第十章 双线性函数
一 内容概述 1 线性函数
ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①
f (α+β)=f (α)+f (β) ∈?βα，V
② f (α)=k f (α) ?∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-
(2)
如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(
定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意
n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2
线性函数空间
设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,?∈L(V , P) ?α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()
p k p V f ∈∈?,,τ
则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称()
p V ,τ 为V 的对偶空间。 3
对偶基
设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=??
?≠=i
j i j 0
1
，则n f f f ,,,21Λ是()
P V ,τ的一组基。称
n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。
定理 ()
P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()
P V ,τ 的一组基
定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与
n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A
4. 双线性函数
设V 是数域 P 上一个线性空间。),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,都唯一地对应P 中的一个数。记为),(βαf 。如果),(βαf 有以下性质： ①f ()2211,ββαk k +=k 1f ()1,βα+k 2f ()2,βα
②),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+ V ∈?2121,,,,,βββααα p k k ∈?21,
则称 f ()βα, 为 V 上的双线性函数。
设 f ()βα, 是数域 上 维线性空间V 上的一个双线性函数，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，则矩阵
A=()()()()()()()
()()?
????
?
?
?????n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεε,,,,,,,,,212221
212111Λ
Λ
ΛΛΛΛΛ
叫做f ()βα,在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵。 5 对称双线性函数
f ()βα,是线性空间 V 上一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量 都有
f ()βα,=f ()αβ,
则称f ()βα,为对称双线性函数。如果对V 中任意两个向量βα,都有
f ()βα,=━f ()αβ,
则称 f ()βα, 为反对称双线性函数。
定理 设V 是数域P 上维线性空间。 f ()βα,是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基
n εεε,,,21Λ使f ()βα,在这组基下的度量矩阵为对角阵。
推论1 设 V 是复数域上n 维线性空间，f ()βα,是 V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ，对V 中任意向量α=
∑=n
i i
i x 1
ε
，β=
∑=n
i i
i y 1
ε
，有
f ()βα,=∑=r
i i i y x 1
(0n r ≤≤)
推论2 设 V 是实数域上 维线性空间，f ()βα, 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ，对V 中任意向量 α=
∑=n
i i
i x 1
ε
，β=
∑=n
i i
i y 1
ε
，有
r r p p p p y x y x y x y x f ---++=++ΛΛ1111),(βα )0(n r p ≤≤≤
定理 设 f ()βα, 是 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基
s r r ηηεεεε,,,,,,,111ΛΛ--,使
??
??
???=∈=≠+===--s
k V f j i f r i f k j i i i ΛΛ2,1,0),(00
),(2,11),(αηαεεεε 设V 是数域 P 上的一个线性空间，在上V 定义了一个非退化的双线性函数，则V 称为一个双线性度量空间。特别地当V 为 维实线性空间，f ()βα,是V 上非退化对称双线性函数时， V 称为伪欧氏空间。
二 例题选讲
例 1 设V 是一个线性空间，s f f f ,,,21Λ 是*
-V 中非零向量，试证：存在∈αV 使
f
()0≠αi
,i =1,2,K S
证 对 S 用数学归纳法 当 S=1 时f
1
0≠ 所以存在∈αV 使f
()01
≠α 即 S=1 使命题成立
假定当 S=K 时命题成立。即存在∈αV 使 f ()0≠=i
i
a α i=1,2,K K
下证S=K+1时，命题成立 若f ()01
≠+αK 则命题得证。
若f ()01
=+αK 但由01≠+k f 知存在V ∈β使b f k =+)(1β设i i d f =)(β()K i Λ,2,1= 总可取
数C
使a
,i =1,2,K K 令V c d ∈+=γβαγ, 且
0)(≠+=i i i cd a f γ()K i Λ,2,1=
0)(1≠=+cb f k γ
归纳法完成
例2
设s
ααα,,,21Λ是数域 P 上的线性空间V 的非零向量，证明：有*_
V f ∈使
0)(≠i f α s i ,,2,1Λ= 证 因为 V **_
V ?,
s ααα,,,21Λ是V 中的非零向量，所以**,*,**,*21s αααΛ是*_
V 的
对偶空间*
_
_
*)(**V V =中的非零向量。由例1知，存在*_
V f ∈ 使 *
*i α()0≠f
s i ,,2,1Λ=即f (i α)0≠,s i ,,2,1Λ=
例3 设V 是一个n 维欧氏空间，对V 中确定的向量 定义一个函数*α ：()()βαβα,*=
（1） 证明：*α是V 上的线性函数；
（2）
证明：V 到*_
V 的映射：*αα→ 是V 到*_
V 的同构映射（在同构的定义下，欧氏空
间可看成自身的对偶空间）。
证 )(*)(*),(),(),()(*)1(21212121βαβαβαβαββαββα+=+=+=+Θ )(*),(),()(*βαβαβαβαk k k k ===
),()(*βαβα=∴k 是V 上的线性函数。
（2）先证
*αα→ 是单射。事实上，设 21αα≠ 而 **21αα≠所以β?有
()()βαβα**2= ，即 ()()βαβα,,21=
得到 ()0,21=-βαα 。对于β ，从而 21αα= 矛盾。 又 *1αα→，*2αα→ 而
*
*)(*)(*),(),(),()(*)(212121212121ααβαβαβαβαβααβαααα+=+=+=+=+→+ *)(*),(),()(*)(αβαβαβαβααk k k k k k ====→ *_
_V V 与∴同构。
例4 设σ是数域P 上n 维线性空间 V 的一个线性变换
（1）证明：对V 上的线性函数f ，f σ仍为V 上的线性函数；
（2）定义 v *到自身的映射*σ为：σf f → 证明*σ是v *
上的线形变换；
（3）1ε,2ε, K n ε是V 的一组基，n f f f ,,,21Λ是其对偶基，并设σ在n εεε,,,21Λ下的矩阵为?。
证明：*σ在n f f f ,,,21Λ下的矩阵为A T (*
σ称σ的转置映射)。
证 （1）令g(α)=f (σ(α))） ?α,β∈V k ∈P
g(α+β)=f (σ(α+β))=f (σ(α)+σ(β))=f (σ(α))+f (σ(β)) =g(α)+g(β)
, g(k α)=f (σ(k α))=f (k σ(α))=k f (σ(α))=kg(α) ∴f σ是V 上的线性函数。
（2）? h 1,h 2∈V *
, k,l ∈P ?α∈V *
σ(kh 1+l h 2)(α)=kh 1σ(α)+l h 2σ(α)=(k σ
*
h 1+l *
σh 2)(α)
∴f σ是V *
的线性函数。
（3）由条件σ(n εεε,,,21Λ)=(n εεε,,,21Λ)A A=(ij a )n
n ?
*
σ(n f f f ,,,21Λ)=(n f f f ,,,21Λ)B B=n n ij b ?)(
有 n ni i i i a a a εεεσεΛ++=2211
n nj j j j b b b f εσ+++=Λ21*
*σf
j
(i ε)=f
j
σ(i ε)=f
j
(n ni i i a a a εεεΛ++2211)=a ji
(n nj j j b b b ε+++Λ21)(i ε)=ij b
故ji ij b a = 有 '
A B =
例5 设1ε,2ε,K n ε是线性空间V 的一个基，321,,f f f 是它的对偶基，今给出V 中向量
1α=1ε–2ε 2α=1ε+2ε+3ε 3α=2ε+3ε
试证1α,2α,3α是V 的一个基，并求它的对偶基。
解 因为(1α 2α 3α)=(1ε 2ε 3ε)????
??????-111110011=(1ε 2ε 3ε)A 而A ≠0所以1α,2α,3α线性无关，故它是 V 的一个基。 因此A 是1ε,2ε,3ε到1α,2α,3α的过渡矩阵。
用
g
1
,g
2
,g
3
表示1α,2α,3α的对偶基。我们求出(A
'
)
1
-。那么
(g 1,g 2,g 3)=(321,,f f f )( A ')1-=(321,,f f f )????
??????----111211110 即 321f f g -= 3212f f f g +-= 32132f f f g ++-= 就是1α,2α,3α的对偶基。
例6
在F 3
中给出两个基
1ε=(1,0,0), 2ε=(0,1,0), 3ε=(0,0,1) 及
1η=(1,1,-1), 2η=(1,1,0), 3η=(1,0,0)
试求这两个基各自的对偶基。并写出它们作用在F 3
中任意向量X=（x 1,x 2,x 3）上的表达式。
解 设321,,f f f 是1ε,2ε,3ε的对偶基，那么依定义应有 f i (j ε)=??
?≠=i
j i j 0
1
i=1, 2, 3
于是对任意X=（x 1,x 2,x 3）∈F 3
由X=x 11ε+x 22ε+x 33ε得f
1(X)=
f 1(( x 1,x 2,x 3))=x 1
2f (X)=f
2
(( x 1,x 2,x 3))=x 2
f 3(X)=f 3((x 1,x 2,x 3))=x 3
由于从321,,εεε到321,,ηηη的过渡矩阵是(321,,ηηη)=(321,,εεε)????
??????-001011111=(321,,εεε)A
所以（321,,g g g ）= （321,,f f f ）(A ')1-=（321,,f f f ）????
??????--011110100为1η,2η,3η的对偶基。
故f (X,Y)为P 上的双线性函数。 （2）设 A=(a i
j
)n m ?
f (E ij ,E r s )=t r (E i
j
T ?E r s )=??
?=≠s
i a s i ii
从而求出f(X,Y)在基E
11
E 12
E
n
1E
21
E
22
E
n
2E
1
m E
2
m E
mm
下的度量矩阵为
B=?????
??????
?nn a a a O
22
11 例9 设V 是复数域上的线性空间，其维数≥2，f (α,β)是V 上的一个对称双线性函数。
（1） 证明：V 中有非零向量ξ，使),(ξξf =0；
（2）
如果f(α,β)是非退化的，则必有线性无关的向量ξ，n 满足：
f (ξ,n)=1 f (ξ,ξ)=f (n,n)=0
证（1）由于f (α,β)是V 上的一个对称双线性函数，存在V 的一组基1ε，2ε,K n ε使
?ξ=i n i i x ε∑=1
η=j n
j j y ε∑=1
∈V 有
f (ξ,n)=x 1y 1+x 2y 2+ +x n y n
f (ξ,ξ)=x 12+x 22+x r 2 (0≤r ≤n) (1)
当r=0时，对V 中任意非零向量ξ，都有f (ξ,ξ)=0 ； 当r=1时，取ξ=2ε≠0，有f (ξ,ξ)=0 ；
当r ≥2时，取ξ=i 1ε+2ε，有f (ξ,ξ)=i 2
+1=0 ；
（3）
若f (α,β)是非退化的，则（1）式为
f (ξ,n)=x 1y 1+x 2y 2+ +x n y n
取ξ=
2
11ε+
2
i 2ε η=
2
11ε-
2
i 2ε 得
f (ξ,ξ)=(
21)2+(
2i )2=0 f (η,η)=(
2
1)2+(
2
i )2=0
f (ξ,η)=(2
1)2+(
2
i )(-
2
i )=
21+2
1=1 且易知ηξ,是线性无关的向量；
例10 试证：线性空间V 上双线性函数f (α,β)为反对称的充要条件是：对任意α∈V 有
f (α,α)=0
证 必要性 由f (α,β)为反对称的，因而f (α,α)=f -(α,α) 故f (α,α)=0
充分性 由条件
0),(),(),(),(),(=+++=++ββαββαααβαβαf f f f f
故),(),(αββαf f -= 因而f (α,β)为反对称双线性函数。
例11 设f (α,β)是V 上对称的或反对称的双线性函数，α,β是V 中两个向量，如果f (α,β)=0，
则α,β正交。再证K 是V 的一个真子空间。证明；对ξ?K ，必有η∈K+L(ξ)使
f (n ,α)=0对所有α∈K 都成立。
证 先证 是对称双线性函数的情形。
这时， 也是K 上的双线性函数。假定维(K)=t, 则由已知结论存在K 的一组基
t ααα,,,21Λ，使f 在这组基下的度量矩阵为diag(t d d d ,,,21Λ)
令η=
ξαααξαααξ-+
+t t
t f f )
,()
,(11
1Λ 当i α=0时，删去相应的项，则η∈K+L(ξ)
且η≠0 K a i
t
i i
∈=
?∑=α
α1
有 f (η,α)=f (
j t
j j i t
i i
i a f αξααξα∑∑
==-1
1
)
()
=
)()()(1
11j t
j j j i i t i t
j i
j
f a f f a ξαααξαα
∑∑∑===-
=
)()(1
1
j t
j j j t
j j
f a f a
ξαξα∑∑-=-
=0
再证f 是反对称双线性函数的情形。 1）
若对给定的ξ?K ，有β?K 使f (ξ,β)≠0。可令ξε=1,λβε=-1使f (1ε,1-ε)=1,
然后将1ε,1-ε 扩充为K+L(ξ) 的一组基s t t ηηεεεε,,,,,,,111ΛΛ--使
??
?
??+∈=≠+===-)
(0),(00
),(,,2,11),(ξαηαεεεεL K f j i f t
i f k j i i i Λ 当s= 0时，取1ηη=即可。
当 s 0≠时，取1-=εη由 1εξ= K=L(,,1-εε ,t t -εε,) 则 ?α∈K 有f (η,α)=0
2）若β?∈K,f (ξ,β)=0则取η=ξ即可。
例12
设V 与f (α,β)同上题,K 是V 的一个子空间。令
K ⊥
={α∈V | f (α,β)=0 , ?β∈K
}
1） 试证： K ⊥是V 的子空间 (K ⊥
称为 K 的正交补)。 2）
试证： 如果K I K ⊥
={0}, 则 V=K+K ⊥
。
证 1）K ∈?β有f (0,β)=0故 0⊥
∈K 所以K ⊥
非空。
?1α，2α∈ K ⊥, K ∈P ?β∈K 有f (K α,β)=K f (α,β)=0
f (1α+2α,β)=f (1α,β)+f (2α,β)=0
故1α+2α∈ K ⊥
. K 1α∈ K ⊥
从而K ⊥
是V 的子空间。
2）
K+ K
⊥?V 是显然的。
不妨设K 是V 的真子空间 ?ξ∈V 若ξ∈K , 则证毕。
若K ?ξ则由条件知存在非零的∈ηK+L(ξ) K ∈β K ∈P （1） 显然K ≠0 否则∈ηK ? K ⊥={0} η=β=0 矛盾。从而由（1）知
ξ=-
K 1β+K
1
η∈ K+ K ⊥ 所以V ? K+ K ⊥ 故V= K+ K ⊥ 。
例13 设V , f (α,β) ,K 同上题，并设f (α,β)限制在K 上是非退化的，试证：V= K+ K ⊥的充
要条件是f (α,β)在V 上是非退化。
证 必要性 由条件V= K+ K ⊥
令K ≠0 若f (α,β)在K 上不为非退化
设m e e e ,,,21Λ为K 的一组基。由此可知ξ∈K ? K ⊥
矛盾。
充分性 设1α∈K ?K
⊥
假若1α≠0 则将1α扩充成K 的一组基m ααα,,,21Λ由于1α∈K ⊥
故
f (1α,j α)=0 m j ,,2,1Λ= 即f 关于基m ααα,,,21Λ的度量矩阵第一行的元素全为0。因而是
非退化的，这与f 在K 上非退化矛盾。 所以1α=0,K ? K ⊥
={0}, V=K ?
+K ⊥
例14
设f (α,β)是n 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数，对V 中一个元素α，定义V
*
中
一个元素α*
：
α*(β)= f (α,β) V ∈β
试证：1）V 到V
*
的映射?：α→α*
是一个同构映射；
2）对V 的每组基n εε,,1Λ，有V 的唯一的一组基'
'
1,,n εεΛ使 f (i ε,'
j ε)=ij δ ij δ=??
?≠=j
i j
i 01
3) 如果V 数域上n 维线性空间，则有一组基n ηη,,1Λ,使
'i i ηη= n i ,,2,1Λ=
证 1） 首先证明?为单射。事实上，设21αα≠ 若?(1α)=?(2α) 即1α*
2*
α=
因而V ∈?β有f (1α,β)=f (2α,β) 故 f (21αα-,β)=0 V ∈?β设1ε, n ε为V 的一组基。令
21αα-=),,(,21n εεεΛ????????????n x x x M 2
1 =β),,(,21n εεεΛ?????
???????n y y y M 21
由f (1α–2α,β)=0 得到),,(21n x x x ΛA ?????
?
??????n y y y M 2
1=0 这里 A 为f (α,β) 在基n εεε,,,21Λ下的
度量矩阵。由于β是任意的，因而有
),,(21n x x x ΛA=0
又A 可逆，故),,(21n x x x Λ=0，进而1α=2α 矛盾。进一步易知
?是双射。易验证
)()()(2121α?α?αα?l k l k +=+
因而 *
-?V V ?
2）设'
1i ε=n in i i x x x εεε+++Λ2211由???????
??===0
),(1),(0),('1'1'1εεεεεεn i n f f f M M
得到
??
????
????????????),(),()
,(),(),()
,(),(),()
,(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεΛ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛ
??????
??
?
?????????n x x x M 21= ??????
??
?
?????????010M M (*) 由于f (α,β)为非退化，因而(*) 有解且唯一。这样得到'
'
1,,n εεΛ,满足f (i ε,'
j ε)=ij δ , '
'1,,n εεΛ线性无关。事实上，由k 1'1ε+ +k '
n ε=0
f (k 11ε+ +k n n ε)=k i =0 n i ,,2,1Λ=
故'
'
1,,n εεΛ为所求的基。唯一性由(*)解的唯一性得到。
3）令A=????
?
?????),(),(),(),(1111n n n n f f f f εεεεεεεεΛΛΛΛΛ 由A=A '，A 可逆，因而在复数域上存在可逆矩阵T ，使T 'AT=????
?
?????10
01
O 令T n n ),,(),,(11εεηηΛΛ= 有ij j i f δηη=),(
例15
设V 是对于非退化对称双线性函数),(βαf 的n 维伪欧氏空间。V 的一组基n εε,,1Λ如果满
足
1),(=i i f εε p i ,,2,1Λ=
1),(-=i i f εε ;,,1n p i Λ+= 0),(=j i f εε ;j i ≠
则称为V 的一组正交基。如果V 上的线形变换σ满足 ),(),(βασβσαf f = V ∈βα, 则称σ为V 的一个伪正交变换。试证：
1） 伪正交变换是可逆的，且逆变换也是伪正交变换； 2） 伪正交变换的乘积仍为伪正交变换； 3） 伪正交变换的特征值为1或-1；
4）
伪正交变换在伪正交基下的矩阵 满足
证： 1）由于f 是非退化的双线性函数，因此存在V 的一组基n εεε,,,21Λ,使f 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵),,,(21n d d d diag A Λ=其中0≠i d n i ,,2,1Λ= 设σ是V 的一个伪正交变换，则),,,()(21n L V σεσεσεσΛ= 令02211=++n n K K K σεσεσε
则 1
111221111122111122111),(),(),(),(),(),()
,(),0(0αεεεεεεσεσεσεσεσεσεσεσεσεσεσεK f K f K f K f K f K f K K K K f f n n n n n n =+++=+++=+++==ΛΛΛ
而01≠α 01=K 故 同理可证032====n K K K Λ
从而n σεσεσε,,,21Λ线性无关。因而是)(V σ的一组基。 n V =)(dim σ于是 {}0)0(=σKer σ是单射。注意到V 是有限维的，知σ是满射，即σ是可逆变换。
设σ的逆变换为1
-σ
，则1
-σ
仍为线性变换，且V V E E ==--σσσσ
11
,
V ∈?βα, 有),(),(),(),(1111βαβαβσασσβσασf E E f f f V V ===----
故为伪正交变换。 2) 设
τσ,是V 的两个线性变换，则στ仍为V 的线性变换，且V ∈?βα, 有
),(),(),(βατβταστβσταf f f == 即στ仍是伪正交变换。
3) 由题设条件可知存在一组基n εε,,1Λ使??
?≠==j
i j i f i j i 0
),(αεε 设λ为σ的任一特征值.
n n K K εεα++=Λ11 为其相应的一个特征向量，则
),(),(),(),(2
ααλλαλασασαααf f f f === (1)
但0),(2
2
1≠++=n K K f Λαα 故(1)两边消去),(ααf 得12
=λ 即1±=λ
4)
设n αα,,1Λ为 V 的伪正交基，则??
?
??≠+==-===j i n p j i p j i f j i 0,,11,,2,11),(ΛΛαα 由假设
T n n ),,(),,(11αααασΛΛ= 其中n n ij t T ?=)(于是
1=)()(),(2
12
12
12
1111n p p t t t t f ++-++=+ΛΛσασα 类似地可得
p K t t t t f nK K p pK K K K ,,2,1)()(),(12
21221ΛΛΛ=++-++==+σασα)
2(,,1)()(),(12
2
12
2
1n p K t t t t f nK K p pK K K K ΛΛΛ+=++-++==-+σασαj i t t t t t t t t f nj ni j p i p pj pi j i j i ≠++-++==++)()(),(01111ΛΛσασα
由矩阵写出)2(式，即为
?????????
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11
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O
O TT
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε3) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2 ，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε3）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ） 1 - ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足 1）)()()(βαβαf f f +=+; 2）)()(ααkf k f =, 式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=. 2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合： s s k k k αααβ+++= 2211 那么 )()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++= 例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数 n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1) 就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数. 实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε. 第i 个 n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成 n n x x x X εεε+++= 2211. 设f 是n P 上一个线性函数，则
∑∑====i i i i i i f x x f X f 1 1 )()()(εε 令 ,21,)(n i f a i i ，，， ==ε 则 n n x a x a x a X f +++= 2211)( 就是上述形式. 例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设 ?? ?? ? ? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 , 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)( 是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ?上的一个线性函数. 例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为 ][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=, 即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数. 如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α： n n x x x εεεα+++= 2211 都有 ∑∑====n i i i n i i i f x x f f 1 1 )()()(εεα. (2) 因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数 n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：
双线性函数及其应用
本科生毕业论文(设计) 题目：双线性函数及其应用 专业：数学与应用数学 学号: 学生姓名：
目录 摘要（关键词） (1) Abstract（Key words） (1) 前 言 (2) 1 常用的欧式空间 (1) 2 双线性函数 (2) 2.1 线性函数的简单性质 (2) 2.1.1 线性函数的定义 (2) 2.1.2 线性空间的性质 (3) 2.1.3 对偶基 (3) 2.2 双线性函数的内容及性质 (3) 2.2.1 双线性函数的性质 (3) 2.2.2 双线性函数的内容 (3)
3 双线性函数在不同基下的矩阵 (4) 3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系 (4) 3.2 相同基下，不同的双线性函数所对应的矩阵 (5) 4 双线性函数与辛空间及对偶空间 (6) 4.1双线性函数与辛空间 (7) 4.2双线性函数与对偶空间 (10) 5双线性函数的应用领域 (13) 6 结束语 (14) 参考文献 (14) 致谢 (1)
双线性函数及其应用 摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散对数问题。近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证明安全的(provable secure)、基于双线性配对函数的加密、签名和密钥协商等协议。这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。本文主要研究双线性配对函数在构造新的密码协议方面的应用。主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全的数字签名方案:在一个基于双线性配对函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和
第10章双线性函数与辛空间 10.1复习笔记 一、线性函数 1．定义 设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足 （1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β）， （2）f（kα）＝kf（α）， 式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数． 2．性质 （1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）． （2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）． 3．矩阵的迹 A是数域P上一个n级矩阵．设 则A的迹
Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn 是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数． 4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n． 二、对偶空间 1．L（V，P）的加法和数量乘法 （1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数： f＋g称为f与g的和． （2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数． 2．L（V，P）的性质 （1）对V中任意向量α，有
而对L（V，P）中任意向量f，有 （2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基． 3．对偶空间 （1）定义 L（P，V）称为V的对偶空间．由 决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质 （1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1． （2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素． （3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射． 结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．
第十章 双线性函数 一 内容概述 1 线性函数 ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ① f (α+β)=f (α)+f (β) ∈?βα，V ② f (α)=k f (α) ?∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=- (2) 如果是βs ααα ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++= 2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++= 2211)( 定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，而n a a a ,,,21 是P 中任意 n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1 = 2 线性函数空间 设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,?∈L(V , P) ?α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，() p k p V f ∈∈?,,τ 则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称() p V ,τ 为V 的对偶空间。 3 对偶基 设n εεε,,,21 为V 的一组基，定义 )(j i f ε=?? ?≠=i j i j 0 1 ，则n f f f ,,,21 是() P V ,τ的一组基。称 n f f f ,,,21 为n εεε,,,21 的对偶基。 定理 () P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是() P V ,τ 的一组基 定理 设 n εεε,,,21 及 1η,2η, n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与 n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 。如果由n εεε,,,21 到1η,2η, n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1')(-A
第7章向量空间与线性变换 7-1.下列向量组中，哪些是向量空间4R 的基，为什么？ （1）T )1,1,1,1(1=α，T )0,1,1,1(2=α，,)0,0,1,1(3T =αT )0,0,0,1(4=α； （2）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,2,0(2-=α，,)0,0,1,0(3T -=αT )1,0,3,1(4--=α； （3）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,1,1,1(4=α； （4）T )0,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,0,0,0(4=α.7-2. 把向量组T ),,(1101=α，T )1,0,1(2=α，T )0,1,1(3=α化为3R 的标准正交基.7-3.已知T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,1(3-=α是向量空间3R 的基，求向 量T )1,3,2(--=η在该基下的坐标． 7-4.已知T )1,0,1(1-=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,3(3=α与(),0,0,11T =ε(),0,1,02T =ε()T 1,0,03=ε都是向量空间3R 的基，求基321,,ααα到基321,,εεε的过渡矩阵．7-5.在向量空间3R 中取两组基 T )1,2,1(1=α，T )0,1,3(2-=α，T )0,0,1(3=α与 (),3,0,11T =β(),1,1,12T =β()T 4,1,13-=β. （1）求基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵； （2）设ξ在基321,,ααα下的坐标是T )1,3,2(-，求ξ在基321,,βββ下的坐标．7-6.令][3x F 表示数域F 上一切次数3≤的多项式连同零多项式所组成的向量空间. （1）求这个向量空间的一个基和维数； （2）证明微分运算D 是一个线性变换. 7-7.在上一题中，求微分运算D 在所取基下的矩阵.7-8.在3 R 中，T 表示向量投影到xOy 平面的线性变换，即()T xi yj zk xi yj ++=+ .
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；
（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
欧氏空间与双线性函数 基本概念 1. 欧几里得空间 设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2. 酉空间 设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度 非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。 4. 向量的夹角 非零向量βα，的夹角 βα，规定为 βα，=arccos β αβα） ，（, 0≤ βα，≤π 5. 向量正交 如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。 6. 基的度量矩阵 ，，21εε.n ε，???是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，， ???=2,1,,称
()nn ij A α=为基n εεε，，，???21的度量矩阵。 7. 正交向量组 欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵 n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T =。 n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果 E A A T =。 10. 欧氏空间同构 实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足 （1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k = （3 ）；，（））（），（（βαβσασ= 这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。 11. 正交变换、酉变换 欧氏空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为V 的一个正交变换。 酉空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为酉空间的一个酉变换。 12. 子空间正交、向量与子空间正交 设2,1V V 是 欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的,2,1V V ∈∈βα 恒有 （βα,）= 0 则称2,1V V 为正交的，记为21V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有 （βα,）= 0 则称α与子空间1V 正交，记为1V ∈α。 13. 子空间的正交补 子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且V V V =+21。 14. 欧氏空间V 的线性变σ换如果满足 ))(())((βσαβασ，，=
251 第九章 双线性函数 本章从线性函数入手，推广欧氏空间的若干性质到一般数域F 上向量空间上，即双线性函数的概念，然后介绍正交空间、辛空间的一些基本结论． §1 线性函数 定义1设V 是数域F 上的一个向量空间．σ是V 到F 的映射，如果 1) ,,()()()V αβσαβσασβ?∈+=+， 2) ,,()()V k F k k ασασα?∈?∈=， 则说σ是V 上的一个线性函数， 由定义可以看出线性函数就是V 到F 的线性映射。因而关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立。 线性函数是十分重要的函数类，在数学的多个分支和一些实际问题中都要用到它．下面看几个例子． 例1 给定F 中的n 个元素12,,,n a a a , ?(12,n n x x F ∈,x ,)，规定 121 12 2(,, ,)n n n f x x x a x a x a x =+++ 容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此f 是n F 上的一个线性函数． 例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵()ij n n A a ?=对应F 中的一个元素1n ii i a =∑,并且有 ()()()T r A B T r A T r B + =+，()()Tr kA kTr A = ． 所以矩阵的迹是()n M F 上的一个线性函数． 例3 定积分使每一个连续函数()f x 对应一个实数()b a f x dx ?,并 且满足 (()())()()(())()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx +=+=? ????，． 所以定积分是[,]C a b 上的一个线性函数．
第九章双线性函数与辛空间 1 本章的教学目标及基本要求 （1）理解线性函数及双线性函数，并会验证之 （2）理解和掌握对偶空间的定义，并能求对偶空间的对偶基 （3）掌握度量矩阵的定义、性质及求法 *（4）了解辛空间的定义及性质 2 本章教学内容及学时安排 §1 线性函数2学时 §2 对偶空间4学时 §3 双线性函数4学时 本章1次习题课，本章共计12学时 3 本章教学内容的重点及难点 本章的重点是线性函数和双线性函数的定义及证明。 在理解方面比较困难的是对偶空间及对偶基的求法。 4 本章的主要参考书目： [1]张禾瑞，郝鈵新编，高等代数（第四版），高等教育出版社，2001 [2]叶明训等编，线性空间引论（第二版），武汉大学出版社，2002 [3]蓝以中编，高等代数简明教程，北京大学出版社，1994 [4]姚慕生编，高等代数，复旦大学出版社，2002 第十章双线性函数与辛空间 在线性空间上定义线性函数，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上线性空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的辛空间的定义及性质。
§1 线性函数 一、 线性函数的定义 设V 是数域P 上的一个向量空间． def1 设f ∈Hom(V ，P)，即?α，β∈V ，?k ∈P ，都有 f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)， 则称f 为V 上的一个线性函数． 从定义不能推出以下简单性质： 1）设f 为V 上的一个线性函数，则 (0)0,()().f f f αα=-=- 2）线性性；如果1122s s c c c βααα=+++，那么 1122()()()().s s f c f c f c f βααα=++ + 线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子． 例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数?b a dx x f )(,并 且满足 ?????=+=+b a b a b a b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，． 所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数． 例2 矩阵的迹把数域P 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )n n 对应P 中的一个元素∑=n i ii a 1,并且有 Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ． 所以矩阵的迹是M n (P)上的一个线性函数． 例3 在数域F 上的一元多项式环P [x ]中，字母x 用P 中的一个c 代入，它把每一个多项式f (x )对应P 中的数()f c ．由于未定元x 用c 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用c 代入是向量空间F[x]上的一个线性函数．见P400，例3 例4 设12,,,n a a a 是P 中任意数，12(,,,)n n X x x x P ?=∈，函数 121122()(,,,)n n n f X f x x x a x a x a x ==+++， (1) 就是P 上的一个线性函数． 注：1）当0,1,2,,i a i n ==时，()0f X =，称为零函数； 2）在数学分析中，把形如++= 1121),,,(x a x x x g n b x a n n +的n 元函数g 称做线性函数．当b ≠0时， g 不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，因此g 不是定义1意义上的线性函数．故而“线性函数”这一术语在分析和代数里是有不同的含义，此时高等代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．
1 高等代数 课程教案 授课类型 理论课 授课题目（教学章节或主题）： 第十章 双线性函数与辛空间(习题课) 授课时间 教学目标或要求： 教学内容: 第十章 双线性函数与辛空间(小结) 一、基本概念 线性函数；对偶空间。对偶基；双线性函数及其在基下的度量矩阵；非退化的双线性函数，对称与反对称双线性函数，正交基；辛空间，辛正交基. 二、主要结论 1. 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21"是V 的一组基，是中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数使 n a a a ,,,21"P f n i a f i i ,,2,1,)("==ε. 2. 设n εεε,,,21"及n ηηη,,,21"是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别 为及.如果由n f f f ,,,21"n g g g ,,,21"n εεε,,,21"到n ηηη,,,21"的过渡矩阵为A ， 那么由到的过渡矩阵为. n f f f ,,,21"n g g g ,,,21"1)(?′A 3. 的维数等于V 的维数，而且是的一组基. ),(P V L n f f f ,,,21"),(P V L 4. 是一个线性空间，是V 的对偶空间的对偶空间. 到的映射 V ??V V ??V ??→x x 是一个同构映射. 5. 在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体级矩阵之间的一个双射. n 6. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的. 7. 设V 是数域上n 维线性空间，P ),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V
的一组基n εεε,,,21"，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 8. 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数. 9. 是辛空间，W 是V 的子空间，则 ),(f V W V W dim dim dim ?=⊥ 教学手段与方法： 采用启发式教学，利用多媒体与板书相结合的教学手段，以板书教学为主 思考题、讨论题、作业：
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .
本科生毕业论文(设计) 题目：双线性函数及其应用 专业：数学与应用数学 学号: 学生姓名：
目录 摘要（关键词） (1) Abstract（Key words） (1) 前言 (2) 1 常用的欧式空间 (1) 2 双线性函数 (2) 2.1 线性函数的简单性质 (2) 2.1.1 线性函数的定义 (2) 2.1.2 线性空间的性质 (3) 2.1.3 对偶基 (3) 2.2 双线性函数的内容及性质 (3) 2.2.1 双线性函数的性质 (3) 2.2.2 双线性函数的内容 (3) 3 双线性函数在不同基下的矩阵 (4) 3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系 (4) 3.2 相同基下，不同的双线性函数所对应的矩阵 (5) 4 双线性函数与辛空间及对偶空间 (6) 4.1双线性函数与辛空间 (7) 4.2双线性函数与对偶空间 (10) 5双线性函数的应用领域 (13) 6 结束语 (14) 参考文献 (14) 致谢 (1)
双线性函数及其应用 摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分 析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散 对数问题。近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适 的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证明安全的(provable secure)、基于双线性配对 函数的加密、签名和密钥协商等协议。这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协 议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。 例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。本文主要研究双线性 配对函数在构造新的密码协议方面的应用。主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数 的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全的数字签名方案:在一个基于双线性配对 函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和签名长度上 有一定的优势;(3)本文对这样一种情况提出了解决方案:多个用户将加密数据(使用Alice的 公钥)发送到不完全可信的数据存储服务器上(例如邮件服务器和文件服务器等)。如果Alice想让服务器能够查询加密文档是否含有某些单词并反馈结果,但同时又不希望给予服 务器解密数据的能力。在这种情况下,需要特殊的技术来处理。本文构造了一个可查询的、基于公钥并与流密码结合的、使用双线性配对函数的加密系统,它能让服务器进行查询,而又不失数据的机密性。在该方案中,服务器并不能了解比查询结果更多的关于明文的 信息;且当只给定密文时,不被信任的服务器不能得到关于明文的信息。(4)提出了一个盲聚 合签名方案,它结合了盲签名和聚合签名两者的优点,使生成的盲签名聚合为一个聚合签名, 节省了时间和存储空间,也降低了对传输带宽的要求。 关键词：双线性函数；矩阵的合同；矩阵的相似 Abstract：In the past the cryptography studies, bilinear pairing function (Weil pairing Tate and matching) are usually used in analysis in learning, password: through the use of matching function, can will some of the elliptic curve discrete logarithm problem about reduced to a limited domain of discrete logarithm problem. In recent years, cryptography, home found that, if properly to visual function changes, and application in some appropriate elliptic curve, it can be constructed out of the low bandwidth, can prove safe (provable secure), based on bilinear pairings function of encryption, signatures and key agreement protocol, etc. These breakthrough for the construction of the password agreement opened up a new train: because bilinear pairings is the features of a function, can be used to design some has certain types of password agreement, these agreements with other method very hard commonly, or even can realize, its efficiency and no based on bilinear pairings function of high. For example, three square round short signature of key agreement protocol, identity based encryption scheme. This paper makes a study of the bilinear pairings function in the construction of new password agreement applications. The main research contents include: (1) summarized the bilinear pairings function concept, has the characteristics, and introduced the diffie-hellman problem and bilinear pairings function in the application of cryptography; (2) put forward a using bilinear pairings of function to safety before digital signature scheme: in a based on bilinear pairing the signature scheme based on the structure of a prior to the safety of the signature scheme. In this paper the safety of the scheme are analyzed, and some have to safety before the signature schemes are compared, and
第10章 双线性函数与辛空间 1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知 f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3， 求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）． 解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到 f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3． 2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1． 解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到 f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2． 3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基， a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3． 试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）． 解：可利用定理3．计算 由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是 a1，a2，a3的对偶基，则
即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3． 4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使 f（a）≠0，i＝1，2， (5) 证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有 a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2， V …，s． 5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使 f（a i）≠0，i＝1，2，…，s． 证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向 量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0． 6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义
第十章 双线性函数 §10.1 线性函数 1．设V 是数域F 上的一个线性空间, f 是V 到F 的一个映射, 若f 满足: (1)()()();(2) ()(), f f f f k kf αβαβαα+=+= 式中,αβ是V 中任意元素, k 是F 中任意数, 则称f 为V 上的一个线性函数. 2．简单性质: 设f 是V 上的线性函数 （1） (0)0, ()().f f f αα=?=? （2）11221122()()()()t t t t f k k k k f k f k f αααααα+++=++L L 例1 对数域F 上的任意方阵() ij n n A a ×=, 我们已定义 1122()nn tr A a a a =+++L 为A 的对角元之和, 称为A 的迹. 容易验证映射 :, ()n n tr A tr A ×→→F F 满足条件: (1)()()(),,; (2) ()(), ,. n n n n tr A B tr A tr B A B tr kA k tr A A k ××+=+?∈=?∈∈ F F F 因此tr 是n n ×F 的线性函数. 例2 设[]V F x =, a 是F 中一个取定的数. 定义[]F x 上的函数a L 为: (())(), ()[],a L f x f a f x F x =∈ 即(())a L f x 为()f x 在a 点的值, (())a L f x 是[]F x 上的线性函数. 如果V 是数域F 上的一个n 维线性空间， 取定V 的一组基12,,,n εεεL . 对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α: 1122n n x x x αεεε=+++L