简谐振动(单摆)

一、简谐运动1.定义。

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F= -kx⑴简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

⑵回复力是一种效果力。

是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以不处于平衡状态）⑷F= -kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

2.熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。

⑴由定义知：F∝x，方向相反。

⑵由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。

⑶由以上两条可知：a∝x，方向相反。

⑷v和x、F、a的关系最复杂：当v、a同向（既 v、F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（既 v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。

3.从总体上描述简谐运动的物理量。

振动的最大特点是往复性或者说是周期性。

因此振动物体在空间的运动有一定的运动范围，用振幅A来描述；在时间上用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。

⑴振幅A是描述振动强弱的物理量。

（注意一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）⑵周期T是描述振动快慢的物理量。

（频率f=1/T也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。

对任何简谐振动有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，既振动是简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。

单摆与简谐振动单摆和简谐振动是物理学中重要的概念，它们在自然界和科学实验中都具有广泛的应用。

本文将分别介绍单摆和简谐振动的概念、原理、数学模型以及相关应用。

一、单摆1. 概念和原理单摆是由一个质点和一个可以绕固定轴旋转的轻细线组成的物体。

当质点偏离平衡位置后，由于重力作用，质点将产生向平衡位置恢复的力，从而使得单摆呈现周期性的摆动。

根据牛顿第二定律和牛顿万有引力定律，可以推导出单摆的运动方程为：$\frac{{\partial^2\theta}}{{\partial t^2}} = -\frac{g}{L}\sin\theta$其中，$\theta$表示单摆离开平衡位置的偏离角度，$t$表示时间，$g$表示重力加速度，$L$表示单摆的长度。

2. 数学模型为了解决上述运动方程，可以使用近似方法。

当摆角（$\theta$）非常小的时候，可以使用简谐近似，即将正弦项线性近似为弧度。

这样，单摆的运动方程可以简化为：$\frac{{\partial^2\theta}}{{\partial t^2}} = -\frac{g}{L}\theta$该方程与简谐振动的运动方程形式相同，因此可以认为单摆是一种简谐振动。

3. 应用单摆广泛应用于物理实验和科学研究中。

它可以用来测量重力加速度、研究摆动的周期和频率、验证简谐振动的理论等。

此外，单摆还可以用作演示器材，使人们更直观地了解和理解振动的性质和规律。

二、简谐振动1. 概念和原理简谐振动是指在没有摩擦和阻力的情况下，物体围绕平衡位置做往复运动的现象。

简谐振动的物体可以是弦、弹簧、气体分子等。

根据胡克定律和牛顿第二定律，可以推导出简谐振动的运动方程为：$\frac{{\partial^2x}}{{\partial t^2}} = -\frac{k}{m}x$其中，$x$表示物体离开平衡位置的偏移距离，$t$表示时间，$k$表示恢复力系数（弹簧的弹性系数、线的拉力系数等），$m$表示物体的质量。

一、
1.首先，对于简谐运动（以弹簧振子举例），我们知道：
（1）F=−kx
（这里的k数值虽然与弹簧劲力系数相同，但物理意义表示为回复力与位移的比值）
（2）（x=Asin（ω.t+φ)
2.我们还知道：
（3）F=ma
3.要求周期，就要找到周期与其简谐运动本身的联系，由T=2π/ω
我们可知我们所求的T隐藏在（2）中。

4.我们需要联立上述公式以期望得出关于关于T的公式，
由于(3)牛顿第二定律的F可以用（1）带入，而且m属于已知条件，
所以我们迫切需要知道a，这样我们的问题就解决了。

5.我们来求加速度：
对于（2）我们知道进行一次求导其导函数为
（v=A⋅ωcos（ω.t+φ)
其物理意义为简谐运动某质点的瞬时速度。

知道了速度之后我们要知道瞬时加速度，就需要二次求导,得（4）（a=−A⋅ω2sin（ω.t+φ)
于是我们得到了加速度。

6.将（1）（4）代入（3），我们得
（−kx=−mA⋅ω2sin（ω.t+φ)
与（2）联立我们得（5）k=mω2
7.由T=2π/ω代入（5），我们终于得到简谐运动周期公式T=2πmk
二、那对于单摆又是怎样的呢？
我们知道：在单摆振幅极小时我们将其近似看做简谐运动，
其回复力F=−mgsinΘ此时可近似看做F≈−mglx
这里的mgl也就是所谓的回复力与位移比值k
将此处k代入简谐运动公式我们就得到了单摆周期公式（振幅极小时）：T=2πlg。

单摆简谐运动的能量受迫振动和共振一、考点聚焦1、单摆，在小振幅条件下单摆做简谐运动Ⅱ2、单摆周期公式Ⅱ3、振动中的能量转化Ⅰ4、自由振动和受迫振动，受迫振动的频率Ⅰ5、共振及其常见的应用Ⅰ二、知识扫描1、单摆：一根上端固定的细线，下系一个小球就构成了单摆。

要求细线的质量、弹性可以忽略，线的长度比小球的直径大得多。

单摆的回复力是摆球重力的切向分力。

在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动。

单摆的周期公式为T=2πgl2、简谐运动的能量：简谐运动的能量就是振动系统的总机械能。

振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，则系统机械能越大。

阻尼振动的振幅越来越小。

3、简谐运动的过程是系统的动能和势能相互转化的过程，转化过程中机械能的总量保持不变。

在平衡位置处，动能最大势能最小，在最大位移处，势能最大，动能为零。

4、受迫振动：物体在外界驱动力的作用下的运动叫做受迫振动。

物体做稳定的受迫振动时振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

5、共振：当驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，这种现象叫做共振。

当驱动力的频率等于物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大。

驱动力的频率与物体的固有频率相差越远，受迫振动的振幅越小。

声波的共振现象叫做共鸣。

三、好题精析例1 铁道上每根钢轨长12.5m，若支持车厢的弹簧和车厢组成的系统周期为0.6s，那么列车的速度为多大时，车厢振动得最厉害？〖解析〗车厢振动的最厉害是因为发生了共振，由共振条件可知T驱=T固=0.6sT驱=vlV=6.05..12=21(m/s)〖点评〗火车行驶时，每当通过钢轨的接缝处时就受到一次冲击，该力即为驱动力。

当驱动力的频率与振动系统的固有频率相等时就发生了共振，车厢振动得最厉害。

例2 单摆做简谐运动时，下列说法正确的是（）A、摆球质量越大、振幅越大，则单摆振动的能量越大B、单摆振动能量与摆球质量无关，与振幅有关C、摆球到达最高点时势能最大，摆线弹力最大D、摆球通过平衡位置时动能最大，摆线弹力最大〖解析〗对于无阻尼单摆系统，机械能守恒，其数值等于最大位移处摆球的重力势能或平衡位置处摆球的动能。

1 单摆简谐振动的较严格证明
由E p =E k 可得出 ，根据机械能守恒
由此可求得
小球在P 点时的速度为v ，它沿半径为l 的圆弧运动，
所以它的向心加速度为
讨论小球在水平方向的运动，以小球的平衡位置为原点，以水平向右的方向为x 轴的正向，向上的方向为y 轴的正向，则小球在P 点时的加速度沿x 轴的分量为
上式近似为
此式与简谐振动的定义相比较，可知小球在x 方向的运动在摆角θ<<1弧度的条件下是一个简谐振动．由公式a=-ω2x 可以得出这个简谐振动的角频率
再由T=2π/ω可得出相应的周期，也就是单摆振动的周期公式。

简谐振动·知识点精解1．简谐振动的特征(1)简谐振动的定义在跟对平衡位置的位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动，叫简谐振动。

①做简谐振动的回复力是由物体所受的合外力或某个力的分力提供。

②简谐振动物体回复力的表达式为：F=-kx(2)简谐振动的动力学特征F=-kx式中的k为回复力与位移的比例常数(未必是弹簧的劲度系数)，x是相对平衡位置的位移，负号表示回复力的方向始终与位移方向相反。

(3)简谐振动的运动学特征振动的位移随时间接正弦或余弦规律变化。

2．弹簧振子的振动过程具体情况见下表：3．单摆的周期公式(1)单摆做简谐振动①在物理学里，单摆是实际摆的理想化，是指在一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置。

②单摆做简谐振动的条件：振动过程中的最大编角不超过5°。

③单摆做简谐振动的回复力是重力mg沿圆弧切线的分力F=mgsinα提供(不要误认为是摆球所受的合外力)。

当α很小时(5°以下)，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，OP就是摆锤偏离平衡位置的位移。

如图7-3所示。

设摆长是l，因为sin式中负号表示力F跟位移x的方向相反。

由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数k来代替，所以上式可以写成F=-kx可见，在摆角很小情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐振动。

(2)单摆的周期公式①在摆角很小情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆锤的质量和振幅无关。

②单摆周期的表达式③上式只适于小摆角(＜5°)的情况。

根据周期公式算出的T值与实际测定值间的误差，随摆角增大而增大。

摆角为7°时，误差为0.1％；15°时，0.5％；23°时，1％。

单摆的最大摆角应小于5°。

④单摆的周期在振幅较小时，与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的。

谈谈单摆实验高考点以及简谐振动周期公式推导谈谈单摆实验高考点以及简谐振动周期公式推导单摆实验在高考中经常出现，主要是利用单摆来测量当地重力加速度，其原理为：T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}化解为：l=\frac{g}{4π^2}T^2或 T^2=\frac{4π^2}{g}l然后作出l-T^2或 T^2-l 的图像，通过图像斜率即可得到重力加速度。

非常简单！考点在哪里？主要有两点，就是周期T怎么测量？摆长l怎么测量？先说如何衡量周期。

只需要使用秒表以及如何使用。

我已经在下面的文章中介绍过了:考点在于我们测周期的时候，肯定要测多个周期，如n个周期，再用n个周期的总时间t除以n得到一个周期的时间，然后我们就要问，从哪个点作为周期的起点和终点呢？两种选择，一是最高点，二是平衡位置，如果要有第三个选择，那就是任意位置。

答案是什么？平衡位置。

原因是什么？我们可以这样认为。

一方面，最高点的位置很难判断，无法确定是否达到最高点，所以我们选择平衡位置来计数。

但是有小伙伴提出来了，平衡位置处小球速度比较快，一下就过去了，不好计数，而最高点处小球速度慢，好计数。

这是一个很好的问题。

但是做实验不是怎么方便就能怎么来的，我们仔细来分析一下，正因为在平衡位置处小球速度快，所以才要选择在平衡位置处计数，为什么呢？我们人眼是有观测误差的，不能保证每次都百分之百正确定位某一位置，比如，我们选择在最高点计数时，可能是定位在最高点的某个范围呢，如下：当然，在平衡位置计数时，也是定位在平衡位置的某个范围内，如下：但是，我们知道，平衡位置处小球运动速度快，所以同样因为位置定位误差所造成的时间误差比较小。

例：(2016年10月浙江物理选考第21题)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，测量单摆的周期时，图中________(填“甲”“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些。

接下来，我们再讲一讲摆长的问题，就是 l ，其实很简单，摆长不只是细线的长度，而是细线长度加上小球的半径，有小伙伴说，小球的半径是不是可以忽略，当然不可以了！但是有一点，我有必要跟小伙伴们说一下，我们测量细线长度用的是一般的刻度尺，读数为x.xxcm，即xx.xmm，而小球的半径（直径）是用游标卡尺测量的，如果用10分度的游标卡尺，其读数为xx.xmm，其精度与刻度尺相匹配，如果用20分度或50分度来测量的话，其精度将高于细线测量的精度，其实是没有必要的，当然也可以这样做。