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弯曲液面的附加压力

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物理化学表面现象选择题及解析练习题

物理化学表面现象选择题及解析练习题

表面现象1．对于大多数体系来说，当温度升高时，表面张力下降。

A．正确 B 错误[解]A，一般来说，温度升高，分子之间的力减弱，两相的密度差减小，所以表面张力下降。

（考察内容为影响表面张力的因素）2．表面张力在数值上等于定温定压，组成恒定下，系统可逆的增加单位表面积时环境对系统所作的非体积功。

A．正确 B 错误[解]A，,这个公式成立的条件就是等温等压可逆过程，所以表面张力就是在等温等压下，可逆的增加单位表面积时环境对系统做的非体积功（课本268页最上面）3.弯曲液面产生的附加压力的方向总是指向曲面的曲率中心。

A．正确 B 错误[解] A4.分子间力越大的液体，其表面张力越大。

A．正确 B 错误[解]A，表面张力的就是由于表面分子受到的不平衡的力而产生的表面张力，所以分子间作用力越大，表面张力越大。

5.垂直插入水槽中一支干净的玻璃毛细管，当在管中上升平衡液面处加热时，水柱会上升。

A．正确 B 错误[解]B ，水在毛细管中呈凹液面，根据毛细管上升公式 ，θ<90。

当在液面处加热的时候σ减小，h 会减小。

（课本P279页图8-12即为毛细管插入水中的示意图，可见是凹液面）6.体系表面积增大过程中得到的表面功等于吉布斯自由能的增加量。

A ．正确B 错误[解]B ，少了前提条件等温等压组成不变，可逆的增加表面积。

（解析同2）7.已知20℃时水的表面张力为121028.7--⋅⨯m N ，在此温度和压力θp 下降水的表面积可逆增大10cm 2时，体系的G ∆等于（）A.J 51028.7-⨯B.J 51028.7-⨯-C.J 11028.7-⨯D.J 11028.7-⨯-[解]A ，A G ∆⋅=∆σ＝7.28×10－2×10×10－4＝J 51028.7-⨯8．液体在毛细管中上升的高度与（ ） 基本无关A.温度B.液体密度C.大气压力D.重力加速度[解]C ，gRh ρθσcos 2=，从公式中看出与大气压力无关。

弯曲液面的一些现象.

弯曲液面的一些现象.

液体(T,pl)/ 饱和蒸汽(T,pg),相平衡时化学势相等
Gm (g) Gm (l) dpg dpl pl T pg T
Vm (l)dpl Vm (g)dpg
Vm (l) dpl RT d ln pg
pl,0 pg,0 pl pg
' ,则: 8. 如果是球面， R1' R2
2 Ps R'
2.对活塞稍加压力，将毛细管内液 体压出少许，使液滴体积增加dV， 相应地其表面积增加dA。克服附加 压力ps环境所作的功与可逆增加表 面积的吉布斯自由能增加应该相等。
4 V R '3 3
dV 4 R '2 dR '
弯曲液体表面的蒸气压—Kelvin公式
液体(T,pl)/ 饱和蒸汽(T,pg),相平衡时化学势相等
对小液滴与蒸汽的平衡，应有相同形式， 设气体为理想气体。 化学势的定义 对于单组分体系
B ( )
G nB T , P , nC ,( C B )
Gm (l) Gm (g)
Gm (g) Gm (l) dpg dpl pl T pg T
§7.2 弯曲液面的一些现象
1.在平面上
弯曲表面下的附加压力
2.在凸面上
3.在凹面上
1.在平面上
设向下的大气压 力为Po，向上的反作 用力也为Po ，附加压 力Ps(ΔP,以后用Ps表 示)等于零。
Ps = Po - Po =0
剖面图
平面分子受力俯视图
（2）在凸面上： 表面张力都与液 面相切，大小相 等，但不在同一 平面上，所以会 产生一个向下的 合力。 所有的点产生的总压力为Ps ，称为 附加压力。凸面上受的总压力为：

1.2 弯曲液体表面的现象解析

1.2 弯曲液体表面的现象解析

W p xydz
( xdy ydx) p xydz
⑨由图比较两个相似三角形得
Laplace方程
x dx x R1 dz R1
或 或
x dx dz R1 y dy dz R2
1 1 p R1 R2
y dy y R2 dz R2
Page 2
弯曲液体表面下的附加压力△P
通常看到大面积水面是平坦的,小面积液面 是弯曲的,如毛细管中的液面、沙土间毛细缝 液面、气泡水珠上的液面等都为曲面。液体 曲面下的压力与平面下的压力不同：液体表 面张力总是力图收缩液体体积,使液体表面积 减少。
Page 3
弯曲液体表面下的附加压力△P
气 P0 P0 –气相压力
毛细现象
毛细现象：
由于附加压力而引起毛细管内液面与管外液面有高度差的现象。
P0 r 毛细管上升: 毛细管壁能被液体很好润湿时,毛细管内液面就 呈凹面,附加压力△P < 0,凹液面内的压力P凹<P0 , 其压差为: △P= 2σ/r (r凹液的曲率半径为负值) . 若液面为球面,则r是毛细管的半径。所以,要保 持内、外液体在同一水平上,即a和a’两处的压力必 须相等,则毛细管内的液柱必然上升h的高度,使 P0 =Pi + △ρ ·gh ,即: △P= 2σ/r = △ρ ·gh (△ρ 是界面两边液相 和气相的密度差,g是重力加速度) 因此,毛细管上升的高度与附加压力成正比。
h •a Pi
•a
毛细管上升
Page
14
毛细管下降
P0 h
r
Pi
毛细管下降
毛细管下降： 当液体不能润湿毛细管壁时,毛细管 内液面就呈凸形半球面,因凸液面内的 压力比液面上方气相的压力大,所以管 内液柱反而要下降,下降的深度h也与附 加压力成正比。同样服从上式: △P= 2σ/r = △ρ ·gh, 移项得：2σ/△ρ·g = rh = A2 式中, A为毛细管常数。

弯曲液面的附加压力

弯曲液面的附加压力

2
R'
gh
1g
当 1 g
2
h
R '1g
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
R´ R
cos
如果曲面为球面
R'=R, cos 1
2. ps 2R´ (l g)gh

2
R´

gh
ps
2cosgh
R
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
RTln
pr p0

2M R'
p p0

2 M RTR '
Kelvin公式也可以表示为两种不同曲率半径的
液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比
RTlnp2 p1
2MR12'
R11'
对凸面，R' 取正值，R' 越小，液滴的蒸汽压越高；
对凹面， R' 取负值， R' 越小，小蒸汽泡中的 蒸汽压越低。
z
使曲面扩大到A'B'C'D'(蓝色面)，
则x与y各增加dx和dy 。
Young-Laplace 公式
移动后曲面面积增量为： d A s (x d x )(y d y ) x y
D'
x dx C'
o'
x d y y d x(d y d x 0 )
增加这额外表面所需功为
A'
pg
2
r
ppg
pl
2
r
③肥皂泡
p p i p o ( p g ,i p l) ( p l p g ,o )
④毛细管连通的大小不等的

7.2弯曲表面的性质

7.2弯曲表面的性质

二、曲面的蒸气压
根据开尔文公式可以得知：
ln
pr* p*

2M RTr
液面的弯曲度越大即曲率半径越小，其蒸气压相对
正常蒸气压变化越大。
对于凸液面的液体（如小液滴），r > 0，其蒸气压 大于正常蒸气压，曲率半径越小，蒸气压越大。
对于凹液面的液体（如玻璃毛细管中水的液面或液 体中的气泡表面），r < 0，其蒸气压小于正常蒸气压， 曲率半径的绝对值越小，蒸气压越小。
二、曲面的蒸气压
r /m pr* / p*
液滴（气泡）半径与蒸气压关系
105
106
107
108
小液滴 1.0001 1.001
1.011
1.114
小气泡 0.9999 0.9989 0.9897 0.8977
109 2.937 0.3405
当液体的曲率半径较大时，蒸气压的改变并不明显， 当曲率半径小于108 m时，蒸气压的变化超过10%； 当曲率半径减小至109m时，蒸气压的变化已有三倍之多。
二、曲面的蒸气压
（二）开尔公式应用举例 1．微小晶体的溶解度 开尔文公式也可以用于固体。根据亨利公式，溶质的蒸气
压和其在溶液中的活度成正比，代入开尔文公式，可得：
ln ar 2 sl M a正常 RTr
ar和a正常分别为与微小晶体及普通晶体成平衡时溶液(饱和溶液)的活度，sl
为固液界面张力。
这就是硅胶作为干燥剂的工作原理。
三、 亚稳状态和新相的生成
体系形成新相的过程：
少数分子形成聚集体 以聚集体为中心长大成新相种子 新相种子逐渐长大成为新相
新相生成面临的困难：
要有足够的能量去克服把以前相对自由的分子束缚到一起 所必须跃过的能垒；

弯曲表面的附加压力和蒸气压

弯曲表面的附加压力和蒸气压
16
Kelvin公式的应用：可以解释过饱和蒸气，过热液
体，过冷液体，过饱和液体等亚稳态的存在
例如：过饱和蒸气

在无杂质的情况下，水蒸汽可达很大的过饱和度 （常常几倍）而无水滴凝结。因为此时对于将要形 成的微小液滴来说，其蒸气压很大，尚未达饱和。 但若有杂质（灰尘微粒）存在，则初始的凝聚可在 微粒表面上进行（微粒半径较大，饱和蒸气压小），
2.859
18
过热液体：

沸腾时， 液体生成的微小气泡为凹面， 蒸汽压低
（Kelvin公式），另外由laplace 公式，
⊿P＝2γ/R’,
2 所以沸腾条件： P' （气泡内部）（ P大气＋ ） r
P 2Vl RT ln 0 P R
R' 0 正常沸点下， P' P0
所以出现过热或暴沸现象， 可加入多孔沸石
28
1. 液-固粘附功：将单位
面积的液-固粘附在一起
体系所作的（可逆）功

体系作功：-Wa = G = G S = ( SL L S )
Wa>0,
液体沾湿固体的条件。
|Wa|越大，体系越稳定，液固的沾湿性越好 如，农药在植物叶面上的沾附
SL, S 难以测量！！
29
2. 液-固浸湿功 将单位表面积的固体浸 入液体时体系作的可逆 功叫液-固浸湿功 。 体系作功： -Wi = G = G S = ( SL S )

Wi>0, 液体自动浸湿固体的条件
30
3. 液-固铺展系数 铺展过程是固液界面取代气固界 面的过程，同时扩大了气液界面 γl γs S
γsl
G gl sl gs
或者S =- △G= γgs –γgl – γls；

弯曲液面的性质

途径a 途径
∆G3 ∆Ga 小液滴(p 小液滴 r, R)
液体(p,平面 液体 平面) 平面
途径a： ∆G a = ∫
p + ∆p p
M 2γ 2γ M Vm ( l )dp = Vm ( l ) ∆p = = ρ R ρR
途径b（三步途径）： 途径 （三步途径）： (1) 恒温恒压可逆相变 ∆G1=0 恒温恒压可逆相变: (2) 气相恒温变压过程 ∆G2 = RTln( pr / p ) 气相恒温变压过程: (3) 恒温恒压可逆相变 ∆G3=0 恒温恒压可逆相变: 整个过程：∆Gb =∆G1+∆G2+∆G3=RTln( pr / p ) 整个过程： 状态函数) 而 ∆Ga = ∆Gb (状态函数 状态函数 p r 2γ M = 所以 RTln ——开尔文公式 开尔文公式 p ρR 注：该式适用于小液滴或液体中小气泡的饱和蒸 气压的计算
2. 拉普拉斯方程
对活塞稍加压力， 对活塞稍加压力，液滴体 积增加dV，表面积增加dA 积增加dV，表面积增加dAs，则 dV 环境所消耗的功应和液滴可逆地 增加的表面吉布斯函数相等。 增加的表面吉布斯函数相等。 即 所以 ∆ p ．dV =γ ．dAs ∆ p =2γ / R
R
pg
∆p
弯曲液面的附加压力
开尔文公式的应用
（1）凸液面 > 0， ln( pr /p) > 0，pr> p ）凸液面R ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， （2）凹液面 < 0， ln( pr /p) < 0，pr < p ）凹液面R ， ， （3） 平液面 = ∞ ， ln( pr /p) = 0，pr = p ） 平液面R ， 温度相同时， 饱和蒸气压有： 温度相同时，同一液体的 饱和蒸气压有： p(凸液面 > p(平液面 > p (凹液面 凸液面) 平液面) 凹液面) 凸液面 平液面 凹液面

弯曲液面的附加压力拉普拉斯方程


以图示凹液面为例, 液面上升至平衡时, 有
p = 2γ / r1 = ρ gh
式中液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接 触角 θ 间的关系为：
r1 r
θ
θ
h
cosθ = r / r1
2 γ cos θ h= rρ g
γ : 液体表面张力; ρ: 液体密度;
g : 重力加速度.
毛细管上升
2
微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴的 蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高. 已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式:
p2 (g ) Vm (l ){ p2 (l ) p1 (l )} ln = p1 (g ) RT (Vm = M / ρ )
用 p 和 pr 分别表示平面液体和微小液滴的蒸气压, 结合 拉普拉斯方程, 得 小液滴 3
而水气泡内水蒸气的压力仅能达到 pr = 94.34 kPa(凹液 面). 可见小气泡在正常沸点下不能生成, 而凹液面上的附加 压力是造成液体过热的主要原因. 在液体中加入少量素烧瓷片或毛细管等物质可大大降低 过热的程度. 5
亚稳状态及新相的生成
(3) 过冷液体: 按相平衡条件应当凝固而未凝固的液体. 原因 是微小晶粒具有高表面吉布斯函数(高的饱和蒸气压)而不能 在正常凝固温度下生成. p
p
c3 c2 c1
T0
T
7
分散度对溶解度的影响
亚稳状态及新相的生成
亚稳状态: 热力学不完全稳定的状态. 按照相平衡条件应当相 变的物质, 由于初始新相体积极小, 具有很大的比表面积和表 面吉布斯函数而难以形成, 系统仍以原相存在, 处于亚稳状态.
(1) 过饱和蒸气: 按相平衡条件应当凝 p 结而未凝结的蒸气. 原因是蒸气不能 变成化学势更高的微小液滴.

二、弯曲液面下的附加压强 气体栓塞

二、弯曲液面下的附加压强气体栓塞PPPS∆fd 二、弯曲液面下的附加压强 气体栓塞自然界中的静止的液面，有平面、凹面和凸面。

有许多情况下液面是弯曲的，如前面说的水滴、肥皂泡，还有固体与液体的接触面等，弯曲液面内外存在一压强差，称为附加压强。

1、附加压强（1）定义：弯曲液面内外存在一压强差, 用Ps 表示（2）附加压强的产生——分别从平面、凸面和凹面三个方面来说明附加压强的产生。

1）平液面 在液体表面上取一小面积△S ,由于液面水平，表面张力沿水平方向， △S 平衡时，其边界表面张力相互抵消,不产生垂直与液面的压力，△S 上下压强相等：P=P 0, P s=02)液面弯曲①凸液面时，如图仍在液体表面上取一小面积△S ,△S 周界上表面张力沿切线方向，合力指向液面内，△S 好象紧压在液体上，使液体受一附加压强Ps ，由力平衡条件，液面下液体的压强：P=P0+Ps,如果我们规定附加压强与外部压强相同为正，相反为负。

则此时，Ps 为正②凹液面时，如图△S 周界上表面张力的合力指向外部，△S 如好象被拉出，液面内部压强小于外部压强，液面下压强：P=P0-Ps ，Ps 为负总之：附加压强的产生原因是由于表面张力存在。

附加压强使弯曲液面内外压强不等，与液面曲率中心同侧的压强恒大于另一侧，附加压强方向恒指向曲率中心 (3)附加压强的计算如图，取球形液面的一部分，曲率半径为R ，面积为dS ，其周界是半径为r 的圆周。

在周界上取一线元dl ，作用在dl 上的表面张力d f =αdl .(1)由图可见，将df 分解为半径r 垂直和平行的两个分力由圆对称性，在圆周界上的其他线元上，作用着同样大小的表面张力，这些力的水平分力相互抵消，垂直分力方向相同，合力为：2r02f df sin dl sin 2rr 2r sin ,f R Rπ⊥⊥⊥=⎰=⎰αϕ=αϕ⋅ππϕ==α由图可见则. (2)由式(2)可求得液面下液体所受的附加压强Rr R r r f p sαπαππ22222===⊥(3-5)可见，球形液面下液体的附加压强与液体的表面张力系数α成正比，与液面的曲率半径P 成反比。

物化第十章习题


板上，滴上一小滴水，再在水上覆盖上油，这时
水对毛细管的润湿角为，如习题 10.7 图图(b)所
示。油和水的密度分别用O 和W 表示，AA/为油水界面，油层的深度为 h/。请导出水在毛细管中 上升的高度 h 与油-水界面张力WO 之间的定量关
系。
解：因为在油中水可以润湿玻璃管，在玻璃毛细管中油-水界面为凹面，毛细管半径
பைடு நூலகம்
题 10.8 图示
10.9 已知在 273.15K 时，用活性炭吸附 CHCl3，其饱和吸附量为 93.8dm3kg-1， 若 CHCl3 的分压力为 13.375kPa，其平衡吸附量为 82.5dm3kg-1，试求：
（1） 朗谬尔吸附等温式中的 b 值；
（2） CHCl3 的分压力为 6.6672kPa 时，平衡吸附量为若干？
解：（1）因为
Va
Vma
bp 1 bp
依题意 V a=93.8dm3kg-1， Vma=82.5dm3kg-1 p=13.375kPa 代入上式得 b=[82.5/13.375×(93.8-82.5)] kPa-1= 0.5459 kPa-1
（2）当 p=6.6672kPa 时
V
a
Vma
bp 1 bp
答：亚稳态是热力学不完全稳定的状态，常见的亚稳态有过饱和蒸气、过热液体、 过冷液体、过饱和溶液。产生的原因是在新的相生成时，颗粒极其微小,其比表面积和表 面吉布斯函数都很大，因此在系统中产生新相极为困难而造成亚稳态的产生。防止亚稳 态产生的方法一般是引入“种子”，使之形成结晶或凝聚或气化核心。
（2）在一个封闭的钟罩内，有大小不等的两个球形液滴，问长时间恒温放置后，会 出现什么现象？
解：对方程 V a=kpn 取对数可得：
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pr,B

▲ 微小固体物质的溶解度大 溶解度：恒T﹑p下，溶质在溶剂中达到溶解 平衡时的（饱和）浓度。
将开尔文公式与亨利定律结合，推导得： c2 2 M 1 1 cr 2 M 1 ln ( ) 和 ln c1 RT r2 r1 c0 RT r
若r2＜r1，则c2 > c1，
凹面上因外压与附加压力的方向相反，液体 所受的总压等于外压和附加压力之差，总压比平 面上小。相当于曲率半径取了负值。
p总 p0 ps
自由液滴或气泡通常为何都呈球形 ？ 1。假若液滴具有不规则的形状，则在表面上 的不同部位曲面弯曲方向及其曲率不同，所具的
附加压力的方向和大小也不同，这种不平衡的力，
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
R R cos
´
如果曲面为球面
R'=R, cos 1
2 2. ps ´ ( l g ) gh R 2 ´ gh R 2 cos ps gh R
毛细管内液体上升的高度
• R ↘, ρ↘, h↗ • θ＜90o，h＞0； θ＞90o ，h＜0；R→∞， h →0
注意： 1) r 的符号： 凸液面，r＞0，ps＞0， r 指向液相(固相)内部 凹液面，r ＜0，ps＜0， r 指向气相 平液面，r→∞,ps→0， 2）气泡的附加压强： 气 肥皂泡两个l-g界面，r1≈r2 气 ps=ps,1+ ps,2= 4γ/r ps,1 r1 r2 p
s,2
分析：
①小液滴
弯曲表面上的附加压力
3. 在凹面上 由于液面是凹面，沿AB 的周界上的表面张力不能抵 消，作用于边界的力有一指
向凹面中心的合力
所有的点产生的合力 为 ps ，称为附加压力 凹面上受的总压力为：
p总 p0 ps
弯曲液面下的附加压强
p0 p0 A B p0
ps A
B
A
B
p = p0
A
ps p = p0 + ps p = p0 - ps
足够长的时间
半径不同的小水滴 结论：根据液体蒸汽的大小决定于液体分子向空间逃逸的倾向，可知：
p
小水滴
p
大水滴
p*反比于曲率半径
弯曲表面上的蒸汽压——Kelvin公式
2 M G2 Vm dp Vm p ' R G2 G4 0 p0 pr G4 RT ln RT ln pr p0 pr 2 M 这就是Kelvin公式 RT ln ' p0 R
公式应用：测表面张力 —— 最大泡压法 ps+p控=p大气 减小p控 ：气泡长大，最终逸出 气泡半径r 变化： 大→小→大 ps变化：小→大→小 ps,max= 2γ/r (r曲率=r毛细管) ps,max = p大气 - p控
p大气 p控 pS
最大泡压法测定表面张力装置
1-滴液漏斗 2-支管试管 3-毛细管 4-恒温槽 5-压差计
用如下的方法计算
2 p ps ' gh R
1 g
当
1 g
2 h ' R 1 g
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
R R cos
´
如果曲面为球面
R'=R, cos 1
2 2. ps ´ ( l g ) gh R 2 ´ gh R 2 cos ps gh R
p0 ps
p总 p0 ps
对活塞稍加压力，将 毛细管内液体压出少许 使液滴体积增加dV
p0
相应地其表面积增加dA
克服附加压力ps所作的 功等于可逆增加表面积的
ps
R'
p0
Gibbs自由能
ps dV dAs
ps dV dAs
V 4 3
RLeabharlann '3dV 4 R dR
设 p pr p0 ps
p 当 很小时 p0
代入上式，得
p 2 M ' p0 RTR
pr 2 M RT ln ' p0 R
液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比
p 2 M ' p0 RTR
Kelvin公式也可以表示为两种不同曲率半径的
p2 2 M RT ln p1
D'
x dx o'
C'
A'
y
D
dz
B'
y dy y ' ' R2 dz R2
代入上式得 1 1 ps ' ' R1 R2
o
R1
C
ydz dy ' A R2 若 R '1 R '2 R '
x'
B
' R2
2 ps ' R
z
这两个都称为 Young-Laplace 公式
②液体中的气泡
p pg pl 2 r
p pl pg
2 r
③肥皂泡
p pi po ( pg ,i pl ) ( pl pg ,o )
2 2 4 r r r
④毛细管连通的大小不等的 气泡
⑤
Δp
加热 Δp 加热
微小液滴的饱和蒸汽压
必将迫使液滴呈现球形。 2。相同体积的物质，球形的表面积最小，
则表面总的Gibbs自由能最低，所以变成球状就
最稳定
自由液滴或气泡通常为何都呈球形 ？ 1。假若液滴具有不规则的形状，则在表面上 的不同部位曲面弯曲方向及其曲率不同，所具的
附加压力的方向和大小也不同，这种不平衡的力，
必将迫使液滴呈现球形。 2。相同体积的物质，球形的表面积最小，
且|r|越小，p凹越小；
★ 凸液面，r＞0，则：pr= p凸＞ p0，
r/m
pr / p0
10-6
10-7
10-8
10-9
1.001 1.011 1.114 2.95
★ 物质要小到一定程度，表面效应才显著
★ 微小物质的饱和蒸气压 pr 增大，
其化学势增高
对于液滴（凸面，r>0），其半径越小，蒸汽压越大； 对于蒸汽泡（凹面，r<0），半径越小，气泡内的蒸 汽压也越低；对于平面， r=∞ ， pr*=p*
p pB B RT ln 大块物质化学势 p r,B＞ B ，熔融时， B B(l) 则： r,B＞B(l)
微物熔融应满足：r,B B(l) 只有降低熔点，才能使 r,B减小，故有： Tf（微小）＜ Tf（大块）
微小物质化学势
r,B RT ln
p0
ps p0 p0 0
加压力ps等于零。
弯曲表面上的附加压力
2. 在凸面上 由于液面是弯曲的，则 沿AB的周界上的表面张力不 是水平的，作用于边界的力
p0
A
将有一指向液体内部的合力
所有的点产生的合力 为 ps ，称为附加压力 凸面上受的总压力为：
f
B
f
ps
p0 ps
p总 p0 ps
D
dz
B'
o
R1
C
Wf xdy ydx
克服附加压力所作的功为
A
x'
B
' R2
W ' psdV W ' ps xydz
dV xydz
这两种功应该相等
z
Young-Laplace 公式
xdy ydx ps xydz
自相似三角形的比较得 x dx x xdz ' dx ' ' R1 dz R1 R1
'2
'
As 4 R
代入
得
'2
dAs 8 R dR
'
'
ps dV dAs
2 ps ' R
R'
p0
ps
2 ps ' R
曲率半径越小，附加压力越大 凸面上因外压与附加压力的方向一致，液体 所受的总压等于外压和附加压力之和，总压比平 面上大。相当于曲率半径取了正值。
p总 p0 ps
表面物理化学
§13.2 弯曲表面上的附加压力和蒸气压
弯曲表面上的附加压力
Young-Laplace 公式 弯曲表面上的蒸气压——Kelvin 公式
弯曲表面上的附加压力
1.在平面上 对一小面积AB，沿AB的 四周每点的两边都存在表面 张力，大小相等，方向相反，
f
p0
A
B
f
所以没有附加压力
设向下的大气压力为po， 向上的反作用力也为po ，附
vapG1 vapG3 0
弯曲表面上的蒸汽压——Kelvin公式
pr 2 M RT ln ' p0 R pr p 1 p0 p0
pr p p ln ln 1 p0 p0 p0
这是Kelvin公式的简化式 表明液滴越小，蒸气压越大
p2 2 M RT ln p1
和溶液浓度之比。
Kelvin公式也可以表示两种不同大小颗粒的饱
c2 2 l s M RT ln c1
1 1 ' ' R2 R1
颗粒总是凸面， R' 取正值， R' 越小，小颗 粒的饱和溶液的浓度越大，溶解度越大。
二、微小物质的特性 微小物质：比表面积大，Gs=γAs大 1.弯曲液面的饱和蒸气压与表面曲率半径的关系
B
平面 附加压强ps：