怎样利用“三线合一”证明线段相等

几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理北师版7年级数学，人教版8年级数学当中都会学到三角形，其中等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．“三线合一”这个重要的性质，就是我们通过所说的“三线合一定理”和“三线合一逆定理”，“逆定理”是存在的，但是课本上没有，不能直接用，是需要证明的。

1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。

2．“三线合一”定理的证明在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

简记为“三线合一”。

（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。

证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。

（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。

证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。

（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD =∠CAD。

证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。

3．“三线合一”逆定理的证明在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。

等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。

本文结合实例说明其应用，供参考。

一. 直接应用“三线合一”例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。

求证：AD垂直平分EF分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有，所以只要证为等腰三角形即可证明：又AD垂直平分EF例2. 如图2，中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。

由于有，，所以就想到用“三线合一”。

证明：过点D作DE//CK交BK于点E二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在中，，，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，，垂足分别为E、F求证：（1）DE＝DF；（2）分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。

观察DE为或的一边，DF为或的边，但它们都没有全等的可能。

由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现或问题得证。

（2）欲证，只要证，即可但由（1）已证出又，故问题解决证明：连结AD。

D是BC的中点，DA平分，四边形PEAF是矩形又又（2）又即三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4. 如图4，已知四边形ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点，求证：分析：由于MN与CD同在中，又N为CD的中点，于是就想到证为等腰三角形，由于MD、MC为、斜边AB上的中线，因此，所以，问题容易解决。

证明：连结DM、CM，M是AB的中点是等腰三角形又N是CD的中点，例5. 如图5，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：EF//BC分析：由BE 平分、容易想到：延长AE 交BC 于M ，可得等腰，E 为AM 的中点；同理可得等腰，F 是AN 的中点，故EF 为的中位线，命题就能得证。

“三线合一”定理的灵活应用:三线合一定理“三线合一”定理是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高互相重合．该定理其实包括如下三个方面的内容：1．等腰三角形底边上的中线，既是顶角的平分线，又是底边上的高线；2．等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的高线，又是底边上的中线；3．等腰三角形底边上的高线，既是底边上的中线，又是顶角的平分线．显见，以上三方面的内容，给我们提供了证明线段相等、角相等、直线垂直的新思想和新方法．在解答一些证明问题时，要注意灵活应用它们．例1如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，即证明AD是∠BAC的平分线．证明：连接AD．因为AB=AC，BD=CD，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线．所以AD平分∠BAC．因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以DE=DF．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质．例2如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD 上的一点，求证：AB-AC＞PB-PC．分析：证明四条线段之间的不等关系，应把这四条线段转化为同一个三角形中的三边．为了得到AB-AC的结果，可在AB 上截取AE=AC，则有BE=AB-AC．为此，只要证明BE＞PB-PC即可．证明：在AB上截取AE=AC，连接PE、CE，CE交AD于F．因为AE=AC，AD平分∠BAC，所以AF是等腰△ACE的顶角∠CAE的平分线．所以AF⊥CE，CF＝EF．即，AF是CE的垂直平分线．因为P在AF上，所以PE＝PC．因为BE＞PB-PE，BE=AB-AE，所以AB-AC＞PB-PC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ACE顶角∠CAE的平分线AF，是底边CE上的高线，同时又是底边CE上的中线的性质．例3如图，在△ABC中，AB=AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC．分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与顶角平分线重合．要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行．证明：过A作AF⊥BC于F．因为AB=AC所以AF平分∠BAC．所以∠BAC=2∠BAF．因为AD=AE，所以∠D=∠AED．所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．所以∠BAF=∠D，DE∥AF．所以DE⊥BC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的高AF是顶角∠BAC的平分线的性质．例4如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD=1/2∠BAC．分析：为了得到1/2∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系．证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．因为AB=AC，AE平分∠BAC，所以AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．所以AE⊥BC于点E．所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，因为BD⊥AC于点D，所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．所以∠CBD=∠1=1/2∠BAC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质．。

初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导杨玲等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这是等腰三角形的性质定理，也称为“三线合一”定理。

它在几何计算和论证过程中有着很重要的应用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。

例1 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=_________。

图1分析与解；如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB=α21，又∠EAC=︒90C ∠-，∠β=C 90∠-︒，所以∠EAC=β，αβ21=。

例2 已知：如图2，AB ∥CD ，M 为AD 的中点，并且AB+CD=BC ，求证：CM 平分∠BCD ，CM ⊥BM 。

图2分析：要证待证的结论，需延长BM 与CD 的延长线交于点E ，构造△CBE 由“三线合一”定理，只需证CE CB =，BM=EM 。

易证DEM ABM △△≅，可得BM=EM ，AB=DE ，又BC=AB+CD=DE+CD=CE ，从而本题得证。

证明：请同学们自己写出。

例3 如图3，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。

图3（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连结BE 后，还能得出什么新的结论，请至少写出三个（不要求证明）（1）证明：连结AC 、AD ，∵AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，∴△ABC AED △≅。

∴AC=AD 。

又CF=DF ，∴AF ⊥CD 。

（2）例如：①BE ∥CD ，②AF ⊥BE ，③△ACF ADF △≅，④∠BCF=∠EDF ，⑤五边形ABCDE 是以直线AF 为对称轴的轴对称图形等。

例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F 。

典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧
◐名师点金◑
等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明这“一线”也是其他“两线”。

运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程。

技巧1：利用“三线合一”求角
1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC.求顶架上的∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数。

技巧2：利用“三线合一”求线段
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E,若BC=10,且△BDC的周长为24,求AE的长。

技巧3：利用“三线合一”证线段(角)相等
3.已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点。

(1)如图①,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF，试判断△DEF的形状,并说明理由。

(2)如图②,若E,F分别为AB,CA的延长线上的点,且仍有BE=AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状,并说明理由。

技巧4：利用“三线合一”证垂直
4.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且EA=EC.求证:EB⊥AB。

技巧5：利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5.如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.试说明:BF=2CD
技巧6：利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C，试说明:CD=AB+BD。

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。

求证：AE=BD。

证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

证明：过点E作EG//AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。

∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

等腰三角形三线合一怎么用
三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

例：已知等腰三角形的底边上的中线和高为一条，则可以说这条线段是底边对应顶点的角平分线。

三线合一逆命题
①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

等腰三角形
等腰三角形，是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。

等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

证明线段相等的方法第一篇：证明线段相等的方法证明线段相等的方法三角形中：①同一三角形中，等角对等边。

（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。

③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。

过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

（三）四边形中：①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。

③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

证明角相等的方法（一）相交直线及平行线：①二直线相交，对顶角相等。

②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。

④角的平分线分得的两个角相等。

⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等（二）三角形中：①同一三角形中，等边对等角。

（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。

③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等）④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形证明直线垂直的方法（一）相交线与平行线：①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。

②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。

（二）三角形：①直角三角形的两直角边互相垂直。

②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

证明直线平行的方法（一）平行线与相交线：①在同一平面内两条不相交的直线平行。

②同平行、或同垂直于第三直线的两条直线平行。

③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。

证明直角三角形的方法①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形②∠A:∠B:∠C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形③有两个角的和为90°，则这个三角形为直角三角形第二篇：证明线段相等的技巧证明线段相等的技巧要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。

三线合一的条件和结论1. 嘿，你知道三线合一不？那可是个挺神奇的事儿呢！啥是三线合一的条件呢？就好比等腰三角形是个舞台，当这个三角形是等腰三角形的时候啊，底边上的高、中线还有顶角平分线就有可能玩三线合一这个魔法啦。

比如说我画了一个等腰三角形的小房子，屋顶尖尖的，从顶点垂直到底边的那条线，就像一个小支柱，这条线既是这个等腰三角形小房子底边上的高，把房子撑得稳稳的；又是底边上的中线，把底边分成了两段一样长的小边边；还是顶角平分线，把那个大顶角分成了两个一模一样的小角角呢。

哇塞，这三线合一是不是很有趣呀？2. 三线合一的结论可不得了啊！你要是看到一个三角形里，一条线既是高又是中线还是角平分线，那这个三角形是啥？那肯定是等腰三角形呀，就像发现了一个小秘密一样。

我给我朋友讲这个的时候，我拿了一个三角形的小饼干，我跟他说，你看这条线就像这个小饼干里的魔法线，如果这条线能同时干这三件事，那这个饼干形状的三角形就是等腰三角形啦。

你要是不信，你可以自己拿个小纸片剪个三角形试试呀，多神奇啊！这就好像是三角形界的一个小暗号，只要看到这个暗号，就知道这个三角形的身份啦。

3. 咱来说说三线合一的条件吧。

等腰三角形就像一个特殊的小家族，在这个家族里才有机会出现三线合一的情况呢。

想象一下，等腰三角形的两条腰就像两个好兄弟，长得一样长。

这个时候啊，底边上的那条特殊的线就像一个多功能工具，在这个等腰三角形的特殊环境下，就能够集高、中线、角平分线于一身啦。

就像我在做数学题的时候，遇到一个三角形，我看到它两条边一样长，我就开始想，这里面会不会有三线合一的情况呢？就像在寻宝一样，只要看到等腰三角形这个宝藏箱的形状，就有可能找到三线合一这个宝贝呢。

4. 三线合一的结论简直是三角形世界里的一个小惊喜。

如果我发现一个三角形里有一条线特别厉害，既是把底边分成相等两段的中线，又像个小柱子一样垂直于底边是高，还像一把小剪刀把顶角平分了，那这个三角形肯定是等腰三角形啦，就像你看到一个人穿着特别的制服，你就知道他是做什么工作的一样。

证明等腰三角形的三线合一定理好呀，咱们来聊聊等腰三角形的三线合一定理，听起来有点复杂，但其实挺有意思的。

想象一下，咱们在学校的操场上，几个小伙伴在一起，三角形的样子就像是咱们用手比划的“Y”字。

等腰三角形，就是说这“Y”字的两个边是一样长的，特别对称，像是刚刚打扮好的小姐姐，真是美丽动人。

今天就带大家一起轻松搞定这个三线合一定理，保证让你笑着学会。

先说说什么是三线合一定理吧，简单来说，就是在一个等腰三角形里面，如果你从顶点往底边画一条线，既可以是高，也可以是中线，最后一条就是角平分线。

嘿，你看，这三条线都是从同一个点发出的，像极了咱们在操场上玩耍时那种热闹的氛围。

只不过，它们都是有使命的，咱们今天就来揭开它们的秘密。

咱们得认识这三条线。

高，那可是真正的直上直下，一点都不含糊；中线就像是一个和气的调解者，把底边一分为二；而角平分线呢，简直就像是个八卦达人，喜欢把角度分得整整齐齐。

想象一下，它们在一起开个派对，气氛那叫一个热烈，大家都有自己的角色，各司其职，真是一个团队的典范。

说到这里，咱们得试着在心里画一个等腰三角形。

哎，你看，底边的两头就像兄弟一样，伸得长长的。

等腰三角形的顶点高高在上，像个骄傲的小鸟。

此时，此刻，三条线纷纷加入，这样就形成了一个有趣的图形，咱们称之为“重心”。

想象一下，三个小伙伴围成一圈，互相拉扯着，生怕掉队，真是让人忍俊不禁。

然后，咱们就得看这个三线合一定理的魅力了。

三条线聚在一起，像是一场精彩的演出，能相遇在同一点，绝对不是偶然，肯定有它的道理。

比如说，高是最简单明了的，把底边分成了两部分；中线则是温柔地告诉我们，不管底边怎么动，它始终保持平衡；角平分线则像是在说，咱们要和谐相处，大家都是一家人。

嘿，这么一看，三条线的合作可不是开玩笑的。

不过，咱们再来想想，如果这三条线不聚在一起，会发生什么呢？就像一场没有组织的聚会，大家各自为政，乱成一团，根本无法形成那种完美的平衡。

可见，三线合一，那是多么重要呀。

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《线段相等，角相等，线段垂直》方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点2.等式的性质性质1:等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。

若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c (a,b≠0 或 a=b ，c≠0）3.全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二。

证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3。

角平分线4垂直的定义5。

两直线平行（同位角，内错角)6。

全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9。

同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2。

证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5。

垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等《线段相等，角相等，线段垂直》经典例题1。

利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）.例题2。

如图,，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证:AF平分∠DAE.4。

第5讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。

我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。

因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。

知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。

2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB．【答案】CE=AB【解析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE=∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E=∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE=∠CAE．∵CE∥AB，∴∠E=∠BAE．∴∠E=∠CAE．∴CE=AC．∵AB=AC，∴CE=AB．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质以及平行线的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．【答案】115°【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等腰对等角的性质以及三角形的内角和定理. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度．【答案】10cm，10cm，1cm【解析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验．解：①如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，∵AD=DC，AB=AC，∴2AD+AD=6cm，∴AD=2cm，∴AB=4cm，BC=13cm，∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故舍去；②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，同理得：AB=10cm，BC=1cm，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，∴腰长为10cm，底边为1cm．故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．求证：∠DAB=∠ACE．【答案】∠DAB=∠ACE【解析】根据等腰三角形的性质证明即可．证明：∵AC=BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB=∠B，CE⊥AB，∴∠CAB+∠ACE=90°，∵AD为△ACB的高线，∴∠D=90°．∴∠DAB+∠B=90°，∴∠DAB=∠ACE.讲解用时：3分钟解题思路：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【答案】15°【解析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，求∠CDE的度数．【答案】20°【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=40°，由于AD=AE，于是得到∠ADE==70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=90°﹣70°=20°．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°，又∵AD=AE，∴∠ADE==70°，∴∠CDE=90°﹣70°=20°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．【答案】（1）△ACD为等腰三角形；（2）60°或30°【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．教学建议：学会通过等角对等边证明三角形是全等三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．【答案】△DBE是等腰三角形【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．证明：在△ABC中，BA=BC，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D，∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【答案】M是BE的中点【解析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边三角形的性质. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC 于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．【答案】（1）CD=BE；（2）4【解析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF ≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM=BE，∴CD=BE；（2）∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，∴BE=BF，DM=FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF=BF，∴CM=MF=BF，又∵AB=BC=12，∴CM=MF=BF=4．解题思路：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．教学建议：熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB=12，AC=8，求△AEF的周长．【答案】20【解析】根据角平分线的定义可得∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，然后求出∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C=12+8=20．△AEF解题思路：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．【答案】28【解析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC．把求△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．解：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵DE∥BC，∴∠CBM=∠DMB，∴∠ABM=∠DMB，∴DB=DM．同理可证EM=CE∴AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DE+AE∵△ADE的周长为20∴AB+AC=20∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+8=28．答：△ABC的周长为28．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定．本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．教学建议：熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．【答案】△CDE是等边三角形【解析】因为△ABC为等边三角形，所以△BDC绕着点C旋转60°成△AEC，则∠DCE=60°，DC=EC，故可判定△CDE是等边三角形．解：△CDE是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°∴将△BDC绕着点C旋转成△AEC，旋转角为60°∴∠DCE=60°∴DC=EC∴△CDE是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题．考查学生综合运用数学知识的能力．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质，了解“手拉手”模型.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．【答案】△DEF是正三角形【解析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，在图中找出一条与BE相等的线段，并说明理由．【答案】BE=CD【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据AAS可判定△ABE ≌△ACD，由全等三角形的性质即可证得BE=CD．解：BE=CD．理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．故答案为CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，已知∠BAC=60°，D是BC边上一点，AD=CD，∠ADB=80°，求∠B的度数．【答案】80°【解析】先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．解：∵∠ADB=80°又∵AD=CD∴∠DAC=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】已知：如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．【答案】AD=CD【解析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC=∠BCA，因为∠A=∠C，则可以得到∠CAD=∠ACD，根据等角对等边可得到AD=DC．证明：连接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CAD=∠ACD．∴AD=CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？【答案】成立【解析】根据BF和CF分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DF，FE=EC．然后即可得出答案．解：DE=DB+EC成立．理由如下：∵在△ABC中，FB和FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠DBF，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DB=DF，FE=EC，∵DE=DF+FE，∴DE=BD+EC．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．【答案】△ADE是等边三角形【解析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

等腰三角形三线合一证明方法“哎呀，这道数学题咋这么难呢！”我皱着眉头，对着作业本发愁。

旁边的小伙伴凑过来，“咋啦？啥题把你难成这样？”我指了指那道关于等腰三角形的题，“就是这个，要证明等腰三角形三线合一，我都不知道从哪儿下手。

”咱先来看看这等腰三角形三线合一咋证明吧。

首先呢，咱得知道啥是等腰三角形，就是有两条边一样长的三角形呗。

那三线合一呢，就是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线是同一条线。

证明的时候呢，咱就先画一个等腰三角形ABC，AB 和AC 是两条相等的边。

然后呢，咱就作底边上的中线AD。

接下来咱就开始证明啦！因为AB = AC，BD = CD，还有AD 是公共边，这不就可以用边边边定理证明三角形ABD 和三角形ACD 全等嘛。

全等了之后呢，那对应角就相等呀，所以∠BAD = ∠CAD，这就说明AD 是顶角平分线。

再看，全等的三角形对应边也相等呀，那∠ADB = ∠ADC，又因为∠ADB +∠ADC = 180°，所以∠ADB = ∠ADC = 90°，这不就说明AD 也是底边上的高嘛。

这么一来，不就证明了等腰三角形三线合一啦！那这三线合一有啥用呢？用处可大啦！比如说咱盖房子的时候，要是有个等腰三角形的屋顶架子，那知道了三线合一，就能很容易找到那个关键的中线、高和角平分线，这样盖房子就更稳当啦。

这就像咱玩拼图，找到了关键的那一块，整个拼图就好拼多啦。

我记得有一次上数学课，老师就出了一道实际应用三线合一的题。

说是有个等腰三角形的花园，要在底边上找一个点，使得这个点到两腰的距离相等。

这不就是利用三线合一嘛，先找到底边上的中线，然后再根据角平分线的性质就能找到那个点啦。

那次我们小组一起讨论，可热闹啦，大家你一言我一语的，最后终于把题给解出来了。

那感觉，就像打了一场大胜仗，超爽！所以说呀，等腰三角形三线合一可重要啦，咱们一定要好好掌握。

它能帮我们解决好多数学问题，还能在生活中派上用场呢。

初中数学三线合一解题技巧
三线合一，即在等腰三角形中，底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线，这三线合一。

解题技巧如下：
1. 证明三线合一，首先应明确三角形是否为等腰三角形。

可以通过给定的条件或结论，证明三角形为等腰三角形。

2. 在等腰三角形中，由于两腰相等，对应的两个底角也相等。

因此，可以通过证明两个底角相等，来证明三线合一。

3. 若要证明高也是中线或角平分线，可以通过证明高所在的三角形与原三角形相似或全等，来证明高也是中线或角平分线。

4. 在证明过程中，要注意使用给定的条件和结论，以及相关的定理和性质。

下面是一个具体的例子：
题目：在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC =
120^{\circ}$，$D$是$BC$上一点，$BD = AD$，求证：$CD = 2BD$。

证明：
1. 由于$AB = AC$，根据等腰三角形的性质，$\angle B = \angle C$。

2. 又因为$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle B = \angle C = 30^{\circ}$。

3. 在$\bigtriangleup ABD$中，由于$\angle ABD = 30^{\circ}$，根据三角形的性质，有$BD = \frac{1}{2}AD$。

4. 又因为$BD = AD$，所以$AD = BD = CD$。

5. 因此，$CD = 2BD$。

利用等腰三角形的“三线合一”性质解题我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. 一、证明线段相等例1 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .分析 由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以要证明DE ＝DF ，只要证明点D 是∠BAC 的平分线上的点，于是连结AD ，而由AB ＝AC ，BD ＝CD 即可证明AD 是∠BAC 的平分线.证明 连结AD .因为AB ＝AC ，BD ＝CD ，所以AD 是等腰三角形底边BC 上的中线，即AD 又是顶角的平分线.又因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以DE ＝DF . 二、证明两条线垂直例2 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD . 分析 由已知条件AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，显然只要连结AC 、AD ，则△ABC ≌△AED ，于是AC ＝AD ，而CF ＝DF ，则由等腰三角形的“三线合一”性质即可证明AF ⊥CD .证明 连结AC 、AD .因为AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，所以△ABC ≌△AED （SAS ），所以AC ＝AD ，又因为CF ＝DF ，所以AF 是等腰三角形底边CD 的中线， 所以AF 也是CD 边上的高，即AF ⊥CD .F E 图3D C BACD EF 图1BAF D 图2BECA三、证明角的倍半关系例3 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝12∠BAC . 分析 要证明∠DBC ＝12∠BAC ，只要作出∠BAC 的平分线，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质即可证明证明 作∠BAC 的平分线AE .因为AB ＝AC ，所以由等腰三角形的“三线合一”可知AE ⊥BC .又因为BD ⊥AC ，所以∠ADB ＝90°，而∠BFE ＝∠AFD ，所以∠DBC ＝∠CAE ， 故∠DBC ＝12∠BAC . 四、证明线段的倍半关系例4 如图4，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D .求证：BF ＝2CD .分析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，可想到等腰三角形的“三线合一”性质，于是延长线BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，从而问题获解.证明 延长线BA 、CD 交于点E .因为BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，所以可得BC ＝BE ，DE ＝DC ，又因为∠BAC ＝90°，∠AFB ＝∠DFC ，所以可得∠ABF ＝∠DCF ， 又AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，所以△ABF ≌△ACE （SAS ），即BF ＝CE ， 故BF ＝2CD .图5ABCDE图4BF DECAD 图6CE BA。

“三线合一”，数学里的神奇交汇点在数学这片神奇的土地上，有很多让人眼前一亮的概念和定理，今天咱们就来聊聊其中一个既简单又深奥的——“三线合一”。

听起来挺高大上的吧？别担心，咱们用接地气的语言，把它聊得明明白白。

首先啊，咱们得知道，这“三线合一”一般出现在等腰三角形或者等边三角形里头。

为啥呢？因为这两种三角形有点特别，它们有两边是相等的，或者三边都相等。

这就像是咱们家里的双胞胎孩子，长得一模一样，让人分不清谁是哥哥谁是弟弟。

好了，言归正传。

咱们说这“三线”，到底是哪三线呢？第一，是高。

想象一下，你从等腰三角形的顶点出发，垂直地画一条线到它的底边上，这条线就是高。

它就像是一座山，笔直地立在三角形里。

第二，是中线。

这条线是从等腰三角形的一个顶点出发，连接到它所对边的中点。

就像是咱们把一个蛋糕切成两半，用的那条直线。

在三角形里，这条中线就把三角形分成了两个面积相等的小三角形。

第三，是角平分线。

这个有点抽象，但咱们可以这么理解：从等腰三角形的顶点出发，有一条线可以把顶角平分成两个相等的角。

这条线就像是一把尺子，量出了两个完全一样的角度。

神奇的是，在等腰三角形里，这三条线竟然是重合的！也就是说，你画出来的那一条线，既是高，又是中线，还是角平分线。

这就像是你在森林里迷路了，突然发现了一条小路，它既是通往山顶的捷径，又是连接两个村庄的桥梁，还是指引你方向的指南针。

这就是“三线合一”的魔力所在。

它让咱们在复杂的图形中找到了一个简单而有力的规律，也让咱们在解题时有了更多的思路和方法。

所以啊，下次遇到等腰三角形或者等边三角形的问题时，别忘了试试用“三线合一”来打开思路哦！。

怎样利用“三线合一”证明线段相等
1．如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 为BC 边上的点，且AD=AE ，BD=EC ．求证：AB=AC ．
2．已知：如图所示，4321∠=∠∠=∠，，AB 与CD 交于点O ．求证：OC=OD ．
3．如图所示，已知等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，CE=CD ，BC DF ⊥于F ，求证：F 是BE 的中点．
4．已知：如图所示，AB=AD ，AC=AE ，DAE BAC ∠=∠．DB 交AC 于F ，且AF 平分BD ，CE 交AD 于G ．求证：CG=GE ．
A
B
D E
C
1
2
3 4
O
D
C
A
B
F C
E
D
A
B
C
F G
D
E
5．已知：如图所示，AB=AC ，DB=DC ，AD 的延长线交BC 于点E ．求证：BE=EC ．
6．已知：如图所示，BD 是ABC ∆的角平分线，BC DF ACB A ⊥︒=∠︒=∠，，7040于F ，E 是BC 延长线上的一点，CE=CD ．求证：BF=FE ．
7．如图所示，已知线段AB 长10cm ，点D 在AB 上，在AB 同侧作等边BDE ACD ∆∆，，则CE 的最小值为（ ） A 、3cm B 、4cm
C 、5cm
D 、6cm
A
D B
C
A
B
D E
A
B
E
C。