高一数学人教A版必修一精品教案：1.1.1集合的含义与表示 Word版含答案

1.1.1《集合的含义与表示》导学案班级组名：姓名【学习目标】A级目标：通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.B级目标：了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.【重点难点】重点：集合的基本概念与表示方法.难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.【学习过程】一、课题引入问题1.军训前学校通知:8月30日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？问题2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?二、自主探究得出结论阅读课本第2~3页，完成下列探究任务[问题一]①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(1)班全体学生组成的集合,用a表示高一(1)班的一位同学,b是高一(2)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？[问题二]阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.[问题三]①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法?三、合作交流，解决问题例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是什么？例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 小于10的所有自然数组成的集合;(2) 方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合.四．突破疑难例4.若集合A={}23,21,4a a a ---且3A -∈，求实数a 的值组成的集合.例5.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R},若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.【当堂检测】1. (1) A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示.(2) 所有素质好的人能否表示为集合?(3) A={2,2,4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?2.方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______.3.已知A={x ∈R |x=abcabc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ||||||||||||||++++++,abc ≠0},用列举法表示集合A.4.用列举法表示下列集合:(1) 所有绝对值等于8的数的集合A;(2) 所有绝对值小于8的整数的集合B.5.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 方程x 2-2=0的所有实数根组成的集合;(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.【课后反思】1.今天你的收获是什么？2.你有哪些方面需要努力？【课后巩固提高】1.说出下面集合中的元素:(1) {大于3小于11的偶数};(2) {平方等于1的数};(3) {15的正约数}.2.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N *. ( )(2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )(3)所有不属于N *的数都不属于Z . ( )(4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( )(5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )3.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x-36∈Z ,x ∈Z }. (6){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y-2x=0};(7){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.4.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x 2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.(4)方程ax+by=0(ab ≠0)的解;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)能被3整除的整数.5.定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A.0B.6C.12D.186.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.7. 已知集合A 有三个元素2+a ，2)1(+a ，332++a a（1）若1A ∈，则集合A 中还有哪些元素？（2）若1A ∉，则a 应满足什么条件?拓展提升1.集合A={x|x=a+2b,a ∈Z ,b ∈Z },判断下列元素x=0、121-、231-与集合A 之间的关系.2.已知集合C={x|x=a+b,a ∈A,b ∈B}.(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C 中所有元素之和S;(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C 中所有元素之和S;(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.本题(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.。

模块纵览课程目标通过集合的教学，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性通过函数概念与基本初等函数Ⅰ的教学，使学生理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；使学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步学会运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题；培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力.学习要求本模块是高中数学的起点.本模块的内容包括：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数及幂函数).主要要求如下:1.了解集合的含义，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集.会用Venn 图表示集合的关系及运算.2.理解函数与映射的概念；会求一些简单函数的定义域和值域；理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数；理解函数的单调性、奇偶性，会判断一些简单函数的单调性、奇偶性；理解函数最大(小)值的概念及其几何意义；会画函数的图象，并运用函数图象理解和研究函数的性质.3.理解有理数指数幂的含义；理解对数的概念及其运算性质；理解指数函数、对数函数的概念、意义和性质，会画指数函数、对数函数的图象.了解指数函数、对数函数模型的实际案例，会用指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题.了解幂函数的概念；结合函数y＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y=x1,y=x 21的图象，了解幂函数的图象变化情况. 4.了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系.了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如x 3+ax+b=0,a x +bx+c=0,lgx+bx+c=0的方程的近似解.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单的应用.教学建议1.关于集合的教学，应注意以下问题：集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义.学习集合语言最好的方法是使用.在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，使学生在实际运用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，能进行三种语言之间的相互转换，并掌握集合语言.对集合的相等关系、包含关系不要求证明，只要求能判断两个简单集合的相等关系、包含关系.2.关于函数与基本的初等函数(Ⅰ)的教学，应注意以下问题：要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质.函数概念的引入应通过具体实例，让学生体会非空数集之间的一种特殊的对应关系(即函数)，函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.在教学中，应强调对函数概念本质的理解，要结合y=x 2,y=x 3,y=|x|,y=x1等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性(对一般函数的奇偶性，不要作深入讨论).在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理数指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以让学生利用计算器(机)进行实际操作，感受“逼近”的过程.反函数的教学中，只要求通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a≠1).不要求讨论一般形式的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数.方程实根分布问题，仅限于掌握：①利用一元二次方程根的判别式判别根的个数；②借助图象了解：若f(x)＝ax 2+bx+c ，且f(p)f(q)＜0(p ＜q)，则方程f(x)＝0必有一根x 0∈(p ，q).用二分法求方程的近似解，关键是结合具体例子感受过程与方法.本方法限于用计算器求三类方程：x 3+ax+b=0,a x +bx+c=0,lgx+bx+c=0的近似解.应注意鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题.例如，利用计算器(机)画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等. 在本章教学中，应引导学生阅读有关资料，了解对数的发现历史，了解函数概念的形成、发展及应用.第1章 集合本章概述一、课标要求本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4.能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，培养学生从具体到抽象的思维能力.6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.二、本章编写意图与教学建议1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而发展其运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.培养学生的抽象概括能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn 图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用.3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.三、教学内容及课时安排建议1.1集合的含义及其表示整体设计教材分析本节课是学生进入高中的第一节课，教材试图通过清新的风格、流畅的语言，讲述一个乏味的枯燥的理论—集合理论,从而树立学生学习数学的信心，所以在讲授这节课的时候，多通过一些实际的例子，让学生感受集合这一原始的概念，从集合的确定性、互异性、无序性去识别哪些可以组成集合,慢慢地带领学生进入数学语言的王国.通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演.讲授时，可通过数学史，让我们的学生更深入地去了解数学和为数学而献身的数学家，体现数学的人文教育的功能.在教学中不要过分强调细枝末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题.三维目标1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.知道常用数集及其专用记号.3.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性.4.会用集合语言表示有关数学对象.5.让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.重点难点教学重点：集合的含义与表示方法.教学难点：集合表示法的恰当选择.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(情境导入)情境1.在充满诱惑的非洲大草原上一群大象正缓步走来;蓝蓝的天空中有一群鸟在欢快地飞翔;清清的湖水里，一群鱼儿在自由而欢快地畅游.以上描述中的“一群象”“一群鸟”“一群鱼”等概念有什么共同特征？答：它们都是可以识别的、确定的一个群体.情境2.军训刚结束不久，大家还记忆犹新，在军训前大家接到一个通知，大致内容是：8月20日8点，高一年级在体育馆集合，进行军训动员.试问在这个通知里的对象是高一学生还是个别的学生？答：是高一的学生.设计思路二(问题导入)问题：就有关A、B两事，向50位同学调查赞成与否，赞成A的人数是全体的五分之三，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成，另外对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多一人.试问在对A、B两事上，就上面的论述知道有几个群体？你能算出问题中的每个群体的人数吗？答：问题中分为：赞成A，赞成B，A、B都赞成，A、B都不赞成四个群体.赞成A有30人，赞成B有33人，A、B都赞成有21人，A、B都不赞成有8人.推进新课新知探究1.集合论的创始者康托尔曾说过：“集合是我们直觉或思维的并且是确定的彼此可以识别的对象的一个群体.”显然这仅是给出一个描述性的说明.集合的概念是数学中不定义的原始的概念.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合的元素一般具有下列特点和性质：确定性：对于一个已知的集合，它的元素是确定的.所谓的确定性就是：任何一个事物a 或者是A的元素.或者不是A的元素，二者必具其一，即a∈A与a A有且只有一个成立.这是证明集合之间关系特别是相等关系时，经常使用的重要依据.确定性是集合概念的根本特征,其实质是明确可以区分的，不容许有含糊不清、模棱两可的情形，例如，较小的数就不能构成一个集合，因为“较小的数”含义模糊.但确定性并不要求有a∈A的具体判定方法，例如，A={超越数}，A作为全体超越数的集合是明确的，但直到现在人们还无法判定π+e是否属于A，尽管如此π+e属于A与不属于A二者必具其一，没有第三种可能，这是确定无疑的，此即集合确定性含义.互异性：一个集合中的所含元素不允许重复，确切地说，集合中的相同元素不能算作不同元素，而必须作为同一个元素看待，由此可知，在没有定义“元素相同”之前，元素互异句缺少逻辑基础，并且定义元素的相同又是确定性的必要补充.无序性：集合中的元素可以任意变动次序.此外，集合中元素的个数也没有限制，既可以是有限多个，又可以是无限多个，个数是有限多个是既可以知其确切数，又可以暂不知其确切数，如集合D={不超过10100的素数}.2.非负整数集内排除0的集，表示成N*或N+.3.集合的常用表示方法：列举法：将集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来.比如用列举法表示“中国古代的四大发明”构成的集合.可表示为{指南针，黑火药，印刷术，造纸术}描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内的方法，它的一般形式是{x|p(x)}.图示法(韦恩图法):画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.记忆技巧:对数集的符号记忆可以联系其英文单词记忆.应用示例思路1例1 一条直线可看作由___________组成的集合；一个平面可看作由___________组成的集合；一个圆可看作由___________组成的集合.分析：本题考查的是集合与元素的概念，以及集合与元素的关系.解：无数个点；无数条直线；无数个点.例2 考察下列每组对象是否能构成一个集合.(1)所有的好人；(2)不超过20的非负数；(3)我们班16周岁以下的学生；(4)高个子的人；(5)充分接近2的实数.解：(2)、(3)能构成集合；(1)、(4)、(5)不能构成集合.点评：数学的解题不是孤立的，它要求我们前后的知识要能联系在一起，抓住集合概念的基本特征，这类问题就很容易了.例3 满足0≤x≤1的实数能否构成一个集合，为什么？分析：依靠集合的特征说话，我们会发现任意一个实数，它要么满足不等式，要么不满足不等式.解：能构成集合，因为它满足集合的三个性质.点评：本题考查了对无限集合的判定，加强对集合的概念的理解.例4 已知集合M={a ，b ，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 分析：本题主要考查了集合的互异性.答案：D点评：本题从三角形的角度将集合的互异性隐藏在题中，增加了解题难度.例5 (1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}；(2)用列举法表示集合A={x ∈N |1≤x ＜8}；(3)试选择适当的方法表示集合：不等式x 2+2＜0的解集.分析：这是一组对集合语言的运用，形成互相的翻译，这也是我们今后学习的方向，用数学的语言来诠释世界.解：(1){大于0而小于10的奇数}；(2){1，2，3，4，5，6，7}；(3)∅.点评：在选择适当的方法表示集合时，要注意其可行性和表示问题的简洁性.思路2例1 求不等式2x-3＞5的解集.分析：这是一个无限集，所以选用描述法表示.解：由2x-3＞5得x ＞4，所以2x-3＞5的解集为{x|x ＞4}.例2 如何表示方程组⎩⎨⎧=-=+0,1y x y x 的解集呢？ 分析：这个问题是一个熟悉的问题，但在集合的观点下，如何正确表示是一个关键.解：{(x,y)}|⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎩⎨⎧=-=+)21,21(2121|),(01y x y x y x y x . 点评：在讲解这个例题时要注意抓住集合的元素个数只有一个，避免产生错误的答案. 例3 求方程x 2+x+1=0所有实数解的集合.分析：运用一元二次方程的知识可以知道，其解集是空集.解：{x|x 2+x+1=0,x ∈R }=∅.点评：对于特殊问题，解题是一定化到最简形式.例4 写出x 2-1=0的解集.分析：有两个元素，所以写解集时要与例2区别开来.解：{x|x 2-1=0}={-1,1}.点评：不要写成{(-1,1)}，这样就错了.知能训练一、课本第7页练习.解答：1.(1){x|x+1}={-1};(2){1,3,5,15};(3){2,4,6,8,10}.2.(1){x|x=2n+1,n ∈N }或{x|x 是奇数};(2){x|x=2n,n ∈N *}或{x|x 是偶数};(3){x|x 2+1≤0,x ∈R }.3.(1)∈,∉,∈,∉,∈,∈,∈,∈;(2)∈,∉;(3)∈,∉;(4)∉,∈.4.(1){0,1,2,3,4};(2){(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)};(3){a,c,e,h,i,m,s,t}.二、补充练习1.下列表达是否正确？说明理由.(1)Z ={全体整数};(2)R ={实数集};(3){(1,2)}={1,2};(4){1,2}={2,1}.2.已知M={2,a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N ，求a,b 的值.3.已知集合A={x|mx 2-2x+3=0,m ∈R }，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围.4.A={x│x ∈N ，x-68∈N }，试用列举法表示A. 解答：1.(1)错,应为{整数}；(2)错,应为{实数}；(3)错,(1，2)表示一个元素；(4)正确,集合元素具有无序性.2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==2.1,411,0b a b a 或3.m=0或m≥31. 4.A={2,4,5}.课堂小结一、在师生互动中，让学生了解或体会下列问题：1.本节课我们学习过哪些知识内容？2.你认为学习集合有什么意义？3.选择集合的表示法时应注意些什么？二、列举法的特点是：直观、明白，但有其局限性，如“小于1的一切正数”构成的集合就不能把它的元素一一列举出来或列举出有足够代表性且反映出规律的元素,故无限集一般不用列举法.描述法具有抽象概括、普遍性的特点.使用描述法时，应注意：写清楚集合中元素的代号；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应准确使用“且”“或”；所有描述的内容都要写在大括号内；用于描述的语句力求简明、准确.集合的分类：按元素个数可分为：有限集、无限集、空集.作业1.课本第17页复习题1、2.2.举出你身边的关于集合的事例.不少于6个，要有创新.3.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似的集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示?请同学们通过预习课本回答.设计感想1.利用丰富的背景事例创设问题情境，帮助学生理解抽象的数学概念集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，但这对于刚步入高中学习的高一新生来说却是抽象、枯燥的一个数学概念，因此，从学生们身边熟悉的例子引入，拉近与学生的距离，引导学生透过一系列从具体到抽象、从特殊到一般的事例了解集合的概念.2.提供积极思考、自主探索的空间，使学生成为学习的主体丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式，因此，在本节课的小结中设计了一些问题，让学生独立思考、合作交流,同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点,针对不同问题，能选用合适的集合表示法.在练习过程中要熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法、常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱,对学生解题过程中遇到的困难给予适当引导、点拨.。

1.1.1集合的含义与表示精讲部分学习目标展示1. 元素与集合的概念2. 集合中元素的性质3. 集合的表示方法4. 数学中常用数集及其记法5. 集合的分类 衔接性知识1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 奇 数；2k 表示所 偶 数。

2. 如果a为实数，则=a,=||a ，当0a≥时，=a，当0a <时，=a-3. 一元一次方程与不等式的解法（1）一元二次方程(0)ax b a =≠的根为bx a=（2）一元二次不等式(0)axb a >≠，当0a>时，它的解为b x a >； 当0a <时，它的解为b x a<。

4.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法例：求方程241670x -+=的根（1）公式法当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根2b x a-±=；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根2b x a=-；当240b ac ∆=-<时，方程有没有实数根。

解：2(16)4471440∆=--⨯⨯=>，所以原方程的根为167242x +==⨯，或161242x -==⨯（2）配方法 解：241670x -+=，2744x x ∴-=，29(2)4x -=，322x -=±所以12x =或72x =（3）因式分解法241670x -+=，(21)(27)0x x --=，210x -=或270x -=，所以12x =或72x =基础知识工具箱例1.已知集合{|31,}M x x k k Z ==+∈，用∈与∉填空：1M ，1M -，25M ，29M -解：令311k+=，得0k Z =∈，所以1M ∈；令311k +=-，得23k Z =∉，所以1M -∉；令3125k+=，得8k Z =∈，所以25M ∈；令3129k +=-，得10k Z =-∈，所以29M -∈例2.用描述法和列举法表示下列集合 （1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合； （3）不等式260x -+>的自然数根；（4）方程2210x x -+=解集解：（1）描述法表示为2{|4}x R x ∈=或2{|4,}x x x R =∈或2{|4}x x =，列举法表示为{2,2}-（2）描述法表示为1{|}x R x x ∈=或1{|,}x x x R x =∈或1{|}x x x=，列举法表示为{1,1}-（3）描述法表示为{|3,}x x x N <∈或{|3}x N x ∈<，列举法表示为{0,1,2}(4) 描述法表示为2{|210}x x x -+=，列举法表示为{1}例3.用适当的方法表示下列集合 （1）二次函数2(1)4y x =--的函数值组成的集合；（2）函数21y x=+的的自变量的值组成的数集合； （3）一次函数y x =与24y x =-的图象的交点组成的集合。

§1.1.1 集合的含义及其表示一、教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力二、教学重点集合的基本概念与表示方法；三、教学难点运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；四、教学过程1、创设情境，引入新课在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解上面这些例子有什么共同的特征？2、推进新课（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

（2）集合的性质○1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

○2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。

○3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。

（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合（1）大于3小于11的偶数。

（2）我国的小河流。

2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。

（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。

1.1.1集合的含义与表示（第一课时）教学目标：1.理解集合的含义。

2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。

3.熟记有关数集的专用符号。

4.培养学生认识事物的能力。

教学重点：集合含义教学难点：集合含义的理解教学方法：尝试指导法教学过程：引入问题（I）提出问题问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？讨论问题：按小组讨论。

归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。

复习问题问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有x-<的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一理数的集合，不等式73条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。

（II）讲授新课1．集合含义通过以上实例，指出：（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？（1）确定性：设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示（一）教学目标分析：知识目标：1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

2、掌握集合中元素的特性。

3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

过程与方法：通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。

情感目标：在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。

重难点分析：重点：集合的含义与表示方法。

难点：集合表示方法的恰当选择及应用。

互动探究：一、课堂探究：1、情境引入军训前学校通知：8月13日上午8点，高一年级学生在学校操场集合前往军训基地；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

2、集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。

在学习集合之前，我们先来简单了解这位著名数学家的生平。

1845年3月3日，乔治••康托尔生于俄国的一个丹麦——犹太血统的家庭。

1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福。

像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。

他的父亲力促他学工，因而康托尔在1863年带着这个目的进入了柏林大学。

这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。

康托尔很早就向往这所由外尔斯特拉斯占据着的世界数学中心之一。

所以在柏林大学，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。

他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。

1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。

§1．1集合1.1.1 集合的含义与表示（第一课时）教学目标：1.理解集合的含义。

2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。

3.熟记有关数集的专用符号。

4.培养学生认识事物的能力。

教学重点：集合含义教学难点：集合含义的理解教学方法：尝试指导法教学过程：引入问题（I）提出问题问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？讨论问题：按小组讨论。

归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。

复习问题问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，x-<的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相不等式73等的点的集合等等）。

（II）讲授新课1．集合含义（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？2. 集合元素的三个特征由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1） 确定性：设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作aA ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作aA 。

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。

另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题）,即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地,研究对象统称为元素（element）,一些元素组成的总体叫集合（set）,也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体（对象）,因此,同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素,就说a属于（belong to）A,记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素,就说a不属于（not belong to）A,记作a∉A（或a A）（举例）∈6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集）,记作N正整数集,记作N*或N+；整数集,记作Z有理数集,记作Q实数集,记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

§1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点).3.记住常用数集的表示符号并会应用．预习教材P2，完成下面问题：知识点1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)漂亮的花可以组成集合．()(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．()(3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的．()提示(1)ד漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．(2)×由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素．(3)×集合中的元素具有无序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是同一集合．知识点2元素与集合的关系思考设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？提示 3是集合A 中的元素，即3属于集合A ，记作3∈A ；4不是集合A 中的元素，即4不属于集合A ，记作4∉A .知识点3常用数集及表示符号(1)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－2 C ．78D ．7 (2)若2<x <10，且x ∈Z ，则x ＝________.解析 (1)由选项知7是实数，但不是有理数，故选D ． (2)大于2且小于10的整数为2和3，故x ＝2或3. 答案(1)D (2)2或3题型一集合的判定问题【例1】下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体．解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合．规律方法判断一组对象能否构成集合的依据【训练1】给出下列说法：①中国所有的直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2011且小于2017的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________(填序号)．解析 ②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．答案①③题型二元素与集合的关系【例2】 (1)给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．解析 (1)①②正确；③④⑤不正确． (2)∵63－x ∈N ，x ∈N ，∴当x ＝0时，63－x ＝2∈N ，∴x ＝0满足题意；当x ＝1时，63－x＝3∈N ，∴x ＝1满足题意；当x ＝2时，63－x ＝6∈N ，∴x ＝2满足题意，当x >3时，63－x <0不满足题意，所以集合A 中的元素为0,1,2.答案(1)B (2)0,1,2规律方法判断元素与集合关系的两个关键点判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．【训练2】设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，则下列关系中正确的是( )A ．a ∈MB ．a ∉MC ．a ＝MD ．a ≠M解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵11<23，∴a ∉M .答案Ba 的值．解 因为－3是集合A 中的元素，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.【迁移1】(变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围．解由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2.【迁移2】(变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a的值是什么？解由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a ＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0.规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．课堂达标1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案 C2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是()A．－1∈A B．－11∈A C．15D．32解析－11＝3×(－4)＋1，故选B．答案B3．下列三个命题：①集合N中最小的数是1；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a ＝32，则－a ∉N 且a ∉N ，显然②不正确．答案A4．已知集合A 中的元素x 满足x ≥2，若a ∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意a 不满足不等式x ≥2，即a <2. 答案a <25．若集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成，判断－6＋22是不是集合A 中的元素？解 因为－2∈Z 且2∈Z ，所以－6＋22是形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数，即－6＋22是集合A 中的元素．课堂小结1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．元素a 与集合A 之间只有两种关系：a ∈A ，a ∉A . 3．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a ，b ，c 与由元素b ，a ，c 组成的集合是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系．。