1.3.1函数的单调性与导数

2
解: (1)求函数的定义域 函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
（2）求函数的导数
f ' ( x) 2 x 4 （3）令 f ' ( x) 0 以及
y
f ' ( x) 0
2
求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。 令2x－4>0,解得x>2 o ∴x∈(2,＋∞)时， f ( x ) 是增函数 令2x－4<0,解得x<2 ∴x∈(-∞,2)时， f ( x ) 是减函数
1 2
x1 x2
0也即
x
0
(2)
若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
在[2,+∞) 函数
上为______ 减 增 函数，在(-∞,1]上为___
既不是增函数 函数，在[1,2]上为又不是减函数
(填“增”或“减”或“既不是增函
数，也不是减函数”)。
理解训练： 2 求函数 y 3 x 3 x 的单调区间。
解 : y 6 x 3 1 1 6 x 3 0, x , 单调增区间为 ( ,); 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 (, ). 2 2 3 2
• 解法二：(数形结合) • 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4) 内 f′(x)≤0 ， (6 ，＋ ∞ ) 内 f′(x)≥0 ，且 f′(x) ＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．
f′(4)≤0， 所以 f′(6)≥0，
3(5－a)≤0， 即 5(7－a)≥0，
2 解：由已知得 f '(x ) 2a 3 x 因为函数在（0，1]上单调递增
1 f '(x)>来自,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x 1 而g(x) 3 在（0， 1]上单调递增， x g(x)max g(1)=-1
a -1
2 当a 1时，f '(x) 2 3 x 对x （0， 1）也有f '(x)〉 0
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
例2.确定函数 f ( x) x 4 x 5 在哪 个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？
值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号(与０比较)，从而
得函数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
当a 2 3b 0时，f ( x )在R上( A ) ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数
求参数的取值范围
例1：求参数的范围 若函数f(x) ax - x x - 5在(-,+)上单调递增，
3 2
求a的取值范围
1 a 3
解:由題意 f / (x)=3ax 2 -2x+1>0 在 (- ,+ ) 恒成立
所以 5≤a≤7.
• [解析] 解法三：(区间法) • f′(x)＝x2－ ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－ 1. • 当 a － 1≤1 ，即 a≤2 时，函数 f(x) 在 (1 ，＋ ∞ ) 内单调递 增，不合题意． • 当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞， 1)和(a－1，＋∞) 上单调递增，在 (1， a－ 1)上单调递减，由题意知： (1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)， • 所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
1 当a=0时,-2x+1>0 x< 不是恒成立(舍去) 2 当a 0时, 必须有 a>0 (3a) 0 =(-2) 2 -4 × a>0 1 a 3 1 a 1 3 a
3
例2：
1 已知函数（ f x） 2ax 2 ，x (0,1], x 若（ f x）在x (0,1]上是增函数， 求a的取值范围.
函数y=x2－4x＋3的图象： y
0 2
x
单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２).
1 例2：讨论函数 y x 的单调性。 y x
2
-1
0
-2
1
x
单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）.
那么如何求出下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
x
例4 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间.
例5
x 判定函数y=e -x+1的单调区间. 解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
知识应用 1．应用导数求函数的单调区间 基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为 增 函数(填“增”或“减”)。 ______
(2)．函数 y = x2－3x
a -1时，（ f x）在(0, 1)上是增函数
所以a的范围是[-1，+）
在某个区间上， f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调 递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递 减）而仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可能导数 等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于取到等 号的问题需要验证
例 3
1 3 1 2 若函数 f(x)＝ x － ax ＋(a－1)x＋1 在区间(1,4) 3 2
内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求 a 的范围．
• 解法一：(转化为不等式的恒成立问题) • f′(x) ＝ x2 － ax ＋ a － 1. 因为 f(x) 在 (1,4) 内单调递减，所 以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上 恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时， f′(x)≤0在(1,4)上恒成立， • 又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在 (6，＋∞)上恒成立，所以 a≤x ＋ 1 ，因为 x ＋ 1>7 ， 所以 a≤7 时， f′(x)≥0 在 (6 ，＋ ∞ ) 上恒成立．由题意知 5≤a≤7.
的单调区间。
1 1 解 : y ( ) 2 x x 1 2 0, x不存在, 无单调增区间 ; x 1 2 0, x 0或x 0, x 单调减区间为 (,0) (0,)
2．应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
(B)–1<a<1 (D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
函数f ( x ) x ax bx c , 其中a , b, c为常数，
3 2
3 2
(2) y x ln x;
(3) y e x 1.
x
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
增函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x 减函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y
0
. . . . . ..
2
x
总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2， +∞）上单增,切线斜 率大于0,即其导数为 正.而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A ) (A)(-1,1) (B)(1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞)