双线性函数

一、 非退化双线性函数定义6 设f 是线性空间V 上的双线性函数，如果它在某组基下的度量矩阵A 是可逆矩阵，则称f 是非退化的双线性函数，否则称为退化的双线性函数。

例6 设f 是V 上双线性函数，那么f 是非退化的双线性函数的充分必要条件是：如果存在向量β，使得,V ∈∀α0),(=βαf 时必有.0=β证 设n εεε,,,21 是V 的基，f 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵为.A ,),,,(,),,,(2121B X n n εεεβεεεα ==则.),(AB X f '=βα )(⇒ 若f 是非退化的双线性函数，则A 是可逆矩阵，并且假定存在向量,2211n n b b b εεεβ+++= ,V ∈∀α.0),(=βαf分别取n εεεα,,,21 =，则有.0),(=βεi f 于是有0),(),(),(100010001212121222211121121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛βεβεβεnn nn n n n n n f f f b b b a a a a a a a a a b b b A因为A 是可逆矩阵，所以.0,021=====βn b b b)(⇐ 假定存在向量,2211n n b b b εεεβ+++= 使得,V ∈∀α 0),(=βαf ，且可推出.0=β分别取n εεεα,,,21 =，有.0),(=βεi f 于是.0,0),(),(),(212121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn b b b f f f b b b A βεβεβε 即0=AX 只有零解，所以矩阵A 可逆。

例7 设),,,,(),,,,(,432143214y y y y x x x x P V ===βα,),(44332211y x y x y x y x f -++=βα1）证明f 是V 上双线性函数； 2）求f 在基)1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321====εεεε下的度量矩阵；3）求f 在基)3,1,6,6(),1,2,3,5(),0,1,3,0(),1,1,1,2(4321===-=ηηηη下的度量矩阵；4）证明f 是非退化双线性函数； 5）求一个向量,0≠α使.0),(=ααf 证 1） f 是V V ⨯到P 的映射。

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

欧氏空间与双线性函数基本概念1. 欧几里得空间设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：（1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，);（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);（4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。

这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。

2. 酉空间设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：（1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，);（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);（4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。

这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。

3. 向量的长度非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。

4. 向量的夹角非零向量βα，的夹角βα，规定为βα，=arccosβαβα），（, 0≤ βα，≤π5. 向量正交如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。

6. 基的度量矩阵，，21εε.n ε，⋅⋅⋅是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，，⋅⋅⋅=2,1,,称()nn ij A α=为基n εεε，，，⋅⋅⋅21的度量矩阵。

7. 正交向量组欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

8. 正交基、标准正交基在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

9. 正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T=。

n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果EA A T=。

10. 欧氏空间同构实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足（1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k =（3 ）；，（））（），（（βαβσασ=这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。

第十章 双线性函数一 内容概述 1 线性函数ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα，V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。

并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。

3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01，则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。

称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。

定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。

如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。

第九章 双线性函数本章从线性函数入手，推行欧氏空间的假设干性质到一样数域F 上向量空间上，即双线性函数的概念，然后介绍正交空间、辛空间的一些大体结论． §1 线性函数概念1设V 是数域F 上的一个向量空间．σ是V 到F 的映射，若是 1) ,,()()()V αβσαβσασβ∀∈+=+， 2) ,,()()V k F k k ασασα∀∈∀∈=， 那么说σ是V 上的一个线性函数，由概念能够看出线性函数确实是V 到F 的线性映射。

因此关于线性映射的大体结果关于线性函数也成立。

线性函数是十分重要的函数类，在数学的多个分支和一些实际问题中都要用到它．下面看几个例子．例1 给定F 中的n 个元素12,,,n a a a , (12,n n x x F ∈,x ,)，规定121122(,,,)n n n f x x x a x a x a x =+++容易验证f 维持加法与纯量乘法两种运算．因此f 是n F 上的一个线性函数．例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=对应F 中的一个元素1nii i a =∑,而且有 ()()()Tr A B Tr A Tr B +=+，()()Tr kA kTr A = ．因此矩阵的迹是()n M F 上的一个线性函数．例3 定积分使每一个持续函数()f x 对应一个实数()baf x dx ⎰,并且知足(()())()()(())()b b b b baaaaaf xg x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx +=+=⎰⎰⎰⎰⎰，．因此定积分是[,]C a b 上的一个线性函数． 注意，在数学分析中把形如1211(,,,)n g x x x a x =++ n n a x b +的n元函数g 叫做线性函数．假设b ≠0，那么g 不维持加法运算，也不维持纯量乘法运算，从而g 不是概念1意义上的线性函数．因此，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．咱们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基12,,,n ααα．由于f 能够看成是向量空间V 到向量空间F 的一个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基12,,,n ααα上的作用所决定．即只要明白12(),(),,()n f f f ααα，就能够够明白V 中任一贯量1n i i i x βα==∑在f 作用下的象1()()n i i i f x f βα==∑.定理1 设V 是F 上一个n 维向量空间，12,,,n ααα是V 的一个基，12,,,n b b b 是F 中任意取定的n 个数，那么存在V 上唯一的线性函数f ，使得 ()i i f b α=，1,2,,i n =证明 对 1122n n x x x V βααα=+++∈，12,,,n b b b F ∈:f V F →1122n n x b x b x b β+++是一个线性函数，且知足()i i f b α=，1,2,,i n =；假设还有线性函数g ，且知足()i i g b α=，1,2,,i n =，那么V β∀∈，111()()()()nnni i i i i i i i i g x g x b x f f βααβ=======∑∑∑§2 双线性函数概念1 设V 是数域F 上一个向量空间，f 是V V ⨯到F 的一个二元函数，.若是,,,V k F αβγ∀∈∀∈，知足：1) (,)(,)(,)f f f αβγαβαγ+=+; 2) (,)(,)(,)f f f αβγαγβγ+=+; 3) (,)(,)(,)f k f k kf αβαβαβ== 那么称(,)f αβ为V 上的一个双线性函数.若是,V αβ∀∈,双线性函数f 还知足 4) (,)(,)f f αββα=那么称(,)f αβ为V 上的一个对称双线性函数。