练_锐角三角函数(沪科版)(解析版)

锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。

- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。

- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。

答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。

答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。

答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。

答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。

证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。

23.1.3.一般锐角的三角函数值同步练习,沪科版九年级数学上册（含答案）_23.1.3.一般锐角的三角函数值一、选择题 1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,若cosA=513,则sinB的值是() A.512 B.1213 C.23 D.513 2.若α是锐角,sinα=cos50°,则α的度数为() A.20° B.30° C.40° D.50° 3.已知32cosAcos10°,则锐角A的取值范围是() A.60°∠A80° B.30°∠A90° C.20°∠A60° D.10°∠A30° 4.为了方便行人推车过某天桥,市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道,如图1所示,我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是() 图 1 A.2ndFsin-10·25= B.sin2ndF0·25= C.sin0·25= D.2ndFcos-10·25= 5.已知在Rt△ABC中,∠C为直角,设x=sinA+cosA,y=sinB+cosB,则x,y的大小关系为() A.xy B.x=y C.xy D.以上情况都有可能6.三角函数sin30°,cos16°,cos43°之间的大小关系是() A.cos43°cos16°sin30° B.cos16°sin30°cos43° C.cos16°cos43° sin30° D.cos43°sin30°cos16° 二、填空题7.已知α为锐角,sin(90°-α)=33,则cosα=. 8.已知sin42°54＇=0.6807,若cosα=0.6807,则α=. 9.用“”或“”连接下面的式子: (1)tan19°tan21°;(2)cos18°sin18°. 10.如图2,有一滑梯AB,其水平长度AC 为5.3米,铅直高度BC为2.8米,则∠A的度数约为(用科学计算器计算,结果精确到0.1°). 图 2 11.比较大小:sin40°·cos50°-12 0. 12.若30°αβ90°,则(cosβ-cosα)2-cosβ-32+|1-cosα|=. 三、解答题13.用计算器求下列各组三角函数值,并从中总结规律(精确到0.0001): (1)sin40°,cos50°; (2)sin23°37＇,cos66°23＇. 14.比较大小.(1)sin46°与cos31°; (2)sin37°与tan47°. 15.不用计算器,求出下列式子的值. (1)|cos40°-1|+1-cos250°;(2)sin218°+cos45°·tan25°·tan65°+sin72°· cos18°. 16.如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD.(1)求∠D的度数; (2)求tanD的值; (3)利用(2)的结果计算:tan22.5°·cos45°+(sin45°-tan22.5°)2. 图3 17.已知:如图4,在△ABC 中,AB=8,AC=9,∠A=48°. 求:(1)AB边上的高(精确到0.01); (2)∠B的度数(精确到1＇). 图4 18.(1)用计算器计算并比较sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系; (2)若α,β,α+β都是锐角,猜想sinα+sinβ与sin(α+β)的大小关系; (3)请借助如图5的图形证明上述(2)中的猜想. 图5 答案1.[解析] D∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°,∴sinB=cosA=513. 2.[解析] C由sinα=cos(90°-α), 可知90°-α=50°, ∴α=40°.故选C. 3.[解析] D ∵cos30°=32,cos30°cosAcos10°,余弦值随锐角的增大而减小, ∴10°∠A30°.故选D. 4.[解析] A sinA=BCAC=1040=0.25,所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为2ndFsin-10·25=. 5.[解析] B∵在Rt△ABC中,∠C为直角, ∴∠A+∠B=90°, ∴sinA=cosB,sinB=cosA, ∴x=sinA+cosA=cosB+sinB. ∵y=sinB+cosB,∴x=y. 故选B. 6.[解析] C根据互余两角的三角函数之间的关系,可知sin30°=cos60°.因为余弦值随着锐角的增大而减小,所以cos16°cos43°cos60°,即cos16°cos43°sin30°. 7.[答案] 33 [解析] ∵sin(90°-α)=cosα,sin(90°-α)=33,∴cosα=33. 8.[答案] 47°6＇[解析] 根据互余两个锐角的正弦、余弦的关系可知α+42°54＇=90°,∴α=90°-42°54＇=47°6＇. 9.[答案] (1)(2) [解析] (1)因为正切值随锐角的增大而增大,19°21°,所以tan19°tan21°,故应填“”.(2)由cos18°=sin(90°-18°)=sin72°,72°18°,得sin72°sin18°,即cos18°sin18°. 10.27.8° 11.[答案] [解析] ∵sin40°·cos50°=sin40°·sin40°=sin240°sin245°=(22)2=12, ∴sin40°·cos50°-120. 12.[答案] 1-32 [解析] ∵30°αβ90°, ∴cosβcosα,cosβcos30°=32,0cosα1, ∴原式=|cosβ-cosα|+cosβ-32+1-cosα =-cosβ+cosα+cosβ-32+1-cosα =1-32. 故答案为1-32.13.解:(1)sin40°≈0.6428,cos50°≈0.6428. (2)sin23°37＇≈0.4006,cos66°23＇≈0.4006. 规律:若锐角A,B满足∠A+∠B=90°, 则sinA=cosB. 14.解:(1)∵cos31°=sin(90°-31°)=sin59°,sin59°sin46°,∴sin46°cos31°.(2)∵sin37°sin45°=221,tan47°tan45°1,∴sin37°tan47°. 15.解:(1)原式=1-cos40°+sin250° =1-cos40°+sin50° =1-cos40°+cos40° =1.(2)sin218°+cos45°·tan25°·tan65°+sin72°·cos18°=sin218°+22×1+cos218° =1+22. 16.解:(1)由题意知△ABC是等腰直角三角形, 所以∠CAB=∠ABC=45°. 因为AD=AB,所以∠D=∠ABD. 因为∠CAB=∠D+∠ABD=45°, 所以∠D=∠ABD=∠CAB2=22.5°. (2)由BC=AC=a,∠C=90°, 根据勾股定理,得AB=2a, 所以AD=AB=2a, 所以CD=AD+AC=(2+1)a. 在Rt△BCD中,tanD=BCCD=a(2+1)a=2-1,即tanD=2-1. (3)由(1)(2)知tan22.5°=tanD=2-1, 所以原式=tan22.5°·cos45°+sin45°-tan22.5°=(2-1)×22+22-(2-1)=1-22+22-2+1=2-2. 17.解:(1)作AB边上的高CH,垂足为H. ∵在Rt△ACH 中,sinA=CHAC, ∴CH=AC·sinA=9sin48°≈6.69. (2)∵在Rt△ACH 中,cosA=AHAC, ∴AH=AC·cosA=9cos48°, ∴在Rt△BCH中, tanB=CHBH=CHAB-AH=9sin48°8-9cos48°≈3.382, ∴∠B≈73°32＇.18.解:(1)sin25°+sin46°≈0.423+0.719=1.142,sin71°≈0.946, ∴sin25°+sin46°sin71°. (2)sinα+sinβsin(α+β). (3)证明:sinα+sinβ=ABOA+BCOB, sin(α+β)=AEOA. ∵OAOB, ∴*****A, ∴ABOA+*****A+BCOA=AB+BCOA. ∵AB+BCAE, ∴ABOA+*****A, ∴sinα+sinβsin(α+β).。

锐角的三角函数值第1课时 30°、60°、45°角的三角函数值1．将(－sin 30°)－2、()0、(3这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的结果是( )．A.．(－sin 30°)－2＜()0＜(3B ．(－sin 30°)－2＜()3＜()0C ．(3＜()0＜(－sin 30°)－2D ．()0＜(3＜(－sin 30°)－22．如图，每个小正方形的边长为1，A.，B ，C 是小正方形的顶点，则∠A.BC 的度数为( )．A.．90° B ．60°C ．45°D ．30°3．在锐角△A.BC 中，∠B＝α，∠C＝α－15°，且sin(α－15°)＝2，则∠A.＝________.4．计算：(1)tA.n 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°t A.n 45°；(2)sin 60cos30︒︒；(3)cos 60°－sin 245°＋23tan 304︒－tA.n 245°.5．一个等腰三角形的腰是10，底边是12，求这个三角形顶角的正弦值、余弦值、正切值．6．在△A.BC 中，cos A ＋21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0，求∠C．7．如图，海船以29.8海里/时的速度向正北方向航行，在A.处观察到灯塔C 在海船的北偏东30°方向上，半小时后航行到点B 处，发现此时灯塔C 与海船的距离最短．(1)在图上标出点B 的位置；(2)求灯塔C 到B 处的距离(精确到0.1海里)． 8．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时50/3⎛⎫⎪⎝⎭即米秒，并在离该公路100米处设置了一个监测点A.．在如图所示的直角坐标系中，点A.位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A.的北偏西60°方向上，点C 在A.的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，A.O 为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标．(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？((3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A.处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？9．(创新应用)如图，某居民小区内A.、B两楼之间的距离MN＝30 m，两楼的高都是20 m，A.楼在B楼正南，B楼窗户朝南．B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN＝2 m，窗户高CD＝1.8 m．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A.楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(参考答案1解析：(－sin 30°)－2＝4，()0＝1，(3＝-，所以(3＜()0＜(－sin 30°)－2. 答案：C2解析：连接A.C ，则A.C ，BC A.B∴A.C 2＋BC 2＝A.B 2.∴△A.BC 为等腰直角三角形．∴∠A.BC ＝45°. 答案：C3解析：在锐角三角形中，sin(α－15°)＝2， ∴α＝75°，即∠B＝75°，∠C＝60°. ∴∠A.＝180°－∠B－∠C＝45°. 答案：45°4解：(1)tA.n 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°t A.n 45°＝2212⎛+-⨯ ⎝⎭⎝⎭＝131242+-＝34.(2)sin 60|1cos3022︒=÷︒＝1－1.(3)cos 60°－sin 245°＋23tan 304︒－tA.n 245°＝221311131122432244⎛⎛-+⨯-=-+-= ⎝⎭⎝⎭. 5解：如图所示，A.B ＝A.C ＝10，BC ＝12，作A.D⊥BC 于点D ，作CE⊥A.B 于点E.∵A.B ＝A.C ，A.D⊥BC， ∴BD＝CD ＝6.在Rt△A.BD 中，A.D ＝＝8.又∵S △A.BC ＝12AB CE ⋅= 12BC AD ⋅， ∴10×CE＝12×8，CE ＝9.6.在Rt△A.CE 中，A.E 2.8.∴sin∠B A.C ＝9.610CE AC =＝0.96，cos∠B A.C ＝ 2.810AE AC =＝0.28，tA.n∠B A.C ＝9.62.8CE AE =＝247.6解：∵21cos sin 2A B ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝0，由于cos A -≥0，21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0，∴cos A -0，21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0.∴cos A.－2＝0，sin B －12＝0，即cos A.，sin B ＝12.∴∠A.＝45°，∠B＝30°.∴∠C＝180°－45°－30°＝105°.7解：(1)如图，作CB⊥A.D ，垂足为B ，则点B 即为所求．(2)在Rt△A.BC 中，A.B ＝29.8×0.5＝14.9(海里)，BC ＝A.B×t A.≈8.6(海里)． 答：灯塔C 到B 处的距离约为8.6海里．8解：(1)在Rt△A.OB 中，OA.＝100，∠B A.O ＝60°，OB ＝OA.·t A.n∠B A.O ＝， 在Rt△A.OC 中，∵∠C A.O ＝45°， ∴OC＝OA.＝100.∴B(-0)，C(100,0)．(2)∵BC＝BO ＋OC ＝＋100，≈18.∵18＞503，∴这辆车超速了．(3)设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶了2x 米，且两车之间的距离为y当x ＝60时，y =米)．答：两车相距的最近距离为9解：如图，设光线FE 影响到B 楼的E 处，作BG⊥FM于点G，由题知EG＝MN＝30 m，∠FEG＝30°，2.68(m)．∵DN＝2 m，CD＝1.8 m.∴ED＝2.68－2＝0.68(m)，即A.楼影子影响到B楼一楼采光，挡住该户窗户0.68 m高．。

锐角的三角函数1. 在ABC ∆，90C ∠=︒，1sin 2A =，则sinB 等于（）A ．12 B ．22 C ．3 D ．12. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4sin 5A =，则sin B 的值是（）A ．34B ．35C ．43 D ．533. ABC ∆中，90C ∠=︒，且3c b =，则sin A 等于（）A ．23B 223C ．13D ．1034. 等腰直角三角形的边长为6，8，则底角的正弦是（）A ．23B ．38C ．53D ．23和385.如图3，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =32AB =sin ∠BCD 的值为（）.A 2B ．22C ．63 D ．336. 如图4，有两条宽度为1的带子，相交成α角，那么重叠部分（阴影）的面积是（）.A ．sinB ．1sin αC ．21sin αD ．1cos α7.在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2，则BC ＝8. 在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则sin A =9. 在正方形网格中，α∠的位置如图所示，则sin α的值为______. 10.在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求锐角的正弦值．11.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 () A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定12.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，则sinB 等于( )A.52B.53C.54D.4313.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于( )A.25B.35C.552D.3214.如果α是锐角,且sinα=54,那么cos(90°-α)的值为( )A.54B.43C.53D.5115.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )A.210B.510C.515D.515316.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________.17.如图,已知菱形ABCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan 2A等于( ) A.53 B.54C.343D.34518.如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°19.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.20.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt △ABC 的面积是___________.21.如图,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.22.在Rt △ABC 中,∠C=90°,A.B.c 分别是∠A.∠B.∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A.∠B 的三角函数值.23.在Rt △ABC 中,∠C=90°,A.B.c 分别是∠A.∠B.∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.24.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB.AD 的长.25.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC的值；（2）AD的长.26.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.A8.359. 10.34,55或3,4 11.A12.C13.B14.A15.C16.3617.A18.B19.７米20、2421.解：过A 作AD ⊥BC 于D,∵AB=AC,∴BD=2.在Rt △ADB 中，由勾股定理,知AD=24262222=-=-BD AB ， ∴sinB=322=ABAD . 22.解：根据勾股定理得b=4,sinA=53,cosA=54，tanA=43;sinB=54,cosB=53，tanB=34.23.解：由三角函数定义知a=btanA ，所以a=6，根据勾股定理得c=26.24.解：如题图，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°,∴BC ＝DC ＝6.在Rt △ABC 中，sinA=53, ∴AB BC =53.∴AB=10.∴AC=2222610-=-BC AB =8. ∴AD=AC-CD=8-6=2.25.解：（1）∵AB=AC,AD ⊥BC,∴AD ＝BC ＝2DC.∴tanC=2.（2）∵tanC=2，BE ⊥AC,BE=4,∴EC=2. ∵BC2=BE2+EC2,∴BC=52.∴AD=52.26.解：∵AC2=AB2-BC2,∴AC=3500.∴tanA=33,即山坡的坡度为33。

ACP锐角三角函数测试题一、 选择题（每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（ ）A 、35 B 、32C 、552D 、25 2、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（ ）A 、1200mB 、2400mC 、4003mD 、12003m3、（08襄樊市）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（ ） A ．12B 2C 3D 3 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（ ） A 、34 B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（ ）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠AC 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ，A BC（ α 图1CE DAB图2（ α如果PC=6，那么PD 等于（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 9、已知∠A 为锐角，且cosA ≤21，则（ ） A 、 0°≤A ≤60° B 、60°≤A ＜90° C 、0°＜A ≤30° D 、30°≤A ≤90°10、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tan α的值为（ ） A 、21 B 、34 C 、43D 、2二、 填空题（每小题3分，共30分） 11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则k 的值为 。

2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.3 一般锐角的三角函数值同步练习（新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.3 一般锐角的三角函数值同步练习（新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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23。

1.3 一般锐角的三角函数值知识点 1 互余两角的正弦、余弦的关系1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝23,那么cos B的值为( ）A。

错误! B. 错误!C。

错误! D．不能确定2．如果α是锐角,且sinα＝0。

8，那么cos（90°－α）等于（）A．0。

8 B．0.75 C．0.6 D．0。

23．若α是锐角,sinα＝cos50°，则α等于( )A．20° B．30° C．40° D．50°4．已知sin42°54′＝0.6807,如果cosα＝0.6807，那么α＝________。

5．化简下列各式：(1)1－sin70°＋cos20°；(2)错误!.知识点 2 用计算器求锐角的三角函数值6．利用计算器计算sin30°时,依次按键错误!错误!错误!错误!，显示的结果是( ) A．0.5 B．0.707 C．0。

866 D．17．用计算器计算cos44°的结果(精确到0。

23.1一、选择题(每小题4分，共40分)1．如图5－G －1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为( )A ．2 B. 12 C. 55 D. 2 55图5－G －12．如图5－G －2所示，若Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cos E 的值等于( ) A. 12 B. 22 C. 32 D. 33图5－G －23．在正方形网格中，△ABC 的位置如图5－G －3所示，则cos B 的值为( ) A. 12 B. 22 C.32 D. 33图5－G －34．在△ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝12，则cos B 的值为( ) A. 12 B. 32 C. 22D ．1 5．下列式子中成立的是( )A ．sin30°＋sin45°＝sin75°B ．cos36°＝sin54°C ．cos63°>cos36°D ．sin36°>cos36°6．已知∠A 是锐角，sin A ＝35，则5cos A 等于( ) A ．4 B ．3 C.154D ．5 7．若α为锐角，且2sin(90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝m ，∠A ＝α，那么AC 的长为( )A ．m ·sin αB ．m ·cos αC ．m ·tan α D. m tan α9．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°10．如图5－G －4，过点C (－2，5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( ) A. 25 B. 23 C. 52 D. 32图5－G －4二、填空题(每小题4分，共16分)11．已知斜坡AB的坡度i＝13，则斜坡AB的坡角的度数是________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝32；②cos B＝12；③tan A＝33；④tan B＝ 3.其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号)．13．如图5－G－5，将四根木条钉成的长方形木框变形为▱ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的一个最小内角为________°.图5－G－514．如图5－G－6，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等．若直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC＝90°且AB＝3AD，则tanα＝________．图5－G－6三、解答题(共44分)15．(6分)计算：－12018－(π－3)0＋2cos30°－2tan45°·tan60°.16．(6分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝34，求sin A，cos A的值．17．(8分)如图5－G－7，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝32，求sin B＋cos B的值．图5－G－718．(12分)如图5－G－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．图5－G－819．(12分)如图5－G－9，根据图中的数据先完成填空，再按要求答题．图5－G－9(1)sin2A1＋sin2B1＝________；sin2A2＋sin2B2＝________；sin2A3＋sin2B3＝________；(2)观察(1)中的等式，猜想：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则sin2A＋sin2B＝________；(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明(2)中的猜想．教师详解详析1．B2．A [解析] ∵Rt △ABC ∽Rt △DEF ，∴∠E ＝∠B ＝60°，∴cos E ＝cos 60°＝12.故选A . 3．B [解析] 用正方形网格构造直角三角形，cos B ＝55 2＝22. 4．A [解析] 由已知得∠A ＝30°，则∠B ＝60°，所以cos B ＝12. 5．B6．A [解析] 根据三角函数的定义，可作图如下：设a ＝3，c ＝5，则b ＝4，所以5cos A ＝5×45＝4. 7．A [解析] 因为2sin (90°－α)＝3，所以sin (90°－α)＝32，所以α＝30°. 8．B [解析] 由题意，得cos A ＝AC AB，AC ＝AB·cos A ＝m·cos α. 9．B [解析] 由题意，得Δ＝2－4sin α＝0，解得sin α＝12，∴α＝30°.故选B . 10．B [解析] 如图，过点C 作CD ⊥y 轴．∵C(－2，5)，∴CD ＝2，OD ＝5.∵A(0，2)，∴OA ＝2，∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23. 11．30° [解析] 坡角的正切值等于坡度．12．②③④ [解析] 解决此问题的关键是找到直角三角形三边之间的数量关系．首先设AB ＝2，BC ＝1，由勾股定理求出AC 的长，进而根据锐角三角函数的定义判断各结论是否正确．具体过程如下：根据题意，因为∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则该直角三角形是含30°角的直角三角形，则BC ∶AB ∶AC ＝1∶2∶3，令BC ＝1，AB ＝2，AC ＝3，作出图形如下所示： ①sin A ＝BC AB ＝12，②cos B ＝BC AB ＝12，③tan A ＝BC AC ＝33，④tan B ＝AC BC＝3，则正确结论的序号为②③④.13．30 [解析] 如图，作▱ABCD 中BC 边上的高AE ，则由题意可知，AB ＝2AE.在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB ＝12，∴∠B ＝30°. 14. 34[解析] 如图，作AE ⊥l 5，垂足为E. ∵直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4∥l 5，相邻两条平行直线间的距离都相等，直角梯形ABCD 的三个顶点在平行直线上，∠ABC ＝90°，∴∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∠α＋∠EAD ＝90°，∴∠α＝∠BAE ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，∴△ABE ∽△DAF ，∴AF BE ＝DF AE ＝AD AB ＝13. 设AE ＝4y ，∴DF ＝43y ，AF ＝y ， ∴tan α＝AF DF ＝34. 15．解：原式＝－1－1＋3－2 3＝－2－ 3.16．[解析] 画一个直角三角形，建立模型，根据tan A 表示“对比邻”，通过设k 法，利用勾股定理求出第三边长，再利用“对比斜”写出正弦值，“邻比斜”写出余弦值．解：如图，∵tan A ＝BC AC＝34， ∴设BC ＝3k ，则AC ＝4k ，∴AB ＝（3k ）2＋（4k ）2＝5k.∴sin A ＝BC AB ＝3k 5k ＝35，cos A ＝AC AB ＝4k 5k ＝45. 17．解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32， ∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45， ∴sin B ＋cos B ＝75. 18．解：(1)在Rt △CAD 中，AD ＝AC 2＋CD 2＝5，∴sin α＝55，cos α＝2 55，tan α＝12. (2)∵∠B ＝α，tan B ＝AC BC ，tan α＝CD AC ＝12， ∴AC BC ＝12， ∴BC ＝2AC ＝4，∴BD ＝4－1＝3.19．解：(1)1 1 1(2)1(3)证明：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c，a 2＋b 2＝c 2， ∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2c 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2c 2＝1.。

九年级上学期数学课时练习题（23.1 锐角三角函数）一.选择题1.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A.BDBC B.BCABC.ADACD.CDAC第1题图第2题图第9题图第10题图2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）3523253.若锐角α满足cosα2，且tanα3α的范围是（）A.30°＜α＜45°B.45°＜α＜60°C.60°＜α＜90°D.30°＜α＜60°4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A.tan70°＜cos70°＜sin70°B.cos70°＜tan70°＜sin70°C.sin70°＜cos70°＜ta n70°D.cos70°＜sin70°＜ta n70°5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝35，则sin B的值为（）A.45 B.35C.34D.436.已知α是锐角，cos α＝13，则tan α的值是（ ）7.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为（ ）A.1213B.513 C.125 D.5138.在△ABC 中，若角A ，B 满足cos A +(1－tan B )2＝0，则∠B 的大小是（ ）A.45°B.60°C.75°D.105°9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB 等于（ ）35D.31010.如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y ＝2x上，第二象限的点B在反比例函数y ＝k x 上，且OA ⊥OB ，cos A ，则k 的值为（ ）二.填空题11.已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，如果CD ＝3，BD ＝2，那么cos ∠A 的值是__________.13.若α为锐角，且cos α＝132-m ，则m 的取值范围是_________________.14.已知：＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是__________________.15.已知：α是锐角，且tan α＝34，则sin α+cos α＝__________.16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a ＝3b ，那么sin A ＝________.三.解答题 17.计算下列各题 （1）2sin60°－4cos230°+sin45°tan60° .（2）2tan 60-︒－(π－3.14)0+(-12)-2+1212+tan27°tan63° .18.先化简，再求值：2-+a ba b÷222244-++a b a ab b －1，其中a ＝2sin60°－tan45°，b ＝1.19.如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.20.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD .CB 相交于点H .E ，AH ＝2CH . （1）求sin B 的值； （2）如果CD ＝5，求BE 的长.21.已知：sinα，cosα（0°＜α＜90°）是关于x的一元二次方程2x2－(3+1)x+m＝0的两个实数根，试求角α的度数.22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB.CD 段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B.C在同一水平地面上.（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.（5≈2.236，结果精确到0.1m）23.1《锐角三角函数》课时练习参考答案一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D B D A B C D B B1.αD，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A.BDBC B.BCABC.ADACD.CDAC解答：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC ＝BCAB＝DCAC，故选：C.2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）A.33 B.55C.23D.25解答：过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理，得：AB＝10，AD＝22，∴cos A＝ADAB ＝255，故选：D.3.若锐角α满足cosα＜22，且tanα＜3，则α的范围是（）A.30°＜α＜45°B.45°＜α＜60°C.60°＜α＜90°D.30°＜α＜60°解答：∵α为锐角，∴cos α＞0，又∵cos α＜2，∴0＜cos α＜2，∵cos90°＝0，cos45°＝2，根据锐角三角函数的增减性可得：45°＜α＜90°， ∵tanα＞0，tan α0＜tan α又∵tan0°＝0α＜60°，综合上述，45°＜α＜60°， 故选：B.4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ） A.tan70°＜cos70°＜sin70° B.cos 70°＜tan 70°＜sin70° C.sin 70°＜cos70°＜ta n70° D.cos 70°＜sin 70°＜ta n70°解答：根据锐角三角函数的概念，知：sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos 70°＝sin 20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin 70°＞sin 20°，即sin 70°＞cos 70°，∴cos70°＜sin 70°＜ta n70° 故选D ．5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos B ＝35，则sin B 的值为（ ）A.45B.35C.34D.43解答：∵sin 2B +cos 2B ＝1，cos B ＝35，∴sin B 45，故选：A.6.已知α是锐角，cos α＝13，则tan α的值是（ ）解答：由sin 2α+cos 2α＝1，cos α＝13，得：sin α，∴tanα＝sin cos αα＝，故选：B.7.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为（ ）A.1213B.513 C.125 D.513解答：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513， ∴可设BC ＝5k ，AB ＝13k ，∴AC 12k ，∴tan B ＝AC BC＝125k k＝125，故选：C.8.在△ABC 中，若角A ，B 满足cos A +(1－tan B )2＝0，则∠B 的大小是（ ）A.45°B.60°C.75°D.105°解答：由题意得，cos A ＝2，tan B ＝1，则∠A ＝30°，∠B ＝45°，则∠C ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故选：D ．9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB 等于（ ）A.332 B.35C.10D.310解答：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CD⊥AB于C，由勾股定理，得：AB＝AC＝5，BC＝2，由等腰三角形的性质，得：BE＝12BC＝22，∴AE＝22AB BE＝322，由三角形的面积，得：12AB CD＝12BC AE，∴CD＝BC AEAB＝35，∴sin∠CAB＝CDAC ＝35，故选：B.10.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝2x上，第二象限的点B 在反比例函数y＝kx上，且OA⊥OB，cos A＝3，则k的值为（）A.-3B.-6C.-4D.-23解答：作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，设A点坐标为(x，y)，则∠BCO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BCO+∠AOD＝∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠BCO＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO，∴△OAD∽△BOC，∴OAOB ＝ADOC＝ODBC，∵cos∠BAO＝OAOB ＝3，∴ADOC＝ODBC＝3，∵y＝AD＝3OC，x＝OD＝3BC，∵第一象限内的点A在反比例函数y＝2x上，∴xy＝3OC×3BC＝2，∴k＝OC BC＝2×3＝－6，故选：B.二.填空题11. 35. 12. 31313． 13. －13＜m＜13．14. 20°＜∠A＜30° 15. 75 16. 12.11.已知：∠A+∠B＝90°，若sin A＝35，则cos B＝__________.解答：由∠A+∠B＝90°，sin A＝35，得：cos B＝sin A＝35，故答案为：35．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果CD＝3，BD＝2，那么cos∠A的值是__________.解答：如图所示，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∵CD＝3，BD＝2，∴BC＝13，∴cos A＝cos∠BCD＝DCBC ＝13＝31313，故答案为：31313．13.若α为锐角，且cosα＝132-m，则m的取值范围是_________________. 解答：∵0＜cosα＜1，∴0＜132-m ＜1，解得：－13＜m ＜13，故答案为：－13＜m ＜13．14.＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是____________.解答：∵＜cos A ＜sin 70°，sin 70°＝cos 20°，∴cos 30°＜cos A ＜cos 20°，∴20°＜∠A ＜30°． 故答案为：20°＜∠A ＜30°．15.已知：α是锐角，且tan α＝34，则sin α+cos α＝__________.解答：由tan α＝a b＝34知，如果设a ＝3x ，则b ＝4x ，结合a 2+b 2＝c 2得c ＝5x ．所以sin α＝a c＝35x x＝35，cos α＝b c＝45x x＝45，sin α+cos α＝35+45＝75，故答案为：75．16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a，那么sin A ＝________.解答：∵3a，∴ab；令a，则b ＝3k ；c k ．∴sin A ＝12，故答案为：12.三.解答题 17.计算下列各题 （1sin60°－4cos230°+sin45°tan60° .解答：－4×)2+2－3（2）2tan 60-︒－(π－3.14)0+(-12)-2+12tan27°tan63° .解答：原式＝2－+1＝2－+1＝618.先化简，再求值：2-+a ba b÷222244-++a b a ab b －1，其中a ＝2sin60°－tan45°，b ＝1.解答：2-+a ba b ÷222244-++a b a ab b －1＝2-+a ba b÷2()()(2)+-+a b a b a b －1＝2-+a ba b×2(2)()()++-a b a b a b －1＝2++a b a b－1＝+ba b，当a ＝2sin60°－tan45°＝2－11，b ＝1时，.19.如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.解答：过A 作AD ⊥BC 于点D ，∵S △ABC ＝12BC AD ＝84，∴12×14×AD ＝84，∴AD ＝12．又∵AB＝14，∴BD＝22-AB AD＝9．∴CD＝14﹣9＝5．在Rt△ADC中，AC＝22+AD DC＝13，∴tan C＝ADDC ＝125；过B作BE⊥AC于点E，∵S△ABC＝12AC EB＝84，∴BE＝16813，∴sin∠BAC＝BEAB ＝1681315＝5665.20.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD.CB相交于点H.E，AH＝2CH.（1）求sin B的值；（2）如果CD＝5，求BE的长.解答：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理，得：AC＝5CH，∴CH：AC＝1：5，∴sin B＝5；（2）由sin B＝5得：ACAB ＝5，∴AC＝2，∵∠B＝∠CAH，∴sin∠CAH＝sin B＝5，设CE＝x（x＞0），则AE＝5x，则x2+22＝(5x)2，∴CE＝x＝1，AC＝2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2CD＝25，∴BC＝4，∴BE＝BC－CE＝3.21.已知：sinα，cosα（0°＜α＜90°）是关于x的一元二次方程2x2－(3+1)x+m＝0的两个实数根，试求角α的度数.m，解答：由根与系数的关系，得：sinα+cosα＝31+，sinαcosα＝2∵(sinα+cosα)2＝sin2α+cos2α+2 sinαcosα＝1+2 sinαcosα，m，解得：m＝3，∴(31+)2＝1+2×2把m＝3代入原方程得：2x2－(3+1)x+3＝0，，x2＝3，解这个方程得：x1＝12或sinα＝3，∴sinα＝12∴α＝30°或60°.22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB.CD 段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.解答：过点B作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G，在Rt△ABE中，BE＝AB sin30°＝20×1＝10km，2＝在Rt△BCF中，BF＝BC÷com30°＝10÷32203km，3CF＝BF•sin30°＝203×12＝103km，DF＝CD－CF＝(30－103)km，在Rt△DFG中，FG＝DF sin30°＝(30－103)×12＝(15－53)km，EG＝BE+BF+FG＝(25－53)km，答：两条高速公路间的距离为(25－53)km.23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B.C在同一水平地面上.（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.（5≈2.236，结果精确到0.1m）解答：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴i＝ACBC ＝12，∴BC＝2AC＝4×2＝8m，（2）作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H，∵∠DGH＝∠BSH＝90°，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴tan∠GDH＝tan∠SBH＝ACBC ＝GHGD＝12，∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，∴DH＝2212+＝5m，BH＝BF+FH＝3.5+（2.5－1）＝5m，设HS＝x m，则BS＝2x m，由勾股定理，得：x2+(2x)2＝52，解得：x＝5m，∴DS＝DH+HS＝5+5＝25m，答：点D离地面的高为。

23.1.1 第2课时 正弦与余弦知|识|目|标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的定义，会求锐角的正弦值与余弦值． 2．初步了解三角函数的定义，会根据已知条件求一个锐角的三角函数值．目标一 会求锐角的正弦值与余弦值例1 ［教材例2针对训练］在Rt △ABC 中，如图23－1－6，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝________．图23－1－6(1)根据正弦的定义，sin A ＝BC AB ＝________，sin B ＝ACAB ＝________； (2)根据余弦的定义，cos A ＝AC AB ＝________，cos B ＝BCAB＝________． 【归纳总结】求锐角三角函数值的三种方法：(1)在直角三角形中确定各边长，根据定义直接求出；(2)利用相似、全等关系，寻找与所求角相等的角(该角的三角函数值已知或者易求)； (3)利用互余的两个角间的特殊关系求解．例2 ［教材补充例题］如图23－1－7，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，tan A ＝43.求sin A ，cos A 的值．图23－1－7【归纳总结】已知锐角的一个三角函数值，求另外两个三角函数值的步骤： (1)构造直角三角形；(2)根据已知的三角函数值，设出未知数表示直角三角形两边的长，根据勾股定理求出第三边长； (3)根据三角函数的定义，求其他的三角函数值． 目标二 会求锐角的三角函数例3 高频考题如图23－1－8，已知△ABC 的顶点都在5×5的网格点上，求锐角α的各个三角函数值．图23－1－8【归纳总结】把三角形放到网格中，求三角形的某个内角的三角函数值是中考高频题．可直接借助网格图或通过作辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求出直角三角形的边长，然后来求某个内角的三角函数值．知识点一 正弦如图23－1－9，在Rt △ABC 中，锐角A 的______与______的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.知识点二 余弦如图23－1－9，在Rt △ABC 中，锐角A 的______与______的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.为了方便记忆，常简说成正弦表示“对比斜”，余弦表示“邻比斜”．图23－1－9知识点三 三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做锐角A 的三角函数．sin A ，cos A ，tan A 都是整体符号，对于用三个大写字母表示的角，不能省略角的符号，如sin ∠ADB ；用数字表示的角，也不能省略角的符号，如sin ∠1；用希腊字母表示的角，可以省略角的符号，如sin α.[点拨] (1)在锐角三角函数的概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°＜∠A ＜90°.三个比值(正弦、余弦、正切)是因变量，当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为因变量的函数．(2)锐角三角函数的取值范围：0<sin θ<1，0<cos θ<1，tan θ>0.(θ是锐角)已知在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝13，b ＝12，c ＝5，求sin B .解：由锐角三角函数的定义，得sin B ＝b c ＝125.上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确答案．教师详解详析【目标突破】例1 10 (1)35 45 (2)45 35例2 [解析] 根据∠A 的正切值和AC 的长度求出BC 的长度，再根据勾股定理求出AB ，然后根据正弦与余弦的定义分别求出sin A 和cos A 的值．解：∵tan A ＝BC AC ＝43，AC ＝9，∴BC ＝43AC ＝43×9＝12，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝92＋122＝15， ∴sin A ＝BC AB ＝1215＝45，cos A ＝AC AB ＝915＝35.例3 [解析] 由于锐角α不位于直角三角形中，则需要构造直角三角形．连接网格点B ，D ，由勾股定理可求出得△ABD 是直角三角形，然后根据三角函数的各个定义求解．解：如图，连接网格点B ，D ，易知BD ＝2，AD ＝2 2，AB ＝10.又∵AB 2＝10，BD 2＋AD 2＝2＋8＝10，∴AB 2＝BD 2＋AD 2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴tan α＝BD AD ＝22 2＝12，sin α＝BD AB ＝210＝55， cos α＝AD AB＝2 210＝2 55.【总结反思】[小结] 知识点一 对边 斜边知识点二 邻边 斜边[反思] 不正确，错误的原因是受思维定式的影响，本题需要先确定△ABC 是不是直角三角形，如果是，应先确定直角和∠B 的对边，然后再利用定义求解．正解：因为b 2＋c 2＝122＋52＝169＝132＝a 2， 所以△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，所以sin B ＝b a ＝1213.。