2016 年夏季学期研究生课程考核
（读书报告、研究报告）
考核科目:间断有限元方法及其应用
学生所在院（系）:理学院数学系
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考核结果阅卷人
1．引言
间断Galerkin(DG)方法兼有有限元与有限体积方法的特征。
如同一般有限元方法那样，DG方法利用单元多项式空间作为近似解和检验函数空间，但是与传统的有限元方法不同,有限元函数空间基函数都是完全间断的分片多项式，各个单元之间的通信也需要像有限体积方法那样通过在单元边界上构造合适的数值流通量来实现。
因此DG方法既保持了一般有限元方法和有限体积方法的优点，又克服了各自的不足。
该方法可采用局部高阶插值的方法构造基函数，具有灵活处理边界条件以及可显式求解间断问题的能力，克服了一般有限元方法不适于间断问题的缺点,以及有限体积方法必须通过扩大模板进行重构来提高精度的不足。
因此间断Galerkin(DG)方法的出现拓展了传统有限元方法的应用范围,改
善了人们对传统有限元方法的认识。
2．DG的基本概念
间断Galerkin方法最早由Reed和Hill在1973年为解决中子输运方程问题而提出。
随后众多学者对间断有限元方法提出了改进和发展特别是90年代以来,以Cockbum和舒其望为代表提出了Runge-Kutta间断Galerkin(RKDG)方法，该方法结合TVD(TVD:Total Variation Diminishing) Runge-Kutta 时间离散方法和间断有限元求解一维双曲守恒律方程（组）以至于高维双曲守恒律方程（组），能够适合复杂计算区域和边界条件，可以精确的捕捉激波和接触间断。
它不但在光滑区域可以保证高精度，而且在间断区域可以保持数值无振荡，分辨率高，可以证明收敛到熵解。
这些优点使得RKDG成为计算流体力学流行的方法之一，并被广泛应用到气象学、海洋学、湍流、电磁学、石油勘探、水动力学等离子物理和图像处理等领域。
同样是在20世纪70年代,内惩罚(IP: Interior Penalty)类方法被独立地提出来求解摘圆和抛物方程。
内惩罚方法后来也被归为间断Galerkin方法一种，本文记为内惩罚间断Galerkin(IPDG)方法。
内惩罚间断有限元的发展与同时代求解双曲守恒律的间断有限元方法保持相对对立，该方法的侧重点在于选择合适的惩罚项保持格式的稳定性，而不在于如何构造数值流通量。
基于DG方法求解双曲守恒律的巨大成功，许多学者考虑运用DG方法的思想求解扩散方程，但如果只是简单地将DG方法推广到扩散方程得到的数值格式并不准确。
例如考虑一维热传导
方程。
t xx u u = （1）
将求解区域Ω剖分为网格112
2
[,],1,...,j j j I x
x
j N -
+
==其中心点的坐标为
11221
()2j j j x x x -+=
+，网格步长1122j j j x x x +-∆=-，记为12j u ++和12
j u -+为u 在12j x +处的左
右极限，即
，定义单元端点处的跳跃和均值分别为：[]u u u +-=-，
1
()2
u u u -
+-=+。
注意,在不引起混淆的情况下,我们仍然用u 表示数值解。
选取有限元空间为
（2）
()k j P I 为在单元j I 上的k 次多项式。
定义方程（1）的DG 弱解形式为：求
h u V ∈，对h h v V ∀∈，使得
（3）
x u ∧
为数值流量，舒其望己经证明数值流量，简单的取在端点两侧导数均值1()2
x x x u u u ∧
+-
=+会导致解不稳定,数值解与精确解是不相容的，
与真解有O(1)的误差，称之为“subtle inconsistency ”。
3．求解扩散方程的各种DG 方法的构造
3.1 LDG 方法
LDG 方法是Cockbum 和舒其望在1998年提出的,其思想来源于F.Bassi 和S.Rebay 求解可压缩Navier-Stokes 方程的文章。
LDG 通过引入辅助变量将含有高阶导数的微分方程写成只含有一阶导数的偏微分方程组,然后用DG 方法进行空间离散。
引入辅助变量x q u =将方程(1)重新写为
t x u q =，x q u =
然后应用DG 得到下列格式：求,h u q V ∈，对,h v w V ∀∈，使得
（4）
正确的设计数值流量u ∧
，q ∧是得到稳定和高精度方法的关键，可以证明,u q ∧∧
交替地选取左右极限值,u u q q ∧
∧
-
+
==，或者,u u q q ∧
∧
+
-==均可以保证格式稳定而且达到最优收敛阶。
当LDG 格式(4)中基函数取为每个单元上的局部基函数时，辅助变量q 是局部可解的，这正是该方法被称为“局部”间断Galerkin 方法的由来。
3.2 Baumann-Oden DG 方法
Baumann-Oden DG 方法并不引入辅助变量,而是通过在弱形式(3)的单元边界上添加惩罚项以保证稳定性。
其格式为求h u V ∈，对h v V ∀∈，使得
（5）
这里的数值流量x u ∧
直接取为端点两侧导数均值1()2
x x x u u u ∧
+-
=+就可以保证
该格式的稳定性。
实际上Baumann-Oden 方法也可以认为是一种内惩罚类方法。
3.3 dGRPDG 方法
Gassner 等将双曲守恒律中的黎曼问题推广到扩散方程。
对方程(1)两端同时乘以检验函数v ，在时空区域1
112
2
[,][,]n n i j j Q x
x t t +-+
=⨯求积分,通过分部积分可得dGRPDG 格式，求h u V ∈对h v V ∀∈，使得
（6）
其中x u ∧
，u ∧
是数值流量,通过求解扩散方程的广义黎曼问题而得到。
3.4 Cheng-Shu DG 方法
Cheng-Shu DG 方法在热传导方程(1)两边同时乘以检验函数v ，在单元j I 上积分，通过多次的分部积分将近似解上的导数转移到检验函数上，在界面上设计合适的数值流量得到Cheng-ShuDG 格式：求h u V ∈，对h v V ∀∈，使得
（7）
其中数值流量定义为~
0[],x x u u u u u x
β∧
-+=+=。
该DG 方法最大的优势是可以
推广到具有高阶导数的偏微分方程，例如KDV 方程，而且该方法求解高阶偏导数的波动方程时,数值流量的构造更为简单。
4.总结
尽管上述的DG 方法在各自的应用范围具有各自的优势，但是作为DG 类方法它们共同的优势在于：DG 方法具有一致的高精度,可以通过在每个单元上提高单元插值多项式的次数来实现高阶精度，而不用像FVM 那样扩大节点模板来提高精度,易于实现p 自适应；由于DG 方法有限元空间的间断性，对网格正则性要求不高，网格的加密与粗化不需要考虑协调有限元所必须的单元边界连续条件限制，容易实施自适应；DG 方法具有局部紧致性特点，单元之间的数据传递具有局部性的特征，有利于并行算法的实现。
