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清华大学结构动力学1

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结构动力学题解(1)

结构动力学题解(1)

题图
23 l 3 = 1536 EI
则系统的自振频率
ω=
1 1536 EI = mδ 23ml 3 1 1536 EI = 2 ω 1536 EI − 23ml 3ω 2 1− ω2 1536 EI 23l 3 ⋅ ⋅F 1536 EI − 23ml 3ω 2 1536 EI
2 2 1 l12 l2 l12 k1 + l2 k2 = 1 / m + 3 2 3EI (l + l ) (l + l ) k k mδ 1 2 1 2 1 2
(e) 解，考虑质体水平单位位移时的系统劲度。
k1 = k3 = k2 =
12 EI 2 h3
3EI 2 h3
令 δ t 为两支座弹簧无限刚度时单位力作用下质体的垂直位移
1 1 l1l2 2 l1l2 l12 l22 δt = × (l1 + l2 ) × × = 3 EI (l1 + l2 )2 3 (l1 + l2 )2 2 3EI (l1 + l2 )
总变形： δ = δ t + δ M 其自振频率： ω =
F (t ) = F sin ω t
y0 =
l3 3EI 3EI ml 3
题图
系统自振频率 ω =
动力系数 µ =
1 3EI = 2 ω 3EI − ml 3ω 2 1− ω2 3EI l3 Fl 3 ⋅ ⋅ F = 3EI − ml 3ω 2 3EI 3EI − ml 3ω 2
&& ， Fi1 = Fi 2 = mY
两柱的侧移劲度相等为： k =
3i 3EI = 3 (单位位移下的水平剪力) l2 l

结构动力学01

结构动力学01

1.1 对象与目的
1.结构动力学定义：研究结构在动荷载作用下的相应规律
的学科
2.研究对象和目的：结构动力学着重研究结构对于动荷载的 响应（如，位移、内力、速度、加速度等的时间历程）以便 确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提 供依据，结构动力学是抗震设计的基础，也是减震、隔震措 施的理论依据。
1.2 任务
2.基本特点
①由于结构动力问题中的荷载随时间变化,显然动力问题不像 静力问题那样具有“单一”的解答,而必须建立相应于响应历 程中全部时间的一系列解答； ②如果结构仅承受静力荷载，则它的内力和位移仅仅依赖于 给定的外荷载,其平衡关系是外力和恢复力之间的平衡。但 是如果结构作用动力荷载，则结构所产生的位移和加速度有 关,这些加速度产生与其反向的惯性力，于是结构的恢复力不 仅要平衡外加动力荷载，还要平衡加速度引起的惯性力； ③动力问题中结构响应的大小，与荷载的大小和荷载随时间 的变化过程有关，如果荷载的干扰频率接近结构的固有频率， 尽管荷载的幅值不大，也会引起结构很大的振动响应即共振。
5.实用方法 一般情况下，较简单的结构体系可以直接判定。较复杂的结构体 系可以采用链杆法，即：加入最少数量的链杆，限制体系上所有 质点运动的方法来判定。体系的自由度数目=加入链杆数。
不考虑轴向变形，n=2
N=3
例题
1.4 结构动力特性
对于不同的结构，只要它们的动力特性相同，则在相同的动 荷载作用下它们的动力响应（位移、速度、加速度等）的 规律都是一样的，这和静力分析是不同的。因此结构动力 特性是结构动力分析的重要内容。结构的动力特性包括结 构的自振频率、结构的振型和结构的阻尼三个方面。
ak — 待定参数（广义坐标）。
2.广义坐标法

结构动力学4-1

结构动力学4-1
&& [ M ]{u(t )} + [ K ]{u(t )} = {0}
(−ω 2 [M ] + [K ]){φ }sin(ωt + θ ) = {0}
因为sin(ωt + θ)为任意的，可以消去，因此，
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
2
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自 振频率的关系 ，称为运动方程的特征方程。 由特征方程可解得自振频率ω和振型{φ}。
1
k22=1800
k23=－600
(c)
(d)
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
1.0 u 1=1 u3 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 运动方程的特征方程：
0⎤ ⎡ 2. 0 0 ⎢ 0 1. 5 0 ⎥ [M ] = ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 .0 ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ 3000 − 1200 ⎢− 1200 1800 − 600⎥ [K ] = ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 600 600 ⎥ ⎦ ⎣
算例1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间 刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。 结构模型及各刚度元素：
1.0 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 u 1=1 u3 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1

清华大学结构动力学2-2

清华大学结构动力学2-2

2.6 多自由度体系的Lagrange运动方程
我们在第二章中介绍了Lagrange运动方程，但没有实际应 用。用Lagrange运动方程来建立结构体系的运动控制方 程对那些不易直接用动平衡方法建立运动方程的问题 有时是特别有效的，特别是当结构动力分析时采用了 不易直观判断的广义坐标时更是如此。例如，用幂级 数展开烟囱或等效高层结构的横向位移
2.5 直接平衡法
若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可 以建立如下阻尼力向量的计算公式： & ⎧ f D1 ⎫ ⎡ c11 c12 L c1N ⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎪ f ⎪ ⎢c c 22 L c 2 N ⎥ ⎪ u 2 ⎪ ⎪ D 2 ⎪ ⎢ 21 ⎪& ⎪ ⎥ ⎨ ⎬ = [C ]{u} & {f D } = ⎨ ⎬ = ⎢ M M ⎥⎪ M ⎪ ⎪ M ⎪ ⎢ M ⎥⎪ ⎪ ⎪ f DN ⎪ ⎣c N 1 c N 2 L c NN ⎦ ⎩u N ⎭ & ⎩ ⎭ & 其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，{u} 为速度 向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物 理意义： cij—由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力 结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如 与刚度阵或质量阵成正比等。
2.5 多自由度体系运动方程的建立：直接平衡法
假设一N层层间结构，自由度为N，各楼层集中质量mi， 外荷载pi, 层间刚度ki, 各层的水平运动为ui, i=1, …, N。 这个层间模型也可以转化成串连的弹簧—质点模型。
2.5 直接平衡法
应用D’Alember原理：
f I i + f D i + f s i = pi (t ), i = 1, 2, L, N

【清华大学课件】结构动力学课件(全)

【清华大学课件】结构动力学课件(全)
（2）非简谐周期荷载 荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不 能简单地用简谐函数来表示。 例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋 桨产生的推力等。
p(t)
t
(b) 非简谐周期荷载
1.2 动力荷载的类型
（3）冲击荷载 荷载的幅值(大小)在很短时间内急剧增大或急剧减小。 突加重量、爆炸引起的冲击波等。
一般情况下，采用广义坐标法，只有N项叠加后，得到的 结果才是真实的物理量（例如位移）。
3、有限元法
有限元法：形函数是定义在分 片区域上的，称为插值函数。
例如： 悬臂梁，分为N个单元，取节点位 移参数(位移u和转角θ)为广义坐标 梁的位移可表示为：
u( x ) = u1φ1 ( x ) + θ1φ2 ( x ) +L + u N φ2 N −1 ( x ) + θ N φ2 N ( x )
10/41
h—框架结构的高度 L—梁的长度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
2.1 基本概念
2.1.7 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。 阻尼来源（物理机制）：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。 粘性(滞)阻尼力可表示为：
根据荷载是否预先确定，可将结构动力分析方法分为： 确定性分析和随机振动分析 当不考虑结构体系的不确定性时，选用哪种分析方法将 依据荷载的类型而定。 随机的含义：是指非确定的，但不是指复杂的。 简单的荷载可以是随机的， 例如 F (t ) = A sin(ωt − φ ) 当A或φ为不确定时。 而复杂的荷载也可以是确定性的， 例如已记录到的地震或脉动风引起的作用于建筑结构 的地震作用或风荷载。

结构动力学习题解答

结构动力学习题解答
̇̇ = hδ ( t ) ； θ 0
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(

结构动力学3-1

结构动力学3-1
c 2 使：( ) − ωn 2 = 0 成立的阻尼c称为临界阻尼。 2m
临界阻尼记为ccr：
ccr = 2mω n = 2 km
3.2 有阻尼自由振动
u(t)
& u (t ) = [u(0)(1 + ω n t ) + u(0)t ]e
u(0)>-ωn u(0) u(0)
−ω nt
u(0)
u(0) -ω u(0) n t u(0) -ωn u(0)
ui u (t i ) 2πζ ) = = exp(ζω nTD ) = exp( ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ 2
u1 TD ui TD ui+1 ti+TD t
u(t)
ti
——相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。
3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量
ui u (t i ) 2πζ = = exp(ζω nTD ) = exp( ) 2 ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ
3.2 有阻尼自由振动
（1）当 ζ＜1时，称为低阻尼（Under damped）， 结构体系称为低阻尼体系； （2）当 ζ＝1时，称为临界阻尼（Critically damped）； （3）当 ζ＞1时，称为过阻尼（Over damped）， 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构： ζ = 0.01 左右
自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动 的分析可以了解结构自振频率、阻尼比等概念。
3.1 无阻尼自由振动
&& & mu(t ) + cu(t ) + ku (t ) = p(t )
无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0 运动方程： 初始条件：

结构动力学1.2.3

结构动力学1.2.3
δ(t) F(t) Maximum value
t
All Rights Reserved
School of Civil Engineering®
3).The strain is different
FP
FP (t)
M
All Rights Reserved School of Civil Engineering®
m (a) P (d) P(t)
u3 (b) u 1
u2
u6
u5 u4 (e) u 1
u2
u4 u3
u2 (c)
u3 u1 (f) u1
All Rights Reserved
School of Civil Engineering®
2). Concern about the process, not only the position
Bridge(USA)
Bridge(Russian)
All Rights Reserved
School of Civil Engineering®
2) . Buildings
Multistory masonry buildings Reinforced concrete workshop
The Tangshan Earthquake occurred July 28, 1976. It is the largest earthquake of the 20th century by death toll (around 240,000 to 255,000). Its magnitude is 7.8.
识别值
Ansys 4 6 8
节点号
节点号
4). Damage detection

结构动力学-1

结构动力学-1

大连理工大学建设工程学部工程抗震研究所
结构动力学 Dynamics of Structures
Tacoma Narrows Bridge
风致振动破坏 大连理工大学建设工程学部工程抗震研究所 结构动力学 Dynamics of Structures
2004年9月－2005年9月：墨西
哥湾多次飓风便造成约190座海洋平 台严重破坏和损伤。
结构动力学 Dynamics of Structures
典型动力荷载的特性和来源
简谐荷载
复杂荷载
冲击荷载
长持续时间的荷载
大连理工大学建设工程学部工程抗震研究所
结构动力学 Dynamics of Structures
动力问题的基本特性：
F F
惯性力 （a)静荷载 (b)动力荷载
荷载、反应不随时间变化 反应具有单一的解
荷载、反应随时间变化 全部时间历程上的一系列解
弯矩、剪力及挠曲形状直接
依赖于外荷载，与外力相平衡
位移与加速度有联系，加速度产
生惯性力 弯矩、剪力需平衡外力和惯性力
* 缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。
大连理工大学建设工程学部工程抗震研究所
结构动力学 Dynamics of Structures
惯性力P(t)与加速度成正比，但方向相反。
m
P(t )
m
(t ) v
(t ) 0 P(t ) mv
抵抗质量加速 度的惯性力
P(t )
(t ) mv
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
大连理工大学建设工程学部工程抗震研究所
结构动力学 Dynamics of Structures
§1-6 结构动力分析的一般过程

刘晶波结构动力学课件21w

刘晶波结构动力学课件21w
线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体 系。
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
15/45
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
11/45
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
4/45
2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋

结构动力学总结总

结构动力学总结总

第3章 单自由度体系—对简谐荷载的反应(续)
¾简谐振动试验确定结构的阻尼比ζ
共振放大法：
ζ=
1
= ust
半功率点法： 2Rd (ωn ) 2u0 (ωn )
ζ＝ωb − ωa = ωb − ωa
2ωn
ωb + ωa
基础：动力放大系数Rd的性质。
¾滞变阻尼理论（复阻尼理论）
滞变阻尼参数η与粘性阻尼比ζ的关系：
{φ}mT [K ]{φ}n = 0, m ≠ n
证明方法，利用特征方程（即自振频率及其振型 满足的方程）证明。
第4章 多自由度体系（续）
¾振型质量、振型刚度及与自振频率的关系：
Mn
=
{φ} T n
[M
]{φ} n
Kn
=
{φ} T n
[K ]{φ} n
ωn = Kn M n
与单自由度体系三参数关系的形式完全相同。
振型坐标的标准运动方程： q&&n (t) + 2ζ nωnq&n (t) + ωn2qn (t) = −γ nu&&g (t), n = 1,2,LN
γ
n
=
{φ}nT [M
Mn
]{I}
=
{φ}nT [M ]{I} {φ}nT [M ]{φ}n
γn称为振型参与系数
第5章 结构动力反应
数值分析方法
第5章 结构动力反应数值分析方法
¾振动测量仪器：了解原理即可。
¾隔振（震）原理：
隔断输出 隔断输入
力⎫ 位移 ⎪⎬的隔振，性质完全相同 加速度⎪⎭
¾传递率：
TR =
1 + [2ζ (ω / ωn )]2

清华结构动力学.

清华结构动力学.

2、广义坐标法悬臂梁： x (b 悬臂梁用幂级数展开： u ( x = b0 + b1 x + b2 x + L = 2 ∑b x n n=0 ∞ n 根据约束边界条件： u ( x = b2 x 2 + b3 x 3 + L = 取前N项：∑ n =2 ∞ bn x n u( x = b2 x 2 + b3 x 3 + L bN +1 x N +1
2、广义坐标法对更一般的问题，结构的位移表示式可写为： u ( x, t = qn(t —广义坐标；∑ q (t φ ( x n n n φn(x —形函数，是满足边界条件的已知函数。

一般情况下，采用广义坐标法，只有N项叠加后，得到的结果才是真实的物理量（例如位移）。

3、有限元法有限元法：形函数是定义在分片区域上的，称为插值函数。

例如：悬臂梁，分为N个单元，取节点位移参数(位移u和转角θ为广义坐标梁的位移可表示为：u( x = u1φ1 ( x + θ1φ2 ( x +L + u N φ2 N 1 ( x + θ N φ2 N ( x 有限元法离散化示意图
3、有限元法有限元法特点：综合集中质量法和广义坐标法的优点 (a与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构上插值(即定义形函数,而是采用了分片的插值(即定义分片形函数，因此形函数的公式(形状可以相对简单。

(b 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。

结构动力学课件PPT

结构动力学课件PPT

my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。

结构动力学-第一章

结构动力学-第一章
1，集中质量法 2，广义坐标法 3，有限单元法
2019/9/16
38
2019/9/16
39
2019/9/16
40
2019/9/16
41
2019/9/16
42
2019/9/16
43
三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11

l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2

第10章 结构动力学

第10章 结构动力学

5.与其它课程之间的关系
结构动力学以和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的知识和数学知识（微分方程的求解）。 结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2014-1-10
第10章
10.2体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系中全部质量位置所需要的独立几何参数数目，成为体系的动力自由 度。
4 ( x) sin
2014-1-10
…
广义坐标法是一种数学简化方法
第10章
10.2体系的动力自由度
有限单元法：
可以看作是分区的广义坐标法，其要点与静力问题一样，是先把结构划分 成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行广义坐标法。详见 有限单元法参考资料，这里不再赘述。 一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠 的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的 方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 有限单元法也是一种数学简化方法
2014-1-10
第10章
10.1 概述
2.动力荷载及其分类
动力荷载分类方法有很多种，常见的是按动力作用随时间的变化规律来分。 周期性荷载：其特点是在多次循环中荷载相继呈现相同的时间历程。如旋 转机械装置因质量偏心而引起的离心力。 周期性荷载又可分为简谐荷载和非简谐周期荷载，所有非简谐周期荷载均 可借助Fourier级数分解成一系列简谐荷载之和。 冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。 随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。 前两种荷载属于确定性荷载，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一 步求出应力的时间历程。 随机荷载属于非确定性荷载，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确 定的时间历程，因而~92层之间有一颗巨 大的‘金色大球’，由实 心钢板堆焊而成，直径约 5.4米，重达680吨，价值 400W美元。其实质是调质 阻尼器TMD（Tuned Mass Damper），作用是减轻飓 风、地震给大楼带来的震 动。

结构动力学

结构动力学
结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：
（1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）平均常加速度法； （4）线性加速度法； （5）Newmark－β法； （6）Wilson－θ法。
•••••••••
时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研 究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
5.1 数值算法中的基本问题
5.3 中心差分法（Central Difference Method）
中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导（即速 度和加速度）。如果采用等步长，Δti=Δt，则i时刻 速度和加速度的中心差分近似为：
u&i
=
ui+1 − ui−1 2∆t
u&&i
=
ui+1
− 2ui ∆t 2
+
ui−1
mu&&(ti ) + cu&(ti ) + ku(ti ) = p(ti )
u&(τ ) = A1 + (ωD A3 − ζωn A2 )e−ζωnτ cosωDτ − (ωD A2 + ζωn A3 )e−ζωnτ sin ωDτ
其中，
A0
=
pi k
− 2ζαi kωn
,
A1
=
αi
k
,
A2 = ui − A0,
A3
=
1
ωD
[u&i
+
ζωn
A2
−
αi
k
]
5.2 分段解析法
u&0
=
u1 − u−1 2∆t
u&&0
=
u1

结构动力学6-1

结构动力学6-1

6.2 梁的自振频率和振型
∂ 2u ∂ 2 ∂ 2u m( x) 2 + 2 [ EI ( x) 2 ] = p( x, t ) ∂t ∂x ∂x
由弯曲梁的偏微分运动方程得到梁的无阻尼自由振动方 程为： 2 2 2 ∂u ∂u ∂
m( x )
∂t
2
+
∂x2Βιβλιοθήκη [ EI ( x )∂x
2
]=0
对以上偏微分方程可以采用分离变量法求解，设解的形 式为：
(转动惯量影响项) (剪切变形影响项) (剪切变形和转动惯量耦合影响项)
r2=I/A—惯性半径；A—梁的横截面积；k’A—梁的有效剪切面 积；k’—截面有效剪切系数；G—材料剪切模量。 对于细长梁可以不考虑铁木辛柯梁方程，但对于深梁，其转 动惯性项和剪切变形不可忽略时则必须考虑。但一般考虑 到与线性位移引起的惯性力相比，转动项仍为小量，往往 予以忽略。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第6章 分布参数体系 （无限自由度体系）
第6章 分布参数体系（无限自由度体系）
前面介绍了结构动力分析中最基本方法，处理的是有限 自由度体系的动力反应问题。 真实结构，质量连续分布。描述和确定连续介质的空间 位置，需要用连续介质的空间坐标（空间位置是空间 坐标x、y、z的连续函数）。 结构体系实际上有无限个动力自由度，这时要精确描述 结构体系的运动状态必须用偏微分方程，其独立自变 量除时间外，还包括空间位置坐标，这时的结构体系 称为分布参数体系。
EI(x)=EI为常数，m(x)=m为常数
a =
4
ω 2m
EI
φ ′′′′( x ) − a 4φ ( x ) = 0

清华大学结构动力学2-1

清华大学结构动力学2-1
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系 的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程 对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程） 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
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t1
t
质量块mg
ust
静力反应
无质量弹簧k
2ust
动力反应
u
(a) 弹簧－质点体系 (b) 静力和动力反应
静力问题和动力问题位移反应的区别
1.4 结构离散化方法 离散化：把无限自由度问题转化为有限自由 度的过程 三种常用的离散化方法： 1、集中质量法、 2、广义坐标法、 3、有限元法。
1、集中质量法
当不考虑结构体系的不确定性时，选用哪种分析方法将 依据荷载的类型而定。 随机的含义：是指非确定的，但不是指复杂的。 简单的荷载可以是随机的， 例如 F (t ) = A sin(ωt − φ ) 当A或φ为不确定时。 而复杂的荷载也可以是确定性的， 例如已记录到的地震或脉动风引起的作用于建筑结构 的地震作用或风荷载。
p(t) p(t)
t
t
(c) 突加恒荷载和爆炸荷载
1.2 动力荷载的类型
（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷载。 环境振动引起的地脉动， 地震引起的地震动， 动风引起的结构表面的风压时程等。
p(t)
t
(d) 地震荷载
1.3 结构动力计算的特点
1、动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问 题复杂且要消耗更多的计算时间。 2、与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间 迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又 产生重要影响。
例如： 悬臂梁，分为N个单元，取节点位 移参数(位移u和转角θ)为广义坐标 梁的位移可表示为：
u( x ) = u1φ1 ( x ) + θ1φ2 ( x ) +L + u N φ2 N −1 ( x ) + θ N φ2 N ( x )
有限元法离散化示意图
3、有限元法
有限元法特点：综合集中质量法 和广义坐标法的优点 (a)与广义坐标法相似，有限元 法采用了形函数的概念，但不同于 广义坐标法在全部体系(结构)上插 值(即定义形函数),而是采用了分 片的插值(即定义分片形函数)，因 此形函数的公式(形状)可以相对简 单。 (b) 与集中质量法相比，有限元 法中的广义坐标也采用了真实的物 理量，具有直接、直观的优点，这 与集中质量法相同。
根据荷载是否已预先确定， 动荷载可以分为两类：
确定性荷载和非确定性荷载
确定性荷载： 荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时 间过程。 非确定性荷载： 荷载随时间的变化规律预先是不可以确定，是一种随 机过程。 预先的含义：指在进行结构动力分析之前。
结构动力分析方法：
确定性分析和随机振动分析
结构动力学
第一章 概 述
1.1 结构动力分析的目的
动力问题: 地震作用下建筑结构的震动； 风荷载作用下大型桥梁、高层结构的振动； 机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动； 车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引 起的路面振动； 爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应， ㆍㆍㆍ等等，量大而面广。 动力破坏的特点: 毁灭性 、波及面大。
（2）非简谐周期荷载 荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不 能简单地用简谐函数来表示。 例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋 桨产生的推力等。
p(t)
t
(b) 非简谐周期荷载
1.2 动力荷载的类型
（3）冲击荷载
荷载的幅值（大小）在很短时间内急剧增大或急剧减小。 爆炸引起的冲击波、突加重量等。
u(x)
(a) 简支梁
u1
u2
u3
m3
m2
m1
(b) 框架
结构集中质量法离散化示意图
2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的 广义坐标
u
简支梁：
x
变形曲线可用三角级数的和来表示：
nπx = u ( x, t ) = bn sin L n =1
∑
∞
∑
nπx bn (t ) sin L n =1
∞
sin(.)— 形函数（形状函数），给定函数，满足边界条件； bn(t)— 广义坐标，一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数。
nπx u ( x, t ) = bn (t ) sin L n =1
∑
N
2、广义坐标法
悬臂梁：
x
(b) 悬臂梁
用幂级数展开：
u ( x ) = b0 + b1 x + b2 x + L =
p p(t)
惯性力 (a) 静力问题 (b) 动力问题
静力问题和动力问题受力的区别
结构动力学和静力学的本质区别：考虑惯性力的影响 结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位 置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义 的不同。 动力自由度（数目）：动力分析中为确定体系任一时刻 全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目。 独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或 其它广义量。
1.2 动力荷载的类型(根据荷载随时间的变化规律)
（1）简谐荷载 荷载随时间周期性变化，并可以用简谐函数来表示。
F (t ) = A sin ωt F (t ) = A cos ωt F (t ) = A sin(ωt − φ ) 可以是机器转动引起的不平衡力等。
p(t)
t
(a) 简谐荷载
1.2 动力荷载的类型
2
∑b x
n n=0
∞
n
取前N项：
u( x) = b2 x + b3 x + L bN +1 x
2 3
N +1
2、广义坐标法 对更一般的问题，结构的位移表示式可写为：
u ( x, t ) =
Zn— 广义坐标
∑Z
n
n (t )φ n ( x )
φn— 形函数，满足边界条件的已知函数
3、有限元法
有限元法：形函数是定义在分 片区域上的，称为插值函数。
结构动力学
（2004秋）
结构动力学参考书
刘晶波 杜修力 主编，结构动力学，机械工业出版社，2004。 A. K. Chopra, Dynamics of Structures, Prentice Hall, 1995, 2000. R. W. Clough and J. Penzien, Dynamics of Structures, McGraw-Hill, 1993, 1995. R. W. 克拉夫 J. Penzien著, 王光远 等译，结构动力学，科学出版 社，1981。 Mario. Paz著, 李裕澈 等译，结构动力学 - 理论与计算，地震出版 社，1993。 唐友刚 著, 高等结构动力学，天津大学出版社，2002.
结构动力分析的目的： 确定动学是研究结构体系的动力特性及其在动 力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一 门理论和技术学科，该学科的目的在于为改善 工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性 提供坚实的理论基础。
结构静力反应和动力反应不同的外因： 荷载不同 （是否随时间变化） 静荷载： 大小、方向和位置不随时间变化或缓慢变化的荷载。 例如：结构的自重、雪荷载等。 动荷载： 随时间快速变化或在短时间内突然作用或消失的荷载。 荷载随时间变化是指其大小、或方向、或作用点随时 间改变， 作用点随时间变化的荷载称为移动荷载。