生活中的优化问题举例教案张华

学校：临清一中学科：数学编写人：张华审稿人：张林§1.4.1生活中的优化问题举例【教学目标】1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

【教学重难点】教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。

（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（2）引导探究例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.8r0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

四年级生活中的优化问题举例教案教案标题：四年级生活中的优化问题举例教案教学目标：1. 了解和理解优化问题的概念。

2. 能够应用优化问题的解决方法，解决生活中的实际问题。

3. 培养学生的问题解决能力和创新思维。

教学重点：1. 理解优化问题的定义和特点。

2. 学会将生活中的实际问题转化为数学模型。

3. 运用数学方法解决优化问题。

教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教学课件。

2. 学生准备：课本、练习册、铅笔、尺子。

教学过程：Step 1: 导入（5分钟）教师通过提问和讨论引导学生思考，激发学生对优化问题的兴趣和好奇心。

例如：“你们有没有遇到过需要在一定条件下寻找最佳解决方案的问题呢？可以举个例子。

”Step 2: 概念讲解（10分钟）教师通过课件或黑板笔画出一个图形，如一个长方形花坛，解释什么是优化问题。

然后，教师向学生解释优化问题的定义和特点，即在给定的条件下，寻找最佳解决方案。

Step 3: 举例说明（15分钟）教师给出几个与学生生活相关的优化问题的例子，如：1. 一个学生要从家里走到学校，他应该选择哪条路线才能用最短的时间到达？2. 一个学生想买一本书，他应该选择哪家书店才能以最低的价格购买到？3. 一个学生想要制作一个最大的正方形海报，他应该如何剪裁纸张才能使得剩余的废纸最少？教师与学生一起分析这些问题，引导学生思考如何将这些问题转化为数学模型，并解决这些问题的最佳策略。

Step 4: 解决问题（20分钟）教师指导学生运用数学方法解决上述的优化问题。

教师可以提供一些解题思路和方法，如列出方程、绘制图形等。

学生根据教师的指导，独立或小组合作解决问题。

Step 5: 总结（5分钟）教师与学生一起总结本节课所学内容，强调优化问题的重要性和实际应用。

鼓励学生将所学知识应用到更多生活场景中。

Step 6: 作业布置（5分钟）教师布置相关的练习作业，要求学生运用所学知识解决更多的优化问题。

鼓励学生在实际生活中积极思考并解决优化问题。

教学设计学情分析一、知识储备：学生已经充分地学习了有关导数的相关知识，基本的导数单调性的求解，以及极值最值的解法，都有了一定的掌握。

二、能力储备：高中学生已经了具备了一定的自学能力和阅读能力，能够将一些简单的实际问题转化为数学问题，具备一定的数学建模的能力，但是对于较为复杂一些的数学建模问题，有时并不能准确地进行分析。

三、生活经验储备：学生对于优化问题也有一定的了解，对于实际生活中的优化问题有简单的了解，但是并不能有效地转化为数学问题，利用数学思想对优化问题进行合理的解释。

效果分析本课题简单介绍了将优化问题转化为数学问题，并利用导数思想解决优化问题的方法，并通过学生交流、讨论，让学生体会数学在实际生活中的应用，让学生充分认识到数学思想的实际应用价值，提高学生学习数学的积极性和学习兴趣。

本课题的教学重点在于正确地进行数学建模，把实际问题转化为数学问题，并利用导数思想对利润最大化问题进行合理解释。

一、“教”的效果分析：1、在本课题的教学中，紧密联系生活实际，结合日常生活实例，认真分析题目中的已知条件，让学生掌握数学建模的基本方法。

2、通过小组讨论、交流等活动，让学生掌握数学建模的基本方法，使学生了解对于解决优化问题的一般步骤，并能够准确地转化为数学问题。

二、“学”的效果分析：1、学生通过本节课的学习，对于解决优化问题的基本思想方法有了较好地了解，并能够通过分析题目，正确地完成实际问题和数学问题之间的转化。

2、小组讨论积极，各组都能积极发言，认真地针对本组的问题，发表自已的见解，认真地进行解决。

总之，通过本节课的教学，使学生不但了解数学建模的思想，也掌握了利用导数思想解决优化问题的方法，从而让学生充分了解了数学思想的实际应用价值。

教材分析本节课选自高中数学选修2-2人教A版第一章《导数及其应用》第4节合生活中的优化问题举例第2课时（例2），本节课是让学生在学习了导数的相关知识,包括利用导数来判断函数的单调性，求解在某个区间内的最值问题后，利用导数思想，来解决实际生活中的优化问题，利用数学思想解决优化问题，让学生充分认识到数学的应用价值，深刻体会数学建模的思想，激发学生学习数学的兴趣。

1.4生活中的优化问题举例教学目标：掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用教学重点：掌握导数生活中的优化问题问题中的应用．教学过程一、复习：利用导数求函数极值和最值的方法二、引入新课例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ． 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，，从而h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.课堂练习：第37页练习A 、B课后作业：第38页B:5，6，7。

人教版高中选修2-21.4生活中的优化问题举例课程设计一、课程背景生活中的方方面面都涉及到了优化问题，优化问题是数学中的一个重要分支。

通过本课程，让学生了解什么是优化问题，为什么要进行优化，生活中的哪些问题需要优化，并掌握如何运用数学方法解决生活中的优化问题。

二、教学目标1.理解什么是优化问题，为什么要进行优化；2.掌握数学方法解决生活中的优化问题；3.通过实践案例，将所学知识运用到实际生活中，提高学生问题解决能力和实践能力。

三、教学内容1. 优化问题的概念通过教师讲解、PPT演示和样例解析等方式，讲授优化问题的概念，引导学生深入了解什么是优化问题，为什么要进行优化。

2. 生活中的优化问题通过教师提供案例和引导，让学生发现生活中存在哪些需要优化的问题，如购物、交通、饮食、健康、环境等方面，让学生了解到优化问题的广泛应用。

3. 优化问题的数学方法通过教师演示、实践操作等方式，引导学生掌握代数方法、几何方法、微积分方法解决生活中的优化问题，并重点强调常见的最值问题，如求函数的最大值、最小值等。

4. 实践案例分析通过学生小组合作探究、PPT汇报、教师点评等方式，让学生运用所学知识，分析解决实际生活中的优化问题，以提高学生问题解决能力和实践能力。

四、教学方法1. 授课法引导学生掌握基础知识，并指导完成相关练习。

2. 实践法通过案例分析等实际操作，加深学生对优化问题的了解，提高问题解决能力和实践能力。

3. 合作学习法通过小组合作探究、PPT汇报、教师点评等方式，激发学生的合作精神，培养团队意识。

五、教学资源1. 教案、PPT教师编写的教案和PPT，包括基础知识介绍、案例分析等。

2. 实践案例教师提供丰富的实践案例，让学生练习并掌握所学知识。

3. 练习册教师编写的练习册，包括基础习题和拓展习题，方便学生巩固知识点，提高解题能力。

六、教学评估1. 个人评估通过课堂练习、课后作业等形式对个人进行评估，了解学生对课堂知识掌握情况。

高中二年级数学‘生活中的优化问题举例’课程设计教案和和后练习1．利用导数解决优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.______是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：K知识参考答案：1．导数一、最大值问题实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.【例1】如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？二、最小值问题实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．【例1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末2．现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为A ．3cm B ．100 cm C ．20 cm D ．203cm3．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为348m ，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元4．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24y x =-在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为__________.5．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：()(010)35kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.6．请你设计一个包装盒，如图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm).（1）某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.7．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ．8．如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=（如图2所示）． 则当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大？图1 图29．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为0π38立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．10．（2013·重庆文科）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．11．（2015·江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2.5千米，以12,l l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型.（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.1．D 【解析】在某时刻的速度即位移相对于时间的瞬时变化率，故2()32v s t t t '==-+，令0=v ，解得.2,1=t 故选D.2．A 【解析】设高为x cm cm ，所以圆锥形漏斗的体积3231π(400)π(400c 3)m 3x x x x V -⋅-⋅==，2π(4003)3V x '=-，令0V '=，得3x =或3x =-（舍去），则当3x =cm 时，体积最大. 3．D 【解析】设箱底一边的长度为m ，箱子的总造价为元，根据题意，得48481615122(3)24072()(0)3l x x x x x =⨯+⨯+=++>，21672(1)l x-'=. 令0l '=，解得4x =或4x =- (舍去).当04x <<时，0l '<；当4x >时，0l '>；故当4x =时， 取得最小值，为816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元.4和83 【解析】设点2()(402)B x x x -<<，， 则232(4)28S x x x x =-=-+，所以268S x '=-+，令0S '=，得3x =，当03x <<时，0S '>；当23x <<时，0S '<，则当x =328S x x =-+取得最大值，此时另一边长为83. 5．【解析】（1）设隔热层厚度为cm ，由题设，知每年能源消耗费用为()35kC x x =+，由(0)8C =，解得40k =，故40()35C x x =+，而建造费用为1()6C x x =，则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++.（2()0f x '=，解得5x =或253x =-（舍去）. 当05x <<时，()0f x '<；当510x <<时，()0f x '>，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值是800(5)3070155f =+=+.故当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.6．【解析】设包装盒的高为 cm h ，底面边长为cm a .由已知得)030a h x x ===-<<，，， （1）248(30)8(15)1800S ah x x x ==-=--+，所以当15x =时，S 取得最大值.（2）23230)(20)V a h x x V x ==-+=-'，，由0V '=，得 0x =(舍去)或20x =.当(020)x ∈，时，0V '>；当 (2030)x ∈，时，0V '<. 所以当20x =时，V 取得极大值，也是最大值.此时1 2h a =，即包装盒的高与底面边长的比值为1 2.7．9万件 【解析】由31812343y x x =-+-，得281y x '=-+，由2810x -+=，得19x =-（舍去），29x =．当(09)x ∈，时，0y '>，函数31812343y x x =-+-为增函数； 当(9x ∈+∞，)时，0y '<，函数31812343y x x =-+-为减函数， 所以当9x =时，函数有极大值，也就是最大值，为319819234252()3-⨯+⨯-=万元．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．8．【解析】在如图1所示的ABC △中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．由AD BC ⊥，45ACB ∠=知，ADC △为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知，折起后（如图2），A D D C⊥，AD BD ⊥，且BD D C D =，所以AD ⊥平面BCD ．因为90BDC ∠=，所以11(3)22BCD S BD CD x x =⋅=-△． 于是321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+△． 令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =． 当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大.9．【解析】（1）设容器的容积为V ，由题意知234ππ3V r l r =+，又0π3V 8=，所以32224π8044203()π333V r l r r r r r -==-=-． 因为2l r ≥，即2420()23r r r-≥，解得2r ≤，所以02r <≤. 所以建造费用为2222420160π2π34π2π()34π4π(2),023y rl r c r r r c c r r r r=⨯+=⨯-⨯+=-+<≤. （2）由（1）得322160π20()(028π(2)8π))2(2c r r r r c y c r -'=--=-<≤-， 因为3c >，所以20c ->，当32002r c -=-时，r =m =，则0m >. 所以222(π(()2))8r m r rm m rc y -++-'=. ①当02m <<，即92c >时， 令0y '=，解得r m =.当(0,)r m ∈时，0y '<，函数y 单调递减；当(2)r m ∈，时，0y '>，函数y 单调递增.所以r m ==2160π4π(2)y c r r=-+的极小值点，也是最小值点． ②当2m ≥，即932c <≤时， 当(02]r ∈，时，0y '≤，函数y 单调递减，所以2r =是函数2160π4π(2)y c r r =-+的最小值点． 综上所述，当932c <≤时，该容器的建造费用最小时2r =； 当92c >时，该容器的建造费用最小时r =10．【解析】（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh （元），底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 因为r ＞0，又h ＞0，所以可得0r <<故函数V (r )的定义域为(0,．（2）因为V (r )＝π5(300r －4r 3)（0r <<，所以2()3001π(52)V r r =-'． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝5-（因为r 2＝5-不在定义域内，舍去）． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．11．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩. （2）①由（1）知，21000(520)y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000(,)t t， 设在点P 处的切线交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x'=-， 则的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得233000(,0),(0,)2t A B t .故()[5,20]f t t ==∈. ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t ⨯'=-.令()0g t '=，解得t =当t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当20)t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数.从而，当t =()g t 取得极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =答：当t =千米.。

3.4生活中的优化问题举例（一）
教学任务分析：
1.什么叫优化问题.
2.运用导数解决优化问题举例x
a x x f +=)(型. 教学重点、难点：
重点：用用导数解决优化问题举例.
难点：理解题意与建立目标函数.
教学过程：
例1. 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
练习1. 将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比2：1及3：2的矩形，那么两个矩形面积之和的最大值是104
32
l .
练习2. 用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90o 角，再焊接而成如图，问截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
练习3. 如图所示，某农场要建3个相同矩形的养鱼池，每个面积为10000m2，鱼池前面要留4m宽的通道，其余各边要留2m宽的堤梗，问：每个鱼池的长、宽各为多少米时，占地
面积最少？
课后作业
《习案》三十三课时. D
A
C
B
2
4
222 2。

《生活中的优化问题举例》教学案教学目标：能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．教学重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．教学难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．教学过程：背景知识：生活中经常遇到求面积体积最大、利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.一、知识回顾利用导数求函数最值的步骤？(1)先求___________；(2)再____________.二、新课探究：探究(一)：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？思考1：设哪个量为x，函数式子更简单？版心的高，宽，海报的高，宽？思考2：设版心的高为x，则版心的宽为___________，海报的高为___________，海报的宽为___________？海报的面积为___________？海报四周空白的面积为___________？思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？思考4：用什么方法求S(x)的最大值？能想到几种方法？解法一：解法二：方法感悟：解决面积、容积的最值问题，要合理选择自变量，结合图形，将面积或容积表示为自变量的函数，并确定函数定义域.探究(二)：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？思考1：1mL 饮料所占的体积是多少3cm ？半径为r 的瓶子最多能装多少mL 的饮料？出售每瓶饮料制造商可获利多少？思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：分)是多少？思考3：设每瓶满装饮料的利润为f (r )，则函数f (r )的定义域是什么？解：方法感悟：解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．三、课堂检测练习1：将一段长为12cm 的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？分析：可设哪个量为x ？2：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润L =___________减去___________，而收入R =___________乘以_________．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．3:在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：设箱底边长为x ，则箱底面积为___________？箱子高为___________？箱子容积=___________？4. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系为P ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．[分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px ，月利润＝月收入－成本＝px －(50000＋200x )(x ≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值四、小结解决生活中的优化问题的基本步骤1、建立实际问题的数学模型，写出函数关系式；2、求函数的导数，求出极值点；3、确定最大(小)值；4、作答.。

生活中的优化问题举例一、教学目标：知识与技能：使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用过程与方法：通过对实际问题的解决，提高学生分析和解决问题的能力，发展数学建模意识；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）探究新知探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解 设版心的高为x dm ，则版心的宽为128x dm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)⎝⎛⎭⎫128x ＋2－128＝2x ＋512x ＋8，x >0.求导数，得S ′(x )＝2－512x 2. 令S ′(x )＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0. 因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 米． 答案 32,16探究点二 利润最大问题例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r (单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解 由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是y ＝f (r )＝0.2×43πr 3－0.8πr 2＝0.8π⎝⎛⎭⎫r 33－r 2，0<r ≤6.令f ′(r )＝0.8π(r 2－2r )＝0.当r ＝2时，f ′(r )＝0.当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6 cm时，利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三费用(用材)最省问题例3已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0，即y 在(8，v 0]上为减函数， ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16 km/h 全程燃料费最省，为32 000元； 当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 20v 0－8元．反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v ＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．跟踪训练3 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解 (1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x ＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x ＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x 2＋300，令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)． 因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x ＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶． （三）当堂达标1．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．RB ．2RC.43RD.34R 【答案】 C2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6【答案】 B【解析】 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2， 其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2(0<x <0.048 6)． 令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032 4时，y ′>0；当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3 B ．3m 3 C ．4m 3D ．5m 3【答案】 B当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极值就是V (x )的最大值 从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 2)．4．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( ) A ．25件 B ．20件 C ．15件D ．30件【答案】 A【解析】 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250000，则a 2x ＝250000，所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0， x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．5．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8 (0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 五、小结。