长郡教育集团期末考试初一数学试卷(含答案)

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. √81的平方根是( )A. −3B. ±3C. ±9D. −92. 方程(m 2−9)x 2+x −(m +3)y =0是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的值为( )A. ±3B. 3C. −3D. 9 3. 若m <n ，则下列不等式中正确的是( ) A. m −3>n −3 B. 3m >nC. −3m >−3nD. m 3>n 3 4. △ABC 中，若∠A =∠B −∠C ，则△ABC 的形状一定是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上都有可能5. 三角形三边长分别为6，2a −2，8，则a 的取值范围是( )．A. 1<a <2B. 12<a <2C. 2<a <8D. 1<a <46. 如图，直线AB//CD ，∠1=125°，则∠2等于( )A. 55°B. 65°C. 75°D. 85°7. 如图，AB =DB ，∠1=∠2，添加下列条件不能判定△ABC≌△DBE 的是( )A. BC =BEB. AC =DEC. ∠A =∠DD. ∠ACB =∠DEB8. 方程组{2x +5y =−43x −2y =13的解是( ) A. {x =5y =−6 B. {x =−3y =2 C. {x =−3y =−2 D. {x =3y =−2 9. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为( )A. {y =5x +45y =7x +3B. {y =5x −45y =7x +3C. {y =5x +45y =7x −3D. {y =5x −45y =7x −310. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE//BC ，点F在BC 的延长线上，若∠ACF =140°，∠ADE =105°，则∠A 的大小为( )A. 30°B. 35°C. 50°D.75°11. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，若AB =9，CD =2，则△ABD的面积是( )A. 92B. 9C. 18D. 9412. 如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB =m ，PC =n ，AB =c ，AC =b ，则(m +n)与(b +c)的大小关系是( )A. m +n >b +cB. m +n <b +cC. m +n = b +cD. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 在实数7，√4，π，√−83中，无理数有______个．14. 方程5x −6y +2=0，用x 的代数式表示y ，则y =________．15. 如图，AB//CD ，AD ⊥BD ，∠A =60°，则∠BDC 的度数为______．16. 若不等式组{x >a x +2<4x −1的解集是x >1，则a 的取值范围是______． 17. 如图，六边形ABCDEF 是正六边形，那么∠α的度数是______．18.如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．其中正确结论的序号有______．三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）19.解二元一次方程组{2x+y=7①x−2y=1②．20.如图，等腰直角△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，点M在AD上，连接BM，过点C作CN⊥BM于点E，交AB于N，交BD于F，连接DE，AE．(1)若∠BCN=30°，EN=2，求AN的长；(2)若DE⊥AE于E，DG⊥DE交CN于G，求证：CE=√2AE．四、解答题（本大题共6小题，共51.0分）21. 解不等式组{1−x−22≥11−2(x −1)<3，并把解集在数轴上表示出来．22. 已知：如图，AB//CD ，AB =CD ，求证：AD//BC ．23. 把下面的证明过程补充完整．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，点E 在BC 上，点G 在CA 延长线上，EG 交AB 于点F ，且∠AFG =∠G.求证：GE//AD ．证明：在△AFG 中，∠BAC =∠G +_____(__________________)又∵∠AFG =∠G(已知)，∴_____=2∠G ．∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAC =2∠DAC(___________)．∴______=2∠DAC(__________)．∴∠G=∠DAC．∴__________(_____)．24.长沙某学校计划为“我和我的祖国”图说时政比赛购买A、B两种奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需130元，购买5个A奖品和4个B奖品共需230元．(1)求A，B两种奖品的单价；(2)若学校准备购买A奖品和B奖品共40个，且A奖品数量不少于B奖品数量的三分之一，购买预算金额不超过920元，请问学校有几种购买方案？25.已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．(1)如图1，若AD=5，点D是AC边上的中点，求△BCD的面积；(2)如图2，若BD是∠ABC的角平分线，求证：BC=AD+AB；(3)如图，若D、E是AC边上两点，且AD=CE，AF⊥BD，交BD、BC于F、G，连接BE、GE，猜想∠ADB与∠CEG的大小关系，并说明理由．26.如图，△ACB与△CED都是等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90°，且点D在线段AB上，连接AE．(1)求证：①△BCD≌△ACE；②∠DAE=90°；(2)若AB=8，当点D在线段AB上什么位置时，四边形ADCE的周长最小？请说明并求出周长的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵√81=9，∴√81的平方根为±3．故选B求出81的算术平方根，找出结果的平方根即可．此题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由题意得：m2−9=0，且m+3≠0，解得：m=3，故选：B．根据二元一次方程的定义可得m2−9=0且m+3≠0，再解之即可．本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握“含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”．3.答案：C解析：【分析】根据不等式的性质分析判断．不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．【解答】解：A、若m<n，根据不等式的基本性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，所以m−3>n−3不正确；B、3m>n中，m<n两边没有同时乘以3，所以不成立；C、不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，故−3m>−3n正确；D、不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，所以m3>n3不正确．故填C．4.答案：A解析：【分析】本题考查的是三角形内角和定理有关知识，先根据∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°可得出∠B 的度数，进而得出结论．【解答】解：∵∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B =90°，∴△ABC 是直角三角形．故选A ．5.答案：C解析：【分析】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，就是根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出式子，即可求解．【解答】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，∴2a −2<6+8，即a <8，任意两边之差小于第三边，∴2a −2>8−6，即a >2，∴2<a <8，故选C ．6.答案：A解析：解：如图所示，∵AB//CD ，∴∠1=∠3=125°，∴∠2=180°−∠3=180°−125°=55°，故选：A ．根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据平角的定义由即可求出答案．本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质求出∠3的度数是解此题的关键．7.答案：B解析：【分析】此题考查全等三角形的判定，根据等式性质由∠1=∠2可得∠ABC =∠DBE ，再结合AB =DB ，△ABC 与△DBE 具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：A.添加BC =BE ，可根据SAS 判定△ABC≌△DBE ，故正确；B .添加AC =DE ，SSA 不能判定△ABC≌△DBE ，故错误；C .添加∠A =∠D ，可根据ASA 判定△ABC≌△DBE ，故正确；D .添加∠ACB =∠DEB ，可根据ASA 判定△ABC≌△DBE ，故正确．故选B ．8.答案：D解析：解：{2x +5y =−4 ①3x −2y =13 ②①×2+②×5得19x =57，x =3，把x =3代入①得6+5y =−4，y =−2，{x =3y =−2， 故选：D ．根据加减消元法，可得方程组的解．本题考查了解二元一次方程组，加减消元法是解题关键．9.答案：A解析：【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，根据设出的未知数，找出合适的等量关系，根据羊的价格不变列出方程组．【解答】解：根据题意可列方程组：{y =5x +45y =7x +3， 故选A ．10.答案：B解析：解：∵DE//BC ，∴∠DEC =∠ACF =140°，∴∠AED =180°−140°=40°，∵∠ADE =105°，∴∠A =180°−105°−40°=35°，故选：B ．根据平行线的性质得出∠DEC =140°，进而利用三角形内角和解答即可．此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出∠DEC =140°．11.答案：B解析：【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质求出DE ，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DE ⊥AB 于E ，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=2，∴S△ABD=12×9×2=9．故选B．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n>b+c．【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，{AE=AC∠CAD=∠EAD AP=AP,∴△ACP≌△AEP(SAS)，∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE>AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n>b+c．故选A．13.答案：1解析：【分析】本题考查的是无理数的定义，即其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等这样有规律的数．根据无理数的概念进行解答即可．【解答】解：√4=2，√−83=−2，在实数7，√4，π，√−83中，无理数有π，一共1个故答案为：1．14.答案：5x+26解析：【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y.把x 看做已知数求出y 即可．【解答】解：5x −6y +2=0，6y =5x +2y =5x+26．故答案为：5x+26．15.答案：30°解析：解：∵AB//CD ，∠A =60°，∴∠ADC =180°−60°=120°．∵AD ⊥BD ，∴∠ADB =90°，∴∠BDC =∠ADC −∠ADB =120°−90°=30°．故答案为：30°．先根据AB//CD ，∠A =60°，求出∠ADC 的度数，再由AD ⊥BD 得出∠ADB =90°，进而可得出结论． 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．16.答案：a ≤1解析：解：{x >a ①x +2<4x −1 ②， 解不等式②得，x >1，∵不等式组的解集是x >1，∴a ≤1．故答案为：a ≤1．先求出第二个不等式的解集，然后根据“同大取大”确定a 的值即可．本题主要考查了一元一次不等式组解集的确定求法，根据“同大取大”的原则，a 不大于1，从而得解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)． 17.答案：60°解析：【分析】考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．任何多边形的外角和是360度，用360°除以6可求∠α的度数．【解答】解：360°÷6=60°．∠α的度数是60°．故答案为60°．18.答案：①②③④解析：解：∵AD 平分∠CAF ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴DE =DF ，在Rt △CDE 和Rt △BDF 中，{DE =DF CD =BD, ∴Rt △CDE≌Rt △BDF(HL)，故①正确；∴CE =BF ，在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，{AD =AD DE =DF， ∴Rt △ADE≌Rt △ADF(HL)，∴AE =AF ，∴CE =AB +AF =AB +AE ，故②正确；∵Rt △CDE≌Rt △BDF ，∴∠DBF =∠DCE ，∵∠AOB =∠COD ，(设AC 交BD 于O)，∴∠BDC =∠BAC ，故③正确；∠DAE =∠CBD ，∵Rt △ADE≌Rt △ADF ，∴∠DAE =∠DAF ，∴∠DAF =∠CBD ，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故答案为：①②③④．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE =DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △BDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE =BF ，利用“HL ”证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE =AF ，然后求出CE =AB +AE ；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF =∠DCE ，利用“8字型”证明∠BDC =∠BAC ；∠DAE =∠CBD ，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE =∠DAF ，然后求出∠DAF =∠CBD ．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．19.答案：解：由①×2得：4x +2y =14③，③+②得：5x =15，即x =3，把x =3代入②得：y =1，则方程组的解为{x =3y =1．解析：方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 20.答案：(1)解：∵∠BCN =30°，∠CBN =90°，∴∠CNB =60°，∵BE ⊥CN ，EN =2， ∴BN =4，BC =BA =4√3，∴AN =AB −BN =4√3−4．(2)∵BA =BC ，BD ⊥AC ，∴AD =DC =BD ，∵AE ⊥DE ，DE ⊥DG ，∴∠AED =∠EDG =90°，∴DG//AE ，∴EG =GC ，∴DG =12AN ， ∠EDG =∠BDC =90°，∴∠BDE =∠CDG ，∵∠BEF =∠FDC =90°，∠BFE =∠CFD ，∴∠DBE =∠DCG ，∵BD =CD ，∴△BDE≌△CDG ，∴DE =DG ，∴EG =√2DG ，∴2EG =√2⋅(2DG)，即EC =√2AE ．解析：(1)想办法求出BN ，BC 的值即可解决问题；(2)首先证明DG =12AE ，再证明△DEG 是等腰直角三角形即可解决问题；本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．21.答案：解：{1−x−22≥1①1−2(x −1)<3②∵解不等式①得：x ≤2，解不等式②得：x >0，∴不等式组的解集为：0<x ≤2，在数轴上表示不等式组的解集为： ．解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．22.答案：证明：∵AB//CD∴∠ABD=∠BDC，在△ABD和△CDB中，{AB=CD∠ABD=∠BDC BD=BD，∴△ABD≌△CDB(SAS)，∴∠ADB=∠CBD，∴AD//BC．解析：根据两直线平行，内错角相等，求出∠ABD=∠BDC，再证明△ABD和△CDB全等，然后根据全等三角形对应角相等，得出∠ADB=∠CBD，进一步判定AD//BC．本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及平行线的性质与判定的综合应用，找准内错角是解决问题的关键．23.答案：证明：在△AFG中，∠BAC=∠G+∠AFG(三角形外角性质)又∵∠AFG=∠G(已知)，∴∠BAC=2∠G.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠DAC(角平分线的定义).∴2∠G=2∠DAC(等量代换).∴∠G=∠DAC.∴GE//AD(同位角相等，两直线平行).故答案为∠AFG；三角形外角性质；∠BAC；角平分线的定义；2∠G；等量代换；GE//AD；同位角相等，两直线平行．解析：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握三角形内角与外角的关系，以及平行线的判定定理．根据三角形外角与内角的关系可得∠G+∠GFA=∠BAC，根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠DAC，又∠AFG=∠G.进而得到∠BAC=2∠G，从而得到∠DAC=∠G，即可判定出GE//AD．24.答案：解：(1)设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为130−3x2元.由题可得5x+4×130−3x2=230，解得x=30元，130−3x2=20元．答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元.(2)设购买A种奖品a个，则购买B种奖品(40−a)个.由题可得{a≥13(40−a)30a+20(40−a)≤920,解得10≤a≤12．∴学校有三种购买方案方案一：购买A种奖品10个，购买B种奖品30个；方案二：购买A种奖品11个，购买B种奖品29个；方案三：购买A种奖品12个，购买B种奖品28个.解析：本题主要考查一元一次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．(1)设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为130−3x2元.由题意列出方程，解方程求A，B两种奖品的单价；(2)设购买A种奖品a个，则购买B种奖品(40−a)个.由题可得{a≥13(40−a)30a+20(40−a)≤920&，解不等式组即可求出购买方案．25.答案：解：(1)如图1，∵D是AC的中点，∴AD=CD，∵AD=5，∴AC=2AD=10，∴AB=AC=10，∴S△BCD=S△ABD=12AD⋅AB=12×10×5=25；(2)如图2，过D作DE⊥BC于E，，∵∠BAC=90°，∴∠BED=∠BAC=90°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠EBD，又∵BD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴AB=EB，AD=DE，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，又∵∠CED=90°，∴∠CDE=180°−∠CED−∠C=45°=∠C，∴CE=DE，又∵AB=EB，AD=DE，∴BC=BE+CE=AB+DE=AB+AD；(3)∠ADB=∠CEG．理由如下：如图3，过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H，，又∵∠BAC=90°，∴∠HCA=∠DAB=90°，∵∠BAC=90°，AF⊥BD，∴∠DAF+∠ADF=90°，∠ABD+∠ADF=90°，∴∠ABD=∠DAF，又∵AB=AC，∠HCA=∠DAB，∴△ABD≌△CAH，∴AD=CH，∠ADB=∠H，又∵AD=CE，∴CH=CE，∵∠ACB=45°，∠ACH=90°，∴∠BCH=∠ACB=45°，又∵GC=GC，CH=CE，∴△ECG≌△HCG，∴∠CEG=∠H，又∵∠ADB=∠H，∴∠ADB=∠CEG．解析：本题考查了全等三角形的判定和性质及角平分线的定义及性质，三角形的面积.综合应用全等三角形的判定定理证明三角形的全等并根据全等三角形的性质证明线段的数量关系是解题的关键．(1)根据中点的定义求出AC，AB的长，再根据直线的性质可得△BCD的面积等于△ABD的面积，求出△ABD的面积即可；(2)根据角平分线的定义可得∠ABD=∠EBD，再证明△ABD≌△EBD，可得AB=EB，AD=DE，进而可证明BC=AD+AB；(3)构造三角形CAH，证明△ABD≌△CAH，得AD=CH，∠ADB=∠H；得出CE=CH，所以继续证明△ECG≌△HCG，得∠CEG=∠H，从而得出结论.26.答案：(1)证明：①∵△ACB与△CED都是等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90°，∴BC=AC，CD=CE，∠BCD=∠ACE．在△BCD和△ACE中，{BC=AC∠BCD=∠ACE CD=CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)；②∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，由①知，△BCD≌△ACE，∴∠ABC=∠EAC，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°；(2)∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，由(1)知，△BCD≌△ACE，∴BD=AE，∴L四边形ADCE=AD+AE+CE+CD=AB+2CD=8+2CD，要四边形ADCE的周长最小，∴CD最小，∵点D在AB上，∴CD⊥AB时，CD最小，∵AC=BC，∴AD=BD．即：点D是AB的中点，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=8，∴CD=4，∴L四边形ADCE最小=8+2CD最小=8+2×4=16，即：点D是AB中点时，四边形ADCE的周长最小，最小值为16．解析：(1)①判断出BC=AC，CD=CE，∠BCD=∠ACE，即可得出结论；②利用全等三角形的性质得出∠EAC=45°，即可得出结论；(2)先判断出L四边形ADCE=8+2CD，进而判断出CD⊥AB时，CD最小，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的周长，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. √4B. 0.333...C. √-1D. -3/52. 已知 a > b，下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 < b - 2C. a + 3 > b + 3D. a - 3 < b - 33. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x，则 x 的值为（）A. 4B. 2C. 3D. 14. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）5. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = -x^2D. y = x^36. 下列等式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2abB. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 2abC. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab7. 下列数列中，不是等差数列的是（）A. 1, 4, 7, 10, ...B. 3, 6, 9, 12, ...C. 5, 10, 15, 20, ...D. 2, 5, 8, 11, ...8. 若等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为（）A. 20B. 22C. 24D. 269. 下列各式中，是勾股数的是（）A. 3, 4, 5B. 5, 12, 13C. 6, 8, 10D. 7, 24, 2510. 下列各图中，不是平行四边形的是（）A.B.C.D.二、填空题（每题4分，共40分）11. 5的平方根是__________，3的立方根是__________。

12. 若 a + b = 7，a - b = 3，则 a 的值为__________，b 的值为__________。

2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个数中，最大的数是（）A．﹣（﹣2021）B．|﹣2022|C．﹣|﹣2023|D．﹣（+2024）2．（3分）2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客609.65万人次．数据“609.65万”用科学记数法表示为（）A．0.60965×108B．6.0965×107C．60.965×106D．6.0965×106 3．（3分）单项式﹣2πxy2z3的系数和次数分别是（）A．﹣π，5B．﹣2π，6C．﹣1，6D．﹣2，74．（3分）2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路（贺龙体育中心东广场旁）起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋驰骋在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸、山水洲城的魅力．图①是此次全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图形是（）A．B．C．D．5．（3分）下列变形一定正确的是（）A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若，则a＝bC．若2a＝3b，则D．若2a＝2b+1，则a＝b+16．（3分）如图，直线DE与BC相交于点O，∠COE与∠AOE互余，∠BOD＝35°，则∠AOE的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°7．（3分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（）A．a＞b B．﹣a＞b C．|a|＞|b|D．a+b＞0 8．（3分）某学校教学楼扩建工程甲单独做9天完成，乙单独做15天完成．现在乙先做3天，甲再加入合做．设完成此工程一共用了x天，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α＝∠β的图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称做康托尔集．如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段…将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称做康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：9ab﹣2ab＝．12．（3分）如果单项式﹣x m y2与6xy n+5是同类项，那么m+n＝．13．（3分）如图，点A在点O的东南方向，点B在点O的北偏东50°方向，则∠AOB＝________°．14．（3分）元旦节期间，某商店将一件衣服按成本价提高50%后标价，然后打八折卖出，结果仍获利60元，那么这件衣服的成本价是元．15．（3分）已知（a﹣1）x|a|+2024＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．16．（3分）2023年5月9日，湖南湘江新区大王山欢乐云巴正式对外运营．一张云巴票就能领略沿途10余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过7个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间需要安排不同的车票种．三、解答题（本大题共9小题，共22分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：（1）5（x+6）＝5﹣3（1﹣3x）；（2）．18．（6分）计算：（1）﹣6+（﹣4）×（﹣3）+（﹣2）3÷4；（2）﹣13﹣[2×（﹣5）+（﹣3）2]÷．19．（6分）先化简，再求值：﹣a2b+2（3ab2﹣a2b）﹣3（ab2﹣a2b），其中a＝1，b＝﹣2．20．（8分）已知关于x的方程与方程3x+5＝11的解互为相反数，求a的值．21．（8分）如图，线段AB＝24．C是线段AB的中点，D是线段BC的中点．（1）求线段AD的长；（2）在线段AD上有一点E，满足，求AE的长．22．（9分）如图，已知点O为直线AB上一点∠COE＝62°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠AOF＝3∠BOE，求∠FOD的度数．23．（9分）2024年10月26日，长郡中学将举行120周年华诞庆典．为更好的展示庆典盛况，学校计划用无人机进行拍摄选用无人机时，为比较I号、II号两架无人机的性能，让I号无人机从海拔10米处出发，以18米/分钟的速度匀速上升，II号无人机从海拔30米处同时出发，匀速上升，经过12分钟，I号无人机比Ⅱ号无人机高40米．（1）求Ⅱ号无人机的上升速度；（2）当这两架无人机位于同一海拔高度时，求此时的海拔高度．24．（10分）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD+∠AOB＝90°，则∠COD是∠AOB的内余角．根据以上信息，解决下面的问题：（1）如图1，∠AOB＝72°，∠AOC＝20°，若∠COD是∠AOB的内余角，则∠BOD ＝；（2）如图2．已知∠AOB=60°将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜60°）得到OC．同时将OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD．若∠COB是∠AOD 的内余角，求α的值；（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD 边与OB边重合，如图4将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，请求出t的值．25．（10分）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式（a+2）x3+2x2+9x+5是关于x的二次多项式，一次项系数为c．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为；（3）在数轴上剪下AC（从a到c）这条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为2：2：5，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少？2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值的大的反而小判断即可．【解答】解：﹣（﹣2021）＝2021，|﹣2022|＝2022，﹣|﹣2023|＝﹣2023，﹣（+2024）＝﹣2024，∵﹣2024＜﹣2023＜2021＜2022，∴|﹣2022|＞﹣（﹣2021）＞﹣|﹣2023|＞﹣（+2024），故选：B．【点评】本题考查了有理数比较大小，解题关键是熟记有理数比较大小的法则．2．【分析】确定n的值的方法是看数变成a时，小数点的移动，当小数点向左移动时，n的值与移动位数相同；当小数点向右移动时，小数点移动位数的相反数等于n的值．【解答】解：609.65万＝6096500＝6.0965×106，故选：D．【点评】本题主要考查科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式a×10n，其中1≤|a|＜10，n的取值是解题的关键．3．【分析】根据单项式的系数和次数的概念解答．【解答】解：单项式﹣2πxy2z3的系数是﹣2π，次数是6，故选：B．【点评】本题考查的是单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．4．【分析】观察图形，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看，可得到图形：．故选：A．【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．【分析】根据等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，等式仍成立；等于两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数或式子，等式仍成立；由此即可求解．【解答】解：A、等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立，故原选项错误，不符合题意；B、等式两边同时乘以不为零的数c，等式仍成立，故原选项正确，符合题意；C、等式两边同时除以2得，，故原选项错误，不符合题意；D、等式两边同时除以2得，，故原选项错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查等式的性质，解题的关键是理解根据等式的性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，等式仍成立；等于两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数或式子，等式仍成立．6．【分析】根据对顶角的定义，得∠BOD＝∠COE＝35°．根据互余的定义，得∠AOE＝90°﹣∠COE＝55°．【解答】解：∵∠BOD和∠COE是对顶角，∴∠BOD＝∠COE＝35°．∵∠COE+∠AOE＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣35°＝55°．故选：A．【点评】本题主要考查对顶角、余角，熟练掌握对顶角的定义、余角的定义是解决本题的关键．7．【分析】根据有理数a，b在数轴上对应点的位置，可知，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，再根据有理数加法的计算方法得出答案．【解答】解：根据有理数a，b在数轴上对应点的位置，可知a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，∴a+b＞0，故选：D．【点评】考查数轴表示数的意义，根据数轴上两点位置，确定各个数的符号和绝对值是得出正确结论的前提．8．【分析】根据乙先做3天，甲再加入合做找到等量关系列出方程即可．【解答】解：由题意可得：，故选：A．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是找出等量关系．9．【分析】根据每个图中的三角尺的摆放位置，容易得出∠α和∠β的关系．【解答】解：第1个图中，∠α＝∠β＝45°，符合题意；第2个图中，根据同角的余角相等，∠α＝∠β，且∠α与∠β均为锐角，符合题意；第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°，∴∠α＝∠β，符合题意；第4个图中，根据图形可知∠α与∠β是邻补角，∴∠α+∠β＝180°，不符合题意；综上，∠α＝∠β的图形有3个．故选：C．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．10．【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为，第二阶段时，余下的线段的长度之和为×＝，第三阶段时，余下的线段的长度之和为＝，第四阶段时，余下的线段的长度之和为×＝，故选：B．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】根据合并同类项运算法则进行计算即可．【解答】解：9ab﹣2ab＝（9﹣2）ab＝7ab，故答案为：7ab．【点评】本题主要考查合并同类项，掌握合并同类项运算法则进行计算是关键．12．【分析】根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此求解即可．【解答】解：∵单项式﹣x m y2与6xy n+5是同类项，∴，∴，∴m+n＝1+（﹣3）＝﹣2故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义．13．【分析】利用平角180°减去45°与50°的和进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠AOB＝180°﹣（45°+50°）＝85°，故答案为：85．【点评】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．14．【分析】设这件衣服的成本价为x元，根据数量关系列式求解即可求解，【解答】解：设这件衣服的成本价为x元，∴标价为：x（1+50%）＝1.5x（元），∴打八折的标价为：1.5x×80%＝1.2x（元），∴1.2x﹣x＝60，解得，x＝300，∴这件衣服的成本价为300元，故答案为：300．【点评】本题主要考查一元一次方程的运用，关键是理解题目中的数量关系，掌握标价﹣成本价＝利润的数量关系，解方程的方法是解题的关键．15．【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．【解答】解：由题意得：|a|＝1且a﹣1≠0，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．16．【分析】本题需先求出首尾两站之间共有多少条线段，根据线段的条数即可求出车票的种数．【解答】解：设首尾两站为点A、B，点C、D、E、F、G、H、M是线段AB上的七个点，根据题意可得：图中共用条线段，∵A到B与B到A车票不同．∴A、B之间的车票共有36×2＝72（种），故答案为：72．【点评】本题主要考查了如何求线段的条数的问题，关键是要注意线段的条数与车票种数的联系与区别．三、解答题（本大题共9小题，共22分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解．【解答】解：（1）5（x+6）＝5﹣3（1﹣3x），去括号得，5x+30＝5﹣3+9x，移项得，5x﹣9x＝5﹣3﹣30，合并同类项得，﹣4x＝﹣28，系数化为1得，x＝7；（2）去分母得，2（4y+2）﹣5（3y﹣1）＝10，去括号得，8y+4﹣15y+5＝10，移项得，8y﹣15y＝10﹣4﹣5，合并同类项得，﹣7y＝1，系数化为1得，．【点评】本题主要考查解一元一次方程，掌握去括号、去分母、移项、合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键．18．【分析】（1）先算乘方，再算乘法与除法，最后算加减即可；（2）先算乘方，再算括号里的运算，接着算除法，最后算加减即可．【解答】解：（1）﹣6+（﹣4）×（﹣3）+（﹣2）3÷4＝﹣6+（﹣4）×（﹣3）﹣8÷4＝﹣6+12﹣2＝4；（2）﹣13﹣[2×（﹣5）+（﹣3）2]÷＝﹣1﹣[2×（﹣5）+9]×2＝﹣1﹣（﹣10+9）×2＝﹣1﹣（﹣1）×2＝﹣1+2＝1．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．【分析】利用整式加减运算的法则化简代数式，再将a＝1，b＝﹣2代入化简后的式子计算即可．【解答】解：﹣a2b+2（3ab2﹣a2b）﹣3（ab2﹣a2b）＝﹣a2b+6ab2﹣2a2b﹣3ab2+3a2b＝3ab2，将a＝1，b＝﹣2代入得：3ab2＝3×1×（﹣2）2＝12．【点评】本题考查了整式加减的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式加减的运算法则．20．【分析】首先解得第二个方程的解x＝2，然后根据相反数的定义将x＝﹣2代入第一个方程来求a的值即可．【解答】解：3x+5＝11，∴3x＝11﹣5，∴3x＝6，解得：x＝2，∴x＝﹣2是方程的解，代入得：，∴2（﹣2+a）＝﹣12﹣3a，解得：．【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义及解一元一次方程，正确进行计算是解题关键．21．【分析】（1）根据线段的中点先算出AC，CD的长，再根据线段的和差即可求解；（2）根据题意可算出CE的长，分类讨论，当点E在AC之间时；当点E在CD之间时；由此即可求解．【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点，∴，∵点D是线段BC的中点，∴，∴AD＝AC+CD＝12+6＝18，∴线段AD的长为18；（2）∵AC＝BC＝12，∴，当点E在AC之间时，AE＝AC﹣CE＝12﹣2＝10；当点E在CD之间时，AE＝AC+CE＝12+2＝14；综上所述，AE的长为10或14．【点评】本题主要考查线段的和差运算，掌握中点的运算是解题的关键．22．【分析】（1）根据角平分线定义，结合余角补角概念计算即可；（2）先求出∠AOF＝84°，再根据两角之差求出结论．【解答】解：（1）∵∠COE＝62°，∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣62°＝28°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝2×28°＝56°，∴∠AOD＝180°﹣56°＝124°；（2）∵∠DOE＝∠BOE＝28°，∠AOF＝3∠BOE，∴∠AOF＝3×28°＝84°，∴∠FOD＝∠AOD﹣∠AOF＝124°﹣84°＝40°．【点评】本题考查的是角平分线的有关计算及角的和差计算，解题的关键是理解角的和差定义．23．【分析】（1）设Ⅱ号无人机的上升速度为x米/分，根据题意列出方程求解即可；（2）设当y分钟时这两架无人机位于同一海拔高度，根据题意列出方程求解即可．【解答】解：（1）设Ⅱ号无人机的上升速度为x米/分，根据题意，得：10+18×12﹣40＝30+12x，解得：x＝13，答：Ⅱ号无人机的上升速度是13米/分；（2）设当y分钟时这两架无人机位于同一海拔高度，根据题意，得：10+18y＝30+13y，解得：y＝4，∴10+18y＝10+18×4＝82（米），答：此时的海拔高度是82米．【点评】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．24．【分析】（1）根据内余角可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD 即可求解；（2）根据旋转的性质分别用含α的式子表示∠COB，∠BOD的度数，再根据∠COB是∠AOD的内余角列式求解即可；（3）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当OC在∠AOB内部时；当OC在射线OB下方时；当OD在OA上方时；当OD在∠AOB内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可．【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的内余角，∴∠COD+∠AOB＝90°，∵∠AOB＝72°，∴∠COD＝90°﹣∠COD＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOC＝20°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝72°﹣20°﹣18°＝34°，故答案为：34°；（2）已知∠AOB＝60°，OA绕点O顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜60°）得到OC，OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD，∴∠AOC＝α，，∴∠BOC＝∠AOB﹣α＝60°﹣α，，∵∠COB是∠AOD的内余角，∴∠COB+∠AOD＝90°，∴，解得α＝45°∴α的值为45°；（3）根据题意可得，∠AOB＝30°，三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当OC在∠AOB内部时，如图所示，∴∠AOC＝6t，∠BOD＝6t，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°﹣6t，∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝30°+6t，若∠COB是∠AOD的内余角时，得∠COB+∠AOD＝90°，∴30﹣6t+30+6t＝90°，无解，∴当OC在∠AOB内部时，射线OA，OB，OC，OD不能构成内余角；当OC在射线OB下方时，如图所示，∴∠BOC＝6t﹣30°，∠AOD＝6t+30°，若∠BOC是∠AOD的内余角，∴6t﹣30°+6t+30°＝90°，解得t＝7.5；当OD在OA上方时，如图所示，∴∠AOD＝360°﹣6t﹣30°＝330°﹣6t，∠BOC＝∠AOD+60°＝330°﹣6t+60°＝390°﹣6t，若∠AOD是∠BOC的内余角，∴330°﹣6t+390°﹣6t＝90°，解得t＝52.5；当OD在∠AOB内部时，如图所示，∴∠AOC＝360°﹣6t，∠BOD＝360°﹣6t，∠AOD＝6t﹣∠AOC＝6t﹣（360°﹣6t）＝12t﹣360°，∴∠BOC＝∠AOC+∠BOD＝360°﹣6t+360°﹣6t＝720°﹣12t，若∠AOD是∠BOC的内余角，∴12t﹣360+720﹣12t＝90°，无解，∴当OD在∠AOB内部时，射线OA，OB，OC，OD不能构成内余角；综上所述，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，t的值为7.5秒或52.5秒．【点评】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键．25．【分析】（1）根据有理数概念及多项式定义得出结论；（2）根据数轴上两点间距离及线段中点表示即可解决；（3）根据数轴上点的表示及线段中点定义即可求出．【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，多项式（a+2）x3+2x2+9x+5是关于x的二次多项式，一次项系数为c，∴b＝1，a+2＝0，c＝9，解得：a＝﹣2，b＝1，c＝9，故答案为：﹣2，1，9；（2）∵将数轴折叠，使得点A与点C重合，∴线段AC中点为，设此时与点B重合表示的点表示的数是x，∴，解得：x＝6，则此数为6，故答案为：6；（3）∵线段AC＝9﹣（﹣2）＝11，这三条线段的长度之比为2：2：5，∴，∴这三条线段的长度分别为，，，若剪下的从左到右第一条线段长为，第2条线段长度也为时，则折痕表示的数为：；若剪下的从左到右第一条线段长为，第2条线段长度为，则折痕表示的数为：；若剪下的从左到右第一条线段长为，第2条线段长度为，则折痕表示的数为：；∴折痕表示的数为或或，故答案为：或或．【点评】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会利用转化的思想思考问题。

2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在﹣3，，0.3，2π，，3.1415926中，无理数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）若a＞b，则下列不等式不成立的是（）A．a+3＞b+3B．﹣2a＜﹣2b C．D．ac＞bc3．（3分）以下调查中，适合全面调查的是（）A．调查一批笔记本电脑的使用寿命B．调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量C．调查湘江的水质情况D．调查全市中学生每天完成作业需要的时间4．（3分）中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（）山名东岳泰山南岳衡山西岳华山北岳恒山中岳嵩山海拔（m）15331300215520161492A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．直方图5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（）A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（﹣2，6）D．（2，﹣6）7．（3分）如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂线段最短8．（3分）下列关于的说法中，错误的是（）A．是无理数B．2＜＜3C．5的平方根是D．是5的算术平方根9．（3分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（）A．B．C．D．10．（3分）已知不等式组的解是为x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤3C．a≥3D．a＞3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若点P（2a﹣6，2﹣a）在x轴上，则a的值为．12．（3分）若，则x+y＝．13．（3分）已知方程3x﹣2y＝6，用含x的代数式表示y，则y＝．14．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是．15．（3分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为．16．（3分）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2050的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共30分）17．（4分）计算：．18．（4分）解方程组：；19．（4分）求不等式的非负整数解．20．（4分）解不等式组：．21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1．（1）请在图中画出△A1B1C1；（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；A1（，）B1（，）C1（，）（3）求△ABC的面积．22．（7分）某学校“爱数学”社团随机抽取部分八年级学生时“学习习惯”进行问卷调查，其中有一个题是：会对在自己做的题目进行整理、分折错因并更正（）A．很少B．有时C．常常D．总是“爱数学”社团将测查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：根据图中信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为，a＝，b＝；（2）请你补全条形统计图；（3）求“常常”对应扇形的圆心角的度数；（4）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因并更正的学生共有多少名？四、几何证明与计算（本大题共2小题，共14分）23．（7分）几何证明填空：已知，如图，E，F分别是AB和CD上的点，DE，AF分别交BC于G，H两点，∠A＝∠D，∠1＝∠2．求证：∠B＝∠C．∠1＝∠AHB（），∴∠2＝∠AHB（等量代换），∴AF∥ED（），∴∠D＝（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知）．∴∠A＝∠AFC（等量代换），∴∠B＝∠C．（）24．（7分）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．五、应用题（本大题共1小题，共8分）25．（8分）为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元，购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．（1）购买一个甲种足球，一个乙种足球各需要多少钱？（2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？六、拓展延伸题（本大题共2小题，共20分）26．（10分）定义；若m，n都是不为0的实数，且满足m+n＝mn，则称点为“爱心点”．（1）①在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（2024，2023）中，是“爱心点”的有（填字母）；②若点P（a，b）是爱心点”，则a，b满足的关系式为．（2）若Q（s，t）是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解．求k的取值范围；（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点M（x，y）是“爱心点”，求p﹣q的平方根．27．（10分）如图1，点E是直线AB上一点，F是直线CD上一点，AB∥CD．（1）求证：∠P＝∠PEA+∠PFC；（2）如图2，∠PFC＝∠PFQ，FQ与∠AEP的平分线交于点Q，与PE相交于点M，若∠EMF＝120°，求∠P+∠Q的度数；（3）如图3，EQ平分∠AEP，FM平分∠PFD，FN∥EQ，当∠P的大小不变时，下列结论：①∠PFC+∠NFD的度数不变；②∠MFN的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由．2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：﹣3是整数，0.3，3.1415926是有限小数，是分数，它们不是无理数；，2π是无限不循环小数，它们是无理数，共2个；故选：B．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可．【解答】解：∵a＞b，∴a+3＞b+3，∴选项A不符合题意；∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，∴选项B不符合题意；∵a＞b，∴＞，∴选项C不符合题意；∵a＞b，∴①c＞0时，ac＞bc；②c＝0时，ac＝bc；③c＜0时，ac＜bc，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．【分析】根据全面调查与抽样调查的概念进行解题即可．【解答】解：A、调查一批笔记本电脑的使用寿命适合抽样调查，不符合题意；B、调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量适合全面调查，符合题意；C、调查湘江的水质情况适合抽样调查，不符合题意；D、调查全市中学生每天完成作业需要的时间适合抽样调查，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查全面调查与抽样调查，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．4．【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．【解答】解：根据题意，知：要求直观比较五座山的高度，结合统计图各自的特点，应选择条形统计图．故选：A．【点评】本题主要考查统计图的选择，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．5．【分析】分别计算出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．最后用数轴表示不等式的解集即可，用数轴表示不等式的解集要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【解答】解：，解①得：m≤1，解②得：m＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜m≤1，将不等式的解集表示在数轴上，如图所示：故选：B．【点评】本题主要考查数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．6．【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【解答】解：∵点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2，纵坐标为﹣6，∴点P的坐标为（2，﹣6）．故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一、二、三、四象限内各点的符号分别为（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣）、（+，﹣）．7．【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．【解答】解：这样做的依据是垂线段最短．故选：D．【点评】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．8．【分析】根据无理数、算术平方根、平方根的定义以及无理数大小的估算法则解答．【解答】解：A、是无理数，本选项不符合题意；B、2＜＜3，本选项不符合题意；C、5的平方根是±，本选项符合题意；D、是5的算术平方根，本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数、算术平方根、平方根以及无理数大小的估算，关键是熟练掌握各知识点．9．【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x＝3代入，求得a的值便可．【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，，把x＝3代入得，，由③得，y＝5，把y＝5代入④得，12+5a＝27，∴a＝3，故选：C．【点评】此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组．10．【分析】首先计算出两个不等式的解集，然后根据不等式解集的规律：大大取大确定a的范围即可．【解答】解：解不等式x+1＜a得：x＜a﹣1，解不等式﹣3x＞﹣6得：x＜2，∵不等式组的解是为x＜2，∴a﹣1≥2，解得：a≥3，故选：C．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握不等式解集的规律．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】根据x轴上点的纵坐标为0求出a的值即可．【解答】解：∵点P（2a﹣6，2﹣a）在x轴上，∴2﹣a＝0，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是点的坐标，熟知x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．12．【分析】根据偶次幂及算术平方根的非负性求得x，y的值，将其代入x+y中计算即可．【解答】解：由题意可得x﹣3＝0，y+4＝0，解得：x＝3，y＝﹣4，则x+y＝3﹣4＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查偶次幂及算术平方根的非负性，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．13．【分析】将含x的项移到方程的右边，再两边除以﹣2即可得．【解答】解：∵3x﹣2y＝6，∴﹣2y＝6﹣3x，y＝＝x﹣3，故答案为：x﹣3．【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．14．【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出m﹣n的值．【解答】解：把代入方程得：，解得：m＝1，n＝﹣3，则m﹣n＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4．故答案为：4【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．15．【分析】由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB＝45°，即可求出∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．【解答】解：∵BC∥DF，∴∠CDF＝∠ACB＝45°，∵∠EDF＝30°，∴∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB．16．【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出点A2050的坐标即可．【解答】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，因为2050÷4＝512余2，所以横坐标为1，∴A2050的坐标为（1，﹣1025），故答案为：（1，﹣1025）．【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．三、解答题（本大题共6小题，共30分）17．【分析】先计算乘方，算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减．【解答】解：＝﹣1+4﹣2﹣2＝﹣1．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．18．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①×2+②得：13x＝39，解得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1可得结论．【解答】解：，6﹣3（x﹣2）≥2（2+x），6﹣3x+6≥4+2x，﹣5x≥﹣8，x≤，∴不等式的非负整数解为0，1．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由2（1﹣x）＜x+5得：x＞﹣1，由x﹣1≤x得：x≤3，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标；（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）A1（﹣2，﹣3），B1（0，1），C1（﹣3，0）；故答案为：﹣2，﹣3；0，1；﹣3，0．（3）如图可得：S△ABC＝S长方形EFGB﹣S△BEC﹣S△CF A﹣S△AGB＝BE•EF﹣EB•CE﹣CF•FA﹣AG•BG＝3×4﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×4＝5．【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．22．【分析】（1）首先用“有时”对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数除以22%，即可求出样本容量；然后分别用很少、总是对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；（2）求出常常对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数，补全条形统计图即可；（3）用360°乘以“常常”对应的人数的百分比即可；（4）用该校学生的人数乘以常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因的学生占的百分比即可．【解答】解：（1）该调查的样本容量为44÷22%＝200，∴a%＝×100%＝12%，b%＝×100%＝36%，故答案为：200，12%，36%；（2）常常对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数200×30%＝60（人），补全条形统计图如下：（3）“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%＝108°；（4）3000×（30%+36%）＝1980（名），答：估计其中“常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因并更正的学生共有1980名．【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．四、几何证明与计算（本大题共2小题，共14分）23．【分析】由对顶角相等得∠1＝∠AHB，从而有∠2＝∠AHB，即可判定AF∥DE，则有∠D＝∠AFC，可得∠A＝∠AFC，即有AB∥CD，可求证∠B＝∠C．【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠AHB（对顶角相等），∴∠2＝∠AHB（等量代换），∴AF∥ED（同位角相等，两直线平行），∴∠D＝∠AFC（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠A＝∠AFC（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；∠AFC；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．24．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B ＝∠CDG ＝38°．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．五、应用题（本大题共1小题，共8分）25．【分析】（1）设购买一个甲种足球x 元，一个乙种足球y 元，根据购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元，购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．得：，即可解得购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；（2）设甲种足球买m 个，则乙种足球买（80﹣m ）个，根据题意得：，故，而m 为整数，从而得学校共有四种购买方案．【解答】解：（1）设购买一个甲种足球x 元，一个乙种足球y 元，根据题意得：，解得，答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；（2）设甲种足球买m 个，则乙种足球买（80﹣m ）个，根据题意得：，解得，∵m 为整数，∴m 可取27，28，29，30；答：学校共有四种购买方案．【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和找到不等关系列不等式组．六、拓展延伸题（本大题共2小题，共20分）26．【分析】（1）①根据点的坐标，确定m ，n 的值，看是否满足m +n ＝mn 判断；②点P （a ，b ）是爱心点”，则m ＝a ，n ＝，即可得出a +＝a •整理得出a ﹣b ＝1，（2）由不等式组解得，根据Q （s ，t ）是“爱心点”，得出s ﹣t ＝1，由s ，t 分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，即可求得s＝﹣2，t＝﹣3，由此得出﹣4≤＜﹣3，解得．（3）两方程相减得出x﹣y＝2，由点M（x，y）是“爱心点”可知x﹣y＝1，即可得出2＝1，由p，q为有理数得出p＝0，q＝﹣，故p﹣q＝，求得p﹣q的平方根为．【解答】解：（1）①点A（2，3），∵3＝2÷，∴m＝2，n＝，∵2+≠2×，∴点A不是“爱心点”，B（﹣2，﹣3），∵﹣3＝﹣2，∴m＝﹣2，n＝，∵﹣2+＝﹣2×，∴点B是“爱心点”，C（2024，2023），∵2023＝2024÷，∴m＝2024，n＝，∵2024+＝2024×∴点C是“爱心点”，故答案为：BC；②∵点P（a，b）是爱心点”，∴b＝a÷，∵m＝a，n＝∴a+＝a•∴，∴b+1＝a，∴a﹣b＝1，故答案为：a﹣b＝1；（2）由不等式组解得，∵若Q（s，t）是“爱心点”，∴s﹣t＝1，∵s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解．∴s＝﹣2，t＝﹣3，∴﹣4≤＜﹣3，∴．（3），②﹣①得x﹣y＝2，∵点M（x，y）是“爱心点”，∴x﹣y＝1，∴2，∵p、q是有理数，∴p＝0，q＝﹣，∴p﹣q＝，∴p﹣q的平方根为．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，解一元一次不等式组，平方根，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“爱心点”的概念．27．【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ，进而得∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC，则∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC，由此可得出结论；（2）设∠AEQ＝α，∠PFC＝∠PFQ＝β，则∠CFQ＝2β，根据EQ平分∠AEP得∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠AEP＝2α，由（1）的结论得∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+2β，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+β，∠EMF＝∠AEP+∠CFQ ＝2α+2β，则∠P+∠Q＝3α+3β，120°＝2α+2β，由此可得∠P+∠Q的度数；（3）连接EF，设∠AEQ＝∠PEQ＝α，设∠MFN＝β，则∠AEP＝2α，根据AB∥CD，FN∥EQ得∠AEQ ＝∠NFD＝α，则∠DFM＝a+β，根据FM平分∠PFD得∠PFD＝2（a+β），则∠PFC＝180°﹣2（a+β），由（1）的结论得∠P＝∠AEP+∠PFC，则β＝90°﹣∠P，即∠MFN＝90°﹣∠P，然后根据∠P的大小不变得∠MFN的大小不变，由此可得出答案．【解答】（1）证明：过点P作PQ∥AB，如图1所示：∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ，∴∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC，∴∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC，∴∠EPF＝∠PEA+∠PFC；（2）解：如图2所示：设∠AEQ＝α，∠PFC＝∠PFQ＝β，则∠CFQ＝2β，∵EQ平分∠AEP，∴∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠AEP＝2α，由（1）的结论得：∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+2β，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+β，∴∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝2α+2β，∵∠EMF＝120°，∴∠P+∠Q＝3α+3β，120°＝2α+2β，∴α+β＝60°，∴∠P+∠Q＝180°；（3）解：结论②∠MFN的度数不变正确，理由如下：．连接EF，如图3所示：∵EQ平分∠AEP，∴设∠AEQ＝∠PEQ＝α，设∠MFN＝β，∴∠AEP＝2α，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠DFE①，∵FN∥EQ，∴∠QEF＝∠NFE②，①﹣②得：∠AEF﹣∠QEF＝∠DFE﹣∠NFE，即∠AEQ＝∠NFD＝α，∴∠DFM＝∠NFD+∠MFN＝a+β，∵FM平分∠PFD，∴∠PFD＝2∠DFM＝2（a+β），∴∠PFC＝180°﹣∠PFD＝180°﹣2（a+β），由（1）的结论得：∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+180°﹣2（a+β），∴β＝90°﹣∠P，即∠MFN＝90°﹣∠P，∵∠P的大小不变，∴∠MFN的大小不变．故结论②正确；∵∠PFC＝180°﹣2（α+β），β＝90°﹣1/2∠P，∴∠PFC＝180°﹣2α﹣180°+∠P＝∠P﹣2α，又∵∠NFD＝α，∴∠PFC+∠NFD＝∠P﹣2α+α＝∠P﹣α，∴∠PFC+∠NFD的度数随∠AEQ的度数的变化而变化，故结论①不正确．【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键。