间断有限元一维最简例子

一维浅水方程的Runge-Kutta间断有限元数值模拟与应用的开题报告

一维浅水方程的Runge-Kutta间断有限元数值模拟与应用的开题报告1.问题背景:随着人类社会的不断发展，各种工程问题对于海洋流动的研究越来越受到关注。

其中，利用数值模拟方法研究一维浅水方程变得越来越重要。

目前，数值模拟方法已经被广泛应用于海洋工程领域。

尤其是近年来，随着计算机技术的飞速发展，数值模拟方法的准确度和计算效率也得到了大幅提高。

然而，到目前为止，还没有一种普适的数值方法能够完美地解决海洋工程中各种复杂的流动问题。

因此，在这样的基础之上，本文将研究一维浅水方程的数值模拟计算方法，探究其在海洋工程领域的应用。

2.研究目的:对于海洋工程领域的问题，数值模拟方法被广泛应用。

因此，本文旨在探究一维浅水方程的数值模拟计算方法，并应用于实际问题中。

具体目的包括以下几点：（1）研究一维浅水方程的基本概念和模型；（2）探究一维浅水方程的有限元数值模拟方法；（3）使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算；（4）将有限元数值模拟方法应用于海洋工程领域的问题中，验证其实用性和可行性。

3.研究内容:（1）一维浅水方程的基本概念和模型本文将首先介绍一维浅水方程的基本概念和模型，包括基本方程和边界条件等内容。

（2）一维浅水方程的有限元数值模拟方法一维浅水方程的有限元数值模拟方法是本文的重点研究内容。

本文将介绍基于有限元方法的数值模拟方法，并探究其数值解的收敛性和稳定性等方面的问题。

（3）使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算本文将使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算，并详细分析计算结果。

（4）将有限元数值模拟方法应用于海洋工程领域的问题中本文将应用有限元数值模拟方法对海洋工程领域的问题进行研究，并详细探究其实用性和可行性。

4.研究方法:本文将主要采用以下研究方法：（1）文献调研：本文将通过查阅相关文献，深入了解一维浅水方程的基本概念和模型，并研究有关数值模拟方法的文献。

偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)

i -1 i
0
0
n1
则 uei Cei u, vei Cei v
n
n
v K u T
ei
ei ei
unvn
v F T ei ei
vn
i 1
i 1
uei Cei u, vei Cei v
vT
n i 1
CT ei
K C ei ei
u
unvn
vT
n i 1
C F T
ei
ei
2
i=1,2,3,4
Ku 0,L 0, un T F 0,L 0,1T
C K C T ei ei ei
xi
Kei
pBT B qN T N dx
xi1
O M M M M N
L 0 0
0
0
L
L L
0 0
k ei i 1,i 1
k ei i ,i 1
k ei i 1,i
k ei i ,i
0 L
0
L
2）转化为变分问题考虑空间：
V S01 v
b a
v2
dv dx
2
dx
v(a)
0
任取v∈V, 乘方程两边
－ d ( p du) qu f , dx dx
－ddx
(
p
du dx
)
qu
v
fv
两边积分
b a
－d dx
(
p
du dx
)
qu
vdx
b a
fvdx
b － d
uh( x)
Nuei , 其中N
xi hi
x
,
x

有限元分析3.一维单元

2013-7-12
10
3. 实例
（a）悬臂梁在X＝4cm处的温度由单元（2）来表示：
T
(2)
X3 X X X2 S T S T T2 T3 l l
(2) 2 2 (2) 3 3
54 42 T 41 34 36.3 C 3 3
x
1
(1) 2
2cm
(2)
3cm

2x 1 l
这里x是局部坐标，局部坐标与自然坐标的关系如图所示。
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29
通过将由表示的x带入形函数的表达式能够得到自然线性形函数。自然线性形函数具有线性形函数相同的性质。
1 si (1 ) 2
1 s j (1 ) 2
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30
3.4.2 一维自然二次和三次形函数

• 在形函数的性质中,二次形函数关于X的导数之和不为零.
2013-7-12
19
3.3 一维四节点单元
在有限元公式中，二次插值提供了较为精确的结果。然而，如果需要更高的精度，可以使用更高阶的插值函数，例如三次多项式。这样可以使用三次函数表示给定变量的空间变化。用三次函数代替二次函数，要求使用四个节点来定义一个单元，这是因为至少要有四个节点才能确定一个三阶多项式。单元被分成等长的三段。四个节点的取法如图所示。应用三次近似考虑上例，典型单元的温度分布可以表示为：
u a1 a 2 x a 3 x
u 1 x

2
a 1 x2 a2 a 3
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• 如单元的温度分布可以表示为:
T
e
c1 c 2 X c 3 X

间断有限元方法

2016 年夏季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:间断有限元方法及其应用学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:学生姓名:学号学生类别考核结果阅卷人1．引言间断Galerkin(DG)方法兼有有限元与有限体积方法的特征。

如同一般有限元方法那样，DG方法利用单元多项式空间作为近似解和检验函数空间，但是与传统的有限元方法不同,有限元函数空间基函数都是完全间断的分片多项式，各个单元之间的通信也需要像有限体积方法那样通过在单元边界上构造合适的数值流通量来实现。

因此DG方法既保持了一般有限元方法和有限体积方法的优点，又克服了各自的不足。

该方法可采用局部高阶插值的方法构造基函数，具有灵活处理边界条件以及可显式求解间断问题的能力，克服了一般有限元方法不适于间断问题的缺点,以及有限体积方法必须通过扩大模板进行重构来提高精度的不足。

因此间断Galerkin(DG)方法的出现拓展了传统有限元方法的应用范围,改善了人们对传统有限元方法的认识。

2．DG的基本概念间断Galerkin方法最早由Reed和Hill在1973年为解决中子输运方程问题而提出。

随后众多学者对间断有限元方法提出了改进和发展特别是90年代以来,以Cockbum和舒其望为代表提出了Runge-Kutta间断Galerkin(RKDG)方法，该方法结合TVD(TVD:Total Variation Diminishing) Runge-Kutta 时间离散方法和间断有限元求解一维双曲守恒律方程（组）以至于高维双曲守恒律方程（组），能够适合复杂计算区域和边界条件，可以精确的捕捉激波和接触间断。

它不但在光滑区域可以保证高精度，而且在间断区域可以保持数值无振荡，分辨率高，可以证明收敛到熵解。

这些优点使得RKDG成为计算流体力学流行的方法之一，并被广泛应用到气象学、海洋学、湍流、电磁学、石油勘探、水动力学等离子物理和图像处理等领域。

同样是在20世纪70年代,内惩罚(IP: Interior Penalty)类方法被独立地提出来求解摘圆和抛物方程。

第4章有限元法基础——一维单元

X X i
i
X X j
j
X X k
k
X X m
m
（注：上图中T参数代表参数）
将节点的值代入上面方程中，产生四个方程：
i c1 c2 X i c3 X c4 X
2 i
2 j
2 k
3 i
3 j
j c1 c2 X j c3 X c4 X
k c1 c2 X k c3 X c4 X
3 k
2 3 m c1 c2 X m c3 X m c4 X m
c 求解 c1 ，c 2 ， 3 和 c 4 ，整理后得到由节点的值（自由度）和形函数表示的单元温度分布：
(e) Si i S j j Sk k Sm m

(e)

i X j j X i X j Xi
Xj X

j i X j Xi
X
对 i 项和 j 项进行分组，我们得到：
(由节点的值和形函数表示单元的物理量)
(e)
X Xi ) j ( ) i ( X j Xi X j Xi
定义形函数 S i 和 S j :
(1) 线性形函数在相应的节点上值为1，在相邻的节点上为0。
(2) 线性形函数的和为1。 (3) 线性形函数对于X的导数和为零。
例：图示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分布位置。
求悬臂梁在（a）X=4cm和（b）X=8cm处的位移。
解（a）在X=4cm处的位移由单元(2)来表示：
X3 X X X2 Y S y 2 S y3 y2 y3 l l 54 42 Y 0.06 0.3 0.22(cm) 3 3

有限元法(杆系)

Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0

一维有限元法

ux =
xj − x le
u
O
x − xi ui + uj e l
ui ux uj xj x xi x
线性函数注意：关键是设位移函数，在很短范围内认为是直线。
3
返回
Ui
ui
E,A qe i le=l/3 j
Uj
uj
设单元位移函数ux为:
x u
ux= a + bx
(1-1)
式中 a，b为待定系数。 ux= ui ; x = xj ux= uj uj = a + bxj
KZ12 KZ22 KZ32 KZ42
KZ13 KZ23 KZ33 KZ43
1 2 3 4 ① ① KZ14 ⎤ ⎡k11 k12 0 0⎤1 ① ① ② ② KZ24 ⎥ ⎢k21 k22 + k22 k23 0⎥2 ⎥=⎢ ⎥ ② ② ③ ③ KZ34 ⎥ ⎢ 0 k32 k33 + k33 k34 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ③ ③ KZ44 ⎦ ⎣ 0 0 k43 k44 ⎦ 4
e
单元① 单元② 单元③
K
①
EA = e l
⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k11 ⎢− 1 1 ⎥ = ⎢k ① ⎣ ⎦ ⎣ 21
①
1
K
②
EA ⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k 22 = e ⎢ ⎥ = ⎢ k② l ⎣ − 1 1 ⎦ ⎣ 32
②
2
① k12 ⎤ 1 k① ⎥ 2 22 ⎦
2
(1-21)
k② ⎤ 2 23 (1-22) ② ⎥ k 33 ⎦ 3
ux= a +bx
ux = ui x j − u j xi x j − xi + u j − ui x j − xi x =

计算结构力学有限元方法_一维结构

2. 分析离散体系时，建立的是代数方程组，虽然大型结构的阶数有时很高，但随着高速电子计算机的发展和计算技巧的完善，一般是可解的。它克服了连续体弹性微分方程中，复杂边界的不可解性。
有限元法基本概念
有限元方法
有限元法的基本工作包括两大部分：
1. 单元分析：即探讨单元的力学特性。它包括选取单元的试探函数、推导表征单元刚度或柔度特性的单元刚度，或者柔度矩阵。
Ve
Se
∫ ∫ PVe
= Ve NTXdV，PSe
NTqdS 对应体力/面力的等价节点力
Se
令：Re = PVe + PSe + Pe
∑ ∑ = Π m 1UeT KeUe − m UeT Re
2 =e 1=e 1
由于整体序号和局部序号存在一一对应关系，将Ke和Re按结
构结点位移列阵的自由度数和排列顺序添零升阶，进行膨胀，
8
2
16
空间任意六面体元
8
3
24
三角形环元
轴对称元
八节点等参元
3
2
6
8
2
16
有限元通用方程
有限元方法
设作用某个单元各节点上的节点力和节点位移分别为：
Se = S1 S2 Sn T ； Ue U1 U2 Un T
构造单元的位移函数如下：
u = NUe
其中，u：单元内任一点的位移函数，Ue：单元的节点位移列阵，N：形状函数。
Se
上式中，m：单元总数，X：作用在单元上的体力，q：作用
在单元上的分布面力，Se：单元的边界，Ve：单元的体积。 Pe：单元的节点外载荷列阵。
有限元方法
上式可以进一步写成：
∑ ∫ ∑ ∫ ∫ Π

波动方程的高阶间断有限元方法

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
−1
xrk xlk
n
⋅
(−c) Ehk − (−c) E*
ϕ k ( x) dx.
其中：
Jk
为线性映射的
Jacobi， r,(i, j)
=
dϕ j dr
ri
。 r
和 ij 之间存在如下的计算关系：
( ) ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∑ ( ) ∫ ( ) ( ) = = = r (i, j) nN p1= inr,(n, j) nN= p1 −11ϕi r ϕn r ddϕrj rn d= r = −11ϕi r nN p1 ddϕrj rn ϕn r= dr −11ϕi r dϕdjr r dr
Abstract
In recent years, discontinuous finite element method has been widely used in solving hyperbolic equations. Compared with traditional finite element method and difference method, discontinuous finite element method has many advantages. In this paper, the discontinuous finite element analysis is applied to the hyperbolic wave equation. By constructing the strong form of the discontinuous finite element and selecting the appropriate numerical flux, the smaller error and higher convergence order are obtained compared with the exact solution, and the theoretical convergence order of the discontinuous finite element is reached.

基于非结构网格间断有限元方法的限制器比较

1 DG 算法介绍
以二维无粘守恒型的欧拉方程为例
‐ 141 ‐
赵文赓等：基于非结构网格间断有限元方法的不同间断识别器和限制器的比较
u f g 0 （1） t x y
上式的矢量形式为： ut F 0 ，其中 F f , g
分量，压强，以及单位体积上的总能量。为了使方程组封闭，需要加入理想气体状态方程：
ˆ u , u 代替。其中，数值通量通量函数 F h h

取决于 uh 、 uh 和 n ，并且要满足一致性条件，本文采用局部 Lax-Friedrichs 通量。令 U i Qi1 ,..., Qin 得：
Ij
j
Q
j
Qnbj ds j Qj
（5）
h
p 1 2
p 1 1 当解光滑时，I j ~ O h 2 ，h 0
h ，并且该限制满足一下三个特性：
（1）精度要求：如果 uh 是线性的，则有 h uh uh （2）守恒性： h uh uh
2 间断识别器和限制器
众所周知，由于在高速可压缩流体的计算中存在激波、接触间断等物理间断，如何能够有效地捕捉间断成为几乎所有的计算方法的难点，因而对于激波的捕捉能力也成为评价一种数值方法优劣很重要的一个方面。对于 DG 而言，在流场中的光滑区，该方法可以很容易地获得高阶精度；在含有间断的流场中，计算中会出现数值振荡，严重时压力和密度出现负值，导致计算失败。为了抑制单元内的振荡，需要使用限制器，此种方法一般分为两个步骤，首先利用间断识别器确定“问题单元” ，即对于哪些单元进行限制；其次，利用不同的限制器对于问题单元进行限制，以消除激波附近产生的虚假振荡。由于 DG 对于限制器比较敏感，不同限制器会不同程度地影响 DG 格式的精度，因而一种高效、稳健的限制器对于 DG 的高阶精度的实现起着重要的作用。下面详细介绍间断识别器和限制器。 2.1 间断识别器识别当前计算单元是否位于间断附近是抑制振荡中很重要的一步。如果很多问题单元没有被识别出来而放弃对其进行限制，则无法实现最初消除数值振荡的目的；如果光滑区的单元被误识别为问题单元并进行限制，则容易使得解的精度降低，并且计算量会增加。常用的几种识别器如下。 1、Cockburn 间断识别器[4]。该识别器最早是由 Cockburn 在发明龙格库塔间断伽辽金方法（RKDG）时提出的。

电磁波动方程的间断有限元和有限差分方法

摘要麦克斯韦方程是一组刻画电场和磁场相互转化与传播规律的一阶偏微分方程组。

通过变量替换消去电场或磁场，可以将该方程组化为只含电场或磁场的二阶波动方程，称为电磁波动方程。

研究这类方程和数值方法是求解电磁问题的一种途径。

本文从电磁波动方程出发，研究一种与电磁场函数的1H半范数有关的新守恒性，推导新守恒表达式。

近些年来，能量守恒的有限差分方法和间断有限元方法成为求解电磁问题的流行方法。

本文将新守恒性和这两种方法结合，研究了电磁波动方程的有限差分方法和局部间断有限元（LDG）方法，推出了Crank-Nicolson(CN)格式的数值恒等式，给出了格式的守恒性分析、误差估计和数值验证，在LDG格式的构造中，我们引入了一个变量，提出了电磁波方程的一种新LDG方法，研究了格式的能量守恒性和计算方法，利用能量方法分析了LDG格式误差，得到了最优误差估计。

具体研究内容有：（1）提出了理想导体边界(PEC)条件下电磁波动方程局部有限元格式，证明了LDG 格式具有能量守恒性质，分析LDG方法误差估计和超收敛性质。

在此基础上提出了时间离散采用蛙跳格式的全离散LDG格式，利用数值实验验证了理论结果。

（2）研究了周期性边界条件下电磁波动方程的守恒性，推出了在1H、2H和3H半范数意义下的恒等式，揭示了电磁场的旋度、二阶旋度和三阶旋度具有守恒性，并给出了电磁波动方程的守恒式与一般形式的麦克斯韦方程恒等式之间的关系。

（3）分析了波动方程的隐式中心差分方法（CN格式)守恒性和误差。

证明了CN 格式具有新守恒性和超收敛性。

数值实验验证了波动方程的新守恒性和对CN格式的数值分析。

关键词：电磁波动方程，局部间断有限元方法，有限差分方法，能量守恒，稳定性，误差估计，旋度，数值模拟iLocal discontinuous Galerkin and finite difference methodsfor electromagnetic wave equationsCao Minmin (Computational Mathematics)Directed by A.P. Gao Liping and Prof. GuoHuiAbstractMaxwell equations are a set of partial differential equations governing the mutual conversion and propagation of electric field and magnetic field, and can be changed into second order wave equations for electric field or magnetic field by substitution of variables, called electromagnetic wave equations. Investigation of the wave equations and their numerical methods is a kind of method to solve electromagnetic problems. In this thesis, from electromagnetic wave equations, new conservation related to H1 semi norms of field functions is investigated and identities of conservation are derived. In recent years energy-conserved finite difference methods and discontinuous Galerkin methods become popular methods for solving Maxwell equations. Combining the new energy conservation with the two popular methods, finite difference methods and local discontinuous Galerkin (LDG) methods for electromagnetic wave equations are studied. Numerical identities for the Crank-Nicolson scheme are derive, error estimate is analyzed and numerical experiment to confirm the theoretical analysis are provided. In the development of the LDG methods for the wave equations, a new variable is introduced and q new LDG scheme for electromagnetic wave equations is proposed. Energy conservation of the scheme is proved and implementation of the LDG method in programming is given. By the new energy methods the error of the LDG method is analyzed and optimal estimate is obtained.The detailed contents of the thesis are listed as follows: The LDG schemes for the electromagnetic wave equations with the perfectly electric conducting (PEC) boundary conditions are proposed by introducing substitution of a function. It is proved that the LDG scheme is conserved. New conversion of the schemes is proved and error estimate is provided.iiIt is shown that the LDG scheme is super convergent. Based on the semi-discrete scheme, the full-discrete scheme with frog jumping time discretization is considered and numerical experiment is carried out. Computational results confirm the theoretical analysis on the scheme.Conservation of the electromagnetic wave equations with periodic boundary conditions is investigated and identities in terms of H1, H2 and H3 semi-norms are derived and analyzed. It is shown that the curls, the second and third curls of the fields are conserved with under their L2 norms. In addition, the relations between the identities from the wave equations and Maxwell equations are explained. It is found that the identities derived from the wave equations are equivalent to those from Maxwell equations. By the new conservation, the Crank-Nicolson finite difference scheme is analyzed. Numerical identities of the scheme are derived and then it is proved that the scheme is conserved with respect the magnitudes of the first, second the third curls. The errors of the scheme under H1, H2and H3norms are estimated and super convergence of the scheme is obtained. Numerical experiments are carried out and computational results demonstrated the analysis on new conservation and super convergence.Keywords: electromagnetic wave equations, local discontinuous Galerkin method, finite difference method, energy conservation, stability, error estimate, curl, numerical simulationiii目录第一章引言 (1)1.1 问题来源 (1)1.2 研究现状 (3)1.3 研究内容 (4)第二章电磁波动方程的间断有限元方法 (6)2.1 局部间断有限元离散方法 (6)2.1.1常用记号 (6)2.1.2 电磁波动方程半离散LDG方法 (7)2.1.3 半离散LDG格式的能量守恒 (8)2.2 一维电磁波动方程的误差估计 (10)2.3 一维电磁波动方程的超收敛分析 (15)2.4 电磁波动方程全离散的LDG格式 (18)2.5 数值实验 (20)第三章电磁波动方程新守恒及对差分格式的分析 (23)3.1电磁波动方程的模型和新能量恒等式 (23)3.1.1一维电磁波动方程的新守恒性 (25)3.1.2 二维波动方程的新守恒性 (27)3.2 二阶中心差分格式及其数值分析 (31)3.2.1 一维电磁波动方程的CN格式 (31)3.2.2 CN格式的数值恒等式和稳定性分析 (32)3.2.3 CN格式的误差估计 (33)3.3 数值实验 (35)3.3.1 CN格式数值恒等式的验证 (35)3.3.2 CN格式收敛性的验证 (36)结论与展望 (38)参考文献 (39)攻读硕士学位期间取得的学术成果 (43)致谢 (44)iv中国石油大学（华东）硕士毕业论文1第一章引言1.1问题来源电磁场理论的核心内容是麦克斯韦(Maxwell)方程，是由一组耦合着电场和磁场函数的一组偏微分方程组，反映了电场和磁场相互转化和传播规律。

间断有限元理论与方法_修订版(张铁)PPT模板

例
10
第4章数值通量形式的间断有限元方法

的第
间断有限元方法
章数值通量形式
4
01
4.1介绍
04
4.4不稳定格式
02
4.2数值通量方法的基
本公式
05
4.5广义局部间断有限
元方法
03
4.3基本公式的理论分
析
06
4.6对流扩散问题
第4章数值通量形式的间断有限元方法
第6章一阶正对称双曲方程组的间断有限元方法
6.5惩罚方法的超收敛估计
6.5.1线性三角元
1
6.5.2双线性矩形元
2
第6章一阶正对称双曲方程组的间断有限元方法
6.6非定常问题
6.6.1半离散间断有限元近似
6.6.2全离散间断有限元近似
第6章一阶正对称双曲方程组的间断有限元方法
6.7显式时空间断有限元方法
第3章椭圆相关问题的间断有限元方法
3.1对流占优反应扩散方程
3.1.1间断有限元格式
2
3.1.2稳定性与误差分析
3.1.3超收敛与后验误差估计
第3章椭圆相关问题的间断有限元方法
3.2Stokes问题
3.2.2误差分析
3.2.1线性速度—常数压力间断元
3.2.3高次间断有限元
第3章椭圆相关问题的间断有限元方法
4.7椭圆相关问题
第4章数值通量形式的间断有限元方法
4.6对流扩散问题
4.6.2误差分析
4.6.1迎风型间断有限元格式
4.6.3对流扩散反应方程
11
第5章一阶双曲方程的间断有限元方法
第5章一阶双曲方程的间断有限元方法

第7章有限元法基础——一维问题分析

( 2)
对于单元（3）：
0 kA 1 1 0 0 0.701 1 1 0 K 0 hA 0.10 1 1 0 401 l 1 1 7 7 W ( C ) 7 47 0 0 0 ( 3) F (W ) hATf 401 301200
i
Xj
Xj
Xj
X
Xi
S cdX 0
i
j
对上面方程中的四项分别计算
Xj
d d d (a( dX (Si dX ))dX a dX Xi
Xj
X Xi
dSi d a a( dX dX )dX l ( i j ) Xi
X
Xi
X
j

j
bl bl Si (b )dX i j 3 6
求解：
T1 200 T 157.8 2 (C ) T3 37.1 T4 31.1
7.2 固体力学问题
对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：
( e )
E 2 dV 2 V
对于由n个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能和外力做功的差：
代入内壁边界条件：
0 0 0 T1 200 1 1 1 0.35 0.35 T 0 0 2 0 0.35 0.35 7 7 T3 0 0 0 7 47 T4 1200
3. 对单元建立方程。这是本章的主要部分。我们用迦辽金方法和最小势能理论建立描述单元的公式。 4. 将单元组合，以表示整体问题，构造总体刚度或传导矩阵。
5. 应用边界条件和负荷。

一维水击方程的间断有限元方法

ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９４８－８１．２０１３．０３．０１５
一
维水击方丽丽
（武汉轻工大学数学与计算机学院，湖北武汉４３００２３）
Ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｇａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｏｎｅ — ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａ１ｗａｔｅｒｈａｍｍｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ
ＺＨＵＱｉａｎ — ｑｉａｎ，ＦＡＮＬｉ — ｌｉ（ｃｈＳｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＷｕｈａｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００２３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｈｔｔｈｅｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｇｌｅａｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｏｎｅ — ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｗａｔｅｒｈａｍｍｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓｍｅｈｏｔｄｕｓｅｓ１．￣ｇｅｎｄｒｅｐｏｌｙｎｏｍｉｌａｂａｓｉｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｏｒｔｈｏｇｏｎｌａｐｏｌｙｎｏｍｉｌｓａ，ａｎｄｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃｌａｌｆｕｘ

有限元法基础-一维单元

当迭代收敛或达到预设的最大迭代次数时，终止迭代并输出
最终解。
直接求解法的基本步骤
01
建立方程组
根据问题的物理模型和边界条件，建立线性方程组。
解方程
对方程组的上三角或下三角矩阵进行求解，得到所有节点的解。
03
02
消元法
通过消元法将方程组化为上三角或下三角矩阵形式。
后处理
根据需要计算其他物理量或进行误差分析等后处理工作。
对于复杂的边界条件和约束条件，可以采用消元法逐步消除未知量，最终得到唯一解。
06
一维单元的求解方法
求解方法的分类和选择
直接求解法
直接求解线性方程组，得到所有节点的解。适用于节点数较少、
方程组规模较小的简单问题。
迭代求解法
通过迭代逐步逼近方程组的解，适用于大规模复杂问题。常用的迭代方法有Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法等。
02
一维单元的离散化
离散化的概念和步骤
离散化的概念：将连续的物理系统分割成有限个小的、相互连接但不重叠的单元，每个单元称为有限元。
3. 在每个单元上选择一个节点作为代表，并建立节点之间的相互关系。
2. 将几何形状划分为有限个单元，每个单元具有确定的形状和尺寸。
离散化的步骤 1. 确定研究对象的几何形状和尺寸。
一维单元的划分方法
均匀划分
将一维物体均匀地划分为若干个等长的单元，每个单元长度相等。
非均匀划分
根据需要将一维物体划分为长度不等或形状不同的单元。
分段线性划分
将一维物体划分为若干个线性变化的单元，每个单元的长度和形状都是线性的。
单元节点的选取与编号
节点选取

第7章有限元法基础——一维问题分析

对于单元（2）：
kA 1 1 0.07 1 1 1 0.35 0.35 W K 0.20 1 1 0.35 0.35 ( C ) l 1 1 0 ( 2) F (W ) 0
(e)
bl 2 1 6 1 2
直接公式法：单元传导矩阵
(e)
cl 1 2 1
参数意义解释：
对于热传递问题：
直接公式法：单元传导矩阵
K a 代表a系数表示的单元的传导率，
(e)
K b 代表b系数表示的单元的传导率。
(e)
F 是给定单元的负荷矩阵。
求解：
T1 200 T 157.8 2 (C ) T3 37.1 T4 31.1
7.2 固体力学问题
对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：
( e )
E 2 dV 2 V
对于由n个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能和外力做功的差：
dAS pdx
推导单元的传导矩阵和热负荷矩阵
对单元使用线性形函数近似
(e)
T
形函数为
Si
Xj X l
Ti Sj T j
T=c1+c2X
Si
X Xi Sj l
微分方程的普遍形式
令
a kA
c hpTf
b hp T
书上用c1、 c2、c3，为避免混淆，在此用a、b、c。
直接公式法：单元传导矩阵
(e)
bl 2 1 hpl 2 1 6 1 2 6 1 2
对于包含末端表面的最后单元，并考虑边界条件，

有限元典型案例

有限元典型案例你知道吗？有限元分析就像一个超级厉害的魔法，在工程界那可是大显神通呢。

就拿桥梁来说吧，这可是个超级典型的案例。

想象一下，有一座宏伟的大桥横跨在江河之上。

这座桥每天都要承受着无数车辆的来来往往，还有风吹雨打、温度变化这些外部因素的折磨。

那怎么知道这座桥是不是一直都很健康，不会突然出问题呢？这时候有限元就闪亮登场啦。

工程师们会把这座桥的结构分成好多好多小的单元，就像把一个大蛋糕切成无数小块一样。

每个小单元都有自己的特性，比如材料的强度啊、弹性啊之类的。

然后呢，根据桥梁实际的受力情况，比如说汽车在桥上不同位置行驶的时候，桥的各个部分会受到什么样的力，风从哪个方向吹过来会产生多大的力，都统统考虑进去。

有限元软件就像一个超级大脑，开始计算每个小单元在这些力的作用下会发生什么样的变形。

如果某个地方变形太大了，那可就危险了，就好像是人的身体某个部位肿了个大包一样。

通过这个分析呢，工程师们就能提前发现桥梁可能存在的隐患。

比如说，可能会发现桥的某个桥墩在某种极端天气下受力不太合理，那他们就可以提前采取措施，加固这个桥墩或者调整它的结构。

这样一来，就像是给桥梁做了一个全面的“健康体检”，还提前预防了疾病，让这座桥能够安安稳稳地为大家服务啦。

咱再说说手机这个生活中离不开的小玩意儿。

你有没有不小心把手机掉地上过呀？是不是每次都胆战心惊，生怕屏幕碎成蜘蛛网呢？有限元在这儿也能发挥大作用哦。

手机制造商的工程师们为了让手机变得更“抗摔”，就会用到有限元分析。

他们把手机也看成是由好多小单元组成的。

像手机的外壳是什么材料，内部的电路板、电池这些部件又是什么样的结构和材料，都考虑得清清楚楚。

当模拟手机掉落的时候，会考虑不同的高度、不同的地面材质，比如是硬邦邦的水泥地还是相对柔软的木地板。

有限元软件就开始计算手机在撞击地面的那一瞬间，各个小单元受到的冲击力和产生的变形情况。

如果发现某个部件在掉落时很容易损坏，比如说手机屏幕的某个角落总是容易出现应力集中，那就可以对手机的结构进行改进。

一维问题有限元

??llvpuxdxpnxunxudx??????pvv???????2ll2ji200222jijjii1u1eaveadxuudx2x2leaeauuu2uuu2l2l????????????????????piijj00eeiijjvpuxdxpnxunxudxfufu?????????将应变能和外力势能代入上式可得22eejjiiiijjeau2uuufufu2l?????c单元平衡分析根据最小势能原理单元平衡的条件为eijiiea0uuful?????????????????22eejjiiiijjeau2uuufufu2l?????上式写为矩阵形式可得eijjjea0uuful???????????????eiiejjuf11eauf11l?????????????????????????c单元平衡分析根据最小势能原理单元平衡的条件为eijiiea0uuful?????????????????22eejjiiiijjeau2uuufufu2l?????上式写为矩阵形式可得eijjjea0uuful???????????????eiiejjuf11eauf11l?????????????????????????前面有限元位移插值和应变计算可以用矩阵表示为1单元刚度矩阵的建立矩阵方法????eiiijjijjuuxnununnun?????????????uu11?????总势能的表达式为????eijuu11uxllb???????????????????dd2ll001ueadxpuxdx2x?????????????总势能的表达式用矩阵形式可以表示为
（1）单元刚度矩阵的建立对于下图所示拉压杆问题，按照有限元的思想，首先把结构划分为为有限个互不重叠的单元
p(x) 单元(Element) 结点(Node)

间断有限元一维最简例子

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