因数和积的关系

三年级第三课教案：掌握数学术语“因数”与“积”在数学学习的过程中，掌握数学术语是非常重要的，因为只有通过掌握数学术语，才能更好地理解数学知识和运用数学方法。

在三年级的数学学习中，老师通常会引导孩子们掌握数学中的基本概念和术语，其中包括“因数”与“积”这两个词语的理解和应用。

这篇文章将从什么是因数与积、如何求因数和积、以及因数和积的应用三个方面来进行探讨。

一、什么是因数与积1.因数在数学中，我们通常将一个数能够整除另一个数的数称为这个数的因数。

比如说，2和3都是6的因数，因为6能够被2和3整除。

而我们常说的倍数，就是某个数（除0以外）的整倍数，也就是一串有序的数，每个数都是这个数的整数倍。

例如，6的倍数是6、12、18、24……等等。

2.积积是个非常基本的概念，在数学运算中也十分常见。

积是指两个或多个数相乘所得的结果。

由于乘法有交换律，两个数的积不会因其顺序的变化而发生改变。

比如说，2×3=6，3×2也等于6，6就是2和3的积。

同样的道理，6的2倍、3倍都是6的积。

二、如何求因数和积1.求因数要求一个数的因数，可以将这个数分解成若干个质因数的乘积，再列举所有的因数。

质因数是指能够整除所求数和大于1的质数，例如2、3、5、7……等等。

将质数及其指数全部写在一起，依次添加或减去每个指数，得到所有因数。

例如，对于数字36来说，可以将其分解成2×2×3×3的乘积，它的因数包括1、2、3、4、6、9、12、18和36。

2.求积求积很简单，只需要将相乘的数写在一起，乘起来即可。

并且，由于乘法有交换律，乘积的值与顺序无关。

例如，2×3=6，6就是2和3的积。

同样地，6的2倍为12，12也是2和3的积。

三、因数和积的应用1.因数的应用在实际生活中，找出一个数的因数其实很常见。

比如说，假设需要知道某个数字的因数是多少，我们可以用因数分解方法来进行计算。

因数分解也是解决数论问题的一种重要方法。

知识要点一、乘除法各部分之间的关系：1乘法各部分之间的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数2除法各部分之间的关系：没有余数的除法：有余数的除法：被除数=商×除数被除数=商×除数+余数除数=被除数÷商除数=被除数-余数÷商商=被除数÷除数商=被除数-余数÷除数3乘、除法之间的关系：除法是乘法的逆运算注意：0不能作除数.4整除：a÷bb≠0＝c 则a能被b整除,b能整除a.二乘法运算律1、乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变.这个规律叫做乘法交换律.用字母表示为：a·b=b·a2、乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘再乘第三个数,或先将后两个数相乘再乘第一个数,它们的积不变.这个规律叫做乘法结合律.用字母表示为：a·b·c=a·b·c3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘,可以把这两个加数分别与这个数相乘,再把积相加.这个规律叫做乘法分配律.用字母表示为：a+b·c=a·c+b·c a·c+b·c=a+b·c乘法分配律的拓展：两个数的差与一个数相乘,可以用这个数分别去乘相减的两个数,再把积相减.用字母表示为： a-b·c=a·c-b·c a·c-b·c=a-b·c三减法简便运算：1、一个数连续减去两个数,可以用这个数减去这两个数的和.用字母表示：a－b－c＝a－b＋c2、一个数连续减去两个数,可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数.用字母表示：a－b－c＝a—c－b四除法简便运算：1、一个数连续除以两个数,可以用这个数除以这两个数的积.用字母表示：a÷b÷c＝a÷b×c2、一个数连续除以两个数,可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数.用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b五积的变化规律①一个因数缩小扩大几倍,另一个因数扩大缩小相同的倍数,积不变.②一个因数缩小或扩大几倍,另一个因数不变,积也随着缩小或扩大几倍.③一个因数扩大m倍,另一个因数扩大n,积扩大m×n倍；一个因数缩小m倍,另一个因数缩小n,积缩小m×n倍；一个因数扩大缩小m倍,另一个因数缩小扩大n倍,积扩大或缩小m÷n倍.六解决问题：1、相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间2、工程问题工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率3、最多、最少问题人数最少多买贵的,人数最少多买便宜的.4、购物、旅游合算问题先计算后比较.例题精选一、常见乘法计算：25×4＝100125×8＝1000二、加法交换律简算例子：三、加法结合律简算例子：50+98+50488+40+60＝50+50+98＝488+40+60＝100+98＝488+100＝198＝588四、乘法交换律简算例子：五、乘法结合律简算例子：25×56×4 99×125×8＝25×4×56＝99×125×8＝100×56＝99×1000＝5600＝99000六、含有加法交换律与结合律的简便计算：65+28+35+72＝65+35+28+72＝100+100＝200七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：25×125×4×8＝25×4×125×8＝100×1000＝100000八、乘法分配律简算例子：一、分解式二、合并式25×40+4 135×12—135×2＝25×40+25×4＝135×12—2＝1000+100＝135×10＝1100＝1350三、特殊1四、特殊299×256+256 45×102＝99×256+256×1＝45×100+2＝256×99+1 ＝45×100+45×2＝256×100 =4500+90＝25600 =4590五、特殊3六、特殊499×26 35×8+35×6—4×35＝100—1×26＝35×8+6—4＝100×26—1×26＝35×10＝2600—26＝350＝2574九、连续减法简便运算例子：528—65—35528—89—128528—150+128=528—65+35 =528—128—89=528—128—150=528—100 =400—89 =400—150=428 =311 =250十、连续除法简便运算例子：3200÷25÷4=3200÷25×4=3200÷100=32十三、其它简便运算例子：256—58+44 250÷8×4=256+44—58 =250×4÷8=300—58 =1000÷8=242 =125专项训练一、积的变化规律练习题1、先用积的变化规律填空,再用笔算或计算器验算.26×48＝124817×12＝20426×24＝ 17×24＝26×12＝ 17×36＝2、请学生完成下列计算,并在组内述说自己发现的规律.18×24＝105×45＝18÷2×24×2＝105×3×45÷3＝18×2×24÷2＝105÷5×45×5＝3、在○中填上运算符号,在□中填上数.24×75＝180036×104＝374424○6×75×6＝180036×4×104○4＝374424○3×75○□＝180036○□×104○□＝37444、一个长方形的面积是256平方厘米,如果长缩小4倍,宽扩大4倍,这个长方形就变成了正方形,这个正方形的面积是多少它的边长是多少二、乘法的运算律一在□里填上合适的数,在里填上运算定律.135＋□＝467＋□运用了29×□×8＝29 ×125×□运用了25×67×4＝25×□×67 运用了125×400＋□＝125×400＋125×8运用了72 + 57 + 43 = 72 + 57 + 43 运用了二判断,对的打“√”,错的打“×”用手势表示,并说明理由.⑴4×15＝15×4 ……………………⑵28×5×15＝28×5＋15……⑶43×27＝27+43………………⑷101×63＝100×63＋63……………⑸98×15＝100×15＋2×15…………三用简便方法计算.⑴ 35+63+27 ⑵103-3×15⑶ 25×44 ⑷ 14×32+69×14四体味生活中的数学--购物.王阿姨是开商店的,今天她准备到好多多超市批发下列清单中的商品,她带了3000元,如果要购买这些商品,钱够用吗请你帮王阿姨算一算,看谁的方法最巧妙.商品单价元数量德芙巧克力4336包洗衣粉3615箱绿盛牛肉干1736包洗发露2536瓶解决问题1师徒两人合作加工520个零件,师傅每小时加工30个,徒弟每小时加工20个,几小时以后还有70个零件没有加工2甲、乙两队合挖一条水渠,甲队从东往西挖,每天挖75米；乙队从西往东挖,每天比甲队少挖5米,两队合作8天挖好,这条水渠一共长多少米3 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行,8小时两船还相距22千米.已知乙船每小时行42千米,甲船每小时行多少千米4一辆汽车和一辆自行车从相距千米的甲、乙两地同时出发,相向而行,3小时后两车相遇.已知汽车每小时比自行车多行千米,求汽车、自行车的速度各是多少5两地相距270千米,甲、乙两列火车同时从两地相对开出,经过4小时相遇.已知甲车的速度是乙车的倍,求甲、乙两列火车每小时各行多少千米6甲、乙两城相距680千米,从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米,2小时后,快车从乙城开往甲城,每小时行80千米,快车开出几小时后两车相遇7甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行,甲车每小时行45千米,途中因汽车故障甲车停了1小时,5小时后两车相遇.乙车每小时行多少千米8A、B两地相距3300米,甲、乙两人同时从两地相对而行,甲每分钟走82米,乙每分钟走83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟才可以相遇9甲、乙两列汽车同时从两地出发,相向而行.已知甲车每小时行45千米,乙车每小时行32千米,相遇时甲车比乙车多行52千米.求甲乙两地相距多少千米10姐妹俩同时从家里到少年宫,路程全长770米.妹妹步行每分钟行60米,姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回,途中与妹妹相遇.这时妹妹走了几分钟2001年上海市金山区升级考试卷11小明和小华从甲、乙两地同时出发,相向而行.小明步行每分钟走60米,小华骑自行车每分钟行190米,几分钟后两人在距中点650米处相遇 2002年上海市金山区升级考试卷12A、B两地相距300千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行.各自达到目的地后又立即返回,经过8小时后它们第二此相遇.已知甲车每小时行45去,千米,乙车每小时行多少千米甲乙两人分别同时从A、B两地相向而行,相遇时距A地120米,相遇后,他们继续前进,到达目的地后立即返回,在距A地150米再次相遇,求A、B两地之间的距离.问题补充：甲乙都是匀速前进,请用四年级的方法来做,不要方程.四年级的方法如下：乙从第一次相遇到第二次相遇一共走了270在2个全路程内,平均每个全程走135因为是匀速运动,所以第一个全程应该也走了135,所以距离就等于135+120＝255相遇问题练习一1、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步,两人朝相反的方向跑,第一次和第二次相隔40秒,已知甲每秒跑6米,乙每秒跑多少米2、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行,公共汽车汽车每小时行40千米,小汽车每小时行52千米.几小时后两车第一次相距69米.几小时后又相距69米3、一列客车和一列货车同时同地反向而行,货车比客车每小时快6千米,3小时后相距342千米,求两车的速度.4、某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒.问,该列车与另一列长320米时速千米的列车错车而过需要几秒5、一列火车长150米,每秒行20米,全车通过一座长450米长的大桥,需要多长时间6、甲乙两人绕周长1200米的环形广场冲走,已知甲每分走125米,乙的速度是甲的倍,现在甲在乙的后面400米,追上甲需要多长时间7、小明以每分50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明.求小强骑自行车的速度8、一架飞机从甲空港飞往乙空港,原计划每分飞行9千米,现在按每分12千米的速度飞行,结果提前半小时到达,甲乙两地相距多少千米9、甲乙两人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒,则甲4秒可追上乙.问甲乙两人的速度10、甲乙两车同时从A地开往B地,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,途中甲车因故障修车用了3小时,结果甲车比乙车迟到1小时.AB两地相距多少相遇问题练习二1、甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米,甲车先开出2小时后,乙车才开出.乙车行几小时后与甲车相遇2、一列火车于下午4时30分从甲站开出,每小时行120千米,经过1小时后,另一列火车以同样的速度从乙站开出,晚上9时30分两车相遇.甲乙两站铁路长多少千米3、快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出,已知快车每小时行60千米,慢车每小时行52千米,经过几小时后快车经过中点32千米处与慢车相遇.甲、乙两地的路程是多少千米4、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,两车在距中点15千米处相遇.A、B两地相距多少千米5、甲乙相距640千米,两辆汽车同时从甲地开往乙地,第一辆汽车每小时行46千米,第二辆汽车每小时行34千米,第一辆汽车到达乙地后立即返回,两辆汽车从开出到相遇共与偶用了几小时6、哥哥和妹妹同时从甲到相距540米远的学校上学,哥哥每分钟走60米,妹妹每分钟走48米,哥哥到达学校后发现忘了拿铅笔,立即返回家去取,在途中遇到妹妹.从开始上学到两人再相遇共有多少分钟7、甲乙两队学生从相距2700米的两地同时出发,相向而行,一个同学骑自行车以每分钟150的速度在两队之间不停地往返联络,甲队每分钟行25米,乙队每分钟行20米,两队相遇时,骑自行车的同学共行了多少米8、AB两人同时从相距3000米的家里相向而行,A每分钟行70米,B每分钟行80米,一只大狗与他同时出发,每分钟行100米,狗与B相遇后立即掉头向A跑去,遇到A后又向B跑去,直到AB两人相遇.这只狗一共跑了多少米单元测试一、填空.16分1、÷125＝8×150＝90048×＝2402、一个因数＝÷ ,被除数＝×除数= ÷ ,除法是乘法的 .3、在一个乘法算式中积是280,一个因数缩小5倍,另一个数扩大10倍,积是 .4、根据34×12＝408写出两个除法、 .5、甲数除以乙数,商是54,余数是700,如果乙数是900,甲数是 .6、2×5×6×2×5×5×2积的末尾有个零.7、2846÷6＝441表示：能被整除,还可以表示：能整除 .8、480÷6×＝2026×÷8＝208二、根据运算定律在下面□里填上适当的数.14分15×16＝16× 25×7×4＝××760×25×＝60××8125××＝125×9×1443+25×2＝× + ×8×47+8×53＝× +17×18+＝17× +17×15三、下面哪个算式是正确的,正确打“√”,错误的打“×”.8分126×15+24＝26×15+24225×40+4＝25×40+25×4375×27+25×27＝75+25×27425×32＝25×4×8540+2×25＝40+2×256102×28＝100×28+2×28762×99＝62×100-1835×14＝35×2×7四、怎样算简便就怎样算.18分16400÷400 15×4×25×6 95×102282×5+18×5 2870÷35 420÷28五、选择.6分1、把符合要求的算式序号填在括号里.①27×9＝9×27②30+A+40＝30+40+A ③40+10+50＝40+10+50④25×11＝11×25⑤104×18＝100×18+4×18⑥94×99+94＝94×100⑦13×5×8＝13×5×8⑧242+M＝M+242A、应用加法交换律的算式有B、应用乘法交换律的算式有C、应用乘法结合律的算式有D、应用加法结合律的算式有E、应用乘法分配律的算式有2、400减去24的差,除以13与12的和,最后求出的是 .和差积商3、457×99的简便算法是 .457×99-1 457×100+457 457×100-4574、如果a×b=0,那么 .A、a一定是0B、b一定是0C、a和b都是0D、ab至少有一个是05、a+b×c=a×c+b×c,这叫做 .乘法交换律乘法结合律乘法分配律六、找朋友.把得数相等的算式连接起来4分102×98+102 102×98+98 102×98+2×98 98×100-2×98102-2×98100×98+3×98104×9899×102七、在能整除的算式后面的里,画“√”4分9÷5 24÷2 7÷2 18÷3 85÷1336÷9 120÷4 36÷6 180÷1 30÷80÷8 90÷5 43÷6 21÷4 76÷6八、列式计算.5分1、一个数乘以2,再除以90,然后加上19,最后减去10,结果是10,这个数是多少2、一个数分别与4和9相乘,所得的积的和是2782,这个数是多少九、解决问题.25分1、一共有两个书架,每个书架有4层,共放有248本书,平均每个书架每层放多少本2、某学校有5位老师带领88名学生参观科技馆,现有1200元钱,够不够信息：杨人票每张24元,儿童票每张12元.3、两人同时从相距6400米的两地相向而行.一个人骑摩托车每分钟行600米,另一个人骑自行车每分钟行200米,经过几分钟两人相遇4、码头货物场有100吨煤需要运走.已知大卡车一次装8吨,小卡车一次装4吨.问：怎样运走这些煤是最经济的5、4千克苹果和7千克香蕉的竞价相等.1千克苹果比1千克香蕉贵3元.苹果和香蕉单价各是多少。

例1、因数与积的变化规律复习：小数乘法怎样计算3.2 5 3 2 5×0.6×61 9 5 0找规律：3.5×1.2 =4.2 3.5×1.2 = 4.2 3.5×1.2 = 4.23.5×3.6 = 7× 3.6 = 0.7×3.6 =3.5 × 6 = 14 × 6 = 14 ×0.4 =3.5×0.4 = 0.7 ×0.4 = 14 ×0.3 =小结：因数×因数 = 积因数×（因数×m）= 积因数×（因数÷m）= 积（因数×m）×（因数×n）= 积（因数÷m）×（因数÷n）= 积（因数×m）×（因数÷n）= 积思考：什么时候积不变？例2、被除数、除数与商的变化规律思考：为什么被除数和除数同时乘以（或除以）一个不为0的数，商才不变？找规律：4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.212.6÷3.5 = 4.2 ÷ 7 = 8.4÷ 7 =21 ÷3.5 = 4.2÷0.7 = 0.6÷0.5 =1.4 ÷3.5 = 4.2÷0.5 = 8.4÷0.7 =1.4÷10.5 =小结：被除数÷除数 = 商（被除数×m）÷除数 = 商（被除数÷m）÷除数 = 商被除数÷（除数×m）= 商被除数÷（除数÷m）= 商（被除数×m）÷（除数×n）= 商（被除数÷m）÷（除数÷n）= 商（被除数×m）÷（除数÷n）= 商（被除数÷m）÷（除数×n）= 商例3：一个两位小数四舍五入到十分位是5.0，那么这个小数最大是多少？最小是多少？还可能是多少？分析：比5.0小的数需要五入，可能是比5.0大的数需要四舍，可能是例4: 2.5×6= 2.5×2.2= 2.5×1.1= 2.5×0.8= 2.5×0.6=小结:一个数（0除外）乘大于1的数，例5: 4.5÷5= 4.5÷1.5= 4.5÷1= 4.5÷0.9= 4.5÷0.5= 小结:一个数（0除外）除以大于1的数，例6: 下面各题的商那些事小于1的？那些是大于1的？4.5÷1.5= 3÷2= 2.4÷2.4= 4÷5= 7.6÷8=小结：例7：一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了63.9，这个小数是多少？（分析）原数：扩大后的数：扩大后的数是原数的10倍，比原数多9倍，原数的9倍是。

第一单元分数乘法1、分数乘整数的意义：表示求几个相同加数的和的简便运算。

（第二个因数必须是整数，不能是分数。

例如：2/3×5表示求5个2/3相加的和是多少。

2、一个数乘分数的意义：表示求一个数的几分之几是多少。

（第二个因数必须是分数，不能是整数，第一个因数随便什么数。

）例如：3.2×4/5表示求3.2的4/5是多少。

3、分数乘法的计算法则：（1）分数乘整数：分子与整数相乘，分母不变。

（2）分数乘分数：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

（注意：能约分的要先约分再计算，计算结果要化成最简分数。

）4、因数与积的关系：①一个因数大于1，积就大于另一个因数。

②一个因数等于1，积就等于另一个因数。

③一个因数小于1，积就小于另一个因数。

5、怎样找单位“1”的量？在含有分率的句子中，“的”字前面，或者“占”“是”“比”字后面的量，就是单位“1”的量。

6、求一个数的几分之几是多少，用乘法计算：标准量×分率＝比较量7、求一个数的几分之几的几分之几是多少，用连乘计算。

8、求一个数比另一个数多（少）几分之几，用乘法计算：标准量×（1+/-分率）＝比较量9、什么是速度？速度是单位时间内所走的路程。

所以：速度=路程÷时间第二单元位置与方向（二）1、描绘物体位置三步法：（1）定观测点；（2）定方向（角度）；（3）定距离（比例尺）。

2、位置关系的相对性：当两地的位置具有相对性时，观测点不同，方向正好相反，而度数和距离不变。

第三单元分数除法1、乘积为1的两个数互为倒数。

（单独一个数不能称为倒数，必须说清谁是谁的倒数。

）2、求倒数的方法：①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。

②求整数的倒数：整数分之1。

③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。

④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。

3、1的倒数是它本身，0没有倒数。

4、分数除法的意义与整数相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

因数变化引起积的变化规律在生活中，数学就像个老朋友，总是悄悄跟在身边，偶尔让你感到困惑，偶尔又给你带来惊喜。

今天咱们聊聊一个有趣的主题，叫做因数变化引起积的变化规律。

听起来可能有点深奥，但别担心，我会让这件事情变得轻松有趣。

想象一下，你正在厨房里做饭，决定给家人做一个大蛋糕。

你把面粉、糖、鸡蛋和牛奶放在一起，想着“我加多少就能做出一个超好吃的蛋糕呢？”这时候，面粉的量就是一个因数，糖的量是另一个因数，最后你混合在一起的就是蛋糕的“积”。

如果你把面粉的量从两杯增加到三杯，结果是啥？没错，蛋糕就会变得更大，味道更好。

这里，面粉的变化引起了蛋糕“积”的变化。

是不是听起来很简单？再说说我们生活中常见的买东西。

如果你去超市，想买水果。

你看到苹果，三块钱一个，买了十个，那就是三十块。

你还想买橙子，四块钱一个，买了五个，那就是二十块。

算上总共，哎呀，七十块。

这时候，苹果和橙子就是你的因数，而最终花的钱就是积。

假设今天打折，苹果变成两块，买十个只要二十块，哇，这样你省下来的钱可是能买好多零食呢！因数的变化，直影响你的购物计划，简直是生活的数学魔法。

再举个例子。

大家都知道，运动对于我们的身体健康非常重要。

有时候你决定去健身房锻炼，今天你做十个俯卧撑，明天你加到十五个。

因数增加了，你的肌肉就会慢慢变得结实，体能也会提升。

运动的积也在不断变化，跟你付出的努力成正比。

这就像一个滚雪球，越滚越大，越加越壮。

咱们可能会在社交场合遇到新的朋友。

想象一下，一个聚会，大家围坐在一起聊天。

一个人讲笑话，大家都哈哈大笑。

笑声传递开来，气氛就活跃起来。

这里，笑话的质量和参与的人数都是因数，而最后的快乐程度就是“积”。

你能感受到的那种欢快的氛围，就是因数变化带来的美好结果。

再来谈谈家庭聚会。

比如，大家一起做火锅，你和朋友们轮流点菜。

每个人贡献的食材数量和种类，就是因数。

最后煮出来的火锅香气四溢，大家围坐在一起，其乐融融，这就是因数的变化带来的积的变化。

因数定义：两个整数相乘，其中这两个数都叫做积的因数。

（即一整数被另一整数整除,后者即是前者的因数）定义2x6=122和6的积是12，因此2和6是12的因数。

12是2的倍数，也是6的倍数。

3x4=123和4也是12的因数。

12是3和4的倍数。

整数A乘以整数B得到整数C，整数A与整数B就称做整数C的因数，反之整数C就为整数A与整数B的倍数。

自然数的因数（举例）6的因数有：1和6，2和3。

9的因数有：1和9、3和3.10的因数有：1和10，2和5。

15的因数有：1和15，3和5。

25的因数有：1和25，5和5。

注：此处整数为正整数或非零自然数。

分类A：除法里，如果被除数除以除数，所得的商都是自然数而没有余数，就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。

B ：我们将一个合数分成几个质数相乘的形式，这样的几个质数叫做这个合数的质因数。

约数与因数约数和因数的区别有三点：1、数域不同。

约数只能是自然数，而因数可以是任何数。

2、关系不同。

约数是对两个自然数的整除关系而言，只要两个数是自然数，就能确定它们之间是否存在约数关系，如：40÷5=8，40能被5整除，5就是40的约数，12÷10=1.2，12不能被10整除，10不是12的约数。

因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系而言的。

如：8×2=16，8和2都是积16的因数，离开乘积算式就没有因数了。

3、大小关系不同.当数a 是数b的约数时，a不能大于b，当a是b的因数时，a可以大于b，也可以小于b。

一般情况下，约数等于因数。

公因数定义：两个或多个非零自然数公有的因数叫做它们的公因数。

两个数共有的因数里最大的那一个叫做它们的最大公因数（零除外)。

其它：1是所有非零自然数的公因数。

两个成倍数关系的自然数之间，小的那一个数就是这两个数的最大公因数。

整数A能被整数B整除，A叫作B的倍数，B就叫做A的因数或约数，改为：整数A能整除整数B，B叫作A的倍数，A就叫做B的因数或约数，和因数有关的知识点1 . 质数：只有1和它本身这两个因数，没有其他的因数。

积与因数、商与被除数的关系教学目标：1．通过实例，学生理解分数除法和小数除法一样，除数的大小决定了被除数，商的大小。

2．培养能够观察，比较，分析问题的能力，得出结论。

3．培养学生自己研究问题能力，并从中得到快乐。

教学重点：学生理解并掌握除法算式中，被除数和商的大小关系是除数的大小决定的，当除数大于1时，商小于被除数；当除数等于1时，商等于被除数；当除数小于1时，商大于被除数。

教学过程：探究活动一：积与因数的关系1.计算找规律。

在课件出示分数乘法计算题。

生：独立思考。

（有一个因数相同，另一个因数有大于1、等于1、小于1，）2.谈论交流。

学生先独立计算，再观察。

你又发现了什么？（小结：当一个因数小于1时，积小于另一个因数；当一个因数大于1时，积大于另一个因数；当一个因数等于1时，积等于另一个因数。

）3．用字母表示规律。

师：你能用字母和符号表示这样的规律吗？如果用字母ɑ、b分别表示2个因数，c表示积。

那么ɑ×b＝c(a≠0,b ≠0,c≠0)（板书）当b＞1时，c＞a当b＜1时，c＜a当b＝1时，c＝a。

分数乘法中积与乘数有这样的关系，那分数除法中商、除数和被除数又有怎样的关系呢？我们来看这几题。

探究活动二：商与被除数的关系1．谈话师：同学们思考，在分数除法中，这个结论还成立吗？1、知识回顾：除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

2．计算并找出规律。

出示分数除法题：在算式中你发现了什么？（生：除数大于1、除数小于1、等于1.）计算结果。

同学们计算后比较商和被除数的大小（你发现了什么？）3．总结规律当除数小于1时，被除数反而小于商；当除数大于1时，被除数反而大于商；当除数等于1时，被除数等于商。

4．用字母表示规律你能用字母和符号表示这样的规律吗？ɑ÷b＝c(a≠0,b≠0,c≠0)当b＞1时，c＜a；当b＜1时，c＞a；当b＝1时，c＝a。

探究活动三：积和商的关系有什么联系。

除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。

积和因数的关系
积和因数关系是指数的乘积和它们的值之间的联系。

在数学中，一个数的因数是它的整数因子，即能整除该数的正整数。

例如，6的因数包括1、2、3和6本身。

一个数的乘积是由其因数相乘得到的结果。

例如，6的乘积是1×2×3×6=36。

积和因数关系有以下几个方面：
1.对于一个正整数n，它的所有因数之和等于n的倍数之和，即
σ(n)=n∑d|nd。

2. 对于两个正整数a和b，它们的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的积，即ab=gcd(a,b)lcm(a,b)。

3.对于一个正整数n，它有一个与之对应的重要函数叫做欧拉函数
φ(n)，表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。

于是有
φ(n)=n∏p|n(1−1/p)，其中p是n的所有质因数。

4.对于一个正整数n，如果它的因数个数为d(n)，则有
d(n)=φ(n)(1^2+1)+1，即因数个数等于欧拉函数的值乘上(1^2+1)+1。

小学数学教学案例教学内容：小学数学义务教育课程标准实验教科书五年级数学（上）练习——积与因数的大小关系。

教学过程：环节一：创设学习情景1、提问：现在有两个数，如果要使他们的结果最大，加、减、乘、除这四种运算，你会选择哪一种？为什么？大多数学生认为：乘，因为乘法会使一个数越乘越大2、出示两个数，让学生验证（1）3和5（学生为自己的判断感到非常高兴）（2）3和0.5（学生争议：并不是乘的结果最大，加、除比乘的结果还大）3、点题：看3×0.5的积与3的大小有什么关系？（比3小）4、质疑：那还能说乘法会使一个数越乘越大吗？（不能）5、说明：这是学习整数乘法后，给大家留下的一个印象，它在小数乘法里就不是这个规律了。

过渡：那么，在包括小数的乘法里，积与因数的大小关系又有怎样的规律呢？我们一起来探究。

环节二：描述学习任务1、通过计算，找出因数与积的大小关系。

2、观察第二个因数的大小规律，积与第一个因数的大小规律，找出积与因数的大小变化规律。

环节三：学生自主探究出示题目，让学生通过计算找规律。

环节四：小组讨论探究1、把自己的发现在小组内交流，相互探讨、补充。

2、可举类似例子再作验证。

环节五：集体交流汇报展示汇报，得出结论：（1）一个数乘大于1的数，积比原来的数大；（2）一个数乘小于1的数，积比原来的数小。

环节六：教师答疑：1、质疑：0×3=？0×0.3=？学生恍然大悟：上面规律中的“一个数”应强调“0除外”2、教师画线段图讲解，帮助理解规律。

环节七：自测：1、不计算，在○里填上“>”或“<”。

3.4×1.04○3.4 0.98×46○0.985.3○5.3×0.8 0.36×0.095○0.362、按要求填空。

（你有几种填法？）5.6×（）=积大于5.65.6×（）=积等于5.65.6×（）=积小于5.6环节八：课堂小结这节课中，你有哪些收获？积与因数的大小有怎样的规律？反思：所谓探究学习教学模式，我的理解是指课堂教学过程是在教师的启发和诱导下，以学生独立自主探究和合作交流为前提，为学生创造充分的发现问题、质疑问题、探究问题、得出结论的机会，最后将自己探究所得出的结论应用于解决实际问题的一种教学模式。

四年级因数与积的变化规律在学校里，四年级的小朋友们都在学一个很有趣的数学概念，叫做因数与积。

哎，别一听到数学就皱眉头，其实这可是个有意思的话题！咱们来聊聊，因数和积到底是什么，怎么变化，顺便也说说生活中怎么用到它们。

因数就像是数学界的小伙伴。

两个数如果能一起乘起来得到一个更大的数，那这两个数就是那个大数的因数。

比如说，2和3就是6的因数，嘿，这样说是不是很简单？我们就像在做拼图，把小拼图块拼成一个大画面。

可别小看了这因数的变化哦，换个组合就能得到不同的积。

想想，4和2也是6的因数，但是他们的组合就不一样，像是换了一种口味的冰淇淋，虽然都是美味，但总是让人觉得新鲜。

说到积，那就是因数乘起来的结果，像是烤蛋糕的时候，搅拌好的面糊，最后能烤出美味的蛋糕。

嘿，想象一下，如果你把2、3、4都加进去，哇，最后出来的就是24，真是大丰收啊！就像生活中，有时候朋友们聚在一起，热热闹闹的，大家分享各自的故事，结果就是欢乐的聚会气氛，大家都很开心，哈哈。

有趣的是，因数与积之间的变化规律就像是秋天的树叶，一会儿红，一会儿黄，变化得让人目不暇接。

比如说，大家都知道10的因数有1、2、5、10。

当你把它们一一乘起来的时候，哇，出来的积就是10！不过，若是换个角度想，10的因数也可以是20、30、40这样的数字。

感觉就像是打开了一个新的世界，每次的组合都能给你带来不同的惊喜。

小朋友们在课上时常讨论，像是一个大集体，一起找出不同的因数，哎呀，有时候会闹得不可开交，谁的因数更厉害，谁的积更大，仿佛在比拼谁家的糖果多一样。

老师看着这一幕，肯定笑得合不拢嘴，孩子们就是这么天真无邪，活泼可爱，完全不在乎那些复杂的数学公式，心中只想着如何把积给搞大。

生活中处处都能找到因数与积的影子。

比如说，吃水果的时候，一串葡萄可以看作一个积，而每颗葡萄就是它的因数。

你想吃多少颗，就可以把整串葡萄分成若干组。

嘿，这样的思维训练可真不错，既能锻炼思维，又能让人享受到美味，真是一举两得！想想看，你邀请朋友来家里聚会，每个人带一盘子菜，最后桌子上全是丰盛的美食，哇，那就是大家的合作与分享，因数与积的完美结合。