十双线性函数与正交空间,辛空间

高等代数教学大纲(Higher Algebra)前言教学大纲是一门课程的指导性文件．教学大纲的科学化、规范化，对建设良好的教学秩序，提高教学质量，搞好教学管理等方面都有很重要的意义．为此，我们根据学校有关文件，编写了《高等代数》这门课程的教学大纲．《高等代数》这门课程是数学系各专业的必修专业基础课程之一，可为后继课程的学习打下必要的基础．它是数学系各专业硕士研究生入学考试的必考课程．它除培养学生掌握必要的基础知识之外，同时着重训练学生掌握数学结构的观念、公理化的方法、纯形式化的思维，从而在知识结构、综合素质、创新能力等方面对学生加以全面培养和整体提高．本课程的基本内容有: 包括：多项式，行列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线λ矩阵，欧几里得内积空间，双线性函数和辛空间．重点是下列几章：多项式，行性变换, -列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线性变换,欧几里得内积空间.通过本课程的学习，学生能正确理解矩阵、行列式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等有关概念, 能理解并掌握线性方程组理论和多项式的理论，并能熟练地应用它们，为后续课程的学习打下坚实的基础．本课程作为基础课，对其它课程依赖不大，当然，如果在学完《空间解析几何》之后开设效果会更好．本课程作为基础课，应在大学低年级学生中开设，建议对本科一年级学生开设．本课程为一学年课程．教材: 《高等代数学》（第三版）北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组, 高等教育出版社，2003年。

参考书:《线性代数》吴赣昌主编，中国人民大学出版社，2006年《高等代数学》姚慕生编, 复旦大学出版社，1999《高等代数新方法》王品超主编，山东教育出版社，1989年《高等代数学》（第二版）张贤科主编，清华大学出版社，2002年《Linear Algebra》S.K.Jain, A.D.Gunawardena，机械工业出版社，2003年建议学时分配课程内容第一章多项式[教学目的与要求]通过本章学习，实现如下目的：(1)理解整除、最大公因式、互素、多项式的不可约性、重因式、本原多项式等概念；(2)熟练掌握整除的性质；(3)熟练掌握最大公因式的求法；(4)熟练掌握有无重因式的判别方法；(5)熟练掌握整系数多项式的有理根的求法；(6)熟练掌握整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦判别法；(7)掌握复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用；(8)掌握韦达定理和多元多项式的基本性质．[教学重点]整除的性质、最大公因式的求法、有无重因式的判别方法、整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法；复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用.[教学难点]整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法.[教学内容]§1.1. 数域数域的定义和例子§1.2. 一元多项式一、一元多项式的定义二、一元多项式的运算和运算律§1.3. 整除的概念一、带余除法二、整除的定义和几个常用的性质§1.4. 最大公因式一、最大公因式的定义和求法二、互素§1.5. 因式分解定理一、不可约多项式的定义和简单性质二、因式分解唯一性定理§1.6. 重因式重因式的定义和性质§1.7. 多项式函数一、余数定理二、多项式的根或零点§1.8. 复系数与实系数多项式的因式分解一、复系数多项式的因式分解定理 二、实系数多项式的因式分解定理§1.9. 有理系数多项式一、本原多项式的定义和高斯引理 二、整系数多项式的有理根的求法 三、爱森斯坦判别法§1.10. 多元多项式多元多项式的定义及其次数§1.11. 对称多项式一、初等对称多项式二、对称多项式基本定理思考题1． 证明：多项式)(x f 整除任意多项式的充要条件是)(x f 是零次多项式．2． 设b a ,为两个不相等的常数．证明：多项式)(x f 被))((b x a x --除所得的余式为ba b bf a af x b a b f a f --+--)()()()(3． 证明：1|1--n d x x 当且仅当n d |．4． 设k 为正整数．证明：)(|x f x k 当且仅当)(|x f x ．5． 已知242)(234---+=x x x x x f ，22)(234---+=x x x x x g ，求)(),(x v x u 使))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+． 6． 证明：如果)(|)(x f x d ，)(|)(x g x d ，且)()()()()(x g x v x f x u x d +=，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式．7． 证明：如果1))(),((=x g x f ，1))(),((=x h x f ，则1))()(),((=x h x g x f ． 8． 证明：如果1))(),((=x g x f ，则1))(),((=mmx g x f ． 9． 若1))(),((21=x f x f ，则对任意的)(x g ，))(),(())(),(())(),()((2121x g x f x g x f x g x f x f =．１０．判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式，并确定重数（１）1)(24++=x x x f（２）277251815)(2346+-++-=x x x x x x f１１．设)(x p 是)(x f '的k 重因式，能否说)(x p 是)(x f 的1+k 重因式，为什么？１２．设n 为正整数，证明：如果)(|)(x g x f nn ，则)(|)(x g x f ．１３．设)(x p 为数域P 上的不可约多项式，)(x f 与)(x g 为数域P 上的多项式．证明：如果)()(|)(x g x f x p +，且)()(|)(x g x f x p ，则)(|)(x f x p ，且)(|)(x g x p ．１４．设)(x f 为数域P 上的n 次多项式，证明：如果)(|)(x f x f '，则nb x a x f )()(-=，其中P b a ∈,．１５．求多项式92)(24++=x x x f 与944)(234-+-=x x x x g 的公共根．１６．求多项式61510)(25-+-=x x x x f 的所有根，并确定重数．第二章 行列式[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （1） 理解行列式的概念；（2） 能熟练应用行列式的性质和展开定理计算行列式； （3） 会用Cramer 法则求解线性方程组． [教学重点]行列式的计算、Cramer 法则. [教学难点] 行列式的定义 [教学内容]§2.1. 引言二阶、三阶行列式与线性方程组的解§2.2. 排列一、排列及排列逆序数的定义 二、奇偶排列§2.3. n 阶行列式 n 阶行列式的定义§2.4. n 阶行列式的性质 n 阶行列式的性质及其推论§2.5. 行列式的计算n 阶行列式的计算§2.6. 行列式按一行一列展开一、n 阶行列式按一行一列展开定理 二、范德蒙（Vandermonde ）行列式§2.7. 克拉默（Cramer ）法则 克拉默（Cramer ）法则§2.8. 拉普拉斯（Laplace ）定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯（Laplace ）定理 二、行列式的乘法规则思考题１． 求下列排列的逆序数：（１）)2(24)12(13n n -； （２）21)1( -n n ． ２． 写出四阶行列式中含有因子4123a a 的项，并指出应带的符号． ３．用行列式的定义计算下列行列式：（１）00001002001000nn -； （２）000000053524342353433323125242322211312a a a a a a a a a a a a a a a a ． ４．用行列式的性质及行列式的展开定理计算下列行列式：（１）xa a a a x a a a a x a a a a xn nn321212121； （２）na a a +++11111111121，其中021≠n a a a（３）12125431432321-n n n； （４）221222212121211nn n n n na x a a a a a a a x a a a a a a a x +++其中021≠n x x x ．（５）x a a a a a x x x n n n +-----122110000010001；（６）nnn n n nn n nna a a a a a a a a a a a21222212222121111---５． 已知４阶行列式D 中的第１行上的元素分别为4,0,2,1-，其余子式分别为1,5,2,1--；第３行上元素的余子式分别为x ,7,1,6-；求行列式D 的值，及x 的值．６．设４阶行列式1234302186427531中第４行元素的余子式分别为44434241,,,M M M M ，代数余子式分别为44434241,,,A A A A ，求44434241432A A A A +++，44434241432M M M M +++．７． 设４阶行列式2211765144334321中第４行元素的代数余子式分别为44434241,,,A A A A ，求4241A A +与4443A A +．８． 设行列式nn0010301002112531-中第１行元素的代数余子式分别为n A A A 11211,,, ，求n A A A 11211+++ ．第三章 线性方程组[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1） 掌握向量的线性表示、线性相关性的判别法； （2） 掌握极大无关组的求法； （3） 掌握矩阵秩的求法；（4） 掌握线性方程组解情况的判定方法； （5） 掌握齐次线性方程组的基础解系的求法； （6） 掌握非齐次线性方程组解结构定理[教学重点] 向量的线性表示、线性相关性、极大无关组、向量组的秩、矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系.[教学难点] 极大无关组、矩阵的秩.[教学内容]§3.1. 消元法消元法§3.2. n 维向量空间n 维向量及其运算§3.3. 线性相关性一、线性表示二、向量组的线性相关性 三、向量组的极大无关组、秩§3.4. 矩阵的秩矩阵的行秩、列秩、秩§3.5. 线性方程组有解判定定理线性方程组有解判定定理§3.6. 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组的解结构 二、非齐次线性方程组的解结构§3.7. 二元高次方程组二元高次方程组可作为选学内容.思考题１．设)1,1,1(1λα+=，)1,1,1(2λα+=，)1,1,1(3λα+=，),,0(2λλβ=．问当λ为何值时（１）β不能由321,,ααα线性表出？（２）β可由321,,ααα线性表出，并且表示法唯一？（３）β可由321,,ααα线性表出，并且表示法不唯一？ ２．设)1,2,(1a =α，)0,,2(2a =α，)1,1,1(3-=α，问a 为何值时321,,ααα线性相关？３． 求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量表为该极大无关组的线性组合．（１）)5,2,1(1-=α，)1,2,3(2-=α，)17,10,3(3-=α；（２）)4,0,1,1(1-=α，)6,5,1,2(2=α，)0,2,1,1(3--=α，)14,7,0,3(4=α． ４．已知21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，21,αα是其导出组0=Ax 的基础解系，21,k k 是任意常数，则b Ax =的通解是（ ）．（Ａ）2)(2121211ββααα-+++k k ； （Ｂ）2)(2121211ββααα++-+k k ；（Ｃ）2)(2121211ββββα-+-+k k ； （Ｄ）2)(2121211ββββα++-+k k ．５．设A 为秩为３的45⨯矩阵，321,,ααα是非齐次线性方程组b Ax =的三个不同的解，若)0,0,0,2(2321=++ααα，)8,6,4,2(321=+αα，求方程组b Ax =的通解． ６．设b Ax =为４元线性方程组，其系数矩阵A 的秩为３，又321,,ααα是b Ax =的三个解，且)0,2,0,2(1=α，)0,2,2,0(32=+αα，求方程组b Ax =的通解．７．已知β是非齐次线性方程组b Ax =的解，s ααα,,,21 是其导出组0=Ax 的基础解系，证明s αβαβαββ+++,,,,21 是b Ax =解向量组的极大无关组．８．线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132k x x x x x x k x x x x x x x x x x ，当21,k k 取何值时，无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其全部解．第四章 矩阵[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：(1) 能熟练地进行矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置、求逆等)； (2) 能熟练掌握矩阵的初等变换，理解初等变换和初等矩阵的关系； (3) 能掌握各种求逆矩阵的方法； (4) 会应用分块乘法的初等变换. [教学重点]矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置、求逆等)；矩阵的初等变换; 初等变换求逆法；分块乘法的初等变换.[教学难点] 分块乘法的初等变换 [教学内容]§2.1. 矩阵的概念的一些背景矩阵的概念§2.2. 矩阵的运算一、矩阵的加法、减法 二、矩阵的乘法三、数与矩阵的乘法 四、矩阵的转置§2.3. 矩阵乘积的行列式与秩一、矩阵乘积的行列式 二、矩阵乘积的秩§2.4. 矩阵的逆一、矩阵可逆的定义 二、伴随矩阵求逆法§2.5. 矩阵的分块一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算三、几种分块矩阵的逆矩阵§2.6. 初等矩阵一、初等矩阵及其性质 二、初等变换求逆法§2.7. 分块乘法的初等变换及应用举例一、分块乘法的初等变换二、分块乘法的初等变换应用举例思考题１． 举例说明下列命题是错误的：（１） 若02=A ，则0=A ；（２） 若A A =2，则0=A 或E A =；（３） 若E A =2，则E A =或E A -=； （４） 若AY AX =，且0≠A ，则Y X =． ２． 证明（１）2222)(B AB A B A +±=±成立当且仅当BA AB =； （２）22))((B A B A B A -=-+成立当且仅当BA AB =． ３．已知n n ij a A ⨯=)(为n 阶方阵，写出：（１）2A 的k 行l 列元素； （２）TAA 的k 行l 列元素； （３）A A T的k 行l 列元素． ４． 已知)3,2,1(=α，)31,21,1(=β．设矩阵βαT A =，求n A ． ５． 证明：对任意的n m ⨯矩阵A ，T AA 和A A T都是对称矩阵．６． 设A 是n 阶方阵，且E AA T=，1||=A ，求||n E A -．７．已知A 为三阶方阵，且21||=A ，求|2)3(|*1A A --．８．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100021201A ，求1*])[(-T A ．９．（１）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130113A ，矩阵B 满足B A AB 2+=，求B ；（２）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵B 满足B A E AB +=+2，求B ；（３）已知)1,2,1(-=diag A ，矩阵B 满足E BA BA A 82*-=，求B ． １０．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A ．１１．（１）证明)()()(B r A r B A r +≤+；（２）若n 阶矩阵B A ,满足0=AB ，证明n B r A r ≤+)()(；（３）若n 阶矩阵A 满足A A =2，证明n E A r A r =-+)()(；（４）若n 阶矩阵A 满足E A =2，证明n E A r E A r =-++)()(． １２．（１）B A ,为两个n 阶方阵，证明||||B A B A AB BA -⋅+=； （２）B A ,分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明||||BA E AB E E AB E m n nm -=-=．第五章 二次型[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）掌握用非退化线性替换把二次型化成标准形和规范形的方法； （2）会判断二次型的正定性.[教学重点] 二次型化标准形和规范形的方法；惯性定理；二次型的正定性. [教学难点] 惯性定理 [教学内容]§5.1. 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示 二、矩阵的合同§5.2. 标准形化二次型为标准形的配方法§5.3. 唯一性一、复二次型的规范形二、实二次型的规范形、惯性定理§5.4. 正定二次型一、正定二次型的概念和判定方法二、半正定二次型简介思考题１．写出下列二次型AX X '的矩阵，其中 （１）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=205213111A ； （２）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ２． 设二次型32212221442x x x x x x f --+=，分别作下列可逆线性变换，求新二次型的矩阵，（１）Y X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211； （２）Y X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2101101121．３．分别用配方法和初等变换法化下列二次型为标准形，并写出所作的非退化线性替换（１）2332223121214322x x x x x x x x x f +++++=； （２）323121622x x x x x x f -+=．４． 分别在实数域和复数域上将３题中的两个二次型进一步化成规范型，并写出所作的非退化线性替换．５． 证明：秩等于ｒ的对称矩阵可以表示成ｒ个秩等于１的对称矩阵之和． ６． 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于２和符号差等于０，或者秩等于１． ７． t 取什么值时，下列二次型是正定的：（１）3231212222214223x x x x x tx x x x f +-+++=； （２）32312123222161024x x x x x tx x x x f +++++=．８． 证明：如果A 正定，则1-A 和*A 也都正定．９．已知m 阶实对称矩阵A 正定，B 是n m ⨯矩阵，证明：AB B T正定的充要条件是n B r =)(．１０． 已知A 为实矩阵，证明：)()(A r A A r ='．第六章 线性空间[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）能熟练地判断所给非空集合在指定的运算下能否构成线性空间； （2）会判断所给非空子集能否构成子空间； （3）会判断子空间之间的和是否为直和； （4）会判断两个线性空间的同构；（5）能熟练掌握线性空间基和维数的求法；（6）能熟练求向量在基下的坐标、基到基的过渡矩阵； （7）能熟练地求和空间的维数；（7）能熟练地应用维数公式求交空间的基与维数.[教学重点] 线性空间的定义、子空间的直和、维数公式、线性空间的同构. [教学难点] 线性空间的定义 [教学内容]§6.1. 集合 映射一、集合的概念和运算二、映射的概念、映射的乘法、逆映射§6.2. 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质§6.3. 维数 基与坐标一、线性表示、线性相关和线性无关、向量组的等价 二、线性空间的基、维数，向量的坐标§6.4. 基变换与坐标变换一、基到基的过渡矩阵 二、坐标变换公式§6.5. 线性子空间一、线性子空间的定义二、线性子空间的维数和基§6.6. 子空间的交与和一、子空间的交 二、子空间的和§6.7. 子空间的直和一、两个子空间的直和 二、多个子空间的直和§6.8. 线性空间的同构一、线性空间同构的定义 二、同构映射的性质思考题1．检验下列集合对于所规定的运算是否构成给定数域上的线性空间：（１） 数域P 上的对角线元素的和为零的所有n 阶方阵所成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法；（２） 设},|2{Q b a b a V ∈+=，Q 为有理数域，对于通常数的加法和乘法； （３） 设},|),{(R b a b a V ∈=，R 为实数域，定义加法和数乘如下：),(),(),(21212211b b a a b a b a +=+， ),(),(kb ka b a k = )(R k ∈．（４） 按照通常的数的运算，实数域R 是否构成实数域R 上的线性空间？是否构成复数域C 上的线性空间？（５） 按照通常的数的运算，复数域C 是否构成实数域R 上的线性空间？是否构成复数域C 上的线性空间？ （６） +R 是全体正实数组成的集合，定义加法和数乘如下：ab b a =⊕， k a a k =⋅，这里+∈R b a ,，R k ∈．２．证明：在数域P 上的线性空间V 中，成立以下运算律：（１）βαβαk k k -=-)(；（２）αααl k l k -=-)(．这里P l k ∈,，V ∈βα,．３．实数域R 按照通常的乘法构成实数域R 上的线性空间．全体正实数集合+R 对１（６）题中定义的加法和数乘也构成实数域R 上的线性空间，能否据此说明+R 是线性空间R 的一个子空间？+R 是线性空间R 的子空间吗？４． 设)1,2,1(1-=α，)3,1,0(2-=α，)0,1,1(3-=α；)5,1,2(1=β，)1,3,2(2-=β，)2,3,1(3=β，（１） 证明：321,,ααα和321,,βββ都是3R 的基； （２） 求321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵； （３） 求向量)1,4,1(=α在两组基下的坐标．５． 在线性空间nR 中，判断下列哪些子集是子空间，（１）},|),0,,0,{(11R a a a a n n ∈ ；（２）}0|),,,{(121=∑=ni in aa a a ；（３）}1|),,,{(121=∑=ni in aa a a ；（４）},,2,1,|),,,{(21n i Z a a a a i n =∈．６． 举例说明线性空间的两个子空间的并一般不是子空间．两个子空间的并仍是子空间的充要条件是什么？７． 设线性空间V 含有非零向量，21,V V 是V 的任意两个真子空间，证明：V V V ≠⋃21． ８．在线性空间3][x P 中，求向量组21-=x α，x 22=α，x -=13α，24x =α 的一个极大无关组．９． 判断正误，并说明理由．（１）V 是n 维向量空间，V r ∈αα,,1 ，则r αα,,1 是子空间),,(1r L αα 的一组基；（２）n 个向量n αα,,1 是n 维向量空间V 的一组生成元，则n αα,,1 一定是V 的一组基；（３）向量空间V 的维数等于V 的任一生成组所含向量的个数； （４）任一向量空间都有基； （５）若向量空间V 的每一个向量都可以由n αα,,1 唯一的线性表示，则n αα,,1 是V 的一组基；（６）若s αα,,1 与t ββ,,1 的极大无关组分别是r i i αα,,1 与p j j ββ,,1 ，则),,(),,(11t s L L ββαα +的一组基为r i i αα,,1 p j j ββ,,1 ．１０． 下列向量组是否为3][x P 的基：（１）}22,,1,1{2322++++++x x x x x x x ； （２）},22,1,1{322x x x x x -+--． １１．求下列子空间的维数：（１）3))4,2,5(),2,4,1(),1,3,2((R L ⊆--； （２）][),1,1(22x P x x x x L ⊆---；（３）],[),,(32b a C e e e L x xx⊆，],[b a C 表示区间],[b a 上的全体连续函数空间．１２．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ，求33⨯P 中所有与A 可交换的矩阵组成的子空间的维数和一组基．１３．令},|{1A A P A A V n n ='∈=⨯，},|{2A A P A A V n n -='∈=⨯，证明21V V P n n ⊕=⨯． １４．设n αα,,1 是P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是P 上的一个s n ⨯矩阵，令A n s ),,(),,(11ααββ =，证明：)(),,(dim 1A r L s =ββ ． １５．证明：线性空间][x P 可以和它的真子空间同构．第七章 线性变换[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （１） 能熟练掌握线性变换的运算； （２） 能理解线性变换与矩阵的关系；（３） 能熟练地求线性变换的特征值与特征向量；（４） 理解哈密尔顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理； （５） 能熟练地将矩阵对角化；（６） 能熟练地求出线性变换的值域与核； （７） 了解若尔当标准形理论.[教学重点] 线性变换与矩阵的关系；线性变换的特征值与特征向量；线性变换的值域与核；矩阵对角化.[教学难点] 矩阵的对角化 [教学内容]§7.1. 线性变换的定义一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质§7.2. 线性变换的运算一、线性变换的乘法 二、线性变换的加法三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆§7.3. 线性变换的矩阵一、线性变换的矩阵 二、矩阵的相似§7.4. 特征值与特征向量一、线性变换特征值与特征向量的概念 二、线性变换特征值与特征向量的求法 三、哈密顿-凯莱定理§7.5. 对角矩阵一、特征向量的性质二、线性变换的矩阵可以是对角矩阵的条件§7.6. 线性变换的值域与核一、线性变换的值域 二、线性变换的核§7.7. 不变子空间一、不变子空间二、不变子空间与线性变换矩阵的化简§7.8. 若尔当（Jordan ）标准形介绍若尔当标准形介绍§7.9. 最小多项式最小多项式概念和性质思考题１．线性空间V 到V 的同构映射称为线性空间V 的自同构．线性空间V 的线性变换和它的自同构有什么异同？２．A 是线性空间V 的线性变换，s αα,,1 是V 中一组线性无关的向量，问)(,),(1s ααA A 是否仍线性无关？试举例说明． ３．设A 是n 维线性空间V 的线性变换，证明：（１）A 是线性空间V 的自同构当且仅当A 把线性无关的向量组变成线性无关的向量组；（２）A 把线性空间V 中某一组线性无关的向量变成一组线性相关的向量的充要条件是A 把V 中某个非零向量变成零向量，即}0{)0(1≠-A ；（３）A 是线性空间V 的自同构当且仅当}0{)0(1=-A ．４．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A ，定义4P 的变换为：ξξA =A ，4P∈ξ，证明A 为4P 的线性变换，并求A 的核和象空间以及它们的维数．５．为什么线性变换的问题可以转化为相应的矩阵的问题去研究？)(V L 与nn P ⨯有什么关系？求出线性空间)(V L 的维数．６．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，求22⨯P 的如下线性变换A 在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00102ε，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10004ε下的矩阵． （１）AX X =)(A ； （２）XA X =)(A ．７．在3R 中，试求关于基)0,0,1(1=ε，)0,1,1(2=ε，)1,1,1(3=ε的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221101211A 的线性变换．８．设三维线性空间线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6788152051115A ，求A 在基321,,βββ下的矩阵，其中321132αααβ++=，321243αααβ++=，321322αααβ++=．若3212αααξ-+=，求)(ξA 在基321,,βββ下的坐标．９．设三维线性空间线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ， 求（１）A 在基123,,ααα下的矩阵；（２）A 在基321,,αααk 下的矩阵；)0(≠k （３）A 在基3221,,αααα+下的矩阵．１０．四维线性空间V 的线性变换A 在基4321,,,αααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3707011311013412A ，求：（１）A 的值域； （２）A 的核；（３）在A 的值域中选一组基，把它扩充成线性空间V 的基； （４）在A 的核中选一组基，把它扩充成线性空间V 的基．１１．若矩阵A 与B 相似，证明：（１） 若A 与B 可逆，则1-A 与1-B 相似； （２） 对任意的常数k ，kA 与kB 相似；（３） 对任意的正整数m ，mA 与mB 相似；（４） 对于任意多项式)(x f ，)(A f 与)(B f 相似．１２．若矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00相似． １３．取定矩阵n n P A ⨯∈．对于任意的nn P X ⨯∈，定义变换A 为XA AX X -=)(A ，（１） 证明A 为线性空间nn P ⨯的线性变换；（２） 若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A λλλ00000021，求线性变换A 在基},1|{n j i E ij ≤≤下的矩阵． １４．在线性空间3P 中，定义线性变换A 为),,(),,(312321x x x x x x =A ．令}2,1,|)0,,{(21=∈=i P x x x S i ，则S 是3P 的一个子空间，试问S 是否为线性变换A 的不变子空间．１５．V 为数域P 上的一个线性空间，A 为V 的一个线性变换，][)(x P x f ∈，如果S 为线性变换A 的不变子空间，则S 线性变换)(A f 的不变子空间．１６．若S 为线性空间V 的线性变换A 和B 的不变子空间，则S 也是B A +和AB 的不变子空间．１７．若21,S S 为线性空间V 的线性变换A 的不变子空间，则21S S ⋂，21S S +也是A 的不变子空间． １８．若S 为线性空间V 的线性变换A 的不变子空间，当线性变换A 可逆时，则S 也是1-A的不变子空间． １９．若A 是线性空间V 的线性变换，且满足A A=2，证明：（１）}|)({)0(1V ∈-=-ξξξA A； （２）)Im()0(1A A ⊕=-V ．２０．n 阶矩阵A 和B 相似时，它们有相同的特征多项式．反过来对吗？即n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式时，哪它们相似吗？试举例说明．２１．A 是线性空间V 的线性变换，证明A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都非零． ２２．证明线性变换A 的一个特征向量不能同时属于两个不同的特征值．２３．证明：对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 0021 相似的充分必要条件是n b b b ,,,21 是n a a a ,,,21 的一个排列．２４．设A 是复数域C 上的一个n 阶矩阵，n λλλ,,,21 是A 的全部特征值（按重数计算），证明：（１）如果][)(x C x f ∈是次数大于０的多项式，则)(,),(),(21n f f f λλλ 是)(A f 的全部特征值；（２）如果A 可逆，则n λλλ,,,21 全部不等于零； （３）如果A 可逆，则nλλλ1,,1,121 为1-A 的全部特征值．２５．设三维线性空间V 的线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A ， 求：（１）A 的特征值和特征向量；（２）是否存在V 的基321,,βββ使得线性变换A 在其下的矩阵为对角形．若这样的基321,,βββ存在，试写出由基321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵T ．以及A 在321,,βββ下的矩阵；（３）计算AT T 1-．第八章 -λ矩阵[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （1）会求-λ矩阵的标准形 （2）会求-λ矩阵的行列式因子（3）会求矩阵A 的初等因子，并能写出A 若尔当标准形 （4）会求矩阵A 的有理标准形[教学重点] 矩阵A 的初等因子，矩阵的A 若尔当标准形 [教学难点] 矩阵相似的条件 [教学内容]§8.1. -λ矩阵一、-λ矩阵的秩 二、-λ矩阵的可逆§8.2. -λ矩阵在初等变换下的标准形一、-λ矩阵的初等变换 二、-λ矩阵的标准形§8.3. 不变因子一、-λ矩阵的行列式因子 二、-λ矩阵的不变因子§8.4. 相似矩阵的条件两个矩阵相似的充要条件§8.5. 初等因子一、初等因子的概念 二、初等因子的求法§8.6. 若尔当（Jordan ）标准形理论推导一、若尔当矩阵的概念二、矩阵的若尔当标准形的求法§8.7. 矩阵的有理标准形一、有理形矩阵的概念 二、有理标准形的求法思考题１．求下列矩阵的初等因子、不变因子、行列式因子，并写出若当标准形．（１）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222333111， （２）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0167121700140013， （３）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10021*********1． ２． 已知nn P A ⨯∈，证明A 与A '相似．３． 设复矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102002c b a A ，（１）求出A 的一切可能的若当标准形；（２）给出A 可对角化的条件．第九章 欧几里得空间[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（１） 掌握求标准正交基的施密特（Schmidt ）正交化方法；（２） 会判断两个欧氏空间的同构； （３） 理解正交变换与正交矩阵的关系； （４） 会求欧氏空间子空间的正交补；（５） 能熟练地把实对称矩阵正交相似于对角矩阵； （６） 能掌握最小二乘法.[教学重点] 求标准正交基的施密特（Schmidt ）正交化方法；欧氏空间的同构；正交变换；对乘变换；实对称矩阵正交相似于对角矩阵的方法.[教学难点] 最小二乘法[教学内容] §9.1. 定义与基本性质一、内积与欧氏空间的定义 二、向量的长度 三、向量的正交四、欧氏空间基的度量矩阵§9.2. 标准正交基一、标准正交基的概念 二、标准正交基的求法§9.3. 同构一、欧氏空间同构的概念 二、欧氏空间同构的充要条件§9.4. 正交变换一、正交变换的定义 二、正交变换的性质§9.5. 子空间一、欧氏空间中子空间的正交 二、欧氏空间子空间的正交补§9.6. 实对称矩阵的标准形一、对称变换二、实对称矩阵的特征值特征向量的性质 三、实对称矩阵的对角化四、二次型化标准形的正交变换法§9.7. 向量到子空间的距离 最小二乘法一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法§9.8. 酉空间介绍一、酉空间的概念二、酉空间中的一些重要结论思考题１．下列线性空间对给定的二元函数),(βα是否构成欧氏空间（１）在线性空间nR 中，对任意向量),,(1n a a =α，),,(1n b b =β，定义二元函数∑==ni i i b a 1||),(βα（２）在线性空间nn R ⨯中，对任意向量nn RB A ⨯∈,，定义二元函数)(),(A B tr B A '=２． 在欧氏空间4R 中求出两个单位向量使它们同时与下面三个向量正交．)0,4,1,2(1-=α，)2,2,1,1(2--=α，)4,5,2,3(3=α３． 称||),(βαβα-=d 为向量α和β间的距离．证明：),(),(),(βγγαβαd d d +≤． ４．设α,β是欧氏空间中任意两个非零向量，证明：（１）)0(>=k k βα的充分必要条件是α和β间的夹角为零； （２）)0(<=k k βα的充分必要条件是α和β间的夹角为π． ５． 已知)0,1,2,0(1=α，)0,0,1,1(2-=α，)1,0,2,1(3-=α，)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基，对这个基正交化，求出4R 的一个标准正交基．６． 在欧氏空间]1,1[-C 里，对基32,,,1x x x 正交化，求出]1,1[-C 的一个标准正交基． ７． 已知))0,2,0(),0,0,1((L W =是3R 的一个子空间，求⊥W ． ８．设21,,W W W 为欧氏空间V 的子空间，则（１）W W =⊥⊥)(；（２）如果21W W ⊂，则⊥⊥⊂12W W ； （３）⊥⊥⊥⋂=+2121)(W W W W ． ９．求正交矩阵T 使得AT T '成对角形．其中A 为（１）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--510810228211； （２）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----114441784817． １０．用正交的线性替换化下列二次型为标准形（１）322322214332x x x x x f +++=；（２）43324121242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=； （３）434232413121222222x x x x x x x x x x x x f ++--+=．第十章 双线性函数与辛空间 *[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）理解线性函数的定义，熟悉线性函数的简单性质 （2）理解线性空间与其对偶空间的同构关系（3）理解双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间等概念 [教学重点] 对偶空间和对偶基、双线性函数、双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间等概念。

课程：高等代数 第10.1.1页第十章 双线性函数与正交空间、辛空间引言本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．§1 对偶空间教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解．教学内容本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念．1.1 线性函数设V 是数域F 上的一个向量空间．定义1 设f ∈Hom(V ，F )，即∀α，β∈V ，∀k ∈F ，都有f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)，则称f 为V 上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．由于f ∈Hom(V ，F )，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数,并⎰ba dx x f )(且满足 ．⎰⎰⎰⎰⎰=+=+b a b a ba b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数．例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )nn 对应F 中的一个元素,并且有∑=n i ii a 1Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ．所以矩阵的迹是M n (F )上的一个线性函数．例3 在数域F 上的一元多项式环F [x ]中，未定元x 用F 中的一个元素t 代入，它把每一个多项式f (x )对应F 中的元素f (t )．由于未定课程：高等代数第10.1.2页元x 用t 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用t (t ∈F )代入是向量空间F [x ]上的一个线性函数．例4 给定F 中的n 个元素a 1，a 2，…，a n ，∀()∈n x x x ，，， 21F n ，规定， (1)n n n x a x a x a x x x f +++= 221121),,,(容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f 是F n 上的一个线性函数．请注意，在数学分析中，把形如++= 1121),,,(x a x x x g n 的n 元函数g 叫做线性函数．若b ≠0，则g 不保持加法运算，b x a n n +也不保持纯量乘法运算，从而g 不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基．由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F n ααα,,,21 的一个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基上的作n ααα,,,21 用所决定．即只要知道，就可以知道V 中任一)(,),(),(21n f f f ααα 向量在f 作用下的象∑==ni i i x 1αβ． (2)∑==ni i i f x f 1)()(αβ(2)就是线性函数f 在基α1，…，αn 下的表达式．它表明，f 在β上的函数值f (β)是β的坐标x 1，…，x n 的一次齐次多项式．进而考虑数域F 上n 维向量空间V 上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见定理10.1.1 设V 是F 上一个n 维向量空间，α1，α2，…，αn 是V 的一个基，a 1，a 2，…，a n 是F 中任意取定的n 个数，则存在V 上唯一确定的线性函数f ，使得f (αi )=a i ， i =1，2，…，n ． (3)因此，∈V ，则β在f 下的象为．∑==∀n i i i x 1αβ∑==ni i i a x f 1)(β1.2 对偶空间课程：高等代数第10.1.3页设V是F上的一个向量空间，Hom(V，F)是V的所有线性函数组成的集合，我们来讨论Hom(V，F)的结构，以及它与V的关系．从第七章§2知道，Hom(V，F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的线性函数空间，也记作T1(V)．以下设V是n维向量空间．注意到F看成自身上的向量空间是1维的，因而有dimHom(V，F)=dim F n⨯1=n．这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V．在V中取一个基α1，α2，…，αn，我们来找Hom(V，F)的一个基．由于Hom(V，F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了．由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)= …=f1(αn)=0；给定F中n个元素0，1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α)=1，f2(αj)=0，j≠2；……；给定F中n个元素0，…，0，1，则存2在V上唯一的线性函数f n，使得f n(αn)=1，f n(αj)=0，j≠n．这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，…，f n，其中f i(1≤i≤n)在基向量上的函数值为f i(αj)=δij，(4)这里δij是Kronecker记号．现在我们断言f1，f2，…，f n是线性无关的．设k1 f1+k2 f2+…+k n f n=0，(5)并作用αj，则得k1f1(αj)+k2 f2(αj)+…+k n f n(αj)=0．于是由(4)推得k j=0，j=1，…，n．因此f1，f2，…，f n线性无关．综上所述，f1，f2，…，f n是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得到定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性函数组成的集合Hom(V，F)也是数域F上的n维向量空间，称为V的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*≌V．若在V中取一个基α1，α2，…，αn，则由(4)确定的线性函数f1，f2，…，f n是V*的一个基，叫做α1，α2，…，αn的对偶基．设α1，α2，…，αn是V的一个基，f1，f2，…，f n∈V*是α1，α，…，αn的对偶基．我们分别来讨论V中任一向量β在基α1，α2，…，α2下的坐标，以及V*中任一向量f在基f1，f2，…，f nn课程：高等代数第10.1.4页下的坐标．设，由(4)得∑==n j j j x 1αβ， (6)i nj j i j i x f x f ==∑=1)()(αβ即β在基α1，…，αn 下的坐标的第i 个分量等于f i (β)．因此． (7)∑==ni i i f 1)(αββV *中任取一个向量，比较左右两边的函数在αj 上的函数值∑==ni i i f c f 1得． (8)j j n i i i j c f c f ==∑=)()(1αα这表明f 在基f 1，f 2，…，f n 下的坐标的第j 个分量等于f (αj )．因此． (9)∑==n j j j f f f 1)(α例5 设V =M 2(F )，在V 中取一个基E 11，E 12，E 21，E 22，求它的对偶基f 11，f 12，f 21，f 22，并求V 上任一线性函数f 的表达式． 解 从(4)得f 11(E 11)=1，f 11(E 12)=f 11(E 21)=f 11(E 22)=0，f 12(E 12)=1，f 12(E 11)=f 12(E 21)=f 12(E 22)=0，f 21(E 21)=1，f 21(E 11)=f 21(E 12)=f 21(E 22)=0，f 22(E 22)=1，f 22(E 11)=f 22(E 12)=f 22(E 21)=0．任取A =(a ij )22∈M 2(F )，由于，所以f 11(A )=a 11，f 12(A )=a 12，∑∑===2121i j ij ij E a A f 21(A )=a 21，f 22(A )=a 22．于是，对于V 上的任意一个线性函数f ,设f (E ij )=c ij ，i ，j =1，2，则由(9)得)()()()()(2222212112121111A f c A f c A f c A f c A f +++=． (10)2222212112121111a c a c a c a c +++=例6 考察实数域R 上的n 维向量空间V =R [x ]n ．对任意取定的n 个不同实数a 1，a 2，…，a n ，根据Lagrange 插值公式，得到n 个多项式，i =1,2,…,n ． )())(()()())(()()(111111n i i i i i i n i i i a a a a a a a a a x a x a x a x x p --------=+-+- 它们满足p i (a j )=δij ，因此p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )线性无关．因为由c 1 p 1(x )+x 2 p 2(x )+…+c n p n (x )=0，用a i 代入，即得课程：高等代数第10.1.5页 ，i =1，2，…，n ． 0)()(1===∑=i nk i i i i k k c a p c a p c 又V 是n 维的，所以p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )是V 的一组基． 设L i ∈V *(i =1，2，…，n )是在a i 点的取值函数：L i (p (x ))=p (a i ) p (x )∈V ，i =1，2，…，n ，则线性函数L i 满足L i ( p j (x ))=p j (a i )=δij ．因此，L 1，L 2，…，L n 是的对偶基． )()()(21x p x p x p n ，，， V 中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是定理10.1.3 设V 是数域F 上n 维向量空间，α1，…，αn 与β1，…，βn 是V 的两个基．设它们的对偶基分别是f 1，…，f n 与g 1，…，g n ．若V 中基α1，…，αn 到基β1，…，βn 的过渡矩阵是A =(a ij )nn ，则V *中基f 1，…，f n 到基g 1，…，g n 的过渡矩阵为．)(1'-A 证 由已知条件，有(β1，…，βn )=(α1，…，αn )A (11)于是 ． (12) ∑==nk k ki i a 1αβ设f 1，…，f n 到g 1，…，g n 的过渡矩阵为B =(b ij )nn ，则(g 1，…，g n )=( f 1，…，f n )B (13)于是．将此式的两边作用于βi ，并注意到，∑==n k k kj j f b g 1ki i k a f =)(β则得 ． (14)∑∑=====n k n k ki kj i k kj i j ij a b f b g 11)()(ββδ因此，A 'B =I n ．故B =( A ')－1=( A －1)'．1.3 双重对偶空间考察V 到V *的一个同构映射．因为V 和V *都是n 维的，所以它们都与F n 同构．我们知道，在数域F 上一个n 维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n 维向量空间到F n 的一个同构映射．于是，在V 中取一个基α1，α2，…，αn ，而f 1，f 2，…，f n ∈V *是α1，α2，…，αn 的对偶基，则有V 到F n 的一个同构映射σ1：．),,,()(2111n ni i i a a a a =∑=ασ又有F n 到V *的一个同构映射σ2：课程：高等代数 第10.1.6页．∑==ni i i n f a a a a 1212),,,( σ从而有V 到V *的一个同构映射σ=σ2σ1：． (15)∑∑===ni i i n i i i f a a 11)(ασ设，记σ(α)=，则由(15)得∑==ni i i a 1αααf ． (16)∑==ni i i f a f 1α对于V 中任一向量，由(16)、(15)得∑==ni i i b 1αβ． (17)∑∑====ni i i n i i i b a f a f 11)()(ββα因此，α在上述同构映射下的象在β上的函数值(β)等于α与βαf αf 的坐标的对应分量乘积之和．以上的讨论是在F 上任一n 维向量空间进行的．因此对于F 上n 维向量空间V ，我们也可以考虑V *上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V *，F )(也记成T 1(V *))，它是V *的对偶空间，简记成V **．据定理10.1.2得，dim V **=dim V *=dim V ．因此V ≌V **． (18)V **叫做V 的双重对偶空间．进而求V 到V **的一个同构映射，在V 中取一个基α1，…，αn ，设它的对偶基是f 1，…，f n ．任取V 中一个向量，则由上讨∑==ni i i a 1αα论有V 到V *的一个同构映射σ1，它把α映成f α．对V *，有V *到V **的一个同构映射σ2，它把f α映成α**，其中α**( f )等于f α与f 在基f 1，…，f n 下的坐标的对应分量乘积之和．由(16)、(9)两式，有．因此∑∑====ni i i n i i i f f f f a f 11)(αα，． (19)∑∑==**===n i ni i i i i f a f f a f 11)()()()(αααα这样，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V 中向量α映成V **中元素α**，其中α**( f )=f (α)，f ∈V * ． (20)∀因此证得定理10.1.4 设V 是F 上的n 维向量空间，V **是V 的双重对偶空课程：高等代数第10.1.7页间，则V ≌V **；并且V 到V **的一个同构映射是σ：αα**，其中α**( f )如(20)所 示．必须指出，V 到V **的上述同构映射不依赖于V 中基的选择．因为上面在V 中取定一个基α1，…，αn ，我们找到了V 至V **的一个同构映射σ：αα**，其中α**( f )=f (α)，∀f ∈V *，即σ(α) f =f (α)，∀f ∈V *．又在V 中另取一个基β1,…,βn ，设它的对偶基是g 1,…,g n ．则类似地有V 到V *的一个同构映射τ1,它把V 中向量映成g α；∑==n i i i b 1βα且有V *到V **的同构映射τ2，它把g α映成τ2(g α)，其中τ2(g α) f 等于g α与f 在基g 1，…，g n 下的坐标的对应分量乘积之和．因为，并且f =，所以∑==n i i i g b g 1α∑=n i i i g f 1)(β (21) ∑∑=*=∈∀===n i ni i i i i V f f b f f b f g 112),()()()(αββτα于是得到V 到V **的又一个同构映射τ=τ2τ1，它把V 中向量α映成τ(α)，其中τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2 (g α) f =f (α)，∀f ∈V *． 因此σ(α) f =τ(α) f ，∀f ∈V *．由此得出σ(α)=τ(α)，∀α∈V ．故σ=τ．这就证明了V 到V **的同构映射：αα**，其中α**( f )=f (α)不依赖于V 中 基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．由于V 到V **存在自然同构，因此我们可以把V **与V 等同，从而可以把V 看成V *的对偶空间，这样V 与V *就互为对偶空间．这就是为什么把V *称为V 的对偶空间的原因．由于V 可以看成是V *的对偶空间V **，而V **是V *上所有线性函数组成的空间，因此任一n 维向量空间可以看成是某个n 维向量空间上所有线性函数组成的空间．课外作业：P513：2、1)；3；4；5。

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

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</i> §1 线性函数定义设V是数域上的线性空间f是V到是数域P上的线性空间是数域上的线性空间, 是到P的映射如果α,β∈V, k∈P, f满足的映射, 满足: 的映射如果∈ 满足(1) f (α +β ) = f (α)+f(β ); ; (2) f (kα) = kf(α), 则称f为线性函数. 则称为f (0) = 0, f (-α) = - f(α), 若β =k1α1+k2α2+…+ksαs … 则f(β )=k1f(α1)+k2f(α2)+…,+ksf(αs)<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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</i> 第11章双线性函数与辛空间章§1 线性函数§2 对偶空间§3 双线性函数*§4 辛空间§<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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</i> 例 1 设a1,a2,…,an是P中任意数中任意数, … 中任意数X=(x1,x2,…, xn)是Pn中的向量函数… 是中的向量. f(X)=f(x1,x2,…,xn)= a1x1+a2x2+…+anxn … … 是Pn上的一个线性函数上的一个线性函数.零函数0: 当a1=a2=…=an=0时, f(X)=0. … 时一般地Pn上的任一个线性函数都可表成一般地, f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn … 证明如下：证明如下：<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

第十章 双线性函数与辛空间§1 线性函数定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足1）)()()(βαβαf f f +=+;2）)()(ααkf k f =,式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.从定义可推出线性函数的以下简单性质：1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=.2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合：s s k k k αααβ+++= 2211那么)()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++=例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1)就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数.实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.令n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε.第i 个中任一向量),,,(21n x x x X =可表成n n x x x X εεε+++= 2211.设f 是上一个线性函数，则∑∑====i i i i i i f x x f X f 11)()()(εε令,21,)(n i f a i i ，，， ==ε则n n x a x a x a X f +++= 2211)(就是上述形式.例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)(是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ⨯上的一个线性函数.例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=,即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数.如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α：n n x x x εεεα+++= 2211都有∑∑====ni i i n i i i f x x f f 11)()()(εεα. (2)因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：∑∑===i i i i i i x a x f 11)(ε.这是一个线性函数，并且n i a f i i ,,2,1,)( ==ε因此有定理1 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使n i a f i i ,,2,1,)( ==ε.§2 对偶空间设V 是数域P 上一个n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.设g f ,是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：V g f g f ∈+=+αααα,)()()(.g f +也是线性函数：,))(())(()()()()()()())((βαβαβαβαβαβαg f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=++))(()()()()())((ααααααg f k kg kf k g k f k g f +=+=+=+.g f +称为f 与g 的和.还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对于P 中任意数k ，定义函数kf 如下：V f k kf ∈=ααα,))(())((,kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 成为数域P 上的线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 ，作V 上n 个线性函数n f f f ,,,21 ，使得.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j f j i =⎩⎨⎧≠==ε (1) 因为i f 在基n εεε,,,21 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量∑==ni i i x 1εα，有i i x f =)(α, (2)即)(αi f 是α的第i 个坐标的值.引理 对V 中任意向量α，有∑==ni i i f 1)(εαα, (3)而对),(P V L 中任意向量f ，有∑==ni i i f f f 1)(ε. (4)定理2 ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基. 定义2 ),(V P L 称为V 的对偶空间.由（1）决定),(P V L 的的基，称为n εεε,,,21 的对偶基.以后简单地把V 的对偶空间记作*V .例 考虑实数域R 上的n 维线性空间n x P V ][=，对任意取定的n 个不同实数n a a a ,,,21 ，根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式.,,2,1,)())(()()())(()()(111111n i a a a a a a a a a x a x a x a x x p n i i i i i i n i i i =--------=+=+- 它们满足.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j a p j i =⎩⎨⎧≠==)(,,)(),(21x p x p x p n 是线性无关的，因为由0)()()(2211=+++x p c x p c x p c n n用i a 代入，即得n i c a p c a p ci i p i n k i k k ,,2,1,0)()(1 ====∑=.又因V 是n 维的，所以)(,,)(),(21x p x p x p n 是V 的一组基.设),,2,1(n i V L i =∈*是在点i a 的取值函数：.,,2,1.)(,)())((n i V x p a p x p L i i =∈=则线性函数i L 满足.,,2,1,,,,0;,1)())((n j i j i j i a p x p L i j j i =⎩⎨⎧≠=== 因此，n L L L ,,,21 是)(,,)(),(21x p x p x p n 的对偶基.下面讨论V 的两组基的对偶基之间的关系.设V 是数域P 上一个n 维线性空间.n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是V 的两组基.它们的对偶基分别是n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .再设A n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =B f f f g g g n n ),,,(),,,(2121 =其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n b b b b b b b b b B 212222111211 由假设 n i a a a n ni i i i ,,2,1,2211 =+++=εεεη,n j f b f b f b g n nj j j i ,,2,1,2211 =+++=.因此n j i j i j i a b a b a b a a a f b g ninj i j i j n ni i i nk k kj i j ,,2,1,,,0;,1)()(221122111 =⎩⎨⎧≠==+++=+++=∑=εεεη由矩阵乘法定义，即得 E A B ='即1-='A B定理3 设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1)(-'A .设V 是P 上一个线性空间，*V 是其对偶空间，取定V 中一个向量x ，定义*V 的一个函数**x 如下：***∈=V f x f f x ,)()(.根据线性函数的定义，容易检验**x 是*V 上的一个线性函数，因此是*V 的对偶空间****=V V )(中的一个元素.定理 4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射**→x x是一个同构映射.这个定理说明，线性空间V 也可看成*V 的线性函数空间，V 与*V 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.§3 双线性函数定义3 V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf .如果),(βαf 有下列性质：1）),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+;2）),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+,其中2121,,,,,βββααα是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数),(βαf ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.例1 欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.例2 设)(),(21ααf f 都是线性空间V 上的线性函数，则V f f f ∈=βαβαβα,,)()(),(21是V 上的一个双线性函数.例3 设n P 是数域P 上n 维列向量构成的线性空间.n P Y X ∈,再设A 是P 上n 级方阵.令AY X Y X f '=),(, (1)则),(Y X f 是n P 上的一个双线性函数.如果设),,,(,),,,(2121n n y y y Y x x x X ='='，并设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则 ∑∑===n i nj j i ij y x a Y X f 11),(. (2)（1）或（2）实际上是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数),(βαf 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取V 的一组基n εεε,,,21 .设X x x x n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεα =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, Y y y y n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεβ =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 则∑∑∑∑======n i nj j i j i n i n j j j i i y x f y x f f 1111),(),(),(εεεεβα. (3)令n j i f a j i ij ,,2,1,,),( ==εε,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则（3）就成为（1）或（2）. 定义 4 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数. n εεε,,,21 是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f A εεεεεεεεεεεεεεεεεε (4) 叫做),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定V 的一组基n εεε,,,21 后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之，任给数域P 上一个n 级矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 对V 中任意向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =，其中),,,(21n x x x X ='，),,,(21n y y y Y ='用∑∑==='=n i nj j i ij y x a AY X f 11),(βα定义的函数是V 上一个双线性函数.容易计算出),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵就是A .因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基：C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =βα,是V 中两个向量12121),,,(),,,(X X n n ηηηεεεα ==,12121),,,(),,,(Y Y n n ηηηεεεβ ==那么11,CY Y CX X ==如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 下的度量矩阵分别为B A ,，则有1111)()()(),(Y AC C X CY A CX AY X f ''='='=βα.又11),(BY X f '=βα.因此AC C B '=这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义5 设),(βαf 是线性空间V 上一个双线性函数，如果0),(=βαf对任意V ∈β，可推出0=α，f 就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(βαf 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，则对X n ),,,(21εεεα =,Y n ),,,(21εεεβ =，有AY X f '=),(βα如果向量α满足V f ∈∀=ββα,0),(,那么对任意Y 都有0='A Y X因此0='A X而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此易证双线性函数),(βαf 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.定义6 ),(βαf 是线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 上任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f =,则称),(βαf 为对称双线性函数.如果对V 中任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f -=则称),(βαf 为反对称双线性函数.设),(βαf 是线性空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基n εεε,,,21 ，由于),(),(i j j i f f εεεε=故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵是对称的，那么对V 中任意两个向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =都有),(),(αββαf AX Y X A Y AY X f ='=''='=.因此),(βαf 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.定理5 设V 是数域P 上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.如果),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα,),(βαf 有表示式n n n y x d y x d y x d f +++= 222111),(βα.这个表示式也是),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角形的充分条件.推论1 设V 是复数上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(2211n r y x y x y x f r r ≤≤+++= βα.推论2 设V 是实数n 上维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(1111n r p y x y x y x y x f r r p p p p ≤≤≤---++=++ βα.对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.定义7 设V 是数域P 上线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数.当βα=时，V 上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数.给定V 上一组基n εεε,,,21 ，设),(βαf 的度量矩阵为()n n ija A ⨯=.对V 中任意向量∑==n i i i x 1εα有∑∑===n i nj j i ij x x a f 11),(αα. (5)式中j i x x 的系数为ji ij a a +.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为()n n ij a A ⨯= 及()n n ij b B ⨯=只要n j i b b a a ji ij ji ij ,,2,1,, =+=+,那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.定理6 设),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111 --使⎪⎩⎪⎨⎧=∈=≠+===-.,,1,,0),(;0,0),(;,,1,1),(s k V f j i f r i f k j i i i αηαεεεε (6) 从定理5可知，V 上的对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的则有V 的一组基n εεε,,,21 满足⎩⎨⎧≠==≠.,0),(;,,2,1,0),(i j f n i f j i i i εεεε 前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V 的对于),(βαf 的正交基.而从定理6可知，V 上的反对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的，则有V 的一组基r r --εεεε,,,,11 使⎩⎨⎧≠+===-.0,0),(;,,2,1,1),(j i f r i f j i i i εεεε 由于非退化的条件，定理6中的s ηη,,1 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.定义8 设V 是数域P 上的线性空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间.当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为P 上的正交空间；当V 是n 维实线性空间，f 是非退化对称双线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间.有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为),(f V .§4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：1. 辛空间),(f V 中一定能找到一组基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 满足,1,1),(n i f i i ≤≤=-εε0,,,0),(≠+≤≤-=j i n j i n f j i εε.这样的基称为),(f V 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.2．任一n 2级非退化反对称矩阵K 可把一个数域P 上n 2维空间V 化成一个辛空间，且使K 为V 的某基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下的度量矩阵为nn O E E O J 22⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, (1) 故K 合同于J .即任一n 2级非退化反对称矩阵皆合同于J .两个辛空间),(11f V 及),(22f V ，若有1V 到2V 的作为线性空间的同构ℜ，它满足),(),(21Kv Ku f v u f =,则称ℜ是),(11f V 到),(22f V 的辛同构.),(11f V 到),(22f V 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把),(11f V 的一组辛正交基变成),(22f V 的辛正交基.两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间),(f V 到自身的，辛同构称为),(f V 上的辛变换.取定),(f V 的一组辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 ，V 上的一个线性变换ℜ，在该基下的矩阵为K ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A K , 其中D C B A ,,,皆为n n ⨯方阵.则ℜ是辛变换当且仅当J JK K ='，亦即当且仅当下列条件成立：E B C D A B D D B A C C A ='-''=''=',,且易证0||≠K ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.设),(f V 是辛空间，V v u ∈,,满足0),(=v u f ，则称v u ,为辛正交的. W 是V 的子空间，令{}W w w u f V u W ∈∀=∈=⊥,0),(|. (2)⊥W 显然是V 的子空间，称为W 的辛正交补空间.定理7 ),(f V 是辛空间，W 是V 的子空间，则W V W dim dim dim -=⊥.定义9 ),(f V 为辛空间，W 为V 的子空间.若⊥⊂W W ，则称W 为),(f V 的迷向子空间；若⊥=W W ，即W 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若{}0=⊥W W ，则W 称W 为),(f V 的辛了空间.例如，设n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 是),(f V 的辛正交基，则),,,(21k L εεε 是迷向子空间. ),,,(21n L εεε 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间),,,,,,,(2121k k L ---εεεεεε 是辛子空间.对辛空间),(f V 的子空间W U ,.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：(1) W W =⊥⊥)(,(2) ⊥⊥⊂⇒⊂U W W U ,(3) 若U 是辛子空间，则⊥⊕=U U V(4) 若U 是迷向子空间,则V U dim 21dim ≤(5) 若U 是拉格朗日子空间，则V U dim 21dim = 定理8 设L 是辛空间),(f V 的拉格朗日子空间，{}n εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充为),(f V 的辛正交基.推论 设W 是),(f V 的迷向子空间，{}k εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充成),(f V 的辛正交基.对于辛子空间U ，U f |也是非退化的.同样⊥U f |也非退化.由定理7还有⊥⊕=U U V .定理9 辛空间),(f V 的辛子空间)|,(U f U 的一组辛正交基可扩充成),(f V 的辛正交基..定理10 令),(f V 为辛空间，U 和W 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有),(f V 的辛变换把U 变成W .辛空间),(f V 的两个子空间V 及W 之间的（线性）同构ℜ若满足V v W u Kv Ku f v u f ∈∈∀=,,),(),(则称ℜ为V 与W 间的等距.Witt 定理 辛空间),(f V 的两个子空间V ,W 之间若有等距，则此等距可扩充成),(f V 的一个辛变换.下面是辛变换的特征值的一些性质.ℜ是辛空间),(f V 上的辛变换，则ℜ的行列式为1.取定),(f V 的辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 .设ℜ在基下矩阵为K ，这时有J JK K ='.定理11 设ℜ是n 2维辛空间中的辛变换，K 是ℜ在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式||)(K E f -=λλ满足)1()(2λλλf f n =.若设 n n n n a a a a f 21212120)(++++=--λλλλ ,则n i a a i n i ,,1,0,2 ==-.由定理11可知，辛变换ℜ的特征多项式)(λf 的（复）根λ与λ1是同时出现的，且具有相同的重数.它在P 中的特征值也如此.又||K 等于)(λf 的所有（复）根的积，而1||=K .故特征值1-的重数为偶数.又不等于1±的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为1+的重数也为偶数.定理12 设j i λλ,是数域P 上辛空间),(f V 上辛变换ℜ在P 中的特征值，且1≠j i λλ.设iV λ,j V λ分别是V 中对应于特征值i λ及j λ的特征子空间.则j i V v V u λλ∈∈∀,，有0),(=v u f ，即i V λ与j V λ是辛正交的.特别地，当1≠i λ时iV λ是迷向子空间.第十章 双线性函数与辛空间(小结)一、基本概念线性函数；对偶空间。

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证必要性。

采用反证法。

若正惯性指数秩r，则。

即，22222 若令，y，则可得非零解使。

这与所给条件矛盾，故。

充分性。

由，知，222故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证（）可见：。

21）当不全相等时2）当时f。

2故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。

X1。

证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。

令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。

17．A是一个实矩阵，证明：。

证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。

事实上，即证与同解，故。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。

n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。

第10章　双线性函数与辛空间1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．解：可利用定理3．计算由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是a1，a2，a3的对偶基，则即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使f（a）≠0，i＝1，2， (5)证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，V…，s．5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有解出得同样可算出满足由于p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：α*（β）＝（α，β）．（1）证明α*是V上线性函数；（2）证明V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．（2）现在令映射φ为下面逐步证明φ是线性空间的同构．①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．这样（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．于是（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，即有α－β＝0，因此α＝β．②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l n εn 则对所有εi ，∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；（2）定义V *到自身的映射A *为f→fA证明A *是V *上的线性变换（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）证明：（1）α，β∈V，k∈P，有∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．故f A 是V 上线性函数．（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）＝（A *f ＋A *g ）（α）故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））＝k （A *f ）（α），故A *（kf ）＝k （A *f ）．以上证明了A *是V *上的线性变换．（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，a i2，…，a in ），于是即有。

第十章 双线性函数与辛空间§1 线性函数定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足1）)()()(βαβαf f f +=+;2）)()(ααkf k f =,式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.从定义可推出线性函数的以下简单性质：1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=.2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合：s s k k k αααβ+++= 2211那么)()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++=例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1)就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数.实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.令n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε.第i 个n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成n n x x x X εεε+++= 2211.设f 是n P 上一个线性函数，则∑∑====i i i i i i f x x f X f 11)()()(εε令,21,)(n i f a i i ，，， ==ε则n n x a x a x a X f +++= 2211)(就是上述形式.例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)(是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ⨯上的一个线性函数.例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=,即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数.如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α：n n x x x εεεα+++= 2211都有∑∑====ni i i n i i i f x x f f 11)()()(εεα. (2)因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：∑∑===i i i i i i x a x f 11)(ε.这是一个线性函数，并且n i a f i i ,,2,1,)( ==ε因此有定理1 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使n i a f i i ,,2,1,)( ==ε.§2 对偶空间设V 是数域P 上一个n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.设g f ,是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：V g f g f ∈+=+αααα,)()()(.g f +也是线性函数：,))(())(()()()()()()())((βαβαβαβαβαβαg f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=++))(()()()()())((ααααααg f k kg kf k g k f k g f +=+=+=+.g f +称为f 与g 的和.还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对于P 中任意数k ，定义函数kf 如下：V f k kf ∈=ααα,))(())((,kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 成为数域P 上的线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 ，作V 上n 个线性函数n f f f ,,,21 ，使得.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j f j i =⎩⎨⎧≠==ε (1) 因为i f 在基n εεε,,,21 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量∑==ni i i x 1εα，有i i x f =)(α, (2)即)(αi f 是α的第i 个坐标的值.引理 对V 中任意向量α，有∑==ni i i f 1)(εαα, (3)而对),(P V L 中任意向量f ，有∑==ni i i f f f 1)(ε. (4)定理2 ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基. 定义2 ),(V P L 称为V 的对偶空间.由（1）决定),(P V L 的的基，称为n εεε,,,21 的对偶基.以后简单地把V 的对偶空间记作*V .例 考虑实数域R 上的n 维线性空间n x P V ][=，对任意取定的n 个不同实数n a a a ,,,21 ，根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式.,,2,1,)())(()()())(()()(111111n i a a a a a a a a a x a x a x a x x p n i i i i i i n i i i =--------=+=+- 它们满足.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j a p j i =⎩⎨⎧≠==)(,,)(),(21x p x p x p n 是线性无关的，因为由0)()()(2211=+++x p c x p c x p c n n用i a 代入，即得n i c a p c a p ci i p i n k i k k ,,2,1,0)()(1 ====∑=.又因V 是n 维的，所以)(,,)(),(21x p x p x p n 是V 的一组基.设),,2,1(n i V L i =∈*是在点i a 的取值函数：.,,2,1.)(,)())((n i V x p a p x p L i i =∈=则线性函数i L 满足.,,2,1,,,,0;,1)())((n j i j i j i a p x p L i j j i =⎩⎨⎧≠=== 因此，n L L L ,,,21 是)(,,)(),(21x p x p x p n 的对偶基.下面讨论V 的两组基的对偶基之间的关系.设V 是数域P 上一个n 维线性空间.n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是V 的两组基.它们的对偶基分别是n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .再设A n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =B f f f g g g n n ),,,(),,,(2121 =其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n b b b b b b b b b B 212222111211 由假设 n i a a a n ni i i i ,,2,1,2211 =+++=εεεη,n j f b f b f b g n nj j j i ,,2,1,2211 =+++=.因此n j i j i j i a b a b a b a a a f b g ninj i j i j n ni i i nk k kj i j ,,2,1,,,0;,1)()(221122111 =⎩⎨⎧≠==+++=+++=∑=εεεη由矩阵乘法定义，即得 E A B ='即1-='A B定理3 设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1)(-'A .设V 是P 上一个线性空间，*V 是其对偶空间，取定V 中一个向量x ，定义*V 的一个函数**x 如下：***∈=V f x f f x ,)()(.根据线性函数的定义，容易检验**x 是*V 上的一个线性函数，因此是*V 的对偶空间****=V V )(中的一个元素.定理 4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射**→x x是一个同构映射.这个定理说明，线性空间V 也可看成*V 的线性函数空间，V 与*V 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.§3 双线性函数定义3 V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf .如果),(βαf 有下列性质：1）),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+;2）),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+,其中2121,,,,,βββααα是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数),(βαf ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.例1 欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.例2 设)(),(21ααf f 都是线性空间V 上的线性函数，则V f f f ∈=βαβαβα,,)()(),(21是V 上的一个双线性函数.例3 设n P 是数域P 上n 维列向量构成的线性空间.n P Y X ∈,再设A 是P 上n 级方阵.令AY X Y X f '=),(, (1)则),(Y X f 是n P 上的一个双线性函数.如果设),,,(,),,,(2121n n y y y Y x x x X ='='，并设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则 ∑∑===n i nj j i ij y x a Y X f 11),(. (2)（1）或（2）实际上是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数),(βαf 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取V 的一组基n εεε,,,21 .设X x x x n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεα =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, Y y y y n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεβ =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 则∑∑∑∑======n i nj j i j i n i n j j j i i y x f y x f f 1111),(),(),(εεεεβα. (3)令n j i f a j i ij ,,2,1,,),( ==εε,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则（3）就成为（1）或（2）. 定义 4 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数. n εεε,,,21 是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f A εεεεεεεεεεεεεεεεεε (4) 叫做),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定V 的一组基n εεε,,,21 后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之，任给数域P 上一个n 级矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 对V 中任意向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =，其中),,,(21n x x x X ='，),,,(21n y y y Y ='用∑∑==='=n i nj j i ij y x a AY X f 11),(βα定义的函数是V 上一个双线性函数.容易计算出),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵就是A .因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基：C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =βα,是V 中两个向量12121),,,(),,,(X X n n ηηηεεεα ==,12121),,,(),,,(Y Y n n ηηηεεεβ ==那么11,CY Y CX X ==如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 下的度量矩阵分别为B A ,，则有1111)()()(),(Y AC C X CY A CX AY X f ''='='=βα.又11),(BY X f '=βα.因此AC C B '=这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义5 设),(βαf 是线性空间V 上一个双线性函数，如果0),(=βαf对任意V ∈β，可推出0=α，f 就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(βαf 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，则对X n ),,,(21εεεα =,Y n ),,,(21εεεβ =，有AY X f '=),(βα如果向量α满足V f ∈∀=ββα,0),(,那么对任意Y 都有0='A Y X因此0='A X而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此易证双线性函数),(βαf 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.定义6 ),(βαf 是线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 上任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f =,则称),(βαf 为对称双线性函数.如果对V 中任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f -=则称),(βαf 为反对称双线性函数.设),(βαf 是线性空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基n εεε,,,21 ，由于),(),(i j j i f f εεεε=故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵是对称的，那么对V 中任意两个向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =都有),(),(αββαf AX Y X A Y AY X f ='=''='=.因此),(βαf 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.定理5 设V 是数域P 上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.如果),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα,),(βαf 有表示式n n n y x d y x d y x d f +++= 222111),(βα.这个表示式也是),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角形的充分条件.推论1 设V 是复数上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(2211n r y x y x y x f r r ≤≤+++= βα.推论2 设V 是实数n 上维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(1111n r p y x y x y x y x f r r p p p p ≤≤≤---++=++ βα.对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.定义7 设V 是数域P 上线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数.当βα=时，V 上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数.给定V 上一组基n εεε,,,21 ，设),(βαf 的度量矩阵为()n n ija A ⨯=.对V 中任意向量∑==n i i i x 1εα有∑∑===n i nj j i ij x x a f 11),(αα. (5)式中j i x x 的系数为ji ij a a +.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为()n n ij a A ⨯= 及()n n ij b B ⨯=只要n j i b b a a ji ij ji ij ,,2,1,, =+=+,那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.定理6 设),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111 --使⎪⎩⎪⎨⎧=∈=≠+===-.,,1,,0),(;0,0),(;,,1,1),(s k V f j i f r i f k j i i i αηαεεεε (6) 从定理5可知，V 上的对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的则有V 的一组基n εεε,,,21 满足⎩⎨⎧≠==≠.,0),(;,,2,1,0),(i j f n i f j i i i εεεε 前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V 的对于),(βαf 的正交基.而从定理6可知，V 上的反对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的，则有V 的一组基r r --εεεε,,,,11 使⎩⎨⎧≠+===-.0,0),(;,,2,1,1),(j i f r i f j i i i εεεε 由于非退化的条件，定理6中的s ηη,,1 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.定义8 设V 是数域P 上的线性空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间.当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为P 上的正交空间；当V 是n 维实线性空间，f 是非退化对称双线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间.有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为),(f V .§4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：1. 辛空间),(f V 中一定能找到一组基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 满足,1,1),(n i f i i ≤≤=-εε0,,,0),(≠+≤≤-=j i n j i n f j i εε.这样的基称为),(f V 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.2．任一n 2级非退化反对称矩阵K 可把一个数域P 上n 2维空间V 化成一个辛空间，且使K 为V 的某基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下的度量矩阵为nn O E E O J 22⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, (1) 故K 合同于J .即任一n 2级非退化反对称矩阵皆合同于J .两个辛空间),(11f V 及),(22f V ，若有1V 到2V 的作为线性空间的同构ℜ，它满足),(),(21Kv Ku f v u f =,则称ℜ是),(11f V 到),(22f V 的辛同构.),(11f V 到),(22f V 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把),(11f V 的一组辛正交基变成),(22f V 的辛正交基.两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间),(f V 到自身的，辛同构称为),(f V 上的辛变换.取定),(f V 的一组辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 ，V 上的一个线性变换ℜ，在该基下的矩阵为K ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A K , 其中D C B A ,,,皆为n n ⨯方阵.则ℜ是辛变换当且仅当J JK K ='，亦即当且仅当下列条件成立：E B C D A B D D B A C C A ='-''=''=',,且易证0||≠K ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.设),(f V 是辛空间，V v u ∈,,满足0),(=v u f ，则称v u ,为辛正交的. W 是V 的子空间，令{}W w w u f V u W ∈∀=∈=⊥,0),(|. (2)⊥W 显然是V 的子空间，称为W 的辛正交补空间.定理7 ),(f V 是辛空间，W 是V 的子空间，则W V W dim dim dim -=⊥.定义9 ),(f V 为辛空间，W 为V 的子空间.若⊥⊂W W ，则称W 为),(f V 的迷向子空间；若⊥=W W ，即W 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若{}0=⊥W W ，则W 称W 为),(f V 的辛了空间.例如，设n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 是),(f V 的辛正交基，则),,,(21k L εεε 是迷向子空间. ),,,(21n L εεε 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间),,,,,,,(2121k k L ---εεεεεε 是辛子空间.对辛空间),(f V 的子空间W U ,.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：(1) W W =⊥⊥)(,(2) ⊥⊥⊂⇒⊂U W W U ,(3) 若U 是辛子空间，则⊥⊕=U U V(4) 若U 是迷向子空间,则V U dim 21dim ≤(5) 若U 是拉格朗日子空间，则V U dim 21dim = 定理8 设L 是辛空间),(f V 的拉格朗日子空间，{}n εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充为),(f V 的辛正交基.推论 设W 是),(f V 的迷向子空间，{}k εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充成),(f V 的辛正交基.对于辛子空间U ，U f |也是非退化的.同样⊥U f |也非退化.由定理7还有⊥⊕=U U V .定理9 辛空间),(f V 的辛子空间)|,(U f U 的一组辛正交基可扩充成),(f V 的辛正交基..定理10 令),(f V 为辛空间，U 和W 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有),(f V 的辛变换把U 变成W .辛空间),(f V 的两个子空间V 及W 之间的（线性）同构ℜ若满足V v W u Kv Ku f v u f ∈∈∀=,,),(),(则称ℜ为V 与W 间的等距.Witt 定理 辛空间),(f V 的两个子空间V ,W 之间若有等距，则此等距可扩充成),(f V 的一个辛变换.下面是辛变换的特征值的一些性质.ℜ是辛空间),(f V 上的辛变换，则ℜ的行列式为1.取定),(f V 的辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 .设ℜ在基下矩阵为K ，这时有J JK K ='.定理11 设ℜ是n 2维辛空间中的辛变换，K 是ℜ在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式||)(K E f -=λλ满足)1()(2λλλf f n =.若设 n n n n a a a a f 21212120)(++++=--λλλλ ,则n i a a i n i ,,1,0,2 ==-.由定理11可知，辛变换ℜ的特征多项式)(λf 的（复）根λ与λ1是同时出现的，且具有相同的重数.它在P 中的特征值也如此.又||K 等于)(λf 的所有（复）根的积，而1||=K .故特征值1-的重数为偶数.又不等于1±的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为1+的重数也为偶数.定理12 设j i λλ,是数域P 上辛空间),(f V 上辛变换ℜ在P 中的特征值，且1≠j i λλ.设iV λ,j V λ分别是V 中对应于特征值i λ及j λ的特征子空间.则j i V v V u λλ∈∈∀,，有0),(=v u f ，即i V λ与j V λ是辛正交的.特别地，当1≠i λ时iV λ是迷向子空间.第十章 双线性函数与辛空间(小结)一、基本概念线性函数；对偶空间。

苏州大学数学考研大纲、参考书目及备考经验考试大纲：①101 思想政治理论②201 英语一③618 数学分析④831 高等代数复试：1、复变函数、常微分方程、近世代数、实变函数（笔试）2、综合（面试）参考书目：备考建议：一、苏州大学831《高等代数》如何复习呢？相信大家的基础都不一样，对于基础自我感觉不好的，大学不是勤勤恳恳学过来的同学，这时应该把自己当成一张白纸，拿起北大第四版课本，对着视频，就像本科听课一样的学，前期你可能很慢，后面会感觉越来越好。

对于基础好的，我建议先快速过一遍课本，把一些重要的定理证明搞懂，比如：代余除法的证明、最大公因式的求法、高斯引理及其推论、爱森斯坦判别法证明及其推论等等。

同时记得把章节习题做完，这个很重要。

总而言之，特别对基础不好的同学说一下，在复习过程中，不要感觉自己的进度和其他同学相比，进度比较慢，从而就刻意不顾复习质量，去提高进度，最终导致基础没有打扎实，做题时，遇到这不会，那不会，不是这个小问题没搞清楚，就是那个问题没搞清楚，长此以往，你的自信心会备受打击，可能导致放弃。

所以大家要做自己，踏实备考，快的最后不一定考的好，打好基础是关键。

对于基础好的来说，你有很好的优势，可以节约时间复习其他的。

但切记不要膨胀，行百里者半九十。

课本看完一遍以后的话，就开始看讲义，讲义重要的地方在于题目，数学最重要的还是做题，不要觉得内容特别多，其实讲义会有一部分题目和课本习题是重复的，所以其实并不算特别多。

当然第一遍看课本的过程你可能很多课后题目不会做，但没关系，可以适当参考答案。

但是记住后面看讲义的时候就不要一遇到不会的就看答案了，要慢慢养成思考的好习惯，实在不会做可以留着，吃饭的时候，睡觉前或者什么时候脑子里可以想想。

这里特别提醒一下后期做真题的时候，一定不要看答案，每一套试卷用A4纸规范作答，也可以当作测试。

苏大的高代真题的话题目本身其实是比较容易的，但是计算起来可能没有那么容易，就比如20年真题第一题第二题计算量就蛮大，这个计算的话一般都是斯密特正交化那一块计算比较复杂和求约当标准型的变换矩阵。