学案2：1.1.1 构成空间几何体的基本元素

【新课教学过程设计（一）】第一章空间几何体第1.1.2节简单组合体的结构特征【本节教材分析】（一）三维目标1.掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想.（二）教学重点描述简单组合体的结构特征。

（三）教学难点概括出简单组合体的结构特征。

（四）教学建议立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础.简单几何体（柱体、锥体、台体和球）是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征.【新课导入设计】导入一：在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：简单几何体的结构特征.导入二：现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单几何体的结构特征.提出问题①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.图1②观察图1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系？活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示.①略.②图1中的三个组合体分别代表了不同形式.③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示.讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图1（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体；图1（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图1（3）是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体.②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图1（1）和（3）所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图1（2）所示的组合体.③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同一个球面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的对角线是球的直径；2°一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3°一球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径.应用示例例1 请描述如图2所示的组合体的结构特征.图2活动：回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断.解：图2（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；图2（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；图2（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体.点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力.变式训练1：(1) 如图3说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？图3(2)如图4（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别？图4答案：(1) 图3（1）中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成；图（2）中的螺帽可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体.（2）图4（1）所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体；而图（2）所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体.例2 连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体.活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图形如图4(1)，再作出判断.(1) (2)图4解：如图4(1)，正方体ABCD—A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心.由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱.该多面体的图形如图4（2）所示.点评：本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱.由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线.变式训练2连接上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？答案：六面体（正方体）.例3 已知如图5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕BC 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.图5解析：让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直，以此确定所得几何体的结构特征解：如图所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.点评：本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体.变式训练3（1）如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.图6（2）如图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，说出它形成的几何体的结构特征图7答案：（1）如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.（2）一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球.拓展提升1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面.用运动的观点看几何问题的形成，容易建立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的.明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、台的相互关系，对于我们正确的割补图形也是有好处的.对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验.对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状.探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案：（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形.（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形.（3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行.（4）截面不能是直角梯形.（5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形.（6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等.（7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形.截面图形如图12中各图所示：图12课堂小结本节课学习了简单组合体的概念和结构特征.作业习题1.1 A组第3题；B组第2题.【当堂检测】一、选择题1．如图所示的组合体的结构特征是( )A．两个四棱锥组合成的B．一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．一个四棱锥和一个四棱台组合成的2．下列说法正确的是( )A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心3．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4．充满气的车轮内胎可由下面哪一个图形绕对称轴l 旋转得到( )二、填空题5．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是________．6．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是310，则其轴截面面积是________．7．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径之比是1∶4，母线长为10，则圆锥的母线长是________．1.解析：该组合体是由上、下两个四棱锥组合而成的．答案：A2.解析：对于A ，圆锥的母线长不一定等于底面圆直径；对于B ，圆柱的母线与轴平行；对于C ，圆台的母线与轴延长后相交于一点；D 正确．答案：D3.解析：作出截面图，如图，由△A 1B 1C 1∽△ABC ，得B 1C 1＝1，∴截面圆面积为π. 答案：A4.解析：A 中圆环旋转形成一空心球；B 中圆环旋转形成一车轮轮胎(包括外胎)；C 中圆旋转形成球；D 中圆形成车轮内胎．答案：D5.解析：截去的几何体是由这个顶点和E 、F 、G 四个点为顶点构成的三棱锥． 答案：三棱锥6.解析：圆台的高为h ，则h ＝102－－2＝9，∴轴截面面积S ＝12(4＋10)×9＝63. 答案：637.解析：把圆台还原为圆锥，利用三角形相似得，x －10x ＝14(其中x 为圆锥母线长)，∴x ＝403.40答案：3。

1.1.1 构成空间几何体的基本元素教案
一、教学目标
掌握空间点、线、面之间的相互关系以及相互之间的位置关系.
二、教学重点和难点
重点：点、线、面之间的相互关系，以及文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化.
难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系.
三、教学方法和教学手段
在上课前将问题用学案的形式发给各组学生，让学生先在课下研究探讨，在课上以小组为单位就学案中的问题展开讨论并发表自己组的研究结果，并引导同学展开争论，同时利用课件给同学一个直观的展示，然后得出结论.下附学生的学案
四、教学过程。

第一章立体几何
1.1.1构成空间几何体的基本元素
【学习目标】
1、从运动的观点来初步认识点、线、面、体之间的生成关系和位置关系；
2、通过几何体的直观图观察其基本元素间的关系以及注意到空间中存在既不平行也不相交的直线.
自主预习案自主复习夯实基础【双基梳理】
1. 叫长方体的面，叫长方体的棱，
叫长方体的顶点。

长方体共有各面条棱个顶点
2.平面是处处平直的立体几何中平面是无限延展的。

3.
（1）从运动的角度，分析点、线、面几何体之间的关系。

（2）点运动的方向则生成直线；点运动的方向则生成曲线。

（3）线运动的轨迹可以是；面运动的轨迹可以是。

（4）直线平行移动可以形成；固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，形成；
4.
叫直线与平面平行；
叫直线与平面垂直；
叫点到平面的距离；
叫两个平面互相垂直。

考点探究案典例剖析考点突破考点一构成几何体的基本元素
【例1】构成几何体的基本元素是；
变式训练：直角三角形绕着一边旋转能形成什么几何体？
考点二平面
【例2】画水平放置的平面，竖直放置的平面。

变式训练：判断：(1)平行四边形是一个平面（）
(2)一个平面长20，宽10 （）
(3)8个平面重叠起来比2个平面重叠起来厚（）
（4）线的轨迹一定是面（）
第一章 立体几何
考点三 长方体中基本元素的位置关系
【例3】观察长方体的顶点、棱和面之间的位置关系，总结空间点、线、面之间的位置关系
A B
C D D 1 A 1
第一章立体几何。

构成空间几何体根本元素示范教案整体设计教学分析本节教材通过长方体体会空间中点、线、面、体之间关系，体会它们如何构成了空间图形．对空间中线、面平行及垂直了解，是认识几何体构造特征所必需，因此有必要在此进展讨论与研究．在教学中要引导学生在直观感知根底上展开讨论与交流，对正确观点要及时肯定，并说明在后面学习中深入研究；对不正确观点也要肯定学生探索积极性，并指导他们通过实例举出反例．三维目标1．了解空间中点、线、面、体之间关系，体会它们是怎样构成空间图形，培养学生空间想象能力．2．认识空间点、线、面之间位置关系，培养学生探索能力与抽象思维能力．重点难点教学重点：从运动观点初步认识点、线、面、体之间生成关系与位置关系．教学难点：通过几何体直观图观察其根本元素间关系以及异面直线概念．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.在小学与初中，我们已经学习了长方体、球、圆柱等一些简单几何体，在日常生活中，我们看到很多建筑物大都是这些几何体组成，从本节开场，我们学习常见几何体构造特征，教师点出课题．设计2.我们知道点是构成线根本元素，那么构成几何体元素是什么呢？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)什么样物体叫几何体？(2)粉笔盒是什么几何体？(3)如以下图所示长方体，有几个面？几条棱？几个顶点？(4)想一想几何体是由什么构成？(5)你知道工程人员怎样检验一个物体外表是不是平？(6)我们每个人都有个名字，那么如何表示平面呢？(7)流星划过夜空，给我们一种“点动成线〞视觉感受．你能用运动观点来说明点、线、面、体之间关系吗？讨论结果：(1)只考虑一个物体占有空间局部形状与大小，而不考虑其他因素，那么这个空间局部叫做一个几何体．(2)长方体．(3)长方体有6个面，12条棱，8个顶点．(4)几何体是由点、线、面构成．点、线、面是构成几何体根本元素．(5)通常把直尺放在物体外表各个方向上，看看直尺边缘与物体外表是否有缝隙，如果都不出现缝隙，说明这个物体外表是平．线有直线(段)与曲线(段)之分，面有平面(局部)与曲面(局部)之分．由此可见，平面是处处平直面，而曲面就不是处处是平．(6)表示法一：用一个希腊字母α，β，γ，……来命名；表示法二：用四边形对角顶点字母表示；表示法三：用四边形四个顶点字母表示．如以下图所示，平面α，平面β，平面AC，平面ABCD.(7)如果点运动方向始终不变，那么它轨迹是一条直线或线段，如果点运动方向时刻在变化，那么运动轨迹是一条曲线或曲线一段．同样，一条线段运动轨迹可以是一个面，面运动轨迹(经过空间局部)可以形成一个几何体，如以下图所示．直线平行运动，可以形成平面或曲面．固定射线端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面，如以下图所示．提出问题观察如以下图所示长方体，设想长方体棱可以延伸为直线，面可延伸为平面，答复以下问题．(1)根据长方体棱所在直线位置关系，猜测空间两条直线位置关系？(2)根据长方体棱所在直线与各面所在平面位置关系，猜测空间直线与平面位置关系？3直线AA′与平面AC相交，还有什么特点吗？4平面AC与平面A′C′有公共点吗？5平面AC与平面AB′有公共点吗？6根据长方体面所在平面位置关系，猜测空间两平面位置关系？7我们知道直线AA′⊥平面AC，直线AA′在平面AB′内，平面AC与平面AB′相交，这两个平面还有其他特点吗？讨论结果：(1)与直线AA′平行直线有BB′，CC′，DD′；与直线AA′相交直线有AB，AD，A′B′，A′D′；与直线AA′既不平行又不相交直线有CB，CD，C′B′，C′D′.由此可见，空间中两条直线位置关系有三种：平行、相交、既不平行又不相交．(2)直线AA′与平面BC′平行，记作AA′∥平面BC′；直线AA′在平面AB′内；直线AA′与平面AC相交．由此可见，空间直线与平面位置关系有：平行、相交、在平面内．(3)直线AA′与平面AC不仅相交，而且垂直，记作AA′⊥平面AC，即直线与平面垂直是直线与平面相交特殊情况．此时直线AA′称为平面AC垂线，平面AC称为直线AA′垂面．线段AA′为点A′到平面AC内所有连线段中最短一条．线段AA′长称为点A′到平面AC距离．(4)平面AC与平面A′C′没有公共点，那么说平面AC与平面A′C′平行．如果两个平面没有公共点，那么就说这两个面平行．(5)平面AC与平面AB′有公共点，并且它们相交于直线AB，那么说平面AC与平面AB′相交．(6)空间两个平面位置关系有：平行、相交．(7)由于平面AB′经过平面AC垂线AA′，那么说平面AC与平面AB′垂直．一个平面经过另一个平面垂线，这两个平面就给我们互相垂直形象，这时，我们说这两个平面垂直．应用例如思路1例1如以下图所示三棱锥中，(1)分别写出与直线AB平行、相交、既不平行又不相交直线；(2)分别写出与平面ABC平行、相交平面．解：(1)没有与直线AB平行直线；与直线AB相交直线有：AC、AD、BC、BD；与直线AB既不平行又不相交直线有：CD.(2)没有与平面ABC平行平面；与平面ABC相交平面有：平面ABD，平面ACD，平面BCD.变式训练如以下图所示长方体中，(1)与直线AB既不平行又不相交直线是________．(2)与直线AB平行平面是________；与直线AB垂直平面是________．(3)与平面AD1平行平面是________．与平面AD1垂直平面是________．答案：(1)C1C，C1B1，D1A1，D1D(2)平面A1C1与平面CD1平面BC1与平面AD1(3)平面BC1平面AC、平面A1C1、平面AB1与平面DC1.思路2例2根据如左以下图所示平面图形，沿虚线折叠成一个几何模型，并画出空间图形．解：折叠成几何模型是三棱锥，如右上图所示．变式训练根据如以下图所示平面图形，沿折线折叠成一个几何模型，并画出空间图形．解：折叠成几何模型是长方体，如以下图所示．知能训练1．下面关于空间说法中正确是( )A．一个点运动形成直线B．直线平行移动形成平面或曲面C．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体D．一个三角形及其内部点沿一样方向移动形成三棱柱答案：D2．三个平面最多可将空间分成几个局部( )A．4 B．6C．7 D．8解析：两两相交三个平面将空间分成7局部．答案：C3．用6根长度一样火柴搭正三角形，最多可以搭成________个正三角形．解析：搭成三棱锥时，所得正三角形最多．答案：44．空间中构成几何体根本元素是____________________________________．答案：点、线、面拓展提升如以下图是一个正方体外表展开图，A、B、C均为所在棱中点，D为正方体顶点．假设正方体棱长为2，那么封闭折线ABCDA长为________．解析：折成正方体，如以下图所示，那么封闭折线ABCDA长为AB＋BC＋CD＋DA＝2(AB＋CD)＝2(2＋5)．答案：2(2＋5)课堂小结本节课学习了：1．构成空间几何体根本元素及其关系；2．认识了空间位置关系．作业本节练习A 1,2,3题．设计感想本节课通过让学生观察长方体、教室中点、线、面提炼出构成几何体根本元素与空间图形中点、线、面之间位置关系．能让学生动手动脑、积极思维、自主学习、合作探究．遵循“提出问题——学生讨论——答疑解惑——提炼知识——归纳方法——例题示范——练习稳固——总结升华〞模式，充分发挥了学生主观能动性．备课资料1．1.1 构成空间几何体根本元素简学案(一)根底知识1．几何体：____________；2．长方体：____________；3．长方体面：____________；4．长方体棱：____________；5．长方体顶点：____________；6．构成几何体根本元素：____________；7．你能说出构成几何体几个根本元素之间关系吗？(二)能力拓展1．如果点做连续运动，运动出来轨迹可能是________________，因此点是立体几何中最根本元素，如果点运动方向不变，那么运动轨迹是________________，如果点运动轨迹改变，那么运动轨迹是________________，试举几个日常生活中点运动成线例子________________．2．在空间中你认为直线有几种运动方式__________________________分别形成____________________．你能举几个日常生活中例子吗？3．你知道直线与线段区别吗？如果是线段做上述运动，结果如何？现在你能总结出平面与面区别吗？(三)探索与研究1．构成几何体根本元素是________，________，________.2．点与线能有几种位置关系是____________________．你能画图说明吗？3．点与平面能有几种位置关系是____________________．你能画图说明吗？4．直线与直线能有几种位置关系是____________________．你能画图说明吗？5．直线与平面能有几种位置关系是____________________．你能画图说明吗？6．平面与平面位置关系是____________________．你能画图说明吗？。

人教版高中必修2(B版)1.1.1构成空间几何体的基本元素教学设计一、教学目标1.了解空间几何体的定义及常见种类，并能够从组成元素的角度理解它们；2.能够正确运用基本元素的概念，如边、面、顶点等，描述不同几何体的特征；3.能够应用几何体的基本元素，如平行四边形和平行六面体的边、面、视角等特征，解决几何问题。

二、教学内容1.空间几何体的基本概念；2.能够运用基本元素的概念描述不同几何体的特征；3.应用几何体的基本元素解决几何问题。

三、教学重点1.空间几何体的基本概念；2.能够运用基本元素的概念描述不同几何体的特征。

四、教学难点应用几何体的基本元素解决几何问题。

五、教学方法1.直观法：通过呈现不同几何体的尺寸、性质等特征，让学生直观感受几何体的特点，如组成元素等；2.归纳法：通过比较不同几何体的属性，引导学生归纳出几何体的基本元素；3.演绎法：通过运用几何体的基本元素，解决实际问题，引导学生理解几何体的应用方法。

六、教学流程(一)引入1.介绍空间几何体的基本概念：空间几何体是由平面或直线进行限定，然后围成的封闭的立体图形。

2.出示不同几何体的图片，让学生直观了解不同几何体的种类及基本特征。

(二)讲授1.讲述几何体的基本元素：边、面、顶点、角、体心等等。

2.运用归纳法，帮助学生理解不同几何体由哪些基本元素组成，如正方体，所组成元素为6个面、12条边、8个顶点等。

(三)练习1.出示不同几何体的图片，让学生辨认几何体的种类及组成元素；2.让学生自己画出不同几何体的图形，通过画图的方法来理解这些几何体的组成元素以及特征； 3.让学生运用几何体的基本元素，解决实际问题，如工程设计等。

(四)总结1.再次介绍空间几何体的基本概念和重要性，强调学习空间几何体对于学习更高层次的数学知识的重要作用；2.总结几何体的基本元素描述不同空间几何体的特征的方法及应用方法。

七、板书设计空间几何体边面顶点角正方体12 6 8 90正立方体12 6 8 90平行六面体12 6 8 60……………八、教学反思1.通过多种教学方法相结合，深入浅出地让学生理解空间几何体的基本元素和特征；2.课堂练习环节重要，能够让学生通过实际操作深入理解空间几何体的概念及应用方法；3.难度较大的问题需要适当引导，否则学生容易产生挫败感，从而影响学习热情。

1．1.1 构成空间几何体的基本元素学习目标 1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.2.了解轨迹和图形的关系.3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．知识点一构成几何体的基本元素思考1 平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？思考2 构成几何体的基本元素是什么？梳理几何体的定义(1)定义：只考虑一个物体占有空间部分的________和________，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．(2)构成空间几何体的基本元素：________________.知识点二长方体思考长方体的基本元素有哪些？如何定义？梳理长方体的概念(1)基本元素：长方体有________条棱，________个顶点，________个面．(2)面：围成长方体的各个________．(3)棱：相邻两个面的________．(4)顶点：棱和棱的________．知识点三平面思考平的镜面是一个平面吗？梳理平面的概念(1)特征：平面是处处平直的面，是无限延展的．(2)画法：通常画一个________________表示一个平面．(3)命名：用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名．知识点四空间中直线、平面的位置关系思考空间中直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？梳理特殊位置关系的几个定义比较类型一几何体的基本元素例1 试指出下图中各几何体的基本元素．反思与感悟点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展．要熟记这三种基本元素的特点．在现实生活中多找一些几何体观察一下，加深对构成空间几何体的基本元素的认识．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的有________．(填序号)①长方体的顶点一共有8个；②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱；③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；④长方体由六个平面围成．类型二空间中点、线、面的位置关系的判定例2 如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？反思与感悟(1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直．(2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系．跟踪训练 2 下列关于长方体ABCD－A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是________．(填序号)①直线AA1与直线BB1平行；②直线AA1与平面C1D1DC相交；③直线AA1与平面ABCD垂直；④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等．类型三几何体的表面展开图例3 把如图所示的几何体沿线段AA′及与上、下底相关的棱剪开，然后放在平面上展开，试画出这些图形．反思与感悟多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．跟踪训练3 一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.1．下列关于平面的说法正确的是( )A．平行四边形是一个平面B．平面是有厚薄的C．平面是有边界线的D．平面是无限延展的2．下列结论正确的个数有( )①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．A．3 B．4 C．5 D．23．下列说法正确的是( )A．在空间中，一个点运动成直线B．在空间中，直线平行移动形成平面C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中(如图所示)，和棱A1B1不相交的棱有________条．5．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为________．1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．答案精析问题导学知识点一思考1 平面图形；点与直线．思考2 点、线、面．梳理(1)形状大小(2)点、线、面知识点二思考6个面，12条棱，8个顶点，长方体是由六个矩形(包括它的内部)围成的．梳理(1)12 8 6 (2)矩形(3)公共边(4)公共点知识点三思考不是，数学中的平面是个抽象的概念，它是无限延展的．梳理(2)平行四边形知识点四思考直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．平面与平面的位置关系有平面与平面平行、平面与平面相交两种．梳理没有公共点没有公共点两条相交直线一条垂线垂线段的长度题型探究例1 解(1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个面．(2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面．(3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面．(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个平面和1个曲面)．跟踪训练1 ①例2 解(1)有平面ADD′A′与平面ABCD.(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′.(3)有平面ADD′A′.(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD.(5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．跟踪训练2 ①③④解析①正确，由于AA1与BB1是矩形ABB1A1的一组对边，所以AA1∥BB1；②不正确，由于直线AA1与平面C1D1DC没有交点，所以AA1∥平面C1D1DC；③正确，由于直线AA1与平面ABCD内的两条相交直线AB，AD垂直，所以AA1⊥平面ABCD；④正确，点A1到平面ABCD的距离为AA1，点B1到平面ABCD的距离为BB1，又AA1＝BB1，因此距离相等．例3 解画出的相应图形如图所示．跟踪训练3 60°解析将平面图形翻折，折成空间图形，如图．当堂训练1．D 2.B 3.C4．7解析在长方体中一共有12条棱，除去与A1B1相交的与其本身，还剩7条．5．E，D，F解析第一个正方体已知A，C，D，第二个正方体已知B，C，E，第三个正方体已知A，B，C，且不同的面上写的字母各不相同，则可知，A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F.。