第12章动量矩定理

（习题12－14） 习题 － ）
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学 例题十七
第 六 节 平 面 运 动 微 分 方 程
第十二章 动量矩定理
A：m1下降，鼓轮：r、R、m2，ρ。求A的加速度。 下降，鼓轮： 的加速度。 。 的加速度
α=a/(R+r)
S S’ a aC=aR/(R+r) m1g
CHale Waihona Puke 例题十九 如图所示，板的质量为 1，受水平力 如图所示，板的质量为m
α
F ar ′ F2 F1 FN1 ′ FN2 m1g
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C
m2g
aC FN2 F2
a F
理论力学
第十二章 动量矩定理
例题二十 均质圆柱体 和B的质量均为 ，半 均质圆柱体A和 的质量均为 的质量均为m，
（习题11－3） 习题 － ）
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第 五 节 质 点 系 相 对 于 质 心 的 动 量 矩 定 理
第十二章 动量矩定理
二、质点系相对于质心的动量矩定理
dLO d = (rC × mvC + LC ) = ∑ r i × Fi(e) dt dt
drC dLC d (e) ′i × Fi(e) × mvC + rC × mvC + = ∑ r C × Fi + ∑ r dt dt dt
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理论力学 例题十八
第 六 节 平 面 运 动 微 分 方 程
第十二章 动量矩定理
摩擦系数： ， 轮：m，R，A：m1，摩擦系数：f，求加速度及 ， ， BC段绳的拉力。 段绳的拉力。 段绳的拉力

•注意：内力不能改变质点系的动量矩。
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。

图12.7 钟摆
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.5】 匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1， 直径d，杆的质量m2，长l，试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解：钟摆由匀质杆和匀质盘组成，所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积，即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且 相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它 至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.4】 质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。
解：由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式
12.3
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量， z 为刚体对z轴的回转半径，它具有长

MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即