拉普拉斯公式--任意弯曲液面附加压强

- 12co s Η-8h 0Α= Θg H (5)1 实验原理l 2+ 4h 2d 0 当 l µ h 0 , co s Η≈ 1 时Α= Θg H d ƒ2式中 Θ为液体密度, g 为重力加速度.如图 1 所示, (a ) 间距为 d 的两玻璃平板(6) 垂直插入水中, 由于液体表面张力的存在, 两 板 间水面上升高度为 H , 且毛细液面呈一曲 以上是以水为例导出的公式, 也适用于其他液体. 当已知液体的 Θ, Η, 只要测出 H , l , 面, 图 1 (b ) (c ) 是其侧视图, 图 1 是其正视 图. 设水的表面张力系数为 Α, 水与玻璃的接触 h 0 及 d 值, 即可由 (5) 式或 (6) 式求出液体 角为 Η, 根据拉普拉斯公式, 任意弯曲液面内外表面张力系数 Α.2 实验装置与测量方法 211 实验装置装置如图 2 所示, 带有深度尺的卡尺垂直固定在支架上. 它是用有机玻璃板通过螺钉将游标尺压紧在支架横梁上, 而主尺可以上下移 动. 在主尺下端贴上一弯成直角的 L 形铝片, 图 1的压强差 (附加压强) 〔1〕为宽度稍大于玻璃片的宽度 l , 铝片平端与主尺 P = Α(1 +1 ) (1)下端平齐, 见图 3 (a ) , (b ) 的正视图和侧视图.R 1 R 2R 1、R 2 分别是毛细液面相互垂直的两正截口的(b ) 曲率半径, 由图 1 可见d ƒ2 < R 1 = 0 (2) co s Η(c ) 由图 1 可见, 毛细液面两端下弯, 几何知其平均曲率半径为由平面 l 2 + 4h 0 2R 2 => 0 (3)8h 0当毛细液面稳定到高度 H 时, 根据流体静力学 原理, R 1 , R 2 以绝对值代入公式 (1) 时, 有11(4)P = Α-= Θg H R 1R 2图 2间距为 d 的玻璃板是将薄膜片夹 在 两 玻厚度, 根据要求的 d 值, 剪下适当大小、 数片 21214 测量中应注意的几点1) 实验前认真清洁玻璃板, 实验中保持玻璃板、 杯子内侧、 水的清洁.2) 毛细液面上升速度与玻璃板内侧的清洁程度有关, 为了较快使液面达到稳定高度, 也 可以抬高杯子, 再放下, 使液面由上至下降到 一稳定高度. 毛细液面是否达到稳定的高度是 测量的关键.膜片夹在两玻璃板之间的一端, 用夹具夹好, 再 放在读数显微镜下检查一下玻璃板同一水平线 上两侧间距是否相等 (见图 2 上 A , A ′两点处 的间距). 若相差较多, 要旋一下夹具上的螺钉, 直到符合要求. 然后, 如图 2 所示, 将玻璃板 用细绳挂在支架上, 使其处于铅垂状态.装有待测液体的玻璃杯置于可调高度的平 台上, 使玻璃板的下端浸入液体中.本装置是为测水的表面张力系数设计的, 也适用于液体与玻璃接触角为锐角的液体. 212 测量方法21211 确定水面位置3 测量举例实验用的玻璃板光洁度较好, 无明显砂眼 和划痕. 尺寸为 70mm ×35mm ×215mm , 两玻 璃板间夹以数小片 厚 约 011mm 的 投 影 薄 膜, 以 3 种间距, 对 24℃的自来水进行了测量. 已 卡 尺置于杯内, 将主尺向上提升 2c m 左 右, 下面露出深度尺 (探针). 调平台, 使探针 尖与水面平齐. 方法是: 观察探针尖及水面所 成的像, 当针尖与针尖像刚刚相接时, 针尖正 处于水面处. 此时, 深度尺端也就是卡尺的零 位.21212 测毛细液面高度 H 及 h 0当毛细液面升到一稳定高度时, 将主尺上 知数据: 水和非常清洁的玻璃的接触角 Η= 0°,Η= 8°〔2〕. 本实验取 Η= 4°, 玻璃很不清洁时, 水 的密 度 Θ= 1000k g ·m - 3, 重 力 加 速 度 g =918m ·s - 2. 由公式 (2) , (3) , (5) 计算 R 1 , R 2 ,Α, 数据与结果见表 1. 表提, 使主尺下端 L 形铝片水平底面与毛细液面(a ) 相切, 见图 3 与 (b ). 读出卡尺上的读数, 即为毛细液面高度 H , 再移动主尺测出 H ′, 则 有 h 0 = H - H ′.4 结束语图 321213 用读数显微镜测玻璃板间距 d测量表明, 两玻璃板间的空气间隙上下略 目前, 测液体表面张力系数有拉脱法、 毛 细管法、 液滴法等等, 各有其长处与短处. 用 两垂直玻璃板测液体的表面张力系数, 在理论 上也早已有之, 但理论模型与实际物理现象之 间还是有一定距离的, 再加上一些具体的实际 问题, 使这种方法未能像上述几种方法被广泛有不同, 楔角约 1°～ 2°. 为了测毛细液面处的 d 值, 可用特种铅笔在毛细液面处的玻璃板上作 一标记. 然后取下挂在横梁上的带有夹具的玻 璃板, 用毛巾吸干水分, 置于读数显微镜下测恒流源作为温度传感系统中一个主要组成部件在自动控制中已得到广泛应用. 在实验室中利用恒流源来测导体电阻的温度系数, 使物理实验与新技术紧密结合, 对提高学生对实验的兴趣, 为后续课程学习打下基础, 能够起到积极的促进作用. 下面简要介绍实验的原理及方法.R x 两端的电压值.文献〔2〕中指出在温度不太高时, 金属电阻与温度存在如下线性关系R t = R 0 (1 + Αt)若在(1) 式两边同乘以恒流I,端电压与温度之间的关系为(1)得到R x 两U t = U 0 (1 +Αt)(2)以温度t 为横坐标, 以相应的电压U t 为纵坐标作图, 得到一条直线. 由图可得直线在纵轴的截距U 0 和斜率m , 于是得电阻温度系数Α= m ƒU0具体测量方法如下: 将待测导体电阻(铜棒) 浸在一装有温度计的油池中, 然后加热油池使温度升高至100℃. 在升温过程中观察数字电压表上电压数值的变化, 在降温过程中每下降5℃记录一次电压数据, 测量点应不少于10 个.1 测量原理及方法恒流源的种类较多,图1 所示是我们参考文献〔1〕制作的可以产生3mA电流的恒流源.测量电路如图2 所示, 将待测电阻R x 串接在恒流源电路中, 从数字电压表上可以直接读出2 测量数据及结果分析图1 恒流源电路图图2 测量电路原理图利用恒流源测铜电阻的温度系数, 在降温过程中记录的其中一组数据见表1. (下转19 页)采用.本文中的理论公式和实验装置使这一测量手段成为可能. 本实验的优点在于: 实验现象直观、明了, 有助于加深对液体表面性质的了解和对拉普拉斯公式中各物理量的理解; 在测量方法上, 它具有毛细管法的优点, 但它又优于毛细管法, 它的间距可调, 便于清洗. 与拉脱法相比, 可免去由于测量方法不当, 液膜重力、浮力等对测量结果的影响; 测量装置简单,仪器都是一般实验室常备的, 也是本实验的一个优点.5 参考文献1 李椿等. 热学. 人民教育出版社, 1979. 3252 杨伟民等. 热学. 上海科学技术文献出版社, 1986.139 (1998206212 收稿)。

拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。

基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。

通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。

若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。

在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。

三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中∇²称为拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。

拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。

偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。

方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。

任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。

这种非常有用的性质称为叠加原理。

可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。

二维方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。

人物介绍拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。

渗透检测培训问答题无损检测资源网整理1.试写出各种弯曲液面的附加压强计算式答:任意形状的弯曲液面下的附加压强,可由拉普拉斯公式表示如下:P任=α[(1/R1)+(1/R2)],式中P任-任意形状弯曲液面的附加压强,α-液体的表面张力系数,R1,R2-任意曲面的主曲率半径.规则的球面液面下的附加压强计算式可用下式表示:P球=2α/R,式中P球-规则球面的附加压强,α-液体的表面张力系数,R-规则的球面的曲率半径.柱状液面下的附加压强计算式可用下式表示:P柱=α/R,式中P柱-柱面的附加压强,α-液体的表面张力系数,R-柱面的曲率半径.2.简述辐射强度,光通量,发光强度和照度的定义答:辐射源在单位时间内向给定方向所发射的光能量称为辐射通量.能引起眼睛视觉强度的辐射通量称为光通量.光源沿给定方向在单位立体角内发射的光通量称为发光强度.被照物体表面单位面积上所接受的光通量称为照度.3.写出辐射强度,光通量,发光强度和照度的单位答:辐射通量的单位:瓦特(W),光通量的单位:流明(Lm),实验室测定对0.550μm的波长的光,1W相应于683Lm,发光强度的单位:坎德拉(cd),540x1012Hz的单色光在给定方向上的发光强度为1cd,照度的单位:勒克斯(lx),1勒克斯=1流明/米24.什么是着色强度?什么是荧光强度?影响因素有哪些?答:缺陷内被吸附出来一定数量的渗透液,在显像后能显示色泽(或色相)的能力称着色强度(荧光强度).影响因素主要有两个:一是着色染料或荧光染料的种类色别,一是染料在渗透液中的溶解度.染料色别越鲜明,发光强度越大,染料在渗透液中的溶解度越大,则该渗透液的着色强度(荧光强度)越大.5.什么是过剩自由能?它的物理意义是什么?答:单位面积表面分子的自由能与单位面积内部分子的自由能之差值称为表面过剩自由能,其物理意义是增加(或减少)单位表面面积液体时,自由能的增值(或减值)6.什么是表面活性,表面活性剂?试通过表面活性剂分子结构简述其特性.答:凡能使溶剂的表面张力降低的性质称为表面活性,加入量很少就能大大降低溶剂表面张力并进而产生润湿,乳化和加溶等一系列作用的物质称为表面活性剂.表面活性剂一般都由非极性的亲油疏水的碳氢链部分和极性的亲水疏油的基团共同构成,而这两部分分处两端,使得表面活性剂是一种两亲分子,具有又亲水又亲油的两亲性质,这种两亲分子能吸附在油水界面上,降低油水界面的界面张力,吸附在水溶液表面上,降低水溶液的表面张力,从而起到润湿,乳化和加溶等作用.7.液体表面张力产生的原因是什么?答:液体分子之间存在着相互吸引力,在液体内部,对每个分子来说,它所受四周分子的引力作用是一样的,而处于表层液体的分子向外受气体分子的吸引,向内受液体分子的吸引,由于气体分子的浓度小于液体分子的浓度,液体表面层分子所受向内吸引力大于向外吸引力,合作用表现为受向内的拉力,这就形成了液体的表面张力.8.什么是乳化剂和乳化现象?简述乳化机理.答:由于表面活性剂的作用,使本来不能混合到一起的两种液体能够混到一起的现象称为乳化现象,具有乳化作用的表面活性剂称为乳化剂.乳化机理:加入表面活性剂后,由于表面活性剂的两亲性质,使之易于在油水界面上吸附并富集,降低了界面张力,改变了界面状态,从而使本来不能混合在一起的"油"和"水"两种液体能够混合到一起,其中一相液体离散为许多微粒分散于另一相液体中,成为乳状液.9.什么是表面张力,表面张力系数?表面张力系数的物理意义是什么?为什么说分子压强是表面张力产生的原因? 答:存在于液体表面试液体表面收缩的力称为表面张力.液面边界单位长度所具有的表面张力称为表面张力系数.表面张力系数的物理意义是将液面扩大(或缩小)单位面积,表面张力所作的功.因为分子压强的本质就是内部分子对表面层分子的吸引力,当液体表面积越小,受到此种吸引力的分子数目越少,体系能量越低越稳定,所以液体表面有自由收缩并使其表面积减少的趋势,并因此而产生了表面张力,所以说分子压强是表面张力产生的原因.10.渗透检测方法的基本原理是什么？答：渗透检测主要探查开口性缺陷，利用因为液体表面张力而产生的毛细管现象来实现对缺陷的渗透，从而达到显示缺陷形状和位置及大小的目的。

laplace 气压定律
Laplace气压定律是由法国物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）提出的，在流体力学中很重要。

根据这个定律，在一个静止的液体或气体中，对于曲线、曲面或界面上的每一个微小点，其内外两侧的压力差等于曲线、曲面或界面上所受作用力的法向分量除以单位面积。

数学表示为：ΔP = T/R，其中ΔP表示压力差，T表示作用力的法向分量，R表示曲线、曲面或界面的曲率半径。

这个定律在涉及到表面张力、泡沫、液滴、液体柱和其他与界面有关的现象中非常重要。

它也被应用于各种工程领域，如建筑、航空航天和海洋工程等。

拉普拉斯公式证明拉普拉斯公式在物理学和数学中都有着重要的地位，要证明它可得费一番功夫。

咱先来说说拉普拉斯公式到底是啥。

它描述的是一个关于曲面和曲面内外部压力差的关系。

简单点说，就是在一些特定的条件下，能通过这个公式算出相关的物理量。

想象一下，有一个气球，我们给它充气。

当气球被充起来的时候，它的表面就形成了一个曲面。

气球内部的气体对气球表面产生压力，而外部的大气压又对气球表面有另一种压力。

这时候拉普拉斯公式就能派上用场啦，能帮我们算出气球表面的张力啥的。

要证明拉普拉斯公式，咱们得从一些基础的概念和定理入手。

首先得了解啥是曲面的曲率，这就好比是说要知道一个弯路有多弯。

然后呢，还得搞清楚压力是咋分布的。

比如说，咱拿一个圆柱形的水桶来举例。

水桶的侧面就是一个曲面，当我们往水桶里加水的时候，水对桶壁的压力在不同的位置是不一样的。

靠近底部的地方压力大，越往上压力越小。

这其实就和拉普拉斯公式有点关系。

接下来咱们正经开始证明。

假设我们有一个很小很小的曲面元素，就像一块很小很小的补丁贴在曲面上。

然后通过一系列复杂的数学推导和物理分析，利用微积分的知识，把这个小曲面元素的各种物理量都表示出来。

这中间的过程可复杂啦，各种数学符号满天飞，什么积分、导数都得用上。

不过别担心，咱们一步步来。

在证明的过程中，得特别注意各种物理量的方向和正负号。

稍微不注意，整个证明就可能出错。

就像我之前给学生讲这个证明的时候，有个学生总是把压力的方向搞反，结果怎么也算不对。

我就一点点给他指出来，让他重新思考，最后他终于搞明白了，那种恍然大悟的表情，真让人欣慰。

经过一系列的推导和计算，最终就能得出拉普拉斯公式啦。

这个公式在很多实际问题中都非常有用，比如研究血管中的血压、肥皂泡的稳定性等等。

总之，拉普拉斯公式的证明虽然有点难，但只要咱们耐心细致，一步步来，还是能够搞清楚的。

它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多物理世界的秘密之门。

希望大家在学习的过程中，也能像探索未知的勇士一样，不怕困难，勇往直前！。