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弯曲液面附加压强

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拉普拉斯公式--任意弯曲液面附加压强

拉普拉斯公式--任意弯曲液面附加压强

可以证明，曲面将产生一方向向下的附加压强
p附 = σ(1/R1 + 1/R2 )
• 这一公式称为拉普拉斯公式，
• 人们常用它来确定任意弯曲液面下的附加压强。
• 对于球形液面，公式中的R1 = R2 ，则
•
p = 2σ/R
• 对于柱形液面， R2 趋向无穷大,
•
p附 =σ/R1
•
因为附加压强是指向主曲率中心的，为了便于区
分，把液体的表面呈凸面的曲率半径定为正，呈凹面
的曲率径定为负。
例如，若在两块水平放置的清洁的玻璃板间放上一滴 水以后，将这两玻璃板进行挤压，使两玻璃板间有一 层很薄的水，
设这层水的厚度为 d =10-4 m,显然这层水与空气的接 触面为曲率半径R 的凹曲面。
• 由于水平截面在曲面上截得的是一大圆，而大圆半径
很小。
• 请问:若在两板间放的不是水而是水银，则两板间液 体的自由表面是凸面，
• 所产生的附加压强是怎样的? • 其方向沿板面法线向外。是正的。 • 这时若有人想把水银从两板的间隙中挤出会怎么样？ • 则越往下挤越费力。
— (二)拉普拉斯公式 任意弯曲液面附加压強
有不少液面并不呈球形。为了计算由任意弯曲液面的 表面张力所产生的附加压强，考虑如图所示的一任意 的微小曲面。
在曲面上任取一点O，过O 作互
相垂直正截面 P1 、 P2 。截面 与弯液面相交截得圆弧A1B1 ， A2B2 ，其曲率中心分别为 C1 和 C2 ，曲率半径分别为 R1 和 R2 。
比d 大得多，故可设 R1 =-d /2，
•而R2→∞，又σ= 0.073 N·m-1，
•利用拉普拉斯公式，可知曲面对液体所产生的附加
压强为
p 1.4103 N m1

大学物理课件第三章2

大学物理课件第三章2
春的气息
合肥研究院首届青年才艺大赛摄影作品展
第二节 弯曲液面的附加压强
现象
液面不是平对于弯曲液面来说，由于液体表面张力的存在，在 靠近液面的两侧就形成一压强差，称为附加压强。
首先分析水平液面
P0
f Δs
f
P1=P0
表面张力的合力 f合 的方向与凸面法
解：
h
代入数据，可得
d
P =1.186×105Pa
知识回顾 Knowledge Review
凹球形液面内液体压强为
f
P0
Δs
Ps
f
P3=P0+Ps
球形液泡内的气体压强分析（以肥皂泡为例）
球形液膜具有两个球形面，且两个 半径近似相等 液膜外表面为凸液面，有
A CB
液膜内表面为凹液面，有
附加压强为
例：如图所示的装置中，连通管活塞关闭，左右两端吹成 一大一小两个气泡。（假设肥皂薄膜厚度为定值） 问：如果打开连通管，气体会怎么运动？ 解：由肥皂泡内外气体压强差
线方向相反， 凸形液面
P0
Δs
Ps P2=P0+Ps
表面张力的合力 f合 的方向与凹面法
线方向相反，
f
凹形液面
P0
Δs
Ps
f
P3=P0+Ps
２. 球形液面的附加压强
B C
dl df//
取一线段元dL，则作用在其上的 表面张力大小为
A
r

df⊥ df
R
方向垂直并与球面相切
将表面张力分解成两个分力，分

别与半径 r 垂直和平行
圆周对称性
水平分力 相互抵消
故表面张力的合力为

弯曲液面的一些现象.

弯曲液面的一些现象.

液体(T,pl)/ 饱和蒸汽(T,pg),相平衡时化学势相等
Gm (g) Gm (l) dpg dpl pl T pg T
Vm (l)dpl Vm (g)dpg
Vm (l) dpl RT d ln pg
pl,0 pg,0 pl pg
' ,则: 8. 如果是球面， R1' R2
2 Ps R'
2.对活塞稍加压力，将毛细管内液 体压出少许，使液滴体积增加dV， 相应地其表面积增加dA。克服附加 压力ps环境所作的功与可逆增加表 面积的吉布斯自由能增加应该相等。
4 V R '3 3
dV 4 R '2 dR '
弯曲液体表面的蒸气压—Kelvin公式
液体(T,pl)/ 饱和蒸汽(T,pg),相平衡时化学势相等
对小液滴与蒸汽的平衡，应有相同形式， 设气体为理想气体。 化学势的定义 对于单组分体系
B ( )
G nB T , P , nC ,( C B )
Gm (l) Gm (g)
Gm (g) Gm (l) dpg dpl pl T pg T
§7.2 弯曲液面的一些现象
1.在平面上
弯曲表面下的附加压力
2.在凸面上
3.在凹面上
1.在平面上
设向下的大气压 力为Po，向上的反作 用力也为Po ，附加压 力Ps(ΔP,以后用Ps表 示)等于零。
Ps = Po - Po =0
剖面图
平面分子受力俯视图
（2）在凸面上： 表面张力都与液 面相切，大小相 等，但不在同一 平面上，所以会 产生一个向下的 合力。 所有的点产生的总压力为Ps ，称为 附加压力。凸面上受的总压力为：

弯曲液面的附加压力

弯曲液面的附加压力

2
R'
gh
1g
当 1 g
2
h
R '1g
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
R´ R
cos
如果曲面为球面
R'=R, cos 1
2. ps 2R´ (l g)gh

2
R´

gh
ps
2cosgh
R
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
RTln
pr p0

2M R'
p p0

2 M RTR '
Kelvin公式也可以表示为两种不同曲率半径的
液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比
RTlnp2 p1
2MR12'
R11'
对凸面，R' 取正值，R' 越小，液滴的蒸汽压越高；
对凹面， R' 取负值， R' 越小，小蒸汽泡中的 蒸汽压越低。
z
使曲面扩大到A'B'C'D'(蓝色面)，
则x与y各增加dx和dy 。
Young-Laplace 公式
移动后曲面面积增量为： d A s (x d x )(y d y ) x y
D'
x dx C'
o'
x d y y d x(d y d x 0 )
增加这额外表面所需功为
A'
pg
2
r
ppg
pl
2
r
③肥皂泡
p p i p o ( p g ,i p l) ( p l p g ,o )
④毛细管连通的大小不等的

弯曲表面下的附加压力与蒸气压

弯曲表面下的附加压力与蒸气压

液膜受到的附加压力为
ps
4
R
该附加压力指向气泡的球心。
将一大一小两个气泡内部气体用管子连通后 ，会出现什么现象？
分析：由于小气泡内气体所受附加压力大于大 气泡内气体，所以小气泡内气体会通过管子进 入到大气泡内，最终变得越来越小。 所以，若使肥皂泡保留在吹管口，并且不堵住 吹管口，此泡会逐渐减小，直至缩至管口的平 面，也是这个原因。
此即杨·拉普拉斯公式。表明，附加压力ps的大小与液 体表面张力γ成正比，与曲率半径R成反比；曲率半径越
小，附加压力越大。
空气中气泡液膜附加压力
对于空气中的气泡，其液膜存在两个气液表面，外表
面为凸面，内表面为凹液面，并且两个表面的附加压
力都指向气泡的球心。因为气泡的液膜很薄，可以近
似认为内外表面的曲率半径相同，所以空气中的气泡
液体内部，有将液面压向内部使其趋于平整的作 用。
凹面的附加压力指向凹面的曲率中心，远离液 体，将凹面提拉向上，使其趋于平整。
可以用来解释为什么液滴或气泡一般都是圆球形的。
杨-拉普拉斯公式
1805年Young-Laplace导出了附加压力与曲率半径之间的关系式：
一般式：
ps
(
1 R1'
1 R2'
)
特殊式（对球面）：
研究以AB为弦长的一个球面上的环作为边界。
由于环上每点两边的表面张力都与液面相切，大
小相等，但不在同一平面上，所以会产生一个向
剖
下的合力。
面
图
所有的点产生的总压力为ps ，称为附加压力。 凸面上受的总压力为： po+ ps po为大气压力， ps为附加压力。
附加压力示意图
（3）在凹面上：如气泡的内表面

弯曲表面的附加压力和蒸气压

弯曲表面的附加压力和蒸气压
16
Kelvin公式的应用：可以解释过饱和蒸气，过热液
体，过冷液体，过饱和液体等亚稳态的存在
例如：过饱和蒸气

在无杂质的情况下，水蒸汽可达很大的过饱和度 （常常几倍）而无水滴凝结。因为此时对于将要形 成的微小液滴来说，其蒸气压很大，尚未达饱和。 但若有杂质（灰尘微粒）存在，则初始的凝聚可在 微粒表面上进行（微粒半径较大，饱和蒸气压小），
2.859
18
过热液体：

沸腾时， 液体生成的微小气泡为凹面， 蒸汽压低
（Kelvin公式），另外由laplace 公式，
⊿P＝2γ/R’,
2 所以沸腾条件： P' （气泡内部）（ P大气＋ ） r
P 2Vl RT ln 0 P R
R' 0 正常沸点下， P' P0
所以出现过热或暴沸现象， 可加入多孔沸石
28
1. 液-固粘附功：将单位
面积的液-固粘附在一起
体系所作的（可逆）功

体系作功：-Wa = G = G S = ( SL L S )
Wa>0,
液体沾湿固体的条件。
|Wa|越大，体系越稳定，液固的沾湿性越好 如，农药在植物叶面上的沾附
SL, S 难以测量！！
29
2. 液-固浸湿功 将单位表面积的固体浸 入液体时体系作的可逆 功叫液-固浸湿功 。 体系作功： -Wi = G = G S = ( SL S )

Wi>0, 液体自动浸湿固体的条件
30
3. 液-固铺展系数 铺展过程是固液界面取代气固界 面的过程，同时扩大了气液界面 γl γs S
γsl
G gl sl gs
或者S =- △G= γgs –γgl – γls；

弯曲液面的附加压力拉普拉斯方程


以图示凹液面为例, 液面上升至平衡时, 有
p = 2γ / r1 = ρ gh
式中液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接 触角 θ 间的关系为：
r1 r
θ
θ
h
cosθ = r / r1
2 γ cos θ h= rρ g
γ : 液体表面张力; ρ: 液体密度;
g : 重力加速度.
毛细管上升
2
微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴的 蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高. 已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式:
p2 (g ) Vm (l ){ p2 (l ) p1 (l )} ln = p1 (g ) RT (Vm = M / ρ )
用 p 和 pr 分别表示平面液体和微小液滴的蒸气压, 结合 拉普拉斯方程, 得 小液滴 3
而水气泡内水蒸气的压力仅能达到 pr = 94.34 kPa(凹液 面). 可见小气泡在正常沸点下不能生成, 而凹液面上的附加 压力是造成液体过热的主要原因. 在液体中加入少量素烧瓷片或毛细管等物质可大大降低 过热的程度. 5
亚稳状态及新相的生成
(3) 过冷液体: 按相平衡条件应当凝固而未凝固的液体. 原因 是微小晶粒具有高表面吉布斯函数(高的饱和蒸气压)而不能 在正常凝固温度下生成. p
p
c3 c2 c1
T0
T
7
分散度对溶解度的影响
亚稳状态及新相的生成
亚稳状态: 热力学不完全稳定的状态. 按照相平衡条件应当相 变的物质, 由于初始新相体积极小, 具有很大的比表面积和表 面吉布斯函数而难以形成, 系统仍以原相存在, 处于亚稳状态.
(1) 过饱和蒸气: 按相平衡条件应当凝 p 结而未凝结的蒸气. 原因是蒸气不能 变成化学势更高的微小液滴.

chapter2.2


p
p
s
s
S
ps p内－p0
dl上的表面张力 df αdl 由圆的对称性可知
df
df //

dl
r
R
df
f // 0
sin r R
df df sin dl sin
f
2 r 0

sin dl 2 r sin
f 2 表面张力产生的附加压强 ps r 2 R
2 r 2 f R
2 球形液面内侧的压强 p内＝p 0 R
2r f R

2
附加压强
f 2r 2 p r Rr R
2 s 2 2
——拉普拉斯球面附加压强公式 球形液面附加压强与表面张力系数成正比，与球面半径R 成反比。半径越小，附加压强越大；半径越大，附加压强 越小；半径无限大时，附加压强等于零，这正是水平液面 的情况。
P0
f
S
f
P
P0
2）凸液面时，如图仍在液体表面上取一 小面积△S ,△S周界上表面张力沿切线方 向，合力指向液面内，△S好象紧压在液 体上，使液体受一附加压强Ps，由力平衡 条件，液面下液体的压强：P=P0+Ps,如果 我们规定附加压强与外部压强相同为正， 相反为负。则此时，Ps为正
f
S f
Ps P
§2.2弯曲液面的附加压强
一.附加压强
（1）定义：弯曲液面内外存在一压强差, 用Ps表示 （2）附加压强的产生——分别从平面、凸面和凹面三个方面 来说明附加压强的产生。 1）平液面 在液体表面上取一小面积△S ,由于 液面水平，表面张力沿水平方向， △S 平衡时，其边界表面张力相互抵 消,不产生垂直与液面的压力，△S 上 下压强相等： P=P0, Ps=0

物理化学 弯曲液面附加压力


1 1 •一般式： p ( ' ' ) R1 R2
•特殊式（对球面）：
2 p r
总结
1
附加压力与曲面半径成 反比，与液面张力成正 比
2
定义的Δp为凹面一侧的 压力减去图面一侧的压 力，故曲率半径r总是 正值，Δp亦总为正值。
№
毛细现象
液面被压入管内，直至上升的液 柱所产生的静压力gh 与附加压力p 在量值上相等，方可达到力的平衡， 即：
弯曲液面附加压力
小组成员：xxxxx
№
1、弯曲液面的附加压力
•一般情况下液体表面是水平的，而液滴、水中的
气泡表面则是弯曲的。
•液面可以是凸的，也可以是凹的。
弯曲表面上的附加压力
1.在平面上
p0
f
A B
对一小面积AB，沿AB的
四周每点的两边都存在表面 张力，大小相等，方向相反， 所以没有附加压力 设向下的大气压力为po， 向上的反作用力也为po ，附 加压力ps等于零。
2 p gh R
R cos ' R
由左图的几何关系可知：
由此可知： 2 cos h R g
自由液滴或气泡通常为何都呈球形 ？
1、假若液滴具有不规则的形状，则在表面上的不
同部位曲面弯曲方向及其曲率不同，所具的附加压力
的方向和大小也不同，这种不平衡的力，必将迫使液
滴呈现球形。 2、相同体积的物质，球形的表面积最小，则表 面总的Gibbs自由能最低，所以变成球状就最稳定。
1
2
凸面上受的总液体与平面不同，它受到一种
附加的压力，附加压力的方向都指 向曲面的圆心(曲率半径的方向)。
大于平面上的压力
3

界面现象--第2节：弯曲液面的附加压力及其后果


人工增雨作业的原理是什么？如果是晴天，进行人工降雨作 业，能达到目的吗？

在寒冬季节，晚上温度很低的时候，干净的玻璃上结窗花少， 而脏的玻璃上结窗花就多。为什么？

20
2gcos gh r
grh
grh grh cos 1 g 2 cos 2
790kg.m 3 9.8 0.235 103 2.56 102 r 2 2 23.3 10 3 N .m 1 23.3mN .m 1
9
毛细现象－毛细管下降现象
在过冷液体中投入小 晶体作为新相的种子, 能 使液体迅速凝固.
气相区
Tf Tf
• 过冷液体的产生
T
18
亚稳状态及新相的生成
(4) 过饱和溶液: 在一定温度下, 浓度超过饱和浓度, 而仍 未析出晶体的溶液. 原因是微小晶粒具有高表面吉布斯函数 (高的饱和蒸气压)而不能在正常饱和浓度下析出. 与微小液滴一样, 微小晶体 p 的饱和蒸气压大于普通晶体. 蒸 气压与溶解度有密切的关系, 微 小晶粒具有比普通晶体更大的溶解 度. 晶体的颗粒愈小, 溶解度愈大. 可知, 当溶液浓度达到普通晶 体的饱和浓度时, 相对于微小晶粒 还未饱和, 微小晶粒就不能从中析 出.
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴 的蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高. 已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式: p2 ( g ) Vm ( l ){ p2 ( l ) p1 ( l )} ln ( Vm M/) p1 ( g ) RT
用 p 和 pr 分别表示平面液 体和微小液滴的蒸气压, 结合拉 普拉斯方程, 得：

雨伞能够防雨的原因？ 答：（1）憎水涂层； （2）雨水在雨伞织物的缝隙中形成凹液 面的水膜，有一个向上的表面张力，可以 抵挡雨水透过雨伞的织物。 溶液在滴定管中形成凹液面。 请同学们讨论，生活里还有那些毛细管 上升现象？
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E S
表面能:张力系数在数值上等于在等温条件下液体表面增加单位 面积时所增加的表面能 表能自由能:表面能不同于表面内能,可以认为,它是表面内能的一 部分,是在等温条件下能够转变为机械功的那一部分,在热力学中 称为表面自由能.
两个问题的讨论: (1) 表面积问题:理论和实验表明,在等温条件下,体积一定的液体 的平衡态对于表面自由能取极小值.
f 2r 2
df2 df φ
dl r df1
o S R
φ

R
C
(3)重力mg (4)在底面S上受到下面液体的压力为PS.P为S面上的液体压强,也就 是弯曲液面下液体内部A点的压强.
2 球形液膜 p p0 R
2a P0 R
三.拉普拉斯公式
任意液面附加压强： p ( 1 1 ) R1 R2
(2) 表面层: 从微观角度来看,液体表面并不是一个真正的几何面, 而是一个厚度为分子力有效作用距离的薄层,称为表面层
6-8、弯曲液面附加压强
一.附加压强的存在
pb pc pa
p a p0
pb p0
p p p0
由于表面张力的作用,使弯曲液面 内无限接近于液面处液面处液体 压强p与液面外的压强p0之间存 在着压强差,此压强差 p p p0 称为弯曲液面下的附加压强
第六章非理想气体 固体 液体
§6-7
一、表面张力现象
液体的表面张力
二.表面张力和表面张力系数
1、表面张力
表面张力是作用于液体表面是的使液体具有收缩倾向 的一种力。此力与截线垂直并与该处液面相切. • 表面张力可以由前图a得到.表面张力的大小与液面的 周界(或截线)长度l成正比,即
f l
并由c得到外力
• 求出水的表面张力系数.
三.表面能
由图6.35(a).(c)可以看出,设使AB边向右移动距 离
A F外x 2 f x 2 AB x S
式中 S表示AB边移动 x 时液膜的两个表面所增加的总面积, 在等温过程的条件下,这个功转变为液体表面能的增量 E ,所以 可以得出
pS p0 S mg f
由于mg很小,可忽略不计,有:
f 2 2 p p 0 P0 f / r p 0 S R
(5)对于凹面液体
2 p p0 R
2 p p0 R
(6)对于球形气泡 内外压强差为:
4 p R
三.拉普拉斯公式
1.任意液面附加压强：
这是拉普拉斯公式
6-9、毛细现象及毛细管公式
一.润湿和不润湿 接触角
例如：水 + 玻璃
固体
水 + 涂有油脂的玻璃
接触角
θ A
液体
附着力 内聚力
附 着 层
（二）、毛细现象
2 cos h gr
R
θ θ h D A
B
C
能使σ 明显变小的物质称为表面活性物质 若一种物质甲能显著地降低另一种物质乙的表面 张力，就说甲对乙具有表面活性。
例6-5 长为a宽
为b.
.
m 0.88103 kg, a 3.2 102 m, b 3.0 102 m
• 求出水的表面张力系数.
三.表面能
由图6.35(a).(c)可以看出,设使AB边向右移动 距离
1 1 p ( ) R1 R2
这是拉普拉斯公式
2.圆柱形凹液面
2 p d
6-9、毛细现象及毛细管公式
一.润湿和不润湿 接触角
例如：水 + 玻璃
固体
水 + 涂有油脂的玻璃
接触角
θ A
液体Βιβλιοθήκη 附着力 内聚力附 着 层
（二）、毛细现象
2 cos h gr
R
θ θ h D A
A F外x 2 f x 2 AB x S
式中 表示AB边移动 x 时液膜的两个表面所增加的总面积, 在等温过程的条件下 ,这个功转变为液体表面能的增量 E ,所以 S 可以得出
E S
表面能:张力系数在数值上等于在等温条件下液体表面增加单位 面积时所增加的表面能 表能自由能:表面能不同于表面内能,可以认为,它是表面内能的一 部分,是在等温条件下能够转变为机械功的那一部分,在热力学中 称为表面自由能.
F外 2 f 2l
表面张力系数与其它因素的关系(温度,表面活性物质,临界 介质)
能使σ 明显变小的物质称为表面活性物质 若一种物质甲能显著地降低另一种物质乙的表面 张力，就说甲对乙具有表面活性。
例6-5 长为a宽
为b.
.
m 0.88103 kg, a 3.2 102 m, b 3.0 102 m
6-8、弯曲液面附加压强
一.附加压强的存在
由于表面张力的作用,使弯曲液面内无限接近于 液面处液面处液体压强p与液面外的压强p0之间 存在着压强差,此压强差 p p p0 称为弯曲液面 下的附加压强
内
外
二.球形液面下附加压强的计算
(1)计算S’球冠面上的大气压的合力p0S (2)计算半径为r的球冠面上周边上表面张力
B
C
一、表面张力现象
§6-7
液体的表面张力
1、表面张力
二.表面张力和表面张力系数
表面张力是作用于液体表面是的使液体具有收缩倾向 的一种力。 • 表面张力可以由前图a得到.表面张力的大小与液面 的周界(或截线)长度l成正比,即 F外 2 f 2l 并由c得到外力 f l
表面张力系数与其它因素的关系
二.球形液面下附加压强的计算
(1)计算S’球冠面上的大气压的合力p0S
(2)计算半径为r的球冠 面上周边上表面张力
f df dl sin 1
sin 1 dl r 2r R
2r
2

R
(3)重力mg (4)在底面S上受到下面液体的压力为PS.P为S面上的液体压强, 也就是弯曲液面下液体内部A点的压强.