2019版一轮优化探究文数练习：第二章 第八节 幂函数与二次函数 含解析

2. 4二次函数与幕函数E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. （2017 •江西九江七校联考）幕函数/V ） = （//—4〃+4）x 在（0, +°°）上为增函数，则仍的值为（A. 1 或 3B. 1C. 3D. 2答案B解析 由题意知/『一4仍+4= 1 .且仍'一6/〃+8>0今刃=1,故选B.2. （2018 •吉林期末）如果函数f3=/+2;v —3在区间（一8, 4）上是单调递增的，则 实数臼的取值范围是（）C. —gw 臼〈0D ・—gw 盘 W044答案D解析 ①当自=0吋，函数fd ）=2x —3为一次函数，是递增函数；② 当日>0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（一8, 4）上不可能是单调递增的, 故不符合；③ 当水0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴一丄24,解得 心又水0,故综合得一*aW0・故选D.3.如果函数f （x ）=^+bx+ q 对任意的实数x,都有/（! + %）=/（-%）,那么（）答案D解析 由Kl + x ）=f （~x ）知fd ）图象关于x=^i 称，又抛物线开口向上，结合图象可 知/（0XA2XA-2）.故选 D.4. （2018 •聊城检测）若二次函数满足A%+1）-A^）=2x,且AO ） = 1,则f （力 的表达式为（）A. /(-2)</(0)</(2)c. /(2XA0XA-2) B. X0)<A-2)</(2)D. /(0XA2XA-2)A. f{x） =— x— x—\B. f{x） =—x+x~lD.f{x) =x—x+1 C./(%) = x—x—\答案【)解析设f\x) = ax + bx+ c(6?^= 0),由题意得Q=1 ,a x+1 2+b x+1+ c~ ax + bx+c =2x.加=2,1=1,故*々+方=0,解得“方=_1,9=1,(=1,则f{x） =x—x+\.故选D.5.（2018 •雅安诊断）如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，图象过点力（一3, 0）, 对称轴为x= —1.给出下面四个结论：①Z/>4mc；②2日一力=1；③a— b+ c=0；④5日〈力.其中正确的是（）A.②④B.①④C.②③D.①③答案B解析因为图彖与“轴交于两点，所以4白c>0,即X〉4&c,①正确；对称轴为/=一1，即一右= —1,2日一方=0,②错误；结合图象，当x= —1时，y>0,即a—b+ c>0,③错误; 由对称轴为x= —1,知方=2白.又函数图象开口向下，所以以0,所以5以2臼，即5必方，④正确.故选B.x + bx~\~ c xWO ,6.(2018 •济宁模拟)设函数fg =仁、八2 %>0 ,若f(—4)=f(0), f(—2)=—2,则关于x的方程f3=x的解的个数为()A. 4B. 2C. 1D. 3答案D解析由解析式可得f(—4) =16—4力+c=f(O) =G解得b=4.广(一2)=4—8 + 0=—2,可求得c=2.x+\x+22 x〉0又f(x) =x,则当 斥0时，x +Ax+2 = x f 解得加=—1, X2=—2. 当Q0时，x=2,综上可知有三解.故选D.7. 二次函数玖力的二次项系数为正数，且对任意的WR 都有f(x)=f(4—劝成立，若 1X1—2/)<f(l + 2x —#),则实数/的取值范围是()A. (2, +oo)B. (一8, -2) U (0, 2)C. (-2,0)D. (一8, -2) U (0, +8)答案C解析rh 题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线/=2,图象在对称轴左侧为减函 数.而 1—2,〈2, l+2x —y=2—lx —1)?W2,所以由 f(l —2,)〈f(l+2x —x),得 1—2,>1 + 2x~x ,解得一2<K0.故选 C.8. 已知对任意的日w[ —1, 1],函数f(x) =x + (<?—4)x-\~\ — 2a 的值总大于0,则/的 取值范围是()A. 1<X3B.水1 或 Q3C. 1<X2D. *2 或 x>3答案B解析 f(x) =,+(自一4) x+4 —2自=(无一2)自 + (,—4/+4)・记 g (曰)=(/—2)曰 + (,—即F r 1 :打7：?°'解得*i 或Q3.故选 g 1 =才一3x+2>0,9. (2018 •吉林松原月考)设函数f(0=# + x+白(白>0),已知八〃/)<0,贝9() A. f(/〃+l)20 B. f(/〃+l)W0c. A/»+D>oD . f3+1) <0答案c解析*//'(%)的对称轴为x= —p /'(0)=自>0,・"3的大致图象如图所示.由 f\ni) <0, f( —1) =f(0) =a>0,得一IV 刃<0, AzH-l>0,又•・•/>—*时 fd)单调递增，・・・f(〃/+l)>f(0)>0.10. (2016 •全国卷 II)己知函数 f\x) C Y GR)满足 f(x) =f(2—x),若函数 y= \ x —2x — 3|与y=图象的交点为(山，口)，(出，必)，…，(届，％),则L Xi=()4x+4),rfl 题意可得1 >()，1 >0，A. 0B. mC. 2mD.答案B解析 由f\x ）=f\2-x ）知函数fd ）的图象关于直线；r=l 对称.又尸=|#一2/—3| = I d —IF —4|的图象也关于直线^=1对称，所以这两函数的交点也关于直线x=\对称.V1 —I — V 不妨设冷5〈・・・5,则£ =1，即匕+几=2,同理有*2+爲-1 = 2,於+爲_2 = 2,…，tB /S又刀疋=血+丽1 -------- 小 所以2工/,=（葢+如）+ （船+如—J ------- （xd x ） =2m,所以工匕/=i =m.故选B.二、填空题11. （2017 •湖北孝感模拟）函数 心=/一2卄1,若y=f （x ）在区间一|内有零点，则实数自的取值范围为 ________ .答案（一8, 0]解析由 f{x) =ax —2x+l=0t若/U ）在一了, |内有零点,则f{x ）= 0在区间19时，可得日=—p+—W0.所以实数目的取值范围为（一8, 0]. x x12. （2018 •九江模拟）已知 f3=/+2@—2）x+4,如果对圧[ — 3,1], f （x ） >0 恒成 立，则实数日的取值范围为 ____________ .答案H 4）解析 因为 fd ）=H+2Q —2）/+4, 对称轴%——（自一2）, 对 圧[-3, 1], f （x ） >0恒成立， 所以讨论对称轴与区间[-3,11的位置关系得：13. (2017 •北京丰台期末)若 f{x) = ^x —a) (A Z —/?) + (%—/?) (x~c) + (%—c) {x~a),其屮aWbWc,对于下列结论：①f （b ）W0；②若方=牛，则VxER,③若bW 牛,则代自）Wf （c ）；④f@） =f （c ）成立的充要条件为Q0.其中正确的是 _____ .（请填写序号） 答案①②③解析 f （力）=（〃一曰）（力一Z?） + （力一力）（方一c ） + （Q —c ）・（Z?—日）=（Z?—c ）/=i/=]|内有解，当一或0<^|一 a_2 <-3,f -3 >0_3W_ zl<0>1,解得g0或1W$<4或一所以a 的取值范围为（一专4）可得&= a-2 1 >0,（力一曰），因为aWbWc,所以 f （方）WO,①正确；将 f （x ）展开可得 f{x ） =3%2—2 （<?+ b+ c ） x+ ab+ bc+ac, 又抛物线开口向上，故f （X ）min =彳"+ {+ ].当方=弓上时，占弋+鼻方,所以f （/）.in=f （方）, ②正确；f （日）一f （c ） = （$—方）（$—c ） — （c —日）・（c —方）=（自一c ）（自+c —2力），因为 aWbWc, 且2方W$+c,所以③正确；因为aWbWc,所以当f （a ） = Ac ）时,即（a — c ） （a + Q —2Z?）=0,所以日=Z?=c 或日+c=2b,故④不正确.14. 对于实数日和力，定义运算:护方=；2/ ?' b —ab 、a>b.设fa ）= （2x —l ）*Cr —1）,且关于JV 的方程fd ）=/〃（/〃WR ）恰有三个互不相等的实数根 上，X2, Xi,则X1A2X3的取值范围是 __ .答案普'。

§2.4 幂函数与二次函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质知识拓展1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )(4)函数y ＝212x 是幂函数．( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．[P79T1]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α. ∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．[P44A 组T9]已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三 易错自纠4．幂函数f (x )＝x 21023a a －＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f (x )＝x2(5)2a －－(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )答案 D解析 由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知，a >0，c <0， 由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C.6．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝2－6＋3＝－1.题型一 幂函数的图象和性质1．已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数． 2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c答案 B解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a ＞b ＞c ＞d ，故选B. 3．若a <0，则0.5a ，5a ，5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5， 所以5a <0.5a <5－a .思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二 求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________． 答案 f (x )＝12x 2－2x ＋1解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0,1)，∴4a －1＝1， ∴a ＝12，∴f (x )＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ， 由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－⎝⎛⎭⎫－2ab ，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象典例 两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b 2a 与－a2b 同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有D 满足． 命题点2 二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)解析 f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0，从而由abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a＞0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误．(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得a ＞2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (12分)设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论． 规范解答解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.[2分] 当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；[5分]当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；[8分]当t ＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.[11分] 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.[12分]1．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减 D ．单调递增答案 D2．(2017·江西九江七校联考)若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0， 解得m ＝1.3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.4．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.5．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关 答案 C解析 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝14， 又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0，∴当x 1，x 2在对称轴的两侧时，14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时，由单调性知f (x 1)<f (x 2)．综上，f (x 1)<f (x 2)．6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6) 答案 A解析 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )＜f (4)＝－2，所以a ＜－2.7．已知P ＝ ，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． 答案 P ＞R ＞Q解析 P ＝ ＝⎝⎛⎭⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22＞12＞25， 得⎝⎛⎭⎫223＞⎝⎛⎭⎫123＞⎝⎛⎭⎫253， 即P ＞R ＞Q .8．已知幂函数f (x )＝12x -，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．322-322-答案 (3,5)解析 ∵幂函数f (x )＝12x-单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.9．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是__________． 答案 (－4,4)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0， 解得－4<a <4.10．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0， 故0<a ≤1.11．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ＝2，即a ＝2；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1＝2，此时无解；当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.综上，a ＝－1或a ＝2.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13．已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24， 则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24， 当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A.14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4， ∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)， 当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a －a 24， 当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a －a 24. ①当a 2>1，即a >2时，f (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a <0时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[0,2]．16．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意得，f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2,0]．。

§幂函数与二次函数
最新考纲考情考向分析.了解幂函数的概念．
.结合函数＝，＝，＝，＝，＝
1
2
x的图象，了
解它们的变化情况．
.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．
.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.
．幂函数
()幂函数的定义
一般地，形如＝α的函数称为幂函数，其中是自变量，α是常数．()常见的种幂函数的图象
()常见的种幂函数的性质
函数＝＝＝
＝
1
2
x＝
－
特征
性质
定义域[，＋∞){∈，且≠} 值域[，＋∞)[，＋∞){∈，且≠} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
.二次函数
()二次函数解析式的三种形式：
一般式：()＝＋＋(≠)．
顶点式：()＝(－)＋(≠)，顶点坐标为(，)．
零点式：()＝(－)(－)(≠)，，为()的零点．
()二次函数的图象和性质
解析式()＝＋＋(>)()＝＋＋(<)
图象
定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)
值域
单调性在∈上单调递减；在∈上单
调递增
在∈上单调递增；在∈上单
调递减
对称性函数的图象关于＝－对称
知识拓展
．幂函数的图象和性质
()幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．。

2.4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是,α是.(2)五种幂函数的图像(3)五种幂函数的性质幂函数y=x y=x2y=x3y=x12y=x-1定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性定点(1,1),(0,0) (1,1)2.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.(2)二次函数的图像和性质函数y=ax2+bx+c(a≠0)a>0 a<图像定义域R值域[4aa-a24a,+∞)(-∞,4aa-a24a]单调性在(-∞,-a2a]上是减少的,在[-a2a,+∞)上是增加的在(-∞,-a2a]上是增加的,在[-a2a,+∞)上是减少的奇偶性当b=0时,y为偶函数;当b≠0时,y既不是奇函数也不是偶函数图像特点①对称轴:;②顶点: (-a2a,4aa-a24a)1.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论:(1)恒过点(1,1);(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n](m<n)上的单调性与值域时,分类讨论-b2a与m或n的大小.3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图像的对称轴为x=m,当a>0时,若|x1-m|>|x2-m|,则f(x1)>f(x2);当a<0时,若|x1-m|>|x2-m|,则f(x1)<f(x2).4.一元二次方程f(x)=x2+px+q=0的实根分布:(1)方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为f(m)<0或{p2-4q≥0,-p2>a;考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数y=-x 2与y=2a 12都是幂函数.( )(2)幂函数的图像经过第四象限,当α>0时,幂函数y=x α是定义域上的增函数. ( ) (3)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),当x=-a2a 时,y取得最小值4aa -a 24a. ( ) (4)幂函数的图像不经过第四象限.( )(5)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a <0,a 2-4aa <0.( )2.如图是①y=x a ;②y=x b ;③y=x c在第一象限的图像,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b3.(2020湖北荆州质检)若对任意x ∈[a ,a+2]均有(3x+a )3≤8x 3,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.(-∞,0]D.[0,+∞)4.(2020河南新乡三模,理3)若抛物线x 2=ay 的准线与函数y=-x 2-2x+1的图像相切,则a= .关键能力学案突破考点幂函数的概念【例1】(1)已知幂函数f (x )=k ·x α的图像经过点(12,√22),则k+α=( )A.12B.1C.32D.2(2)幂函数f (x )=(m 2-4m+4)a a 2-6a +8在(0,+∞)上递增,则m 的值为( ) A.1或3 B.1 C.3 D.2解题心得1.幂函数y=x α的特点:①系数必须为1,②指数必须为常数.2.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 对点训练1(1)在函数y=1a 2,y=2x 2,y=x 2+x ,y=3x 中,幂函数的个数为( )A.0B.1C.2D.3(2)已知幂函数f(x)=xα(α是常数)的图像过点2,12,则函数f(x)的值域为() A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(-∞,+∞)考点幂函数的图像【例2】(1)幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像是()(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·a a2-3a(n∈Z)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减少的,则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2解题心得探讨幂函数图像的分布规律,应先观察图像是否过原点,过原点时α>0,否则α≤0;若α>0,再观察第一象限的图像是上凸还是下凸,上凸时0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增大得出结论.对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应的是()A.①y=a13;②y=x2;③y=a12;④y=x-1B.①y=x3;②y=x2;③y=a12;④y=x-1C.①y=x2;②y=x3;③y=a12;④y=x-1D.①y=a13;②y=a12;③y=x2;④y=x-1(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点a,12在幂函数f(x)=(a-1)x b的图像上,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数考点幂函数的性质及应用【例3】(1)若(a+1)12<(3-2a)12,则实数a的取值范围是.(2)设a=3525,b=2535,c=2525,则a,b,c的大小关系是.解题心得1.幂函数的主要性质(1)当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;(2)当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.对点训练3(1)已知幂函数f(x)=a-12,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.(2)已知a=243,b=323,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b考点求二次函数的解析式【例4】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:变式发散1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.变式发散2将本例中条件变为:二次函数f(x)的图像经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.考点二次函数的图像与性质(多考向探究)考向1二次函数的单调性及应用【例5】(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-∞,4)上递增,则实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是减少的,则实数a的取值范围是()A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]解题心得二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论.对点训练5(1)已知函数f(x)={ln a,a≥1,-a2+aa-a2+1,a<1在R上为增函数,则a的取值范围是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)(2)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定考向2二次函数的最值问题【例6】(1)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),x∈R,则函数f(x)的最小值是.(2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4,则a的值为.解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.对点训练6(1)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈[-2,-12]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为()A.13B.12C.34D.1(2)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a= .考向3与二次函数有关的恒成立问题【例7】设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-∞,0]B.0,57C.(-∞,0)∪0,57D.-∞,57解题心得由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.对点训练7已知函数f(x)=x2+2(a-2)x+4,若任意x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是.考向4二次函数中的双变量问题【例8】已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[c,d],使得g(x1)=f(x0)等价于g(x1)在[a,b]上的值域是f(x0)在[c,d]上的值域的子集.对点训练8(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈(-∞,-1],使f(x1)≤g(x2),则实数a的最大值为()A.6B.4C.3D.2考点二次函数、方程、不等式的关系(多考向探究)考向1一元二次方程与一元二次不等式【例9】关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为()A.-2B.-1C.1D.2考向2二次函数与一元二次方程【例10】已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为()A.{0,-3}B.[-3,0]C.(-∞,-3]∪[0,+∞)D.{0,3}考向3二次函数与一元二次不等式【例11】已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x2-3x|,则不等式f(x)≤2的解集为.解题心得对于二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0),f(x)>0的x的范围即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.对点训练9(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为()A.x|-1<a<12B.x|a<-1,或a>12C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2,或x>1}(2)若关于x的不等式x2-ax+1≤0的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为()A.2,52B.2,52C.2,52D.2,52(3)不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围为()A.-2,65B.-2,65C.-2,65D.-2,65∪{2}1.幂函数y=xα(α∈R)的图像的特征:当α>0时,图像过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图像逐渐上升;当α<0时,图像过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图像逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即【例1】关于x 的方程x 2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m 的取值范围. (1)有两个正根; (2)有两个负根; (3)有一正一负根.思考对于(1)(2)(3),都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?解(1)由题意得{a =(a -3)2-4a ≥0,3-a >0,a >0,解得0<m ≤1.故m 的取值范围为(0,1].(2)由题意得{a =(a -3)2-4a ≥0,3-a <0,a >0,解得m ≥9.故m 的取值范围为[9,+∞). (3)由题意得{a >0,a <0,解得m<0.故m 的取值范围为(-∞,0).【例2】关于x 的方程x 2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m 的取值范围. (1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内; (3)一个根小于2,一个根大于4; (4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题,韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?解令f (x )=x 2+(m-3)x+m ,(1)若方程x 2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f (1)=2m-2<0,解得m<1. 故m 的取值范围为(-∞,1).(2)若方程x 2+(m-3)x+m=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,则{a (-2)=-a +10>0,a (0)=a <0,a (4)=5a +4>0,解得-45<m<0. 故m 的取值范围为-45,0.(3)若方程x 2+(m-3)x+m=0的一个根小于2,一个根大于4,则{a (2)=3a -2<0,a (4)=5a +4<0,2<-a -32<4,解得-5<m<-1.故m 的取值范围为(-5,-1).(4)若方程x 2+(m-3)x+m=0的两个根都在(0,2)内,则{a (2)=3a -2>0,a (0)=a >0,0<-a -32<2,a =(a -3)2-4a ≥0,解得23<m ≤1.故m 的取值范围为23,1.【例3】将例2的问题一般化,即关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图像,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m ,n ),另一根在(p ,q ); (2)两个根都在(m ,n ).解设f (x )=ax 2+bx+c (a>0),满足题意的图像如图,则(1){a (a )·a (a )<0,a (a )·a (a )<0.(2){ a ≥0,a <-a 2a <a ,a (a )>0,a (a )>0.归纳小结设函数f (x )=ax 2+bx+c=0(a ≠0)分布两根都在两根有且仅一根在(m ,n )内,另一根在情况 (m ,n )内有一根在(m ,n )内(p ,q )内大致图像(a>0)得出的结论{Δ≥0,f(m)>0,f(n)>0,m <-b 2a<af (m )f (n )<0 {f(m)>0,f(n)<0,f(p)<0,f(q)>0或{f(m)f(n)<0,f(p)f(q)<0 大致图像(a<0)得出的结论 {Δ≥0,f(m)<0,f(n)<0,m <-b 2a<a f (m )f (n )<0 {f(m)<0,f(n)>0,f(p)>0,f(q)<0或{f(m)f(n)<0,f(p)f(q)<02.4 幂函数与二次函数 必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)y=x α自变量 常数 (3)R R R[0,+∞) {x|x ∈R ,且x ≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ∈R ,且y ≠0}增 x ∈[0,+∞)时,增,x ∈(-∞,0)时,减 增 增 x ∈(0,+∞)时,减,x ∈(-∞,0)时,减2.(1)f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0) f (x )=a (x-h )2+k (a ≠0) (h ,k ) f (x )=a (x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)x 1,x 2 (2)①x=-a2a考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.D 根据幂函数的性质,可知选D .3.B 因为y=x 3在R 上是增函数,由(3x+a )3≤8x 3,得3x+a ≤2x ,即x ≤-a ,所以对任意x ∈[a ,a+2],x ≤-a 恒成立.所以a+2≤-a ,因此a ≤-1.4.-8 抛物线x 2=ay 的准线方程为y=-a4,抛物线y=-x 2-2x+1的顶点为(-1,2),则-a4=2,故a=-8.关键能力·学案突破例1(1)C (2)B (1)由幂函数的定义知k=1.又因为f12=√22,所以12α=√22,解得α=12,从而k+α=32,故选C .(2)由题意,可知{a 2-4a +4=1,a 2-6a +8>0,解得m=1.故选B .对点训练1(1)B (2)C (1)显然,根据幂函数定义可知,只有y=1a 2=x -2是幂函数.故选B .(2)由题意得12=2α,∴α=-1.∴f (x )=x -1=1a ≠0,∴f (x )的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).故选C .例2(1)C (2)B (1)令f (x )=x α,则4α=2,∴α=12,∴f (x )=a 12.所以其图像为选项C .(2)由于f (x )为幂函数,且在(0,+∞)上是减少的,所以{a 2+2a -2=1,a 2-3a <0,解得n=1,所以f (x )=x -2,f (-x )=f (x ),即f (x )关于y 轴对称.故选B .对点训练2(1)B (2)A (1)y=x 2为偶函数,对应②;y=a 12的定义域为x ≥0,对应③;y=x -1为奇函数,且图像与坐标轴不相交,对应④;y=x 3与y=a 13均为奇函数,在第一象限内,y=x 3的图像下凸,y=a 13的图像上凸,故①对应y=x 3.故选B .(2)∵函数f (x )=(a-1)x b是幂函数,∴a-1=1,解得a=2.又点a ,12在该函数的图像上,∴2b=12,∴b=-1,∴f (x )=x -1,∴函数f (x )是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,且在每一个区间上递减.故选A .例3(1)-1,23 (2)a>c>b (1)易知函数y=a 12的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以{a +1≥0,3-2a ≥0,a +1<3-2a ,解得-1≤a<23.(2)∵y=a 25(x ≥0)为增加的,∴a>c. ∵y=25x(x ∈R )为减少的,∴c>b.∴a>c>b.对点训练3(1)(3,5) (2)A (1)∵f (x )=a -12=1√a(x>0)为减函数,又f (a+1)<f (10-2a ),∴{a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a ,解得{a >-1,a <5,a >3,∴3<a<5.(2)因为a=243=423,c=2513=523,b=323,且函数y=a 23在[0,+∞)上递增,所以323<423<523,即b<a<c.故选A .例4解(方法1)(利用一般式)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0).由题意得{4a +2a +a =-1,a -a +a =-1,4aa -a 24a=8,解得{a =-4,a =4,a =7.∴所求二次函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x+7. (方法2)(利用顶点式)设f (x )=a (x-m )2+n (a ≠0).∵f (2)=f (-1),∴抛物线的对称轴为x=2+(-1)2=12.∴m=12.又根据题意函数有最大值8,∴n=8. ∴y=f (x )=a x-122+8.∵f (2)=-1,∴a 2-122+8=-1,解得a=-4, ∴f (x )=-4x-122+8=-4x 2+4x+7.(方法3)(利用两根式)由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x-2)(x+1)(a ≠0),即f (x )=ax 2-ax-2a-1.又函数有最大值f (x )max =8,即4a (-2a -1)-a 24a=8.解得a=-4或a=0(舍去).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x+7.变式发散1解设f (x )=ax (x+2).因为函数f (x )的最大值为8,所以a<0,且f (x )max =f (-1)=-a=8,所以a=-8,所以f (x )=-8x (x+2)=-8x 2-16x.变式发散2解因为f (2-x )=f (2+x )对x ∈R 恒成立,所以f (x )的对称轴为直线x=2.又f (x )的图像在x 轴上截得的线段长为2,所以f (x )=0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )=a (x-1)(x-3)(a ≠0). 又f (x )的图像过点(4,3),所以3a=3,所以a=1.所以f (x )的解析式为f (x )=(x-1)(x-3),即f (x )=x 2-4x+3.例5(1)[4,+∞) (2)D (1)f (x )=-x 2+2ax+3对称轴方程为x=a ,f (x )在区间(-∞,4)上递增,所以a ≥4.故a 的取值范围为[4,+∞). (2)当a=0时,f (x )=-3x+1在[-1,+∞)是减少的,满足题意.当a ≠0时,f (x )的对称轴为x=3-a2a ,由f (x )在[-1,+∞)上是减少的知{a <0,3-a 2a ≤-1,解得-3≤a<0.综上,a 的取值范围为[-3,0].对点训练5(1)D (2)A (1)若函数f (x )在R 上为增函数,则在两段上都应递增,当x<1时,f (x )=-x 2+ax-a 2+1,对称轴为x=a 2,所以a2≥1,且在x=1处,二次函数对应的值应小于等于对数函数的值,即a-a 2≤0,所以{a2≥1,a -a 2≤0,解得{a ≥2,a ≤0,或a ≥1,所以a ≥2.故选D . (2)由题意知,函数f (x )的图像关于直线x=1对称,∴b=2.又f (0)=3,∴c=3,则b x =2x ,c x =3x .易知f (x )在区间(-∞,1)上递减,在区间[1,+∞)上递增.若x ≥0,则3x ≥2x ≥1,∴f (3x )≥f (2x );若x<0,则3x <2x <1,∴f (3x )>f (2x ).∴f (3x )≥f (2x ),即f (b x )≤f (c x).故选A .例6(1)-16 (2)38 (1)令x+2016=t ,则f (t-2016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t 4-10t 2+9=(t 2-5)2-16,当t 2=5时,有最小值-16,故f (x )的最小值是-16.(2)对函数f (x )=a (x+1)2+1-a ,①当a=0时,f (x )在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;②当a>0时,f (x )在区间[1,2]上递增,最大值为f (2)=8a+1=4,解得a=38;③当a<0时,f (x )在区间[1,2]上递减,最大值为f (1)=3a+1=4,解得a=1,不符合题意.综上可知,a 的值为38.对点训练6(1)D (2)1 (1)设x<0,则-x>0.有f (-x )=(-x-1)2=(x+1)2.又∵f (-x )=f (x ),∴当x<0时,f (x )=(x+1)2,∴该函数在[-2,-12]上的最大值为1,最小值为0,依题意,n ≤f (x )≤m 恒成立,则n ≤0,m ≥1,即m-n ≥1,故m-n 的最小值为1.(2)因为函数f (x )=x 2-ax-a 的图像为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f (0)=-a ,f (2)=4-3a ,所以{-a >4-3a ,-a =1或{-a ≤4-3a ,4-3a =1,解得a=1.例7D 由题意,f (x )<-m+4对于x ∈[1,3]恒成立,即m (x 2-x+1)<5对于x ∈[1,3]恒成立.∵当x ∈[1,3]时,x 2-x+1∈[1,7],∴不等式f (x )<-m+4等价于m<5a 2-a +1.∵当x=3时,5a 2-a +1取最小值57,∴若要不等式m<5a 2-a +1对于x ∈[1,3]恒成立,则必须满足m<57,因此,实数m 的取值范围为-∞,57,故选D .对点训练7-12,4 因为f (x )=x 2+2(a-2)x+4,其图像的对称轴为x=-(a-2),任意x ∈[-3,1],f (x )>0恒成立,所以讨论对称轴与区间[-3,1]的位置关系得{-(a -2)<-3,a (-3)>0或{-3≤-(a -2)≤1,a <0或{-(a -2)>1,a (1)>0,解得a ∈∅或1≤a<4或-12<a<1,所以a 的取值范围为-12,4.例80,12对任意的x 1∈[-1,2]都存在x 0∈[-1,2],使得g (x 1)=f (x 0)⇔在[-1,2]上g (x )的值域⊆f (x )的值域,g (x )=ax+2(a>0)在[-1,2]上的值域为[2-a ,2+2a ],因为f (x )=x 2-2x 在[-1,2]的最小值为f (1)=-1,最大值为f (-1)=3,即f (x )在[-1,2]的值域为[-1,3].所以{2-a ≥-1,2a +2≤3,解得a ≤12.故实数a 的取值范围是0,12.对点训练8A 问题可转化为在给定区间上f (x )的值域是g (x )值域的子集,即f (x )max ≤g (x )max .f (x )=-x 2+ax-6=-x-a22+a 24-6,当x=a2≤0,即a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递减,f (x )<f (0)=-6; 当x=a2>0,即a>0时,f (x )max =fa 2=a 24-6.而g (x )=x+4在(-∞,-1]上递增,故g (x )max =g (-1)=3. 故{a ≤0,-6≤3,或{a >0,a 24-6≤3,解得a ≤6,所以a 的最大值是6,故选A .例9B 依题意,得q ,1是方程x 2+px-2=0的两根,q+1=-p ,即p+q=-1,故选B . 例10A 因为函数f (x )的值域为[0,+∞),所以f (x )=0有两个相等的实数根,所以Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,解得m=-3或m=0,所以实数m 的取值范围为{0,-3},故选A . 例11-3+√172,-2∪[-1,1]∪2,3+√172当x ≥0时,f (x )=|x 2-3x|,当0≤x ≤3时,f (x )=-x 2+3x ,f (x )≤2即-x 2+3x ≤2,解得x ≤1或x ≥2,∴0≤x ≤1或2≤x ≤3.当x>3时,f (x )=x 2-3x ,f (x )≤2即x 2-3x ≤2,解得3-√172≤x ≤3+√172,∴3<x ≤3+√172.∴当x ≥0时,f (x )≤2解集为0≤x ≤1或2≤x ≤3+√172.∵f (x )是R 上的偶函数,∴当x<0时,f (x )≤2解集为-3+√172≤x ≤-2或-1≤x<0.∴f (x )≤2的解集为-3+√172,-2∪[-1,1]∪2,3+√172.对点训练9(1)A (2)A (3)B (1)由题意,知x=-1,x=2是方程ax 2+bx+2=0的根,由根与系数的关系,得{-1+2=-aa ,(-1)×2=2a ,解得{a =-1,a =1.∴不等式2x 2+bx+a<0,即2x 2+x-1<0.解得-1<x<12,故选A . (2)令f (x )=x 2-ax+1,则f (0)=1>0,由题意可得{a (1)≤0,a (2)>0,解得2≤a<52.(3)当a=2时,不等式变为4x-1≥0,解得x ≥14,不符合题意;当a=-2时,不等式的解集为空集;当a ≠±2时,不等式(a 2-4)x 2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,等价于二次函数y=(a 2-4)x 2+(a+2)x-1的图像在x 轴的下方,所以{a 2-4<0,a =(a +2)2+4(a 2-4)<0,解得-2<a<65.故选B .。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域RR R[0，＋∞){x |x ∈R ， 且x ≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ∈R ，且y ≠0} 奇偶性奇 偶奇非奇非偶奇 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称高频考点一 幂函数的图象和性质例1、(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B ．1 C.32D ．2(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2. 答案 (1)C (2)D【方法规律】幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【变式探究】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1 C ．2 D ．1或2高频考点二 二次函数的图象与性质例2、已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝（x ＋1）2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝（x －1）2＋2，x >0， 其图象如图所示，又∵x ∈[－4，6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【变式探究】 (1)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a >0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以x ＝－b2a <0，B 错误．(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4， 故f (x )＝－2x 2＋4. 答案 (1)D (2)－2x 2＋4 高频考点三 求二次函数的解析式例3、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解 解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【方法技巧】确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】 已知二次函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝0，f (1)＝1，求f (x )的解析式． 解 解法一：(一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝1，－b 2a ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝0，∴f (x )＝－x 2＋2x .解法二：(两根式)∵对称轴方程为x ＝1， ∴f (2)＝f (0)＝0，f (x )＝0的两根分别为0,2. ∴可设其解析式为f (x )＝ax (x －2)． 又∵f (1)＝1，可得a ＝－1， ∴f (x )＝－x (x －2)＝－x 2＋2x .解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)， ∴可设其解析式为f (x )＝a (x －1)2＋1.又由f (0)＝0，可得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x －1)2＋1＝－x 2＋2x . 高频考点四 二次函数的应用例4、 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【方法规律】(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化．【变式探究】(1)(已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解析 (1)因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4， 对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＜－3，f （－3）＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－（a －2）≤1，Δ＜0， 或⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＞1，f （1）＞0，解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4. (2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1，0)．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4 (2)(－1，0) 高频考点五、分类讨论思想在二次函数最值中的应用例5、已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求实数a 的值．解 当对称轴x ＝a <0时，如图1所示，当x ＝0时，y 有最大值y max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，即a ＝－1，且满足a <0，∴a ＝－1.当0≤a ≤1时，如图2所示，当x ＝a 时，y 有最大值y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52(舍去)．当a >1时，如图3所示． 当x ＝1时，y 有最大值．y max ＝f (1)＝2a －a ＝2.∴a ＝2，且满足a >1，∴a ＝2. 综上可知，a 的值为－1或2.【变式探究】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 解 (1)当a ＝0时，f(x)＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2.[2分](2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在[0，1a ]上递减，在[1a ，1]上递增．∴f(x)min＝f(1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a >1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a －2.[9分](3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a －2.[11分] 综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a<1，－1a，a≥1.【方法与技巧】1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．研究二次函数的性质要注意：(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【失误与防范】1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【举一反三】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t ＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.1. （2018年天津卷）已知a ∈R ，函数若对任意x ∈［–3，+），f (x )≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】［，2］ 【解析】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是.1．[2017·浙江高考]若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m () A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B4.[2017北京,11,5分][文]已知x ≥0,y ≥0,且x+y=1,则x 2+y 2的取值范围是 . 答案:[,1]解析:解法一 由已知可得,y=1-x ,代入x 2+y 2,得x 2+y 2=x 2+(1-x )2=2x 2-2x+1=2(x-)2 +,x ∈[0,1],当x=0或x=1时,x 2+y 2取得最大值1,当x=时,x 2+y 2取得最小值,所以x 2+y 2的取值范围是[,1].解法二 设直线x+y=1与两坐标轴的交点分别为A (0,1),B (1,0),点P (x ,y )为线段AB 上一点,则P 到原点O 的距离为|PO|=≥=,又|PO|≤|AO|=1,所以≤≤1,所以x 2+y 2的取值范围是[,1]. 解法三 令x=t cos α,y=t sin α,α∈[0,],x+y=t (cos α+sin α)=t sin(α+)=1,解得t=,α+∈[,],≤sin(α+)≤1,1≤sin(α+)≤,所以t ∈[,1],x 2+y 2=t 2∈[,1]. 1、[2016·浙江高考]已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，其最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－b 24.因为f (f (x ))＝[f (x )]2＋b ·f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x ＋b 22－b 24.因为f (x )min ＝－b 24，若f [f (x )]与f (x )的最小值相等，当且仅当f (x )＝－b 2≥－b 24时成立，解得b <0或b >2，所以“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．故选A.2、[2016·全国卷Ⅲ]已知a ＝2 43 ，b ＝4 25 ，c ＝25 13 ，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为a ＝2 43 ＝4 23 ，c ＝25 13 ＝5 23 ，函数y ＝x 23 在(0，＋∞)上单调递增，所以4 23 <5 23 ，即a <c ，又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以4 23 <4 23 ，即b <a ，所以b <a <c .故选A.1、【2015高考安徽，文11】=-+-1)21(2lg 225lg . 【答案】-1【解析】原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+-1．（2014·江苏卷） 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈ [m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0。

课时规范练8幂函数与二次函数基础巩固组1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象经过点,则k+α=()A. B.1 C. D.22.(2017河北沧州质检)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)3.(2017浙江,5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关4.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.45.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a<5a<0.5aB.5a<0.5a<5-aC.0.5a<5-a<5aD.5a<5-a<0.5a6.(2017甘肃兰州模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上不同的任意两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③;④,其中正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②④D.②③〚导学号21500708〛7.(2017山东济宁模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为--,则m的取值范围是()A.[0,4]B.C. D.8.若关于x的不等式x2+ax+1≥0在区间上恒成立,则a的最小值是()A.0B.2C.-D.-39.已知x≥0 y≥0 且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.10.(2017宁夏石嘴山第三中学模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则f(-5)=.11.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f=.12.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.综合提升组13.若函数f(x)=x2+a-在[0,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是()A.[-2,0]B.[-4,0]C.[-1,0]D.-14.(2017福建龙岩一模)已知f(x)=x3,若x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x ≤0 则a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≥D.a≤15.已知函数f(x)=2ax2+3b(a,b∈R).若对于任意x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,则ab的最大值是.16.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;(2)若<t<,求证:函数f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点.〚导学号21500709〛创新应用组的取值范围17.(2017河南豫东联考)若方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则--是.参考答案课时规范练8幂函数与二次函数1.C由幂函数的定义知k=1.因为f,所以,解得α=,从而k+α=.2.D由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=对称.∵f(x)的图象开口向上,∴f(0)<f(2)<f(-2).3.B因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f-=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B.4.B当x>0时,由f(x)=x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以x=3;当x<0时,由f(x)=x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以x=-3.故f(x)的零点个数为2.故选B.5.B因为5-a=,又因为当a<0时,函数y=x a在(0,+∞)内单调递减,且<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.6.D设函数f(x)=xα,由点在函数图象上得,解得α=,即f(x)=.因为g(x)=xf(x)=为(0,+∞)内的增函数,所以①错误,②正确;因为h(x)=-为(0,+∞)内的减函数,所以③正确,④错误.7.D二次函数图象的对称轴的方程为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,结合图象可得m∈.8.C由x2+ax+1≥0 得a≥-在上恒成立.令g(x)=-,因为g(x)在上为增函数,所以g(x)max=g=-,所以a≥-.9.因为x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=时,x2+y2取最小值.因此x2+y2的取值范围为.10.-1由题意得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x),即f(x)是以4为周期的偶函数,所以f(-5)=f(5)=f(1)=12-2×1=-1.11.设f(x)=xα(α∈R),由题意知=3,即2α=3,解得α=log23,所以f(x)=.于是f-.12.(3,5)∵f(x)=-(x>0),∴f(x)是定义在(0,+∞)内的减函数,又f(a+1)<f(10-2a),∴--解得-∴3<a<5.13.C f(x)=x2+a---要使f(x)在[0,+∞)内单调递增,应有-解得-1≤a≤0.故实数a的取值范围是[-1,0].14.C∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0 ∴f(x)在(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x ≤0 得f(x2-ax ≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有--解得a≥.故选C.15.(方法一)由|f(x)|≤1得|f(1)|=|2a+3b|≤1.所以6ab=2a·3b≤(2a+3b)2≤.当且仅当2a=3b=±时,等号成立.所以ab的最大值为.(方法二)由题意得故-因此ab=(f(1)-f(0))f 0 ≤.故ab的最大值为.16.证明 (1)∵f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t,∴f(x)=1⇔(x+2t)(x-1)=0,(*)∴x=1是方程(*)的根,即f(1)=1.因此x=1是f(x)=1的实根,即方程f(x)=1必有实根.(2)当<t<时,f(-1)=3-4t>0,f(0)=1-2t=2-<0,f(2t-1)+1-2t=-t>0.又函数f(x)的图象连续不间断,且对称轴x=-t满足-t∈-,∴f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点.17.令f(x)=x2+ax+2b,∵方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,∴作出上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(不含边界),其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0).表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的斜率.设点E(a,b)为区域内的任意一点,则--∵k AD=-,k CD=-=1,由图可知k AD<k<k CD.故-的取值范围是.-。

第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质二、二次函数 1．二次函数的定义形如f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质[小题能否全取]1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是( ) A ．f(x)＝x 2－1 B ．f(x)＝5x 2C ．f(x)＝－x 2D ．f(x)＝x 2解析：选D 形如f(x)＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1－20a<0得a>120. 4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f(x)＝x 2＋(a ＋2)x ＋b(x ∈[a ，b])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f(x)的最小值为________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f(x)＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，b 2－4ac<0.(2)ax 2＋bx ＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，b 2－4ac<0.[注意] 当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a ＝0和a≠0两种情况．典题导入[例1] 已知幂函数f(x)＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________. [自主解答] ∵函数f(x)＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(2018·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是( )A ．2a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)aB ．(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)a>2aD ．2a>(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a解析：选B 若a<0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0.所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a.典题导入[例2] 已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f(x)解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式． [自主解答] (1)由于f(x)有两个零点0和－2， 所以可设f(x)＝ax(x ＋2)(a≠0)， 这时f(x)＝ax(x ＋2)＝a(x ＋1)2－a ， 由于f(x)有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x ＋2)＝x 2＋2x.(2)设点P(x ，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P′(－x ，－y)必在f(x)图象上， 所以－y ＝(－x)2＋2(－x)， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g(x)＝－x 2＋2x.由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．典题导入[例3] 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答] (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f(|x|)的单调区间． 解：当a ＝1时，f(x)＝x 2＋2x ＋3，则f(|x|)＝x 2＋2|x|＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(2018·泰安调研)已知函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 解析：f(x)＝－(x －a)2＋a 2－a ＋1， 当a>1时，y max ＝a ；当0≤a≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a.根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1典题导入[例4] (2018·衡水月考)已知函数f(x)＝x 2，g(x)＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f(x)<b·g(x)，求实数b 的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m －m 2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围． [自主解答] (1)∃x ∈R ，f(x)<bg(x)⇒∃x ∈R ， x 2－bx ＋b<0⇒(－b)2－4b>0⇒b<0或b>4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F(x)＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0，即－255≤m≤255时，则必需⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，－255≤m≤255⇒－255≤m≤0.②当Δ>0，即m<－255或m>255时，设方程F(x)＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，＝1－m 2≤0⇒m≥2；若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，＝1－m 2≥0⇒－1≤m≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．以题试法4．若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f(0)＝1，得c ＝1.即f(x)＝ax 2＋bx ＋1. 又f(x ＋1)－f(x)＝2x ，则a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f(x)＝x 2－x ＋1.(2)f(x)>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min ＝g(1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f(x)＝x α的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解集是( ) A ．{x|0<x≤2} B ．{x|0≤x≤4} C ．{x|－2≤x≤2}D ．{x|－4≤x≤4}解析：选 D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22⇒α＝12，即f(x)＝x 12，故f(|x|)≤2⇒|x|12≤2⇒|x|≤4，故其解集为{x|－4≤x≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a>0，c<0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f(x)＝x 12，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是( )A ．f(a)<f(b)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f(b)<f(a)C ．f(a)<f(b)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(a)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f(b) 解析：选C 因为函数f(x)＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a<b<1b <1a ，故f(a)<f(b)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .4．已知f(x)＝x 2＋bx ＋c 且f(－1)＝f(3)，则( )A ．f(－3)<c<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c<f(－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f(－3)<cD ．c<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f(－3) 解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f(－3)＝f(5)，c ＝f(0)＝f(2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f(－3)＝f(5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f(2)＝f(0)＝c.5．设二次函数f(x)＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f(x)＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f(x)＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f(1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m>52.7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(2018·北京西城二模)已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f(x －1)<x 的解集为________．解析：因为f(x)＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f(x)＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x<2.答案：0 {x|1<x<2}9．若x≥0，y≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x≥0，y≥0，x ＝1－2y≥0知0≤y≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：3410．如果幂函数f(x)＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p<3.又∵f(x)是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f(x)＝x 2.11．已知二次函数f(x)的图象过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)． (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f(x)≥0的解集．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x ＋1)(x －3)， 将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f(x)＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f(x)＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f(x)min ＝f(1)＝－8，f(x)max ＝f(3)＝0. (3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．12．已知函数f(x)＝ax 2－2ax ＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f(x)＝a(x －1)2＋2＋b －a. 当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ ＝5，＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧＝2，＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b<1，∴a ＝1，b ＝0，即f(x)＝x 2－2x ＋2. g(x)＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m)x ＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m≤2或m≥6.1．已知y ＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n≤f(x)≤m 恒成立，则m－n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f(x)min ＝f(－1)＝0，f(x)max ＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m －n≥1.2．(2018·青岛质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y ＝f(x)－g(x)在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x 2－3x ＋4与g(x)＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f(x)－g(x)＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－23．(2018·滨州模拟)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，x>0，－，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.则f(x)＝(x ＋1)2.则F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧＋2，x>0，－＋2，x<0.故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f(x)＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x －x 且b≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc>0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab>0，从而c>0，可排除A ，C ；当－b2a>0时，ab<0，从而c<0，可排除B ，选D. 3．已知函数f(x)＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)若13≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f(x)＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a>0时，抛物线f(x)＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上为增函数； 当a<0时，抛物线f(x)＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a ，由13≤a≤1得1≤1a ≤3，∴N(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－1a .当1≤1a <2，即12<a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a －5，故g(a)＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a≤12时，M(a)＝f(1)＝a －1，故g(a)＝a ＋1a－2.∴g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1a －2，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12时，g′(a)＝1－1a <0，∴函数g(a)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上为减函数；当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，g′(a)＝9－1a 2>0， ∴函数g(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g(a)取最小值，g(a)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.故g(a)≥12.。

高考数学一轮复习学案：2.4 幂函数与二次函数（含答案）2.4幂函数与二次函数幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.了解幂函数的概念2.结合函数yx，yx2，yx3，y1x，y12x的图象，了解它们的变化情况3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数.对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程.不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择.填空题，中档难度.1幂函数1幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数2常见的5种幂函数的图象3常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3y12xyx1定义域RRR0，x|xR，且x0值域R0，R0，y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数1二次函数解析式的三种形式一般式fxax2bxca0顶点式fxaxm2na0，顶点坐标为m，n零点式fxaxx1xx2a0，x1，x2为fx的零点2二次函数的图象和性质解析式fxax2bxca0fxax2bxca0，0，当ac且abc0，则它的图象可能是答案D解析由abc0和abc知，a0，c1221mm，则实数m的取值范围是A.，512B.512，C1,2D.512，2答案D解析因为函数y12x的定义域为0，，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m10，m2m10，2m1m2m1.解2m10，得m12；解m2m10，得m512或m512.解2m1m2m1，得12xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令gxx23x1m，要使gxx23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数gxx23x1m在1,1上的最小值大于0即可gxx23x1m在1,1上单调递减，gxming1m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是，12已知a是实数，函数fx2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为________答案，12解析2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a321x13216，因为1x，11，，当x1时，右边取最小值12，a12.综上，实数a的取值范围是，12.思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意1抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；2要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”作草图，再“定量”看图求解3由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域跟踪训练1设abc0，二次函数fxax2bxc的图象可能是答案D解析由A，C，D知，f0c0，从而由abc0，所以ab0，所以对称轴xb2a0，知A，C错误，D满足要求；由B知f0c0，所以ab0，所以xb2a0，B错误2已知函数fxx22ax2a4的定义域为R，值域为1，，则a的值为________答案1或3解析由于函数fx的值域为1，，所以fxmin1.又fxxa2a22a4，当xR时，fxminfaa22a41，即a22a30，解得a3或a1.3设函数fxax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为________答案12，解析由题意得a2x2x2对1x4恒成立，又2x2x221x12212，141x1，2x2x2max12，a12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例12分设函数fxx22x2，xt，t1，tR，求函数fx的最小值思想方法指导研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论规范解答解fxx22x2x121，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.2分当t11，即t0时，函数图象如图1所示，函数fx在区间t，t1上为减函数，所以最小值为ft1t21；5分当t1t1，即0t1时，函数图象如图2所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f11；8分当t1时，函数图象如图3所示，函数fx在区间t，t1上为增函数，所以最小值为ftt22t2.11分综上可知，fxmint21，t0，1，0t1，t22t2，t 1.12分。

课时过关检测(八) 幂函数与二次函数A 级——基础达标1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( ) A ．是增函数 B ．不是单调函数 C ．是减函数D ．不能确定解析：A 因为函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，即mm －1＝0，解得m ＝0．所以f (x )＝－x 2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A ．2．(2022·济南质检)若f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．－13解析：C 设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13．3．(2022·浙江模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( )A ．b <a ＋c ，c 2<ab B ．b <a ＋c ，c 2>ab C ．b >a ＋c ，c 2<abD ．b >a ＋c ，c 2>ab解析：D 由题图知，a >0，b >0，c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f (－1)＝a －b ＋c <0，所以c ＝－(a ＋b )，b >a ＋c ，所以c 2－ab ＝[－(a ＋b )]2－ab ＝a 2＋b 2＋ab >0，即c 2>ab ．故选D ．4．已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 解析：B 由题得f (x )＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，令t ＝sin x ，则f (x )＝g (t )＝－10⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2，令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由g (t )的图象，可知当－12≤t ≤0时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，所以－π6≤m ≤0．故选B ． 5．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤x 的解集是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：B 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝x 的图象，如图所示：当⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 时，解得x ＝12，由图象知⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤x 的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞故选B ． 6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0,3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3,0)解析：ABD 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，－b2a＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A 、B 、D ．7．(多选)已知函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( ) A ．函数y ＝x α的图象过原点 B ．函数y ＝x α是奇函数 C ．函数y ＝x α是单调减函数 D ．函数y ＝x α的值域为R解析：ABD 因为函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f (x )＝x 3，A 项，因为f (0)＝0，所以函数y ＝x 3的图象过原点，因此本说法正确；B 项，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以函数y ＝x 3是奇函数，因此本说法正确；C 项，因为y ＝x 3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D 项，因为y ＝x 3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A 、B 、D ．8．已知函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，且点P 在函数g (x )＝x α的图象上，则α＝________．解析：令2x －3＝1，得x ＝2，此时f (2)＝4，∴函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(2,4)，即P (2,4)，又∵点P 在函数g (x )＝x α的图象上，∴2α＝4，∴α＝2．答案：29．已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，∴|x |≤4，∴－4≤x ≤4．∴不等式f (|x |)≤2的解集是[－4,4]．答案：[－4,4]10．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f (x )的解析式； (2)设函数g (x )＝f x ＋2x ＋c ，若g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，求实数c 的取值范围．解：(1)∵f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3．又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2．当m ＝0或2时，f (x )＝x 3，不是偶函数； 当m ＝1时，f (x )＝x 4，是偶函数． 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 4．(2)由(1)知f (x )＝x 4，则g (x )＝x 2＋2x ＋c ＝(x ＋1)2＋c －1． 由g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，得g (x )min >2(x ∈R )． ∵g (x )min ＝g (－1)＝c －1，∴c －1>2，解得c >3． 故实数c 的取值范围是(3，＋∞)．B 级——综合应用11．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x ∈[－1,0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，4]解析：B 因为f (x )＞0的解集为(－1,3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根为－1,3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x－1)2＋8＋m ，由x ∈[－1,0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1,0]上恒成立，故m ≥4，故选B ．12．(多选)若a ＋b >0，函数f (x )＝(x －a )(x ＋b )－1的零点为x 1，x 2(x 1<x 2)则( ) A ．x 1<b B ．x 2>a C ．x 1＋x 2＝a －bD ．x 1＋x 2＝b －a解析：BC 设g (x )＝(x －a )(x ＋b )，则g (a )＝g (－b )＝0，f (x 1)＝g (x 1)－1＝0，g (x 1)＝1，同理g (x 2)＝1，所以x 1＋x 2＝a ＋(－b )＝a －b ，由a ＋b >0得a >－b 且a >0，又x 1<x 2，g (x )的图象是开口向上的抛物线，所以x 1<－b ，x 2>a ，故选B 、C ．13．请先阅读下列材料，然后回答问题．对于问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．故当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值．(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； (2)试研究函数y ＝2x 2＋x ＋2的最值情况．解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4，易知u ≠0，当0<u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14；当u <0时，1u<0，即f (x )<0．∴f (x )<0或f (x )≥14，即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74，∴0<y ≤87，∴函数y ＝2x 2＋x ＋2的最大值为87⎝ ⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时取到，无最小值．C 级——迁移创新14．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f ab －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f 1－f －11－－1＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1．所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2)15．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1． (1)求a ，b 的值；(2)若存在x ∈[3,4]，使g (x )<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立，求m 的取值范围； (3)设f (x )＝g x x，若不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b ＝a (x －1)2＋1＋b －a ． ∵a >0，∴g (x )在[2,3]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧g2＝1，g 3＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得g (x )＝x 2－2x ＋1，∵存在x ∈[3,4]，使g (x )<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立， ∴g (x )min ＝g (3)＝4<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立，即－mt ＋2m 2＋3>0对任意的t ∈[0,5]都成立，其中t 看作自变量，m 看作参数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3>0，－5m ＋2m 2＋3>0，解得m ∈(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞．(3)由(1)得f (x )＝g x x ＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2，∴f (2x )－k ·2x ＝2x ＋12x －2－k ·2x≥0，令2x＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤t ≤2，则不等式可化为k ≤1＋1t 2－2t，∵不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上有解，∴k ≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t2－2t max ，又∵1＋1t2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12，12≤t ≤2⇒12≤1t ≤2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t 2－2t max ＝1，k ≤1，即实数k 的取值范围是(－∞，1]．。