第十章 双线性函数与辛空间
§1 线性函数
定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足
1）)()()(βαβαf f f +=+; 2）)()(ααkf k f =,
式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.
从定义可推出线性函数的以下简单性质：
1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=.
2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合：
s s k k k αααβ+++= 2211
那么
)()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++=
例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数
n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1)
就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数.
实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令
n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε.
第i 个
n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成
n n x x x X εεε+++= 2211.
设f 是n P 上一个线性函数，则
∑∑====i i i i i i f x x f X f 1
1
)()()(εε
令
,21,)(n i f a i i ，，， ==ε
则
n n x a x a x a X f +++= 2211)(
就是上述形式.
例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211
, 则A 的迹
nn a a a A Tr +++= 2211)(
是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ⨯上的一个线性函数.
例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为
][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=,
即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数.
如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α：
n n x x x εεεα+++= 2211
都有
∑∑====n
i i i n
i i i f x x f f 1
1
)()()(εεα. (2)
因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数
n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：
∑∑===i i i i i i x a x f 1
1
)(ε.
这是一个线性函数，并且
n i a f i i ,,2,1,)( ==ε
因此有
定理1 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，
n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使
n i a f i i ,,2,1,)( ==ε.
§2 对偶空间
设V 是数域P 上一个n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作
),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.
设g f ,是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：
V g f g f ∈+=+αααα,)()()(.
g f +也是线性函数：
,
))(())(()()()()()
()())((βαβαβαβαβαβαg f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=++ ))(()()()()())((ααααααg f k kg kf k g k f k g f +=+=+=+.
g f +称为f 与g 的和.
还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对于P 中任意数k ，定义函数kf 如下：
V f k kf ∈=ααα,))(())((,
kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 成为数域P 上的线性空间.
取定V 的一组基n εεε,,,21 ，作V 上n 个线性函数n f f f ,,,21 ，使得
.,,2,1,,,0;
,1)(n j i i j i j f j i =⎩
⎨⎧≠==ε (1)
因为i f 在基n εεε,,,21 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量∑==n
i i i x 1εα，有
i i x f =)(α, (2)
即)(αi f 是α的第i 个坐标的值.
引理 对V 中任意向量α，有
∑==n
i i i f 1
)(εαα, (3)
而对),(P V L 中任意向量f ，有
∑==n
i i i f f f 1)(ε. (4)
定理2 ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基. 定义2 ),(V P L 称为V 的对偶空间.由（1）决定),(P V L 的的基，称为
n εεε,,,21 的对偶基.
以后简单地把V 的对偶空间记作*V .
例 考虑实数域R 上的n 维线性空间n x P V ][=，对任意取定的n 个不同实数
n a a a ,,,21 ，根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式
.,,2,1,)
())(()()
())(()()(111111n i a a a a a a a a a x a x a x a x x p n i i i i i i n i i i =--------=
+=+-
它们满足
.,,2,1,,
,0;
,1)(n j i i j i j a p j i =⎩⎨
⎧≠==
)(,,)(),(21x p x p x p n 是线性无关的，因为由
0)()()(2211=+++x p c x p c x p c n n
用i a 代入，即得
n i c a p c a p c
i i p i n
k i k k
,,2,1,0)()(1
====∑=.
又因V 是n 维的，所以)(,,)(),(21x p x p x p n 是V 的一组基.
设),,2,1(n i V L i =∈*是在点i a 的取值函数：
.,,2,1.)(,)())((n i V x p a p x p L i i =∈=
