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求锐角三角函数值常用方法归类► 方法一 运用定义1．如图5－ZT －1，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )A. 45B. 35C. 34D. 43图5－ZT －12．如图5－ZT －2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值． 图5－ZT －23．如图5－ZT －3，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B . (1)求点B 的坐标；(2)求sin ∠BAO 的值．图5－ZT －34．如图5－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长；(2)求cos ∠ABE 的值．图5－ZT －4► 方法二 利用互余两角的三角函数关系求解5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是( ) A. 45 B. 35 C. 34 D. 436．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin(90°－α)等于( ) A. 513 B. 1213 C. 512 D. 125► 方法三 巧设参数法7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝45，则tan B 的值为( ) A. 43 B. 34 C. 35 D. 458．如图5－ZT －5，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，求 sin ∠ECM 的值．图5－ZT －5► 方法四 等角转换法9．如图5－ZT －6，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，如果AD ＝12，AB ＝15，BC ＝14，求tan ∠ADE 的值．图5－ZT －610．如图5－ZT －7，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，且AH ＝2CH ，求sin B 的值．图5－ZT －7► 方法五 利用特殊角度求三角函数11．如图5－ZT －8，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝67.5°.(1)求sin A 的值；(2)求tan C 的值．图5－ZT －812．如图5－ZT －9，四边形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C ＝30°，折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕且BF ＝CF .求tan ∠ABD 的值．图5－ZT －9► 方法六 巧构直角三角形13．如图5－ZT －10，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )A. 55B. 55C ．2 D. 12图5－ZT －1014．如图5－ZT －11，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CE .求：(1)线段BE 的长；(2)∠ECB 的正切值．图5－ZT －1115．如图5－ZT －12，在∠A ＝30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，试计算tan15°的值．图5－ZT －12教师详解详析1．C [解析] ∵CD 是直角三角形的斜边AB 上的中线，CD ＝5，∴AB ＝10.∵∠ACB ＝90°，∴BC ＝102－62＝8，∴tan B ＝AC BC ＝68＝34.故选C . 2．解：∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD ＝BD AD. ∵tan ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴BD ＝9， ∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5.∴在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213. 3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴点B 的坐标是(1，2)． (2)如图，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.当y ＝0时，12x ＋32＝0，解得x ＝－3， ∴A(－3，0)，∴AC ＝4.∵BC ＝2，∴AB ＝42＋22＝2 5，∴sin ∠BAO ＝BC AB ＝22 5＝55. 4．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45，而BC ＝8，∴AB ＝10. ∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5. (2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ＝12S △ABC .即12CD·BE ＝12×12AC·BC ， ∴BE ＝6×82×5＝245. 在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2425， 即cos ∠ABE 的值为2425. 5．B 6.B7．B [解析] 由题意，设BC ＝4x ，则AB ＝5x ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝3x ，∴tan B ＝AC BC＝3x 4x ＝34.故选B . 8．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝CD ＝4x ，AM ＝DM ＝2x.由勾股定理，得CE ＝BE 2＋BC 2＝5x ，ME ＝AE 2＋AM 2＝5x ，MC ＝CD 2＋DM 2＝2 5x ，∴ME 2＋MC 2＝CE 2，∴△EMC 是直角三角形，则sin ∠ECM ＝ME CE ＝5x 5x ＝55.9．解：∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.由勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝9，则CD ＝14－9＝5.又∵E 为AC 的中点，∴DE ＝AE ，∴∠ADE ＝∠EAD ，∴tan ∠ADE ＝tan ∠EAD ＝CD AD ＝512.10．解：∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴∠ACH ＋∠BCD ＝90°，CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD ，∴∠B ＋∠ACH ＝90°.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠CAH.∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ，∴sin ∠CAH ＝CHAC ＝15＝55，∴sin B ＝55.11．解：(1)∵在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝67.5°，∴∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－67.5°－67.5°＝45°，∴sin A ＝sin 45°＝22.(2)如图所示，作BD ⊥AC 于点D.由(1)可知∠A ＝45°，设BD ＝a ，则AD ＝a ，AB ＝2a.∵AB ＝AC ，∴AC ＝2a ，∴CD ＝AC －AD ＝2a －a ，∴tan C ＝BD CD ＝a 2a －a＝2＋1. 12．解：∵∠C ＝30°，BF ＝CF ，∴∠FBC ＝30°.由折叠可知∠EBF ＝∠FBC ＝30°.∵AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＝30°，∴tan ∠ABD ＝tan 30°＝33. 13．D [解析] 如图，作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝2，AD ＝2 2，则tan A ＝BD AD ＝22 2＝12. 14．解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3，∴AD ＝2.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝3 2. ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°，∴AE ＝AD·cos 45°＝2，∴BE ＝AB －AE ＝2 2，即线段BE 的长是2 2.(2)如图，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H.在Rt △BEH 中，∠EHB ＝90°，∠B ＝45°，∴EH ＝BH ＝BE·cos 45°＝2.又∵BC ＝3，∴CH ＝1.在Rt △ECH 中，tan ∠ECH ＝EH CH＝2，即∠ECB 的正切值是2. 15．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ACD ＝60°，∠B ＝75°，∠BCD ＝15°. 设AB ＝AC ＝2a ，∵∠A ＝30°，CD ⊥AB ，∴CD ＝12AC ＝a. 在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2，即AD 2＝AC 2－CD 2＝(2a)2－a 2＝3a 2，∴AD ＝3a ，∴BD ＝AB －AD ＝2a －3a ，∴tan 15°＝BD CD ＝2a －3a a＝2－ 3.。
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沪科版数学九年级上册23.1锐角的三角函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．CDACB．BCABC．BDBCD．ADAC2．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A B C．3D3．若锐角α满足cosα＜2且tanα，则α的范围是( ) A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°4．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB＝35，则sinB的值是（）A．45B．35C．34D．436．已知α是锐角，cosα＝13，则tanα的值是( )A B．C．3 D7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为（ ） A ．1213 B ．513 C ．125 D ．5138．在△ABC 中，若角A ，B 满足2cos (1tan )0A B -+-=，则∠C 的大小是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．105°9．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB ＝（ ）A ．2B ．35C ．5D ．31010．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y=2x的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数y=k x 的图象上，且OA ⊥OB ，cosA=3，则k 的值为( )A ．－3B ．－6C ．－4D ．-二、填空题 11．已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________. 12．若α为锐角，且13cos 2m α-=，则m 的取值范围是______________．13cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 14．已知α是锐角且tan α＝34，则sin α＋cos α＝ ．15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a ，那么sin A ＝________.三、解答题16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，如果CD ＝3，BD ＝2，那么cos A 的值是_______.17．计算下列各题（1sin60°－4cos 230°+sin45°tan60° .（2）2tan 60-︒－(π－3.14)0+(-12)-2+12+tan27°tan63° . 18．先化简，再求值：2222+244a b a b a b a ab b--÷++﹣1，其中a=2sin60°﹣tan45°，b=1． 19．如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.20．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE⊥CD，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH=2CH.(1)求sinB 的值；(2)如果BE 的值.21．已知：sin α，cos α（0°＜α＜90°）是关于x 的一元二次方程2x 2－1)x +m ＝0的两个实数根，试求角α的度数.22．如图，在同一平面内，两条平行高速公路l 1和l 2间有一条“Z”型道路连通，其中AB 段与高速公路l 1成30°角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．23．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡比为i＝1∶2，顶部A处的高AC为4 m，B，C 在同一水平面上．(1)求斜坡AB的水平宽度BC；(2)矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE＝2.5 m，EF＝2 m．将货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5 m时，求点D离地面的高．，结果精确到0.1 m)参考答案1．D【分析】根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案．【详解】cos α=BD BC CD BC AB AC==. 故选D.【点睛】熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键.2．D【详解】过B 点作BD ⊥AC ，如图，由勾股定理得，==，cosA=AD AB ， 故选D ．3．B【详解】∵α是锐角，∴cos α>0，∵cos α<2，∴0<cos α<2，又∵cos90°=0,cos45°，∴45°<α<90°；∵α是锐角，∴tanα>0，∵tanα，∴0<tanα又∵tan0°=0,tan60°0<α<60°；故45°<α<60°.故选B.【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键4．D【解析】【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较. 【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°．故选D．5．A【解析】【详解】∵sin2B+cos2B=1，cosB＝35，∴sin2B=1-（35）2=1625，∵∠B为锐角，∴sinB=45，故选A．6．B【解析】【分析】根据sin2α＋cos2α＝1，可得sinα，根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义，可得答案．【详解】由sin2α＋cos2α＝1，α是锐角，13 cosα＝，得sin3α==，sin3tan1cos3ααα===故选：B．【点睛】本题考查的知识点是同角三角函数的关系，解题关键是熟记sin2α＋cos2α＝1.7．C【分析】设BC＝5k，AB＝13k，利用勾股定理列式求出AC，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解．【详解】∵在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝513，∴可设BC＝5k，AB＝13k，∴AC＝12k，∴tan B＝ACBC＝125kk＝125，故选：C.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用“设k法”表示出三角形的三边求解更加简便．8．D【解析】试题分析：由题意得，cosA=2，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D．考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方．9．B【解析】过C作CD⊥AB，根据勾股定理得：，S△ABC=4-1212⨯⨯-1212⨯⨯-1112⨯⨯=32，即12CD•AB=32，所以12CD =32，解得：CD=5，则sin∠CAB=CDAC=35，故选B．10．C【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y=2x上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE 的面积，进而确定出BOF 的面积，再利用k 的集合意义即可求出k 的值．【详解】过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴．∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =90°，∴∠BOF +∠EOA =90°． ∵∠BOF +∠FBO =90°，∴∠EOA =∠FBO ．∵∠BFO =∠OEA =90°，∴△BFO ∽△OEA ．在Rt △AOB 中，cos ∠BAO =AO AB设AB 则OA =1，根据勾股定理得：BO ，∴OB ：OA ：1，∴S △BFO ：S △OEA =2：1．∵A 在反比例函数y =2x上，∴S △OEA =1，∴S △BFO =2，则k =﹣4． 故选C ．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k 的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．11．35【分析】根据∠A +∠B ＝90°，判定三角形ABC 为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系求解即可.【详解】由∠A +∠B ＝90°，sin A ＝35，得：cos B ＝sin A ＝35， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB中，∠A+∠B＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．12．11 33m-<<【解析】【分析】根据“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围. 【详解】α是锐角，且且13 cos2mα-=，则有0＜132m-＜1，解得，13-＜m＜13.故答案为：13-＜m＜13.【点睛】本题考查了利用锐角三角函数的值求参数的取值范围，熟知“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”是解决本题的关键.13．20°＜∠A＜30°．【详解】cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．14．7 5【详解】如图所示，因为3tan=4α，所以可设BC=3，AC=4，则AB=5，所以4sin5α，3cos5α=，所以sin α＋cos α＝75．故答案为75．15．12. 【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【详解】∵3a b ，∴a b令a k ，则b ＝3k ；c ．∴sin A ＝12， 故答案为：12. 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．16【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出cosA=cos ∠BCD 进而求出即可．【详解】如图所示：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°， ∵CD ⊥AB ，∴∠CDA=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A ，∵CD=3，BD=2，∴∴cosA=cos ∠BCD=DC BC ==故答案为17．（1－3 ；（2）6.【分析】（1）将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案；（2）将各特殊角的三角函数值代入，运用零指数幂、负指数幂、去绝对值后，再用有理数加减运算即可.【详解】（142+2－3；（2）原式＝2－＝2+1＝6.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂、绝对值等知识点，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．18【分析】 对待求式的分子、分母进行因式分解，并将除法化为乘法可得2-+a b a b ×()()()22a b a b a b ++--1，通过约分即可得到化简结果；先利用特殊角的三角函数值求出a 的值，再将a 、b 的值代入化简结果中计算即可解答本题.【详解】原式=2-+a b a b ×()()()22a b a b a b ++--1 =2++a b a b -1 =2a b a b a b a b++-++ =b a b+，当﹣1，b=1时，原式=. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值运算法则. 19．tan C ＝125，sin ∠BAC ＝5665. 【分析】过A 作AD ⊥BC 于点D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值；同理从AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA 的值．【详解】过A 作AD ⊥BC 于点D ，∵S △ABC ＝12BC AD ＝84，∴12×14×AD ＝84，∴AD ＝12． 又∵AB ＝15，∴BD 9．∴CD ＝14﹣9＝5．在Rt △ADC 中，AC 13，∴tan C＝ADDC＝125；过B作BE⊥AC于点E，∵S△ABC＝12AC EB＝84，∴BE＝16813，∴sin∠BAC＝BEAB＝1681315＝5665.【点睛】注意辅助线的添加法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用．20．（1（2）3.【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1AB=AC=2，则CE=1，从而得出BE．【详解】（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACH=90°，∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得，∴CH：AC=1∴；（2）∵，∴AC ：AB=1∴AC=2．∵∠CAH=∠B ，∴sin ∠，设CE=x （x ＞0），则x ，则)2222x +=， ∴CE=x=1，AC=2，在Rt △ABC 中，222AC BC AB +=，∵AB=2CD=∴BC=4，∴BE=BC ﹣CE=3．21．α＝30°或60°.【分析】由根与系数的关系，得出sin α+cos α＝12，sin αcos α＝2m ，再利用(sin α+cos α)2＝sin 2α+cos 2α+2 sin αcos α＝1+2 sin αcos α，求解出m 的值，再把m 方程求解即可.【详解】由根与系数的关系，得：sin α+cos α，sin αcos α＝2m ， ∵(sin α+cos α)2＝sin 2α+cos 2α+2 sin αcos α＝1+2 sin αcos α，∴(12)2＝1+2×2m ，解得：m ＝2，把m 2x 2－1)x 0，解这个方程得：x 1＝12，x 2＝2，∴sin α＝12或sin α ∴α＝30°或60°.【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及三角函数值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．22．25+（km 【分析】过B 点作BE ⊥l 1，交l 1于E ，CD 于F ，l 2于G ．在Rt △ABE 中，根据三角函数求得BE ，在Rt △BCF 中，根据三角函数求得BF ，在Rt △DFG 中，根据三角函数求得FG ，再根据EG=BE+BF+FG 即可求解．【详解】过B 点作BE ⊥l 1，交l 1于E ，CD 于F ，l 2于G ．在Rt △ABE 中，BE=AB•sin30°=20×12=10km ，在Rt △BCF 中，BF=BC÷cos30°=km ，CF=BF•sin30°=1323⨯=km ，DF=CD ﹣CF=（30﹣3）km ，在Rt △DFG 中，FG=DF•sin30°=（30）×12=（15）km ，∴EG=BE+BF+FG=（km ．故两高速公路间的距离为（km ．23．(1) BC ＝8 m ；(2)点D 离地面的高为4.5 m.【分析】（1）根据坡度定义直接解答即可；（2）作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H ．证出∠GDH=∠SBH ，根据12GH GD =，得到GH=1m ，利用勾股定理求出DH 的长，然后求出BH=5m ，进而求出HS ，然后得到DS ．【详解】（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m ，∴BC=4×2=8m.（2）作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H.∵∠DGH=∠BSH ，∠DHG=∠BHS ，∴∠GDH=∠SBH ，12GH GD = ∵DG=EF=2m ，∴GH=1m ，∴=，BH=BF+FH=3.5+（2.5-1）=5m ，设HS=xm ，则BS=2xm ，∴x 2+（2x ）2=52，∴，∴．。
锐角三角函数专题☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）如图，在Rt△AB中，∠=90°，AB=13，B=12，则下列三角函数表示正确的是（）A．sinA=1213 B．csA=1213．tanA=512 D．tanB=125【答案】A ． 【解析】试题分析：∵在△AB 中，∠=90°，B=5，AB=13，∴，∴sinA=1213．故选A ．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．2．（2015玉林防城港）计算：22cos 45sin 45+=（ ）A ．12B ．1 ．14 D．2【答案】B ． 【解析】试题分析：∵cs45°=sin45°=2，∴22cos 45sin 45+=2211()(12222+=+=．故选B ．考点：特殊角的三角函数值．3．（2015庆阳）在△AB 中，若角A ，B满足2cos (1tan )0A B +-=，则∠的大小是（ ）A ．45° B．60° ．75° D．105° 【答案】D ．考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方．4．（2015南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．5 B．12 D．2【答案】．【解析】试题分析：设（2，1）点是B，作B⊥轴于点，则O=2，B=1，则tanα=BCOC=12．故选．考点：1．解直角三角形；2．坐标与图形性质．5．（2015乐山）如图，已知△AB的三个顶点均在格点上，则csA的值为（）A． B．． D．【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．6．（2015扬州）如图，若锐角△AB内接于⊙O，点D在⊙O外（与点在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠＞sin∠D；②cs∠＞cs∠D；③tan∠＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①② B．②③ ．①②③ D．①③【答案】D．考点：1．锐角三角函数的增减性；2．圆周角定理．7．（2015百色）有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）海里．A．．10．10 D．10【答案】D．【解析】试题分析：由题意得：∠AP=30°，∠BP=45°，B=10海里，在Rt△BP中，∵∠BP=45°，∴P=B=10海里，在Rt△AP中，A=tan PCCAP∠==∴AB=A﹣B=（10）海里，故选D．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．8．（2015绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂D长2米，且与灯柱B成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂D垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱B高度应该设计为（）A ．（1122-米 B ．（1米 ．（1123-米 D ．（1）米【答案】D ．考点：解直角三角形的应用．9．（2015荆门）如图，在△AB 中，∠BA=Rt∠，AB=A ，点D 为边A 的中点，DE⊥B 于点E ，连接BD ，则tan∠DB 的值为（ ）A ．13 B 1 ．2 D ．14【答案】A ．考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．10．（2015巴彦淖尔）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛位于北偏东30°的方向，则海里到航线AB的距离D 是（）A．20海里 B．40海里． D．海里【答案】．【解析】试题分析：根据题意可知∠AD=30°，∠BD=60°，∵∠BD=∠AD+∠AB，∴∠AD=30°=∠AB，∴AB=B=40海里，在Rt△BD中，∠BD=90°，∠DB=60°，sin∠DB=CDBC，∴sin60°=CDBC，∴D=40×sin60°=40×2=．故选．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．11．（2015山西省）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，都在格点上，则∠AB的正切值是（）A．2 B．． D．12【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．12．（2015威海）如图，在△AB中，∠AB=90°，∠AB=26°，B=5．若用科学计算器求边A 的长，则下列按键顺序正确的是（）A ．B ．． D ．【答案】D．【解析】试题分析：由tan∠B=ACBC，得A=B•tanB=5×tan26．故选D．考点：计算器—三角函数．13．（2015日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点，使D=12BD，连接A，若tanB=53，则tan∠AD的值（）A．3 B．5．13 D．15【答案】D．考点：1．解直角三角形；2．综合题．14．（2015泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达处，在处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则处与灯塔A的距离是（）A．20海里 B．40海里．海里 D．海里【答案】D．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．15．（2015温州）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点，F，M，过点作DE⊥O，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设O=，图中阴影部分面积为y，则y与之间的函数关系式是（）A．223xy=B．23xy=．232xy= D．233xy=【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．解直角三角形；4．综合题．16．（2015柳州）如图，在Rt△AB中，∠=90°，AB=13，A=7，则sinB= ．【答案】7 13．【解析】试题分析：∵在Rt△AB中，∠=90°，AB=13，A=7，∴sinB=ACAB=713．故答案为：713．17．（2015桂林）如图，在Rt△AB中，∠AB=90°，A=8，B=6，D⊥AB，垂足为D，则tan∠BD 的值是．【答案】3 4．考点：解直角三角形．18．（2015巴中）如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB= ．【答案】1 2．【解析】试题分析：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，则tan∠AOB=ADOD=12．故答案为：12．19．（2015白银）已知α、β均为锐角，且满足1sin02α-=，则α+β= ．【答案】75°．【解析】试题分析：由已知得：sinα=12，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：算术平方根．20．（2015十堰）如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过．此时，测得小船的俯角是∠FD=30°，若小华的眼睛与地面的距离是16米，BG=07米，BG平行于A所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、、D、F、G在同一平面内，则此时小船到岸边的距离A的长为米．（结果保留根号）【答案】 5.5．考点：1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题；3．综合题．21．（2015成都）如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB=8，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点．当△PAB 是等腰三角形时，线段B 的长为________．【答案】8BC =或5615或．（2）当PA=PB 时，如图（2），延长PO 交AB 于点K ，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠AP=∠AOK ，∴AP=∠AOK ，∴cs ∠AP=cs ∠AOK ，∴AP OKPC AO =，∴53PC AP ==，∴B=P －PB=；（3）当BA=BP 时，如图（3），∵BA=BP ，∴∠P=∠BAP ，∵∠P+∠=90°，∠AB+∠BAP=90°，∴∠=∠AB ，∴B=AB=8．故答案为：8BC 或5615或．考点：1．等腰三角形的性质；2．解直角三角形；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．22．（2015张家界）如图，在四边形ABD 中，AD=AB=B ，连接A ，且∠AD=30°，，D=3，则A= ．【答案】5．∴BH=AH=x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得：222AB BH AH =+，∴2221()()23AB x x =+=2712x ．∵AB=AD，∴29(4x +=2712x，解得：1x =2x =．当A=5时，A ＜D ，与图形不符舍去．∴A=5．故答案为：．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．分类讨论；5．综合题．23．（2015桂林）计算：033)2sin3082+--．【答案】2．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值．24．（2015北海）如图，A 为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B 处乘坐缆车先到达小观景平台DE 观景，然后再由E 处继续乘坐缆车到达A 处，返程时从A 处乘坐升降电梯直接到达处，已知：A⊥B 于，DE∥B，B=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求A 的高度．（参考数据：sin32°≈053；cs32°≈085；tan32°≈062；sin68°≈093；cs 68°≈037；tan68°≈248）【答案】1558．【解析】试题分析：先求出DF的长，得到G的长，再求出AG的长，求和得到答案．试题解析：∵cs∠DBF=BFBD，∴BF=60×085=51，FH=DE=9，∴EG=H=110﹣51﹣9=50，∵tan∠AEG=AGEG，∴AG=50×248=124，∵sin∠DBF=DFBD，∴DF=60×053=318，∴G=318，∴A=AG+G=124+318=1558．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．25．（2015贺州）根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千米/时，已知交警测速点M到该公路A点的距离为米，∠MAB=45°，∠MBA=30°（如图所示），现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用的时间为3秒．（1）求测速点M到该公路的距离；（2）通过计算判断此车是否超速．【答案】（1）10米；（2）此车没有超速．（2）由△AMN为等腰直角三角形得到AN=MN=10米，在Rt△BMN中，求出BN的长，由AN+NB 求出AB的长，再求出速度，即可做出判断．试题解析：（1）过M作MN⊥AB，在Rt△AMN中，AM=，∠MAN=45°，∴sin∠MAN=MN AM，2，解得：MN=10，则测速点M到该公路的距离为10米；考点：1．解直角三角形的应用；2．应用题．26．（2015钦州）如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=30海里．（1）尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）；（3）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈060，cs37°≈080，tan37°≈075）【答案】（1）作图见试题解析；（2）15海里；（3）B船先到达．【解析】试题分析：（1）利用直角三角板中90°的直角直接过点P作AB所在直线的垂线即可；（2）解Rt△APE求出PE即可；（3）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．试题解析：（1）如图所示：（2）由题意得，∠PAE=30°，AP=30海里，在Rt△APE中，PE=APsin∠PAE=APsin30°=15海里；（3）在Rt△PBE中，PE=15海里，∠PBE=53°，则BP=75sin4PEPBE=∠海里，A船需要的时间为：3020=15小时，B船需要的时间为：75154÷=125小时，∵15＞125，∴B船先到达．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．27．（2015南京）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向处，测得∠AO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45/h和36/h，经过01h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈085，cs58°≈053，tan58°≈1，60）【答案】135．考点：解直角三角形的应用．28．（2015宿迁）如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房B的底端三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为385°．已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房B的高度．（参考数据：s in22°≈037，cs22°≈093，tan22°≈040，sin385°≈062，cs385°≈078，tan385°≈080）【答案】24．考点：1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．应用题．29．（2015泰州）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高A为4，B．在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度B；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=25，EF=2，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=35时，求点D离地面的高．01）【答案】（1）8；（2）45．【解析】试题分析：（1）根据坡度定义直接解答即可；考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．30．（2015盐城）如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶D ，台阶每层高02米，且A=172米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．（3取173） （1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．【答案】（1）173；（2）当α=45°时，小猫仍可以晒到太阳． 【解析】试题分析：（1）在Rt △ABE 中，由tan60°=10AB ABAE ，即可求出AB=10tan60°=173米； （2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为点F ，与M 的交点为点H ．由∠BFA=45°，可得AF=AB=173米，那么F=AF ﹣A=01米，H=F=01米，所以大楼的影子落在台阶M 这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳．考点：解直角三角形的应用．31．（2015攀枝花）如图所示，港口B位于港口O正西方向120处，小岛位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以v/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60/h的速度驶向小岛，在小岛用1h 加装补给物资后，立即按原的速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛需要多长时间？（2）若快艇从小岛到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【答案】（1）1；（2）v=20/h，OE=60或v=40/h，OE=120．【解析】试题分析：（1）要求B到的时间，已知其速度，则只要求得B的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；（2）过作D ⊥OA ，垂足为D ，设相会处为点E ．求出O=OB•cs30°=，D=12O=OD=O•cs30°=90，则DE=90﹣3v ．在直角△DE 中利用勾股定理得出222CD DE CE +=，即222(903)60v +-=，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O 的距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．【2014年题组】1．（2014广东深圳卷）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）A．．． D．【答案】B．【解析】考点：1．解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；2．勾股定理；3．锐角三角函数定义；4．特殊角的三角函数值；5．待定系数法的应用．2．（2014届天津市和平区结课考试）如图，某地修建高速公路，要从B地向地修一座隧道（B、在同一水平面上）．为了测量B、两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升100到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、两地之间的距离为（）A B【答案】A600-250350+【解析】试题分析：根据题意得：∠AB=30°，A⊥B，A=100,在Rt△AB中，B=tan ACABC∠==（）．故选A考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
