2020-2021学年湖南衡阳县一中高一下期末数学(文)试卷 答案和解析

2021-2022学年湖南省衡阳市高一下期末考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数z =2i1−i，则z ﹣3z 的虚部为（ ） A ．﹣4B ．﹣4iC ．4D ．4i解：复数z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i ﹣1， 则z ﹣3z =−1+i ﹣3（﹣1﹣i ）＝2+4i ． 所以z ﹣3z 的虚部为4． 故选：C ．2．已知非零向量a →，b →满足|a →|=2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3解：非零向量a →，b →满足|a →|=2|b →|， 且(a →−b →)⊥b →，则（a →−b →）•b →=0， 即a →•b →=b →2=|b →|2；所以cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=|b →|22|b →|×|b →|=12，又θ∈[0，π]，所以a →与b →的夹角为θ=π3． 故选：A ．3．已知一个球的体积是4√3π，则它的内接正方体的表面积为（ ） A ．4√3πB ．12C ．48D ．24解：因为球的体积是：4π3R 3=4√3π， 故球半径R =√3，根据正方体的外接球的性质，正方体的中心即为外接球的球心，体对角线长为外接球的直径．设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则：2R =√3a ， 解得a ＝2，所以S ＝6a 2＝24（cm 2）．故选：D．4．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（）A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为85%解：在天气预报中预报“明天降水概率为85%”，对于A，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，并不是说其他15%地区不降水，故A错误；对于B，明天该地的每个地区都有85%的降水的可能性，并不是说其他时间不降水，故B错误；对于C，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，并不是说有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水，故C错误；对于D，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，故D正确．故选：D．5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．如果m∥α，n∥α，那么m∥nB．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥nC．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βD．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角不相等解：对于A，如果m∥α，n∥α，那么m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于B，如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n，故B正确；对于C，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D错误．故选：B．6．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（）A．18B．6C．3D．2解：∵正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4，“牟合方盖”的体积为18，∴正方体的内切球的体积V球=π4×18=92π，设正方体内切球半径为r，则43πr3=92π，解得r=3 2，∴正方体的棱长为2r＝3．故选：C．7．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（）A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为85%解：在天气预报中预报“明天降水概率为85%”，对于A，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，并不是说其他15%地区不降水，故A错误；对于B，明天该地的每个地区都有85%的降水的可能性，并不是说其他时间不降水，故B错误；对于C，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，并不是说有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水，故C错误；对于D，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，故D正确．故选：D．8．我国古代数学名著《九章算术•商功》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，如图为一个堑堵ABC﹣DFE，AB⊥BC，AB＝6，其体积为120，若将该“堑堵”放入一个球形容器中，则该球形容器表面积的最小值为（）A．100πB．108πC．116πD．120π解：设BC＝a，BF＝b，则该“堑堵”的体积V＝S△ABC•BF=12×6ab=120，整理，得ab＝40，要使“堑堵”放入球形容器，则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径，设其外接球的半径为R，∵在堑堵ABC﹣DFE中，BA，BC，BF两两垂直，∴堑堵ABC﹣DFE外接球的一条直径是以BA，BC，BF为相邻三条棱的长方体的体对角线，即2R=√AB2+BC2+BF2=√36+a2+b2，∵a2+b2≥2ab＝80，（当且仅当a＝b时，取等号），∴外接球的表面积S＝4πR2≥116π，∴球形容器的表面积最小值为116π．故选：C．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(−12，2) C ．实数a =−12是z =z （z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若z +|z |＝x +5i （x ∈R ），则实数a 的值为2 解：复数z ＝（a +i ）（1+2i ）＝（a ﹣2）+（2a +1）i ； 对于A ：当a ＝2时，z 为纯虚数，故A 正确； 对于B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，可得{a −2＜02a +1＜0，解得a ＜−12；故B 不对；对于C ：共轭复数Z ，需满足2a +1＝﹣2a ﹣1，可得a =−12，故C 正确； 对于D ：由z +|z |＝x +5i ，即2a +1＝5，可得a ＝2，故D 正确； 故选：ACD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．在△ABC 中，若AD →=12AB →+12AC →，则点D 是边BC 的中点 B ．已知a →=（﹣1，2），b →=（x ，x ﹣1），若（b →−2a →）∥a →，则x ＝﹣1C ．已知A ，B ，C 三点不共线，B ，C ，M 三点共线，若AM →=xAB →+(2x −1)AC →，则x =12D ．已知正方形ABCD 的边长为1，点M 满足DM →=12MC →，则AM →⋅AC →=43解：对于A ，取BC 中点E 则12AB →+12AC →=12(AB →+AC →)=AE →=AD →，则E 点与点D重合，所以D 是边BC 的中点．所以A 正确．对于B ，b →−2a →=（x +2，x ﹣5）a →=（﹣1，2），（b →−2a →）∥a →，所以x =13．所以B 不正确．.对于C ，若x =12则AM →=xAB →+(2x −1)AC →=12AB →，所以M 为AB 的中点．但条件没有．所以C 不正确． 对于D ，AM →⋅AC →=(AD →+DM →)(AD →+DC →)=AD →2+AD →⋅DC →+DM →⋅AD →+DM →⋅DC →=1+13=43．所以D 正确．故选：AD ．11．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A．成绩在[70，80）的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成绩的平均分约为72.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分解：对于A，由频率分布直方图得成绩在[70，80）的小矩形最高，∴成绩在[70，80）的考生人数最多，故A正确；对于B，由频率分布直方图得不及格的频率为：（0.005+0.015）×10＝0.2，∴不及格的考生人数为4000×0.2＝800，故B错误；对于C，考生竞赛成绩的平均分约为：x=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95×0.010×10＝72.5分，故C正确；对于D，[40，70）的频率为：（0.005+0.015+0.020）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.030×10＝0.3，∴考生竞赛成绩的中位数为：70+0.5−0.40.3×10≈73.3分，故D错误．故选：AC．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1=√6，AB=BC=2，AC=2√2，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（）A．异面直线BC与B1M所成的角为90°B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABCC．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°D．B1M⊥CM解：选项A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC∥B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M．∵AB＝BC＝2，AC=2√2，∴∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，又A1B1∩BB1＝B1，A1B1、BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°，∴选项A正确；选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，则DE ∥AM，DE＝AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角．在Rt△BNB1中，BB1=√6，BN=√22AB=√2，∴tan∠BNB1=BB1BN=√3，∴∠BNB1＝60°，即选项C正确；选项D，在△CMB1中，CM2＝AC2+AM2=192，MB12=A1B12+A1M2=112，B1C2=B1B2+BC2=10，显然CM2+MB12≠B1C2，即B1M与CM不垂直，∴选项D错误．故选：ABC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数z满足z（1﹣2i）＝5（i为虚数单位），则|z|＝√5．解：∵（1﹣2i）z＝5，∴z=51−2i=5(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5(1+2i)5=1+2i，故|z|=√1+4=√5，故答案为：√5．14．数据5，7，7，8，10，11的平均数是8，标准差是2．解：根据题意，对于数据5，7，7，8，10，11，其平均数x=16（5+7+7+8+10+11）＝8，方差S2=16[（5﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝4，则标准差s＝2；故答案为：8，2．15．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的表面积为12π．解：根据题意，作出如下所示的图形：设圆锥的底面半径为R ＝2，内接圆柱的底面半径为r ＝1，∵内接圆柱的体积为√3π，∴V ＝πr 2•BC ＝π•BC =√3π，∴BC =√3， ∵AB AC=r R，∴√3+AB=12，解得AB =√3，AC =2√3，∴圆锥的母线长AD =√AC 2+R 2=√(2√3)2+22=4． ∴该圆锥的表面积S ＝πR 2+πR •AD ＝4π+8π＝12π． 故答案为：12π．16．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为14，得到黑球或黄球概率是512，得到黄球或绿球概率是12，则任取一球得到黄球的概率为16．解：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球， 得到红球概率为14，得到黑球或黄球概率是512，得到黄球或绿球概率是12，∴袋中有红球：12×14=3个， 有黑球或黄球：12×512=5个， 有黄球或绿球：12×12=6个，∴黄球个数为：（5+6）﹣（12﹣3）＝2， ∴任取一球得到黄球的概率为P =212=16． 故答案为：16．四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分） 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →=(−4，−3)，BC →=（3，1）． （1）求BA →与BC →夹角的余弦值；（2）设AP →=λAC →，若BP ⊥AC ，求实数λ的值．解：（1）由AB →=(−4，−3)，BC →=(3，1)得，BA →=(4，3)，|BA →|=5，|BC →|=√10， ∴BA →⋅BC →=12+3=15， ∴cos ＜BA →，BC →＞=BA →⋅BC →|BA →||BC →|=5√10=3√1010； （2）AC →=AB →+BC →=(−1，−2)，∴AP →=λAC →=(−λ，−2λ)，BP →=BA →+AP →=(4−λ，3−2λ)， ∵BP ⊥AC ，∴BP →⋅AC →=−(4−λ)−2(3−2λ)=0，解得λ＝2．18．某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个．假设答对每道题都是等可能的，试求：（1）任选一道题目，甲乙都没有答对的概率； （2）任选一道题目，恰有一人答对的概率．解：（1）设A ＝“任选一道题目，甲答对”，B ＝“任选一道题目，乙答对”， 根据古典概型概率计算公式，得： P （A ）=1220=35，P （B ）=1620=45， ∴P （A ）=25，P （B ）=15，∴任选一道题目，甲乙都没有答对的概率为： P （AB ）＝P （A ）P （B ）=25×15=225． （2）任选一道题目，恰有一人答对的概率为： P （AB ∪AB ）＝P （AB ）+P （A B ） ＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ） =25×45+35×15 =1125．19．在①z ＜0，②z 为虚数，③z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知复数：z ＝（m 2﹣2m ﹣8）+（m 2﹣4）i ．（1）若______，求实数m的值；（2）若复数z﹣m2（1+i）+8的模为2√5，求m的值．解：（1）选择①z＜0，则{m2−2m−8＜0m2−4=0，解得m＝2．选择②z为虚数，则m2﹣4≠0，解得m≠±2．选择③z为纯虚数，则m2﹣2m﹣8＝0，m2﹣4≠0，解得m＝4．（2）z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i可知复数z﹣m2（1+i）+8＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i﹣m2（1+i）+8＝﹣2m﹣4i，依题意√(−2m)2+16=2√5，解得m＝±1，此时m＝±1．20．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了36件产品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见表．质量指标Y[9.8，10.2）[0.2，10.6）[0.6，11.0]频数61812年内所需维护次数201（1）每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标至少有一个在[10.2，10.6）内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为200元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加50元，该产品即可一年内免费维修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这36件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？解：（1）该厂产品的质量指标Y的平均值为：Y=10×6+10.4×18+10.8×1236≈10.47．（2）由分层抽样方法知：先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8，10.2）的有1件，记为A，在[10.2，10.6）的有3件，记为B1，B2，B3，在[10.6，11.0]的有2件，记为C1，C2，从6件中随机抽取2件，共有15个基本事件分别为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（C1，C2），其中满足条件的基本事件有12个，分别为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），∴这2件产品的指标至少有一个在[10.2，10.6）内的概率为：P=1215=45．（3）设每件产品的售价为x元，假设这36件产品每件都不购买服务，则平均每件产品的消费费用为：s=136（36x+6×400+12×200）＝x+4003（元），假设这36件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为：s=136[36（x+50）+6×200]＝x+2503（元），∴该服务值得消费者购买．21．如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝4，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM 折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）设Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ=14DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．（1）证明：∵平行四边形ABCM，∴AB∥CM，∴∠BAC＝∠ACM＝90°，即AB⊥AC，∵AB⊥DA，AC∩AD＝A，AC、AD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD，∵AB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：过点Q作QE⊥AC于点E，则QE∥DC，∵DQ=14DA，∴QEDC=AQAD=34，∵DC＝CM＝AB＝4，∴QE＝3，∵∠ACM＝90°，△ACD由△ACM翻折而来，∴DC⊥CA，由（1）知，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，∴DC⊥平面ABC，∴QE⊥平面ABC，即点Q到平面ABC的距离为QE，∵BP=14BC，AB＝AC＝4，且AB⊥AC，∴S△ABP=14S△ABC=14×12•AB•AC=14×12×4×4＝2，∴三棱锥Q﹣ABP的体积V Q﹣ABP=13•S△ABP•QE=13×2×3＝2．22．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意上述A，B两地区分别随机调查的20个用户中，再分别随机抽取1人，求其中来自A地区的用户的满意度等级高于来自B地区的用户的满意度等级的概率；（Ⅲ）设上述A地区随机抽查的20个用户的满意度评分的平均数为x A，方差为s A2；B地区随机抽查的20个用户的满意度评分的平均数为x B，方差为s B2；比较x A与x B，s A2与s B2的大小（直接写出结论）．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下．通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”记C A1为事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，记C A2为事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”，记C B1为事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．记C B2为事件：“B地区用户的满意度等级为满意”．则C A1与C B1相互独立，C A2与C B2相互独立，C B1与C B2互斥，于是：C＝C B1C A1∪C B2C A2．所以P（C）＝P（C B1C A1∪C B2C A2）＝P（C B1C A1）+P（C B2C A2）＝P（C B1）P（C A1）+P（C B2）P（C A2）．由题知，C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820． 故P （C A 1）=1620，P （C A 2）=420，P （C B 1）=1020，P （C B 2）=820， 故P(C)=1020×1620+820×420=0.48．即C 的概率为0.48．（Ⅲ）x A ＞x B ，s A 2＜s B 2．。

湖南省衡阳市部分校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(1)0}A x x x =-=，2{|1}B x x ==，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{1，0}C ．{1-，1}D ．{1}〖解 析〗由已知得{0A =，1}，{1B =-，1}，则{1A B =-，0，1}．〖答 案〗A2．下列调查中，调查方式选择合理的是( ) A ．了解某市高一年级学生的身高情况，选择普查B ．了解长征运载火箭的设备零件质量情况，选择抽样调查C ．了解一批待售袋装牛奶的细菌数是否达标，选择普查D ．了解一批炮弹的杀伤力，选择抽样调查〖解 析〗AC 总量太大不适合普查，B 应该普查，根据抽样调查和普查的特点即可判断D 正确． 〖答 案〗D3．若一个圆锥的底面面积为π，其侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积 为( )A B ．3C D ．〖解 析〗设该圆锥的底面半径为r ，则2r ππ=，所以该圆锥的底面半径1r =，设圆锥的母线长为l ，则223l r ππ=，即3l =因此该圆锥的体积2113V π=⨯⨯．〖答 案〗B4．袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是( ) ①A 与B 是互斥但不对立事件②B 与C 是对立事件 ③A 与C 是互斥但不对立事件 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③〖解 析〗由题意可知：样本空间Ω中基本点有2615C =个， {(1,3)A =，(1,5)，(3,5)}，{(2,4)B =，(2,6)，(4,6)，(1,3)，(1,5)，(3,5)}，{(1,2)C =，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)}，①A B ⊆，A 与B 不是互斥事件，①错误； ②B C =∅，B C =Ω，B ∴与C 是对立事件，②正确； ③AC =∅，AC ≠Ω，A ∴与C 是互斥但不对立事件，③正确．〖答 案〗C5．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则(DF = )A ．1233AB AD -+B ．2133AB AD -+C ．1233AB AD - D ．2133AB AD -〖解 析〗因为E 是BC 的中点，//AD EC ，所以||||2||||DF AD EF EC ==， 所以222121()()333233DF DE DC CE AB AD AB AD ==+=-=-．〖答 案〗D 6．“21xx +”是“2320x x ++”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗21x x +⇔220011x x x x +-⇔++，则21x -<-， 2320x x ++，21x ∴--，[2-，1)[2--，1]-，故“21xx +”是“2320x x ++”的充分不必要条件．〖答 案〗A7．科学记数法是一种记数的方法．把一个数x 表示成a 与10的n 次幂相乘的形式，其中110a <，n N ∈．当0x >时，lgx n lga =+．若一个正整数m 的16次方是12位数，则m 是( )（参考数据：20.30lg ≈，30.48)lg ≈ A ．4B ．5C ．6D ．7〖解 析〗由题意可设16lgm n lga =+，因为正整数m 的16次方是12位数，所以11n =，所以1611lgm lga =+， 因为110a <，所以01lga <，所以111612lgm <，则113164lgm <， 又4220.6lg lg =≈，5120.7lg lg =-≈，6230.78lg lg lg =+≈，所以5m =． 〖答 案〗B8．已知ABC ∆的顶点都在球O 的表面上，若2,4AB ACB π=∠=，球O 的表面积为16π，则点O 到平面ABC 的距离为( )A ．1B ．2C D ．2〖解 析〗如图，设1O 是ABC ∆外接圆的圆心，所以由正弦定理可得112sin ABAO ACB=⨯∠，因为球O 的表面积为16π，即2416R ππ=，所以球O 的半径2R =，从而点O 到平面ABC =〖答 案〗C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知m ，n R ∈，复数13z m i =+，2142z z i =+-，且2z 为纯虚数，复数1z 的共轭复数为1z ，则( ) A ．4m =- B ．2||2z =C ．143z i =--D ．复数1z 的虚部为3i -〖解 析〗由题可知2342(4)z m i i m i =++-=++， 对于A ：因为2z 为纯虚数，所以4m =-，故A 正确； 对于2:||1B z =，故B 错误； 对于1:43C z i =--，故C 正确；对于D ：复数1z 的虚部为3-，故D 错误． 〖答 案〗AC10．已知向量(,2)a m =-，(3,1)b m =+，且a b ⊥，c 是与a 同向的单位向量，则( )A ．2m =B ．(3,2)b =C ．||26a b -=D ．2(,2c = 〖解 析〗对于选项A ，根据a b ⊥，求出2m =的值，故A 正确； 对于选项B ，由2m =，得(3,3)b =，故B 错误； 对于选项C ，(2,2)a =-，(3,3)b =， 可得(1,5)a b -=--，所以||26a b -=，故C 正确；对于选项D ，因为单位向量c 与a 同向，所以2(,||2a c a ==，故D 正确． 〖答 案〗ACD11．如图，这是一个正方体的平面展开图，P ，Q ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，EN ，AE 的中点，则在该正方体中( )A ．//PH GQB ．GH 与BC 是异面直线 C ．GH ，PQ ，AD 相交于一点D ．QG BN ⊥〖解 析〗将正方体的平面展开图还原，得到如图所示的正方体ABCD EFMN -，对A ，因为//EG BQ ，且EG BQ =，故四边形EGQB 为平行四边形，故//EB GQ ， 又//PH EB ，则//PH GQ 成立，故A 正确；对B ，因为P ，Q ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，EN ，AE 的中点，所以GH ⊂平面ADNE ， 平面//ADNE 平面BCMF ，且GH 与BC 不平行，所以两直线是异面直线，故B 正确； 对C ，//PH GQ ，PH GQ ≠，则GH ，PQ 相交，设相交于点I ，因为平面EADN ⋂平面ABCD AD =，GH ⊂平面EADN ，PQ ⊂平面ABCD ， 所以I AD ∈，即GH ，PQ ，AD 相交于一点．故C 正确；对D ，连接CN ，因为//GQ CN ，CN 与BN 不垂直，所以QG 与BN 不垂直．故D 错误． 〖答 案〗ABC12．设函数2()cos()(0)3f x x πωω=->，已知()f x 在[0，]π上有且仅有4个零点， 则( )A ．ω的取值范围是1925[,)66B ．()y f x =的图象与直线1y =在(0,)π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在(0,)π上的交点恰有2个D ．()f x 在(,)42ππ上单调递减〖解 析〗当[0x ∈，]π时，22[33x ππω-∈-，2]3ππω-， 因为()f x 在[0，]π上有且仅有4个零点， 所以527232ππππω-<，解得192566ω<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在22[,]33πππω--上有且仅有4个零点， 且527232ππππω-<， 则在27[,)32ππ-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在(0,)π上两次出现最大值1，即23x πω-取0，2π时，()y f x =取最大值， 故()y f x =的图象与直线1y =在(0,)π上的交点恰有2个，故B 正确； 由于当(0,)x π∈时，22[33x ππω-∈-，2]3ππω-，527232ππππω-<， 当23x πωπ-=-时，()y f x =取最小值1-，由于23x πω-是否取到3π不确定， 故()y f x =的图象与直线1y =-在(0,)π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当(,)42x ππ∈时，222(,)34323x πωππωππω-∈--，因为192566ω<，所以2043ωππ->，11217122312πωπππ-<， 故223ωππ-的值不一定小于π， 所以()f x 在(,)42ππ上不一定单调递减．〖答 案〗AB三、填空题：本题共4小题，每小题100分，共20分，把〖答 案〗填在答题卡中的横线上. 13．（100分）某机构组织填写关于环境保护的知识答卷，从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第80百分位数为 ． 〖解 析〗这组数据为68，81，81，83，86，88，90，因为780% 5.6⨯=，所以这7份试卷成绩的第80百分位数为88． 〖答 案〗8814．已知1tan()42πθ+=，则sin cos sin cos θθθθ+=- ．〖解 析〗由tan 11tan()41tan 2πθθθ++==-，解得1tan 3θ=-，∴sin cos tan 11sin cos tan 12θθθθθθ++==---．〖答 案〗12-15．已知a ，b R ∈，3a i +是关于x 的方程220x x b ++=的根，则a b += ． 〖解 析〗由题可知2(3)2(3)0a i a i b ++++=，即2(29)(66)0a a b a i +-+++=， 所以2290,660,a a b a ⎧+-+=⎨+=⎩解得1,10,a b =-⎧⎨=⎩，所以9a b +=．〖答 案〗916．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 所在平面内的一点，则()()PA PB PE PF +⋅+的最小值为 ．〖解 析〗如图所示，以该正八边形的中心O 为原点，过O 与AB 平行的直线为x 轴，如图建立平面直角坐标系，再设M ，N 分别为AB ，EF 的中点，易知(0,1N +，(0,1M -，再设(,)P x y ，而()()2244(,1)(,1)PA PB PE PF PM PN PM PN x y x y +⋅+=⋅=⋅=--⋅-+2224[1)]128x y =+---（当且仅当0x y ==取等号），故所求的最小值为：12--．〖答 案〗12--四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示．（1）求()f x 的〖解 析〗式； （2）将()f x 的图像向右平移6π个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求()g x 的〖解 析〗式．解：（1）由函数图像可得2A =，134884T πππ=-=，所以T π=，则22Tπω==，又()2sin(2)288f ππϕ=⨯+=，所以242k ππϕπ+=+，即2,4k k Z πϕπ=+∈，因为||2πϕ<，所以4πϕ=，所以()2sin(2)4f x x π=+．（2）将()f x 图像向右平移6π个单位，可得2sin[2()]2sin(2)6412y x x πππ=-+=-， 再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得()2sin()12y g x x π==-．18．（12分）为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：)cm 按[140，150)，[150，160)，[160，170)，[170，180)，[180，190]分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a 并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在[150，170)的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160cm 的概率．解：（1）0.1(0.030.0280.0120.01)0.02a =-+++=．平均数为(1450.011550.021650.031750.0281850.012)10166.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 即这100名学生身高的平均数为166.2；（2）身高在[150，160)的学生有100100.0220⨯⨯=人， 身高在[160，170)的学生有100100.0330⨯⨯=人， 故身高在[150，170)的学生共有50人，用分层抽样的方法从身高在[150，160)的学生中抽取2525⨯=名，记为1，2， 从身高在[160，170)的学生中抽取3535⨯=名，记为a ，b ，c ．从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为ab ，ac ，1a ，2a ，bc ，1b ，2b ，1c ，2c ，12，共10种，其中这2人中至少有1人身高不低于160cm 的结果有9种． 故所求概率910P =． 19．（12分）在①//m n ；②2cos m n a B ⋅=两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,(cos ,cos ),(,)a b c m A B n b a ==，_______． （1）若3C π=，求A ；（2）已知42,cos 5c C ==，求ABC ∆的面积． 解：（1）选①，因为//m n ，所以cos cos 0a A b B -=，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =， 由于在ABC ∆中A ，(0,)B π∈，从而A B =或2A B π+=，因为3C π=，故2A B π+=舍去，所以3A π=；选②，因为2cos m n a B ⋅=，所以cos cos 2cos b A a B a B +=，即cos cos 0b A a B -=， 由正弦定理可得sin cos sin cos B A A B =，即sin()0B A -=， 由于在ABC ∆中A ，(0,)B π∈，(,)B A ππ-∈-， 从而A B =，因为3C π=，所以3A π=．（2）若选①，由以上解答可知，A B =或2A B π+=，因为4cos 5C =，故2A B π+=不合题意，所以A B =，则a b =，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，可得2242452a a -=，解得a =因为4cos 5C =，所以3sin 5C =，从而ABC ∆的面积为213325⨯⨯=．若选②，由（1）解答可知，A B =，则a b =，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，可得2242452a a -=，解得a =因为4cos 5C =，所以3sin 5C =，从而ABC ∆的面积为213325⨯⨯=．20．（12分）已知函数4()log (65)x x f x m =+⋅． （1）当1m =-时，求()f x 的定义域；（2）若()2f x 对任意的[0x ∈，1]恒成立，求m 的取值范围．解：（1）因为函数4()log (65)x x f x m =+⋅，当1m =-时，4()log (65)x x f x =-， 令650x x ->，得65x x >，即6()15x >，解得0x >，所以函数4()log (65)x x f x =-的定义域是(0,)+∞；（2）若()2f x 对任意的[0x ∈，1]恒成立，即[0x ∈，1]时，不等式4log (65)2x x m +⋅恒成立，所以06516x x m <+⋅，即65166x x x m -<⋅-，可化为6166()()555x x x m -<-，当[0x ∈，1]时，6()[15x ∈，6]5，所以66()[55x -∈-，1]-，因为函数166()()55x xg x =-是定义域上的单调减函数，其最小值为()min g x g =（1）166255=-=， 所以m 的取值范围是(1-，2]．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2AP PD DC ===，AB =90ADC APD ∠=∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：AP ⊥平面PDC ；（2）若E 是棱PA 的中点，且//BE 平面PCD ，求点D 到平面PAB 的距离．（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，2AP PD DC ===，AB =90ADC APD ∠=∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，又AD DC ⊥，所以DC ⊥平面PAD ，所以DC AP ⊥，因为DP AP ⊥，且DPDC D =，所以AP ⊥平面PDC ；（2）解：取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，EQ ，因为E 是棱PA 的中点，所以//EQ PD ，又EQ ⊂/平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以//EQ 平面PCD ，因为//BE 平面PCD ，BE EQ E =，所以平面//BEQ 平面PCD ， 又平面BEQ ⋂平面ABCD BQ =，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，所以//BQ CD ，即AD BQ ⊥，所以AQ DQ ==3BQ =，PQ =，BP =因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，又AD PQ ⊥，所以PQ ⊥平面ABCD ，所以113232P ABD V -=⨯⨯，在PAB ∆中，122PAB S ∆==， 设点D 到平面PAB 的距离为h ，因为P ABD D PAB V V --=，所以123=，解得h ，所以点D 到平面PAB ．22．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12． （1）比赛完3场时，求三人各胜1场的概率；（2）比赛完5场时，求丙恰好有一次两连胜的概率．解：（1）设甲与乙比赛甲获胜为事件A ，丙与乙比赛乙获胜为事件B ，丙与甲比赛丙获胜为事件C ，且A ，B ，C 相互独立，则1()()()2P A P B P C ===． 设“比赛完3场时，三人各胜1场”为事件M ， 则1111111()()()()()()()()()2222224P M P A C B P A B C P A P C P B P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯=． （2）当丙恰好是第二场和第三场两连胜时，111112228P =⨯⨯=， 当丙恰好是第四场和第五场两连胜时，211112228P =⨯⨯=， 所以丙恰好有一次两连胜的概率为111884+=．。

【详解】∵ ，∴ ，
故 ，故选B.
【点睛】本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.
3.过点 且与直线 平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意设所求直线为： ，再由直线过点 ，即可求出结果.
【详解】因为所求直线与直线 平行，因此，可设所求直线为： ，
湖南省2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝｛x ｜0≤x≤3｝，B＝｛x R｜－2＜x＜2｝则A∩B( )
A. {0,1}B. {1}C. [0,1]D. [0,2)
又所求直线过点 ，
所以 ，解得 ，
所求直线方程为： .
故选：D
【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型.
4.圆 ，那么与圆 有相同的圆心，且经过点 的圆的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
圆 的标准方程为 ，圆心 ，故排除 、 ，
代入 点，只有 项经过此点，也可以设出要求的圆的方程： ，再代入点 ，可以求得圆的半径，为 ．
点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．
15.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _______．
【答案】A
【解析】

衡阳县2020学年高一下学期期末考试数学试题考生注意： 1、本卷时量：120分钟，满分：100分；2、答题前，请考生先将自己的学校、姓名、考室号、座位号在答题卡上填写清楚；3、交卷只交答题卡，请将答案填到答题卡上，否则计0分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长为( )A ．3πB ．3C ．32π D ．32 2．已知ABCD 为平行四边形，若向量,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则向量BC uuu r 为( ) A ．a b -r r B ．a b +r r C ．b a -r r D ．a b --r r3．点P(tan 2018,cos 2018︒︒)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数2()sin f x x =是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数5．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(单位：分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5)，[5，10)，…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.77．已知向量a r ，b r 满足1,1a a b =⋅=-r r r ，，则(2)a a b ⋅-r r r =( )A ．4B ．3C ．2D ．08．已知‘21tan(),tan()544παββ+=-=，则tan()4πα+的值为 A ．16 B ．2213 C ．322 D ．13189．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωω=+>-<<的部分图像如图所示，则ω、ϕ 的值分别是( )A ．2，3π-B ．2，6π-,C ．4，6π-D ．4，3π 10．如图是把二进制数11111（2）转化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A ．i>47B ．i≤47 C．i>57 D ．i≤57二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分·11、如图所示，给出一个算法，根据该算法，可求得(1)(2)_________f f -+=．12．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．若用分层抽样从中抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ________个．13．已知向量(2,3),(2,1)a b ==-r r ，则a r 在b r 方向上的投影等于_________．14．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率是_________．15．已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6：30--7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45-7：15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是__________．三、解答题：本大题共5小题，共40分·解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、(本题满分6分)已知a r =(1，2)，b r =(一3，2)，。