)(1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y证明略. 3. 指出下列差分方程的阶数.(1) x y y x x sin 51=-+； (2) x y y x x =+++122；(3) 013=++++x x x y y y ； (4) x x x y y y =-++12.解 (1) 1阶；(2) 1阶； (3) 3阶； (4) 2阶. 4. 设)1(x y ，)2(x y 分别是差分方程)(11x f ay y x x =++，)(21x f ay y x x =++的解. 试验证：)2()1(x x y y +是差分方程)()(211x f x f ay y x x +=++的解.证明略.习题*10.4(B)1.试验证：x x x C C y )2(321-+=（1C ，2C 为任意常数）是差分方0612=--++x x x y y y 的解，并求满足初始条件00=y ，11=y 的特解.解 222123(2)x x x y C C +++=+-，111123(2)x x x y C C +++=+-，代入差分方程得22112112121211122263(2)[3(2)]6[3(2)]=3[936](2)[642]x x x x x x x x x x x y y y C C C C C C C C C C C C ++++++--=+--+--+---+--++=由00=y ，31=y 得 ⎩⎨⎧=-=+12302121C C C C ， 解之得 1211,55C C ==-.故所求特解为 3(2)55x xx y -=-. 2. 试验证：x C C y x x -+=221（1C ，2C 为任意常数）是差分方12312=+-++x x x y y y 的解，并求满足初始条件00=y ，31=y 的特解.解 22122(2)x x y C C x ++=+-+，11122(1)x x y C C x ++=+-+代入差分方程得212322(462)(2332)1x x x x y y y C x x x ++-+=-++--++-=由00=y ，31=y ，有⎩⎨⎧=+=+4202121C C C C ， 解之得 124,4C C =-=.所以特解为442x x y x =-+⨯-.3. 已知x x e y =是方程x x x e ay y 211=+-+的一个解，求a .解 因为x x e y =是方程x x x e ay y 211=+-+的一个解，所以x x x e ae e 211=+-+，即e a e 22=+，故)1(2e e a -=.4. 已知差分方程12312=+-++t t t y y y ，(1) 证明函数t C C y t t -+=221（1C ，2C 为任意常数）是差分方程的通解；(2) 当00=y ，31=y 时，求差分方程的特解.解 (1)因为)]1(2[3)2(22312122112+-+-+-+=+-++++t C C t C C y y y t t t t t 1)2(221=-++t C C t所以，函数t C C y t t -+=221是差分方程的通解.(2) 由初始条件00=y ，31=y ，得⎩⎨⎧=-+=+312 02121C C C C ， 解之得，41-=C ，42=C . 故所求特解为 t y t t -+-=+224.习题*10.5(A)1. 求下列差分方程的通解.(1) 031=-+x x y y ； (2) 125-=x x y y ；(3) 51=-+x x y y ； (4) 2231=++x x y y .解 （1）原方程的特征方程为30λ-=，特征根为3λ=.故所求通解为3x x y C =（C 为任意常数）.(2) 原方程的特征方程为520λ-=， 特征根为25λ=.故所求通解为 25xx y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. (3) 原方程对应的齐次方程的通解为 x Y C =（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y bx =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 5b =.所以原方程的一个特解为*5x y x =，故原方程的通解为5x y C x =+.(4) 原方程对应的齐次方程的通解为23xx Y C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *x y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 25A =. 所以原方程的一个特解为 *25x y =. 故原方程的通解为 *2235x x x x y Y y C ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭. 2．求下列差分方程满足给定初始条件的特解.(1) 0321=-+x x y y ，10=y ； (2) 101=-+x x y y ，20=y ；(3) x y y x x =++51，30=y ； (4) x y y x x +=-+221，40=y .解 （1）原方程的特征方程为230λ-=， 特征根为32λ=.故所求通解为 32xx y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由10=y ，得1=C ，故原方程满足初始条件的特解为 32xx y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2) 原方程对应的齐次方程的通解为 x Y C =（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 10A =.所以原方程的一个特解为*10x y x =.故原方程的通解为*10x x x y Y y C x =+=+.由02y =，得2C =，故原方程满足初始条件的特解为102x y x =+.(3) 原方程对应的齐次方程的通解为(5)x x Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax B =+代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得11,636A B ==- 所以原方程的一个特解为*11636x y x =-. 故原方程的通解为 *11636(5)x x x x y Y y C x =+=--+. 由03y =，得10936C =，故原方程满足初始条件的特解为 *10911(5)36636x x x x y Y y x =+=-+-. (4) 原方程对应的齐次方程的通解为12xx Y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： *x y Ax B =+代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得1,0A B ==.所以原方程的一个特解为*x y x =.故原方程的通解为*12xx x x Y y x y C ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由04y =，得4C =.故原方程满足初始条件的特解为*142x x x x x y Y y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.3．设a ，b 为非零常数且01≠+a ，验证：通过变换ab y z x x +-=1可将非齐次方程 b ay y x x =++1化为齐次方程，并求解x y .解 由a by z x x +-=1得1x x by z a =++，所以原式化为b a ba az ab z x x =++++++111，即10x x z az ++=.所以()xx z C a =-.故解为a ba C y x x ++-=1)(.习题*10.5(B)1. 求下列差分方程的解.(1) 0631=-++x y y x x ； (2) xx x y y 3421=++；(3) xx x y y 21=++，20=y ； (4) x y y x x πsin 341=++，10=y .解 (1) 原方程对应的齐次方程的通解为(3)x x Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax B =+，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得46040A AB -=⎧⎨+=⎩，解之得32A =，38B =-.所以原方程的一个特解为*3328x y x =-.故原方程的通解为*33(3)28x x x x y Y y C x =+=-+-. (2) 原方程对应齐次方程的特征方程为240λ+=特征根为2λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(2)x x Y C =-令 3x x x y z =，则有1641x x z z ++=该方程的一个特解为 *110x z =.故原方程的一个特解为 **13310x x x x y z ==⨯ 所以原方程的通解为 *1(2)310x x x x x y Y y C =+=-+. (3) 原方程对应齐次方程的特征方程为10λ+=.特征根为1λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(1)x x Y C =-.令2x x x y z =，则有121x x z z ++=.该方程的一个特解为 *13x z =.故原方程的一个特解为 **1223x x x x y z ==⨯. 所以原方程的通解为*1(1)23x x x x x y Y y C =+=-+⨯. 由02y =，得53C =，故原方程满足初始条件的特解为 *51(1)233x x x x x y Y y =+=-+⨯. (4) 原方程对应齐次方程的特征方程为40λ+=.特征根为4λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(4)x x Y C =-.令cos sin x y A x B x ππ=+，则有0A =，1B =.故原方程的一个特解为*sin x y x π=.所以原方程的通解为*(4)sin x x x x y Y y C x π=+=-+.由01y =，得1C =，故原方程满足初始条件的特解为(4)sin x x y x π=-+.2．设某产品在时期t 的价格为t P ，总供给量为t S ，总需求量为t D .并且有t t P S 21+=，145--=t t P D ，t t D S =（1,2,t =）.(1) 求证：由上述关系可得到差分方程 221=++t t P P ，(2) 已知0P 时，求出t P .证明 （1）由t t D S =，可知11t t S D ++=，即 11254t t P P ++=-，故 221=++t t P P .解（2） 原方程对应的齐次方程的通解为(2)t t Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *t y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数，可得：23A =. 所以原方程的一个特解为 *23t y =. 故原方程的通解为*2(2)3t t t t y Y y C =+=-+. 由0P ，得023C P =-.故原方程满足初始条件的特解为 *022()(2)33t t t t y Y y P =+=--+. 习题*10.6(A)1.求下列二阶常系数齐次线性方程的通解或在给定的初始条件下的特解.(1) 06512=+-++x x x y y y ； (2) 0251012=++++x x x y y y ； (3) 0912=++x x y y ； (4) 12340x x x y y y ----=. 解 （1）原方程的特征方程为2560λλ-+=.特征根为122,3λλ==.故所求通解为1223x x x y C C =+.(2) 原方程的特征方程为210250λλ++=.特征根为125λλ==-.故所求通解为12()(5)x x y C C x =+-.(3) 原方程的特征方程为2109λ+=. 特征根为1,213i λ=±.故所求通解为 121cos sin 322x x y C x C x ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4) 原方程的特征方程为 2340λλ--=.特征根为14λ=, 21λ=-.故所求通解为()1241xx x y C C =+-.2.求下列二阶常系数齐次线性方程的通解或在给定的初始条件下的特解.(1)54312=-+++x x x y y y ； (2)84412=+-++x x x y y y ；(3)204623212++=++++x x y y y x x x ；(4)x x x x y y y 532312⨯=+-++；(5)x y y y x x x =-+++4312； (6)42=∆x y ，30=y ，81=y ； (7)12212=-+++x x x y y y ，00=y ，01=y .解 (1) 原方程对应的齐次方程的通解为()124xx y C C =+-（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *x y Ax =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A =.所以原方程的一个特解为*x y x =.故原方程的通解为()124x x y C C x =+-+.(2) 原方程对应的齐次方程的通解为121122x x x y C C x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： *x y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：8A =.所以原方程的一个特解为：*8x y =.故原方程的通解为1211822x xx y C C x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3) 原方程对应的齐次方程的通解为 ()()1212x xx y C C =-+-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax Bx C =++. 代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A =，1B =-，3C =.所以原方程的一个特解为*23x y x x =-+.故原方程的通解为()()212123x xx y C C x x =-+-+-+.(4) 原方程对应的齐次方程的通解为 122x x y C C =+（C 为任意常数）.令 5x x x y z =，则有21251523x x z z z ++-+=.该方程的一个特解为 *14x z =.故原方程的一个特解为 **1554x x x xy z ==⨯. 所以原方程的通解为121254x x x y C C =++⨯.习题* 10.6(B)1.求下列差分方程的解.(1) 01212=-+++x x x y y y ，10=y ，101=y . (2) x y y y x x x =-+++4312；(3) 42=∆x y ，30=y ，81=y ；(4) 12212=-+++x x x y y y ，00=y ，01=y .解 (1) 原方程的特征方程为2120λλ+-=.特征根为13λ=, 24λ=-.故所求通解为()1234xx x y C C =+-.由10=y ，101=y 得122,1C C ==-.故原方程满足初始条件的特解为()234xx x y =⨯--.(2) 原方程对应的齐次方程的通解为()124xx y C C =+-（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax Bx =+.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得110A =，750B =-. 所以原方程的一个特解为*2171050x y x x =-.故原方程的通解为()2121741050xx y C C x x =+-+-. (3) 由 42=∆x y ，即2124x x x y y y ++-+=.对应的齐次方程的通解为12x y C C x =+.由于1是特征方程的重根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：2A =.所以原方程的一个特解为*22x y x =.故原方程的通解为2122x y C C x x =++.由30=y ，81=y ，得123C C ==， 原方程初值问题的解为：2332x y x x =++.(4) 对应的齐次方程的通解为12(2)x x y C C =+-.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：4A =.所以原方程的一个特解为*4x y x =.故原方程的通解为12(2)4x x y C C x =+-+.由00=y ，01=y ，得1244,33C C =-=. 原方程初值问题的解为44(2)433x x y x =-+-+2. 已知a x =1，b x =2，212nn n x x x +=++ )3, 2, ,1(⋅⋅⋅=n ，求通项n x 以及n n x ∞→lim .解 将212nn n x x x +=++改写成 0212112=--++n n n x x x .该方程为二阶常系数齐次线性差分方程. 它的特征方程为021212=--λλ.特征根为：11=λ，212-=λ. 故齐次线性差分方程的通解为 nn C C x ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2121(1C ，2C 为待定常数).由初始条件a x =1，b x =2，代入上述通解，得到⎪⎩⎪⎨⎧=+=-bC C aC C 21214121， 解之得 321b a C +=，)(342a b C -=. 故所给数列的通项 221332-⎪⎭⎫⎝⎛--++=n n a b b a x ，且32lim ba x n n +=∞→. 习题*10.7(A)1. 已知某商品的需求价格弹性为(ln 1)p dQP P dP=-+，且当1=P 时，需求量1=Q . (1) 求商品对价格的需求函数；(2) 当+∞→P 时，需求是否趋于稳定？ 解 (1) (ln 1)pdQ P P dP =-+，ln (ln 1)P P dQ e P dP =-+， ln (ln )P P dQ e d P P =-.所以 ln P PP Q eC C P =-+=-.由于当1=P 时，需求量1=Q .故2C =，即2P Q P =-.(2) 当+∞→P ，0lim =+∞→Q P ，故没有需求.2. 假设某产品的销售量为)(t x 是时间t 的函数.如果该商品销售量对时间t 增长速度dtdx 与销售量)(t x 及销售量接近预饱和水平的程度()(t x N -)之积成正比（N 为饱和水平，0>k 为比例常数），且当0=t 时，N x 41=. (1) 求销售量)(t x ； (2) 求)(t x 增长最快的时刻T . 解 (1)据题意得初值问题)(x N kx dt dx -=，1(0)4x N =. 分离变量得kdt x N x dx=-)(，两边积分得Nkt xCe N x=-.解之得： 1NktNktCNe x Ce =+.由1(0)4x N =，得13C =. 所以销售量为331Nkt Nkt NktNe Nx e e -==++. (2) ()22331NktNkt dx N ke dt e ---=+， ()()3223231331Nkt NktNkt N k e e d x dt e -----=+. 令220d x dt =，得ln 3T Nk=.所以这个时候)(t x 增长最快. 3. 已知某商品的需求量Q 与供给量S 都是价格P 的函数：2)(P aP Q Q ==，bP P S S ==)(.其中0>a ，0>b 为常数，价格P 是时间t 的函数，且满足)]()([P S P Q k dtdP-= （k 为正常数）. 假定当0=t 时，价格1=P .试求： (1) 需求量等与供给量的均衡价格e P ；(2) 价格函数)(t P ；(3) )(lim t P t +∞→.解 （1）需求与供给量相等时有)()(2P S bP P aP D ===故均衡价格为 13e a p b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由条件有)]()([P S P Q k dtdP-=32()kb a p p b =-.分离变量得233e p dp kbdt p p =--，积分得 333kbt e p p Ce -=+.由 p (0)=1，得31e p C -=.故价格函数为13333()(1)kbte e p t p p e-⎡⎤=+-⎣⎦.（3）对函数p(t)求极限得13333lim ()lim (1)kbte e e t t p t p p ep -→+∞→+∞⎡⎤=+-=⎣⎦.其经济意义为：在所给方程约束下，价格函数最终趋于均衡价格.4. 某林区实行封山育林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t 木材的变化率与当时的木材数成正比.假设10年时这个林区的木材为20万立方米.若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多年后才能砍伐？解 所求函数为 ()p p t =.所满足的微分方程为()dpkp t dt=. 该方程的通解为：()kt p t Ce =由(0)10p =，得C ＝10.由，(10)20p =得1ln 210k =. 故 ln 21010t p e=.当40p =的时候，可解得20p =.也就是说20年后才能砍伐.5. 在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入Y ，国民储蓄S 和投资I 均为时间t 的函数，且在任一时刻t ，储蓄额)(t S 为国民收入)(t Y 的101倍， 投资额)(t I 是国民收入增长率dt dY 的31.0=t 时，国民收入为5（亿元）.设在任一时刻t 的储蓄额全部用于投资，试求国民收入)(t Y .解 由题意知1()()101()3()()S t Y t dY I t dt S t I t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩. 所以310dY Y dt =，解之得310t Y Ce =.再由0=t 时，国民收入为5（亿元），可得5C =，所以国民收入310()5t Y t e=.6. 设总人数N 是不变的，t 时刻得某种传染病的人数为)(t x ，设t 时刻)(t x 对时间的变化率与当时未得病的人数成正比，0)0(x x =（比例常数0>r ，表示传染给正常人的传染率）且00)(x t x =.求)(lim t x t +∞→，并对所求结果予以解释.解 由题意可得下面的微分方程()dxr N x dt=-，0)0(x x =. 用分离变量法，可得()rt x t N Ce -=-.再由0)0(x x =，得0C N x =-.故方程的解为0()()rt x t N N x e -=--.当t →+∞的时候，()x t N =.这就意味着当不采取预防措施的话，所有人都会得病. 7.（存款模型）设t S 为t 年末存款总额，r 为年利率，t t t rS S S +=+1，且初始存款为0S ，求t 年末的本利和.解 由t t t rS S S +=+1，得1(1)0t t S r S +-+=.对应的特征方程是(1)0r λ-+=，特征根1r λ=+.于是原来方程的解为(1)t t S C r =+.将初始条件代入，得0S C =，所以方程的特解为0(1)tt S S r =+.t 年末的本利和就是0(1)t t S S r =+.习题*10.7(B)1. 假设某渔场鱼量的自然增长服从Logistic 规律：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx t x 1d d ， 其中，r 为固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量. 已知渔场的初始鱼量为0)0(x x =. 试求)(t x 及)(lim t x t +∞→.解 微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx t x 1d d 它是一个可分离变量的一阶微分方程. 分离变量，得t r x N x xN d )(d =-，上式两端积分，得C rt x N x ln )ln(ln +-=-+-，即rt Ce x xN -=-. 由初始条件0)0(x x =，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10x NC .代入上式，得rt e x N N t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(0.N t x t =+∞→)(lim .2. 设)(t S 为t 时刻的储蓄，)(t I 为t 时刻的投资，)(t Y 为t 时刻的国民收入. 收入的一部分作为储蓄，收入的增长率与投资成正比，且储蓄全部用于投资. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====)0( )()(d d )()()(0Y Y t I t S t Y t I t Y t S βα，其中α，β为正常数，0Y 为初期国民收入，00>Y . 该模型称为多马(E.D.Domer)经济增长模型.试求)(t Y 、)(t S 和)(t I 的函数关系式.解 由前三个方程消去)(t S 和)(t I ，可得关于)(t Y 的微分方程Y tYλ=d d ，0>=βαλ，其通解为t Ce t Y λ=)(.由初始条件0)0(Y Y =，得0Y C =. 于是有 te Y t Y λ0)(=，从而有t e Y t Y t I t S λαα0)()()(===.3.（消费模型） 设t Y 为t 期国民收入，t C 为t 期消费，t I 为t 期的投资，它们之间有如下关系⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=+=----)(1111t t t t tt t t t I C Y Y Y bY I a Y C θβα，其中α，β，a ，b 和θ均为常数，且10<<α，10<<β，10<<θ，10<+<βα，0≥a ，0≥b .若已知初期的国民收入0Y 为已知，试求t Y 与t 的函数关系.解 将11t t C Y a α--=+和11t t I Y b β--=+代入1111()t t t t t Y Y Y C I θ-----=--并整理得1[1(1)]()t t Y Y a b θαβθ--+--=-+.其对应的特征方程是[1(1)]0λθαβ-+--=，特征根为[1(1)]λθαβ=+--.所以对应的齐次方程的通解为[1(1)]t y C θαβ=+--.假设原来方程的特解为y A *=，代入原方程得1a bA αβ+=--.所以原来方程的通解为[1(1)]1t t a bY C θαβαβ+=+--+--.由0Y 为已知，得01a bC Y αβ+=---.所以原来方程的特解为0[1(1)]11tt a b a b Y Y θαβαβαβ⎛⎫++=-+--+ ⎪----⎝⎭. 4. 设t Y 为t 期国民收入，t C 为t 期消费，I 为投资（各期相同），它们之间有如下关系：I C Y t t +=，βα+=-1t t Y C ，且已知0=t 时，0Y Y t =，其中10<<α，0>β，试求t Y 和t C .解 由I C Y t t +=，βα+=-1t t Y C ，得差分方程1t t Y Y I αβ--=+.特征方程为0λα-=，得λα=.该方程所对应的齐次差分方程的通解为t t Y C α=.由于1不是特征方程的根，可设t Y A *=为非齐次方程的一个特解，代入原来的方程得1IA βα+=-，从而通解为 1t t I Y C βαα+=+-，故011t t I I Y y ββααα++⎛⎫=-+⎪--⎝⎭， 而011t t t I IC Y I y ββαααα++⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭. 5. 设某商品的供需方程分别为⎪⎭⎫⎝⎛∆-+=--1131312t t t P P S ， t t P D 440-=，且以箱为计量单位.设1-t P 和2-t P 分别表示第1-t 期和第2-t 期的价格（单位：百元/箱），供方在t 期的售价为1131--∆-t t P P ，需方以价格t P 就可以使该商品在第t 期售完.已知40=P ，1P =413，试求t P 的表达式. 解 因为111121*********()12233t t t t t t t t S P P P P P P P -------⎛⎫⎛⎫=+-∆=+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，t t P D 440-=.依题意，t t S D =，即 124228t t t P P P --++=.特征方程为 24210λλ++=，得1,214λ=-±，1,4αβ=-=12v ==，tan βθα==23πθ=. 故方程对应的齐次方程的通解为12122(cos sin )233tt t t P C C ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1不是特征方程的根，故可设特解为t P a *=，代入得4a =.故原来方程的通解为121224cos sin 233tt t t P C C ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由已知40=P ，1P =413，得120,C C ==所以 124sin 23tt t P π⎫=⎪⎭.总习题 10(A)1. 填空题.(1)(考研题)设)sin cos (21x C x C e y x+=(1C ，2C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的解，则该微分方程为022=+'-''y y y .解 由通解可知，特征方程的特征根为i ±=12,1λ，故特征方程为0222=+-λλ.故二阶常系数线性齐次微分方程为022=+'-''y y y .(2) (考研题)二阶常系数非齐次线性微分方程xey y y 2234=+'-''的通解为x x x e e C e C y 23212-+=.解 齐次线性微分方程034=+'-''y y y 的特征方程为0342=+-λλ的特征根为11=λ，31=λ，故微分方程034=+'-''y y y 的通解为x x e C e C y 321+=.设微分方程xey y y 2234=+'-''的特解形式为xAe y 2*=，代入方程x e y y y 2234=+'-''，得2-=A ,故特解为x e y 2*2-=.所以，微分方程xey y y 2234=+'-''的通解为xx x e e C e C y 23212-+=.(3) 已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解是1)1()1(221+-+-=x C x C y .解 因为 11-=x y ，122-=x y 是对应齐次方程的两个线性无关的解.(4) 已知()xe x x C C y -++=221是某个二阶非齐次线性微分方程的通解，则该方程是x e x y y --=-''2.(5) 03='+''y y x 的通解为231C xC y +=. 解 原方程变形为xxy y d 3d -=''，积分得1ln ln 3ln C x y +-=' 即 31x C y ='，再积分，得23123112C xC C x C y +=+-=. (6) 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有的形式为b axe y x+=*.解 因为0=-''y y 的特征方程012=-λ的特征根 为12,1±=λ，而1)(+=x e x f ，1=λ为单根，所以设特解b axe y x +=*形式.(7) 微分方程0d 2d )(3=-+y x x x y 满足561==x y的特解x x y +=3*51. 解 将方程改写成2212x y x y =-'，解得 x C x C x e x e y x x x x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-3d 212d 2151d 2.由初始条件561==x y ，得1=C .故特解x x y +=3*51. (8) 过点⎪⎭⎫⎝⎛0,21且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为)(arcsin 1C x xy +=.解 所给方程改写成xx x y y arcsin 11arcsin 2=-+'，)(arcsin 1d arcsin 1d 1arcsin 1d 1arcsin 122C x x C x e x e y x x x xx x+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰---.(9) (考研题)微分方程02='+''y y y 满足10==x y ，210='=x y 的解1+=x y .解 令p y ='，则y p py d d =''，则原方程变为0d d 2=+p ypyp， 即0=p 或0d d =+p ypy由于0=p 不满足210='=x y ，故0d d =+p y py . 方程分离变量，得到解 yC p y 1=='. 代入初始条件10==x y，210='=x y ，得到211=C ，即 yy 21='，即22C x y +=. 由10==x y ，12=C .故所求特解为1+=x y .(10) 设线性无关的函数1y ，2y ，3y 都是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，则该非齐次方程的通解是3212211)1(y C C y C y C y --++=.解 因31y y -与32y y -是对应齐次方程的解，且由1y ，2y ，3y 线性无关，得到31y y -与32y y -也是线性无关的，故非齐次方程的通解是32122113322311)1()((y C C y C y C y y y C y y C y --++=+-++-=.2. 选择题.(1) 下列函数（ A ）中是方程xyy 2='的解. (A) 24x y =； (B) xy 2= ； (C) x y 1=； (D) xy 52=.(2) 方程x e y -=''的通解为=y （ C ）.(A) x e -； (B)x e - ； (C)21C x C e x ++-； (D) 21C x C e x ++--. (3) 下列方程中为线性方程的是（ C ）.(A) 02)(2=+'-'x y y y x ； (B)0)(5)(7542=+-'+''x y y y ； (C)0)()(2222=++-dy y x dx y x ； (D) 0=+'+''y y y x . (4) 下列方程中，属可分离变量的方程是（ C ）.(A) 0)sin(=+ydy dx xy x ； (B))ln(y x y +=' ；(C) y x dx dy sin =； (D) 221y e y x y x =+'. (5) 微分方程0=+xdyy dx 满足43==x y 的特解是（ A ）.(A) 2522=+y x ； (B)043=+y x ； (C) C y x =+22； (D) 222=-x y .(6) 微分方程xe y dxdy dx y d =++222是（ (B)、(C)、(D) ）. (A) 齐次； (B) 线性的 ； (C) 常系数的； (D) 二阶的.(7) 微分方程022=+y dx yd 的通解为（ D ）.(A) x A y sin =； (B) x y cos =； (C) x B x y cos sin +=； (D) x x A y cos sin +=.3. 求下列微分方程的通解.(1) 023=+'+ye y xy ； (2) n x x e x ny dx dy =-；(3) x y y y -='； (4) x yx y dx dy 22+-=； (5) 2x y y ='+''； (6) 22093++=+'-''x ey y y x.解 (1) 方程可化为3313x ydy e e -=dx ， 上式两端积分得C e ex y +=-33（C 为任意常数）.(2) 对应的齐次方程0dy ny dx x-=，可以得到一个特解 n y x *=.此时利用系数变异法可设原方程的解为()n y A x x =.将上式代入原来的方程可解得11()()()n n n x n A x x nA x x nA x x e x --'+-=.即()xA x e '=，即()xA x e C =+.从而原方程的通解为()x n y e C x =+（C 为任意常数）.(3) 原方程可化为1dx x dy y=-， 利用一阶线性方程的通解公式得11()dydyy y x eC edy -⎰⎰=+⎰（C 为任意常数）⎪⎭⎫⎝⎛+=2211y C y . 即 C y xy =-22. (4) 令y ux =，则dy duu x dx dx=+，从而可化为分离变量方程du x dx=，得到 ln(ln ||u x C =-+.将y ux =代入上式化简得y C =.(5) 对应的齐次方程的特征方程20λλ+=的根为120,1λλ==-，所以对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.假设原来方程的特解是 2()y x Ax Bx C *=++，代入原来的方程，解得1,1,23A B C ==-=. 故原来方程的通解为3212123x Y C C e x x x -=++-+.(6) 对应的齐次方程的特征方程 29200λλ-+=的根为124,5λλ==，所以对应的齐次方程的通解为4512x x Y C e C e =+.假设原方程的特解设为 3xy Ae Bx C *=++，代入原方程，解得1149,,220400A B C ===. 故原方程的通解为453121149220400x x x Y C e C e e x =++++. 4. 求下列微分方程满足初始条件的特解. (1) 2211xy y x y +--='，11==x y；(2) x x y y xx y sin )1(133232+=++'，10==x y ；(3) dx y x xydy )(22+=，e y ex 2==；(4) 022=-'-''x ey y ，10==x y，10='=x y ；(5) x y y y cos 2=+'+''，00==x y ，230='=x y . 解（1）分离变量得=，两边积分得=-，即C =.将初始条件11x y ==代入上式，得C =故所求特解为（2）方程两端除以2y 得211333()(1)sin 1x y y x x x--'-+=++. 令1z y -=，可得到关于变量z 的一阶线性方程2333(1)sin 1dz x z x x dx x-=-++. 利用常数变易法求出通解，再代回变量和初始条件，得特解为3sec 1xy x =+. （3）22dy x y dx xy +=， 即 21()y dy x y dxx+=， 令y u x =，则dy du u x dx dx=+，代入上式得21du u u x dx u++=.分离变量得 1udu dx x =， 两边积分得 1udu dx x=⎰⎰.即 211ln 2u x C =+.将 yu x=，e y e x 2==代入，解得11C =.故所求特解为222(ln 1)y x x =+.（4）特征方程为220r r -=，特征根为120,2r r ==. 设特解为 *20xy b xe =，代入题设方程解得 012b =. 故所求通解为221212x x y C C e xe =++.将01,1x x yy =='==代入上式，解得 1231,44C C ==.则所求特解为231(12)44x y x e =++.(5) 特征方程为2210r r ++=，特征根为121r r ==-. 对应的齐次方程的通解为 12()xY C C x e -=+.设方程的特解为 *cos sin y A x B x =+， 代入得 10,2A B ==.则方程的一个特解为 *1sin 2y x =.原方程的通解为121()sin 2x y C C x e x -=++.将00==x y，230='=x y 代入上式，得120,1C C ==. 则所求特解为1sin 2x y xe x -=+.5. 求下列差分方程的通解.(1) tt t y y 3231+=++；(2)t y y t t 3sin 21π=-+；(3) tt t t y y y 3426512⋅+=+-++.解 (1) 对应的特征方程为30λ+=，特征根为3-，所以齐次方程的通解为(3)t y C =-，假设一个特解为3ty A B =+，代入原来的方程得12A =，16B =.所以原来方程的通解为11(3)326t t y C =-++.(2) 对应的特征方程为20λ-=，特征根为2.所以对应的齐次方程的通解为2t t Y C =.设原方程的特解为*cossin33t y A t B t ππ=+代入原方程，得3034A B ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 解之得3A =，1B =. 故原方程的通解为*2cos sin 333t t t t y Y y C t t ππ=+=++. (3)原方程对应齐次方程的特征方程是2560λλ-+=.特征根是122,3λλ==，此时对应齐次方程的通解为1223t t t Y C C =+.设一个特解为*3tt y A Bt =+，代入原来的方程得1A =，43B =. 所以原来方程的通解为*12423133t t t t t t y Y y C C t =+=+++⋅.6. 求差分方程 xx x x x y y y 329612+=+-++，满足初始条件10=y ，31=y 的特解.解 对应的齐次方程的特征方程为2690λλ-+=，特征根为123λλ==.对应的齐次方程的通解为12()3x y C C x =+.对方程21692x x x y y y x ++-+=，可设它的一个特解为y Ax B *=+，代入可得到12A B ==. 对21693xx x x y y y ++-+=，由于3是特征方程的重根，故可设它的一个特解为23x y x C *=，代入可得到118C =，所以原来方程的通解为 122111()383221x x x y C C x x ++=++.由初始条件10=y ，31=y ，得1211,29C C ==，故原来方程的特解为211111()33292218x x x x x y ++=++.总习题 10(B)1. 设可导函数)(x f 满足⎰⎰-+=xxdt t x tf x dt t f 0)()(，求)(x f .解 令 t x u -=，则⎰⎰⎰-=--=-0)()()()()(xxxdt t f t x du u f u x dt t x tf .于是，原来的方程等价于()()()xxf t dt x x t f t dt =+-⎰⎰，再两边求导得()1()xf x f t dt =+⎰.此时有(0)1f =，再求导得()()f x f x '=，所以()xf x Ce =.由(0)1f =得1C =. 所以 ()xf x e =.2.已知x e y =是微分方程x y x P y x =+')(的一个解，求此微分方程满足条件02ln ==x y的特解.解 将xe y =代入方程x y x P y x =+')(得()(1)xP x x e -=-，所以可得原来的方程是(1)x xy x e y x -'+-=，即 (1)1x y e y -'+-=.对应的齐次方程的通解为 xx e y Ce -+=. 所以原来方程的通解为xx e x y Ce e -+=+.由02ln ==x y得12C e -=-.所以要求的特解是12x x e xy e e-+-=-.3. 已知曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. 解 设所求曲线方程为 )(x f y =，),(y x P 为其上任一点，则过P 点的曲线的切线方程为)(x X y y Y -'=-.由假设，当0=X 时 x Y =，从而上式成为11d d -=-y xx y . 因此求曲线)(x y y =的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-'=1111x y y xy ，的特解. 由公式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )(，得 )d e)1((ed 1d 1C x y xx xx +⎰-⎰=-⎰=Cx x x +-ln ，代入11==x y得 1=C ，故所求曲线方程为)ln 1(x x y -=.4. 某银行账户，以连续复利方式记息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度使用这一账户支付职工工资，若t 以年为单位，写出余额)(t f B =所满足的微分方程，且问当初始存入的数额)0(0f B =为多少时，才能使20年后账户中的余额减之为0元.解 由题意可得如下的方程0.0512000dBB dt=-. 利用分离变量法解此方程得0.05e 240000t B C =+，由00|t B B ==，得0240000C B =-.故 ()0.050240000e 240000t B B =-+. 由题意，令20t =时，0,B =即()00240000e 240000B =-+.由此得10240000240000e B -=-⨯时，20年后银行的余额为零.5.（新产品的推销问题）设某种耐用的新产品在某地区进行推销，最初商家会采取各种宣传活动以打开销路.假设该产品确实受欢迎，则消费者会相互宣传，使购买人数逐渐增加，销售率逐渐增大.但由于该地区潜在消费总量有限，所以当购买者占到潜在消费总量的一定比例时，销售速率又会逐渐下降，且该比例越接近于1，销售速率越低，这时商家就应更新商品了.(1) 假设潜在消费总量为N ，在任一时刻t 已经出售的新商品总量为)(t x ，试建立)(t x 所满足的微分方程；(2) 假设0=t 时，0)0(x x =，求出)(t x ； (3) 分析)(t x 的性态，给出商品的宣传和生产策略. 解 (1)()dxkx N x dt=-，k 为比例系数. (2) 利用分离比例法得通解为解之得 11Nkt Nkt NktCNe Nx Ce Ce -==++，由0)0(x x =，得01NC x =-. 0111NktNktNktCNe N x CeN e x -==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭31 (3) 分析)(t x 的性态()221NktNkt dx CN ke dt Ce --=+， ()()3223211Nkt Nkt Nkt CN k e Ce d x dt Ce ----=+. 显然0dx dt >，所以x 单增.令220d x dt =可以推出2N x =，也就是说当销售量小于最大需求量一半的时候，销售速率不断增大，当销售量大于最大需求量一半的时候，销售速率不断减少，当销售量等于最大需求量一半的时候，商品最为畅销.6. 设t S 为t 期的储蓄，t I 为t 期的投资，t Y 为t 期的国民收入，它们之间有如下的关系式⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=≥<<+=-0,0,)(0,10,1δδβαβαt tt t t t t I S r Y Y r I Y S ， 试求t Y ，t S ，t I .解 将t S ，t I 代入t t S I δ=得1()t t t Y r Y Y αβδ-+=-，即1()t t r Y rY αδδβ---=-.对应的齐次方程的通解为t r y C r δδα⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 原来方程的特解为y βα*=-，所以原来方程的通解为 tr Y C r δβδαα⎛⎫=- ⎪-⎝⎭. 假设0Y 已经知道，那么0C Y βα=+，那么原来方程的特解为0()tr Y Y r βδβαδαα⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，此时有 0()t t r S Y r δαβδα⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，01()t t r I Y r δαβδδα⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.。