2.2.2 反证法

§2.2.2反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解 反证法的思考过程、特点。

2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点 三、教学难点：反证法的思考过程、特点 四、教学过程:（一）导入新课：1、复习综合法和分析法的思考过程和特点：2、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现象吗？3.思考：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。

则C 必定是在撒谎，为什么？（二）新课1、反证法：假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法． 2. 反证法的思维方法： 3.反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 4．反证法常见矛盾类型在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与 矛盾，与 、 、 、 或 矛盾，与 矛盾． 5.应用反证法的情形： (1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题； （三）例题解析例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

例2、求证：2不是有理数例3、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）练习：已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2.（四）课堂小结：（1）反证法的基本步骤： （2）应用反证法的情形 （3）．常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：（五）当堂检测：1.．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( ) A 假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60° 2．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( ) A ．a <b B ．a ≤b C ．a ＝b D ．a ≥b 3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 ( ) ①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论 ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件 A ．①④ B ．①②③ C ．①③④ D ．②③ 5.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R . (1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．6．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.（六）作业：1.已知a ≠0，证明x 的方程ax=b 有且只有一个根。

2．2.2反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2B．a2<b2C．a2≤b2D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.故选C.7．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：08．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x ＝y ”的反面是“x ≠y ”，即是“x >y 或x <y ”，所以②正确；“a >b ”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1.又0<ax0<1，所以0<－x0－2x0＋1<1，即12<x0<2.与假设x0<0矛盾，故f(x)＝0没有负实根．。

1、一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 、 、 、 矛盾等。

题型一 用反证法证明否定性命题【例1】设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，（1）求证：数列{}n S 不是等比数列； （2）数列{}n S 是等差数列吧？为什么？【练习1】已知a,b,c 是一组勾股数，求证：a,b,c 不可能都是奇数。

题型二 用反证法证“至多”“至少”等类型问题 【例2】设]1,1[,)(2-∈++=x c bx xx f ，证明：b<-2时，在其定义域范围内至少存在一个x,使21)(≥x f 成立。

【练习2】若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，那么方程f(x)=0,在区间[a,b]上至多有一个实数根。

题型三 用反证法证唯一性问题【例3】求证：两条相交直线有且只有一个交点。

【练习3】已知a ≠0,证明x 的方程ax=b 有且只有一个根。

题型四 用反证法证正面证较难的问题【例4】已知30≤<a ,函数f(x)=3x -ax 在区间[1,+ ∞）上是增函数，设当10≥x ，1)(0≥x f 时，有00))((x x f f =，求证：00)(x x f =。

【练习4】设有长度分别为54321,,,a a a a a 和的5条线段，今知其中任何3条都可以构成一个三角形，证明：其中必有锐角三角形。

一、选择题1、应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用①结论相反判断，即假设②原命题的结论③公理，定理，定义等④原命题的条件 A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③2.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是 A.假设a,b,c 都是偶数 B.假设a,b,c 都不是偶数 C.假设a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设a,b,c 至多有两个是偶数3. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角 4、如果两个实数之和为正数，则这两个数 A.一个是正数，一个是负数B.两个都是正数 C.至少有一个是正数 D.两个都是负数 5、命题“△ABC 中，若∠A>∠B,则a>b ”的结论的否定应该是A.a<bB. a ≤bC.a=bD.a ≥b 二、填空题6、和两条异面直线AB,CD 都相交的两条直线AC,BD 的位置关系是 。

人教A版选修2—2 精讲细练2.2.2 反证法一、知识精讲1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理等矛盾．【注】：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确。

3.反证法步骤①反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;②归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理,得出矛盾③结论——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.二、典例细练【题型一】：“反设”的选取例题1：否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数【答案】 B【解析】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.变式训练1：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°【答案】 B【解析】“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.变式训练2：用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数【答案】 B【解析】“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c 都不是偶数．变式训练3：命题“△ABC 中，若∠A>∠B ，则a>b”的结论的否定应该是( ) A ．a<b B ．a≤b C ．a ＝b D ．a≥b 【答案】 B【解析】 “a>b”的否定应为“a ＝b 或a<b”，即a≤b.故应选B. 【题型二】：用反证法证明否定性命题例题2：已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．【证明】假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且a 0x ＝－x 0－2x 0＋1，由0<a 0x <1即0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根． 【点评】反证法步骤——反设⇒归谬⇒结论。