“三线合一”的妙用
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“三线合一”的妙用
安徽省无为县刘渡中心学校（238341）丁浩勇
等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．
一、证明角相等
【例1】已知：如图1，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ．求证：
DBC BAC ∠=∠2．
【分析】作出等腰ABC ∆的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得DBC ∠等于其中任一部分即可．
【证明】作BAC ∠的平分线
AE ，则有
BAC ∠=∠=∠2121．
∵AC AB =，21∠=∠，∴BC AE ⊥（三线合一）．∴︒=∠+∠902C ．又∵AD BD ⊥，∴︒=∠+∠90C DBC ．∴
DBC ∠=∠2．∴DBC BAC ∠=∠2．
【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决．
二、证明线段相等
【例2】（2009·汕头）如图2，ABC ∆是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CD CE =，过点D 作BE DM ⊥，垂直为M ．求证：EM BM =．
【分析】在BDE ∆中，BE DM ⊥．如果能证得
DE DB =，由“三线合一”就可得出EM BM =．
【证明】∵ABC ∆是等边三角形，D 是的AC 中点， ∴︒=∠=∠60ACB ABC ，BD 平分ABC ∠（三线合一）．∴︒=∠30DBC ．
又∵CD CE =，∴CDE E ∠=∠．
又∵CDE E ACB ∠+∠=∠，∴︒=∠=∠3021ACB E ．∴︒=∠=∠30E DBC ．∴
DE DB =．又∵BE DM ⊥，∴EM BM =（三线合一）
． 【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多．因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决．
三、证明直线垂直
【例3】（2009·义乌）如图3，在正△ABC 中，BC AD ⊥于点D ，以AD 为一边向右
作正△ADE ．请判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明．
【分析】在正△ABC 中，由“三线合一”知
︒=∠30CAD ．而△ADE 也是正三角形，于是有︒=︒-︒=∠-∠=∠303060CAD DAE FAE ，这样就得
AF 是正△ADE 的角平分线，再由“三线合一”得DE AC ⊥．
【证明】在正△ABC 中，∵BC AD ⊥，∴︒=∠30CAD （三线合一）．
在正△ADE 中，∵︒=︒-︒=∠-∠=∠303060CAD DAE FAE ，∴AF 是DAE ∠的平分线．∴DE AC ⊥（三线合一）．
【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：
（1）有一个等腰三角形；
（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线．
D 图3
A。
