陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》1同角三角函数的基本关系(2)导学案 北师大版必修4

三角恒等变形同角三角函数的基本关系(含解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角恒等变形第一节 同角三角函数的基本关系例题：已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cosB )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan 2A 的值；(2)求2cos 2A 2－3sin A －12sin?A ＋π4的值．解：(1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2 A 2－3sin A －12sin?A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×－341＋－34＝13.A 组1．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________．解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010.∵sin α＝55，∴cos α＝ 1－(55)2＝255.∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22.∵0<β<π2，∴β＝π4.答案：π42．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为________．解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π.∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－45)×35＋(－35)×45＝－2425.答案：－24253．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________. 解析：tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－3＝－32.答案：－32 4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是___． 解析：由已知得32cos α＋12sin α＋sin α＝453，即12cos α＋32sin α＝45，得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－455．(原创题)定义运算a *b ＝a 2－ab －b 2，则sin π12*cos π12＝________.解析：sin π12*cos π12＝sin 2π12－sin π12cos π12－cos 2π12＝－(cos 2π12－sin 2π12)－12×2sin π12cos π12＝－cos π6－12sin π6＝－1＋234.答案：－1＋2346．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝12.又π2<α<π.所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.B 组·1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋tan α1－tan α＝cos α－sin αsin α＋cos α·1＋tan α1－tan α＝1－tan α1＋tan α·1＋tan α1－tan α＝1. 2．已知cos(π4＋x )＝35，则sin2x －2sin 2x 1－tan x的值为________． 解析：∵cos(π4＋x )＝35，∴cos x －sin x ＝352，∴1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725，∴sin2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin xcos x＝sin2x ＝725. 3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin(α－π3)＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，由已知得：(12＋32)sin α＝(12＋32)cos α，tan α＝1.4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈(π4，3π4)，α－π4∈(0，π2)，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝45.∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π4＋β)]＝－cos(α－π4)·cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)·sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝5665，即sin(α＋β)＝5665.5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.6．已知角α在第一象限，且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________. 解析：∵α在第一象限，且cos α＝35，∴sin α＝45，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝1＋2(22cos2α＋22sin2α)cos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(sin α＋cos α)＝2(45＋35)＝145.7．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为________．解析：a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17. 的值为______．解析：由tan(70°－10°)＝tan70°－tan10°1＋tan70°·tan10°＝3， 故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°＝tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)－3＝tan70°tan10°3tan70°tan10°＝33. 9．已知角α的终边经过点A (－1，15)，则sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值等于________． 解析：∵sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，∴sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝24cos α＝－ 2. 10．求值：cos20°sin20°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.解：原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40° ＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40° ＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40° ＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40° ＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2. 11．已知向量m ＝(2cos x 2，1)，n ＝(sin x 2，1)(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1. (1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (C )的值．解：(1)f (x )＝m ·n －1＝(2cos x 2，1)·(sin x 2，1)－1＝2cos x 2sin x 2＋1－1＝sin x .∵x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[－1,1]．(2)∵f (A )＝513，f (B )＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f (C )＝sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝513×45＋1213×35＝5665.∴f (C )的值为5665.12．(2010年南京调研)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos 2(β－π4)－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝－35×13＋45×223＝82－315.。

第24讲同角三角函数的基本关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明.知识点1同角三角函数的基本关系1、同角三角函数的基本关系基本关系基本关系式语言描述平方关系22sin cos 1αα+=同一个角的正弦、余弦的平方和等于1商数关系sin tan cos ααα=同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切2、基本关系式的要点剖析（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如22sin 3cos 31αα+=成立，但是22sin cos 1αβ+=就不一定成立．（2）2sin α是2(sin )α的简写，读作“sin α的平方”，不能将2sin α写成2sin α，前者是α的正弦的平方，后者是2α的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，22sin cos 1αα+=对一切R α∈恒成立，而sin tan cos ααα=仅对()2k k Z παπ≠+∈成立．知识点2关系式的常用等价变形1、2222222sin 1cos cos 1sin sin cos 1sin cos (sin cos )12sin cos αααααααααααα⎧=-⎪=-⎪⎪+=⇒=⎨⎪=⎪⎪+=±⎩2、sin tan cos sin tan sin cos cos tan ααααααααα=⎧⎪=⇒⎨=⎪⎩【注意】使用变形公式sin α=，cos α=时，“±”由α的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．知识点3基本关系式常用解题方法1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。

互余对偶——“灵动”的构造技巧数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，达到解决数学问题的目的．在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．三角中的正弦与余弦是两个对称元素，它们具有如下恒等关系式：①22sin cos 1αα+=；②22cos sin cos2ααα-=；③sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭； ④()sin cos cos sin sin αβαβαβ±=±；⑤()cos cos sin sin cos αβαβαβ±=． 如此，利用互余函数构造对偶式、借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答．下面我们通过实例来介绍构造对偶关系式以及如何对所构造的对偶关系式进行合理的运算处理．1．构造对偶式——求积例1．求32coscos cos 777πππ⋅⋅的值． 解：令32cos cos cos 777M πππ=⋅⋅， 构造对偶式32sin sin sin 777N πππ=⋅⋅ 16421321sin sin sin sin sin sin 877787778M N N ππππππ∴⋅=⋅⋅=⋅⋅= 又0N ≠ 18M ∴=． 点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消雪融了．解法自然、朴素，过程简洁，运算轻松！例2．求sin10sin 30sin 50sin 70︒⋅︒⋅︒⋅︒的值．解：令sin10sin 30sin 50sin 70M =︒⋅︒⋅︒⋅︒构造对偶式cos10cos30cos50cos70N =︒⋅︒⋅︒⋅︒则sin10cos10sin 30cos30sin 50cos50sin 70cos70M N ⋅=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒1111sin 20sin60sin100sin1402222=︒⋅︒⋅︒⋅︒ 11cos70cos30cos10cos501616N =︒⋅︒⋅︒⋅︒= 0N ≠ 116M ∴=． 点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题之目的．2．构造对偶式——求和例3．求35cos coscos 777πππ++的值． 解：35cos cos cos 777M πππ=++ 构造对偶式35sin sin sin 777N πππ=++ 则 1216110468sin sin sin sin sin sin 272727777M N ππππππ⋅=+++++ 1351sin sin sin 27772N πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 0N ≠ 12M ∴= 点评：灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，最后借助简单的三角公式完成了解答，充分体现了解题机智．3．构造对偶式——化简求值例4．求22sin 10cos 40sin10cos40︒+︒+︒⋅︒的值．解：令22sin 10cos 40sin10cos40M =︒+︒+︒⋅︒构造对偶式22cos 10sin 40cos10sin 40N =︒+︒+︒⋅︒，则2sin10cos 40cos10sin 402sin 50M N +=+︒︒+︒︒=+︒cos 20cos80sin10cos 40cos10sin 40M N -=-︒+︒+︒︒-︒︒12sin50sin30sin30sin502=-︒︒-︒=--︒ 2sin 501sin 502M N M N +=+︒⎧⎪∴⎨-=--︒⎪⎩ 34M ∴=． 点评：这是一道比较典型的三角求值题．通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜．这类试题在各类考试中深受命题者青睐：变题1．求22cos 73cos 47cos73cos47︒+︒+︒⋅︒的值．变题2．求22cos 10cos 50sin 40sin80︒+︒-︒⋅︒的值．变题3．求22sin 20cos 80cos80︒+︒︒⋅︒的值．变题4．求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒⋅︒的值．4．构造对偶式——求范围例5．若1sin cos 2αβ=，求cos sin αβ的取值范围． 解：1sin cos 2αβ= ① 令cos sin x αβ= ② 则 ①×② 得11sin 2sin 242x αβ=． 由sin 2α-1≤≤1，sin 2β-1≤≤1，1122x ∴-≤≤ 点评：利用现成的对偶式、假借三角公式，使问题本身变得简单、便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例6．若cos cos 1αβ+=，求sin sin αβ+的范围．解：cos cos 1αβ+= ① 令sin sin x αβ+= ②则两式平方和则()212cos 11x αβ+-+=+，()22cos 1x αβ∴-=-，由()22cos 2αβ--≤≤可知：213x -≤≤，于是x5．构造对偶式——求同角的三角函数值例7．若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值．解法一：构造对偶式3cos 4sin x θθ+=，则3sin 4cos 53cos 4sin x θθθθ+=⎧⎨+=⎩ ()()415sin 17203cos 27x xθθ⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sin cos 1θθ+=，得245x =代入()()12，后两式相除可得 3tan 4θ=． 解法二：构造对偶式3sin 4cos y θθ-=，则3sin 4cos 53sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩， 5sin 65cos 8y yθθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩， 再由22sin cos 1θθ+=，得75y =- 3tan 4θ∴=． 点评：这种构造法灵巧、富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力．6．构造对偶式——解方程例8．已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解方程222cos cos 2cos 31x x x ++=． 解：若令222cos cos 2cos 3M x x x =++构造对偶式222sin sin 2sin 3N x x x =++，则3M N += ①2cos2cos4cos62cos cos32cos 31M N x x x x x x -=++=+-()2cos3cos cos314cos cos2cos31x x x x x x =+-=-∴ 4cos cos 2cos31M N x x x -=- ②①+②，得()1cos cos2cos3224x x x A =-，又 1A = cos cos 2cos30x x x ∴= cos 0x ∴=或cos 20x =或cos30x = 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，6x π∴=或4x π=或2x π=． 点评：通过构造对偶式，创设了cos cos 2cos30x x x =这一美妙而又能打开局面的有利条件，可谓“高招”！“明月松间照，清泉石上流”，好一幅绝妙的对偶，让人感到美不胜收．在数学解题过程中，如果我们能恰当地运用对偶关系，不仅能提高解题速度，同样也会给人带来美的享受．它别开生面、独具“风味”，能在纷繁的困惑中求得简捷的解法，给人一种赏心悦目的感觉． 希望同学们在解题的过程中多注意归纳和总结拓展自己的解题路径，提高发散思维能力，最终达到提高解题能力的目的．。

高中数学-同角三角函数基本关系式一、同角三角函数的基本关系式如下图：在单位圆中，(),P x y 是圆上一点．正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者构成直角三角形，而且1OP =，因此221x y +=，即22sin cos 1αα+=．显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立． 根据三角函数的定义，当()2k k παπ≠+∈Z ，有sin tan cos ααα=． 语言描述为：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．【要点诠释】（1）注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，例如22sin 3cos 31ββ+=，但是22sin cos 1αβ+=就不一定成立了；（2）2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能将2sin α等效成2sin α，前者是角α的正弦的平方，后者是角2α的正弦，二者是不同的，要弄清区别并能正确书写；（3）借助于上述两个公式，已知角α的某一个三角函数值，则可以计算出另外两个三角函数值．二、同角三角函数的基本关系式的化简和求值1.利用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值．同角三角函数式化简过程中常用的方法：①对于根式，可以考虑将根式内部化为完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ②化切为弦，即把非正余弦的函数都化为正余弦函数，从而减少函数名称，达到化简目的．③对于高次三角函数式，可借助于因式分解，或构造22sin cos 1αα+=，以降低函数次数，达到化简的目的．2.弦化切问题已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式（可以是分式或者整式）：（1）对于分式齐次式（次数为n ），因为cos 0α≠，一般可在分子和分母中同时除以cos n α，此时把所求代数式转化成关于tan α的代数式，从而得解．例如若tan m α=，将代数式22223sin 2sin 64sin 5cos cos cos αααααα-++分子分母同时除以2cos α，得到表达式223tan 2tan 64tan 5ααα-++，然后直接代入求值即可． （2）对于整式齐次式（次数为n ），把分母“1”等价成()222sin cos n αα+，此时代数式转化为分式齐次式，然后按照（1）的处理方式处理．例如若tan m α=，则代数式224sin 2sin 3cos cos αααα-+等价于22224sin 2sin 3sin cos cos cos αααααα-++，接下来分子分母同时除以2cos α，得到表达式224tan 2tan 3tan 1ααα-++，然后再代入求值即可． 有的时候还会遇见非齐次多项式，但是通过适当处理，也许可以转化为齐次式，如已知tan m α=求解多项式3sin 53sin 2cos cos αααα-+，利用22sin cos 1αα+=，将分子分母都凑齐为三次齐次多项式()()()32222sin 5sin cos 3sin 2cos sin cos cos αααααααα-+++，接下来分子分母同时除以2cos α，得到表达式3232tan 5tan 53tan 2tan 3tan 2ααααα--+++，然后代入求值即可． 不难发现，对于上面三种情况，其实核心都是一样，关键在于对22sin cos 1αα+=这个恒等式理解和运用的是否到位．（3）同角三角函数的基本关系式的变形运用①简单变形：sin α=cos α=．②sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα三者之间的关系：()2sin cos 12sin cos αααα+=+； ()2sin cos 12sin cos αααα-=-；()()22sin cos sin cos 2αααα++-=．由以上三个关系式可以看出，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα三者，已知其中一个，则可以不必分别求出sin α和cos α来确定另外两者，而是利用整体的思想直接求解，这种思想在以后还会经常用到，要给予足够的重视．。

3.1 同角三角函数的基本关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin 24π+cos 24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意义的值,即α≠kπ+2π,k ∈Z . 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根. 三维目标1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法. 重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用. 课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:(1)sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 230°;(3)οο60cos 60sin ;(4)οο135cos 135sin .思路 2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义,借助单位圆将锐角推广到任意角,由此展开新课.推进新课新知探究 提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?图1如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠kπ+2π,k ∈Z 时,有ααcos sin =tanα(等式2). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切,我们分别称它们为平方关系和商数关系.②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠kπ+2π,k ∈Z.②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用等式2求出正切.同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义;同时必须注意同角这一前提.应用示例例1 已知sinα=54,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1-sin 2α=1-(54)2=259.又因为α是第二象限角,所以cosα＜0.于是cosα=259-=-53,从而tanα=34)35(54cos sin -=-⨯=αα. 点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tanα=-34中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果. 变式训练(2006上海,6)如果cosα=51,且α是第四象限角,那么cos(α+2π)=__________________. 解析:∵cosα=51,且α是第四象限的角, ∴sinα=22)51(1cos 1--=--α=-562. ∴cos(α+2π)=-sinα=562.答案:562 例2 已知cosα=-178,求sinα,tanα的值. 活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cosα＜0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x 轴的负半轴上(这时cosα=-1).解:因为cosα＜0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sinα= α2cos 1-=2)178(1--=1715,tanα=815)817(1715cos sin -=-⨯=αα, 如果α是第三象限角,那么sinα=-175,tanα=-34. 点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解. 变式训练已知cosα=1312,求sinα和tanα. 解:因为cos α=1312＞0,且cosα≠1,所以α是第一或第四象限的角. 当α是第一象限角时,sinα＞0. sinα=135)1312(1cos 122=-=-α.tana=1251213135cos sin =⨯=αα. 当α是第四象限角时,sinα＜0. sinα=125cos sin tan ,135cos12-==-=--αααα例3 已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα、cosα.活动:这是本节课本上的例3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα=ααcos sin ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cosα,进而求出sinα.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=1-cos 2α.又因为tanα=1cos 1cos cos 1cos sin tan ,cos sin 222222-=-==αααααααα所以 于是αααα2222tan 11cos ,tan 1cos 1+=+= 由tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而cosα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+，、，，、第三象限角为第二当第四象限角为第一当αααα22tan 11,tan 11sinα=cosαtanα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.tan 1tan tan 1tan 22第三象限角为第二当第四象限角为第一当、，，、，αααααα点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次. 变式训练已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα. 解:本题仿照上题可以比较顺利完成.sinα=⎪⎩⎪⎨⎧---，、第四象限角为第三当第二象限角为第一当αααα,cos 1,,,cos 122tanα=.cos cos 1cos cos 122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---第四象限角为第三当第二象限角为第一当、，，、，αααααα知能训练课本本节练习1 1、2、3、4. 课堂小结1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用.通过例题变式训练,我们知道可用它来求三角函数值或已知α的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值.2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系,在高考中占有很重要的位置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式. 3.注意公式的变形式的应用,如sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,sinα=cosα·tanα,cosα=ααtan sin 等. 作业课本习题1—8 1-4.设计感想1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法.2.本教案设计突出了同角关系式的地位,本节看似简单却作为全章的最后一节,其重要性不言而喻,这点应引起学生的注意,不是会背公式,会用公式就说明掌握了本节内容.3.本教案设计加强了解题步骤规范的要求,化简结果的简洁,分类讨论的取舍,象限角的判断等都对学生的综合能力有较高的要求,特别是象限角的判定等逻辑思维能力,需要有较高思维层次.第2课时导入新课思路1.(直接引入)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系.基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.本节课我们继续探究它的其他作用,由此展开新课.思路2.上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限,需要注意同角,那么对于复杂的三角恒等式的证明,以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢?下面我们一起先来探究三角恒等式的证明问题. 推进新课 应用示例例1 求证:xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从等式一边到另一边的证法,等式右边的非零因式1+sinα,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos 2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos 2x=1-sin 2x,也就是sin 2x+cos 2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程.这个过程往往从化简开始,因此在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始. 证法一:由cosx≠0,知sinx≠±1,所以1+sinx≠0,于是左边=x xx x x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1cos(sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22+=+=-+=+-+=右边. 所以原式成立.证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin 2x=cos 2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a -b=0⇔a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.证法三:因为x x x x x x x x x x x x x x cos )sin 1()sin 1(cos cos )sin 1()sin 1)(sin 1(cos cos cos sin 1sin 1cos 22---=--+-=+--=x x x x cos )sin 1(cos cos 22--=0,所以xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.要证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立. 变式训练求证:x x x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-•+. 分析一:从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.证明:右边=)sin )(cos sin (cos )sin (cos sin cos sin cos cos sin 1cos sin 12x x x x x x x x x x xx x x+-+=-+=-+=x x x x 22sin cos cos sin 21-•+=左边.分析二:由1+2sinx·cosx 立即联想到(sinx+cosx)2,这是公式的逆用.证明:左边=x x xx x x x x x x xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin sin cos cos sin 2cos sin 22222-+=-++=-•++ =xxtan 1tan 1-+=右边.例2 化简ο440sin 12-.活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于︒80cos ＞0,因此︒80cos 2=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.解:原式=︒-=︒+︒-80sin 1)80360(sin 122=︒80cos 2=cos80°.点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值. 变式训练化简:οο40cos 40sin 21-.答案:cos40°-sin40°.点评:提醒学生注意:1±2sinαcosα=sin 2α+cos 2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,这是一个很重要的结论.3.化简:θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+-. 活动:在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式,再作下一步讨论.化简的原则是灵活运用公式,保持等价转化. 解:因为cosθ≠0, 所以,原式=θθθθcos sin cos sin +=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤<++<<+-+≤<++<<.22232,0,2322,tan 2,222,0,222,tan 2ππθππππθππθππθππππθπθk k k k k k k k 当当当当(k ∈Z ).点评:三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少;②次数尽可能地低;③尽可能地不含分母;④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.总思路是:尽可能地化为同类函数再化简. 知能训练课本本节练习2 1、2 课堂小结由学生回顾本节所学的知识方法:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法. 作业1.化简(1+tan 2α)cos 2α. 2.已知tanα=2,求ααααcos sin cos sin -+的值.答案:1.1 2.3设计感想本教案注重了公式的正用、逆用及变形用,加强了一题多解.对可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.本教案设计注重了学生思维能力的训练.三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清晰一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.备课资料备用习题 1.已知sinα=54,且2π＜α＜π,则tanα的值等于( ) A.-34 B.-43 C.43 D. 432.若sinθ-cosθ=2,则sinθ·cosθ=_______,tanθ+θtan 1=______________, sin 3θ-cos 3θ=_______________,sin 4θ+cos 4θ=_____________.3.若a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则sinx+cosx=_______________.4.已知tanα=21-,求下列各式的值: (1)ααααcos sin sin cos 2+-;(2)2sin 2α+sin α·cosα-3cos 2α.5.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β+1=2sin 2α. 参考答案: 1.A 2.-21 -2 22 213.a4.解:(1)原式=51)21()21(21tan tan 2=+---=+-αα. (2)原式=1tan 3tan tan 2cos sin cos 3cos sin sin 2222222+-+=+-•+ααααααααα 5121)21(321)21(222-=+----=5.证明:由已知有1+tan 2α=2tan 2β+2=2(1+tan 2β),∴1+ββαα2222cos sin 1(2cos sin +=). ∴2cos 2α=cos 2β.∴2(1-sin 2α)=1-sin 2β.∴sin 2β+1=2sin 2α.。