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微分方程解法ppt课件

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第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】

第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2

常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则

大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx

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高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。

全版微分方程.ppt

全版微分方程.ppt
将 y 和 y 代入原方程得C( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
17
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx

高等数学第十一章课件.ppt

高等数学第十一章课件.ppt

这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．

微分方程问题的解法

微分方程问题的解法

电磁学研究
02
在电磁学中，微分方程被用来描述电场、磁场的变化以及电磁
波的传播。
热传导问题
Байду номын сангаас
03
微分方程可以用来描述物体的热量传导过程，例如温度随时间
变化的规律。
在经济中的应用
供需关系
微分方程可以用来描述市场的供需关系，例如商品价格随 时间变化的规律。
01
经济增长模型
微分方程可以用来建立经济增长模型， 例如描述一个国家或地区的GDP随时间 变化的规律。
线性稳定性分析
定义
线性稳定性分析是指通过线性化微分方程，来研究系统的稳定性。
方法
将非线性微分方程线性化，然后利用线性系统的性质来分析系统 的稳定性。
应用
线性稳定性分析广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是指通过非线性微分方程的性质， 来研究系统的稳定性。
方法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简化求解过程。
详细描述
将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后对等式两边同时进行积分，从而求解微分方程。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量替换原微分方程中的复杂表达式，简化微分方程的形式。
详细描述
通过引入新的变量，将微分方程中的复杂表达式替换为新变量的表达式，从而 简化微分方程的形式，方便求解。
有限元素法
总结词
有限元素法是一种将微分方程转化为线性方程组进行求 解的方法。
详细描述
有限元素法的基本思想是将微分方程的求解区域划分为 一系列小的子区域（或元素），然后在每个子区域上定 义一个近似函数，将微分方程转化为线性方程组进行求 解。这种方法在求解一些复杂的微分方程时非常常用。

高数微分方程PPT

高数微分方程PPT

应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。

《微分方程 》课件

总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。

《微分方程的数值解》课件

积分法：将微分方程离散化为积分方 程，然后求解
谱方法：将微分方程离散化为谱方程， 然后求解
边界元法：将微分方程离散化为边界 元方程，然后求解
有限元法：将微分方程离散化为有限 元方程，然后求解
网格法：将微分方程离散化为网格方 程，然后求解
数值解法的步骤
确定微分方程的初值 和边界条件
选择合适的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔 法等
实解
应用：广泛应 用于工程、物 理、化学等领
域
优缺点：优点 是计算速度快， 缺点是精度较
低
非线性方程的数值解法
牛顿法：通过迭 代求解非线性方 程
拟牛顿法：通过 迭代求解非线性 方程，比牛顿法 收敛更快
割线法：通过迭代 求解非线性方程， 适用于求解单变量 非线性方程
迭代法：通过迭 代求解非线性方 程，适用于求解 多维非线性方程
05 数值解法的实现
M AT L A B 编 程 实 现
MATLAB简介： MATLAB是一种高 级编程语言，广泛 应用于科学计算、 数据分析等领域
数值解法：包括欧 拉法、龙格-库塔 法、四阶龙格-库 塔法等
MATLAB实现：使 用MATLAB编写程 序，实现数值解法 的计算
示例代码：给出 MATLAB实现数值 解法的示例代码， 并解释其含义和作 用
设定时间步长和空间 步长
计算微分方程的解， 并进行误差分析
绘制解的图形，并进 行结果分析
对比不同数值解法的 优缺点，选择最优解 法
04 常用的数值解法
欧拉方法
基本思想：将微分 方程转化为差分方 程，然后求解差分 方程
优点：简单易行， 适用于初值问题
缺点：精度较低， 稳定性较差
改进方法：改进欧 拉方法，如改进欧 拉方法、龙格-库 塔方法等

微分方程ppt

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分 方 程
z z xy z2 x y
zx 5z4 0
常微分方程
偏微分方程

《微分方程的数值解法maab四阶龙格—库塔法》PPT模板课件


k1 f (tn , yn )
k2
f (tn
1 2
h,
yn
h 2 k1)
k3
f (tn
1 2
h,
yn
h 2
k2
)
k 4 f (tn h , y n hk 3 )
四 阶 Runge-Kutta 法计算流程图
开始
h 初始条件：t
迭代次数：
；y
0
N
0
积分步长：
tn t0
for i = 1 : N
解析解： x x x1 3 2(((ttt))) 0 .0 8 1 1 2 P 8 k 0siw n t) (2 .6 3 0 3 3 P k 0siw n t) (0 .2 12 2 2 P k 0siw n t)(
第一个质量的位移响应时程
各种solver 解算指令的特点
解法指令 解题类 型
特点
ode45 非刚性 采用4、5阶Runge－Kutta法
适合场合 大多数场合的首选算法
ode23 非刚性 采用Adams算法
较低精度（10－3）场合
ode113 非刚性
ode23t ode15s
适度刚 性
刚性
ode23s 刚性 ode23tb 刚性
y2
(0)
(2.2) (2.3)
例：著名的Van der Pol方程
y (y21)y y0
令
y1y,y2y
Y
y y
1 2
降为一阶 Yyy12(y12y12)y2y1
初始条件
Y0
y1(0) y2(0)
y10 y20
3. 根据式(2.2)编写计算导数的M函数文件ODE文件
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因 eC1仍是任意常数，令其C为，则所求得通解为
y Cex3
.
12
以后为了方便起见，我们可把 lny写成 lny,但要
记住结果中的常数C可正可负。
显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
.
4
d 2s
dt 2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t0
10
(6)
对（ 5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得 S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件 v t0 10 代入（ 7）式中，将条件 S t0 0代入（ 8）式，
得 c2 0, 从而得到 v 4t 10
将条件2） （代入3） （，可c得 1，则所求曲线
yx2 1
(4)
例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现 汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已 知汽车刹车后获得加速度为－4 m / s2,问汽车是否会撞到小孩？
解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
.
8
的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如
（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解
形如 yx0 0或St0 10,ddStt010的定解条件，
所研究系统所 时处 刻的的 状态初 得到始 的定解条件， 称为初值条件（initial value condition）.初值条件的
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 （differential equation）.未知函数为一元函数的微分 方程，叫常微分方程（ordinary differential equation ）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微 分方程（partial differential equation）.这里我们只 讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
.
2
8.1
微分方程的基本概念
一.引例
例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一 点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义， y(x)应满足：
dy 2 x
(1)
dx
及条件 y x 1 2
(2)
对（ 1）式两端积分，得
.
3
y2xdx即yx2＋c (3)
的方程均为可分离变量 的微分方程。
.
11
对（ 2）式两端分别积可分得，到便微分方程的通
g ( y ) d y f ( x ) d C x
其中 C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2y的通解。
解 首先分离变量 ，得
1 dy 3x2dx y
两端积分，得 ln y x3 C1
即
y ex3C1或y eC1ex3
个数通常等于微分方程的阶数，
一阶微分方程的初值条件一般为 y xx0 y0;二阶微分方程的初值件条
yxx0 y0,yxx0 y0.其中 x0,y0,y0都是给定的
.
9
从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲 线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分 曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral
的形式，即端 可只 表 y的 含 示函 为d数 ,一 y而 和另一端
x的函数 dx,和 那么原方程就离 称变 为量 可的 分微分
(differential equation of separated variables).
形如
dy f ( x ) g ( y )
dx
P1 ( x ) P2 ( y ) dx Q1 ( x )Q 2 ( x ) 0
(9)
S 2t 2 10 t
(10 )
在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要
.Leabharlann 5的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：
S22.52102.512.（ 5 米）
所以汽车不会。 撞到小孩
上述两例1中 ）， 式（ 和 5）（ 式都含有未导 知数 函， 数
都是微分方程。 二.微分方程的基本概念
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 yx2 1只是其中过 1， 2） （点的一条积分曲
.
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
一阶微分方程（differential equation of first order）
yf(x,y)
(1)
如果能化g成 (y)dyf(x)d(x2)
.
7
如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式， 则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。 （4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分 方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微 分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分 别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一 常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。 为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件， 这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。
.
6
d d2y 2xpd d y xq yf(x)
dy y 2x dx
dny dxn
10
等都是常微分方程。
(1)1
(12) (13)
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高 阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和 （12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程， 而（13）是n阶微分方程。
第八章 微分方程与差分方程简介
8.1 微分方程的基本概念 8.2 可分离变量的一阶微分方程 8.3 一阶线性微分方程 8.4 可降阶的高阶微分方程 8.5 二阶常系数线性微分方程 8.6 微分方程应用实例
退出
.
1
第八章
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。 本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中 未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有 关内容做一简单介绍。