函数的单调性讲义与导数

《函数的单调性与导数》讲义一、函数单调性的定义在数学中，函数的单调性是描述函数值随着自变量变化而变化的趋势。

如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值\（x_1\）、＼（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么就说函数\（f(x)＼）在这个区间上是增函数；如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼），那么就说函数\（f(x)＼）在这个区间上是减函数。

简单来说，增函数就是函数值随着自变量的增大而增大，减函数则是函数值随着自变量的增大而减小。

二、导数的定义导数是函数的局部性质。

对于函数\（y ＝f(x)＼），当自变量\（x\）在点\（x_0\）处有增量\（＼Delta x\），相应地函数取得增量\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）。

如果当\（＼Delta x\）趋向于0 时，＼（＼frac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）的极限存在，那么这个极限值就称为函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）。

导数反映了函数在某一点处的变化率，它的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。

三、函数单调性与导数的关系1、导数大于零与函数单调递增若函数\（f(x)＼）在某个区间\（（a,b)＼）内的导数\（f'（x) ＞0\），则函数\（f(x)＼）在区间\（（a,b)＼）上单调递增。

这是因为导数大于零意味着函数在该区间内的变化率为正，即函数值随着自变量的增加而增加。

例如，函数\（f(x) ＝ x^2\），其导数为\（f'（x) ＝ 2x\）。

当\（x ＞ 0\）时，＼（f'（x) ＝ 2x ＞ 0\），所以函数\（f(x) ＝ x^2\）在区间\（（0, ＋＼infty)＼）上单调递增。

2、导数小于零与函数单调递减若函数\（f(x)＼）在某个区间\（（a,b)＼）内的导数\（f'（x) ＜0\），则函数\（f(x)＼）在区间\（（a,b)＼）上单调递减。

导数与函数的单调性解析与归纳导数与函数的单调性在微积分中占据着重要的地位，它们能够帮助我们更深入地了解函数的性质。

本文将围绕导数与函数的单调性展开讨论，并对其中的解析与归纳进行详细阐述。

一、导数的定义与计算方法函数的导数可以理解为函数在某一点上的变化率。

导数的定义可以用极限来表达，即函数在某点处的导数等于该点附近的函数值变化量与自变量变化量的比值，在数学中可以表示为：\[ f'(x) = \lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}} \]具体计算导数的方法有多种，如基本的导数运算法则、链式法则、高阶导数等。

这些计算方法能够帮助我们在具体问题中快速求得函数的导数。

二、导数与单调性的关系函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。

导数与函数的单调性有着密切的联系，具体而言，函数在某一区间上单调递增的条件是其导函数大于零，而单调递减的条件是导函数小于零。

通过导数的符号变化，我们可以判断函数的单调性。

三、导数与函数单调性的解析和证明为了判断函数的单调性，我们需要分析函数的导数在定义域内的符号变化。

具体解析单调性的方法有以下几个步骤：1. 求得函数的导数；2. 找出导数的零点，即导数为零的点，这些点即为函数可能改变单调性的位置；3. 针对导函数的零点，作出符号变化表，利用导函数的符号变化可以得出函数的单调性。

举个例子，考虑函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，我们可以按照上述步骤解析其单调性：1. 求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$；2. 根据 $f'(x) = 0$，我们可以解得导数的零点为 $x_1 = 1-\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$ 和 $x_2 = 1+\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$；3. 绘制导数的符号变化表：\[\begin{array}{ccccc}x & (-\infty, x_1) & x_1 & (x_1, x_2) & x_2 \\f'(x) & \text{负} & 0 & \text{正} & \text{负} \\\end{array}\]根据符号变化表可以得出函数在 $(-\infty, x_1)$ 单调递减，在 $(x_1, x_2)$ 单调递增，在 $(x_2, +\infty)$ 单调递减。

1.函数的单调性：在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数 ()y f x = 在点0x 处连续时，判断0()f x 是极大（小）值的方法是：（1）如果在0x 附近的左侧'()0f x > ，右侧'()0f x <，那么0()f x 是极大值． （2）如果在x 附近的左侧'()0f x < ，右侧'()0f x >，那么0()f x 是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数. 注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.例1】（B 类）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y=的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得：'()0f x ≤.【例2】（A 类）若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.【解题思路】利用函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得：'()0f x ≤.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解【例3】（B 类）已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+． （Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值 【课堂练习】1.（B ） 已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.2．（B 类）设函数),(2131)(22R b a bx ax x x g ∈-+=，在其图象上一点P （x ，y ）处的切线的斜率记为).(x f（1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式； （2）若22,]3,1[)(b a x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值3.（A 类）已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性.例一[解析】（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =，所以32()2f x x bx cx =+++.所以2()32f x x bx c '=++.由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=， 知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′. 所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩ 解得3b c ==-.故所求的解析式是32()332f x x x x =--+.（Ⅱ）因为2()363f x x x '=--，令23630x x --=，即2210x x --=， 解得11x =21x =.当1x ≤1x ≥'()0f x ≥，当11x ≤≤'()0f x ≤，故32()332f x x x x =--+在(,1-∞内是增函数，在[1+内是减函数，在[1)+∞内是增函数.例二【解析】2()31f x ax '=+又()f x 在区间[－1,1]上单调递增2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即213a x≥-在x ∈ [－1,1]时恒成立. 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1[,]3-+∞例三解析】（I ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+>，()()221'0a x aF x x x x x-=-=> ∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. （II ）()()2'03x a F x x x -=<≤，()()0020'03x a k F x x x -==<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，20012x x -+取得最大值12.∴12a ≥，∴a min =12课堂练习；1，【解析】（Ⅰ）32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ∴4a b += ∵2()32f x ax bx '=+，∴(1)32f a b '=+由已知条件知1(1)()19f '⋅-=- 即329a b +=∴解4329a b a b +=⎧⎨+=⎩得：13a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知32()3f x x x =+，2()36f x x x '=+ 令2()360f x x x '=+≥则2x ≤-或0x ≥∵函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增 ∴[,1](,2][0,)m m +⊆-∞-+∞ ∴0m ≥或12m +≤- 即0m ≥或3m ≤-2，解析】（1）根据导数的几何意义知b ax x x g x f -+='=2)()(由已知-2、4是方程02=-+b ax x 的两个实根 由韦达定理，82)(,8242422--=⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧-=⨯--=+-x x x f b a b a（2）)(x g 在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有,931931,0)3(0)1(]3,1[0)(,0)()(2222方内的点到原点距离的平可视为平面区域而也即即可这只需满足恒成立在即⎩⎨⎧≥-≥++⎩⎨⎧≥-≥+⎩⎨⎧≤≤--≤-+=≤-+='=a b b a b a a b b a f f b ax x x f b ax x x g x f其中点（—2，3）距离原点最近， 所以当22,32b a b a +⎩⎨⎧=-=时有最小值133，【解析】∵2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m f x x m x x x+---+'=-+-==，∴（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数．（2）当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数；()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； (),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数知识点二: 导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值. 2.求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件.【例4】（A 类）若函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值,则m = .【解题思路】若在0x 附近的左侧'()0>f x ，右侧()0f x '<，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极大值；若在0x 附近的左侧'()0<f x ，右侧'()0>f x ，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极小值.【解析】因为()f x 可导,且'()sin cos 2f x m x x =-+,所以'()sincos0442f m πππ=-+=,解得0m =.验证当0m =时, 函数1()sin 22=f x x 在4x π=处取得极大值.【注】 若()f x 是可导函数，注意0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的必要条件.要确定极值点还需在0x 左右判断单调性.[例5】（B 类）已知函数()()xf x x k e =-，（I ）求()f x 的单调区间；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.【解析】（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min()(0)f x f k==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以min ()(1)(1)f x f k e==-.【例6】（B 类）设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值； （2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）()'21,afx bx x=++ 由已知得：()()''210101204102a b f f a b ++=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎪⎩ 2316a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩（2）x 变化时.(),()f x f x '的变化情况如表：故在1x =处，函数()f x 取极小值6；在2x =处，函数()f x 取得极大值ln 233-4.（A 类）设ax x x x f 22131)(23++-=.若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围.5.（B 类）设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x 的大小关系；6.（C 类）已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； .课堂练习；4，【解析】)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间， 即存在某个子区间),32(),(+∞⊆n m 使得0)('>x f . 由ax a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=， )('x f 在区间),32[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可.由0292)32('>+=a f 解得91->a ， 所以，当91->a 时，)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间5，解】（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x ==+，∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1，当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间. 当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故（1，+∞）是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x 的最小值为(1) 1.g =(2)1()ln g x x x =-+，设11()()()ln h x g x g x x x x =-=-+，则22(1)()x h x x -'=-， 当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x =，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().g x g x <6，【解析】(Ⅰ)2()36(36)f x x ax a '=++-，(0)36f a '=-，又(0)124f a =- 曲线()0y f x x ==在的切线方程是：(124)(36)y a a x --=-，在上式中令2x =，得2y =. 所以曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；。