大学数学(高数微积分)第十章线性函数第三节(课堂讲义)

【线性代数】07-线性函数1. 线性函数1.1 k重线性函数 前⾯讨论了纯代数意义上的线性空间，在实际场景中，我们经常需要处理向量的度量。

度量⼀般表现为向量的函数，⽐如⾏列式可以看成是n个⾏（列）向量的函数，矩阵之积的每⼀个元素其实就是⼀个⾏向量和⼀个列向量的函数。

严格来讲，对域F上的线性空间V，映射V\times\cdots\times V\mapsto F（k个V）叫做线性空间V上的k元函数，⼀般记作f(\xi_i,\cdots,\xi_k)。

如果函数在每⼀个变量\xi_i上都满⾜线性等式（1），它也叫V上的k重线性函数。

由定义容易知道，如果选定V的⼀组基，k重线性函数可以由\xi_1,\cdots,\xi_k分别取遍这组基所唯⼀确定。

特别地，n维线性空间上的k重线性函数由n^k个独⽴变量完全确定。

所有k重线性函数可以组成F上的线性空间，严格定义你可以⾃⼰给出。

f(\cdots,\xi_{i-1},k_1\alpha+k_2\beta,\xi_{i+1},\cdots)=k_1f(\cdots,\xi_{i-1},\alpha,\xi_{i+1},\cdots)+k_2f(\cdots,\xi_{i-1},\beta,\xi_{i+1},\cdots)\tag{1} 前⾯举的⾏列式和⾏列向量乘法显然都是线性函数，观察这两个例⼦，我们发现线性函数还有⼀个性质可以继续讨论，那就是变量\xi_i,\xi_j位置的交换对函数值的影响。

当然我们只讨论最典型的情况，对任何向量，式（2）恒成⽴的函数叫对称线性函数，⽽式（3）恒成⽴的叫反对称线性函数，这两种情况都是⽐较常见的。

容易证明，对称线性函数变量的顺序可以随意改变，⽽不影响函数的值。

f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{2}f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=-f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{3} 反线性函数中，若\xi_i=\xi_j，则有f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=0，继⽽将某个变量的倍数加到另⼀个变量后，函数的值不变。

线性关系和函数大班数学教案一、引言在数学教学中，线性关系和函数是基础的概念，对学生的数学素养和逻辑思维的培养具有重要意义。

本教案以大班数学教学为背景，旨在通过引入线性关系和函数的概念，帮助学生理解数学中的抽象概念，并应用于实际问题中。

二、教学目标1. 知识目标：理解线性关系和函数的概念，掌握线性关系的图象特征及表示方法，了解函数的基本概念和性质。

2. 能力目标：能够分析和解决与线性关系和函数有关的问题，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

3. 情感目标：培养学生的数学兴趣，增强学生对数学的自信心。

三、教学准备1. 教学材料：教科书、练习册、纸张和铅笔等。

2. 教学环境：黑板、投影仪等。

四、教学过程1. 导入（5分钟）老师通过举例子引导学生思考线性关系和函数的概念，并与学生进行互动讨论。

例如：“你们知道什么是线性关系和函数吗？能给我举个例子吗？”2. 理论讲解（15分钟）老师通过投影仪展示线性关系和函数的定义和性质，并对其进行具体解释和说明。

同时，引导学生体会线性关系和函数的图象特征，如直线和曲线等。

3. 案例分析（20分钟）老师选取一些实际问题，如物品价格和数量的关系、速度和时间的关系等，通过图象和表格的方式展示线性关系和函数，并与学生一起分析解决问题的思路和方法。

4. 拓展练习（30分钟）老师给学生分发练习册，让学生自主完成一些线性关系和函数的练习题，以巩固所学知识，并提高解决问题的能力。

5. 总结归纳（10分钟）老师引导学生回顾本节课所学内容，总结线性关系和函数的基本概念和性质，并与学生共同制定复习计划，为下一节课的学习打下基础。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对线性关系和函数的概念有了初步的了解，能够从图象和表格中找出规律，并运用所学知识解决问题。

但是，部分学生对于抽象概念的理解仍然有困难，需要加强巩固练习的机会。

在下次教学中，需要注重通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，并以更加形象生动的方式展示概念，提高学生的学习效果。

第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1。

1。

1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。

幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。

例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(—∞ ,+∞);当m = 1/2时,y=x1/2的定义域是［0,+∞）；当m = -1/2时,y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。

但不论m 取什么值，幂函数在(0，+∞）内总有定义。

最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1.1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是区间(—∞ ，+∞)。

因为对于任何实数值x,总有a x >0,又a0=1,所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0，1)。

若a〉1,指数函数a x是单调增加的。

若0〈a〈1，指数函数a x是单调减少的。

由于y=（1/a)—x=a—x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的(图1—21)。

[如图]2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0,a≠1），叫做对数函数。

它的定义域是区间(0,+∞).对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1—22）。

y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点（1，0)。

若a>1，对数函数log a x是单调增加的,在开区间（0，1)内函数值为负,而在区间（1，+∞)内函数值为正。

若0〈a〈1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间（1，+∞)内函数值为负。

[如图]1。

1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数,它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[-1，1］。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。

2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。