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2020年湖南省衡阳市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a53．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣84．下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2 B．＝±2 C．＝3 D．30＝15．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠07．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3 B．3C．6 D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．因式分解：a2+a＝．14．（计算：﹣x＝．15．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．16．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．18．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是．三、解答题（共66分）19．（6分）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a ＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：A．2．【解答】解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；a2•a3＝a2+3＝x5，因此选项D符合题意；故选：D．3．【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A．4．【解答】解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、≠3，故此选项错误；D、30＝1，故此选项正确；故选：D．5．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．8．【解答】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选：B．9．【解答】解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示为：．故选：C．10．【解答】解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．11．【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．【解答】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．故选：B．二、填空题13．【解答】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．14．【解答】解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．15．【解答】解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．16．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．17．【解答】解：设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有2x﹣17+x＝52，解得x＝23．故女生有23名．故答案为：23．18．【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题19．【解答】解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．20．【解答】解：（1）由概率的意义可得，＝，解得，n＝1，答：n的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P（一白一黑）＝，21．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．22．【解答】解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×＝36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．23．【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12，即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．24．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．25．【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝是函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．26．【解答】解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，当点H落在AC上时，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴点E的运动路程为1，∴t＝1时，点H落在AC上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．由题意：（t﹣3）2﹣••（3t﹣13）＝，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t＝或（舍弃），∴满足条件的t的值为．（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t＝当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t＝，∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s），当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t＝，当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t＝，点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长＝+＝（s）。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣解析：根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．参考答案：解：﹣3的相反数是3．故选：A．点拨：本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5解析：根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．参考答案：解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；a2•a3＝a2+3＝x5，因此选项D符合题意；故选：D．点拨：本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．3．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．参考答案：解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A．点拨：此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n的值．4．（3分）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1解析：根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂即可解答．参考答案：解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、≠3，故此选项错误；D、30＝1，故此选项正确；故选：D．点拨：本题考查了算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，解决本题的关键是熟记算术平方根、绝对值、立方根的定义，零指数幂的运算法则．5．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线解析：直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．参考答案：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．点拨：此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．6．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0解析：直接利用分式有意义的条件分析得出答案．参考答案：解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．点拨：此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD解析：根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD 是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．参考答案：解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．点拨：本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．解析：根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．参考答案：解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选：B．点拨：本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．解析：分别求出①②的解集，再找到其公共部分，在数轴上表示出来即可求解．参考答案：解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示为：．故选：C．点拨：本题考查了解一元一次不等式（组）的解集和在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．10．（3分）反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小解析：根据反比例函数y＝经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．参考答案：解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．点拨：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600解析：若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．参考答案：解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6解析：根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高BM的长，从而可以求得平行四边形的面积．参考答案：解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y ＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．故选：B．点拨：本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：a2+a＝a（a+1）．解析：直接利用提取公因式法分解因式得出答案．参考答案：解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．点拨：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（3分）计算：﹣x＝1．解析：直接利用分式的基本性质化简进而计算即可．参考答案：解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．点拨：此题主要考查了分式的加减法，正确化简分式是解题关键．15．（3分）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于12．解析：根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．参考答案：解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．点拨：本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．16．（3分）一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为105°．解析：利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．参考答案：解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．点拨：本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件∠D＝45°，∠3＝60°．17．（3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有23名．解析：设女生有x名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解．参考答案：解：设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有2x﹣17+x＝52，解得x＝23．故女生有23名．故答案为：23．点拨：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．解析：根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OP n＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．参考答案：解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．点拨：此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．解析：根据单项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简即可．参考答案：解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．点拨：此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．解析：（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．参考答案：解：（1）由概率的意义可得，＝，解得，n＝1，答：n的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P（一白一黑）＝，点拨：本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．解析：（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．参考答案：（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．点拨：此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）解析：（1）根据题意和直方图中的数据，可以计算出1300≤x＜1700这一组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数；（3）根据小华给出的数据，可以计算出在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人．参考答案：解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×＝36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．点拨：本题考查频数分布直方图、近似数和有效数字、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA ＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）解析：（1）解Rt△AOC即可求出OC的长；（2）求出∠B′OE＝60°，在Rt△△B′OE中求出B′E，进而求出B′D．参考答案：解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12，即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．点拨：本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．解析：（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC＝，根据勾股定理得到CD＝＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．参考答案：解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．点拨：本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰三角形的判定和性质、扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q 的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．解析：（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝是函数有最小值﹣，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．参考答案：解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝是函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．点拨：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC 在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．解析：（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，因为正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，推出此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．构建方程求解即可．（3）分别求出点M第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的时长即可解决问题．参考答案：解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，当点H落在AC上时，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴点E的运动路程为1，∴t＝1时，点H落在AC上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．由题意：（t﹣3）2﹣••（3t﹣13）＝，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t＝或（舍弃），∴满足条件的t的值为．（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t＝当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t＝，∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s），当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t＝，当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t＝，点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长＝+＝（s）．点拨：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣2．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5 3．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8 4．（3分）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1 5．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠07．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小11．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：a2+a＝．14．（3分）计算：﹣x＝．15．（3分）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．16．（3分）一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．17．（3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA ＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC 在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．。
2020年衡阳市中考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣2．下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5 3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣84．下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝15．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠07．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x 轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．因式分解：a2+a＝．14．计算：﹣x＝．15．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．16．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．18．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A 在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH 和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．解：﹣3的相反数是3．故选：A．2．下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；a2•a3＝a2+3＝x5，因此选项D符合题意；故选：D．3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A．4．下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1【分析】根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂即可解答．解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、≠3，故此选项错误；D、30＝1，故此选项正确；故选：D．5．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．8．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选：B．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出①②的解集，再找到其公共部分，在数轴上表示出来即可求解．解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示为：．故选：C．10．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数y＝经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x 轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高BM的长，从而可以求得平行四边形的面积．解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．因式分解：a2+a＝a（a+1）．【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案．解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．14．计算：﹣x＝1．【分析】直接利用分式的基本性质化简进而计算即可．解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．15．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于12．【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．16．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为105°．【分析】利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有23名．【分析】设女生有x名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解．解：设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有2x﹣17+x＝52，解得x＝23．故女生有23名．故答案为：23．18．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．【分析】根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OP n＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简即可．解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．【分析】（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．解：（1）由概率的意义可得，＝，解得，n＝1，答：n的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P（一白一黑）＝，21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D 是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）【分析】（1）根据题意和直方图中的数据，可以计算出1300≤x＜1700这一组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数；（3）根据小华给出的数据，可以计算出在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人．解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×＝36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）【分析】（1）解Rt△AOC即可求出OC的长；（2）求出∠B′OE＝60°，在Rt△△B′OE中求出B′E，进而求出B′D．解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12，即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC＝，根据勾股定理得到CD＝＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．25．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝是函数有最小值﹣，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a ＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜1．解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝是函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0∵a＜3＜b∴a≠b∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0∴m≠5∵a＜3＜b当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜1，∴m的取值范围为m＜1．26．如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A 在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH 和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，因为正方形EFGH 与△ABC重叠面积为S，S＝，推出此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．构建方程求解即可．（3）分别求出点M第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的时长即可解决问题．解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，当点H落在AC上时，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴点E的运动路程为1，∴t＝1时，点E落在AC上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．由题意：（t﹣3）2﹣••（3t﹣13）＝，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t＝或（舍弃），∴满足条件的t的值为．（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t＝当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t＝，∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s），当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t＝，当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t＝，点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长＝+＝（s）．。
湖南省衡阳市2020年中考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.－3相反数是（ ）A. 3B. －3C. 13D. 13- A根据相反数的定义可得答案．解：3-的相反数是3. 故选A ．2.下列各式中，计算正确的是（ ）A. 325a a a +=B. 32a a a -=C. ()325a a =D. 235a a a ⋅= D根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可A ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；B ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；C ．()326a a =，此选项错误； D ．235a a a ⋅=，此选项正确，故选：D ．3.2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）A. 81.210⨯B. 71.210⨯C. 91.210⨯D. 81.210-⨯ A科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．1.2亿=120000000=1.2×108．故选：A ．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 4.下列各式中正确的是（ ）A. 22--= 2=± 3= D. 031=D根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可．解：A. 22--=-，故A 选项错误； B.42=，故B 选项错误； C.3273=，故B 选项错误； D. 031=，故D 选项正确．故选：D ．5.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. C根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C ．6.要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 1x >B. 1x ≠C. 1x =D. 0x ≠B根据分式有意义条件即可解答． 根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．7.如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A. AB ∥DC ,AB =DCB. AB =DC ,AD =BCC. AB∥DC,AD=BCD. OA=OC,OB=ODC根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.A. ∵AB∥DC,AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形；B. ∵AB=DC,AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；C.等腰梯形ABCD满足AB∥DC,AD=BC，但四边形ABCD是平行四边形；D. OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选C.解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选C．9.不等式组10,?21?32xx x-≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D. C首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断．解：10?21?32xx x-≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解①得：x≤1，解②得：x＞-2，则不等式组的解集是：−2＜x≤1．在数轴上表示为：故选：C．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．10.反比例函数kyx=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（）A. 2k =B. 函数图象分布在第一、三象限C. 当0x >时，y 随x 的增大而增大D. 当0x >时，y 随x 的增大而减小 C将点（2,1）代入k y x=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． 将点（2,1）代入k y x =中，解得：k=2， A ．k=2，此说法正确，不符合题意；B ．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法错误，符合题意；D ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C ． 11.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A. 2352035202600x x x ⨯--+=B. 352035220600x x ⨯--⨯=C. (352)(20)600x x --=D. (35)(202)600x x --=C 把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 解：如图，设小道的宽为xm ，则种植部分的长为()352x m -，宽为()20,x m -由题意得：(352)(20)600x x --=．故选C ．12.如图1，在平面直角坐标系中，ABCD 在第一象限，且//BC x 轴．直线y x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么ABCD 的面积为（ ）A. 3B. 32C. 6D. 62B 根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ；当移动距离是6时，直线经过B ，在移动距离是7时经过D ，则AD=7-4=3，当直线经过D 点，设交BC 与N.则DN=2，作DM ⊥AB 于点M.利用三角函数即可求得DM 即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A当移动距离是6时，直线经过B当移动距离是7时经过D ，则AD=7-4=3如图：设交BC 与N ，则DN=2，作DM ⊥AB 于点M ，∵移动直线为y=x∴∠NDM=45°∴DM=cos ∠NDM·ND=2222 ∴ABCD 的面积为AD×DM=3×2=32．故答案为B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13.因式分解：2a a +=__________．a(a+1)提取a 即可因式分解.2a a += a(a+1)故填：a(a+1).1根据分式的四则混合运算法则计算即可． 解：()2211x x x x x x x x x x+-=+÷-=+-=． 故答案为1．15.已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于_________．12根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可．解：360°÷30°=12． 故答案为12．16.一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则∠1的度数为_________．105.︒如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解AEF ∠,再利用三角形的外角的性质可得答案．解：如图，把顶点标注字母，//,45,AB CD D ∠=︒45,AEF D ∴∠=∠=︒60,GAB ∠=︒16045105.GAB AEF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：105.︒17.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名．23关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．设男生人数为x 人，女生人数为y 人．由此可得方程组52217x y x y ⎨-⎩+⎧＝＝． 解得，2923x y =⎧⎨=⎩所以，男生有29人，女生有23人，故答案为：23．18.如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP 、5OP ，……，n OP （n 为正整数），则点2020P 的坐标是_________．（0，-22019）根据题意得出OP 1=1，OP 2=2，OP 3=4，如此下去，得到线段OP 3=4=22，OP 4=8=23…，OP n =2n-1，再利用旋转角度得出点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，进而得出答案．解：∵点P 1的坐标为2222⎛ ⎝⎭，将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 1；∴OP 1=1，OP 2=2，∴OP 3=4，如此下去，得到线段OP 4=23，OP 5=24…，∴OP n =2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8=252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴负半轴上，∴点P 2020的坐标是（0，-22019）．故答案为：（0，-22019）．三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.化简：()()()b a b a b a b +++-．2a ab +根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可．解：()()()b a b a b a b +++-=222ab b a b ++-=2a ab +．20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．（1）1；（2）49． （1）根据概率公式列方程求解即可；（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．解：（1）由题意得123n n =+ ，解得n=1； （2）根据题意画出树状图如下：所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率49． 21.如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．（1）证明见解析；（2）BAC ∠=80°（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明BDE CDF ≅，根据全等三角形的性质即可证明；（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC 中利用三角形内角和定理即可求解． 解：（1）证明：∵点D 为BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠DEB=∠DFC=90°在△BDE 和△CDF 中，DEB DFC B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDE CDF AAS ≅，∴DE DF =．（2）∵40BDE ∠=︒∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED ）=50°，∴∠C=50°，在△ABC 中，BAC ∠=180°-（∠B+∠C ）=80°，故BAC ∠=80°．22.病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100500x ≤<，500900x ≤<，9001300x ≤<，13001700x ≤<，17002100x ≤<，21002500x ≤<．）根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C 市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H 市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B 市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）（1）补图见解析；（2）36︒；（3）1.2万人．（1）根据总数等于各组频数之和即可求出“13001700x ≤<”组得频数，进而补全频数分布直方图； （2）由频数直方图可得“100500x ≤<”的频数为3，再将360°乘以该组所占比例即可；（3）根据样本估计总体，可得到90后”大约有1.2万人．解：（1）“13001700x ≤<”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4，补全频数分布直方图如图．（2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“100500x ≤<”之间的有3个， 所占百分比为：3100%10%30⨯=， 故其所占圆心角度数=36010%36︒⨯=︒． （3）支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有404103834.2100% 1.18 1.21614338148++⨯⨯=≈++（万人）， 故：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有1.万人．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上，24cm OA OB ==，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒．（1）求OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB '与水平线的夹角仍保持120°，求点B '到AC 的距离．（结果保留根号）（1）12cm ；（2）点B '到AC 的距离为（3）cm ．（1）在Rt △AOC 中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；（2）过点O 作OM ∥AC ，过点B′作B′E ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于点D ，B′E 即为点B '到AC 的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED 为矩形，根据B′E=B′D+DE 求解即可．解：（1）∵24cm OA =，BCAC ⊥，30OAC ∠=︒ ∴1122OC OA cm ==． 即OC 的长度为12cm ．（2）如图，过点O 作OM ∥AC ，过点B′作B′E ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于点D ，B′E 即为点B '到AC 的距离，∵OM ∥AC ，B′E ⊥AC ，∴B′E ⊥OD ，∵MN ∥AC ，∴∠NOA=∠OAC=30°，∵∠AOB=120°，∴∠NOB=90°，∵∠NOB′=120°，∴∠BOB′=120°-90°=30°，∵BC ⊥AC ，B′E ⊥AE ，MN ∥AE ，∴BC ∥B′E ，四边形OCED 为矩形，∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm ，在Rt △B′OD 中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm ，∴B'D 3cos OB'D==B'O 2∠ B′D= 123cm ，B′E=B′D+DE= ()12312cm +， 答：点B '到AC 的距离为()12312cm +．24.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若8AD =，10AE=，求BD 的长． （1）BC 与O 相切．证明见解析；（2）120.7 （1）利用角平分线的定义证明,OAD CAD ∠=∠结合等腰三角形的性质证明,ODA CAD ∠=∠从而证明//,OD AC 结合90C ∠=︒可得答案；（2）连接DE ，先利用勾股定理求解DE 的长，再证明,BDE BAD ∽ 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案．解：（1）BC 与O 相切．理由如下：如图，连接OD ， AD 平分BAC ∠，,OAD CAD ∴∠=∠,OA OD =,ODA OAD ∴∠=∠,ODA CAD ∴∠=∠//,OD AC ∴90,C ∠=︒90,ODB C ∴∠=∠=︒ D 在O 上，BC ∴是O 的切线．（2）连接,DEAE ∵为O 的直径，90,ADE ∴∠=︒8AD =，10AE =，6,DE ∴==90,ODB ADE ∠=∠=︒90,BDE ODE ADO ODE ∴∠+∠=∠+∠=︒ ,BDE ADO ∴∠=∠,OD OA =,ADO DAO ∴∠=∠,BDE DAO ∴∠=∠,B B ∠=∠,BDE BAD ∴∽,BDDEBEBA AD BD ∴==6,108BD BEBE BD ∴==+()268,10BD BE BD BE BE =⎧∴⎨=+⎩ 解得：120.7BD = 所以：BD 的长为：120.725.在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． （1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可；（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可；（3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围．解：（1）∵2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x = ∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭； （3）由题意及（1）得 ()2222y m x m y x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∵一次函数(2)2y m x m=-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ， ∴()()23440m m ∆=-+->化简得210250m m -+> 即()250m ->解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解又∵3a b <<∴a=-1，b=4-m即4-m>3∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <． 解题的关键是熟记二次函数图象的性质．26.如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒5速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，35≤t≤1或t=4，理由见解析 （1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值； （3）由已知求得点D （2，1），AC=55再求出OC 解析式，结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1； （2）存在，143t =，使得9136S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =； 此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=， ∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+， 解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --， ∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-， 由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143t =；（3）可能，35≤t ≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=255易求得OD 的解析式为12y x =， 当0﹤t ﹤1时，如图2，设点M 为EH 与OD 的交点，由题意，OM=25t， 将x=3-t 代入12y x =中得：1(3)2y t =-， ∴OE=3-t ，EM=1(3)2t -， 由勾股定理得：222OE EM OM +=即2221(3)(3)(25)4t t t -+-=， 解得：t =35， 当t=1时，由（1）知，点M 与点H 都运动到D 点处，符合题意； ∴当35≤t ≤1时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）， ,当1﹤t ﹤4时，点M 不可能在正方形EFGH 内（含边界），当t=4时，点M 运动返回到点O 处，此时点F 也运动到点O 处，符合题意，综上，当35≤t≤1或t=4时，点M可能在正方形EFGH内（含边界）．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2020•衡阳）﹣3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−132．（3分）（2020•衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ）A ．a 3+a 2＝a 5B ．a 3﹣a 2＝aC ．（a 2）3＝a 5D ．a 2•a 3＝a 53．（3分）（2020•衡阳）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）A ．1.2×108B ．1.2×107C ．1.2×109D ．1.2×10﹣8 4．（3分）（2020•衡阳）下列各式中正确的是（ ）A ．﹣|﹣2|＝2B ．√4=±2C ．√93=3D ．30＝15．（3分）（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．赵爽弦图B ．科克曲线C ．笛卡尔心形线D ．斐波那契螺旋线 6．（3分）（2020•衡阳）要使分式1x−1有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ≠1C ．x ＝1D ．x ≠0 7．（3分）（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ，AD ∥BCB ．AB ＝DC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OB ＝OD8．（3分）（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2020•衡阳）不等式组{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．10．（3分）（2020•衡阳）反比例函数y =k x 经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）A ．k ＝2B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小11．（3分）（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．35×20﹣35x ﹣20x +2x 2＝600B ．35×20﹣35x ﹣2×20x ＝600C ．（35﹣2x ）（20﹣x ）＝600D ．（35﹣x ）（20﹣2x ）＝60012．（3分）（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．3√2C ．6D ．6√2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2020•衡阳）因式分解：a 2+a ＝ ．14．（3分）（2020•衡阳）计算：x 2+x x −x ＝ ．15．（3分）（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 ．16．（3分）（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为 ．17．（3分）（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 名．18．（3分）（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 ．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2020•衡阳）化简：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）．20．（6分）（2020•衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．22．（8分）（2020•衡阳）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x ＜500，500≤x ＜900，900≤x ＜1300，1300≤x ＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x ＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2√5个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．2020年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2020•衡阳）﹣3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−13【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：A ．2．（3分）（2020•衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ）A ．a 3+a 2＝a 5B ．a 3﹣a 2＝aC ．（a 2）3＝a 5D ．a 2•a 3＝a 5【解答】解：a 3与a 5不是同类项，它是一个多项式，因此A 选项不符合题意；同上可得，选项B 不符合题意；（a 2）3＝a 2×3＝a 6，因此选项C 不符合题意； a 2•a 3＝a 2+3＝x 5，因此选项D 符合题意；故选：D ．3．（3分）（2020•衡阳）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）A ．1.2×108B ．1.2×107C ．1.2×109D ．1.2×10﹣8 【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A ．4．（3分）（2020•衡阳）下列各式中正确的是（ ）A ．﹣|﹣2|＝2B ．√4=±2C ．√93=3D ．30＝1【解答】解：A 、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B 、√4=2，故此选项错误；C 、√93≠3，故此选项错误；D 、30＝1，故此选项正确；故选：D ．5．（3分）（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．（3分）（2020•衡阳）要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0【解答】解：要使分式1x−1有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．（3分）（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项D 中条件可以判定四边形ABCD 是平行四边形； 故选：C ．8．（3分）（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、C 、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C 不能围成三棱柱． 故选：B ．9．（3分）（2020•衡阳）不等式组{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解答】解：{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②， 由①得x ≤1，由②得x ＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x ≤1，在数轴上表示为：． 故选：C ．10．（3分）（2020•衡阳）反比例函数y =k x经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）A ．k ＝2B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小【解答】解：∵反比例函数y=kx经过点（2，1），∴1=k 2，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．11．（3分）（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．（3分）（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【解答】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE ＝6﹣4＝2，DE ＝7﹣6＝1，BE ＝2， ∴AB ＝2+1＝3，∵直线BE 平行直线y ＝x ， ∴BM ＝EM =√2，∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM ＝3×√2=3√2． 故选：B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．） 13．（3分）（2020•衡阳）因式分解：a 2+a ＝ a （a +1） ． 【解答】解：a 2+a ＝a （a +1）． 故答案为：a （a +1）． 14．（3分）（2020•衡阳）计算：x 2+x x−x ＝ 1 ．【解答】解：原式=x(x+1)x−x ＝x +1﹣x ＝1． 故答案为：1．15．（3分）（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 12 ． 【解答】解：∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°， ∴n ＝360°÷30°＝12． 故答案为：12．16．（3分）（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为 105° ．【解答】解：如图，∵AB ∥CD ，∠D ＝45°， ∴∠2＝∠D ＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°， ∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°． 故答案是：105°．17．（3分）（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名．【解答】解：设女生有x 名，则男生人数有（2x ﹣17）名，依题意有 2x ﹣17+x ＝52， 解得x ＝23． 故女生有23名． 故答案为：23．18．（3分）（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 （0，﹣22019） ．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2； ∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…， ∴OP n ＝2n ﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵2020÷8＝252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴的负半轴上， ∴点P 2020的坐标是（0，﹣22019）． 故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）（2020•衡阳）化简：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）． 【解答】解：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ） ＝ab +b 2+a 2﹣b 2 ＝ab +a 2．20．（6分）（2020•衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13．（1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明． 【解答】解：（1）由概率的意义可得，n 2+n=13，解得，n ＝1，答：n 的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种． ∴P （一白一黑）=49，21．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ． （1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．【解答】（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠CFD ＝90°， ∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD ，在△BED 与△CFD 中， {∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD，∴△BED ≌△CFD （AAS ）， ∴DE ＝DF ；（2）解：∵∠BDE ＝40°， ∴∠B ＝50°， ∴∠C ＝50°， ∴∠BAC ＝80°．22．（8分）（2020•衡阳）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）【解答】解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×330=36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×404+103+831614+338+148≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．23．（8分）（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC=12OA=12×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12√3，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12√3，即：点B′到AC的距离为（12+12√3）cm．24．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴∠ADE ＝∠C ， ∵∠EAD ＝∠DAC ， ∴△ADE ∽△ACD ， ∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC =325， ∴CD =√AD 2−AC 2=√82−(325)2=245， ∵OD ⊥BC ，AC ⊥BC ， ∴△OBD ∽△ABC ， ∴OD AC =BDBC ，∴5325=BD BD+245， ∴BD =1207．25．（10分）（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2+px +q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 的图象与二次函数y ＝x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由二次函数y ＝x 2+px +q 的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点， ∴{1−p +q =04+2p +q =0，解得{p =−1q =−2， ∴此二次函数的表达式y ＝x 2﹣x ﹣2； （2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1+22=12， ∴在﹣2≤x ≤1范围内，当x ＝﹣2，函数有最大值为：y ＝4+2﹣2＝4；当x =12是函数有最小值：y =14−12−2=−94， ∴的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；（3）y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 与二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2图象交点的横坐标为a 和b ， ∴x 2﹣x ﹣2＝（2﹣m ）x +2﹣m ，整理得x 2+（m ﹣3）x +m ﹣4＝0， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝4﹣m ， ∵a ＜3＜b ，∴a ＝﹣1，b ＝4﹣m ＞3，故解得m ＜1，即m 的取值范围是m ＜1．26．（12分）（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰△ABC 的底边BC 在x 轴上，BC ＝8，顶点A 在y 的正半轴上，OA ＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和△ABC 在BC 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与△ABC 重叠面积为S ，请问是否存在t 值，使得S =9136？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒2√5个单位的速度沿OD ﹣DC ﹣CD ﹣DO 运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA ＝2，OB ＝OC ＝4，EF ＝EH ＝FG ＝HG ＝1， 当点H 落在AC 上时，∵EH ∥OA ， ∴CE CO =EH OA ，∴CE 4=12，∴CE ＝2，∴点E 的运动路程为1， ∴t ＝1时，点H 落在AC 上．中考数学试题2020年中考（2）由题意，在E ，F 的运动过程中，开始正方形EFGH 的边长为1，∵正方形EFGH 与△ABC 重叠面积为S ，S =9136，∴此时点F 与O 重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG ．由题意：（t ﹣3）2−12•3t−132•（3t ﹣13）=9136， 整理得45t 2﹣486t +1288＝0，解得t =143或9215（舍弃），∴满足条件的t 的值为143． （3）如图3﹣1中，当点M 第一次落在EH 上时，4t +t ＝3，t =35当点M 第一次落在FG 上时，4t +t ＝4，t =45，∴点M 第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=45−35=15（s ），当点M 第二次落在FG 上时，4t ﹣t ＝4，t =43，当点M 第二次落在EH 上时，4t ﹣（t +1）＝4，t =53，点M 第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=53−43=13，∴点M 落在正方形内部（包括边界）的总时长=15+13=815（s ）．。
……○…………_______班级：__________……○…………湖南省衡阳市2020年中考数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息$2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列不是三棱柱展开图的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案． 【详解】解：A 、B 、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C 不能围成三棱柱． 故选C ． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．2．如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）试卷第2页，总26页…外…………○………………○……※※请※※…内…………○………………○……A ．AB ∥DC ,AB =DC B ．AB =DC ,AD =BC C ．AB ∥DC ,AD =BC D ．OA=OC ,OB =OD【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项分析即可. 【详解】A. ∵ AB ∥DC ,AB =DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；B. ∵ AB =DC ,AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；C.等腰梯形ABCD 满足 AB ∥DC ,AD =BC ，但四边形ABCD 是平行四边形；D. OA=OC ,OB =OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形； 故选C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.3．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4．－3相反数是（ ） A ．3 B ．－3 C ．13D ．13-【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：3-的相反数是3. 故选A ． 【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 5．下列各式中，计算正确的是（ ） A ．325a a a += B ．32a a a -=C ．()325a a =D ．235a a a ⋅=【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可 【详解】A ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；试卷第4页，总26页B ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；C ．()326a a =，此选项错误；D ．235a a a ⋅=，此选项正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据法则计算是解答的关键． 6．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ） A ．81.210⨯ B ．71.210⨯C ．91.210⨯D ．81.210-⨯【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】1.2亿=120000000=1.2×108． 故选：A ． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 7．下列各式中正确的是（ ） A ．22--= B 2=±C 3=D ．031=【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可． 【详解】解：A. 22--=-，故A 选项错误； B.2=，故B 选项错误；………○……学校:_____………○…… C.3=，故B 选项错误；D. 031=，故D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键． 8．要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x > B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠． 故选：B ． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．9．不等式组10,?21?32x x x -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断． 【详解】试卷第6页，总26页○………○………解：10?21?32x x x -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解①得：x ≤1， 解②得：x ＞-2，则不等式组的解集是：−2＜x ≤1． 在数轴上表示为：故选：C ． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集和在数轴上表示解集，分别求出每个不等式的解，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”找出解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 10．反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小【答案】C 【解析】 【分析】将点（2,1）代入ky x=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． 【详解】将点（2,1）代入ky x=中，解得：k=2， A ．k=2，此说法正确，不符合题意；B ．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法错误，符合题意；D ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法正确，不………外……………………○…：___________………内……………………○…符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．2352035202600x x x ⨯--+=B ．352035220600x x ⨯--⨯=C ．(352)(20)600x x --=D ．(35)(202)600x x --=【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为xm ，则种植部分的长为()352x m -，宽为()20,x m - 由题意得：(352)(20)600x x --=． 故选C ．【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；试卷第8页，总26页…○…………线……※※…○…………线……得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．12．如图1，在平面直角坐标系中，ABCD 在第一象限，且//BC x 轴．直线y x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．C ．6D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ；当移动距离是6时，直线经过B ，在移动距离是7时经过D ，则AD=7-4=3，当直线经过D 点，设交BC 与N.则DN=2，作DM ⊥AB 于点M.利用三角函数即可求得DM 即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A 当移动距离是6时，直线经过B 当移动距离是7时经过D ，则AD=7-4=3如图：设交BC 与N ，则DN=2，作DM ⊥AB 于点M ， ∵移动直线为y=x ∴∠NDM=45° ∴DM=cos ∠NDM·ND=222∴ABCD 的面积为AD×． 故答案为B ．…○…………线…………○……____…○…………线…………○……【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD 的长是解答本题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．因式分解：2a a +=__________． 【答案】a(a+1) 【解析】 【分析】提取a 即可因式分解. 【详解】2a a += a(a+1)故填：a(a+1). 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法因式分解.14．计算：2x xx x+-=_________．【答案】1 【解析】试卷第10页，总26页……○…………装…※※请※※不※※要※……○…………装…【分析】根据分式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】解：()2211x x x x x x x x x x+-=+÷-=+-=．故答案为1． 【点睛】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键． 15．已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可． 【详解】解：360°÷30°=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了多边形外角和特征，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键． 16．一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则∠1的度数为_________．【答案】105.︒ 【解析】 【分析】如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解AEF ∠,再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，把顶点标注字母，…………○…………：___________…………○…………//,45,AB CD D ∠=︒45,AEF D ∴∠=∠=︒ 60,GAB ∠=︒16045105.GAB AEF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：105.︒【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名． 【答案】23 【解析】 【分析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解． 【详解】设男生人数为x 人，女生人数为y 人．由此可得方程组52217x y x y ⎨-⎩+⎧＝＝． 解得，2923x y =⎧⎨=⎩所以，男生有29人，女生有23人， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．试卷第12页，总26页…………○…………答※※题※※…………○…………18．如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标,22⎛⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP 、5OP ，……，n OP （n 为正整数），则点2020P 的坐标是_________．【答案】（0，-22019） 【解析】 【分析】根据题意得出OP 1=1，OP 2=2，OP 3=4，如此下去，得到线段OP 3=4=22，OP 4=8=23…，OP n =2n-1，再利用旋转角度得出点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：∵点P 1的坐标为,22⎛⎝⎭，将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 1； ∴OP 1=1，OP 2=2，∴OP 3=4，如此下去，得到线段OP 4=23，OP 5=24…， ∴OP n =2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵2020÷8=252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴负半轴上， ∴点P 2020的坐标是（0，-22019）． 故答案为：（0，-22019）． 【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P 2014的坐标与点P 6的坐标在同一直线上是解题关键．三、解答题19．化简：()()()b a b a b a b +++-． 【答案】2a ab + 【解析】 【分析】根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可． 【详解】解：()()()b a b a b a b +++- =222ab b a b ++- =2a ab +． 【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答本题的关键．20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1）1；（2）49． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可；（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可． 【详解】 解：（1）由题意得123n n =+ ，解得n=1； （2）根据题意画出树状图如下：试卷第14页，总26页……○…………订线…………○……※※装※※订※※线※※内……○…………订线…………○……所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率49． 【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．21．如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）BAC ∠=80° 【解析】 【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明BDE CDF ≅，根据全等三角形的性质即可证明；（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC 中利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵点D 为BC 的中点， ∴BD=CD ，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥， ∴∠DEB=∠DFC=90° 在△BDE 和△CDF 中，○…………外…………○…………装…学校:___________姓名：○…………内…………○…………装…DEB DFC B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDE CDF AAS ≅， ∴DE DF =． （2）∵40BDE ∠=︒∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED ）=50°， ∴∠C=50°，在△ABC 中，BAC ∠=180°-（∠B+∠C ）=80°， 故BAC ∠=80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100500x ≤<，500900x ≤<，9001300x ≤<，13001700x ≤<，17002100x ≤<，21002500x ≤<．）根据以上信息回答问题：试卷第16页，总26页外…………○………※※请※※不内…………○………（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C 市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H 市派出的338名医护人员中有103人是“90后”； B 市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人） 【答案】（1）补图见解析；（2）36︒；（3）1.2万人． 【解析】 【分析】（1）根据总数等于各组频数之和即可求出“13001700x ≤<”组得频数，进而补全频数分布直方图；（2）由频数直方图可得“100500x ≤<”的频数为3，再将360°乘以该组所占比例即可；（3）根据样本估计总体，可得到90后”大约有1.2万人． 【详解】解：（1）“13001700x ≤<”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4， 补全频数分布直方图如图．（2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“100500x ≤<”之间的有3个， 所占百分比为：3100%10%30⨯=， 故其所占圆心角度数=36010%36︒⨯=︒． （3）支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有............订.........班级：___________考号：____............订 (40410383)4.2100% 1.18 1.21614338148++⨯⨯=≈++（万人），故：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有1.万人． 【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图和扇形统计图的综合运用及样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上，24cm OA OB ==，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒．（1）求OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB '与水平线的夹角仍保持120°，求点B '到AC 的距离．（结果保留根号）【答案】（1）12cm ；（2）点B '到AC 的距离为（cm ． 【解析】 【分析】（1）在Rt △AOC 中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；（2）过点O 作OM ∥AC ，过点B′作B′E ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于点D ，B′E 即为点B '到AC 的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED 为矩形，根据B′E=B′D+DE 求解即可． 【详解】解：（1）∵24cm OA =，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒ ∴1122OC OA cm ==． 即OC 的长度为12cm ．（2）如图，过点O 作OM ∥AC ，过点B′作B′E ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于试卷第18页，总26页…○…………装…※※请※※不※※要※…○…………装…点D ，B′E 即为点B '到AC 的距离， ∵OM ∥AC ，B′E ⊥AC ， ∴B′E ⊥OD ， ∵MN ∥AC ，∴∠NOA=∠OAC=30°， ∵∠AOB=120°， ∴∠NOB=90°， ∵∠NOB′=120°， ∴∠BOB′=120°-90°=30°，∵BC ⊥AC ，B′E ⊥AE ，MN ∥AE ， ∴BC ∥B′E ，四边形OCED 为矩形， ∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm ，在Rt △B′OD 中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm ， ∴B'D cos OB'D=B'O ∠B′D= ，B′E=B′D+DE= ()12cm ，答：点B '到AC 的距离为()12cm ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．…………○………………○……（1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若8AD =，10AE =，求BD 的长． 【答案】（1）BC 与O 相切．证明见解析；（2）120.7【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义证明,OAD CAD ∠=∠结合等腰三角形的性质证明,ODA CAD ∠=∠从而证明//,OD AC 结合90C ∠=︒可得答案；（2）连接DE ，先利用勾股定理求解DE 的长，再证明,BDE BAD ∽ 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案． 【详解】 解：（1）BC 与O 相切．理由如下： 如图，连接OD ，AD 平分BAC ∠，,OAD CAD ∴∠=∠,OA OD =,ODA OAD ∴∠=∠ ,ODA CAD ∴∠=∠//,OD AC ∴ 90,C ∠=︒90,ODB C ∴∠=∠=︒D 在O 上， BC ∴是O 的切线．（2）连接,DE试卷第20页，总26页外…………○…※※内…………○…AE ∵为O 的直径，90,ADE ∴∠=︒8AD =，10AE =， 6,DE ∴==90,ODB ADE ∠=∠=︒90,BDE ODE ADO ODE ∴∠+∠=∠+∠=︒,BDE ADO ∴∠=∠,OD OA = ,ADO DAO ∴∠=∠ ,BDE DAO ∴∠=∠,B B ∠=∠,BDE BAD ∴∽,BD DE BEBA AD BD ∴== 6,108BD BE BE BD ∴==+ ()268,10BD BE BD BE BE =⎧∴⎨=+⎩解得：120.7BD =所以：BD 的长为：120.7【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．25．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，…………线…………○…………线…………○(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【答案】（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,试卷第22页，总26页y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭； （3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∵一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∵3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．26．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．…线…………○………线…………○……（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长． 【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)， 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ， 将点A 、C 坐标代入，得：试卷第24页，总26页402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1）， 将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ， 将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T, 将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+， 解得：x=2t-10， ∴点S(2t-10，t-3)， 将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --，…订…………○…_____考号：___________…订…………○…∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASGS AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-， 由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4， ∴点D （2，1），AC=易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35秒， ∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界）， 综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．试卷第26页，总26页……线…………○…………线…………○……【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）﹣3的相反数是（）
A．3B．﹣3C．D．﹣
2．（3分）下列各式中，计算正确的是（）
A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5
3．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）
A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8
4．（3分）下列各式中正确的是（）
A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1
5．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线
C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线
6．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（）。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2020•衡阳）﹣3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−132．（3分）（2020•衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ）A ．a 3+a 2＝a 5B ．a 3﹣a 2＝aC ．（a 2）3＝a 5D ．a 2•a 3＝a 53．（3分）（2020•衡阳）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A ．1.2×108B ．1.2×107C ．1.2×109D ．1.2×10﹣84．（3分）（2020•衡阳）下列各式中正确的是（ ）A ．﹣|﹣2|＝2B ．√4=±2C ．√93=3D ．30＝15．（3分）（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．赵爽弦图B ．科克曲线C ．笛卡尔心形线D ．斐波那契螺旋线6．（3分）（2020•衡阳）要使分式1x−1有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ≠1C ．x ＝1D ．x ≠07．（3分）（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ，AD ∥BC B ．AB ＝DC ，AD ＝BCC ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OB ＝OD8．（3分）（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2020•衡阳）不等式组{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 10．（3分）（2020•衡阳）反比例函数y =k x 经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）A ．k ＝2B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小11．（3分）（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．35×20﹣35x ﹣20x +2x 2＝600B ．35×20﹣35x ﹣2×20x ＝600C ．（35﹣2x ）（20﹣x ）＝600D ．（35﹣x ）（20﹣2x ）＝60012．（3分）（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．3√2C ．6D ．6√2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2020•衡阳）因式分解：a 2+a ＝ ．14．（3分）（2020•衡阳）计算：x 2+x x −x ＝ ．15．（3分）（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 ．16．（3分）（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为 ．17．（3分）（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 名．18．（3分）（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 ．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2020•衡阳）化简：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）．20．（6分）（2020•衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．22．（8分）（2020•衡阳）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x ＜500，500≤x ＜900，900≤x ＜1300，1300≤x ＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x ＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2√5个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−132．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）A ．a 3+a 2＝a 5B ．a 3﹣a 2＝aC ．（a 2）3＝a 5D ．a 2•a 3＝a 53．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）A ．1.2×108B ．1.2×107C ．1.2×109D ．1.2×10﹣8 4．（3分）下列各式中正确的是（ ）A ．﹣|﹣2|＝2B ．√4=±2C ．√93=3D ．30＝15．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．赵爽弦图B ．科克曲线C ．笛卡尔心形线D ．斐波那契螺旋线 6．（3分）要使分式1x−1有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ≠1 C ．x ＝1 D ．x ≠07．（3分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ，AD ∥BCB ．AB ＝DC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OB ＝OD8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）不等式组{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 10．（3分）反比例函数y =k x 经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）A ．k ＝2B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小11．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．35×20﹣35x ﹣20x +2x 2＝600B ．35×20﹣35x ﹣2×20x ＝600C ．（35﹣2x ）（20﹣x ）＝600D ．（35﹣x ）（20﹣2x ）＝60012．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x从原点O 出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．3√2C ．6D ．6√2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：a 2+a ＝ ．14．（3分）计算：x 2+x x −x ＝ ．15．（3分）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 ．16．（3分）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为 ．17．（3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 名．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 ．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）化简：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x ＜500，500≤x ＜900，900≤x ＜1300，1300≤x ＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x ＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D 的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2√5个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．2020年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−13【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：A ．2．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）A ．a 3+a 2＝a 5B ．a 3﹣a 2＝aC ．（a 2）3＝a 5D ．a 2•a 3＝a 5【解答】解：a 3与a 5不是同类项，它是一个多项式，因此A 选项不符合题意；同上可得，选项B 不符合题意；（a 2）3＝a 2×3＝a 6，因此选项C 不符合题意； a 2•a 3＝a 2+3＝x 5，因此选项D 符合题意；故选：D ．3．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）A ．1.2×108B ．1.2×107C ．1.2×109D ．1.2×10﹣8 【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A ．4．（3分）下列各式中正确的是（ ）A ．﹣|﹣2|＝2B ．√4=±2C ．√93=3D ．30＝1【解答】解：A 、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B 、√4=2，故此选项错误；C 、√93≠3，故此选项错误；D 、30＝1，故此选项正确；故选：D ．5．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．（3分）要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0【解答】解：要使分式1x−1有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项D 中条件可以判定四边形ABCD 是平行四边形； 故选：C ．8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、C 、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C 不能围成三棱柱． 故选：B ．9．（3分）不等式组{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解答】解：{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②， 由①得x ≤1，由②得x ＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x ≤1，在数轴上表示为：． 故选：C ．10．（3分）反比例函数y =k x经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）A ．k ＝2B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小【解答】解：∵反比例函数y=kx经过点（2，1），∴1=k 2，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．11．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x 从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【解答】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE ＝6﹣4＝2，DE ＝7﹣6＝1，BE ＝2，∴AB ＝2+1＝3，∵直线BE 平行直线y ＝x ，∴BM ＝EM =√2，∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM ＝3×√2=3√2．故选：B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：a 2+a ＝ a （a +1） ．【解答】解：a 2+a ＝a （a +1）．故答案为：a （a +1）．14．（3分）计算：x 2+x x −x ＝ 1 ．【解答】解：原式=x(x+1)x−x ＝x +1﹣x＝1．故答案为：1． 15．（3分）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 12 ．【解答】解：∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°， ∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．16．（3分）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为 105° ．【解答】解：如图，∵AB ∥CD ，∠D ＝45°，∴∠2＝∠D ＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．17．（3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名．【解答】解：设女生有x 名，则男生人数有（2x ﹣17）名，依题意有2x ﹣17+x ＝52，解得x ＝23．故女生有23名．故答案为：23．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 （0，﹣22019） ．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…，∴OP n ＝2n ﹣1， 由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴的负半轴上，∴点P 2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）化简：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）．【解答】解：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）＝ab +b 2+a 2﹣b 2＝ab +a 2．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．【解答】解：（1）由概率的意义可得，n 2+n =13，解得，n ＝1，答：n 的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P （一白一黑）=49，21．（8分）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．【解答】（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在△BED 与△CFD 中，{∠BED =∠CFD ∠B =∠C BD =CD ，∴△BED ≌△CFD （AAS ），∴DE ＝DF ；（2）解：∵∠BDE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠C ＝50°，∴∠BAC ＝80°．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）【解答】解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×330=36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×404+103+831614+338+148≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC=12OA=12×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12√3，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12√3，即：点B′到AC的距离为（12+12√3）cm．24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D 的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°，∵∠C ＝90°，∴∠ADE ＝∠C ，∵∠EAD ＝∠DAC ，∴△ADE ∽△ACD ，∴AE AD =AD AC ， 108=8AC ，∴AC =325， ∴CD =√AD 2−AC 2=√82−(325)2=245，∵OD ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC=BD BC ， ∴5325=BD BD+245，∴BD =1207．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2+px +q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 的图象与二次函数y ＝x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由二次函数y ＝x 2+px +q 的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴{1−p +q =04+2p +q =0，解得{p =−1q =−2， ∴此二次函数的表达式y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1+22=12， ∴在﹣2≤x ≤1范围内，当x ＝﹣2，函数有最大值为：y ＝4+2﹣2＝4；当x =12是函数有最小值：y =14−12−2=−94， ∴的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；（3）y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 与二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2图象交点的横坐标为a 和b ， ∴x 2﹣x ﹣2＝（2﹣m ）x +2﹣m ，整理得x 2+（m ﹣3）x +m ﹣4＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4﹣m ，∵a ＜3＜b ，∴a ＝﹣1，b ＝4﹣m ＞3，故解得m ＜1，即m 的取值范围是m ＜1．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰△ABC 的底边BC 在x 轴上，BC ＝8，顶点A 在y 的正半轴上，OA ＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和△ABC 在BC 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与△ABC 重叠面积为S ，请问是否存在t 值，使得S =9136？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒2√5个单位的速度沿OD ﹣DC ﹣CD ﹣DO 运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA ＝2，OB ＝OC ＝4，EF ＝EH ＝FG ＝HG ＝1，当点H 落在AC 上时，∵EH ∥OA ，∴CE CO =EH OA ， ∴CE 4=12，∴CE ＝2，∴点E 的运动路程为1，∴t ＝1时，点H 落在AC 上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S=91 36，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．由题意：（t﹣3）2−12•3t−132•（3t﹣13）=9136，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t=143或9215（舍弃），∴满足条件的t的值为143．（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t=3 5当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t=4 5，∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=45−35=15（s），当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t=4 3，当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t=5 3，点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=53−43=13，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长=15+13=815（s）．第21 页共21 页。
湖南省衡阳市2020年中考数学试卷题序一二三四五六七八总分得分只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2020•衡阳）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣考点：相反数分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：﹣3的相反数是3，故选A．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）（2020•衡阳）如图，AB平行CD，如果∠B=20°，那么∠C为（）A．40°B．20°C．60°D．70°考点：平行线的性质．分析：根据平行线性质得出∠C=∠B，代入求出即可．解答：解：∵AB∥CD，∠B=20°，∴∠C=∠B=20°，故选B．点评：本题考查了平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．3．（3分）（2020•衡阳）“a是实数，|a|≥0”这一事件是（）A．必然事件B．不确定事件C．不可能事件D．随机事件考点：随机事件．分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．解答：解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，因为a是实数，所以|a|≥0．点评：用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．4．（3分）（2020•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．解答：解：∵∠1=100°，∠C=70°，∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．故选C．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．5．（3分）（2020•衡阳）计算的结果为（）A．B．C．3D．5考点：二次根式的乘除法；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用二次根式的乘法法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．解答：解：原式=2+1=3．故选C点评：此题考查了二次根式的乘除法，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）（2020•衡阳）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A．50°B．80°C．90°D．100°考点：圆周角定理．分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．解答：解：∵∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ABC=100°．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．（3分）（2020•衡阳）要调查下列问题，你认为哪些适合抽样调查（）①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准②检测某地区空气质量③调查全市中学生一天的学习时间．A．①②B．①③C．②③D．①②③考点：全面调查与抽样调查分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．解答：解：①食品数量较大，不易普查，故适合抽查；②不能进行普查，必须进行抽查；③人数较多，不易普查，故适合抽查．故选D．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8．（3分）（2020•衡阳）下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．解答：解：A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；D、球体主视图与俯视图都是圆，错误；故选C．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．9．（3分）（2020•衡阳）下列运算正确的是（）A．3a+2b=5ab B．a3•a2=a5C．a8•a2=a4D．（2a2）3=﹣6a6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、正确；C、a8•a2=a10，选项错误；D、（2a2）3=8a6，选项错误．故选B．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．10．（3分）（2020•衡阳）下列命题中，真命题是（）A．位似图形一定是相似图形B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C．四条边相等的四边形是正方形D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直考点：命题与定理分析：根据位似图形的定义、等腰梯形的性质、正方形的判定、两直线的位置关系分别对每一项进行分析即可．解答：解：A、位似图形一定是相似图形是真命题，故本选项正确；B、等腰梯形既是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；C、四条边相等的四边形是菱形，原命题是假命题；D、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相垂直，原命题是假命题；故选A．点评：此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．11．（3分）（2020•衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．168（1+x）2=128 B．168（1﹣x）2=128 C．168（1﹣2x）=128 D．168（1﹣x2）=128考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．解答：解：根据题意得：168（1﹣x）2=128，故选B．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．12．（3分）（2020•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：动点型．分析：本题考查动点函数图象的问题．解答：解：由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C．随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D．故选A．点评：本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）（2020•衡阳）计算=2．考点：有理数的乘法．分析：根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．解答：解：（﹣4）×（﹣）=4×=2．故答案为：2．点评：本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．14．（3分）（2020•衡阳）反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为﹣2．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．解答：解：将点（2，﹣1）代入解析式可得k=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．15．（3分）（2020•衡阳）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=70°．考点：旋转的性质．专题：探究型．分析：直接根据图形旋转的性质进行解答即可．解答：解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，∴△OAB≌△OA1B1，∴∠A1OB=∠AOB=30°．∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．故答案为：70．点评：本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．16．（3分）（2020•衡阳）某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九（三）班的演唱打分情况为：89、92、92、95、95、96、97、，从中去掉一个最高分和一个最低分，余下的分数的平均数是最后得分，则该班的得分为94．考点：算术平均数．分析：先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可．解答：解：由题意知，最高分和最低分为97，89，则余下的分数的平均数=（92×2+95×2+96）÷5=94．故答案为：94．点评：本题考查了算术平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式．17．（3分）（2020•衡阳）计算：=a﹣1．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式==a﹣1．故答案为：a﹣1点评：此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．18．（3分）（2020•衡阳）已知a+b=2，ab=1，则a2b+ab2的值为2．考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：所求式子提取公因式化为积的形式，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵a+b=2，ab=1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2．故答案为：2点评：此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．19．（3分）（2020•衡阳）如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是48πcm2．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：圆锥形小漏斗的侧面积=×12π×8=48πcm2．故答案为48πcm2．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积=×底面周长×母线长20．（3分）（2020•衡阳）观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=﹣．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据题意可知a1=1﹣，a2=﹣，a3=﹣，…故a n=﹣．解答：解：通过分析数据可知第n个等式为：a n=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了数字变化规律，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．三、解答题（本大题共8个小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．（6分）（2020•衡阳）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2），其中．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a，当a=时，原式=1﹣1=0．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．22．（6分）（2020•衡阳）解不等式组：；并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x＞2，∴不等式组的解集为x＞2，在数轴上表示不等式组的解集为．点评：本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．23．（6分）（2020•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：易得DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度．解答：解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，∴四边形ABDE是矩形，（1分）∴DE=AB=1.5，（2分）在Rt△BCD中，，（3分）又∵BC=20，∠CBD=60°，∴CD=BC•sin60°=20×=10，（4分）∴CE=10+1.5，（5分）即此时风筝离地面的高度为（10+1.5）米．点评：考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法．24．（6分）（2020•衡阳）目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，我市某中学九年级数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：（1）这次调查的家长总数为600．家长表示“不赞同”的人数为80；（2）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率是60%；（3）求图②中表示家长“无所谓”的扇形圆心角的度数．考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．分析：（1）根据赞成的人数与所占的百分比列式计算即可求调查的家长的总数，然后求出不赞成的人数；（2）根据扇形统计图即可得到恰好是“赞同”的家长的概率；（3）求出无所谓的人数所占的百分比，再乘以360°，计算即可得解．解答：解：（1）调查的家长总数为：360÷60%=600人，很赞同的人数：600×20%=120人，不赞同的人数：600﹣120﹣360﹣40=80人；（2）“赞同”态度的家长的概率是60%；（3）表示家长“无所谓”的圆心角的度数为：×360°=24°．故答案为：600，80；60%．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．（8分）（2020•衡阳）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；（1）档用地阿亮是180千瓦时时，电费是108元；（2）第二档的用电量范围是180＜x≤450；（3）“基本电价”是0.6元/千瓦时；（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？考点：一次函数的应用．分析：（1）通过函数图象可以直接得出用电量为180千瓦时，电费的数量；（2）从函数图象可以看出第二档的用电范围；（3）运用总费用÷总电量就可以求出基本电价；（4）结合函数图象可以得出小明家8月份的用电量超过450千瓦时，先求出直线BC 的解析式就可以得出结论．解答：解：（1）由函数图象，得当用电量为180千瓦时，电费为：108元．故答案为：108；（2）由函数图象，得设第二档的用电量为x°，则180＜x≤450．故答案为：180＜x≤450（3）基本电价是：108÷180=0.6；故答案为：0.6（4）设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，y=0.9x﹣121.5．y=328.5时，x=500．答：这个月他家用电500千瓦时．点评：本题考查了运用函数图象求自变量的取值范围的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式通过自变量的值求函数值的运用，解答时读懂函数图象的意义是关键．26．（8分）（2020•衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；（2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的一元二次函数，求出DM的最大值．解答：解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF，∵在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE=BF，∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；（2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，∴△PDM∽△BAP，∴=，即=，∴DM==x﹣x2，当x=2时，DM有最大值为1．点评：本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题．27．（10分）（2020•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题分析：（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．解答：解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：a=﹣1，k=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．（2）①∵四边形OMPQ为矩形，∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+5t﹣3=0，解得t=，由于t=＜0，故舍去，∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AON为等腰三角形，有三种情况：（I）若ON=AN，如答图1所示：过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，∴t=；（II）若ON=OA，如答图2所示：过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），∴x=，OD=1﹣x=，∴t=；（III）若OA=AN，如答图3所示：过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴OD=1﹣x=1﹣，∴t=1﹣．综上所述，当t为秒、秒，（1﹣）秒时，△AON为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．28．（10分）（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M 经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙M的半径为5；（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以=，可解得OC=，则C点坐标为（﹣，0），最后运用待定系数法确定l的解析式；（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，所以OD=，ON=，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，则BN=10﹣=，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可．解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（（4，3）；（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，∴Rt△ABO∽Rt△BCO，∴=，即=，解得OC=，∴C点坐标为（﹣，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（0，6）、C点（﹣，0）分别代入，解得，∴直线l的解析式为y=x+6；（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，∵∠BOA的平分线交AB于点N，∴△NOD为等腰直角三角形，∴ND=OD，∴ND∥OB，∴△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AD：AO，∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，∴OD=，ON=ND=，∴N点坐标为（，）；∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，∴BN=10﹣=，∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN，∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，∴OE=ON+NE=+=7．点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质、圆周角定理及其推论；学会运用待定系数法求函数的解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．四、附加题（本小题满分0分，不计入总分）29．（2020•衡阳）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合；（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线能辐射的最大直径为31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．解答：解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求；（2）（画图正确给1分）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE=，，∴OD=，即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．点评：考查应用与设计作图；解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解．友情提示：一、认真对待每一次考试。
2020年衡阳市中考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣2．下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2?a3＝a5 3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过 1.2亿人，其中 1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣84．下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝15．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠07．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．如图1，在平面直角坐标系中，?ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被?ABCD截得的线段长度n与直线在x 轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么?ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．因式分解：a2+a＝．14．计算：﹣x＝．15．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．16．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．18．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A 在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH 和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．解：﹣3的相反数是3．故选：A．2．下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2?a3＝a5【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；a2?a3＝a2+3＝x5，因此选项D符合题意；故选：D．3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过 1.2亿人，其中 1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A．4．下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1【分析】根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂即可解答．解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、≠3，故此选项错误；D、30＝1，故此选项正确；故选：D．5．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．8．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选：B．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出①②的解集，再找到其公共部分，在数轴上表示出来即可求解．解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示为：．故选：C．10．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数y＝经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．如图1，在平面直角坐标系中，?ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被?ABCD截得的线段长度n与直线在x 轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么?ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高BM的长，从而可以求得平行四边形的面积．解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD?BM＝3×＝3．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．因式分解：a2+a＝a（a+1）．【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案．解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．14．计算：﹣x＝1．【分析】直接利用分式的基本性质化简进而计算即可．解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．15．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于12．【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．16．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为105°．【分析】利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有23名．【分析】设女生有x名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解．解：设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有2x﹣17+x＝52，解得x＝23．故女生有23名．故答案为：23．18．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．【分析】根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OP n＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简即可．解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．【分析】（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．解：（1）由概率的意义可得，＝，解得，n＝1，答：n的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P（一白一黑）＝，21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D 是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）【分析】（1）根据题意和直方图中的数据，可以计算出1300≤x＜1700这一组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数；（3）根据小华给出的数据，可以计算出在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人．解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×＝36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2万人计）中，“90后”大约有 1.2万人．23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）【分析】（1）解Rt△AOC即可求出OC的长；（2）求出∠B′OE＝60°，在Rt△△B′OE中求出B′E，进而求出B′D．解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12，即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC＝，根据勾股定理得到CD＝＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．25．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝是函数有最小值﹣，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a ＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜1．解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝是函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0∵a＜3＜b∴a≠b∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0∴m≠5∵a＜3＜b当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜1，∴m的取值范围为m＜1．26．如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A 在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH 和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，因为正方形EFGH 与△ABC重叠面积为S，S＝，推出此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．构建方程求解即可．（3）分别求出点M第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的时长即可解决问题．解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，当点H落在AC上时，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴点E的运动路程为1，∴t＝1时，点E落在AC上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．由题意：（t﹣3）2﹣??（3t﹣13）＝，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t＝或（舍弃），∴满足条件的t的值为．（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t＝当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t＝，∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s），当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t＝，当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t＝，点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长＝+＝（s）．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．−3的相反数是（ ）
A 、3
B 、−3
C 、31
D 、−3
1 2．下列各式中，计算正确的是（ ） A 、a 3＋a 2＝a 5 B 、a 3−a 2＝a C 、（a 2）3＝a 5
D 、a 2•a 3＝a 5 3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）
A 、1.2×108
B 、1.2×107
C 、1.2×109
D 、1.2×108-
4．下列各式中正确的是（ ）
A 、−|−2|＝2
B 、4＝±2
C 、39＝3
D 、30＝1
5．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 赵爽弦图 科克曲线 笛卡尔心形线 斐波那契螺旋线
6．要使分式1
1-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、x ＞1 B 、x ≠1 C 、x ＝1 D 、x ≠0
7．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
A 、A
B ∥D
C ，A
D ∥BC
B 、AB ＝D
C ，A
D ＝BC
C 、AB ∥DC ，A
D ＝BC
D 、OA ＝OC ，OB ＝OD
8．下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
9．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤-⑵⑴123
201x x x
的解集在数轴上表示正确的是（ ） A 、 B 、
C 、
D 、
10．反比例函数y ＝x k 经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ） A 、k ＝2 B 、函数图象分布在第一、三象限
C 、当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小
11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）
A 、35×20−35x −20x ＋2x 2＝600
B 、35×20−35x −2×20x ＝600
C 、（35−2x ）（20−x ）＝600
D 、（35−x ）（20−2x ）＝600
12．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被口ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么口ABCD 的面积为（ ）
A 、3
B 、32
C 、6
D 、62
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．因式分解：a 2
＋a ＝___________． 14．计算：x
x x 2−x ＝______． 15．已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于________．
16．一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为_______．
17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则
女生有_________名．
18．如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（22，2
2），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为
OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向
旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，
得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐
标是___________．
三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．化简：b （a ＋b ）＋（a ＋b ）（a −b ）．
20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为3
1． （1）求n 的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
21．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．
（1）求证：DE ＝DF ；
（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．
22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x ＜500，500≤x ＜900，900≤x ＜1300，1300≤x ＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x ＜2500．
根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）
23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC ⊥AC，∠OAC＝30°．
（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）
24．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，⊙O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．
（1）判断BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若AD ＝8，AE ＝10，求BD 的长．
25．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象过点（−1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当−2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的
差；
（3）一次函数y ＝（2−m ）x ＋2−m 的图象与二
次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象交点的横坐标分别
是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．
26．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰△ABC 的底边BC 在x 轴上，BC ＝8，顶点A 在y 的正半轴上，OA ＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和△ABC 在BC 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．
（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；
（2）设正方形EFGH 与△ABC 重叠面积为S ，请问是否存在t 值，使得S ＝3691？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25个单位的速度沿OD −DC −CD −DO 运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．。
