陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》4单位圆与诱导公式(2)导学案 北师大版必修4

陕西省榆林市育才中学高中数学 常见函数的导数导学案 新人教A 版选修1-1学习目标：掌握定义法求函数导数的方法，求熟练运用基本初等函数的求导公式，求常见函数的导数重点、难点：用定义推导常见函数的导数公式自主学习①：陕西省榆林市育才中学高中数学 常见函数的导数导学案 新人教A 版选修1-1 ②：'C (C 为常数)③：=)'(a x ④：=)'(log x a⑤：=)'(x a ⑥：=)'(x e⑦：=)'(ln x ⑧：=)'(sin x⑨：=)'(cos x合作探究：1.下列各项中，正确的为 （ ）①：2)'12(=+x ；②：21)'2(ln =；③：)(')]'([00x f x f =④：0)]'([0=x f A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④2.一质点的运动方程是tS sin 2= ①：求3π=t 时的速度；②：求该质点运动的加速度.3.求抛物线2x y =和直线1-=x y 间最短距离.练习反馈1. 用定义法推导233)'(x x =；x x 21)'(=2. 求函数x y 1=的图像在点（2，21）处的切线的方程.3. 若直线b x y +-=是函数xy 1=图像的切线，求b 及切点坐标.4. 若对于任意x ，有34)('x x f =，1)1(-=f ，则此函数=)(x f5. 直线321+=x y 能作为函数)(x f y =图像的切线吗？若能，求出切点坐标，若不能，简述理由：①x x f 1)(= ②4)(x x f = ③x x f sin )(= ④x e x f =)(。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案 北师大版必修2你的 疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言： 符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思 纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】 重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的 直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括 直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括 直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α， 直线l ____a ， 直线l ____b ，a ____A b =， 则α⊥l .天才在于积累 聪明在于勤奋。

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一 条件求值【例1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式化简和证明【例2】 求证：cos π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 32π－θ－1＋cos2π－θcos π＋θsin π2＋θ－sin 3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明 左边＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ1＋cos θ1－cos θ＝21－cos 2θ＝右边， 所以原式得证．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】 设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：sin 15π7＋α＋3cos α－13π7sin 20π7－α－cos α＋22π7＝a ＋3a ＋1.证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7]－cos[2π＋α＋8π7]＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝－a cos α＋8π7－3cos α＋8π7－a cos α＋8π7－cos α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin π－α＋5cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α的值．解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α， 即sin α＝－2cos α.∴sin π－α＋5 cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】 若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋αcos π2＋αsin 2π－α的值，则结果如何？解 原式＝cos α－sin α－sin αsin －α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】 若例3中的条件不变改为求sin π－α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos 3π2－α＋cos －π＋α的值．解 由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】 若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝ －31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵sin π－α＋5cos 2π－α2sin 3π2－α－sin －α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案 －135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 －125．化简：sin θ－5πcos －π2－θcos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－π＝________.解析 原式＝sin θ－πcos π2＋θcos －θsin θ＋π2[－sin θ＋π]＝－sin θ－sin θcos θcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求 cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：2sin θ－32πcos θ＋π2－11－2cos 2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)证明 ∵左边＝－2sin 32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ ＝－2sin[π＋π2－θ]－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案 －110．已知α为第二象限角，化简1＋2sin 5π－αcos α－πsin α－3π2－ 1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝1＋2sin α－cos αcos α－|cos 3π2＋α|＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案 －111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析 利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时， 原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式11 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》4单位圆与诱导公式（1）导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导角αππαα-±-,,的正、余弦函数 的诱导公式，并会用诱导公式进行简单三角函数式的求值与化简.2. 通过诱导公式的推导，进一步培养用几何法研究代数问题的方法，体会周期性、对称性在研究问题中的价值.【自主学习】1. 锐角α的终边与α-的终边位置关系如何？任意角α与α-呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角α-的终边与单位圆的交点'P 的坐标为 ____.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与α-的正、余弦函数之间的关系吗？2. 锐角α的终边与πα±的终边位置关系如何？任意角α与πα±呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角πα±的终边与单位圆的交点'P 的坐标为______.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与πα±的 正、余弦函数之间的关系吗？3.锐角α的终边与απ-的终边位置关系如何？任意角α与απ-呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角απ-的终边与单位圆的交点'P 的坐标为______.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与απ-的正、余弦函数之间的关系吗？4. 求下列函数值：（1）ο150cos ； （2）)45sin(π-； （3）)1320cos(ο-.【合作探究】1. 在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点)1312,135(-P ，写出点P 关于x 轴、y 轴 和原点对称的点的坐标，并分别求出角απαπααπ-+--2,,,的正弦函数值、余弦 函数值.2.化简：)sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ-----+.3. 利用单位圆，求适合下列条件的角的集合.（1）22cos -=α； （2）21sin ≤α.【课堂检测】 1.下列各式不正确的是（ ）A. ααsin )180sin(-=+οB. )cos()cos(βαβα--=+-C. ααsin )360sin(-=--οD. )cos()cos(βαβα+=-- 2.已知)30(31)sin(πααπ<<-=+，求)sin(απ-的值.3. 化简：)5sin()4sin()2sin()sin()3sin()sin(απαππαπααπαπ+----+--.【课堂小结】【课后训练】。

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》5正弦函数的性质导学案北师大版必修4【学习目标】1.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.2.能够灵活的应用正弦函数的性质解决相关问题.3.经历用正弦函数的图像研究正弦函数性质的过程，体会数形结合的思想.【重点难点】重点：正弦函数的性质及其应用.难点：应用正弦函数的性质解决相关问题.【使用说明】通过观察正弦函数的图像，总结正弦函数的性质，然后对照课本加以完善，最后通过小组讨论、合作探究进一步加深对正弦函数性质的理解.【自主学习】【合作探究】1. 利用五点法画出函数x y sin 1+=的简图，并根据图像讨论它的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1sin 1-=x y ； （2）1sin 2+=x y .3. 正弦函数的图像有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出对称轴方程 及对称中心的坐标；如果没有，请说明理由.【课堂检测】1. 函数x y sin 3=，当],[ππ-∈x 时，在区间_______________上是增加的，在区 间 ____________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值______；当=x ______时，y 取最小值______.2. 与右图中曲线对应的函数是（ ）A. |sin |x y =B. ||sin x y =C. ||sin x y -=D. |sin |x y -=3. 求函数x y sin 21-=的单调增区间，并判断其奇偶性.【课堂小结】【课后训练】2. 函数x y sin 2-=的定义域为_______________.3. 讨论函数x y sin 211-=的性质.（定义域、值域、周期性、单调性和奇偶性）。

《三角函数的诱导公式二、三、四》教学设计第一课时一、内容和内容解析 1．内容“诱导公式”包括5组公式，即诱导公式二至六，本单元的知知识结构如下图所示：本单元分为两课时完成，本节课为第一课时，主要探究诱导公式二、三、四，并围绕圆的对称性提出要研究的相关问题，形成研究的思路．2．内容解析我们知道，任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的，之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质，即同角三角函数的基本关系．圆有丰富的性质，对称性是圆的重要性质，如果用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而得到三角函数的诱导公式．角的基本构成元素就是顶点、始边、终边，在三角函数这一章的研究中，为了方便，使角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，因此变化的只有角的终边．首先从形的角度，研究圆的对称性，假设任意角α的终边与单位圆的交点为1P ，点1P 关于圆心或特殊直线的对称点为Q ，根据单位圆上这两个点的对称性，可以写出以OQ 为终边的角与角α的关系．接下来从数的角度，利用三角函数的定义，建立对称点坐标之间的关系，得到三角函数之间的关系即诱导公式．由此可见诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示．对于πα+，π2α+还可以从旋转对称的角度认知它们，与从轴对称认知的本质一致，而这样认知与诱导公式一，及后续的两角差的余弦公式的研究就一致了．因此这种变式为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作了铺垫．可见，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解決问题，发展学生直观想象核心素养的很好的载体．在数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数值表，并通过公式，将任意角转化为锐角进行计算．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以利用这些公式的“求值”已不是重点，但是研究这些公式时使用的数学思想方法，在解決三角函数的各种问题中却依然有重要作用．在本单元中，利用诱导公式解決问题，重要的是观察计算对象的特征，选择合适的诱导公式，确定恰当的求解路线，并实施计算求解问题．因此本单元是培养学生数学运算核心素养的很好的载体．因此本单元的教学重点是：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．此外，为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制．二、目标和目标解析1．目标（1）经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养．（2）初步应用诱导公式解決问题，积累解题经验，提升数学运算核心素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）在平面直角坐标系中，给出任意角α的终边与单位圆的交点P，结合单位圆的特殊对称性——关于原点对称和特殊直线对称，学生能分别画出相应的对称点Q，并利用圆的对称性给出坐标间的关系，利用三角函数的定义，用角表示两个点的坐标，并能求出以OQ为终边的角与角α的坐标之间的关系，从而建立三角函数之间的关系，即诱导公式．（2）学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明．特别是在遇到比较复杂的问题时，能根据运算对象的特点，选择合适的公式，确定恰当的求解方案，并能正确求解．在解题的基础上，能概括出利用诱导公式求解的一般程序．三、教学问题诊断分析本单元就单个知识点而言，比较好理解．但是公式比较多，当学生应用和记忆时会出现困难或者混淆．因此本节课的教学难点之一是：诱导公式的有效识记和应用．为破解这一难点，本节课的教学过程中要充分发挥单位圆的直观作用，提高学生的直观想象核心素养，理解诱导公式的本质：圆的对称性的代数化，三角函数的性质．学生能主动地依托单位圆，想象着它的对称性，就可以准确的记忆诱导公式．对于公式的应用，要提高学生分析问题的能力，即要形成一定的求解程序，提升学生的数学运算素养．学生在理解诱导公式时，总是有思维定势，以为α是锐角，于是导致解题时，通过角所在象限判断诱导公式的符号出错．所以本单元的第二个难点是：诱导公式中角α可以是任意角的理解．为破解这一难点，在推导诱导公式时要充分地应用变式．比如在推导公式二时，点1P 的位置一般选在第一象限，获得公式后，可以变化点1P 的位置，让学生观察：点1P 的位置变化时，点2P 与点1P 的坐标之间的关系．并抽象概括出这两点的坐标之间的关系与点1P 的位置无关．因此公式中的角α可以是任意角．在此基础上，配以具体题目，让学生感受这种概括的正确性．四、教学支持条件分析本单位可利用作图软件，画图呈现如上所述的对称性，并动态演示当点1P 的位置变化时对称点的坐标与它的坐标之间的关系不变．五、教学过程设计 （一）创设情境，引出问题导入语：前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了公式一，刻画“周而复始”这种変化规律及其几何意义．之后借助于单位圆的几何特征，获得了同一个角的三个三角函数之间的关系．我们知道，对称性是圆的重要性质，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的性质．问题1：如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点1P ，作1P 关于原点的对称点2P ．（1）以2OP 为终边的角β与角α有什么关系？ （2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善和梳理思路． 如图5.3-2，以2OP 为终边的角β都是与角πα+终边相同的角，即2ππβα=++()k ∈Z ()k ．因此，只要探究角πα+与α的三角函数值之间的关系即可．设111P x y (，)，222P x y (，)．因为2P 是点1P 关于原点的对称点，所以2121x x y y =-=-，． 根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； 2222sin πcos πtan πy y x x ααα+=+=+=()，()，()．设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性：在坐标系中关于原点对称，代数化，并得到诱导公式二．并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解決问题做好奠基工作．追问1：如果点1P 在第二象限，那么点2P 的坐标与点1P 的坐标之间有什么关系？如果点1P 在y 轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角α的终边可以在什么位置？师生活动：学生思考后给出解答：不论点1P 在哪里，点2P 的坐标与点1P 的坐标之间的关系都不変，即公式二对任意角α都成立．追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？ 师生活动：学生思考后给出回答，教师进行归纳：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系，从形的角度入手研究．第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了数形结合的思想方法．第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二，体现了联系性． 追问3：角πα+还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？ 师生活动：学生思考后给出回答：按逆时针方向旋转角π得到的．设计意图：追问1旨在帮助学生理解角α的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3则渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫．（二）类比探索，整体认知问题2：借助于平面直角坐标系，类比问题1你能说出单位圆上点1P 的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．师生活动：首先由学生独立思考，尽量多地写出点1P 的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点1P 关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如y x =；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．学生可能的答案有单位圆上点1P 的特殊对称点：第一类，点1P 关于x 轴、y 轴的对称点；第二类，点1P 关于特殊直线的对称点，如y x =，y x =-；第三类，点1P 关于x 轴的对称点，再关于特殊直线的对称点，或者点x 轴关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点等等．接下来，针对如上结论，从第一类到第三类依次解決，本课时可以先解決第一类．如图5.3-3，作1P 关于x 轴的对称点3P ，以3OP 为终边的角β都是与角α-终边相同的角，即2πk βα=+-()∈Z ()k ．因此，只要探究角α-与α的三角函数值之间的关系即可．设333P x y (，)，因为3P 是点1P 关于x 轴的对称点，所以3131x x y y ==-，．根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； 3333sin cos tan y y x x ααα-=-=-=()，()，()．如图5.3-4，作1P 关于y 轴的对称点4P ，以4OP 为终边的角β都是与角πα-终边相同的角，即2ππk βα=+-()∈Z ()k ．因此，只要探究角πα-与α的三角函数值之间的关系即可． 设444P x y (，)，因为4P 是点1P 关于y 轴的对称点，所以4141x x y y =-=，．根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； sin sin αα-=-()， cos cos αα-=()，4444sin πcos πtan πy y x x ααα-=-=-=()，()，()．追问4：公式三和公式四中的角α的终边可以在什么位置？ 预设答案：角α是任意角．设计意图：类比问题1，进一步探索发现．这是个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题1进行分析，解決问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．（三）初步应用，建立程序 例1 利用公式求下列三角函数值： （1）cos225°； （2）8πsin 3； （3）8πsin 3-()； （4）tan 2040ο-()． 追问5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程． 设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解決问题．问题3：由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按如下图步骤进行：设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养．例2 化简：cos 180sin 360tan 180cos 180ααααοοοο++()()(--)(-+)．sin πsin αα-=()， cos πcos αα-=-()，追问6：本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．（四）梳理小结，深化理解问题4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？师生活动：学生自主总结，展示交流．（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．（2）学到了三组诱导公式，研究方法是数形结合，注重联系．设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的硏究铺路奠基．（五）布置作业，深入研究（1）类比第一类问题的解決，即诱导公式二、三和四的探索发现过程，完成第二类和第三类问题．写出你的研究小报告，报告中先写出问题，再写出答案，并在下节课展示交流．（2）完成教科书P191练习，注重应用总结出来的程序．六、目标检测设计计算下列三角函数值：（1）cos420ο-()；（2）7πsin6-()；（3）tan1140ο-()；（4）77πcos6-()；（5）tan315ο；（6）11πsin4-()．设计意图：检测学生对基本知识和基本运算及基本技能的掌握情况．。

第二课时 y ＝sinx 和y ＝sin ωx 的图像， y ＝sinx 和 y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像 一、教学思路【创设情境，揭示课题】上一节课，我们已过y ＝sinx 和y ＝Asinx 的图像，y ＝sinx 和 y ＝sin （x ＋φ）的图像间的关系，请与y ＝Asin(ωx ＋φ)比较一下，还有什么样的我们没作过？ 【探究新知】 例一．画出函数y=sin2x x ∈R ；y=sin 21x x ∈R 的图象（简图）。

解：∵函数y=sin2x 周期T=π ∴在[0, π]上作图 令t=2x 则x=2t从而sint=sin2x列表：x函数y=sin 2x周期T=4π ∴在[0, 4π]上作图列表配套练习：函数y ＝sin 32x的图像与函数y ＝sinx 的图像有什么关系？引导, 观察启发 与y=sinx 的图象作比较，结论：1．函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。

由上例和练习可以看出：在函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)中，ω决定了函数的周期T ＝ωπ2，通常称周期的倒数f ＝T 1＝πω2为频率。

例二．画出函数y=3sin(2x+3π) x ∈R 的图象。

解：设-1小结平移法过程（步骤）两种方法殊途同归【巩固深化，发展思维】教材P58练习1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、布置作业:教材P62习题2、3、4四、课后反思。

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《立体几何初步》平行关系与垂直关系习题课导学案北师大版必修2【要点回顾】.1.平行关系的转化判定判定线线平行线面平行面面平行性质性质⑴直线与平面平行的判定定理：⑵平面与平面平行的判定定理：⑶直线与平面平行的性质定理：⑷平面与平面平行的性质定理：2.垂直关系的转化判定判定线线垂直线面垂直面面垂直性质性质⑴直线与平面垂直的判定定理：⑵平面与平面垂直的判定定理：⑶直线与平面垂直的性质定理：⑷平面与平面垂直的性质定理：【基础自测】1. 在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则αβ⊥；②如果直线a与平面β内的一条直线平行，则α//β；③如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则aβ⊥；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α//β.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D.42. 下列命题中，,m n表示两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列四个命题：①若,m nα⊥//α，则m n⊥；②若,αγβγ⊥⊥，则α//β；③若m//α,n//β，则m//n；④若α//β,β//γ,m⊥α，则mγ⊥；其中正确的命题的序号是_____________3. 已知α//β，A,C,α∈B,Dβ∈,直线AB,CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34.①当S在,αβ之间时，CS=_____；②当S不在,αβ之间时，CS=_____3.正方体1111ABCD A B C D-中，E,F,G,H分别为111111,,,AA CC C D D A的中点，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.【合作探究】1.已知直角梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,过A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点，现将∆ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.①求证：BC⊥平面CDE; ②求证：FG//平面BCD你的疑惑策略与反思纠错与归纳课题：平行关系与垂直关系习题课高一数学 天才在于积累 聪明在于勤奋2、如图，B 为∆ACD 所在的平面外一点，M,N,G 分别为∆ABC ，∆ABD ，∆BCD 的重心. ① 求证：平面MNG//平面ACD; ② 求证：:MNG DC s s ∆∆A【课堂检测】1. 设ABCD 和ABEF 均为平行四边形，它们不在同一平面，M, N 分别为对角线AC, BF 上的点，且AM ：FN=AC ：BF. 求证：MN // 平面BEC2. 已知∆ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，且EC ，DB 在平面ABC 的同侧，M 为EA 的中点，CE=CA=2BD. 求证： ①DE=DA ；② 平面BDM ⊥平面ECA ； ③ 平面DEA ⊥平面ECA.（提示：取AC 中点N ，连接MN ，BN ）【课后训练】1. 已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：① O C 1//平面11D AB ② ⊥C A 1 面 11D AB2四面体ABCD 中，BD=2a ，AB=AD=CB=CD=AC=a ， 求证：平面ABD ⊥平面BCD （提示：取BD 的中点E ）策略与反思 纠错与归纳策略与反思 纠错与归纳。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像（1）导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义.2. 通过作函数)sin(ϕω+=x A y 的图像，理解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.3. 会用“五点法”画函数)sin(ϕω+=x A y 的图像.【重点难点】重点：ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响.难点：)sin(ϕω+=x A y 的图像与函数x y sin =的图像间的关系.【使用说明】通过数形结合和由特殊到一般的思想方法，理解参数ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响，然后总结)sin(ϕω+=x A y 的图像与x y sin =的图像间的关系.【自主学习】1. 作函数x y sin 2=和x y sin 21=的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x A y sin =)0(>A 的图像？2. 画出函数)4sin(π+=x y 和)6sin(π-=x y 的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x y ωsin =)0(>ω的图像？4. 函数)sin(ϕω+=x A y ，R x A ∈>>,0,0ω的振幅为_______，周期=T _______， 频率=f __________，初相为________.【合作探究】1.阅读课本第49—51页，说明如何由x y sin =的图像变换得到1)62sin(3++=πx y的图像.思考：如何由x y sin =的图像变换到b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像？ 方法一： x y sin = x y ωsin = )sin(ϕω+=x y)sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω 方法二： x y sin = )sin(ϕ+=x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω2. 利用“五点法”作出函数1)62sin(3++=πx y 在一个周期内的简图.【课堂检测】1.为了得到函数)321sin(π-=x y 的图像，只需将x y 21sin =的图像上每一点（ ） A.横坐标向左平移3π个单位长度 B.横坐标向右平移3π个单位长度 C.横坐标向左平移32π个单位长度 D.横坐标向右平移32π个单位长度 2.将函数)542cos(π+=x y 的图像上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩 短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为______________________.3. 已知函数)34sin(8)(π+=x x f ，求函数)(x f 的周期、振幅、相位与初相.【课堂小结】。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3.能画出函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像.会利用单位圆或三角函数图像 推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π，正切函数 在)2,2(ππ-上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）.4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；会画)sin(ϕω+=x A y 的图像，体会参数ϕω,,A 对函数图像的影响.2.弧度制（1）1弧度的角： （2）弧度与角度的互化： （3）弧长公式和扇形面积公式： 3.任意角的三角函数 （1）定义：（2）三角函数值的符号：（3）诱导公式的口诀：4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质 函数x y sin =x y cos =x y tan =图像定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性【合作探究】1. 已知角α的终边在函数x y 21-=的图像上，求ααcos ,sin 和.tan α2. )sin()cos()23sin()2cos()3sin()(απαππααππαα----+---=f .（1）化简)(αf ； （2）若331πα-=，求)(αf 的值. 3. 函数)||,0,0()sin(πϕωϕω≤>>++=A b x A y 在一个周期内，当6π=x 时，y 取最小值1；当65π=x 时，y 取最大值3.请求出此函数的解析式.4. 求下列函数的值域： （1）)34cos(32π--=x y ； （2）2sin 1sin 3-+=x x y .【课堂检测】 1. 求函数)343sin(51π-=x y 的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x 值 的集合.2. 判断下列函数的奇偶性： （1）x x y cos 2+=；（2）x y sin 21=；（3）x x y sin 2=；（4）x x y tan cos -=.3. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.4. 比较下列各组函数值的大小：（1）532sin π和427sin π； （2）)2037cos(ο-和ο852cos ； （3）)718tan(π-和)843tan(π-.【课后训练】。