省级课程高等代数教案第十章双线性函数与辛空间

高等代数（科二）一、课程说明课程编号：130008X20课程名称：高等代数（科二）/Higher Algebra(II)课程类别：学科基础课学时/学分：88/5.5（含10学时实践）先修课程：高等代数（一）适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学教材、教学参考书：1. ，高等代数，北京：清华大学出版社，2014.2. 北京大学数学系编，高等代数（第三版），北京：高等教育出版社，2002.3. 丘维声，高等代数，北京：高等教育出版社，2002.4. 张禾瑞，高等代数（第五版），北京：高等教育出版社,2007.5. 熊全淹, 高等代数，上海：上海科学技术出版社，1978.二、课程设置的目的意义通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。

《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。

讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。

高等代数（二）是高等代数的第二部分，本课程的主要任务是通过教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生学习和掌握多项式理论及线性代数的几何理论（线性空间、线性变换、欧氏空间）。

三、课程的基本要求1.知识要求（1）熟练掌握二次型的矩阵表示，二次型的标准形，惯性定理等，熟练掌握实二次型的正定性（半正定性，负定性，半负定性）的定义及判别法，掌握复二次型与实二次型的合同关系下的规范形；（2）掌握线性空间的定义与性质，熟练掌握向量的相关性的定义与判定法，子空间的交与和，子空间的直和及维数公式，理解线性空间的同构；（3）深入理解线性变换的定义，线性变换的运算，熟练掌握线性变换的矩阵表示，线性变换的值域、核的概念与性质，特征值与特征向量的定义与求法；（4）掌握可对角化线性变换（矩阵）的基本刻画，理解不变子空间，会求矩阵的若当标准形；（5）深入理解欧几里得空间的定义与基本性质，知道欧几里得空间的同构；熟练掌握标准正交基的概念、性质及施密特正交化方法；掌握正交变换与正交矩阵，对称变换与对称矩阵的概念及刻画；理解子空间的正交关系、正交补的概念与性质、最小二乘法等。

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

第十章 双线性函数与辛空间§1 线性函数定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足1）)()()(βαβαf f f +=+;2）)()(ααkf k f =,式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.从定义可推出线性函数的以下简单性质：1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=.2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合：s s k k k αααβ+++= 2211那么)()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++=例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1)就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数.实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.令n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε.第i 个中任一向量),,,(21n x x x X =可表成n n x x x X εεε+++= 2211.设f 是上一个线性函数，则∑∑====i i i i i i f x x f X f 11)()()(εε令,21,)(n i f a i i ，，， ==ε则n n x a x a x a X f +++= 2211)(就是上述形式.例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)(是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ⨯上的一个线性函数.例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=,即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数.如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α：n n x x x εεεα+++= 2211都有∑∑====ni i i n i i i f x x f f 11)()()(εεα. (2)因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：∑∑===i i i i i i x a x f 11)(ε.这是一个线性函数，并且n i a f i i ,,2,1,)( ==ε因此有定理1 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使n i a f i i ,,2,1,)( ==ε.§2 对偶空间设V 是数域P 上一个n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.设g f ,是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：V g f g f ∈+=+αααα,)()()(.g f +也是线性函数：,))(())(()()()()()()())((βαβαβαβαβαβαg f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=++))(()()()()())((ααααααg f k kg kf k g k f k g f +=+=+=+.g f +称为f 与g 的和.还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对于P 中任意数k ，定义函数kf 如下：V f k kf ∈=ααα,))(())((,kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 成为数域P 上的线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 ，作V 上n 个线性函数n f f f ,,,21 ，使得.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j f j i =⎩⎨⎧≠==ε (1) 因为i f 在基n εεε,,,21 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量∑==ni i i x 1εα，有i i x f =)(α, (2)即)(αi f 是α的第i 个坐标的值.引理 对V 中任意向量α，有∑==ni i i f 1)(εαα, (3)而对),(P V L 中任意向量f ，有∑==ni i i f f f 1)(ε. (4)定理2 ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基. 定义2 ),(V P L 称为V 的对偶空间.由（1）决定),(P V L 的的基，称为n εεε,,,21 的对偶基.以后简单地把V 的对偶空间记作*V .例 考虑实数域R 上的n 维线性空间n x P V ][=，对任意取定的n 个不同实数n a a a ,,,21 ，根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式.,,2,1,)())(()()())(()()(111111n i a a a a a a a a a x a x a x a x x p n i i i i i i n i i i =--------=+=+- 它们满足.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j a p j i =⎩⎨⎧≠==)(,,)(),(21x p x p x p n 是线性无关的，因为由0)()()(2211=+++x p c x p c x p c n n用i a 代入，即得n i c a p c a p ci i p i n k i k k ,,2,1,0)()(1 ====∑=.又因V 是n 维的，所以)(,,)(),(21x p x p x p n 是V 的一组基.设),,2,1(n i V L i =∈*是在点i a 的取值函数：.,,2,1.)(,)())((n i V x p a p x p L i i =∈=则线性函数i L 满足.,,2,1,,,,0;,1)())((n j i j i j i a p x p L i j j i =⎩⎨⎧≠=== 因此，n L L L ,,,21 是)(,,)(),(21x p x p x p n 的对偶基.下面讨论V 的两组基的对偶基之间的关系.设V 是数域P 上一个n 维线性空间.n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是V 的两组基.它们的对偶基分别是n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .再设A n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =B f f f g g g n n ),,,(),,,(2121 =其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n b b b b b b b b b B 212222111211 由假设 n i a a a n ni i i i ,,2,1,2211 =+++=εεεη,n j f b f b f b g n nj j j i ,,2,1,2211 =+++=.因此n j i j i j i a b a b a b a a a f b g ninj i j i j n ni i i nk k kj i j ,,2,1,,,0;,1)()(221122111 =⎩⎨⎧≠==+++=+++=∑=εεεη由矩阵乘法定义，即得 E A B ='即1-='A B定理3 设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1)(-'A .设V 是P 上一个线性空间，*V 是其对偶空间，取定V 中一个向量x ，定义*V 的一个函数**x 如下：***∈=V f x f f x ,)()(.根据线性函数的定义，容易检验**x 是*V 上的一个线性函数，因此是*V 的对偶空间****=V V )(中的一个元素.定理 4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射**→x x是一个同构映射.这个定理说明，线性空间V 也可看成*V 的线性函数空间，V 与*V 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.§3 双线性函数定义3 V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf .如果),(βαf 有下列性质：1）),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+;2）),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+,其中2121,,,,,βββααα是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数),(βαf ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.例1 欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.例2 设)(),(21ααf f 都是线性空间V 上的线性函数，则V f f f ∈=βαβαβα,,)()(),(21是V 上的一个双线性函数.例3 设n P 是数域P 上n 维列向量构成的线性空间.n P Y X ∈,再设A 是P 上n 级方阵.令AY X Y X f '=),(, (1)则),(Y X f 是n P 上的一个双线性函数.如果设),,,(,),,,(2121n n y y y Y x x x X ='='，并设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则 ∑∑===n i nj j i ij y x a Y X f 11),(. (2)（1）或（2）实际上是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数),(βαf 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取V 的一组基n εεε,,,21 .设X x x x n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεα =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, Y y y y n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεβ =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 则∑∑∑∑======n i nj j i j i n i n j j j i i y x f y x f f 1111),(),(),(εεεεβα. (3)令n j i f a j i ij ,,2,1,,),( ==εε,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则（3）就成为（1）或（2）. 定义 4 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数. n εεε,,,21 是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f A εεεεεεεεεεεεεεεεεε (4) 叫做),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定V 的一组基n εεε,,,21 后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之，任给数域P 上一个n 级矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 对V 中任意向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =，其中),,,(21n x x x X ='，),,,(21n y y y Y ='用∑∑==='=n i nj j i ij y x a AY X f 11),(βα定义的函数是V 上一个双线性函数.容易计算出),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵就是A .因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基：C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =βα,是V 中两个向量12121),,,(),,,(X X n n ηηηεεεα ==,12121),,,(),,,(Y Y n n ηηηεεεβ ==那么11,CY Y CX X ==如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 下的度量矩阵分别为B A ,，则有1111)()()(),(Y AC C X CY A CX AY X f ''='='=βα.又11),(BY X f '=βα.因此AC C B '=这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义5 设),(βαf 是线性空间V 上一个双线性函数，如果0),(=βαf对任意V ∈β，可推出0=α，f 就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(βαf 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，则对X n ),,,(21εεεα =,Y n ),,,(21εεεβ =，有AY X f '=),(βα如果向量α满足V f ∈∀=ββα,0),(,那么对任意Y 都有0='A Y X因此0='A X而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此易证双线性函数),(βαf 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.定义6 ),(βαf 是线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 上任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f =,则称),(βαf 为对称双线性函数.如果对V 中任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f -=则称),(βαf 为反对称双线性函数.设),(βαf 是线性空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基n εεε,,,21 ，由于),(),(i j j i f f εεεε=故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵是对称的，那么对V 中任意两个向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =都有),(),(αββαf AX Y X A Y AY X f ='=''='=.因此),(βαf 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.定理5 设V 是数域P 上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.如果),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα,),(βαf 有表示式n n n y x d y x d y x d f +++= 222111),(βα.这个表示式也是),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角形的充分条件.推论1 设V 是复数上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(2211n r y x y x y x f r r ≤≤+++= βα.推论2 设V 是实数n 上维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(1111n r p y x y x y x y x f r r p p p p ≤≤≤---++=++ βα.对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.定义7 设V 是数域P 上线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数.当βα=时，V 上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数.给定V 上一组基n εεε,,,21 ，设),(βαf 的度量矩阵为()n n ija A ⨯=.对V 中任意向量∑==n i i i x 1εα有∑∑===n i nj j i ij x x a f 11),(αα. (5)式中j i x x 的系数为ji ij a a +.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为()n n ij a A ⨯= 及()n n ij b B ⨯=只要n j i b b a a ji ij ji ij ,,2,1,, =+=+,那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.定理6 设),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111 --使⎪⎩⎪⎨⎧=∈=≠+===-.,,1,,0),(;0,0),(;,,1,1),(s k V f j i f r i f k j i i i αηαεεεε (6) 从定理5可知，V 上的对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的则有V 的一组基n εεε,,,21 满足⎩⎨⎧≠==≠.,0),(;,,2,1,0),(i j f n i f j i i i εεεε 前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V 的对于),(βαf 的正交基.而从定理6可知，V 上的反对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的，则有V 的一组基r r --εεεε,,,,11 使⎩⎨⎧≠+===-.0,0),(;,,2,1,1),(j i f r i f j i i i εεεε 由于非退化的条件，定理6中的s ηη,,1 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.定义8 设V 是数域P 上的线性空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间.当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为P 上的正交空间；当V 是n 维实线性空间，f 是非退化对称双线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间.有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为),(f V .§4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：1. 辛空间),(f V 中一定能找到一组基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 满足,1,1),(n i f i i ≤≤=-εε0,,,0),(≠+≤≤-=j i n j i n f j i εε.这样的基称为),(f V 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.2．任一n 2级非退化反对称矩阵K 可把一个数域P 上n 2维空间V 化成一个辛空间，且使K 为V 的某基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下的度量矩阵为nn O E E O J 22⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, (1) 故K 合同于J .即任一n 2级非退化反对称矩阵皆合同于J .两个辛空间),(11f V 及),(22f V ，若有1V 到2V 的作为线性空间的同构ℜ，它满足),(),(21Kv Ku f v u f =,则称ℜ是),(11f V 到),(22f V 的辛同构.),(11f V 到),(22f V 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把),(11f V 的一组辛正交基变成),(22f V 的辛正交基.两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间),(f V 到自身的，辛同构称为),(f V 上的辛变换.取定),(f V 的一组辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 ，V 上的一个线性变换ℜ，在该基下的矩阵为K ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A K , 其中D C B A ,,,皆为n n ⨯方阵.则ℜ是辛变换当且仅当J JK K ='，亦即当且仅当下列条件成立：E B C D A B D D B A C C A ='-''=''=',,且易证0||≠K ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.设),(f V 是辛空间，V v u ∈,,满足0),(=v u f ，则称v u ,为辛正交的. W 是V 的子空间，令{}W w w u f V u W ∈∀=∈=⊥,0),(|. (2)⊥W 显然是V 的子空间，称为W 的辛正交补空间.定理7 ),(f V 是辛空间，W 是V 的子空间，则W V W dim dim dim -=⊥.定义9 ),(f V 为辛空间，W 为V 的子空间.若⊥⊂W W ，则称W 为),(f V 的迷向子空间；若⊥=W W ，即W 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若{}0=⊥W W ，则W 称W 为),(f V 的辛了空间.例如，设n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 是),(f V 的辛正交基，则),,,(21k L εεε 是迷向子空间. ),,,(21n L εεε 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间),,,,,,,(2121k k L ---εεεεεε 是辛子空间.对辛空间),(f V 的子空间W U ,.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：(1) W W =⊥⊥)(,(2) ⊥⊥⊂⇒⊂U W W U ,(3) 若U 是辛子空间，则⊥⊕=U U V(4) 若U 是迷向子空间,则V U dim 21dim ≤(5) 若U 是拉格朗日子空间，则V U dim 21dim = 定理8 设L 是辛空间),(f V 的拉格朗日子空间，{}n εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充为),(f V 的辛正交基.推论 设W 是),(f V 的迷向子空间，{}k εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充成),(f V 的辛正交基.对于辛子空间U ，U f |也是非退化的.同样⊥U f |也非退化.由定理7还有⊥⊕=U U V .定理9 辛空间),(f V 的辛子空间)|,(U f U 的一组辛正交基可扩充成),(f V 的辛正交基..定理10 令),(f V 为辛空间，U 和W 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有),(f V 的辛变换把U 变成W .辛空间),(f V 的两个子空间V 及W 之间的（线性）同构ℜ若满足V v W u Kv Ku f v u f ∈∈∀=,,),(),(则称ℜ为V 与W 间的等距.Witt 定理 辛空间),(f V 的两个子空间V ,W 之间若有等距，则此等距可扩充成),(f V 的一个辛变换.下面是辛变换的特征值的一些性质.ℜ是辛空间),(f V 上的辛变换，则ℜ的行列式为1.取定),(f V 的辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 .设ℜ在基下矩阵为K ，这时有J JK K ='.定理11 设ℜ是n 2维辛空间中的辛变换，K 是ℜ在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式||)(K E f -=λλ满足)1()(2λλλf f n =.若设 n n n n a a a a f 21212120)(++++=--λλλλ ,则n i a a i n i ,,1,0,2 ==-.由定理11可知，辛变换ℜ的特征多项式)(λf 的（复）根λ与λ1是同时出现的，且具有相同的重数.它在P 中的特征值也如此.又||K 等于)(λf 的所有（复）根的积，而1||=K .故特征值1-的重数为偶数.又不等于1±的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为1+的重数也为偶数.定理12 设j i λλ,是数域P 上辛空间),(f V 上辛变换ℜ在P 中的特征值，且1≠j i λλ.设iV λ,j V λ分别是V 中对应于特征值i λ及j λ的特征子空间.则j i V v V u λλ∈∈∀,，有0),(=v u f ，即i V λ与j V λ是辛正交的.特别地，当1≠i λ时iV λ是迷向子空间.第十章 双线性函数与辛空间(小结)一、基本概念线性函数；对偶空间。

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证必要性。

采用反证法。

若正惯性指数秩r，则。

即，22222 若令，y，则可得非零解使。

这与所给条件矛盾，故。

充分性。

由，知，222故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证（）可见：。

21）当不全相等时2）当时f。

2故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。

X1。

证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。

令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。

17．A是一个实矩阵，证明：。

证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。

事实上，即证与同解，故。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。

n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。

第10章　双线性函数与辛空间1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．解：可利用定理3．计算由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是a1，a2，a3的对偶基，则即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使f（a）≠0，i＝1，2， (5)证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，V…，s．5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有解出得同样可算出满足由于p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：α*（β）＝（α，β）．（1）证明α*是V上线性函数；（2）证明V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．（2）现在令映射φ为下面逐步证明φ是线性空间的同构．①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．这样（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．于是（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，即有α－β＝0，因此α＝β．②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l n εn 则对所有εi ，∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；（2）定义V *到自身的映射A *为f→fA证明A *是V *上的线性变换（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）证明：（1）α，β∈V，k∈P，有∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．故f A 是V 上线性函数．（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）＝（A *f ＋A *g ）（α）故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））＝k （A *f ）（α），故A *（kf ）＝k （A *f ）．以上证明了A *是V *上的线性变换．（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，a i2，…，a in ），于是即有。