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西安交通大学医用物理学第六章第二节 弯曲液面的附加压强

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拉普拉斯公式--任意弯曲液面附加压强

拉普拉斯公式--任意弯曲液面附加压强

可以证明，曲面将产生一方向向下的附加压强
p附 = σ(1/R1 + 1/R2 )
• 这一公式称为拉普拉斯公式，
• 人们常用它来确定任意弯曲液面下的附加压强。
• 对于球形液面，公式中的R1 = R2 ，则
•
p = 2σ/R
• 对于柱形液面， R2 趋向无穷大,
•
p附 =σ/R1
•
因为附加压强是指向主曲率中心的，为了便于区
分，把液体的表面呈凸面的曲率半径定为正，呈凹面
的曲率径定为负。
例如，若在两块水平放置的清洁的玻璃板间放上一滴 水以后，将这两玻璃板进行挤压，使两玻璃板间有一 层很薄的水，
设这层水的厚度为 d =10-4 m,显然这层水与空气的接 触面为曲率半径R 的凹曲面。
• 由于水平截面在曲面上截得的是一大圆，而大圆半径
很小。
• 请问:若在两板间放的不是水而是水银，则两板间液 体的自由表面是凸面，
• 所产生的附加压强是怎样的? • 其方向沿板面法线向外。是正的。 • 这时若有人想把水银从两板的间隙中挤出会怎么样？ • 则越往下挤越费力。
— (二)拉普拉斯公式 任意弯曲液面附加压強
有不少液面并不呈球形。为了计算由任意弯曲液面的 表面张力所产生的附加压强，考虑如图所示的一任意 的微小曲面。
在曲面上任取一点O，过O 作互
相垂直正截面 P1 、 P2 。截面 与弯液面相交截得圆弧A1B1 ， A2B2 ，其曲率中心分别为 C1 和 C2 ，曲率半径分别为 R1 和 R2 。
比d 大得多，故可设 R1 =-d /2，
•而R2→∞，又σ= 0.073 N·m-1，
•利用拉普拉斯公式，可知曲面对液体所产生的附加
压强为
p 1.4103 N m1

弯曲液面的附加压力

弯曲液面的附加压力

2
R'
gh
1g
当 1 g
2
h
R '1g
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
R´ R
cos
如果曲面为球面
R'=R, cos 1
2. ps 2R´ (l g)gh

2
R´

gh
ps
2cosgh
R
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
RTln
pr p0

2M R'
p p0

2 M RTR '
Kelvin公式也可以表示为两种不同曲率半径的
液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比
RTlnp2 p1
2MR12'
R11'
对凸面，R' 取正值，R' 越小，液滴的蒸汽压越高；
对凹面， R' 取负值， R' 越小，小蒸汽泡中的 蒸汽压越低。
z
使曲面扩大到A'B'C'D'(蓝色面)，
则x与y各增加dx和dy 。
Young-Laplace 公式
移动后曲面面积增量为： d A s (x d x )(y d y ) x y
D'
x dx C'
o'
x d y y d x(d y d x 0 )
增加这额外表面所需功为
A'
pg
2
r
ppg
pl
2
r
③肥皂泡
p p i p o ( p g ,i p l) ( p l p g ,o )
④毛细管连通的大小不等的

§2-2弯曲液面的附加压力

§2-2弯曲液面的附加压力

2 × 72.8 × 10 = 5 1.103 × 10
−3
=1.44×10 m
−6
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
−3
例2.4： 见图2-9，在内半径r=0.3mm的细玻璃管中注 水，一部分水在管的下端形成一凸液面，其半径 R=3mm，管中凹液面的曲率半径与毛细管的内半径相 同，求管中所悬水柱的长度h。设水的表面张力系数 α=73×10N/m
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
1、液面是平面
f A
p0
f'
B p B
因所受表面张力f的方 向与液面平行，所以，作 用在周线上的表面张力的 合力为0。
因此，表面层内外两侧无限靠近的A、B两 点的压强相等，设液面上大气压强P0 ，表 面层的液体压强PB，则
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
p1
dE = α ⋅ ds
= α ⋅ 8πRdR
dE = dW
2α ps = R
-------
R
拉普拉斯公式
图2—7 球形液面的附加压强 图2—7 球形液面的附加压强
第二章 液体的表面现象 拉普拉斯公式表明，附加压强 正比，与球半径 R成反比
§2-2 弯曲液面的附加压力
ps 与比表面能成 α
注意：拉普拉斯公式虽然是从整个球面导 出的，但对部分球面的情况也是适应的。
§2-2 弯曲液面的附加压力
例 温度为20℃时，一滴水珠内部的压强为外部压强的两 倍，求水珠的半径。设大气压强P0=1.013×105Pa，20℃ 时水的表面张力系数α=72.8×10-3N/m
解：水珠内外压强差
2α 2α 2α = = R= P内 − P0 2 P0 − P0 P0

西安交通大学医用物理学第六章第二节 弯曲液面的附加压强

西安交通大学医用物理学第六章第二节 弯曲液面的附加压强
肺泡内表面有活性物质调节肺泡α，维持大小肺泡的压强平 衡。
Jiaotong University
REN Ren
3／26／2015
§1 液体表面的张力
•液面张力：液面各个部分之间存在与液面相切使液面 收缩的力，叫表面张力。
•表面张力系数：表面张力的大小与分界面长度比值。
•F= L。
•液体的表面能：液体表面所有势能的总和。 F=2 L ,
A= F X =2 L X = S
液滴
Pa = 2α/R 气泡
Pa = －2α/R
液膜
Pa = 4α/R 说明球形膜内压强大于膜外4α/R
圆柱形液面
其中一个R = ∞ ∴ Pa = α/R
附加压强应用 大小泡相互连通后，大泡变大，小泡变小
人的呼吸过程在肺泡中进行, 肺中有许许多多大小不等的 肺泡相互连通，但不会出现上述情况,为什么?
•外力做功全部转化为液体的表面能的增量。 E = S
§2 弯曲液面的附加压强
液面是平面时表面张力在液面内，各方向的合力为0
液面是弯曲面时表面张力的方向沿弯曲液面的切线方向, 表
面张力的合力不为0，结果使液面内外产生压强差，称此为
附加压强Pa，方向总是指向曲率中心。
液面是平面 液面是凸面PA ＞PB
R2
dy dx
y x
dW = dE
Pa
( dx
x
dy ) y
/
dR
∵ 曲面 S 很小 △abc1 ∽△a´b´c1
有 (x+dx)/ x = (R1+dR)/R1 dx / x = dR/R1
同理，由 △bcc2 ∽△b´c´c2 得 dy / y = dR/R2
Pa

第二节弯曲液面附加压强【实用资料】

第二节弯曲液面附加压强【实用资料】
第二节弯曲液面附 加压强
一、弯曲液面的附加压强 1、附加压强
表面张力产生的压强称为附加压强。
水平面
凹液面
凸液面
P0
F
F
P
P=P0 液面为水平面时，液体内部压强等于外部压强。
P0
一、弯曲液面的附加压强
表一第第一一液 第一第一第液第 液表第液液第液液液液一一液液液表液面、二二、、面二、二、二面二面面二面面二面面面面、、面面面面面张 弯 节 节 弯 弯 为节 弯 节 弯 节 为 节为 张 节 为 为 节 为 为 为 为 弯 弯 为 为 为 张 为力曲弯弯曲曲凸 弯曲弯曲弯凸弯 凸力弯水凸弯凹水水凸曲曲凸凹凸力凸产液曲曲液液面 曲液曲液曲面曲 面产曲平面曲面平平面液液面面面产面生面液液面面时 液面液面液时液 时生液面时液时面面时面面时时时生时的的面面的的， 面的面的面，面 ，的面时，面，时时，的的，，，的，压附附附附附液 附附附附附液附 液压附，液附液，，液附附液液液压液强加加加加加体 加加加加加体加 体强加液体加体液液体加加体体体强体称压压压压压内 压压压压压内压 内称压体内压内体体内压压内内内称内为强强强强强部强强强强强部强部为强内部强部内内部强强部部部为部附压 压压附部压压部部压压压压附压加强 强强加压强强压压强强强强加强压大 大大压强大小强强大大小大压大强于 于于强等于于等等于于于于强于F 。外 外外。于外外于于外外外外。外部 部部外部部外外部部部部部压 压压部压压部部压压压压压强 强强压强强压压强强强强强。 。。强。。强强。。。。。。。。
FS
FS PS
P
F
第二节弯曲液面附加压强
P=P0+PS 液面为凸面时，液体内部压强大于外部压强。
P0
PS
ห้องสมุดไป่ตู้

chapter2.2

chapter2.2

p
p
s
s
S
ps p内－p0
dl上的表面张力 df αdl 由圆的对称性可知
df
df //

dl
r
R
df
f // 0
sin r R
df df sin dl sin
f
2 r 0

sin dl 2 r sin
f 2 表面张力产生的附加压强 ps r 2 R
2 r 2 f R
2 球形液面内侧的压强 p内＝p 0 R
2r f R

2
附加压强
f 2r 2 p r Rr R
2 s 2 2
——拉普拉斯球面附加压强公式 球形液面附加压强与表面张力系数成正比，与球面半径R 成反比。半径越小，附加压强越大；半径越大，附加压强 越小；半径无限大时，附加压强等于零，这正是水平液面 的情况。
P0
f
S
f
P
P0
2）凸液面时，如图仍在液体表面上取一 小面积△S ,△S周界上表面张力沿切线方 向，合力指向液面内，△S好象紧压在液 体上，使液体受一附加压强Ps，由力平衡 条件，液面下液体的压强：P=P0+Ps,如果 我们规定附加压强与外部压强相同为正， 相反为负。则此时，Ps为正
f
S f
Ps P
§2.2弯曲液面的附加压强
一.附加压强
（1）定义：弯曲液面内外存在一压强差, 用Ps表示 （2）附加压强的产生——分别从平面、凸面和凹面三个方面 来说明附加压强的产生。 1）平液面 在液体表面上取一小面积△S ,由于 液面水平，表面张力沿水平方向， △S 平衡时，其边界表面张力相互抵 消,不产生垂直与液面的压力，△S 上 下压强相等： P=P0, Ps=0

物理化学 弯曲液面附加压力


1 1 •一般式： p ( ' ' ) R1 R2
•特殊式（对球面）：
2 p r
总结
1
附加压力与曲面半径成 反比，与液面张力成正 比
2
定义的Δp为凹面一侧的 压力减去图面一侧的压 力，故曲率半径r总是 正值，Δp亦总为正值。
№
毛细现象
液面被压入管内，直至上升的液 柱所产生的静压力gh 与附加压力p 在量值上相等，方可达到力的平衡， 即：
弯曲液面附加压力
小组成员：xxxxx
№
1、弯曲液面的附加压力
•一般情况下液体表面是水平的，而液滴、水中的
气泡表面则是弯曲的。
•液面可以是凸的，也可以是凹的。
弯曲表面上的附加压力
1.在平面上
p0
f
A B
对一小面积AB，沿AB的
四周每点的两边都存在表面 张力，大小相等，方向相反， 所以没有附加压力 设向下的大气压力为po， 向上的反作用力也为po ，附 加压力ps等于零。
2 p gh R
R cos ' R
由左图的几何关系可知：
由此可知： 2 cos h R g
自由液滴或气泡通常为何都呈球形 ？
1、假若液滴具有不规则的形状，则在表面上的不
同部位曲面弯曲方向及其曲率不同，所具的附加压力
的方向和大小也不同，这种不平衡的力，必将迫使液
滴呈现球形。 2、相同体积的物质，球形的表面积最小，则表 面总的Gibbs自由能最低，所以变成球状就最稳定。
1
2
凸面上受的总液体与平面不同，它受到一种
附加的压力，附加压力的方向都指 向曲面的圆心(曲率半径的方向)。
大于平面上的压力
3

西安交通大学医用物理学ch-6液体表面现象

R
举例：土壤颗粒粘合
例：水沸腾时形成半径为10-3ｍ的蒸汽泡，求此蒸 汽泡内的压强比大气压高多少？
解：查表可知，水在沸腾时的表面张力系数为
0.059Ｎ/ｍ，
由☆式 可知
2
Ps R
设则蒸蒸汽汽泡泡内内外的压压强强差为为P，蒸汽泡外压强为大气压P0，
P
P P0
PS
2
R
2 0.059 103
=1.18×102Pa
一附加压强 ，由p力平衡 s
条件，液面下液体的压强：
P0
f
S f
Ps P
p p +p
0
s
p s 为正
附加压强与外部压强相同为正，相反为负。
2）凹液面时，如图 s周
界上表面张力的合力指向
外部，s就好象被拉出，
液面内部压强小于外部压
强，液面下压强：
P0
Ps
f
f
S
p
p 0
p s
P
p
p 0
ps
p 为负 s
对Laplace方程式的几点说明
2.若液面为平面，则 r1 r2 ， Ps ＝ 0。
3.对球形表面， r1 r2 r ，则
Ps
2
r
☆
4.对柱形液面，有一半径为无穷大，
即ｒ1＝ｒ，ｒ2＝ ∞
Ps r
液滴愈小，曲率愈大，所产生的附加压力也就愈显著。
由于液膜（如肥皂泡）具有内、外两个球形表面，所以
这是
由于液体分子振动的平衡位置不固定，是近程有序，
即在很小范围内在一短暂时间里保持一定的规则性。
由于液体分子间距小，分子间相互作用力较大， 当液体与气体、固体接触时，交界处由于分子力作用 而产生一系列特殊现象，即：液体表面现象。

10-2弯曲液面讲解

2)过冷液体
3. 亚稳状态和新相的生成
1). 微小液滴的化学势
r p

2). 微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式 3). 亚稳定状态和新相的生成 过饱和蒸气 过饱和溶液 4). 微小颗粒的化学势高、化学性质活泼
pr 2 M ln p RT r 过热液体 过冷液体
BC P
r
ln (pr / p) > 0,
对凹液面，凹面液体, 液滴的转入导致曲率半径减小,dr<0 p 2 M ln (p / pr) > 0, pr < p ln pr RT r p (凸面) > p (平面) > p (凹面) 且曲率半径越小, 偏离程度越大.
3. 亚稳状态和新相的生成 p 2 / r1 gh
F = 2 r1 γ cos p = F/ (r12) = 2 r12γ /r(r12) = 2γ/r 水平液面: r = , p=0. 空气中的气泡： p = 4γ /r.


γ
= 2 r12 γ /r
cos r1 r
γ
•圆球形液滴的附加压力
A r1 O 1 r O B
§10-2 弯曲液面的附加压力和毛细现象
毛细现象 将毛细管插入液体后 液面将沿毛细管上升（润湿，水，凹）或下降 （不润湿，汞，凸）的现象
产生的原因是毛细管内的弯曲液面上存在附加压力 p . 以凹液面为例, 液面上升至平衡时, 有
r1 θ r θ
p 2 / r1 gh
液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接触角 间的关系为：
2 2 72.0 103 N m 1 5 p 144 10 Pa 142atm 8 r 10 m

§22弯曲液面附加压力


所受表面张力也有拉平液面的趋势，其
方向不与液面平行,作用在dS周线上的
B
表面张力的合力不为0，产生附加压强PS 向上。
PB
=
Po
−
Ps
pB (c)
因为受力平衡，所以液面两侧的压强也平衡， 即：
PB + PS = P0
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
二、拉普拉斯公式
p0
利用拉普拉斯公式可以定量
第二章 液体的表面现象 2、液面是凸形(2)
§2-2 弯曲液面的附加压力
p0
f
A ps f '
B pB
(c)
因液面受力平衡，所以，液面两侧的压强也 平衡，即：
Po + PS = PB
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
3、液面是凹形
p0
（如水中气泡、细玻璃管中的水面等） f
A ps f '
§2-2 弯曲液面的附加压力
Po = PB = PA
f A p0 f ' B pB
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
2、液面是凸形(1)
f A p0 f '
B pB
ps
（如液滴表面、细玻璃管中的水银面）所受表面
张力有拉平液面的趋势，其方向不与液面平行， 作用在 dS周线上的表面张力的合力不为0，产生 附加压强PS方向向下。
算出附加压强p0 的大小。
设想液面下有一气泡，气泡靠
近液面，不考虑静压（即水
压），气泡外压强等于大气压强
P0。设想气泡在外力作用下膨
胀：
p1
p1 R p1
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肺泡内表面有活性物质调节肺泡α，维持大小肺泡的压强平 衡。
液面是凹面 PA ＜ PB
PA = PB
B
●
A
Pa = PA－PB为正 B
●
相 对
A
液
Pa
面
Pa = PA－PB为负 B Pa
●
A
Pa与什么有关？
在任意一弯曲液面上取一矩形面元 abcd, 对于任意曲面上，各点向各 个方向曲率不同，但各点的最大曲 率和最小曲率（垂直）之和均相等
d´
d
a´
dR
a
x
c´ b´ y c b
∴
Pa
( 1
R1
1) R2
----拉普拉斯方程
公式表明任意弯曲液面的附加压强与液体的α成正比，还与
曲面的最大曲率对应的曲率半径及最小曲率对应的曲率半径
有关。附加压强 Pa 的正负取决于 R1 和 R2 的正负。
液面是凸面 R1 、R2为正；液面是凹面R1、 R2为负
球形液面 R1 = R2 = R
R2
dy dx
y x
dW = dE
Pa
( dx
x
dy ) y
/
dR
∵ 曲面 S 很小 △abc1 ∽△a´b´c1
有 (x+dx)/ x = (R1+dR)/R1 dx / x = dR/R1
同理，由 △bcc2 ∽△b´c´c2 得 dy / y = dR/R2
Pa
பைடு நூலகம்
(dR
R1
dR )
R2
/
dR
(ab cd为最大曲率；bc da为最小曲率） R1 若面元面积为S ，液体表面张力系数
α，当面元 abcd 沿径向扩张移动一
微小量 dR 到 a´b´c´d´
须外力克服表面张力做功：
dW = Pa S dR=Pa x y dR
• •C2 C1
表面能的增量：dE =αdS = α( ydx + xdy )
液滴
Pa = 2α/R 气泡
Pa = －2α/R
液膜
Pa = 4α/R 说明球形膜内压强大于膜外4α/R
圆柱形液面
其中一个R = ∞ ∴ Pa = α/R
附加压强应用 大小泡相互连通后，大泡变大，小泡变小
人的呼吸过程在肺泡中进行, 肺中有许许多多大小不等的 肺泡相互连通，但不会出现上述情况,为什么?
Jiaotong University
REN Ren
3／26／2015
§1 液体表面的张力
•液面张力：液面各个部分之间存在与液面相切使液面 收缩的力，叫表面张力。
•表面张力系数：表面张力的大小与分界面长度比值。
•F= L。
•液体的表面能：液体表面所有势能的总和。 F=2 L ,
A= F X =2 L X = S
•外力做功全部转化为液体的表面能的增量。 E = S
§2 弯曲液面的附加压强
液面是平面时表面张力在液面内，各方向的合力为0
液面是弯曲面时表面张力的方向沿弯曲液面的切线方向, 表
面张力的合力不为0，结果使液面内外产生压强差，称此为
附加压强Pa，方向总是指向曲率中心。
液面是平面 液面是凸面PA ＞PB