微分方程与差分方程习题课总结

微分方程与差分方程详解与例题第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。

二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：pxdxq(x)e pxdxye dxC齐次型微分方程yyf()y x令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。

，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）y f(x)，直接积分；（2）y f(x,y)，令y p，（3）y f(y,y)，令y p，则y dp pdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2p q0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)e x P m(x)和f(x)e axP l(~xx)cosxp n(x)sin设置特解y的形式，然后使用待定系数法。

四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。

一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dy f1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。

习题10-11. 指出下列方程的阶数：(1)4620x y y x y '''''-+=． (2)22d d 0d d Q Q Q L R t c t++=． (3)2d cos d ρρθθ+=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =．(2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =．(3)20y y y '''++=， x y x e -=．(4)22d 0.4d s t=-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；(3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=；(4)是，代入，212d d 0.4,0.4d d s s t C t t=-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t += 的通解.解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足222d 0d x k x t+=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解.4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t+=的通解,求满足初始条件 x | t =0 =2, x '| t =0 =0的特解.解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠习题10-21. 求下列微分方程的通解：(1)()2310y y x '++=； (2) 2+'=x y y ；(3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2d d d d x xy y y x y y +=+；(5) 22d d d d y y y xxy x x +=； (6) d d y x y x x y-=+； (7) 22d d y y x xy x=+； (8) )2(tan 212y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得()231d =d y y x x+-两端分别积分：()34111=+34y x C,+-这就是方程通解 .(2)这是可分离变量方程，分离变量得2d =2d y x y x-两端分别积分：122+ln2y x C ,--=⋅即12+202x y C (C ln C )--==⋅这就是方程通解 .(3)这是可分离变量方程，分离变量得d d cos y cos xy x sin y sin x=两端分别积分：ln sin y ln sin x lnC,-=--即sinx sin y Ce =这就是方程通解 .(4)这是可分离变量方程，分离变量得21d =d 11y y x y x --两端分别积分：21111+22ln(y )ln(x )lnC,-=-即221+1y C(x )=- 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d u u x u-=两端分别积分：ln u u x C -=+即ln y yx C x x-=+ 这就是方程通解 .(6)这是齐次方程，化简得1d d 1yy x yx x-=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 21d d 12u u x u u +=--，两端分别积分：211ln 1222u u x C ---=+ 即222ln 10y y x C x x--++=这就是方程通解 .(7)这是齐次方程，化简得2d d 1y y x yx x⎛⎫ ⎪⎝⎭=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d u u x u +=-，两端分别积分：ln u u x C +=-+ 即ln 0y y x C x x++-= 这就是方程通解 .(8)这是特殊方程，用换元法，令,2y x u +=则d 1d 1,d 2d y u x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入原方程并整理 2cos ud d u x =，两端分别积分：11sin 224u u x C +=+即42sin(24)40y x x y C -++-=这就是方程通解 .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 3sin y y x '=， (0)1y =；(2) 222(1)(1)x y y x +'=+， (0)0y =； (3)d tan d y y y x x x =+，(1)6y π=； (4) 222d d 2x yx xy y y xy=-+-，(0)1y =． 解 (1)分离变量：31d sin d y x x y =． 两端分别积分：31d sin d y x x y =⎰⎰． 解得：21cos 2x C y -=-+． 将(0)1y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为212cos 1x y =-． (2)分离变量：2221d d 1(1)xy x y x =++． 两端分别积分：211arctan d 2(1)y x C x =-⋅++．将(0)0y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为2111arctan d 2(1)2y x x =-⋅++．(3) 这是齐次方程,令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d .tan u x u= 两边积分得,ln sin ln C x u +=即.sin x Ce u =变量回代得所求通解.sinx Ce xy=由(1)6y π=代入通解，得612C e π-=，故所求初值问题的解为61sin .2x y e e x π-=3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设曲线方程为：()y f x =由题意可得方程: 2002y yy x x-'==--,且(1)2y =，解分离变量方程得：xy C =,由(1)2y =得2C =，故所求曲线为：2xy =.4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t 的变化规律.解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =建立该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dtdT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT-=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=). 从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=习题10-31. 求下列微分方程的通解：(1) cos sin x y y x e '+=； (2) 2x y y e '-=；(3) 2(1)x x y x y e '=-+； (4) 22d (2)d 0y x x x y y y +--=；(5) ()1y x e y '-=； (6) 3(1)2(1)2x y y x y-'=+- 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中()sin ,P x x =cos ()x Q x e =． 首先求出Pd sin d cos x x x x ==-⎰⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos cos x x Ce xe =+．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),2P x =-1()2x Q x e =．首先求出Pd 2x x -=⎰ (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰24x x Ce =+．(3) 这是一阶线性非齐次方程，其中1()1,P x x =-21()x Q x e x =．首先求出Pd ln x x x =-⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰2x xe e C x x=⋅+．(4)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程212d 1d y x x y y -+⋅=， 于是，212()yP y y -=()1Q y =． 首先求出1Pd 2ln y y y=--⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为112ln 2ln 1d yy yyx e ey C +--⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰11122221d y yy y e e y C Cy e y y -⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰.(5)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d d y xx e y--=-， 于是，()1P y =-()y Q y e -=-．首先求出Pd y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为()d y y y xe e e y C --=-⋅+⎰12y y e Ce -=+.(6)令,1-=x yu 则d d (1),d d y u u x x x=+-代入原方程并整理 22d d .31u xu u x =-- 两边积分得,ln ln )3ln(2C x u +-=-变量回代得所求通解223.(1)y Cx x-=-2. 求解下列初值问题：(1) 2(2)d d 0y x y x x y -+=，1x y e ==； (2)sin x y y x '+=，()1y π=； (3) 2y y x y '=-，(2)1y =； (4) 5y y x y '-=，(0)1y =.解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得2d (12)0d y x y x x -+⋅=， 其通解为2(12)1d 2=x xx xy Ce Cx e --⎰=，将初始条件1x y e ==代入上式，可得1C =，故所求特解为12=xy x e ．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x =1()sin Q x x x =．首先求出Pd ln x x =⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos C xx-=将初始条件()1y π=代入上式，可得1C π=-，故所求特解为1cos x y xπ--=．(3)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d 1d x x y y y-=-， 于是，1()P y y=-()Q y y =-．首先求出Pd ln y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为1()d x y y y C y ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭⎰2Cy y =-.将初始条件(2)1y =代入上式，可得3C =，故所求特解为23x y y =-．(4) 这是伯努利方程，以5y 除方程的两端,得54d ,d y y y x x ---=即44d()1,4d y y x x ----= 令4,z y -=则上述方程变为 d 44.d zz x x+=- 解此线性微分方程(过程略)，可得414x z x Ce -=-++，得所求通解为4441()4x y z x Ce -==-++，将初始条件(0)1y =代入上式，可得34C =，故所求特解为44413()44x y z x e -==-++．3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：(1) d 11d y x x y-=-； (2) d 4d y y x x x -=.解 (1)令y x u -=则d d 1,d d y ux x=+原方程化为d 1d u x u=-. 分离变量,得d d u u x =-， 两端积分得22u x C =-+ 以y x u -=代入上式,得通解2()2y x x C -=-+.(2)这是伯努利方程，其中214,(),()2n P x Q x x x==-=，则有公式得通解 1(1)()d (1)()d 12()(1)d n P x x n P x x nyy e Q x n e x C ----⎛⎫⎰⎰==-+ ⎪⎝⎭⎰ 2ln 22ln 1(d )2x x e x e x C -=⋅⋅+⎰21().2x C x =+ 4. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和. 解：由题意可得方程d 2d yx y x=+， 这是一阶非齐次线性方程，其中()1,P x =-()2Q x x =，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰22x x Ce -=--+.习题10-41. 求下列微分方程的通解：(1) sin 2y x x ''=-； (2) 2cos x y e x '''=-； (3) -20x y y '''= ； (4) 4x y y x '''+=； (5) 2=2()y y '''； (6) 31y y ''= 解：(1) 21cos ,y x x C '=--+3121sin ,3y x x C x C =--++(2) 211sin 2x y e x C ''=-+,2121cos ,4x y e x C x C '=+++2212311sin .82x y e x C x C x C =++++(3) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程20xp p '-=． 分离变量，得12d d p x p x=. 两边积分得: 21p C x =再积分一次即得原方程的通解为 31213y C x C =+．(4) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程4xp p x '+=．整理，得4pp x'+=， 这是一阶非齐次线性方程，解得12C p x x=+再积分一次即得原方程的通解为 212ln y C x x C =++．(5)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py py''=,原方程化为 2d 2d ppp y=． 分离变量得d 2d py p=．两边积分得： 211y p C e =．再由211d d y yC e x=，解得212y e C x C -=+． (6)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py py''=,原方程化为 3d d y p p y =．得22112211C y p C y y -=-+=．解得：d d y x可解得通解为：221121()C y C x C -=+．2. 求解下列初值问题：(1) 12cos y x x '''=+,(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==；(2) 21,x y x y '''+=10,x y==11x y ='=；(3) 2()yy y '''=，(0)(0)1y y '==. 解 (1)相继积分三次得出:216sin y x x C ''=++，3122cos y x x C x C '=-++，4212311sin 22y x x C x C x C =-+++， 以(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==代入后可得出1231,2,1C C C ===-，于是所求特解为4211sin 2122y y x x x x ==-++-． (2)令,y p '=代入方程并整理,有211.p p x x'+=这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得11(ln )p y C x x'==+由条件11x y ='=得11,C =所以1(1ln )y x x'=+两端再积分,得221ln (ln ).2y x x C =++又由条件10,x y ==得20,C =于是所求初值问题的解为21ln (ln ).2y x x =+(3)令,y p '=由d d py p y''=代入方程并化简得d .d p y p y= 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p y Cy '== 再分离变量,得d d ,yx Cy= 由初始条件(0)(0)1y y '==得出1,C = 从而得d d ,yx y= 再两边积分,得1x y C e =, (0)1y =，得11,C =从而所求特解为x y e =.3. 已知平面曲线()y f x =的曲率为32(1)y y '''+,求具有常曲率(0)K K >的曲线方程.解：由题意得方程32(0)(1)y K K y ''=>'+，令(),y p x '=代入方程,有32(1)p K p '=+ 即32d d .(1)p K x p =+解之，得1121Kx C p =++ 32d d .(1)p K x p =+习题10-51.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1) 22,;x x e x e (2) ,()ax bx e e a b ≠；(3) 1cos 2x +，2sin x ； (4) cos ,x sin x .解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.2. 验证1y x =与2x y e =是方程(1)0x y xy y '''--+=的线性无关解，并写出其通解.解：当1y x =，11y '=，10y ''=，代入满足方程；当2x y e =，2x y e '=，2x y e ''=，代入也满足方程；另外，1y x =，2x y e =是线性无关的（由定义可知），方程的通解为：112212x y C y C y C x C e =+=+.3. 求下列微分方程的通解：(1) 230y y y '''--=； (2) 280y y y '''--=； (3) 440y y y '''++=； (4) 690y y y '''-+=； (5) 250y y y '''++=； (6) 160y y ''+= ; (7) x y y x e ''+=+ ； (8) 4sin y y x ''+=.解：(1) 特征方程2230r r --=的根为：121=3r r =-，,通解为312x x y C e C e -=+； (2) 特征方程2280r r --=的根为：1224r r =-=，,通解为2412x x y C e C e -=+； (3) 特征方程2440r r ++=的根为：122r r ==-,通解为2212x x y C e C xe --=+； (4) 特征方程2690r r -+=的根为：123r r ==,通解为3312x x y C e C xe =+；(5) 特征方程2250r r ++=的根为：1,212r i =-±,通解为12(cos2sin 2)x y e C x C x -=+； (6) 特征方程2160r +=的根为：1,24r i =±,通解为12cos4sin 4y C x C x =+； (7) 特征方程210r +=的根为：12r r i ==±,齐次通解为12cos sin y C x C x =+； ()x f x x e =+可以看成是1()f x x =与2()x f x e =之和．所以分别求方程y y x ''+=与方程x y y e ''+=的特解． 容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．按例9的方法可求得方程x y y e ''+=的一个特解为：212x y e =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x e +．故原方程的通解为y y Y =+=12x x e +12cos sin C x C x ++.(8) ()4sin f x x =为(cos sin )αx e A ωx B ωx +型的函数，且0α=，1ω=，αωi i +=是特征方程210r +=的根，所以取1k =．设特解为()cos sin y x C x D x =+．()cos sin cos sin y C x D x x D x C x '=++-． 2cos 2sin (cos sin )y D x C x x C x D x ''=--+．代入原方程，得 2cos 2sin 4sin D x C x x -=．比较两端sin x 与cos x 的系数，得2,0C D =-=，故原方程的特解为2cos y x x =-． 而对应齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+.于是原方程的通解为y y Y =+2cos x x =-＋12cos sin C x C x +． 4. 求解下列初值问题：(1) 20,y y y '''++=y |x =0=4、y '| x =0=-2；(2) 20y y y '''-+=,(0)(0)1y y '==解：(1) 特征方程2210r r ++=的根为：121r r ==-,通解为12x x y C e C xe --=+；代入初值条件00|4|2x x y y =='==-、，得124,2C C ==，方程特解为42x x y e xe --=+.(2) 特征方程2210r r -+=的根为：121r r ==,通解为12x x y C e C xe =+；代入初值条件(0)(0)1y y '==，得121,0C C ==，方程特解为x y e =.5. 求下列微分方程的一个特解：(1) 2331y y y x '''--=+； (2) 94y y x '''+=-；(3) 2x y y y e '''-+=； (4) 9cos 21y y x x ''+=++.解：(1) 因为()31f x x =+，且y 的系数30q =-≠，设特解为y Ax B *=+． 则()y A '*=，()0y ''*=，代入原方程，得23()31A Ax B x --+=+，使两端x 同次幂的系数相等：11,2A B =-=,所求的特解为12y x *=-+．(2) 因为()4f x x =-，且y 的系数0q =，设特解为()y x Ax B *=+． 则()2y Ax B '*=+，()2y A ''*=，代入原方程，使两端x 同次幂的系数相等得，137,1881A B -==,所求的特解为21371881y x x *=-．(3) 1α=是特征方程2210r r -+=的重根，取2k =，所以可设原方程的特解为2x y Bx e =，则22224x x x x x y Bxe Bx e y Be Bxe Bx e '''=+=++，，代入原方程得解得12B =，故方程有一特解为212x y Bx e =.(4) ()cos 21f x x x =++可以看成是1()21f x x =+与2()cos f x x =之和． 所以分别求方程921y y x ''+=+与方程9cos y y x ''+=的特解． 容易求得方程921y y x ''+=+的一个特解为：12199y x =+．另求得方程9cos y y x ''+=的一个特解为：21cos 8y x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝211cos 998x x ++．习题10-61. 求下列函数的一阶与二阶差分：(1) y t =3t 2-t 3； (2) y t =e 2t ； (3) y t =ln t ； (4) y t =t 2·3t .解：(1) ()()()2323231133+32t y t t t t t t ∆=+-+--=-+［］,()22()3+326t t y y t t t ∆=∆∆=∆-+=-；(2) 2(1)222e e e (1)t t t t y e +∆=-=-,()22222222()e (1)(1)(e )e (1)t t t t t y y e e e ∆=∆∆=∆-=-⋅∆=-，(3) ln(1)ln t y t t ∆=+-,()2()ln(1)ln ln(2)2ln(1)ln t t y y t t t t t ∆=∆∆=∆+-=+-++ (4) ()()21221333263t t t t y t t t t +∆=+-=++,()()()()22122()326332(1)693263t t t t t y y t t t t t t +∆=∆∆=∆++=+++-++()2342430t t t =++2. 将差分方程Δ2y t +2Δy t =0表示成不含差分的形式.解：因为1t t t y y y +∆=-，21()t t t t Δy ΔΔy Δy Δy +==-212t t t y y y ++=-+， 故220t t y y ∆+∆=可化为211222()0t t t t t t t y y y y y y y ++++-++-=-= 3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶： (1) y t +5-y t +2+y t －1=0; (2) Δ2y t -2y t =t ；(3) Δ3y t +y t =1； (4) 2Δy t =3t -2y t ； (5) Δ2y t =y t +2-2y t +1+y t .解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7； (2) 是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为212t t t y y y t ++--=，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(3)是差分方程.由于Δ3y t 32133t t t t y y y y +++=-+-，方程变为321331t t t y y y +++-+=，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(4) 将原方程变形为2(y t +1-y t )= 3t -2y t ，即2y t +1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.(5) 不是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为00=，所以不是差分方程.4. 验证y t =C (-2)t 是差分方程y t +1+2y t =0的通解.解：112(2)2(2)0t t t t y y C C +++=-+-=，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.习题10-71. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解： (1) y t +1-2y t =0； (2) y t +1+3y t =0； (3) 3y t +1-2y t =0.解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为 y t =C 2t . (2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为 y t =C (-3)t . (2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为23λ=-，于是原方程的通解为()2.3tt y C =- 2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) y t +1-3y t =0，且y 0=3； (2) y t +1+y t =0，且y 0=-2.解 (1)特征方程为30λ-=,特征根为3λ=，于是原方程的通解为 3.tt y C = 将初始条件y 0=3代入，得出C =3，故所求解为13.t t y +=(2)特征方程为10λ+=,特征根为1λ=-，于是原方程的通解为(1).t t y C =- 将初始条件y 0=-2代入，得出C =-2，故所求解为2(1).t t y =-- 3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解： (1) y t +1+2y t =3； (2) y t +1-y t =-3； (3) y t +1-2y t =3t 2； (4) y t +1-y t =t +1; (5) 11522tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭； (6) y t +1+2y t =t 2+4t .解 (1) 由于a =-2，k =3，令y *t =A (待定系数)，代入方程得A +2A =3，从而A =1，即y *t =1，故原方程的通解为y t =C (-2)t +1.(2) 由于a =1，k =-3，令y *t =At (待定系数)，代入方程得A =-3，即y *t =-3t ，故原方程的通解为y t =-3t+C .(3) 设y *t =A 0+A 1t +A 2t 2为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得A 0=-9，A 1=-6，A 2=-3.从而*2963t y t t =-+--,故原方程的通解为29632.t t y t t C =-+--+(4) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,可得0112A A ==,从而*1(1)2t y t t =+,故原方程的通解为1(1).2t y t t C =++(5) 由15122a k b ===，，，令原方程有一个特解为*5·()2t t y A =，解得35A =. 于是原方程的通解为()351·().522tt t y C =+ (6)设f 1(t )= t 2，f 2(t )= 4t ，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )= t 2，因a =-2≠1，可令特解y *t 1= A 0+A 1t +A 2t 2；对于f 2(t )= 4t ，因a =-2≠4，可令y *t 2=B4t故原方程的特解可设为y *t = A 0+A 1t +A 2t 2 +B4t ，代入原方程，得0121211,27934A A AB =-=-==-，，，于是21121 42793t t y t t *-=-+-+-，故所求通解为21121 4(2).2793t t t y t t C -=-+-+-+- 4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解： (1) y t +1-y t =3+2t ，且y 0=5； (2) 2y t +1+y t =3+t ，且y 0=1; (3) y t +1-y t =2t -1，且y 0=2.解 (1) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得012,1A A ==,从而*(2)t y t t =+,故原方程的通解为(2).t y t t C =++又有初始条件y 0=5，可知5C =，故特解为(2) 5.t y t t =++(2) 由于12a =-,设y *t =A 0+A 1t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,可得0171,93A A ==,故原方程的通解为171().392t t y t C =++-又有初始条件y 0=1，可知29C =，故特解为1721().3992t t y t =++⋅-(3) 由a =1可知，对应的齐次方程的通解为y t =C . 设f 1(t )=2t ，f 2(t )=-1，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )=2t ，因a =1≠3，可令y *t 1=A 2t ；对于f 2(t )=-1，因a =1，可令y *t 2=Bt .故原方程的特解可设为y *t =A 2t +Bt ，代入原方程，得11A B ==-，,故所求通解为2t t y C t =+-又有初始条件y 0=2，可知1C =,故特解为12t t y t =+-.5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记y t 为第t 个月后还需偿还的债务，a 为每月的还款额，写出y t 所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.解 先对问题的进行分析， 第1个月后还需偿还的贷款为y 1= y 0 (1+1%)-a;第2个月后还需偿还的贷款为y 2=y 1(1+1%)-a ;……第t +1个月后还需偿还的贷款为y t +1=y t (1+1%)-a ，即y t +1-1.01y t =-a .这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y *t =A ，代入得到100A a =，于是有通解(1.01)100t t y C a =+.代入初始条件y 0=25000，及12(1.01)1000t y C a =+=得1210025000(1.01)1000C a C a +=⎧⎨+=⎩， 从上面的等式解得1212250001.011001.01100a ⋅=⋅-.6. 设某产品在时期t 的价格、供给量与需求量分别为P t ，S t 与Q t (t =0，1，2，…).并满足关系：(1)S t =2P t +1，(2)Q t =-4P t －1+5，(3) Q t =S t .求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程P t +1+2P t =2.若已知P 0，求上述差分方程的解. 解 由题意可得2P t +1=-4P t －1+5，即2P t+1=-4P t +4，得差分方程P t +1+2P t =2，容易求得方程的特解为：*23y =，方程的通解为：2(2)3t y C =+-,00,t y p ==当时，023C p =-所以,故所求差分方程的解为022()(2).33t y p =+--7. 设C t 为t 时期的消费，y t 为t 时期的国民收入，I =1为投资(各期相同)，设有关系式 C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，其中a ，b 为正常数，且a <1，若基期(即初始时期)的国民收入y 0为已知，试求C t ，y t表示为t 的函数关系式.解 由C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，得11t t y ay b -=+－，又因为a <1，故可设特解为*y A =，代入得11b A a +=-，所以方程的通解为11t b y Ca a +=+-，00,t y y ==当时，011b C y a+=--所以,故所求差分方程的解为011()11t t b b y y a a a ++=-+--，从而01()11t t b a bC y a a a++=-+--.复习题10 （A ）1. 通解为y =C e -x +x 的微分方程是 . 解 方程是一阶的，e1xy C -'=-+，方程为1y x y '=-+.2. 通解为y =C 1e x +C 2e 2x 的微分方程是 .解 易见这是二阶常系数方程的解，特征根为121,2r r ==,特征方程为2320r r -+= 所以微分方程为320y y y '''-+=.3. 微分方程x d y -(x 2e －x +y )d x =0的通解是 . 解 方程可化为e x yy x x-'-=，通解为x y xe Cx -=-+. 4. 微分方程xy ′+y =0满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 分离变量得d d y xy x=-，通解为xy C =，初始条件y (1)=1特解为1xy .= 5. 设非齐次线性微分方程y ′+P (x )y =Q (x )有两个不同的解y 1(x )与y 2(x )，C 是任意常数，则该方程的通解是 .A C ［y 1(x )+y 2(x )］BC ［y 1(x )-y 2(x )］C y 1(x )+C ［y 1(x )-y 2(x )］D y 1(x )+C ［y 1(x )+y 2(x )］解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解()()12Y C y x y x =-［］，非齐次特解为：()()12=y*y x y*y x =或者，所以选择C.6. 微分方程y ″+4y =sin2x 的一个特解形式是 .A C cos2x +D (sin2x )B D (sin2x )C x ［C cos2x +D (sin2x )］ D x ·D (sin2x )解 因为0α=，2ω=，2i i αω+=是特征方程240r +=的根，所以取1k =．设特解为 ()cos2sin 2y x C x D x =+．选择C.7. 解下列一阶微分方程： (1) (1+y 2)d x =xy (x +1)d y ； (2) x (y ′+1)+sin(x +y )=0；(3) (cos )d cos d y yx y x x y x x+=； (4) xy ′+2y =sin x ；(5) tan y d x =(sin y -x )d y ； (6) (y -2xy 2)d x =x d y .解 (1)分离变量()21d d 11y y x x x y=++，积分得211ln(1)ln ln()221x y C x ++=+， 化简得22(1)()1x C y x +=+； (2)令d d ,1d d y uu x y x x=+=-则，原方程化为d d d sin 0,d sin u u x x u x u x +==-即，积分得ln(csc cot )ln ln u u x C -=-+，化简并整理得通解：1cos()sin()x y Cx y x-+=+.(3) (1cos )d d d ,,d d d cosy yy y y u x x u x u y x x x x x+===+原方程可化为令则，原方程化为d cos d x u u x =，积分得sin ln ||,u x C =+方程通解为sin ln ||.yx C x=+(4)这是一阶线性非齐次方程，2sin (),()x P x Q x x x==，所以方程通解为()d d 21(d )sin cos P x P x y e Qe x C x x x C x-⎰⎰=+=-+⎰(5) )设()x x y =，方程化为d sin cot cos d tan x y xx y y y y-==-+，这是一阶线性非齐次方程，()cot ,()cos P y y Q y y ==，所以方程通解为d d 211(d )sin sin 2P y P y xe Qe y C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰(6)方程可化22d ?22d y y xy yy x x x-==-，这是伯努利方程，其中1(),()2,2P x Q x n x =-=-=，所以方程通解为2(1)()d (1)()d 1()(1)d ,n P x xn P x x nx C ye Q x n e x C x ----+⎛⎫⎰⎰=-+= ⎪⎝⎭⎰即 2x y x Cy -=.8. 解下列二阶微分方程：(1) (1+x )y ″+y ′=ln(1+x )；(2) y ″+3y ′+2y =2x 2+x +1；(3) y ″+2y ′-3y =2e x ； (4) y ″+y =x +cos x .解 (1)易见不显含y ，令(),=,y p x y p ''''=则代入方程得()()1ln 1x p p x '++=+，即()ln 111x pp x x+'+=++，所以11()((1)ln(1))1p x C x x x x =+++-+ 1ln(1)1C x x x -=+++，两边积分12()d =(+2)ln(1)2y p x x x C x x C =++-+⎰. (2)这是二阶常系数非齐次方程，由=20,p ≠设特解为2y Ax Bx C *=++，带入方程并对比两端x 的系数，得5131,,24A B C ==-=，故非齐次特解为2513*24y x x =-+ ；齐次通解为212x x y C e C e --=+，从而方程通解为221251324x x y C e C e x x --=++-+.(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为1α=是特征方程2230r r +-=的单根，所以取1k =．设特解为x y Bx e =，代入原方程后，解得12B =，故方程的一个特解为：12x y xe =.所求的通解为31212x x x y C e C e xe =++.(4) ()cos f x x x =+可以看成是1()f x x =与2()cos f x x =之和．所以分别考察方程y y x ''+=与方程cos y y x ''+=的特解．容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．容易求得方程cos y y x ''+=的一个特解为：21sin 2y x x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x sin x +． 又原方程所对应的齐次方程40y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+， 故原方程的通解为1212y C cos x C sin x x x sin x =+++. 9. 解下列差分方程： (1) y t +1+4y t =2t 2+t -1； (2) y t +1-y t =t ·2t +3.解 (1) 由于a =4，令 y *t =A 0+A 1t +A 2t 2 (待定系数)，代入方程得23612*125255t y t t =-++，故原方程的通解为23612(4)125255t t y t t C =-+++-. (2) 分别求y t +1-y t =t ·2t 和y t +1-y t =3的特解，对y t +1-y t =t ·2t ，由a =3，b =2，可设原方程有一特解为y *t =(A 0+A 1t )2t ，代入原方程，可解得*(2)2t t y t =-+；对y t +1-y t =3，由a =1，可设原方程有一特解为y *t =Bt ，代入原方程，可解得*3t y t =；故原方程的通解为(2)23t t y C t t =+-++（B ）1. 设曲线y =f (x )过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2x ln(1+x 2)，则f (x )= .解 易得微分方程 ()22ln 1y x x '=+，直接积分得 ()()()2222ln 1d =ln 1d 1y x x x x x =+++⎰⎰，利用分部积分法()222(1)ln 1y x x xC =++-+，过点(0，-1)，代入可得1C =-，所以f (x )= ()222(1)ln 1 1.x x x ++--2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以y t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则y t 满足的差分方程是 .解 易见 1(10.01)3t t y y +=++，所以差分方程为11.13t t y y --=.3. 微分方程33d d 2y y y x x x =-满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 令,,y u y xu x ==则所以d d d d y u u x x x=+，带入方程得，3d 1,d 2u x u x =-求解得2ln ,ux C -=+即2ln ,x x C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入条件y (1)=1，可得1C =，化简得y =4. 差分方程2y t +1+10y t =5t 的通解是 .解 由51a =-≠，设特解为*t y Bt A =+，代入得55,7212A B =-=，所以通解为 55(5)7212t t y C t =--+. 5. 设三个线性无关函数y 1，y 2，y 3都是二阶线性非齐次微分方程y ″+Py ′+Qy =f (x )的解，C 1，C 2是独立的任意常数，则该方程的通解是 .A C 1y 1+C 2y 2+y 3B C 1y 1+C 2y 2-(C 1+C 2)y 3 C C 1y 1+C 2y 2-(1-C 1+C 2)y 3 D C 1y 1+C 2y 2+(1-C 1-C 2)y 3解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，121323,y y y y y y ---，是齐次方程y ″+Py ′+Qy =0的解，而且是线性无关的，所以齐次通解为：1122123C y C y (C C )y ++--，非齐次特解为：()()()123==y*y x y*y x y*y x =或或，所以选择D.6. 设f (x )=g 1(x )·g 2(x )，其中g 1(x )，g 2(x )在(-∞，+∞)内满足条件g 1′(x )=g 2(x )， g 1(x )=g 2′(x )，且g 1(0)=0，g 1(x )+g 2(x )=2e x .(1) 求f (x )所满足的一阶微分方程； (2) 求出f (x )的表达式.解 (1) 1212()()()()()f x g x g x g x g x '''=+2221()()g x g x =+21212[()()]2()()g x g x g x g x =+-2(2)2()x e f x =-故f (x )所满足的一阶微分方程为：2()2()4x f x f x e '-=.(2) 2d 2d 2()(4d )x xx f x e e e x C -⎰⎰=+⎰24(4d )x x e e x C -=+⎰24()xx ee C -=+22x xe Ce-=+由g 1(0)=0，则f (0)=g 1(0)·g 2(0)=0，代入上式得：1C =- 所以f (x )的表达式为：22()x x f x e e -=-.7. 设连续函数f (x )满足210()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰，且f (0)=1，求f (x ).解 设0()()d ,xy F x f u u ==⎰显然()y f x '=，又,00;u xt u t ===令当时，1u x t ==当时，；且d d u x t =，11()d =()d ()()d xf u u f tx x t f x x f tx t y ⋅===⎰⎰⎰则，所以210()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰可化为微分方程22(1)x y y e x '-=-，这是一阶线性非齐次方程，解得2d d 21(d )2P x P xx x y e Qe x C Ce e -⎰⎰=+=-⎰，22()2x x y f x Ce xe '==-，又因为f (0)=1，可得21C =，所以22()x x f x e xe =-.8. 在xOy 坐标平面中，连续曲线L 过点M (1，0)，其上任意点P (x ，y )(x ≠0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数a >0).(1) 求L 的方程；(2) 当L 与直线y =ax 所围成平面图形的面积为4时，确定a 的值.解 (1)由题意可得方程yy ax x'-=，这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x=-()Q x ax =，所以d d 2(d )P x P x y e Qe x C Cx ax -⎰⎰=+=+⎰，又曲线L 过点M (1，0)，故C a =-，所以曲线方程为y = ax 2 –ax.(2)由定积分的知识可知，围成面积()222230014 d ()433x x aS ax ax ax x ax ax ===-+=-==⎰，故3a =.9. 验证函数36931()3!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程y ″+y ′+y =e x；利用所得结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.解 25831(),2!5!8!(31)!n x x x x y x n -'=+++++-∞<<+∞-4732(),4!7!(32)!n x xx y x x n -''=+++++-∞<<+∞-231(),2!3!!nx x x x y y y x e x n "+'+=++++++=-∞<<+∞所以是微分方程的解，下面我们来求微分方程y ″+y ′+y =e x 的通解，这是常系数二阶0y y y "+'+=的通解为：212()xY e C C-=+，故y ″+y ′+y =e x 通解为2121()3x x y Y y eC x C e -=+=++，令369321211()3!6!9!(3)!3x n x x x x x y e C C e n -=++++++=++，下面确定系数，令0x =，得1113C=+，即123C =，两边同时求导得25831212122!5!8!(31)!111()223n x xx x x x y n e C C e --'=+++++-=--++再令0x =，得1211023C -+=，即20C =，所以3369320211cos (3)!3!6!9!(3)!33xn n x n x x x x x e e n n ∞-==++++++=+∑.习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1xy ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域； (3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx yd σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx yd σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x D x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域； (3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 24414(,)(,).y xy dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 1(,)ydy f x y dx ⎰⎰； （2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3)221(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰。

差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。

差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。

差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。

二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。

2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。

3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。

线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。

4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。

滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。

5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。

差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。

三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。

通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。

2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。

通过递推关系，可以求得差分方程的特解。

3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。

通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。

4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。

数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。

常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。

对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。

具体例子可参考书本P10—P11的例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。

对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。

这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。

将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。

微分方程解法小结PB08207038 司竹最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下：一、 一阶微分方程： F （x,y,y ＇）=0⒈可变量分离方程形如φ（x ）dx-ψ(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。

解法：两边积分得：∫φ〔x 〕dx=∫ψ〔y 〕dy 。

⒉齐次方程dx dy =φ）（x y 解法：换元。

令y=μx ，则原方程可化为可分离变量方程。

3.一阶线性微分方程dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边同时乘以一个积分因子e ⎰dx )x (P ，可得其通解公式：y=e ⎰-dx x ）（P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰c dx e )x (dx x ）（P Q 。

4.Bernouli 方程：dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边除以y n 得：+dx dy y 1n P （x ）y n 1-=Q （x ），再做代换μ= y n 1-，就化成 dxdy +（1-n ）P （x ）μ=Q （x ）的线性方程。

二、二阶微分方程F （x ，y ，y ＇，y ＇＇）=0⒈可降阶的二阶微分方程① f ( x , y ＇,y ＇＇)=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p ＇，将方程降阶为f （x ，p ，p ＇）=0的一阶方程。

② f （y ，y ＇，y ＇＇）=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=pdy dp ，将方程降阶为f （y ，p ，p dy dp ）=0. 2.二阶线性微分方程①齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=0由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y 1，用y=z y 1带入方程，整理后得出另一特解y 2= y 1dx ey 1dx x 21⎰-⎰）（P 。

(或可通过Liouville 公式，亦可得出另一特解。

)再由叠加原理得:齐次方程的通解为y=c 1 y 1+c 2 y 2。

③非齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=f （x ）解法：先解出对应的齐次方程的通解yp = c1y1+c2y2。

微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)题10.1(A)1.指出下列微分方程的阶数：1) x(y')-2yy'+x=；2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x；3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S；4) 2d^2S/dt^2+S=0.解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。

2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）；2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe；3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）；4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。

解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。

3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。

解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x-C2xe^-x。

将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以C1=2C2.所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。

将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为y=(4+2x)e^-x。

4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。

解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。

第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。

)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。

详细例子可参照书本P10—P11旳例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。

对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。

这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。

将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。

习题* 10.4(A)1. 计算下列函数的二阶差分.(1) 232x x y -=； (2) x e y 3=； (3) xx y 2)1(2++=.解 (1)32322[2(1)(1)](2)641x y x x x x x x ∆=+-+--=++， 22()(641)1210x x y y x x x ∆=∆∆=∆++=+.(2) 3(1)3x x x y ee +∆=-， 23(1)33(11)3(1)3(1)3332()()[]()(1)x x x x x x x x x y y e e e e e e e e +++++∆=∆∆=∆-=---=-.(3) x x x x x x x x y 2232]2)1[[(]2)11[(12)1(2+++=++-+++=∆++， 21()(2322)22x x x x x y y x +∆=∆∆=∆+++=+.2. 证明：xx x x x x x x x x y z z y y z z y z y ∆+∆=∆+∆=⋅∆++11)(1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y证明略. 3. 指出下列差分方程的阶数.(1) x y y x x sin 51=-+； (2) x y y x x =+++122；(3) 013=++++x x x y y y ； (4) x x x y y y =-++12.解 (1) 1阶；(2) 1阶； (3) 3阶； (4) 2阶. 4. 设)1(x y ，)2(x y 分别是差分方程)(11x f ay y x x =++，)(21x f ay y x x =++的解. 试验证：)2()1(x x y y +是差分方程)()(211x f x f ay y x x +=++的解.证明略.习题*10.4(B)1.试验证：x x x C C y )2(321-+=（1C ，2C 为任意常数）是差分方0612=--++x x x y y y 的解，并求满足初始条件00=y ，11=y 的特解.解 222123(2)x x x y C C +++=+-，111123(2)x x x y C C +++=+-，代入差分方程得22112112121211122263(2)[3(2)]6[3(2)]=3[936](2)[642]x x x x x x x x x x x y y y C C C C C C C C C C C C ++++++--=+--+--+---+--++=由00=y ，31=y 得 ⎩⎨⎧=-=+12302121C C C C ， 解之得 1211,55C C ==-.故所求特解为 3(2)55x xx y -=-. 2. 试验证：x C C y x x -+=221（1C ，2C 为任意常数）是差分方12312=+-++x x x y y y 的解，并求满足初始条件00=y ，31=y 的特解.解 22122(2)x x y C C x ++=+-+，11122(1)x x y C C x ++=+-+代入差分方程得212322(462)(2332)1x x x x y y y C x x x ++-+=-++--++-=由00=y ，31=y ，有⎩⎨⎧=+=+4202121C C C C ， 解之得 124,4C C =-=.所以特解为442x x y x =-+⨯-.3. 已知x x e y =是方程x x x e ay y 211=+-+的一个解，求a .解 因为x x e y =是方程x x x e ay y 211=+-+的一个解，所以x x x e ae e 211=+-+，即e a e 22=+，故)1(2e e a -=.4. 已知差分方程12312=+-++t t t y y y ，(1) 证明函数t C C y t t -+=221（1C ，2C 为任意常数）是差分方程的通解；(2) 当00=y ，31=y 时，求差分方程的特解.解 (1)因为)]1(2[3)2(22312122112+-+-+-+=+-++++t C C t C C y y y t t t t t 1)2(221=-++t C C t所以，函数t C C y t t -+=221是差分方程的通解.(2) 由初始条件00=y ，31=y ，得⎩⎨⎧=-+=+312 02121C C C C ， 解之得，41-=C ，42=C . 故所求特解为 t y t t -+-=+224.习题*10.5(A)1. 求下列差分方程的通解.(1) 031=-+x x y y ； (2) 125-=x x y y ；(3) 51=-+x x y y ； (4) 2231=++x x y y .解 （1）原方程的特征方程为30λ-=，特征根为3λ=.故所求通解为3x x y C =（C 为任意常数）.(2) 原方程的特征方程为520λ-=， 特征根为25λ=.故所求通解为 25xx y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. (3) 原方程对应的齐次方程的通解为 x Y C =（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y bx =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 5b =.所以原方程的一个特解为*5x y x =，故原方程的通解为5x y C x =+.(4) 原方程对应的齐次方程的通解为23xx Y C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *x y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 25A =. 所以原方程的一个特解为 *25x y =. 故原方程的通解为 *2235x x x x y Y y C ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭. 2．求下列差分方程满足给定初始条件的特解.(1) 0321=-+x x y y ，10=y ； (2) 101=-+x x y y ，20=y ；(3) x y y x x =++51，30=y ； (4) x y y x x +=-+221，40=y .解 （1）原方程的特征方程为230λ-=， 特征根为32λ=.故所求通解为 32xx y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由10=y ，得1=C ，故原方程满足初始条件的特解为 32xx y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2) 原方程对应的齐次方程的通解为 x Y C =（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 10A =.所以原方程的一个特解为*10x y x =.故原方程的通解为*10x x x y Y y C x =+=+.由02y =，得2C =，故原方程满足初始条件的特解为102x y x =+.(3) 原方程对应的齐次方程的通解为(5)x x Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax B =+代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得11,636A B ==- 所以原方程的一个特解为*11636x y x =-. 故原方程的通解为 *11636(5)x x x x y Y y C x =+=--+. 由03y =，得10936C =，故原方程满足初始条件的特解为 *10911(5)36636x x x x y Y y x =+=-+-. (4) 原方程对应的齐次方程的通解为12xx Y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： *x y Ax B =+代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得1,0A B ==.所以原方程的一个特解为*x y x =.故原方程的通解为*12xx x x Y y x y C ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由04y =，得4C =.故原方程满足初始条件的特解为*142x x x x x y Y y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.3．设a ，b 为非零常数且01≠+a ，验证：通过变换ab y z x x +-=1可将非齐次方程 b ay y x x =++1化为齐次方程，并求解x y .解 由a by z x x +-=1得1x x by z a =++，所以原式化为b a ba az ab z x x =++++++111，即10x x z az ++=.所以()xx z C a =-.故解为a ba C y x x ++-=1)(.习题*10.5(B)1. 求下列差分方程的解.(1) 0631=-++x y y x x ； (2) xx x y y 3421=++；(3) xx x y y 21=++，20=y ； (4) x y y x x πsin 341=++，10=y .解 (1) 原方程对应的齐次方程的通解为(3)x x Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax B =+，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得46040A AB -=⎧⎨+=⎩，解之得32A =，38B =-.所以原方程的一个特解为*3328x y x =-.故原方程的通解为*33(3)28x x x x y Y y C x =+=-+-. (2) 原方程对应齐次方程的特征方程为240λ+=特征根为2λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(2)x x Y C =-令 3x x x y z =，则有1641x x z z ++=该方程的一个特解为 *110x z =.故原方程的一个特解为 **13310x x x x y z ==⨯ 所以原方程的通解为 *1(2)310x x x x x y Y y C =+=-+. (3) 原方程对应齐次方程的特征方程为10λ+=.特征根为1λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(1)x x Y C =-.令2x x x y z =，则有121x x z z ++=.该方程的一个特解为 *13x z =.故原方程的一个特解为 **1223x x x x y z ==⨯. 所以原方程的通解为*1(1)23x x x x x y Y y C =+=-+⨯. 由02y =，得53C =，故原方程满足初始条件的特解为 *51(1)233x x x x x y Y y =+=-+⨯. (4) 原方程对应齐次方程的特征方程为40λ+=.特征根为4λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(4)x x Y C =-.令cos sin x y A x B x ππ=+，则有0A =，1B =.故原方程的一个特解为*sin x y x π=.所以原方程的通解为*(4)sin x x x x y Y y C x π=+=-+.由01y =，得1C =，故原方程满足初始条件的特解为(4)sin x x y x π=-+.2．设某产品在时期t 的价格为t P ，总供给量为t S ，总需求量为t D .并且有t t P S 21+=，145--=t t P D ，t t D S =（1,2,t =）.(1) 求证：由上述关系可得到差分方程 221=++t t P P ，(2) 已知0P 时，求出t P .证明 （1）由t t D S =，可知11t t S D ++=，即 11254t t P P ++=-，故 221=++t t P P .解（2） 原方程对应的齐次方程的通解为(2)t t Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *t y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数，可得：23A =. 所以原方程的一个特解为 *23t y =. 故原方程的通解为*2(2)3t t t t y Y y C =+=-+. 由0P ，得023C P =-.故原方程满足初始条件的特解为 *022()(2)33t t t t y Y y P =+=--+. 习题*10.6(A)1.求下列二阶常系数齐次线性方程的通解或在给定的初始条件下的特解.(1) 06512=+-++x x x y y y ； (2) 0251012=++++x x x y y y ； (3) 0912=++x x y y ； (4) 12340x x x y y y ----=. 解 （1）原方程的特征方程为2560λλ-+=.特征根为122,3λλ==.故所求通解为1223x x x y C C =+.(2) 原方程的特征方程为210250λλ++=.特征根为125λλ==-.故所求通解为12()(5)x x y C C x =+-.(3) 原方程的特征方程为2109λ+=. 特征根为1,213i λ=±.故所求通解为 121cos sin 322x x y C x C x ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4) 原方程的特征方程为 2340λλ--=.特征根为14λ=, 21λ=-.故所求通解为()1241xx x y C C =+-.2.求下列二阶常系数齐次线性方程的通解或在给定的初始条件下的特解.(1)54312=-+++x x x y y y ； (2)84412=+-++x x x y y y ；(3)204623212++=++++x x y y y x x x ；(4)x x x x y y y 532312⨯=+-++；(5)x y y y x x x =-+++4312； (6)42=∆x y ，30=y ，81=y ； (7)12212=-+++x x x y y y ，00=y ，01=y .解 (1) 原方程对应的齐次方程的通解为()124xx y C C =+-（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *x y Ax =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A =.所以原方程的一个特解为*x y x =.故原方程的通解为()124x x y C C x =+-+.(2) 原方程对应的齐次方程的通解为121122x x x y C C x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： *x y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：8A =.所以原方程的一个特解为：*8x y =.故原方程的通解为1211822x xx y C C x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3) 原方程对应的齐次方程的通解为 ()()1212x xx y C C =-+-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax Bx C =++. 代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A =，1B =-，3C =.所以原方程的一个特解为*23x y x x =-+.故原方程的通解为()()212123x xx y C C x x =-+-+-+.(4) 原方程对应的齐次方程的通解为 122x x y C C =+（C 为任意常数）.令 5x x x y z =，则有21251523x x z z z ++-+=.该方程的一个特解为 *14x z =.故原方程的一个特解为 **1554x x x xy z ==⨯. 所以原方程的通解为121254x x x y C C =++⨯.习题* 10.6(B)1.求下列差分方程的解.(1) 01212=-+++x x x y y y ，10=y ，101=y . (2) x y y y x x x =-+++4312；(3) 42=∆x y ，30=y ，81=y ；(4) 12212=-+++x x x y y y ，00=y ，01=y .解 (1) 原方程的特征方程为2120λλ+-=.特征根为13λ=, 24λ=-.故所求通解为()1234xx x y C C =+-.由10=y ，101=y 得122,1C C ==-.故原方程满足初始条件的特解为()234xx x y =⨯--.(2) 原方程对应的齐次方程的通解为()124xx y C C =+-（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax Bx =+.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得110A =，750B =-. 所以原方程的一个特解为*2171050x y x x =-.故原方程的通解为()2121741050xx y C C x x =+-+-. (3) 由 42=∆x y ，即2124x x x y y y ++-+=.对应的齐次方程的通解为12x y C C x =+.由于1是特征方程的重根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：2A =.所以原方程的一个特解为*22x y x =.故原方程的通解为2122x y C C x x =++.由30=y ，81=y ，得123C C ==， 原方程初值问题的解为：2332x y x x =++.(4) 对应的齐次方程的通解为12(2)x x y C C =+-.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：4A =.所以原方程的一个特解为*4x y x =.故原方程的通解为12(2)4x x y C C x =+-+.由00=y ，01=y ，得1244,33C C =-=. 原方程初值问题的解为44(2)433x x y x =-+-+2. 已知a x =1，b x =2，212nn n x x x +=++ )3, 2, ,1(⋅⋅⋅=n ，求通项n x 以及n n x ∞→lim .解 将212nn n x x x +=++改写成 0212112=--++n n n x x x .该方程为二阶常系数齐次线性差分方程. 它的特征方程为021212=--λλ.特征根为：11=λ，212-=λ. 故齐次线性差分方程的通解为 nn C C x ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2121(1C ，2C 为待定常数).由初始条件a x =1，b x =2，代入上述通解，得到⎪⎩⎪⎨⎧=+=-bC C aC C 21214121， 解之得 321b a C +=，)(342a b C -=. 故所给数列的通项 221332-⎪⎭⎫⎝⎛--++=n n a b b a x ，且32lim ba x n n +=∞→. 习题*10.7(A)1. 已知某商品的需求价格弹性为(ln 1)p dQP P dP=-+，且当1=P 时，需求量1=Q . (1) 求商品对价格的需求函数；(2) 当+∞→P 时，需求是否趋于稳定？ 解 (1) (ln 1)pdQ P P dP =-+，ln (ln 1)P P dQ e P dP =-+， ln (ln )P P dQ e d P P =-.所以 ln P PP Q eC C P =-+=-.由于当1=P 时，需求量1=Q .故2C =，即2P Q P =-.(2) 当+∞→P ，0lim =+∞→Q P ，故没有需求.2. 假设某产品的销售量为)(t x 是时间t 的函数.如果该商品销售量对时间t 增长速度dtdx 与销售量)(t x 及销售量接近预饱和水平的程度()(t x N -)之积成正比（N 为饱和水平，0>k 为比例常数），且当0=t 时，N x 41=. (1) 求销售量)(t x ； (2) 求)(t x 增长最快的时刻T . 解 (1)据题意得初值问题)(x N kx dt dx -=，1(0)4x N =. 分离变量得kdt x N x dx=-)(，两边积分得Nkt xCe N x=-.解之得： 1NktNktCNe x Ce =+.由1(0)4x N =，得13C =. 所以销售量为331Nkt Nkt NktNe Nx e e -==++. (2) ()22331NktNkt dx N ke dt e ---=+， ()()3223231331Nkt NktNkt N k e e d x dt e -----=+. 令220d x dt =，得ln 3T Nk=.所以这个时候)(t x 增长最快. 3. 已知某商品的需求量Q 与供给量S 都是价格P 的函数：2)(P aP Q Q ==，bP P S S ==)(.其中0>a ，0>b 为常数，价格P 是时间t 的函数，且满足)]()([P S P Q k dtdP-= （k 为正常数）. 假定当0=t 时，价格1=P .试求： (1) 需求量等与供给量的均衡价格e P ；(2) 价格函数)(t P ；(3) )(lim t P t +∞→.解 （1）需求与供给量相等时有)()(2P S bP P aP D ===故均衡价格为 13e a p b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由条件有)]()([P S P Q k dtdP-=32()kb a p p b =-.分离变量得233e p dp kbdt p p =--，积分得 333kbt e p p Ce -=+.由 p (0)=1，得31e p C -=.故价格函数为13333()(1)kbte e p t p p e-⎡⎤=+-⎣⎦.（3）对函数p(t)求极限得13333lim ()lim (1)kbte e e t t p t p p ep -→+∞→+∞⎡⎤=+-=⎣⎦.其经济意义为：在所给方程约束下，价格函数最终趋于均衡价格.4. 某林区实行封山育林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t 木材的变化率与当时的木材数成正比.假设10年时这个林区的木材为20万立方米.若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多年后才能砍伐？解 所求函数为 ()p p t =.所满足的微分方程为()dpkp t dt=. 该方程的通解为：()kt p t Ce =由(0)10p =，得C ＝10.由，(10)20p =得1ln 210k =. 故 ln 21010t p e=.当40p =的时候，可解得20p =.也就是说20年后才能砍伐.5. 在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入Y ，国民储蓄S 和投资I 均为时间t 的函数，且在任一时刻t ，储蓄额)(t S 为国民收入)(t Y 的101倍， 投资额)(t I 是国民收入增长率dt dY 的31.0=t 时，国民收入为5（亿元）.设在任一时刻t 的储蓄额全部用于投资，试求国民收入)(t Y .解 由题意知1()()101()3()()S t Y t dY I t dt S t I t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩. 所以310dY Y dt =，解之得310t Y Ce =.再由0=t 时，国民收入为5（亿元），可得5C =，所以国民收入310()5t Y t e=.6. 设总人数N 是不变的，t 时刻得某种传染病的人数为)(t x ，设t 时刻)(t x 对时间的变化率与当时未得病的人数成正比，0)0(x x =（比例常数0>r ，表示传染给正常人的传染率）且00)(x t x =.求)(lim t x t +∞→，并对所求结果予以解释.解 由题意可得下面的微分方程()dxr N x dt=-，0)0(x x =. 用分离变量法，可得()rt x t N Ce -=-.再由0)0(x x =，得0C N x =-.故方程的解为0()()rt x t N N x e -=--.当t →+∞的时候，()x t N =.这就意味着当不采取预防措施的话，所有人都会得病. 7.（存款模型）设t S 为t 年末存款总额，r 为年利率，t t t rS S S +=+1，且初始存款为0S ，求t 年末的本利和.解 由t t t rS S S +=+1，得1(1)0t t S r S +-+=.对应的特征方程是(1)0r λ-+=，特征根1r λ=+.于是原来方程的解为(1)t t S C r =+.将初始条件代入，得0S C =，所以方程的特解为0(1)tt S S r =+.t 年末的本利和就是0(1)t t S S r =+.习题*10.7(B)1. 假设某渔场鱼量的自然增长服从Logistic 规律：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx t x 1d d ， 其中，r 为固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量. 已知渔场的初始鱼量为0)0(x x =. 试求)(t x 及)(lim t x t +∞→.解 微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx t x 1d d 它是一个可分离变量的一阶微分方程. 分离变量，得t r x N x xN d )(d =-，上式两端积分，得C rt x N x ln )ln(ln +-=-+-，即rt Ce x xN -=-. 由初始条件0)0(x x =，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10x NC .代入上式，得rt e x N N t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(0.N t x t =+∞→)(lim .2. 设)(t S 为t 时刻的储蓄，)(t I 为t 时刻的投资，)(t Y 为t 时刻的国民收入. 收入的一部分作为储蓄，收入的增长率与投资成正比，且储蓄全部用于投资. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====)0( )()(d d )()()(0Y Y t I t S t Y t I t Y t S βα，其中α，β为正常数，0Y 为初期国民收入，00>Y . 该模型称为多马(E.D.Domer)经济增长模型.试求)(t Y 、)(t S 和)(t I 的函数关系式.解 由前三个方程消去)(t S 和)(t I ，可得关于)(t Y 的微分方程Y tYλ=d d ，0>=βαλ，其通解为t Ce t Y λ=)(.由初始条件0)0(Y Y =，得0Y C =. 于是有 te Y t Y λ0)(=，从而有t e Y t Y t I t S λαα0)()()(===.3.（消费模型） 设t Y 为t 期国民收入，t C 为t 期消费，t I 为t 期的投资，它们之间有如下关系⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=+=----)(1111t t t t tt t t t I C Y Y Y bY I a Y C θβα，其中α，β，a ，b 和θ均为常数，且10<<α，10<<β，10<<θ，10<+<βα，0≥a ，0≥b .若已知初期的国民收入0Y 为已知，试求t Y 与t 的函数关系.解 将11t t C Y a α--=+和11t t I Y b β--=+代入1111()t t t t t Y Y Y C I θ-----=--并整理得1[1(1)]()t t Y Y a b θαβθ--+--=-+.其对应的特征方程是[1(1)]0λθαβ-+--=，特征根为[1(1)]λθαβ=+--.所以对应的齐次方程的通解为[1(1)]t y C θαβ=+--.假设原来方程的特解为y A *=，代入原方程得1a bA αβ+=--.所以原来方程的通解为[1(1)]1t t a bY C θαβαβ+=+--+--.由0Y 为已知，得01a bC Y αβ+=---.所以原来方程的特解为0[1(1)]11tt a b a b Y Y θαβαβαβ⎛⎫++=-+--+ ⎪----⎝⎭. 4. 设t Y 为t 期国民收入，t C 为t 期消费，I 为投资（各期相同），它们之间有如下关系：I C Y t t +=，βα+=-1t t Y C ，且已知0=t 时，0Y Y t =，其中10<<α，0>β，试求t Y 和t C .解 由I C Y t t +=，βα+=-1t t Y C ，得差分方程1t t Y Y I αβ--=+.特征方程为0λα-=，得λα=.该方程所对应的齐次差分方程的通解为t t Y C α=.由于1不是特征方程的根，可设t Y A *=为非齐次方程的一个特解，代入原来的方程得1IA βα+=-，从而通解为 1t t I Y C βαα+=+-，故011t t I I Y y ββααα++⎛⎫=-+⎪--⎝⎭， 而011t t t I IC Y I y ββαααα++⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭. 5. 设某商品的供需方程分别为⎪⎭⎫⎝⎛∆-+=--1131312t t t P P S ， t t P D 440-=，且以箱为计量单位.设1-t P 和2-t P 分别表示第1-t 期和第2-t 期的价格（单位：百元/箱），供方在t 期的售价为1131--∆-t t P P ，需方以价格t P 就可以使该商品在第t 期售完.已知40=P ，1P =413，试求t P 的表达式. 解 因为111121*********()12233t t t t t t t t S P P P P P P P -------⎛⎫⎛⎫=+-∆=+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，t t P D 440-=.依题意，t t S D =，即 124228t t t P P P --++=.特征方程为 24210λλ++=，得1,214λ=-±，1,4αβ=-=12v ==，tan βθα==23πθ=. 故方程对应的齐次方程的通解为12122(cos sin )233tt t t P C C ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1不是特征方程的根，故可设特解为t P a *=，代入得4a =.故原来方程的通解为121224cos sin 233tt t t P C C ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由已知40=P ，1P =413，得120,C C ==所以 124sin 23tt t P π⎫=⎪⎭.总习题 10(A)1. 填空题.(1)(考研题)设)sin cos (21x C x C e y x+=(1C ，2C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的解，则该微分方程为022=+'-''y y y .解 由通解可知，特征方程的特征根为i ±=12,1λ，故特征方程为0222=+-λλ.故二阶常系数线性齐次微分方程为022=+'-''y y y .(2) (考研题)二阶常系数非齐次线性微分方程xey y y 2234=+'-''的通解为x x x e e C e C y 23212-+=.解 齐次线性微分方程034=+'-''y y y 的特征方程为0342=+-λλ的特征根为11=λ，31=λ，故微分方程034=+'-''y y y 的通解为x x e C e C y 321+=.设微分方程xey y y 2234=+'-''的特解形式为xAe y 2*=，代入方程x e y y y 2234=+'-''，得2-=A ,故特解为x e y 2*2-=.所以，微分方程xey y y 2234=+'-''的通解为xx x e e C e C y 23212-+=.(3) 已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解是1)1()1(221+-+-=x C x C y .解 因为 11-=x y ，122-=x y 是对应齐次方程的两个线性无关的解.(4) 已知()xe x x C C y -++=221是某个二阶非齐次线性微分方程的通解，则该方程是x e x y y --=-''2.(5) 03='+''y y x 的通解为231C xC y +=. 解 原方程变形为xxy y d 3d -=''，积分得1ln ln 3ln C x y +-=' 即 31x C y ='，再积分，得23123112C xC C x C y +=+-=. (6) 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有的形式为b axe y x+=*.解 因为0=-''y y 的特征方程012=-λ的特征根 为12,1±=λ，而1)(+=x e x f ，1=λ为单根，所以设特解b axe y x +=*形式.(7) 微分方程0d 2d )(3=-+y x x x y 满足561==x y的特解x x y +=3*51. 解 将方程改写成2212x y x y =-'，解得 x C x C x e x e y x x x x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-3d 212d 2151d 2.由初始条件561==x y ，得1=C .故特解x x y +=3*51. (8) 过点⎪⎭⎫⎝⎛0,21且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为)(arcsin 1C x xy +=.解 所给方程改写成xx x y y arcsin 11arcsin 2=-+'，)(arcsin 1d arcsin 1d 1arcsin 1d 1arcsin 122C x x C x e x e y x x x xx x+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰---.(9) (考研题)微分方程02='+''y y y 满足10==x y ，210='=x y 的解1+=x y .解 令p y ='，则y p py d d =''，则原方程变为0d d 2=+p ypyp， 即0=p 或0d d =+p ypy由于0=p 不满足210='=x y ，故0d d =+p y py . 方程分离变量，得到解 yC p y 1=='. 代入初始条件10==x y，210='=x y ，得到211=C ，即 yy 21='，即22C x y +=. 由10==x y ，12=C .故所求特解为1+=x y .(10) 设线性无关的函数1y ，2y ，3y 都是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，则该非齐次方程的通解是3212211)1(y C C y C y C y --++=.解 因31y y -与32y y -是对应齐次方程的解，且由1y ，2y ，3y 线性无关，得到31y y -与32y y -也是线性无关的，故非齐次方程的通解是32122113322311)1()((y C C y C y C y y y C y y C y --++=+-++-=.2. 选择题.(1) 下列函数（ A ）中是方程xyy 2='的解. (A) 24x y =； (B) xy 2= ； (C) x y 1=； (D) xy 52=.(2) 方程x e y -=''的通解为=y （ C ）.(A) x e -； (B)x e - ； (C)21C x C e x ++-； (D) 21C x C e x ++--. (3) 下列方程中为线性方程的是（ C ）.(A) 02)(2=+'-'x y y y x ； (B)0)(5)(7542=+-'+''x y y y ； (C)0)()(2222=++-dy y x dx y x ； (D) 0=+'+''y y y x . (4) 下列方程中，属可分离变量的方程是（ C ）.(A) 0)sin(=+ydy dx xy x ； (B))ln(y x y +=' ；(C) y x dx dy sin =； (D) 221y e y x y x =+'. (5) 微分方程0=+xdyy dx 满足43==x y 的特解是（ A ）.(A) 2522=+y x ； (B)043=+y x ； (C) C y x =+22； (D) 222=-x y .(6) 微分方程xe y dxdy dx y d =++222是（ (B)、(C)、(D) ）. (A) 齐次； (B) 线性的 ； (C) 常系数的； (D) 二阶的.(7) 微分方程022=+y dx yd 的通解为（ D ）.(A) x A y sin =； (B) x y cos =； (C) x B x y cos sin +=； (D) x x A y cos sin +=.3. 求下列微分方程的通解.(1) 023=+'+ye y xy ； (2) n x x e x ny dx dy =-；(3) x y y y -='； (4) x yx y dx dy 22+-=； (5) 2x y y ='+''； (6) 22093++=+'-''x ey y y x.解 (1) 方程可化为3313x ydy e e -=dx ， 上式两端积分得C e ex y +=-33（C 为任意常数）.(2) 对应的齐次方程0dy ny dx x-=，可以得到一个特解 n y x *=.此时利用系数变异法可设原方程的解为()n y A x x =.将上式代入原来的方程可解得11()()()n n n x n A x x nA x x nA x x e x --'+-=.即()xA x e '=，即()xA x e C =+.从而原方程的通解为()x n y e C x =+（C 为任意常数）.(3) 原方程可化为1dx x dy y=-， 利用一阶线性方程的通解公式得11()dydyy y x eC edy -⎰⎰=+⎰（C 为任意常数）⎪⎭⎫⎝⎛+=2211y C y . 即 C y xy =-22. (4) 令y ux =，则dy duu x dx dx=+，从而可化为分离变量方程du x dx=，得到 ln(ln ||u x C =-+.将y ux =代入上式化简得y C =.(5) 对应的齐次方程的特征方程20λλ+=的根为120,1λλ==-，所以对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.假设原来方程的特解是 2()y x Ax Bx C *=++，代入原来的方程，解得1,1,23A B C ==-=. 故原来方程的通解为3212123x Y C C e x x x -=++-+.(6) 对应的齐次方程的特征方程 29200λλ-+=的根为124,5λλ==，所以对应的齐次方程的通解为4512x x Y C e C e =+.假设原方程的特解设为 3xy Ae Bx C *=++，代入原方程，解得1149,,220400A B C ===. 故原方程的通解为453121149220400x x x Y C e C e e x =++++. 4. 求下列微分方程满足初始条件的特解. (1) 2211xy y x y +--='，11==x y；(2) x x y y xx y sin )1(133232+=++'，10==x y ；(3) dx y x xydy )(22+=，e y ex 2==；(4) 022=-'-''x ey y ，10==x y，10='=x y ；(5) x y y y cos 2=+'+''，00==x y ，230='=x y . 解（1）分离变量得=，两边积分得=-，即C =.将初始条件11x y ==代入上式，得C =故所求特解为（2）方程两端除以2y 得211333()(1)sin 1x y y x x x--'-+=++. 令1z y -=，可得到关于变量z 的一阶线性方程2333(1)sin 1dz x z x x dx x-=-++. 利用常数变易法求出通解，再代回变量和初始条件，得特解为3sec 1xy x =+. （3）22dy x y dx xy +=， 即 21()y dy x y dxx+=， 令y u x =，则dy du u x dx dx=+，代入上式得21du u u x dx u++=.分离变量得 1udu dx x =， 两边积分得 1udu dx x=⎰⎰.即 211ln 2u x C =+.将 yu x=，e y e x 2==代入，解得11C =.故所求特解为222(ln 1)y x x =+.（4）特征方程为220r r -=，特征根为120,2r r ==. 设特解为 *20xy b xe =，代入题设方程解得 012b =. 故所求通解为221212x x y C C e xe =++.将01,1x x yy =='==代入上式，解得 1231,44C C ==.则所求特解为231(12)44x y x e =++.(5) 特征方程为2210r r ++=，特征根为121r r ==-. 对应的齐次方程的通解为 12()xY C C x e -=+.设方程的特解为 *cos sin y A x B x =+， 代入得 10,2A B ==.则方程的一个特解为 *1sin 2y x =.原方程的通解为121()sin 2x y C C x e x -=++.将00==x y，230='=x y 代入上式，得120,1C C ==. 则所求特解为1sin 2x y xe x -=+.5. 求下列差分方程的通解.(1) tt t y y 3231+=++；(2)t y y t t 3sin 21π=-+；(3) tt t t y y y 3426512⋅+=+-++.解 (1) 对应的特征方程为30λ+=，特征根为3-，所以齐次方程的通解为(3)t y C =-，假设一个特解为3ty A B =+，代入原来的方程得12A =，16B =.所以原来方程的通解为11(3)326t t y C =-++.(2) 对应的特征方程为20λ-=，特征根为2.所以对应的齐次方程的通解为2t t Y C =.设原方程的特解为*cossin33t y A t B t ππ=+代入原方程，得3034A B ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 解之得3A =，1B =. 故原方程的通解为*2cos sin 333t t t t y Y y C t t ππ=+=++. (3)原方程对应齐次方程的特征方程是2560λλ-+=.特征根是122,3λλ==，此时对应齐次方程的通解为1223t t t Y C C =+.设一个特解为*3tt y A Bt =+，代入原来的方程得1A =，43B =. 所以原来方程的通解为*12423133t t t t t t y Y y C C t =+=+++⋅.6. 求差分方程 xx x x x y y y 329612+=+-++，满足初始条件10=y ，31=y 的特解.解 对应的齐次方程的特征方程为2690λλ-+=，特征根为123λλ==.对应的齐次方程的通解为12()3x y C C x =+.对方程21692x x x y y y x ++-+=，可设它的一个特解为y Ax B *=+，代入可得到12A B ==. 对21693xx x x y y y ++-+=，由于3是特征方程的重根，故可设它的一个特解为23x y x C *=，代入可得到118C =，所以原来方程的通解为 122111()383221x x x y C C x x ++=++.由初始条件10=y ，31=y ，得1211,29C C ==，故原来方程的特解为211111()33292218x x x x x y ++=++.总习题 10(B)1. 设可导函数)(x f 满足⎰⎰-+=xxdt t x tf x dt t f 0)()(，求)(x f .解 令 t x u -=，则⎰⎰⎰-=--=-0)()()()()(xxxdt t f t x du u f u x dt t x tf .于是，原来的方程等价于()()()xxf t dt x x t f t dt =+-⎰⎰，再两边求导得()1()xf x f t dt =+⎰.此时有(0)1f =，再求导得()()f x f x '=，所以()xf x Ce =.由(0)1f =得1C =. 所以 ()xf x e =.2.已知x e y =是微分方程x y x P y x =+')(的一个解，求此微分方程满足条件02ln ==x y的特解.解 将xe y =代入方程x y x P y x =+')(得()(1)xP x x e -=-，所以可得原来的方程是(1)x xy x e y x -'+-=，即 (1)1x y e y -'+-=.对应的齐次方程的通解为 xx e y Ce -+=. 所以原来方程的通解为xx e x y Ce e -+=+.由02ln ==x y得12C e -=-.所以要求的特解是12x x e xy e e-+-=-.3. 已知曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. 解 设所求曲线方程为 )(x f y =，),(y x P 为其上任一点，则过P 点的曲线的切线方程为)(x X y y Y -'=-.由假设，当0=X 时 x Y =，从而上式成为11d d -=-y xx y . 因此求曲线)(x y y =的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-'=1111x y y xy ，的特解. 由公式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )(，得 )d e)1((ed 1d 1C x y xx xx +⎰-⎰=-⎰=Cx x x +-ln ，代入11==x y得 1=C ，故所求曲线方程为)ln 1(x x y -=.4. 某银行账户，以连续复利方式记息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度使用这一账户支付职工工资，若t 以年为单位，写出余额)(t f B =所满足的微分方程，且问当初始存入的数额)0(0f B =为多少时，才能使20年后账户中的余额减之为0元.解 由题意可得如下的方程0.0512000dBB dt=-. 利用分离变量法解此方程得0.05e 240000t B C =+，由00|t B B ==，得0240000C B =-.故 ()0.050240000e 240000t B B =-+. 由题意，令20t =时，0,B =即()00240000e 240000B =-+.由此得10240000240000e B -=-⨯时，20年后银行的余额为零.5.（新产品的推销问题）设某种耐用的新产品在某地区进行推销，最初商家会采取各种宣传活动以打开销路.假设该产品确实受欢迎，则消费者会相互宣传，使购买人数逐渐增加，销售率逐渐增大.但由于该地区潜在消费总量有限，所以当购买者占到潜在消费总量的一定比例时，销售速率又会逐渐下降，且该比例越接近于1，销售速率越低，这时商家就应更新商品了.(1) 假设潜在消费总量为N ，在任一时刻t 已经出售的新商品总量为)(t x ，试建立)(t x 所满足的微分方程；(2) 假设0=t 时，0)0(x x =，求出)(t x ； (3) 分析)(t x 的性态，给出商品的宣传和生产策略. 解 (1)()dxkx N x dt=-，k 为比例系数. (2) 利用分离比例法得通解为解之得 11Nkt Nkt NktCNe Nx Ce Ce -==++，由0)0(x x =，得01NC x =-. 0111NktNktNktCNe N x CeN e x -==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭31 (3) 分析)(t x 的性态()221NktNkt dx CN ke dt Ce --=+， ()()3223211Nkt Nkt Nkt CN k e Ce d x dt Ce ----=+. 显然0dx dt >，所以x 单增.令220d x dt =可以推出2N x =，也就是说当销售量小于最大需求量一半的时候，销售速率不断增大，当销售量大于最大需求量一半的时候，销售速率不断减少，当销售量等于最大需求量一半的时候，商品最为畅销.6. 设t S 为t 期的储蓄，t I 为t 期的投资，t Y 为t 期的国民收入，它们之间有如下的关系式⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=≥<<+=-0,0,)(0,10,1δδβαβαt tt t t t t I S r Y Y r I Y S ， 试求t Y ，t S ，t I .解 将t S ，t I 代入t t S I δ=得1()t t t Y r Y Y αβδ-+=-，即1()t t r Y rY αδδβ---=-.对应的齐次方程的通解为t r y C r δδα⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 原来方程的特解为y βα*=-，所以原来方程的通解为 tr Y C r δβδαα⎛⎫=- ⎪-⎝⎭. 假设0Y 已经知道，那么0C Y βα=+，那么原来方程的特解为0()tr Y Y r βδβαδαα⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，此时有 0()t t r S Y r δαβδα⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，01()t t r I Y r δαβδδα⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.。

常微分方程与差分方程应用讲座心得本文介绍了常微分方程和差分方程的应用以及讲座心得。

下面是本店铺为大家精心编写的4篇《常微分方程与差分方程应用讲座心得》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《常微分方程与差分方程应用讲座心得》篇1常微分方程和差分方程是数学中非常重要的两个概念，它们在各个领域都有广泛的应用。

在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的问题，这些问题可以用常微分方程或差分方程来描述。

因此，掌握常微分方程和差分方程的应用是非常重要的。

在讲座中，我们学习了常微分方程和差分方程的基本概念以及应用。

我们了解到，常微分方程是用来描述自然现象的一种重要数学工具，它可以用来描述动态过程，比如流体力学、电磁学、经济学等等。

而差分方程则是用来描述离散时间的动态过程，它可以用来描述计算机科学、通信系统、自动控制等领域的问题。

在讲座中，我们还学习了如何使用 MATLAB 工具来求解常微分方程和差分方程。

我们通过实践例子，了解了如何使用 MATLAB 求解常微分方程和差分方程的数值解，以及如何使用 MATLAB 绘制数值解的图形。

通过这些实践例子，我们深刻地体会到了常微分方程和差分方程的应用和解决实际问题的重要性。

此外，我们还学习了如何判断常微分方程和差分方程的收敛性和稳定性。

我们了解到，在求解常微分方程和差分方程的数值解时，收敛性和稳定性是非常重要的指标。

通过判断收敛性和稳定性，我们可以及时调整计算参数，以得到更加精确的数值解。

总之，通过这次讲座的学习，我们深刻地认识到了常微分方程和差分方程的应用和重要性。

我们学会了如何使用 MATLAB 工具来求解常微分方程和差分方程的数值解，以及如何判断收敛性和稳定性。

这些知识对我们今后的学习和研究具有非常重要的意义。

《常微分方程与差分方程应用讲座心得》篇2在应用讲座中，我学习了常微分方程和差分方程的基本概念、求解方法和应用场景。

以下是我的心得体会：1. 常微分方程和差分方程是数学中非常重要的两个分支，它们在自然科学、工程技术、经济学、社会科学等领域都有广泛的应用。

练习9.11.指出下列微分方程的阶数：解：(1)一阶 (2)一阶 (3)一阶 (4)二阶2.验证下列各函数是否为所给微分方程的解，并指出哪些是特解哪些是通解。

（21,,C C C 为任意常数）解：(1)通解 (2)特解 (3) 不是解 (4)不是解3.写出以下列函数为通解的微分方程，其中21,,C C C 为任意常数 解：(1)直接求式子求导,可得0)(22=+'−y y yx x(2)直接求式子求导,可得02=−'+''y y y练习9.21.求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：(1)解：xdx ydy sin =两边同时积分-cosx 1cos lny e c y c x =⇒+−=（2）解：22ln 2x e c y c x y xdx ydy⋅=⇒+=⇒=积分（3）解法一：cy x c y x cxy y x xy d dy dx =+−=+−⇒=+−⇒=+−)1)(1()1)(1(0)(或解法二：cy x cc d d x y x dxy dy =+−⇒=⇒+=⇒−=−=+=−=+)1)(1(1ln ln 1,111ξηξηξξηηξη令（4） 解：0011tan cos 0,4)0(22=⇒=+=⇒+=⇒===c c c e x dt e xdx t x t令π故t t e x e x arctan ,tan ==（5）解：dy e e dx e e x y y x )1()1(++−ce e ce e e dy dx e dy e dx e x y y x x y y x y x =+−⇒=+−⇒=+++−⇒++)1)(1(0)(（6）解：1232323230)1()1(c y y x x dy y y dx x x =−−+⇒=+−+c y y x x =−−+⇒23233232e y e xx 2O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令)1ln(21)1ln(211)1(,1e c c e y x +−=⇒++=⇒==由 故)1ln(21)1ln(22e e y x +−++=（8）解：c x y x dx y dy =+⇒=++arctan ln 012令4401)1(,1ππ=⇒=+⇒==c c y x 由故4arctan ln π=+x y2．求下列各微分方程的通解或特解：（1）解：u dxdux dx dy x y u x y x y dx dy +=⇒=−=令112ln )2ln(211c x u u u u u dx du x +=−⇒−=+⇒c y xy x c u u =−⇒⋅=−⇒22222（2）解：令xyu =)ln(0)ln(0)ln(ln ln =+=+⇒=+⇒+=⇒=⇒+=+=−−−−xyxy u u u u ecx ecx e cx c x e x dx edu u e u dx du x dx dy 故原方程的通解为：（3）解：令012=+−−+⇒=u u u dxdux x y u 122ln )1ln(1c x u u xdxu du+=++⇒=+⇒22221cx y x y cx u u =++⇒=++⇒（4）解：令c x u u dx du x x y u +=⇒=⇒=ln 2tan ln sin 01ln 1ln 2,1=⇒+=⇒==c c u x π令x x y x u arctan 2arctan 2=⇒=⇒（5）解：令 u dydu y dy dx y x u +⋅==则 化简得 uu dy du y u u u dy du y 25123122−=⋅⇒−=+⋅ c y u dy udu +=−−⇒=⇒ln 51ln 122 O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令00)0(,1)0(0====c u y x 得则 故151)51(32552=−⇒=−y x y yu （6）解： xyu xy x y dx dy =+−=令,11则11112+−−=⇒+−=+u u dx du x u u dx du x u 令 c x u u x dx u du u +=−+−⇒=++−⇒ln arctan 1ln 21)1()1(22令0,0)1(,0)1(,1====c u y x 得则故 0arctan 2)ln(ln 2arctan 2ln ln arctan 1ln 21222222=++⇒−=++⇒=−+−xyy x x x yxy x x u u 3．求下列微分方程的通解：(1)解：令y x z −= zz z z dx dy dx dz 22211+=++=−= ()()()c x y x n y cx z n z dx z zdz+=+−−−+=+−⇒=+⇒12112 故原方程的通解为： )(1y x ce y x +−=+− （2）解：373737++−−−=y x y x dx dy 0407337≠=−−=∆⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=++−=−−ηξy x y x y x y x 1010********0故令 得ξξξξηξηξξηξηd du u u d du u d d u =−−=+⇒+−−==277377337令 cy x y x cc u u c u u u cuu u =−+−−⇒=−+⇒=−+⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−⇒+=−+−−−⇒5225727527322)1()1()()()1()1(11)1(ln 11ln 1431ln 21ηξξηξξξ （3）解：0111=−−=∆−−−=y x dyO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOO C中国大学M OOC令 1221211−−=−−−+=+=z z z z dx dz yx z cy x y x c x z z dx dz z z =−++++=−+⇒=−−2ln 32 2ln 32212即 （4）解：051=∆++−++−=y x y x dx dy令 54511+−=+++−=−=z z z dx dz xy z c x y x y c x z z dx dz z =−+−⇒+−=+⇒−=+52)(4524)5(22（5）解：分离变量得01122=++−yydyx xdx 两边积分得1221ln 211ln 21C y x =++−−得通解为C xy =−+2211 （6）解：变形得 0223=+x y dydxy 分离变量得并积分得21yCx = 变易常数C ，即令21)(y y C x =，代入原方程有y y C 1)(='， 积分得C y y C +=ln )( 得通解为)(ln 12C y yx +=4．求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：（1）解：()()cdx e x e c dx e x e y x x x dx+⋅=+⋅⎰=⎰⎰−−222244分部积分()[]x x x e c x c x e e 2221212−−⋅+−=+−=（2）解：利用函数变量法：令 x e x Q x p −==)(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰−c dx e x Q e y dx x p dx x p )()()( []()c x e c dx e e e x x x x +=+⋅=−−−⎰ （3）解：cos sin cos c dx e e e y xdx x xdx⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=−−⎰O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC（4）解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰−⎰=⎰−−−c dx e x x e y dx x xdx x x 12212221cos []1sin 1cos 11222−+−=+−=⎰x xx c c xdx x（5）解：01212=+−+yy dy dx 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−⎰=⎰⎰−+−−−c y dy e e c y dy e ex y y y y dy yy21)ln 21(2121)1( y yye cy y c e e y 122112+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−⋅=（6）解：c t x t dt x dx ++=+⇒+=+)2ln()13ln(31213 令0)0(,0==x t ，得2ln −=c故()()2211331+=+t x （7）解：[]x c e c dx e x c dx e x e e y xx x dx x x dx +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰−1 令1)2(,2==y x ，即22221e c ce −=⇒+= 故xe e y x 22−+=（8）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−−⎰=⎰⎰−−−−c dx x x x x x x x c dx e x x x e y x x dxx x dx 11)12(11)12()1()1( [][]c x x x x c dx x x x +−−=+−−=⎰21)12(1 令4)2(,2==y x ，即0)24(24=⇒+−=c c故2x y =5．求下列方程的通解：（1）解：23x y yx dydx+= 令1−=x z ，则dydx x dy dz 21−= O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC331y yz y ydy dz −−=−−= 22222232322222)2()2( y y y y y ydyydy ce y c y e ec dy e y ec dy e y e z −−−−−+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰即：1)2(222=+−−y cex y（2）解： 令3−=y z ，则24333x z xdy dx y dx dz −=−=− []c x x c dx x x c dx e x e z dx x dx x +−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=⎰⎰−ln 3 3333333 即：1)ln 3(33=−x c y x（3）解：xy x dy dx 2−= 令2x z =，则dydx x dy dz 2=y z y x dydz42422−=−= 故[][]yce c y e e c dy ye e x c dy e y e z y y y y y dy dy21)21(4 422222222++=++=+−=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−⎰⎰（4）解： 令x z 1=，则y yz dydxx dy dz −−=−=312 311)(23232323332222−=⇒+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−−⎰⎰y y y y ydy ydy cexc e c dy e y e c dy e y e z（5）解： 令xyu =，则u u u u x tan +=+' cx x y cx u cx u dx xudu u dx xdu arcsin sin ln ln sin ln 1cot tan =⇒=⇒+=⇒=⇒=⇒（6）解：其对应的齐次方程分离变量得xdx y dy −= O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学M OOC积分得c x y ln ln ln +−=将c 常数变易为)(x c ，代入得xx c 1)(='，积分得c x x c +=ln )( 于是原方程的通解为)(ln 1c x xy +=6．不作要求。