因数与积的关系

因数与积的变化规律1、一个因数不变，另一个因数乘6，则积（）2、一个因数不变，另一个因数除以8，则积（）3、两个数相乘的积是25，一个因数不变，另一个因数乘,9，则积是（）4、两个数相乘的积是65，其中一个因数不变，另一个因数除以5，则积是（）5、两个数相乘，其中一个因数乘2，另一个因数乘3，则积（）6、两个数相乘，其中一个因数乘3，另一个因数除以3，则积（）7、两个因数的积是360，如果一个因数除以3，另一个因数不变，积变为（）。

8、两个因数相乘的积是560，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。

9、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。

10、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。

11、两个数相乘积是100，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。

12、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。

13、两数相除商是100，如果除数不变，被除数乘10，商（）。

14、两数相除商是100，如果除数不变，被除数除以10，商（）。

15、两数相除商是100，如果被除数不变，除数乘10，商（）。

16、两数相除商是100，如果被除数不变，除数除以10，商（）。

17、两数相除商是100，如果被除数和除数都乘10，商（）。

18、两数相除商是100，如果被除数和除数都除以10，商（）。

19、两数相除商是100，如果被除数乘10，除数除以10，商（）。

20、两数相除商是100，如果被除数除以10，除数乘10，商（）。

21、两数相除商是100，如果被除数乘100，除数除以10，商（）。

22、两数相除商是100，如果被除数乘10，除数除以100，商（）。

23、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。

24、两数相除，如果被除数扩大5倍，要使商不变，除数应该（）。

25、1400÷70，如果除数不变，被除数除以10，那么商应该（）。

常用的数量关系：1.加法各部分的关系：加数+加数 = 和一个加数 = 和—另一个加数2.减法各部分的关系：被减数-减数 = 差减数 = 被减数-差被减数 = 减数 + 差3.乘法各部分的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数4.除法各部分的关系：被除数÷除数 =商除数=被除数÷商被除数=商×除数5.平均分问题：总数÷份数=每份数总数÷每份数 =份数每份数×份数=总数6.物价问题：总价=单价×数量单价=总价÷数量数量=总价÷单价（单价是指一件商品的价格）7.行程问题：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度（速度是指单位时间内行的路程，单位时间就是一个时间单位，如一天，一小时，一分钟，一秒等）8.相遇问题：总路程=速度和×相遇时间相遇时间=总路程÷速度和9.工作问题：工作总量 = 工效×时间工效=工作总量÷时间时间= 工作总量÷工效（功效是指时间单位内完成的工作量，与速度的意义类同）10.产量问题：总产量=单产量×数量单产量=总产量÷数量数量=总产量÷单产量常用的数量关系：1.加法各部分的关系：加数+加数 = 和一个加数 = 和—另一个加数2.减法各部分的关系：被减数-减数 = 差减数 = 被减数-差被减数 = 减数 + 差3.乘法各部分的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数4.除法各部分的关系：被除数÷除数 =商除数=被除数÷商被除数=商×除数5.平均分问题：总数÷份数=每份数总数÷每份数 =份数每份数×份数=总数6.物价问题：总价=单价×数量单价=总价÷数量数量=总价÷单价（单价是指一件商品的价格）7.行程问题：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度（速度是指单位时间内行的路程，单位时间就是一个时间单位，如一天，一小时，一分钟，一秒等）8.相遇问题：总路程=速度和×相遇时间相遇时间=总路程÷速度和9.工作问题：工作总量 = 工效×时间工效=工作总量÷时间时间= 工作总量÷工效（功效是指时间单位内完成的工作量，与速度的意义类同）10.产量问题：总产量=单产量×数量单产量=总产量÷数量数量=总产量÷单产量。

因数和与因数积在数学中，因数是指能够整除某个数的数，而因数和与因数积则是与因数相关的数学概念。

因数和是指一个数所有因数的和，而因数积则是指一个数所有因数的乘积。

这两个概念在数学中有着广泛的应用。

一、因数和1.1 定义一个数的因数和是指该数所有因数的和。

例如，数12的因数和为1+2+3+4+6+12=28。

1.2 计算方法计算一个数的因数和可以通过以下方法进行：（1）列出该数的所有因数；（2）将所有因数相加，得到因数和。

例如，计算数12的因数和，可以列出其因数1、2、3、4、6、12，然后将它们相加，得到28。

1.3 性质（1）一个数的因数和等于所有小于等于该数的正整数的因数和之和。

（2）一个数的因数和等于该数的约数个数乘以该数的因数平均值。

（3）一个数的因数和等于其所有因数的积除以该数本身再加1。

1.4 应用因数和在数论中有着广泛的应用，例如：（1）判断一个数是否为完全数。

完全数是指一个数等于它的因数和减去它本身，例如，6是一个完全数，因为6的因数和为1+2+3+6=12，减去6得到6。

（2）计算一个数的约数个数。

一个数的约数个数等于其因数和除以该数本身再加1，例如，数12的因数和为28，约数个数为6。

（3）计算一个数的因数平均值。

一个数的因数平均值等于其因数和除以其约数个数，例如，数12的因数平均值为28/6=4.67。

二、因数积2.1 定义一个数的因数积是指该数所有因数的乘积。

例如，数12的因数积为1×2×3×4×6×12=1728。

2.2 计算方法计算一个数的因数积可以通过以下方法进行：（1）列出该数的所有因数；（2）将所有因数相乘，得到因数积。

例如，计算数12的因数积，可以列出其因数1、2、3、4、6、12，然后将它们相乘，得到1728。

2.3 性质（1）一个数的因数积等于该数的因数个数的一半次方乘以该数的平方根。

（2）一个数的因数积等于其所有因数的积的平方根。

例1、因数与积的变化规律复习：小数乘法怎样计算3.2 5 3 2 5×0.6×61 9 5 0找规律：3.5×1.2 =4.2 3.5×1.2 = 4.2 3.5×1.2 = 4.23.5×3.6 = 7× 3.6 = 0.7×3.6 =3.5 × 6 = 14 × 6 = 14 ×0.4 =3.5×0.4 = 0.7 ×0.4 = 14 ×0.3 =小结：因数×因数 = 积因数×（因数×m）= 积因数×（因数÷m）= 积（因数×m）×（因数×n）= 积（因数÷m）×（因数÷n）= 积（因数×m）×（因数÷n）= 积思考：什么时候积不变？例2、被除数、除数与商的变化规律思考：为什么被除数和除数同时乘以（或除以）一个不为0的数，商才不变？找规律：4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.212.6÷3.5 = 4.2 ÷ 7 = 8.4÷ 7 =21 ÷3.5 = 4.2÷0.7 = 0.6÷0.5 =1.4 ÷3.5 = 4.2÷0.5 = 8.4÷0.7 =1.4÷10.5 =小结：被除数÷除数 = 商（被除数×m）÷除数 = 商（被除数÷m）÷除数 = 商被除数÷（除数×m）= 商被除数÷（除数÷m）= 商（被除数×m）÷（除数×n）= 商（被除数÷m）÷（除数÷n）= 商（被除数×m）÷（除数÷n）= 商（被除数÷m）÷（除数×n）= 商例3：一个两位小数四舍五入到十分位是5.0，那么这个小数最大是多少？最小是多少？还可能是多少？分析：比5.0小的数需要五入，可能是比5.0大的数需要四舍，可能是例4: 2.5×6= 2.5×2.2= 2.5×1.1= 2.5×0.8= 2.5×0.6=小结:一个数（0除外）乘大于1的数，例5: 4.5÷5= 4.5÷1.5= 4.5÷1= 4.5÷0.9= 4.5÷0.5= 小结:一个数（0除外）除以大于1的数，例6: 下面各题的商那些事小于1的？那些是大于1的？4.5÷1.5= 3÷2= 2.4÷2.4= 4÷5= 7.6÷8=小结：例7：一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了63.9，这个小数是多少？（分析）原数：扩大后的数：扩大后的数是原数的10倍，比原数多9倍，原数的9倍是。

课题积与因数的大小关系错误！未指定书签。

设计者史红超审核人课型练习年级六执教史红超老师学习目标1.在练习中进一步掌握分数乘法的计算方法。

通过观察思考，找到积与因数的关系的规律，从而能应用规律对结果进行判断。

2.在学生经历观察、思考、发现规律、归纳总结的过程中，培养学生的学习能力。

重难点1.找到积与因数的关系的规律，并运用规律解决问题。

2.找到积与因数的关系的规律，并运用规律解决问题。

教具准备课件课时一课时学习过程环节一、出示教材18页的第一题。

A、14587⨯187⨯3487⨯B、35107⨯351⨯3556⨯学生计算两组题目的结果，并汇报，师板书。

二、探索规律：积与因数大小的关系。

1、师引导学生观察两组算式，说说发现了什么？预设：发现A组算式的第一个因数相同，都是87。

B组算式的第二个因数相同，都是35。

还发现竖着看，第1竖条的另一个因数比1小，第2竖条的另一个因数等于1，第3竖条的另一个因数比1大。

2、引导学生探索规律。

提问：认真观察前面第一组和第二组的题目的结果，想一想：分数相乘的积一定小于每一个因数吗？你发现了什么？3、小组合作，讨论交流。

4、汇报并小结：当其中一个因数小于1时，积一定小于另一个因数；导案当其中一个因数大于1时，积一定大于另一个因数； 当其中一个因数等于1时，积一定等于另一个因数； 提问：为什么会是这样的规律呢？根据分数乘法的意义，根据具体题目进行说明。

三、应用规律。

1、下面各式中，（ ）的积小于第一个因数。

A 、4352⨯B 、2101⨯C 、4389⨯ 2、在（ ）里填上“〈 ”“ 〉”或“=”。

()439292⨯ ()614174⨯ ()32588532⨯⨯()91072910⨯ ()1273127⨯ ()78565678⨯⨯ 四、课堂小结。

说说这节课的收获。

五、作业布置。

（用简便方法计算下列各题）（712 +78 ）×36 119×3.3+119×3.3137×7136 229 ×(15×2931)311 ×89 +311 ×29 -311 ×19导学过程板书设计教学反思：1。

因数和积的关系
因数与积的关系:因数×因数=积。

小学数学定义：假如a*b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数。

需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。

反过来说，我们称c为a、b的倍数。

在研究因数和倍数时，小学数学不考虑0。

乘法的计算法则：
数位对齐，从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐。

1、十位数是1的两位数相乘方法：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

2、个位是1的两位数相乘方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。

3、十位相同个位不同的两位数相乘方法：被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上。

1。

积和因数的关系
积和因数关系是指数的乘积和它们的值之间的联系。

在数学中，一个数的因数是它的整数因子，即能整除该数的正整数。

例如，6的因数包括1、2、3和6本身。

一个数的乘积是由其因数相乘得到的结果。

例如，6的乘积是1×2×3×6=36。

积和因数关系有以下几个方面：
1.对于一个正整数n，它的所有因数之和等于n的倍数之和，即
σ(n)=n∑d|nd。

2. 对于两个正整数a和b，它们的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的积，即ab=gcd(a,b)lcm(a,b)。

3.对于一个正整数n，它有一个与之对应的重要函数叫做欧拉函数
φ(n)，表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。

于是有
φ(n)=n∏p|n(1−1/p)，其中p是n的所有质因数。

4.对于一个正整数n，如果它的因数个数为d(n)，则有
d(n)=φ(n)(1^2+1)+1，即因数个数等于欧拉函数的值乘上(1^2+1)+1。

积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。

积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。

一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。

商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。

1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。

7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。

4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（）。

9、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（）。

10、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。

11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。

12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。

13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。

14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ).17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。

四年级积的变化规律
文章标题：四年级积的变化规律
一、引言
在四年级的数学课程中，我们学习了如何计算乘积以及乘法的基本性质。

乘积是一个数学术语，指的是两个或多个数相乘的结果。

在这个阶段，我们不仅要掌握基本的乘法计算，还要理解乘积随着因数的变化而变化的规律。

本文将通过具体的例子和说明，详细阐述四年级积的变化规律。

二、积的变化规律
1、因数变化，积也变化
当我们改变一个乘法等式中的因数时，积也会相应地发生变化。

例如，在等式2x3=6中，如果我们将其中一个因数翻倍，如2变为4，那么新的等式为4x3=12，积也从6变为12。

这种变化规律在数学中被称为“因数变化，积也变化”。

2、变化的倍数关系
当我们改变一个乘法等式中的因数时，积的变化是有规律的。

以2x3=6为例，当我们把2变为4时，积从6变为12。

可以看到，新的积是原来的2倍。

同样地，如果我们把2变为3，积就从6变为9，新的
积是原来的1.5倍。

这种变化的倍数关系是基于因数的变化比例来计算的。

3、积的变化与因数的变化成正比
在四年级的数学中，我们学习了一种重要的规律：积的变化与因数的变化成正比。

这意味着，当一个因数加倍时，积也会加倍；当一个因数增加一倍时，积也会增加一倍。

这个规律可以帮助我们更快地计算复杂的乘法问题。

三、总结
四年级的积的变化规律是数学学习中的重要部分。

通过理解因数变化与积变化的规律，我们可以更准确地计算乘积，解决相关的数学问题。

掌握这个规律也为后续更深入的数学学习打下了坚实的基础。

乘法算式中因数与积的小数位数的关系哎呀，今天咱们来聊聊乘法算式中因数与积的小数位数的关系，听起来是不是有点复杂？别担心，咱们轻松点，随便聊聊，像喝茶一样。

你想想，乘法就像做菜，因数就是原料，而积呢，就是最后端上桌的成品。

哈哈，是不是有点道理？这两者之间的关系，简直就像调料和味道，少了哪个都不行。

想象一下，你在厨房忙得不可开交，手里拿着一堆小数，这可真是考验功力的时刻。

咱们知道，每个因数的小数位数加起来，会影响到最后积的小数位数。

比如说，两个因数都是小数，像0.3和0.2，那咱们就得把它们的小数位数加起来。

0.3有一位小数，0.2也有一位小数，所以最后的积，哦，咱们得算算，得有两位小数！这就像调味品放得太多，味道就是浓，放少了，又显得淡。

可是你要是有一个因数是整数，另一个是小数，那就简单多了。

就像你在做饭的时候，突然发现有个菜是干的，没加水，哎，心里不慌吗？这种情况下，积的小数位数就只跟那个小数的位数有关，整数的部分就是不算了。

比如，0.5和4相乘，最后的积就是2.0，只有一位小数，整数不影响。

像是这道菜，加了点水，结果没变得多复杂，反而更简单。

你可能会碰到一些特别的小数，比如0.05和0.2。

咋算呢？嘿，记住咯，0.05有两位小数，0.2只有一位小数，加起来就有三位小数。

结果呢，0.05乘0.2得0.01，哎呀，虽然结果小得让人心疼，但这就是小数的魅力呀！如果你想让结果变得更大点，记得多加点整数，或者把小数调得小点，嘿嘿，试试就知道啦。

咱们在算的时候，脑子里得清楚，别像是做菜时加错调料，那可就麻烦了。

有的同学可能会想，干嘛这么复杂呢？掌握了这个关系，做题的时候就会轻松不少。

别以为这只是数字游戏，生活中处处都有小数的影子，像是购物、计算折扣，随便来点儿都能用上。

每当你在商场里看到打折，心里想着这笔账怎么算，不就是在应用咱们今天的内容嘛！再说了，乘法也并不是一成不变的。

有些朋友喜欢把小数转化为分数，然后再做乘法，这样可以更加直观。

苏教版数学四年级下册《4、积的变化规律》说课稿2一. 教材分析《苏教版数学四年级下册》中的《4、积的变化规律》一课，主要让学生掌握两个数相乘（除）时，一个因数（除数）不变，另一个因数（除数）扩大或缩小几倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数的规律。

通过这一节课的学习，让学生能够运用这一规律解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。

二. 学情分析四年级的学生已经掌握了整数乘除法的基本运算，对因数和积的概念有一定的理解。

但是，对于积的变化规律的深层次理解还有待提高。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过观察、操作、讨论等方式，发现并理解积的变化规律。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握积的变化规律，能够运用这一规律解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、讨论等方式，培养学生的观察能力、动手能力和交流能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、合作探究的学习态度。

四. 说教学重难点重点：积的变化规律的发现和理解。

难点：积的变化规律在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察、操作、讨论、讲解等教学方法，引导学生自主发现和理解积的变化规律。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、卡片等教学辅助工具，帮助学生更好地理解和掌握积的变化规律。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的数学谜语，引发学生对积的变化规律的思考，激发他们的学习兴趣。

2.探究：让学生分组进行观察和操作，发现并总结积的变化规律。

3.讲解：对积的变化规律进行讲解，让学生深入理解这一规律。

4.练习：设计一些实际问题，让学生运用积的变化规律进行解答，巩固所学知识。

5.小结：对整个节课的内容进行总结，强化学生对积的变化规律的理解和记忆。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出积的变化规律。

可以设计成以下的板书：积的变化规律一个因数不变另一个因数扩大或缩小几倍（0除外）积也扩大或缩小相同的倍数八. 说教学评价通过课堂表现、练习解答、课后作业等方式，评价学生对积的变化规律的理解和掌握程度。

FengJiaTunXiaoXue 五年级上册数学讲学案系列课题：积与因数的关系课型：新授主备人：郭军红学习目标：知道在小数乘法中，一个因数小于1时，积小于另一个因数；一个因数大于1时，积大于另一个因数（另一个因数不等于0）；一个因数等于1时，积等于另一个因数。

学习重点：理解小数乘法中积与因数的关系。

学习难点：理解小数乘法中积与因数的关系。

教学过程备注一、知识铺垫：1、列竖式计算10.86×0.85= 24.8×17.65=2、根据75×28=2100在括号里填上合适的数75×2.8=（）0.75×28=（）0.75×7.8=（）0.075×280=（）（）×0.78=21 7.5×（）=2.1二、学习新知：在圆圈里填上“>”、“<”或“=”。

2.65×0.99 ○ 2.65 5.74×1.5 ○ 5.740.91×1.25 ○ 1.25 3.08×1.01○ 3.081 ×0.87 ○ 0.87 1×0.87 ○ 1导学：在小数乘法中，一个因数小于1时，积（）另一个因数；一个因数大于1时，积（）另一个因数（另一个因数不等于0）；一个因数等于1时，积（）另一个乘数。

三、巩固练习：1、 5.56×0.99的积一定比 5.56（）；6.49×5.6的积一定比6.49( )2、 8.96×0.98的积一定比0.98（），比8.96（）。

1—18 敏而好学，不耻下问——孔子FengJiaTunXiaoXue 五年级下册数学讲学案系列3、A×1.01＞ A，则A（）A、大于1B、小于1C、等于1D、以上都有可能4、0.07×a＜ 0.07，a应该（）A、大于1B、小于1C、大于05、在圆圈里填上“>”、“<”或“=”。

加减乘除各部分之间的关系（解方程用）
加法各部分之间的关系：加数+加数=和
一个加数=和-另一个加数
减法各部分之间的关系：被减数-减数=差
被减数=差+减数
减数=被减数-差
乘法各部分之间的关系：因数X因数=积
一个因数=积÷另一个因数
除法各部分之间的关系：被除数÷除数=商
被除数=商X除数
除数=被除数÷商
加减乘除各部分之间的关系（解方程用）
加法各部分之间的关系：加数+加数=和
一个加数=和-另一个加数
减法各部分之间的关系：被减数-减数=差
被减数=差+减数
减数=被减数-差
乘法各部分之间的关系：因数X因数=积
一个因数=积÷另一个因数
除法各部分之间的关系：被除数÷除数=商
被除数=商X除数
除数=被除数÷商。