沪科版数学习题23.1.3 一般锐角的三角函数值

23.1.3.一般锐角的三角函数值同步练习,沪科版九年级数学上册（含答案）_23.1.3.一般锐角的三角函数值一、选择题 1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,若cosA=513,则sinB的值是() A.512 B.1213 C.23 D.513 2.若α是锐角,sinα=cos50°,则α的度数为() A.20° B.30° C.40° D.50° 3.已知32cosAcos10°,则锐角A的取值范围是() A.60°∠A80° B.30°∠A90° C.20°∠A60° D.10°∠A30° 4.为了方便行人推车过某天桥,市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道,如图1所示,我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是() 图 1 A.2ndFsin-10·25= B.sin2ndF0·25= C.sin0·25= D.2ndFcos-10·25= 5.已知在Rt△ABC中,∠C为直角,设x=sinA+cosA,y=sinB+cosB,则x,y的大小关系为() A.xy B.x=y C.xy D.以上情况都有可能6.三角函数sin30°,cos16°,cos43°之间的大小关系是() A.cos43°cos16°sin30° B.cos16°sin30°cos43° C.cos16°cos43° sin30° D.cos43°sin30°cos16° 二、填空题7.已知α为锐角,sin(90°-α)=33,则cosα=. 8.已知sin42°54＇=0.6807,若cosα=0.6807,则α=. 9.用“”或“”连接下面的式子: (1)tan19°tan21°;(2)cos18°sin18°. 10.如图2,有一滑梯AB,其水平长度AC 为5.3米,铅直高度BC为2.8米,则∠A的度数约为(用科学计算器计算,结果精确到0.1°). 图 2 11.比较大小:sin40°·cos50°-12 0. 12.若30°αβ90°,则(cosβ-cosα)2-cosβ-32+|1-cosα|=. 三、解答题13.用计算器求下列各组三角函数值,并从中总结规律(精确到0.0001): (1)sin40°,cos50°; (2)sin23°37＇,cos66°23＇. 14.比较大小.(1)sin46°与cos31°; (2)sin37°与tan47°. 15.不用计算器,求出下列式子的值. (1)|cos40°-1|+1-cos250°;(2)sin218°+cos45°·tan25°·tan65°+sin72°· cos18°. 16.如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD.(1)求∠D的度数; (2)求tanD的值; (3)利用(2)的结果计算:tan22.5°·cos45°+(sin45°-tan22.5°)2. 图3 17.已知:如图4,在△ABC 中,AB=8,AC=9,∠A=48°. 求:(1)AB边上的高(精确到0.01); (2)∠B的度数(精确到1＇). 图4 18.(1)用计算器计算并比较sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系; (2)若α,β,α+β都是锐角,猜想sinα+sinβ与sin(α+β)的大小关系; (3)请借助如图5的图形证明上述(2)中的猜想. 图5 答案1.[解析] D∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°,∴sinB=cosA=513. 2.[解析] C由sinα=cos(90°-α), 可知90°-α=50°, ∴α=40°.故选C. 3.[解析] D ∵cos30°=32,cos30°cosAcos10°,余弦值随锐角的增大而减小, ∴10°∠A30°.故选D. 4.[解析] A sinA=BCAC=1040=0.25,所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为2ndFsin-10·25=. 5.[解析] B∵在Rt△ABC中,∠C为直角, ∴∠A+∠B=90°, ∴sinA=cosB,sinB=cosA, ∴x=sinA+cosA=cosB+sinB. ∵y=sinB+cosB,∴x=y. 故选B. 6.[解析] C根据互余两角的三角函数之间的关系,可知sin30°=cos60°.因为余弦值随着锐角的增大而减小,所以cos16°cos43°cos60°,即cos16°cos43°sin30°. 7.[答案] 33 [解析] ∵sin(90°-α)=cosα,sin(90°-α)=33,∴cosα=33. 8.[答案] 47°6＇[解析] 根据互余两个锐角的正弦、余弦的关系可知α+42°54＇=90°,∴α=90°-42°54＇=47°6＇. 9.[答案] (1)(2) [解析] (1)因为正切值随锐角的增大而增大,19°21°,所以tan19°tan21°,故应填“”.(2)由cos18°=sin(90°-18°)=sin72°,72°18°,得sin72°sin18°,即cos18°sin18°. 10.27.8° 11.[答案] [解析] ∵sin40°·cos50°=sin40°·sin40°=sin240°sin245°=(22)2=12, ∴sin40°·cos50°-120. 12.[答案] 1-32 [解析] ∵30°αβ90°, ∴cosβcosα,cosβcos30°=32,0cosα1, ∴原式=|cosβ-cosα|+cosβ-32+1-cosα =-cosβ+cosα+cosβ-32+1-cosα =1-32. 故答案为1-32.13.解:(1)sin40°≈0.6428,cos50°≈0.6428. (2)sin23°37＇≈0.4006,cos66°23＇≈0.4006. 规律:若锐角A,B满足∠A+∠B=90°, 则sinA=cosB. 14.解:(1)∵cos31°=sin(90°-31°)=sin59°,sin59°sin46°,∴sin46°cos31°.(2)∵sin37°sin45°=221,tan47°tan45°1,∴sin37°tan47°. 15.解:(1)原式=1-cos40°+sin250° =1-cos40°+sin50° =1-cos40°+cos40° =1.(2)sin218°+cos45°·tan25°·tan65°+sin72°·cos18°=sin218°+22×1+cos218° =1+22. 16.解:(1)由题意知△ABC是等腰直角三角形, 所以∠CAB=∠ABC=45°. 因为AD=AB,所以∠D=∠ABD. 因为∠CAB=∠D+∠ABD=45°, 所以∠D=∠ABD=∠CAB2=22.5°. (2)由BC=AC=a,∠C=90°, 根据勾股定理,得AB=2a, 所以AD=AB=2a, 所以CD=AD+AC=(2+1)a. 在Rt△BCD中,tanD=BCCD=a(2+1)a=2-1,即tanD=2-1. (3)由(1)(2)知tan22.5°=tanD=2-1, 所以原式=tan22.5°·cos45°+sin45°-tan22.5°=(2-1)×22+22-(2-1)=1-22+22-2+1=2-2. 17.解:(1)作AB边上的高CH,垂足为H. ∵在Rt△ACH 中,sinA=CHAC, ∴CH=AC·sinA=9sin48°≈6.69. (2)∵在Rt△ACH 中,cosA=AHAC, ∴AH=AC·cosA=9cos48°, ∴在Rt△BCH中, tanB=CHBH=CHAB-AH=9sin48°8-9cos48°≈3.382, ∴∠B≈73°32＇.18.解:(1)sin25°+sin46°≈0.423+0.719=1.142,sin71°≈0.946, ∴sin25°+sin46°sin71°. (2)sinα+sinβsin(α+β). (3)证明:sinα+sinβ=ABOA+BCOB, sin(α+β)=AEOA. ∵OAOB, ∴*****A, ∴ABOA+*****A+BCOA=AB+BCOA. ∵AB+BCAE, ∴ABOA+*****A, ∴sinα+sinβsin(α+β).。

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23。

1.3 一般锐角的三角函数值知识点 1 互余两角的正弦、余弦的关系1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝23,那么cos B的值为( ）A。

错误! B. 错误!C。

错误! D．不能确定2．如果α是锐角,且sinα＝0。

8，那么cos（90°－α）等于（）A．0。

8 B．0.75 C．0.6 D．0。

23．若α是锐角,sinα＝cos50°，则α等于( )A．20° B．30° C．40° D．50°4．已知sin42°54′＝0.6807,如果cosα＝0.6807，那么α＝________。

5．化简下列各式：(1)1－sin70°＋cos20°；(2)错误!.知识点 2 用计算器求锐角的三角函数值6．利用计算器计算sin30°时,依次按键错误!错误!错误!错误!，显示的结果是( ) A．0.5 B．0.707 C．0。

866 D．17．用计算器计算cos44°的结果(精确到0。

23.1.3一般锐角的三角函数值知识点1用计算器求锐角的三角函数值1．利用计算器计算sin30°时，依次按键sin30＝，显示的结果是()A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是()A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.663．用计算器求下列三角函数值(精确到0.0001)：(1)sin75.6°；(2)cos37.1°；(3)tan25°.知识点2用计算器求锐角的度数4．2018·淄博一辆小车沿着如图23－1－34所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是()图23－1－34图23－1－355．已知三角函数值，用计算器求锐角A.(角度精确到1″)(1)sin A＝0.3035；(2)cos A＝0.1078；(3)tan A＝7.5031.知识点3锐角三角函数的增减与取值范围6．三角函数值sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是()A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°7．若45°＜α＜90°，则sinα________cosα；若0°＜α＜45°，则sinα________cos α.(填“>”“<”或“＝”)8．用不等号连接下面的式子：(1)tan19°________tan21°；(2)cos18°________sin18°.9．若α为锐角，且cosα＜1，则α的取值范围是__________．10．若α是锐角，且sinα＝1－2m，则m的取值范围是________．11．计算sin0°＋cos0°＋tan0°＋sin90°＋cos90°的结果为()A．0 B．1 C．2 D．312．在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是()A．0<n<22B．0<n<12C．0<n<33D．0<n<3213．若α＜60°，且sin(60°－α)＝0.75，则cos(30°＋α)＝________．14．如图23－1－36，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝13，求△ABC的三个内角的度数．(精确到l′)图23－1－3615．设β为任意锐角，你能说明tanβ与sinβ之间的大小关系吗？若能，请比较大小；若不能，请说明理由．16．2017·福建小明在某次作业中得到如下结果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝(22)2＋(22)2＝1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．17．(1)如图23－1－37①所示，已知AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，试比较sin∠B1AC，sin∠B2AC和sin∠B3AC的值的大小；(2)如图②所示，在Rt△ACB3中，B1和B2是线段B3C上的点(与点B3，C不重合)，试比较cos∠B1AC，cos∠B2AC和cos∠B3AC的值的大小；(3)总结(1)(2)中的规律，根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．图23－1－37教师详解详析1．A2．B [解析] 本题要求熟练应用计算器，对计算器显示的结果，根据近似数的概念用四舍五入法取近似数．3．[解析] 以度为单位的锐角，按sin ，cos ，tan 键后直接输入数字，再按＝得到锐角的正弦，余弦，正切值．解：(1)按sin 7 5 . 6 ＝显示0.968583161，即sin75.6°≈0.9686.(2)按cos 3 7 . 1＝显示0.797583928，即cos37.1°≈0.7976.(3)按tan 2 5＝显示0.466307658，即tan25°≈0.4663.4．A5．解：(1)∠A≈17°40′5″.(2)∠A≈83°48′41″.(3)∠A≈82°24′30″.6．C [解析] 根据余角三角函数之间的关系，sin30°＝ cos60°，而cos16°＞cos43°＞cos60°，即cos16°＞cos43°＞ sin30°.7．＞ ＜ [解析] (方法一)取特殊值法：当45°＜α＜90°时，取α＝60°，sin60°＝32，cos60°＝12，此时sin60°＞cos60°，因此应填“＞”；当0°＜α＜45°时，取α＝30°，sin30°＝12，cos30°＝32，由sin30°＜cos30°，此时sinα＜cosα，应填“＜”． (方法二)统一转化为正弦，利用锐角的正弦值随着角度的增大而增大比较．∵cosα＝sin(90°－α)(α为锐角)，当45°＜α＜90°时，α＞90°－α，∴sinα＞sin(90°－α)，∴sinα＞cosα；当0°＜α＜45°时，α＜90°－α，∴sinα＜sin(90°－α)，∴sinα＜cosα.8．(1)＜ (2)＞ [解析] (1)由于正切值随锐角的增大而增大，因为19°＜21°，所以tan19°＜tan21°，应填“＜”．(2)由cos18°＝sin(90°－18°)＝sin72°，因为72°＞18°，所以sin72°＞sin18°，即cos18°＞sin18°.9．0°＜α＜90°10．0＜m ＜12 [解析] 由题意可知0＜1－2m ＜1，解得0＜m ＜12. 11．C12．A [解析] 根据题意，知0°＜∠B ＜45°，再根据sin45°＝22和一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行分析，有0＜n ＜22.故选A. 13．0.75 [解析] cos(30°＋α)＝cos[90°－(60°－α)]＝sin(60°－α)＝0.75.14．解：如图，过点A 作BC 边上的高AD ，则BD ＝CD ＝6.5，∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC.在Rt △ABD 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝6.510＝0.65， ∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC ＝2∠BAD≈81°4′，∴∠B ＝∠C≈49°28′.15．[解析] 根据正切和正弦的定义列出表达式，再根据直角三角形的斜边大于直角边，判断出 AC BC 和 AC AB 的大小． 解：能．如图，设β是Rt △ABC 的一个锐角，令∠B ＝β，则tanβ＝AC BC ，sinβ＝AC AB.因为BC<AB ，所以AC BC >AC AB，所以tanβ＞sinβ.16．解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝1. (2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，则∠B ＝90°－α.∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.17．解：(1)在题图①中，显然有B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3，∵sin ∠B 1AC ＝B 1C 1AB 1，sin ∠B 2AC ＝B 2C 2AB 2， sin ∠B 3AC ＝B 3C 3AB 3，AB 1＝AB 2＝AB 3， ∴sin ∠B 1AC ＞sin ∠B 2AC ＞sin ∠B 3AC.(2)在Rt △ACB 3中，∠C ＝90°，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1，cos ∠B 2AC ＝AC AB 2， cos ∠B 3AC ＝AC AB 3， ∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴AC AB 1＞AC AB 2＞AC AB 3， 即cos ∠B 1AC>cos ∠B 2AC>cos ∠B 3AC.(3)规律：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． 由规律可知：sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°；cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.。

3．一般锐角的三角函数值1．会使用科学计算器求锐角的三角函数值；(重点）2．会根据锐角的三角函数值,借助科学计算器求锐角的大小；(重点)3．熟练掌握计算器的按键顺序．(难点)一、情境导入如图,有一个斜坡，现在要在斜坡OC上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2米，那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD)?你能求出两坑的距离吗？二、合作探究探究点一：用计算器求一个锐角的三角函数值求sin63°52′41″的值．（精确到0。

0001)解析：按照计算器的说明操作．解:按下列顺序依次按键:错误! 6错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!.显示结果为0。

897859012.所以sin63°52′41″≈0.8979。

计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)（）A．－0.5976 B．0.5976C．－0。

5977 D．0.5977解析：本题是一道运用计算器进行计算的题目，运用计算器可知其结果是－0。

5977。

故选C。

方法总结:利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书,掌握正确的按键顺序；（2）按键时要细心，不能输入错误的数据．探究点二:用计算器完成已知三角函数值求锐角已知sinα＝0.2，cosβ＝0。

8，则α＋β≈________．(精确到1′）解析：已知一个角的三角函数值，求这个锐角，先按错误!,然后选择有关三角函数的键，输入sin－1或cos－1后，再输入数字，得到这个锐角的度数．此题应填48°24′。

探究点三:三角函数大小的比较(1)锐角的正弦值和余弦值随着锐角的变化而变化．试探索：随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律;(2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系;(3)比较大小：若α＝45°,则sinα________cosα；若α〈45°，则sinα________cosα；若α〉45°,则sinα________cosα(填“<"“>”或“＝”)；（4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°。